ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2023, том 59, № 1, с.51-72

УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

УДК 517.955

РАЗРУШЕНИЕ РЕШЕНИЯ

И ГЛОБАЛЬНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ ЗАДАЧИ КОШИ

ДЛЯ МОДЕЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ

ПРОИЗВОДНЫХ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА

Для нелинейного дифференциального уравнения в частных производных третьего поряд-

ка, обобщающего уравнение колебаний кручения цилиндрического стержня при учёте внут-

реннего и внешнего затухания и моделирующего распространение продольных волн напря-

жения вдоль одномерного вязкоупругого стержня, материал которого подчиняется закону

деформирования среды Фойгхта-Кельвина, получены условия существования глобального

решения и разрушения решения задачи Коши на конечном временном отрезке.

DOI: 10.31857/S0374064123010065, EDN: OBYMHZ

Введение. В статье рассматривается задача Коши для нелинейного уравнения в частных

производных третьего порядка

u_tt - αu_txx - βu_tx + γu_t = σ^′(u_x)u_xx, (t,x) ∈ R¹⁺ × R¹,

(1)

u|t=0 = ϕ(x), u_t|t=0 = ψ(x),

(2)

где R¹⁺ = (0, +∞), R¹ = (-∞, +∞), штрих в уравнении обозначает дифференцирование по

u_x = ∂_xu = ∂u/∂x, коэффициенты α, β, γ - известные положительные числовые параметры,

нелинейность σ(·) - заданная функция, не равная тождественно нулю.

Задача Коши исследуется в банаховом пространстве C[R¹] [1, гл. 8, § 1] непрерывных функ-

ций g = g(x), для которых существуют оба предела при x → ±∞, полагая, что начальные

функции ϕ(x), ψ(x) и искомое классическое решение∗) u = u(t, x), (t, x) ∈ R¹⁺ × R¹, R¹⁺ =

= [0, +∞), вместе с частными производными, входящими в уравнение (1), для всех значений

временной переменной t по переменной x принадлежат C[R¹].

Будем обозначать C(k)[R¹] = {g(x) ∈ C[R¹] : g^′(x), . . . , g(k)(x) ∈ C[R¹]}, k ∈ N, подмноже-

ства в пространстве C[R¹], наделённом нормой ∥g∥_C = sup |g(x)|.

x∈R¹

Нелинейность уравнения (1): σ(r), r ∈ R¹, - дважды непрерывно дифференцируемая

функция, модуль которой |σ(r)| при r ≥ 0 является непрерывной неубывающей функцией и

для всех g(x) ∈ C[R¹] справедливы оценки



(

)



sup

|σ(i)(g(x))| ≤σ(i) sup |g(x)|

i = 0,1,2.

(3)

^,

x∈R¹

Если в уравнении (1) коэффициент β = 0, а функция σ(r) = ηr, где η = const, то при-

ходим [2, гл. 13] к уравнению колебаний кручения цилиндрического стержня (вала) при учё-

те внутреннего и внешнего затухания (коэффициенты α и γ характеризуют соответственно

внутреннее и внешнее затухания вала), при этом u = u(t, x) - угол скручивания в сечении вала.

Если коэффициенты β = γ = 0, то приходим к уравнению, которое описывает распро-

странение продольных волн напряжения вдоль одномерного вязкоупругого стержня, матери-

ал которого подчиняется закону деформирования среды Фойгхта-Кельвина [3, §§ 4.3, 6.4], где

∗) Под классическим решением понимается достаточно гладкая функция, имеющая все непрерывные про-

изводные нужного порядка и удовлетворяющая уравнению в каждой точке области его задания.

4^∗

УМАРОВ

x - координата, характеризующая положение поперечного сечения стержня, u = u(t,x) - про-

дольное перемещение за время t, α - коэффициент вязкости, σ(·) - напряжение (внутренняя

сила, возникающая в процессе деформации стержня).

Изучению различных аспектов уравнения (1) и его многомерных аналогов и обобщений по-

священо большое количество работ (см. работы [2-8] и библиографию в них). В работах [4-8]

исследуются вопросы существования и поведения решений различных начально-краевых за-

дач для уравнений в частных производных третьего порядка, подобных уравнению (1) (в [4, 5]

производная функции σ(r) удовлетворяет условию σ^′(r) > 0; в [7, 8] производная σ^′(r) пе-

ременного знака: |σ′(r)| ≤ c = const в [7] и -σ′(r) ≤ c = const в [8]; в [6] предполагается

существование h > 0 такого, что (σ(r₁) - σ(r₂))(r₁ - r₂) > 0, как только |r₁ - r₂| ≥ h).

Наряду с уравнением (1), будем рассматривать уравнение

v_tt - αv_txx - βv_tx + γv_t = ∂2xσ(v),

(4)

получающееся из (1) после дифференцирования его обеих частей по x и последующей заме-

ны v = u_x. Для этого уравнения начальные условия примут вид

v|t=0 = ϕ^′(x), v_t|t=0 = ψ^′(x).

(5)

Исследование задачи Коши (1), (2) проведём по следующему плану. Вначале, для того что-

бы убедиться, что постановка задачи Коши (4), (5) корректна и локальное по времени реше-

ние существует, выведем соответствующее задаче (4), (5) нелинейное интегральное уравнение.

Используя его, найдём временной отрезок существования и единственности классического ре-

шения задачи Коши (4), (5) и оценку нормы в C[R¹] этого локального по времени решения.

Затем, установив связь между существованием локальных решений уравнений (4) и (1), найдём

условия существования глобального решения и разрушения решения на конечном временном

отрезке для задачи Коши (1), (2).

1. Существование и единственность локального решения задачи Коши (4), (5).

Теорема 1. Пусть параметры α, β удовлетворяют условию α ≥ β², начальные функ-

ции ϕ(x), ψ(x) удовлетворяют условиям ϕ(x) ∈ C⁽³⁾[R¹], ψ(x) ∈ C⁽¹⁾[R¹], а нелинейность

σ(·) подчиняется требованиям (3). Тогда на отрезке t ∈ [0, t₀] существует единственное

классическое решение v = v(t, x) задачи Коши (4), (5) в пространстве C[R¹], для которого

справедлива оценка ∥v(t,x)∥_C ≤ H(t), t ∈ [0,t₀], в которой как мажоранта нормы решения,

так и длина отрезка t₀ определяются параметрами α, β, γ уравнения (1), начальными

функциями ϕ(x), ψ(x) и нелинейностью σ(·).

Доказательство. Полагая, что на некотором временном отрезке [0, T ] решение задачи

Коши (4), (5) существует, а начальные функции ϕ(x), ψ(x) достаточно гладкие, проинтегри-

руем обе части уравнения (4) по временной переменной t:

∫^t

v_t - αv_xx - βv_x + γv = v₀(x) +

∂2xσ(v)ds, t ∈ [0,T],

(6)

где v₀(x) = ψ^′(x) - αϕ^′′′(x) - βϕ^′′(x) + γϕ^′(x). Начальное условие для полученного интегро-

дифференциального уравнения первого порядка (6):

v|t=0 = ϕ^′(x).

(7)

Задачу Коши (6), (7) будем исследовать в банаховом пространстве C_T = C([0, T ], C[R¹])

непрерывных абстрактных функций V = V (t) : [0, T ] ∋ t → v = v(t, x) ∈ C[R¹], наделённом

нормой

∥V ∥CT = max

∥V (t)∥_C = sup

|v(t, x)|.

t∈[0,T ]

x∈R¹

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№1

2023

РАЗРУШЕНИЕ РЕШЕНИЯ И ГЛОБАЛЬНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ ЗАДАЧИ КОШИ

Прежде чем приступить к записи уравнения (6) в абстрактной форме, напомним, что в

пространстве C[R¹] [1, гл. 8, § 1; 9, § 1.3] дифференциальные операторы ∂_x (с областью опре-

деления D(∂_x) = C⁽¹⁾[R¹]) и ∂2x (D(∂2x) = C⁽²⁾[R¹]) являются производящими операторами

сильно непрерывных сжимающих соответственно группы

U (t; ∂_x)g(x) = g(x + t), t ∈ R¹,

и полугруппы

∫

U (t; ∂2x)g(x) =

√

e-ξ2/(4t)g(x + ξ)dξ, t ∈ R¹⁺,

πt

-∞

класса C₀.

Для функции g = g(x) ∈ C⁽²⁾[R¹] справедливо неравенство ∥g^′∥2C ≤ 4∥g^′′∥_C ∥g∥_C (см. [9,

§ 7.1]), используя которое заключаем, что оператор β∂_x подчинен оператору α∂2x с границей,

не превышающей β²/α. Но тогда при выполнении условия β² ≤ α возмущённый оператор

A₀ = α∂2x + β∂_x, D(A₀) = C⁽²⁾[R¹],

является [9, § 8.1] производящим оператором сжимающей сильно непрерывной полугруппы

класса C₀ :

∥U(t; A₀)∥ ≤ 1, причём полуось R¹⁺ принадлежит резольвентному множеству

оператора A₀.

Введём в рассмотрение оператор

A = A₀ - γI, D(A) = C⁽²⁾[R¹],

где I - тождественный оператор. На произвольном элементе g(x) ∈ C[R¹] справедливы пред-

ставление полугруппы порождаемой оператором A:

∫

-γt

U (t; A)g(x) = e^-γtU(βt; ∂_x)U(αt; ∂2x)g(x) =

√

e-(ξ-x-βt)2/(4αt)g(ξ)dξ

παt

-∞

и оценка нормы

∥U(t; A)∥ ≤ e^-γt ≤ 1, t ≥ 0.

(8)

Из оценки (8) следует, что числовая полуось λ > -γ принадлежит резольвентному мно-

жеству оператора A, и значит, оператор A имеет ограниченный обратный: D(A-1) = C[R¹],

и для всех g(x) ∈ C[R¹] справедливы представление

+∞

∫

√

A-1g(x) = - e^-γsU(s;A₀)g(x)ds = -

eβξ-2

αδ|ξ|g(x + 2αξ) dξ,

-∞

где∗) обозначено δ = γ + β²/(4α), и оценка нормы

∥A-1∥ ≤ 1/γ.

(9)

Используя неравенство

√

∥∂_xU(t; A₀)g(x)∥_C ≤ ∥g(x)∥_C /

παt, t > 0, g(x) ∈ C[R¹],

(10)

для линейного ограниченного оператора

A₁ = ∂_xA-1, D(A₁) = C[R¹],

√

∗) Заметим, что βξ - 2

αδ|ξ| = 2

αδ|ξ|K(ξ) < 0, где K(ξ) = sgn (ξ)β/(2

αδ) - 1, ξ ∈ R¹.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№1

2023

УМАРОВ

получим представление

+∞

√

A₁g(x) = K(ξ)eβξ-2

αδ|ξ|g(x + 2αξ) dξ

-∞

и оценку нормы

∥A₁∥ ≤ 1/√αγ.

(11)

Учитывая полученные формулы для операторов A-1 и A₁, выводим представление для

линейного ограниченного оператора

A₂ = ∂2xA-1 = α-1(I + γA-1 - βA₁), D(A₂) = C[R¹],

на произвольном элементе g(x) ∈ C[R¹]:

(

∫

(

√

)

√

A₂g(x) = α-1 g(x) -

+ βK(ξ) eβξ-2

αδ|ξ|g(x + 2αξ) dξ ,

(12)

−∞

и оценку нормы

∥A₂∥ ≤ μ = α-1(2 + β/√αγ).

(13)

Теперь уравнение (6) в пространстве C_T можно записать в абстрактном виде:

∫^t

V ′(t) - AV (t) = V₀ + A A₂σ(V (s)) ds, t ∈ [0,T],

(14)

где обозначено V^′(t) = dV (t)/dt и V₀ = V^′(0) - AV (0).

Применив к обеим частям уравнения (14) полугруппу U(t-τ; A), предварительно заменив

в (14) переменную t на τ, получим

(

∫

)

(U(t - τ; A)V )^′τ = U(t - τ; A) V₀ + A A₂σ(V (s)) ds

откуда, интегрируя обе части по переменной τ в пределах от 0 до t, выводим формулу

∫t

∫

(∫τ

)

V (t) = U(t; A)V (0) + U(t - τ; A)V₀ dτ + U(t - τ; A)A

A₂σ(V (s))ds dτ.

(15)

Первый интеграл в правой части (15) равен

∫t

J₁ = V (0) - U(t;A)V (0) + U(τ;A)V^′(0)dτ,

откуда, используя обратимость оператора A, имеем J₁ = [U(t; A) - I][A-1V^′(0) - V (0)].

Интегрируя по частям, вычисляем второй интеграл в (15):

∫^t

(∫τ

)

J₂ = - (U(t - τ;A))^′

A₂σ(V (s))ds dτ =

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№1

2023

РАЗРУШЕНИЕ РЕШЕНИЯ И ГЛОБАЛЬНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ ЗАДАЧИ КОШИ

∫^t

∫t

= - A₂σ(V (s))ds + U(t - τ;A)A₂σ(V (τ))dτ.

Подставив в равенство (15) найденные значения J₁ и J₂, получим абстрактное нелинейное

интегральное уравнение, соответствующее задаче Коши (6), (7):

∫t

V (t) = W (t) +

[U(t - τ; A) - I]A₂σ(V (τ)) dτ , t ∈ [0, T ],

(16)

где W (t) = V (0) + [U(t; A) - I]A-1V^′(0) и ∥W (t)∥_C ≤ p = ∥ϕ^′∥_C + 2γ-1∥ψ^′∥_C .

Непрерывное решение интегрального уравнения (16) называется обобщённым решением

задачи Коши (6), (7).

Пусть V_i = V_i(t), i = 1, 2, - произвольные функции, принадлежащие замкнутому шару

C_T,P пространства C_T :

∥V_i(t)∥

≤ P = const. Из непрерывной дифференцируемости по

C_T

Фреше оператора суперпозиции в пространстве непрерывных функций, а значит, оценки

∥σ(V₂) - σ(V₁)∥CT ≤ l_T,P ∥V₂ - V₁∥

C_T

в которой lT,p = sup

∥σ^′(V )∥CT , и ограниченности линейных операторов A₂ и U(t; A)

V ∈C_T,P

следует, что нелинейный оператор

∫t

(ΦV )(t) = W (t) +

[U(t - τ; A) - I]A₂σ(V (τ)) dτ , t ∈ [0, T ],

непрерывно отображает пространство C_T в себя и, более того, удовлетворяет локальному

условию Липшица в шаре C_T,P :

∥(ΦV₂)(t) - (ΦV₁)(t)∥CT ≤ tL_T,P ∥V₂ - V₁∥

C_T

где величина tL_T,P = 2∥A₂∥l_T,P t < 1, если t < α√αγ/(2lT,P (β +√αγ)). При этом если вы-

полняется условие p < (1 - L_T,p)P, то шар C_T,P оператором Φ отображается в себя и Φ есть

оператор сжатия в пространстве C_T . Следовательно, существует временной отрезок [0, T₁],

где T₁ < min{1/L_T,P ; (P - p)/L_T,P }, на котором задача Коши (6), (7) имеет единственное обоб-

щённое решение V = V (t), t ∈ [0, T₁], т.е. единственное непрерывное решение интегрального

уравнения (16) в шаре C_T,P .

Из интегрального уравнения (16), используя оценки (13), (8) и (3), выводим интегральное

неравенство

∫t

∥v(t, x)∥_C ≤ p + 2μ

|σ(∥v(s, x)∥_C )| ds, t ∈ [0, T₁],

из которого в силу леммы Бихари [10, § 1.4] следует оценка нормы решения интегрального

уравнения (16) на отрезке [0, t₀] ⊆ [0, T₁]:

∥v(t, x)∥_C ≤ H(t) = G-1(G(p) + 2μt),

(17)

∫_λ

где G(λ) =

|σ(s)|-1 ds (ξ > 0, λ > 0), G-1(·) - обратная к G(·) функция, а отрезок

[0, t₀] определяется условием принадлежности значений G(p) + 2μt при t ∈ [0, t₀] области

определения функции G-1(·).

Таким образом, на временном отрезке [0, t₀] существует обобщённое решение V (t) задачи

Коши (6), (7), для нормы которого справедлива оценка (17) в пространстве C[R¹].

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№1

2023

УМАРОВ

Теперь выясним, когда обобщённое решение V (t), t ∈ [0, t₀], задачи Коши (6), (7), будет

классическим решением уравнения (4). Прежде всего отметим, что функция

∫t

∫

V (t) = W (t) + U(t - τ; A)A₂σ(V (τ)) dτ - A₂σ(V (τ)) dτ , t ∈ [0, t₀],

определяемая правой частью интегрального уравнения (16), является решением уравнения

V ′(t) = AQ(t) + V₀,

(18)

где

∫t

Q(t) = V (t) + A₂σ(V (s)) ds = W (t) + U(t - τ; A)A₂σ(V (τ)) dτ ,

(19)

если функция Q(t) принимает значения из области определения оператора A, и при этом

функция AQ(t) непрерывна на отрезке [0, t₀]. Чтобы убедиться в этом, представим функцию

Q(t) в виде

Q(t) = W (t) +

(I + γA-1 - βA₁)J(t),

(20)

где

∫t

J (t) = U(t - τ; A)σ(V (τ)) dτ , t ∈ [0, t₀].

Требуемые от функции Q(t) свойства будут выполнены, если таковыми обладают функции

W (t) и J(t) : t → j(t, x).

Чтобы проверить принадлежность J(t) ∈ D(A) и непрерывность AJ(t) на отрезке [0, t₀],

перейдём к образу j(t, x) функции J(t) в пространстве C[R¹]:

∫

dτ

j(t, x) =

√απe-γτ

√τe-ξαβ(x,τ)σ(v(t-τ,ξ))dξ,(t,x)∈[0,t0]×R1,

-∞

где ξ_αβ (x, τ) = (ξ - x - βτ)²/(4ατ), для нормы которого справедлива цепочка неравенств

∫

∥j(t, x)∥_C ≤

√πe-γτ dτe-η2 |σ(∥v(t-τ,ηαβ(x,τ))∥C)|dη≤

-∞

∫t

∫

≤

e^-γτ dτ

e-η2 dη ≤h,

(21)

τ ∈[0,t₀]

здесь η_αβ (x, τ) = x + βτ + 2η√ατ и h = max |σ(H(τ))|.

τ ∈[0,t₀]

Покажем, что функция j(t, x) дважды непрерывно дифференцируема по переменной x в

полосе (t, x) ∈ [0, t₀] × R¹.

Для производной функции j(t, x) по переменной x справедлива формула

∫

dτ

j_x(t,x) =

√απe-γτ

√τηe-η2 σ(v(t-τ,ηαβ(x,τ)))dη,

-∞

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№1

2023

РАЗРУШЕНИЕ РЕШЕНИЯ И ГЛОБАЛЬНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ ЗАДАЧИ КОШИ

а для нормы - неравенства

∫

dτ

∥j_x(t, x)∥_C ≤

|η|e-η2 |σ(H(t - τ))| dη ≤

√απe-γτ

√τ

√απe-γτ

√τηe-η2 dη.

-∞

Отсюда следует оценка

∥j_x(t, x)∥_C ≤

(22)

√αγ

и, значит, равномерная сходимость при (t, x) ∈ [0, t₀] × R¹ интеграла, определяющего j_x(t, x).

Из соотношений (20)-(22), (11), (13) и (9) следует, что на отрезке [0, t₀] норма абстрактной

функции ∂_xQ(t) ограничена константой:

(

)

2β

β²

∥∂_xQ(t)∥_C ≤ ∥ϕ^′′∥_C +

= q₁, t ∈ [0,t₀].

√αγ∥ψ′∥^C +

α√αγ

√αγ⁺

αγ

Вернёмся к равенствам (19) и запишем в подробной форме первое из них (не применяя,

чтобы не усложнять запись, представление (12) линейного ограниченного оператора A₂):

(∫t

)

v(t, x) = q(t, x) - A₂

σ(v(s, x)) ds

(23)

где q(t, x) - образ вектор-функции Q(t) в пространстве C[R¹]. Формально вычислим∗) част-

ную производную по переменной x от обеих частей равенства (23):

(∫t

)

v_x(t,x) = q_x(t,x) - A₂

σ^′(v(s,x))v_x(s,x)ds

При этом оператор A₂ вычисляется по формуле (12) от функции, определяемой интегралом

∫t

σ^′(v(s,x))v_x(s,x)ds ∈ C[R¹], а из полученного интегрального уравнения следует интеграль-

ное неравенство

∫t

∥v_x(t, x)∥_C ≤ q₁ + μh₁

∥v_x(s, x)∥_C ds,

где h₁ = max |σ^′(H(τ))|, из которого в силу леммы Гронуолла [10, § 1.1] выводится оценка

τ ∈[0,t₀]

нормы частной производной

∥v_x(t, x)∥_C ≤ h₂, t ∈ [0, t₀],

(24)

здесь h₂ = q₁eμh1t⁰ .

Для производной второго порядка функции j(t, x) по переменной x справедливы формула

∫t

∫

dτ

j_xx(t,x) =

√απe-γτ

√τηe-η2 σ^′(v(t-τ,ηαβ (x,τ)))vx(t-τ,ηαβ (x,τ))dη

-∞

и при t ∈ [0, t₀] оценка

∫

dτ

∥j_xx(t, x)∥_C ≤

|η|e-η2 |σ^′(∥v(t - τ, η_αβ (x, τ))∥_C )| ×

√απe-γτ

√τ

-∞

∗) Для элементов банахова пространства C[R¹] справедлива оценка ∥ϕ · ψ∥_C ≤ ∥ϕ∥_C ∥ψ∥_C , в силу чего с

ним можно работать как с алгеброй [11, § 6.1].

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№1

2023

УМАРОВ

h₁h₂

× ∥v_x(t - τ, η_αβ (x, τ))∥_C dη ≤

(25)

√αγ.

Таким образом, функция j(t, x) дважды непрерывно дифференцируема по переменной x

в полосе (t, x) ∈ [0, t₀]×R¹, что означает принадлежность значений функции J(t), а значит, в

силу (20) и функции Q(t), области определения оператора A при t ∈ [0, t₀], причём функции

AJ(t), AQ(t) непрерывны на отрезке [0, t₀], но тогда из равенства (18) следует непрерывность

производной V^′(t) обобщённого решения на отрезке [0, t₀].

Рассмотрим образ равенства (18) в пространстве C[R¹]:

v_t(t,x) = Aq(t,x)+v₀(x) = A[w(t,x)+α-1(I+γA-1-βA₁)j(t,x)]+v₀(x) = U(t;A)ψ^′(x)+j_xx(t,x),

из которого следует оценка

∥v_t(t, x)∥_C ≤ h₃, (t, x) ∈ [0, t₀] × R¹,

(26)

где h₃ = ∥ψ^′∥_C + h₁h₂/√αγ.

Заметим, что из первого равенства в (19) следует соотношение Q^′(t) = V^′(t) + A₂σ(V (t)),

устанавливающее непрерывность производной Q^′(t) на отрезке [0, t₀].

Продифференцировав обе части равенства (18), имеем V^′′(t) = AQ^′(t). Поэтому, чтобы

доказать, что обобщённое решение V (t), t ∈ [0, t₀], задачи Коши (6), (7) будет классическим

решением уравнения (4), осталось показать принадлежность значений функции Q^′(t) ∈ D(A)

и непрерывность функции AQ^′(t) при t > 0.

Из равенства (20) следует

AQ(t) = AW (t) + α-1(A + γI - βAA₁)J(t),

(27)

где AA₁ = (α∂2x +β∂_x -γI)∂_xA-1 = αA₃ +βA₂ -γA₁, здесь A₃ = ∂3xA-1 = α-1(∂_x -βA₂ +γA₁),

поэтому AA₁ = ∂_x, и тогда равенство (27) примет вид

AQ(t) = AW (t) + α-1(A + γI - β∂_x)J(t)

или, учитывая определение оператора A и соотношения AW (t) = AV (0)+[U(t; A)-I]V^′(0) =

= U(t;A)V ^′(0) - V₀, имеем

AQ(t) = U(t; A)V^′(0) + ∂2xJ(t) - V₀, t ∈ [0, t₀].

(28)

Из соотношений (20)-(22), (28), (25), (11) и (13) следует, что на отрезке [0, t₀] норма функ-

ции ∂2xQ(t) ограничена константой:

(

)

∥∂2xQ(t)∥_C = ∥q_xx(t, x)∥_C ≤ ∥ϕ^′′′∥_C +

∥ψ^′∥_C +

√αγ

[

(

)(

))]

⁽ 2β

= q₂, t ∈ [0,t₀].

(29)

α√αγh1h2 +

√α

√α⁺

√γγ+

√αγ

Формально вычислив производную по переменной x от обеих частей равенства (23), по-

лучим

(∫t

)

v_xx(t,x) = q(t,x) - A₂

σ^′(v(s,x))v_xx(s,x)ds ,

(30)

где обозначено

(∫t

)

q(t, x) = q_xx(t, x) - A₂

σ^′′(v(s,x))v2x(s,x)ds

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№1

2023

РАЗРУШЕНИЕ РЕШЕНИЯ И ГЛОБАЛЬНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ ЗАДАЧИ КОШИ

причём согласно соотношениям (29), (13), (17) и (24) имеем ∥q(t, x)∥_C ≤ h₅, где h₅ = q₂ +

+ μt₀h²²h₄ и h₄ = max |σ^′′(H(τ))|.

τ ∈[0,t₀]

Из интегрального уравнения (30) следует интегральное неравенство

∫t

∥v_xx(t, x)∥_C ≤ h₅ + μh₁

∥v_xx(s, x)∥_C ds,

из которого в силу леммы Гронуолла вытекает оценка нормы частной производной

∥v_xx(t, x)∥_C ≤ h₆, t ∈ [0, t₀],

(31)

где h₆ = h₅eμh1t⁰ .

Теперь вернёмся к образу равенства (18) в пространстве C[R¹] и вычислим производную

по переменной x от обеих частей этого равенства: v_tx(t, x) = ∂_xAQ(t) + v′0(x), или согласно

соотношению (27)

v_tx(t,x) = ∂_xU(t;A)ψ^′(x) + j_xxx(t,x), t ∈ [0,t₀].

(32)

Используя неравенство (10), оценим норму первого слагаемого в правой части (32):

√

∥∂_xU(t; A)ψ^′(x)∥_C ≤ e^-γt∥ψ^′∥_C /

παt,

0<t≤t₀.

(33)

Для второго слагаемого из (32) имеем представление

∫

dτ

j_xxx(t,x) =

√απe-γτ

√τηe-η2 [σ′′(v(t-τ,ηαβ(x,τ)))vx(t-τ,ηαβ(x,τ))+

-∞

+ σ^′(v(t - τ,η_αβ(x,τ)))v_xx(t - τ,η_αβ(x,τ))]dη

и с учётом неравенств (3), (17), (24) и (31) оценку

∫

dτ

∥j_xxx(t, x)∥_C ≤

|η|e-η2 [|σ^′′(H(t - τ))|h²² +

√απe-γτ

√τ

-∞

h²²h₄ + h₁h₆

+ |σ^′(H(t - τ))|h₆] dη ≤

= h₇, t ∈ [0,t₀].

(34)

√αγ

Таким образом, применив неравенства (33) и (34), имеем оценку

∥ψ^′∥_C

h₈

∥v_tx(t, x)∥_C ≤ e^-γt

√

+h₇ ≤

√

+h₇,

0<t≤t₀,

(35)

παt

где h₈ = ∥ψ^′∥_C /√απ.

Для того чтобы получить оценку производной v_txx(t, x) = ∂2xV^′(t), в силу соотношения (23)

надо знать оценку нормы производной q(t, x) = Q(t), и так как согласно (20)

Q^′(t) = U(t;A)V^′(0) +

(I + γA-1 - βA₁)J^′(t),

то надо знать оценки производных функции j(t, x) = J(t).

Для образа в пространстве C[R¹] функции J^′(t):

∫

dτ

j_t(t,x) = U(t;A)σ(V (0)) +

√απe-γτ

√τe-ξαβ (x,τ)σ^′(v(t-τ,ξ))vt(t-τ,ξ)dξ,

-∞

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№1

2023

УМАРОВ

используя неравенства (26), выводим оценку

∥J^′(t)∥_C = ∥j_t(t, x)∥_C ≤

∫

dτ

≤ e^-γt|σ(∥V (0)∥_C)| +

√απe-γτ

√τe-ξαβ (x,τ)|σ′(∥v(t-τ,ξ)∥C )|∥vt(t-τ,ξ)∥C dξ≤

-∞

∫

h₁h₃

≤ |σ(∥ϕ^′∥_C )| +

√πe-γτ dτe-s2 ds=|σ(∥ϕ′∥^C)|+h1h³ =h9.

-∞

Образ ∂_xJ^′(t) есть смешанная производная

j_tx(t,x) = ∂_xU(t;A)σ(V (0)) +

∫t

∫

dτ

4α

√απe-γτ

√τ(ξ-x-βτ)e-ξαβ(x,τ)σ^′(v(t-τ,ξ))vt(t-τ,ξ)dξ=

-∞

∫

dτ

= ∂_xU(t;A)σ(V (0)) +

√απe-γτ

√τηe-η2 σ^′(v(t-τ,ηαβ(x,τ)))vt(t-τ,ηαβ(x,τ))dη,

-∞

для которой, применяя неравенство (10), найдём оценку нормы

√

∥∂_xJ^′(t)∥_C = ∥j_tx(t, x)∥_C ≤ e^-γt|σ(∥ϕ^′∥_C )|/

παt +

∫

dτ

|η|e-η2 |σ^′(H(t - τ))|∥v_t(t - τ, η_αβ (x, τ))∥_C dη ≤√10

+h₁₁,

√απe-γτ

√τ

-∞

где h₁₀ = |σ(∥ϕ^′∥_C )|/√απ и h11 = h1h3/√αγ.

Образ ∂2xJ^′(t) есть производная третьего порядка:

∫

dτ

j_txx(t,x) = ∂2xU(t;A)σ(V (0)) +

√απe-γτ

√τ×

+∞

× ηe-η2[σ^′′(v(t - τ,η_αβ(x,τ)))v_t(t - τ,η_αβ(x,τ))v_x(t - τ,η_αβ(x,τ)) +

-∞

+ σ^′(v(t - τ,η_αβ(x,τ)))v_tx(t - τ,η_αβ(x,τ))]dη.

(36)

Используя неравенства (17), (24), (26), (35) и ∥∂2xU(t; A)σ(V (0))∥_C ≤ e^-γt|σ(∥ϕ^′∥_C )|/(αt),

0 < t ≤ t₀, получим оценку функции (36):

∥∂2xJ^′(t)∥_C = ∥j_txx(t, x)∥_C ≤ e^-γt|σ(∥ϕ^′∥_C )|/(αt) +

∫

[

(

)]

dτ

h₈

|η|e-η2 |σ′′(H(t - τ))|h2h3 + |σ′(H(t - τ))|

√απe-γτ

√τ

√t - τ+h7 dη≤

-∞

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№1

2023

РАЗРУШЕНИЕ РЕШЕНИЯ И ГЛОБАЛЬНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ ЗАДАЧИ КОШИ

∫

(

)

h₁₀

^√π

dτ

h₈

≤

se-s2 h2h3h4 + h7 +

h₁

ds =

√απe-γτ

√τ

√t - τ

)

h₁₀

^√π

⁽h₂h₃h₄ + h₁h₇

h₁₀

^√π

+h₁h₈

√π =

+h₁₂,

0<t≤t₀,

(37)

√α

√γ

где обозначено h₁₂ = α-1/2(γ-1/2(h₂h₃h₄ + h₁h₇) + h₁h₈

√π).

Теперь вернёмся к рассмотрению уравнения (30). Производная по переменной t от обеих

частей этого уравнения приводит к соотношению

v_txx(t,x) = q_txx(t,x) - A₂(σ^′(v(t,x))v_xx(t,x) + σ^′′(v(t,x))v2x(t,x)),

(38)

в котором, согласно равенству (20), q_txx(t, x) есть образ в пространстве C[R¹] абстрактной

функции

[(

)

]

β²

βγ

∂2xQ^′(t) = ∂2xU(t;A)V^′(0) +

∂2xJ^′(t) -

∂_xJ^′(t) +

γ+

A₂ -

A₁ J^′(t).

Из представления (38), используя неравенства (37), (13), (24) и (31), выводим оценку

∥v_txx(t, x)∥_C ≤ ∥q_txx(t, x)∥_C + ∥A₂∥(|σ^′(∥v(t, x)∥_C )|∥v_xx(t, x)∥_C +

+ |σ^′′(∥v(t, x)∥_C )|∥v2x(t, x)∥_C ) ≤ h₁₀

√π/(t√α) + h₁₃, 0<t≤t0,

где h₁₃ = h₁₂ + μ(h₁h₆ + h₄h²²).

Чтобы завершить доказательство теоремы, осталось оценить производную второго порядка

v_tt(t,x). Использовав равенство (27), имеем

V ′′(t) = (α∂2x + β∂_x - γI)U(t;A)V ^′(0) + ∂2xJ^′(t),

следовательно,

∥v_tt(t, x)∥_C ≤ α∥∂2xU(t; A)V^′(0)∥_C + β∥∂_xU(t; A)V^′(0)∥_C + γ∥U(t; A)V^′(0)∥_C + ∥∂2xJ^′(t)∥_C ≤

√

h₁h₂

≤ e^-γt(∥ψ^′∥_C/t + β∥ψ^′∥_C/

απt + γ∥ψ^′∥_C ) +

0<t≤t₀.

√αγ,

2. Связь между решениями уравнений (1) и (4). В дальнейших рассуждениях

L₂(R¹) - пространство функций, интегрируемых с квадратом, а W¹²(R¹) - пространство Со-

∫+∞

болева. Напомним определения скалярного произведения (ϕ, ψ) =

ϕ(x)ψ(x) dx и нормы

-∞

∫+∞

∥ϕ∥₂ = (

|ϕ(x)|² dx)1/2 в пространстве L₂(R¹) и оценку

-∞

∥g∥_C = sup

|g(x)| ≤ ∥g∥_W 1

= (∥g∥²² + ∥g^′∥²²)1/2,

(39)

x∈R¹

справедливую для функций g(x) ∈ C[R¹]

^⋂W¹²(R¹), причём если g(x) ∈ C⁽²⁾[R¹], то предел

функций g(x), g^′(x) при x → ±∞ равен нулю (см. [12]).

Лемма. Пусть выполнены условия теоремы 1 и пусть σ^′(0) = 0 в дополнение к услови-

ям (3), а классические решения u(t, x) и v(t, x) уравнений (1) и (4) и их частные производные

u_t(t,x) и v_t(t,x) для всех значений t ∈ [0,t₀] по переменной x принадлежат пересечению

пространств C[R¹] и W¹²(R¹). Тогда из существования локального классического решения

v = v(t,x), t ∈ [0,t₀], уравнения (4) следует существование соответствующего классическо-

го решения u = u(t,x) уравнения (1) на том же отрезке [0,t₀].

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№1

2023

УМАРОВ

Доказательство. Прежде всего отметим, что

lim

v(t, x) = lim

v_x(t,x) = lim

v_t(t,x) = lim

v_tx(t,x) = 0,

x→±∞

∫_x

поэтому

v_tξ(t,ξ)dξ = vt(t,x) и

v_tξξ(t,ξ)dξ = vtx(t,x). Далее, учитывая непрерыв-

-∞

∫_x

ность функции σ^′(·) и равенство σ^′(0) = 0, получим

(σ(v(t, ξ)))_ξξ dξ = (σ(v(t, x)))_x. Ис-

-∞

∫_x

пользуя полученные представления, убеждаемся, что функция u(t, x) =

v(t, ξ) dξ являет-

-∞

ся решением уравнения (1).

3. Условия существования глобального решения задачи Коши (1), (2). Полагая

t ∈ [0,t₀], введём в рассмотрение два функционала, связанных с уравнениями (1) и (4):

+∞

F₁(t) = (u,u) + (u_x,u_x) + (u_xx,u_xx) =

(u² + u2x + u2xx) dx

-∞

+^∞

F₂(t) = (u_t,u_t) + (u_tx,u_tx) + (u_txx,u_txx) =

(u2t + u2tx + u2txx) dx.

(40)

−∞

Теорема 2. Пусть выполнены условия леммы и теоремы 1, и пусть параметры урав-

нения (1) удовлетворяют условиям α,γ ≥ 2 и β ≤ 1, а начальные функции ϕ(x), ψ(x)

удовлетворяют условию γ∥ϕ∥2W1

+ α∥ϕ^′∥2W 1

+ 2∥ψ∥²² ≥ 2(ϕ + ϕ^′′, ψ). Тогда существует един-

ственное глобальное классическое решение u = u(t,x) ∈ C[R¹]

^⋂W¹²(R¹), t ≥ 0, x ∈ R¹,

задачи Коши (1), (2), для которого в пространстве C[R¹] справедлива оценка

∥u(t, x)∥_C = sup |u(t, x)| ≤ c₁ec2t, c1,2 = const ≥ 0,

x∈R¹

причём частные производные решения u_x(t,x), u_t(t,x), u_tx(x,t) для t ≥ 0, x ∈ R¹ также

принадлежат пересечению C[R¹]

^⋂W¹²(R¹).

Доказательство. Умножим обе части уравнения (1) на u = u(t, x) и проинтегрируем от

-∞ до +∞ по переменной x. Интегрируя по частям и учитывая, что lim

u_x(t,x) = 0,

x→±∞

получаем равенство

1 d

(α∥u_x∥²² + γ∥u∥²²) = (u, σ^′(u_x)u_xx) - β(u_x, u_t) - (u, u_tt),

(41)

2 dt

следовательно, интегрируя далее по переменной t, имеем

α∥u_x∥²² + γ∥u∥²² = α∥ϕ^′∥²² + γ∥ϕ∥²² +

∫t

∫

(u, σ^′(u_x)u_xx) dτ - 2β (u_x, u_τ ) dτ - 2 (u, u_ττ ) dτ .

(42)

Аналогично, умножив обе части уравнения (1) на u_xx, выводим равенство

1 d

(α∥u_xx∥²² + γ∥u_x∥²²) = (u_xx, u_tt) - β(u_xx, u_tx) - (u2xx, σ^′(u_x)),

(43)

2 dt

откуда следует

α∥u_xx∥²² + γ∥u_x∥²² = α∥ϕ^′′∥²² + γ∥ϕ^′∥²² +

∫^t

∫

(u_xx, u_ττ ) dτ - 2β (u_xx, u_τx) dτ - 2 (u2xx, σ^′(u_x)) dτ .

(44)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№1

2023

РАЗРУШЕНИЕ РЕШЕНИЯ И ГЛОБАЛЬНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ ЗАДАЧИ КОШИ

Складывая равенства (42) и (44), получаем

γ∥u∥²² + (α + γ)∥u_x∥²² + α∥u_xx∥²² =

∫

= γ∥ϕ∥2W1

+ α∥ϕ^′∥2W 1 + 2

(u, σ^′(u_x)u_xx) dτ - 2β (u_x, u_τ ) dτ - 2 (u, u_ττ ) dτ +

∫t

∫

(u_xx, u_ττ ) dτ - 2β (u_xx, u_τx) dτ - 2 (u2xx, σ^′(u_x)) dτ .

(45)

Применяя неравенство Коши-Буняковского, интегрируя по частям и используя условие (3),

последовательно рассмотрим интегралы в правой части равенства (45):

∫t

∫

(∫t

∫

)

(u, σ^′(u_x)u_xx) dτ ≤

(∥u∥²² + ∥σ^′(u_x)u_xx∥²²) dτ ≤

∥u∥²² dτ + h²

∥u_xx∥²² dτ

так как

∫

(

(

)

∫

)

∫



∥σ^′(u_x)u_xx∥²² dτ ≤

^′ sup |u_x|

u2xx dx dτ ≤ h²

∥u_xx∥²² dτ ;

^σ



x∈R

−∞

∫t

(∫t

∫

)

(u_x, u_τ ) dτ ≤

∥u_x∥²² dτ +

∥u_τ ∥²² dτ

;

∫t

∫

(u, u_ττ ) dτ =

[(u, u_τ )_τ - (u_τ , u_τ )] dτ = (u, uτ )|t0 -

∥u_τ ∥²² dτ

≤ (∥u∥²² + ∥u_t∥²²)/2 -

− (ϕ, ψ);

∫t

∫

(u_xx, u_ττ ) dτ =

[(u_xx, u_τ )_τ - (u_τxx, u_τ )] dτ

= (u_xx, u_t) - (ϕ^′′, ψ) + (u_τx, u_τx) dτ ≤

∫^t

≤ (∥u_t∥²² + ∥u_xx∥²²)/2 - (ϕ^′′, ψ) +

∥u_τx∥²² dτ ;

∫t

(∫t

∫

)

(u_xx, u_xτ ) dτ ≤

∥u_xx∥²² dτ +

∥u_τx∥²² dτ

;

∫t

∫



(

)

∫



(u2xx, σ^′(u_x)) dτ = dτ u2xxσ^′(u_x) dx ≤

^′ sup |u_x|

u_xx∥²

dτ ≤ h₁

∥u_xx∥²² dτ .

^σ

^∥

x∈R

-∞

С учётом найденных оценок интегралов и обозначения

h₁₄ = γ∥ϕ∥2W1

+ α∥ϕ^′∥2W 1 - 2(ϕ + ϕ^′′, ψ)

из (45) получим

∫^t

∫

(γ - 1)∥u∥²² + (α + γ)∥u_x∥²² + (α - 1)∥u_xx∥²² ≤ h₁₄ + 2∥u_t∥²² + β

∥u_τ ∥²² dτ + (β + 2)

∥u_τx∥²² dτ +

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№1

2023

УМАРОВ

∫^t

∫

∥u∥²² dτ + β

∥u_x∥²² dτ + (h²¹ + 2h₁ + β)

∥u_xx∥²² dτ .

(46)

Умножим обе части уравнения (1) на u_t и проинтегрируем от -∞ до +∞ по перемен-

ной x. Интегрируя по частям и учитывая, что lim

u_t(t,x) = 0, получаем равенство

x→±∞

1 d

∥u_t∥²² + α∥u_tx∥²² + γ∥u_t∥²² = (u_t, σ^′(u_x)u_xx),

(47)

2 dt

из которого с учётом неравенства Коши-Буняковского и условия (3) следует неравенство

∫t

∫

∥u_t∥²² + (2γ - 1)

∥u_τ ∥²² dτ + 2α

∥u_τx∥²² dτ ≤ ∥ψ∥²² + h²

∥u_xx∥²² dτ .

(48)

Пусть оба коэффициента α и γ уравнения (1) не меньше, чем величина (β/2 + 1)/2, тогда,

применив к неравенству (44) оценку (48), получим

(γ - 1)∥u∥²² + (α + γ)∥u_x∥²² + (α - 1)∥u_xx∥²² ≤

∫t

∫

≤ h₁₄ + 2∥ψ∥²² +

∥u∥²² dτ + β

∥u_x∥²² dτ + (2h²¹ + 2h₁ + β)

∥u_xx∥²² dτ .

Отсюда, полагая, что параметры α ≥ 2 и γ ≥ 2, и обозначая h₁₅ = h₁₄ + 2∥ψ∥²² и h₁₆ = 2h²¹ +

+ 2h₁ + β + 1, выводим интегральное неравенство

∫t

F₁(t) ≤ h₁₅ + h₁₆ F₁(τ)dτ, t ∈ [0,t₀].

(49)

Потребуем, чтобы начальные функции ϕ = ϕ(x) и ψ = ψ(x) удовлетворяли соотношению

γ∥ϕ∥2W 1

+ α∥ϕ^′∥2W 1

+ 2∥ψ∥²² - 2(ϕ + ϕ^′′, ψ) ≥ 0, тогда к неравенству (49) применима лемма

Гронуолла и, значит, на всей временной полуоси t ≥ 0 справедлива оценка

F₁(t) = ∥u∥²² + ∥u_x∥²² + ∥u_xx∥²² ≤ h₁₅eh16t, t ∈ R¹⁺.

(50)

Применив полученную оценку (50) к неравенству (48), приходим к интегральному нера-

венству

∫t

∥u_t∥²² ≤ ∥ψ∥²² + h²¹h₁₅eh16t/h₁₆ +

∥u_τ ∥²² dτ,

и, следовательно, по лемме Гронуолла имеет место оценка

(

)

∥u_t∥²² ≤ S₁(t) = ∥ψ∥²² + h² h¹⁵¹eh16t +

∥ψ∥²²t + h² h¹⁵¹eh16t et, t ∈ R1+.

(51)

h₁₆

h²

Умножим обе части уравнения (1) на u_tt и проинтегрируем от -∞ до +∞ по x. Тогда,

интегрируя по частям и учитывая, что lim

u_tx(t,x) = 0, получим равенство

x→±∞

1 d

(α∥u_tx∥²² + γ∥u_t∥²²) + ∥u_tt∥²² = β(u_tx, u_tt) + (σ^′(u_x)u_xx, u_tt),

(52)

2 dt

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№1

2023

РАЗРУШЕНИЕ РЕШЕНИЯ И ГЛОБАЛЬНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ ЗАДАЧИ КОШИ

из которого, используя условие (3) и обозначая h₁₇ = ∥ψ∥2W 1 max{α, γ}, следует цепочка нера-

венств

∫t

∫

α∥u_tx∥²² + γ∥u_t∥²² + 2

∥u_ττ ∥²² dτ ≤ h₁₇ + 2β (u_tx, u_ττ ) dτ + 2 (σ^′(u_x)u_xx, u_ττ ) dτ ≤

(∫t

∫

)

∫

≤h₁₇ +β

∥u_τx∥²² dτ +

∥u_ττ ∥²² dτ

+h²

∥u_xx∥²² dτ +

∥u_ττ ∥²² dτ.

Отсюда с учётом (50) выводим

∫t

∫

α∥u_tx∥²² + γ∥u_t∥²² + (1 - β)

∥u_ττ ∥²² dτ ≤ h₁₇ + h²¹h₁₅eh16t/h₁₆ + β

∥u_τx∥²² dτ

и, положив β ≤ 1, приходим к интегральному неравенству

∫^t

∥u_tx∥²² ≤ h₁₇ + h²¹h₁₅eh16t/h₁₆ + β

∥u_τx∥²² dτ.

Тогда в силу леммы Гронуолла получаем оценку

(

)

h₁₅

∥u_tx∥²² ≤ S₂(t) = h₁₇ + h² h¹⁵¹eh16t + β h17t + h2

eh16t e^βt, t ∈ R¹⁺.

(53)

h₁₆

¹h²

Умножим обе части уравнения (1) на u_txx и проинтегрируем от -∞ до +∞ по x. Инте-

грируя по частям и учитывая, что (u_tx, u_txx) = 0, получаем равенство

α∥u_txx∥²² + γ∥u_tx∥²² +^d

∥u_tx∥²² = -(σ^′(u_x)u_xx, u_txx),

из которого, уменьшая левую часть, используя неравенство Коши-Буняковского и оценку (50),

следует цепочка неравенств



d



α∥u_txx∥²

≤ ∥σ^′(u_x)u_xx∥₂∥u_txx∥₂ + ^

∥u_tx∥²²

(h²¹h₁₅eh16t + ∥u_txx∥²²) +

u_tx∥²²

≤

^,

^ dt∥

и так как α ≥ 2, то



d



∥u_txx∥²² ≤¹

h²¹h₁₅eh16t +

u_tx∥²²

(54)

^.

^ dt∥

Вернёмся к равенству (47): уменьшив его левую часть и одновременно применив неравен-

ство Коши-Буняковского к правой части с последующим применением оценок (50) и (51),

получим цепочку неравенств



d



u_t∥²²

2|(u_t, σ^′(u_x)u_xx)| ≤ ∥u_t∥²² + h²¹∥u_xx∥²² ≤ S₁(t) + h²¹h₁₅eh16t

≤

^ dt∥

и, значит,



d



u_t∥²²

S₁(t) + h²¹h₁₅eh16t.

≤

^ dt∥

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№1

2023

УМАРОВ

Теперь вернёмся к равенству (52): применим неравенство Коши-Буняковского к правой

части (52) с последующим применением оценок (50) и (53) и получим неравенства

(α∥u_tx∥²² + γ∥u_t∥²²) + 2∥u_tt∥²² ≤ β∥u_tx∥²² + β∥u_tt∥²² + h²¹∥u_xx∥²² + ∥u_tt∥²² ≤

≤ (β + 1)∥u_tt∥²² + S₂(t) + h²¹h₁₅eh16t,

откуда (так как α ≥ 2, а β ≤ 1) имеем



d



d



α^

∥u_tx∥²²



γ

u_t∥²²



∥u_tx∥²² + γd

∥u_t∥²² + (1 - β)∥u_tt∥²² ≤ S₂(t) + h²¹h₁₅eh16t

^-

≤

^ dt∥

и, значит,



d



u_tx∥²²

γS₁(t) + S₂(t) + (1 + γ)h²¹h₁₅eh16t.

(55)

≤

^ dt∥

Далее из неравенств (54) и (55) выводим оценку

(

)

∥u_txx∥²² ≤ γS₁(t) + S₂(t) +

+γ h²¹h₁₅eh16t.

(56)

Таким образом, из неравенств (51), (53) и (56) вытекает оценка на всей временной полу-

оси t ≥ 0 функционала (40):

(

)

F₂(t) = ∥u_t∥²² + ∥u_tx∥²² + ∥u_txx∥²² ≤ (1 + γ)S₁(t) + 2S₂(t) +

+γ h²¹h₁₅eh16t.

(57)

Из априорных оценок (50) и (57) следует, что классические решения u = u(t, x) и v =

= v(t,x) уравнений (1) и (4) соответственно принадлежат пространству W¹²(R¹) для всех

t ≥ 0, причём в силу неравенств (39) из (50) выводим оценку нормы решения u = u(t, x)

уравнения (1) в пространстве C[R¹]:

√

∥u(t, x)∥_C = sup |u(t, x)| ≤

h₁₅eh16t/2, t ≥ 0,

x∈R¹

обеспечивающую∗) существование глобального решения задачи Коши (1), (2).

4. Условия разрушения решения задачи Коши (1), (2) на конечном временном

отрезке. Введём в рассмотрение функционалы, связанные с уравнением (1):

+^∞

f₁(t) = (u,u) + (u_x,u_x) =

(u² + u2x) dx, t ∈ [0, t₀],

(58)

−∞

+∞

f₂(t) = (u_t,u_t) + (u_tx,u_tx) =

(u2t + u2tx) dx, t ∈ [0, t₀].

(59)

−∞

∗) Здесь, учитывая априорные оценки (50) и (57), используется следующий алгоритм [12]: принимаем v(t0, x)

за новую начальную функцию и отмечаем, что функция v(t0, x) обладает тем же набором свойств, которые,

будучи допущенными для функции v(0, x), позволили доказать существование как классического решения

v(t, x) уравнения (4) на отрезке 0 ≤ t ≤ t0, так и соответствующего ему решения u(t,x) уравнения (1) на

том же отрезке [0, t0], классическое решение v(t, x) с отрезка [0, t0] продолжается до классического решения

v(t, x), t ∈ [0, t0 + t1], где величина t1 зависит от параметров α, β, γ, начальных функций ϕ(x), ψ(x) и

нелинейности σ(·). Повторяя этот процесс достаточно большое число раз, получим неограниченное расширение

временного интервала, в течение которого гарантируется решение, т.е. получим классическое решение задачи

Коши для уравнения (1) на произвольном временном интервале.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№1

2023

РАЗРУШЕНИЕ РЕШЕНИЯ И ГЛОБАЛЬНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ ЗАДАЧИ КОШИ

Исследуем вопрос о разрушении решения уравнения (1) на некотором конечном временном

отрезке [0, t01] ⊆ [0, t0], т.е. получим достаточные условия возникновения разрыва второго

рода для функционала f₁(t). Отрезок [0, t₀₁] выбираем так, чтобы на нем выполнялось тре-

бование f₁(t) > 0, которое следует из начального условия f₁(0) = ∥ϕ∥2W 1 > 0.

Теорема 3. Пусть выполнены условия леммы и теоремы 1, и пусть параметры α, β,

γ, нелинейность σ(·) и начальные функции ϕ(x), ψ(x) удовлетворяют требованиям:

α > 1 + 2 max |σ^′(H(τ))|, γ > 1, β < 1,

τ ∈[0,t₀]

(

)

√

f′′1(0) + h₂₅f₁(0) + h₃₄ ≥ 0, f′1(0) >

4h₃₇/(h₃₃ - 4) + 2

h₄₀/(h₃₃ - 4) f₁(0) > 0,

в которых постоянные величины h_i = h_i(α, β, γ; ϕ, ψ; σ) определяются в ходе доказательства

теоремы. Тогда решение разрушается за конечное время T₀, и для времени существования

решения справедлива оценка сверху

1-h₃₃/4

(f₁(0))

t₀ < T₀ =

h₄₁

притом для функционала (58) имеет место оценка снизу

4h₃₇t/(h₃₃-4)

f₁(t) ≥

[(f₁(0))1-h33/⁴ - h₄₁t]4/(h33-⁴⁾

Доказательство. Применим к квадрату производной f′1(t) = 2(u, u_t)+ 2(u_x, u_tx) неравен-

ство Коши-Буняковского и получим вспомогательную оценку

(f′1(t))² ≤ 4f₁(t)f₂(t).

(60)

Вычисляя производную второго порядка функционала (58), выводим равенство, связыва-

ющее функционалы (58) и (59):

f₂(t) =

f′′1(t) + (u_xx - u,u_tt).

(61)

Из равенства (41) имеем

(u, u_tt) = (u, σ^′(u_x)u_xx) - β(u_x, u_t) - α(u_x, u_tx) - γ(u, u_t),

(62)

следовательно, применив неравенство Коши-Буняковского, получим цепочку неравенств

1+γ

|(u, u_tt)| ≤

∥u∥²² +α+β∥ux∥22 +β+γ∥ut∥22 +α∥utx∥22 +h1∥uxx∥22 ≤

h²¹

≤ h₁₈f₁(t) + h₁₉f₂(t) +

∥u_xx∥²²,

где обозначено h₁₈ = max{(α + β)/2, (1 + γ)/2} и h₁₉ = max{α/2, (β + γ)/2}.

Аналогично из равенства (43) имеем

(u_xx, u_tt) = (u2xx, σ^′(u_x)) + β(u_xx, u_tx) + α(u_x, u_tx) + γ(u, u_t)

(63)

и, значит,

)

⁽β

|(u_xx, u_tt)| ≤

∥u∥²² +α∥ux∥22 +γ∥ut∥22 +α+β∥utx∥22 +

+h₁

∥u_xx∥²² ≤

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№1

2023

5^∗

УМАРОВ

)

⁽β

≤ h₁₉f₁(t) + h₂₀f₂(t) +

+h₁

∥u_xx∥²²,

где обозначено h₂₀ = max{α/2, γ/2} и h₂₁ = max{(α + β)/2, γ/2}.

Одновременно рассмотрев соотношения (61)-(63), выводим равенство

f′′1(t) = f₂(t) + (u,u_tt) - (u_xx,u_tt) = f₂(t) + (u,σ^′(u_x)u_xx) - (u2xx,σ^′(u_x)) -

- 2γ(u, u_t) - β[(u_x, u_t) + (u_xx, u_tx)] - 2α(u_x, u_tx),

(64)

используемое для вычисления значения производной f′′1(t) в нуле.

Учитывая уравнение (1) и равенства (u_t, u_tx) = 0 и (u_txx, u_tx) = 0, найдём производную

функционала (59):

f2′(t) = (u_t,u_tt) - (u_txx,u_tt) =

= (u_t, σ^′(u_x)u_xx) - α∥u_tx∥²² - γ∥u_t∥²² - (u_txx, σ^′(u_x)u_xx) - α∥u_txx∥²² - γ∥u_tx∥²²,

затем, группируя слагаемые и интегрируя, получаем

∫t

∫

f₂(t) + 2α

∥u_τxx∥²² dτ + 2(α + γ)

∥u_τx∥²² dτ + 2γ

∥u_τ ∥²² dτ =

∫t

∫

= ∥ψ∥2W 1 + 2

(u_τ , σ^′(u_x)u_xx) dτ - 2 (u_τxx, σ^′(u_x)u_xx) dτ .

Далее, вычисляя второй интеграл в правой части последнего равенства

∫

[

∫

]

dx σ^′(u_x)(u2xx)_τ dτ =

σ^′(u_x)u2xx|t0 - u2xxσ^′′(u_x)u_τx dτ dx =

−∞

-∞

∫t

= (σ^′(u_x), u2xx) - (σ^′(ϕ^′), (ϕ^′′(x))²) - (u_τx, σ^′′(u_x)u2xx) dτ

и обозначая h₂₂ = ∥ψ∥2W 1 + (σ^′(ϕ^′), (ϕ^′′(x))²), получаем

∫t

∫

f₂(t) + 2α

∥u_τxx∥²² dτ + 2(α + γ)

∥u_τx∥²² dτ + 2γ

∥u_τ ∥²² dτ =

∫t

∫

= h₂₂ - (u2xx,σ^′(u_x)) + 2 (u_τ,σ^′(u_x)u_xx)dτ + (u_τx,σ^′′(u_x)u2xx)dτ.

(65)

Умножим обе части равенства (65) на пока неопределённое положительное число k ≥ 2 и

сложим равенства (64) и (65), предварительно записав (64) в виде

2f₂(t) = f′′1(t) - 2(u, σ^′(u_x)u_xx) + 2(u2xx, σ^′(u_x)) + 4α(u_x, u_tx) + 2β[(u_x, u_t) + (u_xx, u_tx)] + 4γ(u, u_t).

Тогда, используя оценку (24) и обозначая

sup

(σ^′′(u_x))²u2xx ≤ h²² max (σ^′′(H(t)))² = h₂₃,

x∈R¹

t∈[0,t₀]

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№1

2023

РАЗРУШЕНИЕ РЕШЕНИЯ И ГЛОБАЛЬНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ ЗАДАЧИ КОШИ

получаем соотношения

∫t

∫

(2 + k)f₂(t) + 2kα

∥u_τxx∥²² dτ + 2k(α + γ)

∥u_τx∥²² dτ + 2kγ

∥u_τ ∥²² dτ =

∫t

∫

= kh₂₂ + 2k (u_τ ,σ^′(u_x)u_xx)dτ + k (u_τx,σ^′′(u_x)u2xx)dτ - (k - 2)(u2xx,σ^′(u_x)) -

− 2(u, σ^′(u_x)u_xx) + f′′1(t) + 4α(u_x, u_tx) + 2β[(u_x, u_t) + (u_xx, u_tx)] + 4γ(u, u_t) ≤

≤ kh₂₂ + f′′1(t) + (1 + 2γ)∥u∥²² + (2α + β)∥u_x∥²² + (β + 2γ)∥u_t∥²² + (2α + β)∥u_tx∥²² +

∫t

∫

∥u_τ ∥²² dτ +^k

∥u_τx∥²² dτ + kh²

∥u_xx∥²² dτ +^k

∥σ^′′(u_x)u2xx∥²² dτ +

+ (β + h²¹)∥u_xx∥²² + |k - 2||(u2xx, σ^′(u_x))| ≤

∫t

≤ kh₂₂ + f′′1(t) + (2α + β + 2γ + 1)f₁(t) + 2(α + β + γ)f₂(t) + k

∥u_τ ∥²² dτ +

∫

(

)∫ t

∥u_τx∥²² dτ + (β + h²¹ + |k - 2|h₁)∥u_xx∥²² + k h²¹ +h23

∥u_xx∥²² dτ ,

откуда выводим неравенство

(

)∫ t

∫

(k + 2 - 2(α + β + γ))f₂(t) + k

2α + 2γ -

∥u_τx∥²² dτ + k(2γ - 1)

∥u_τ ∥²² dτ ≤

∫^t

≤ kh₂₂ + f′′1(t) + (2α + β + 2γ + 1)f₁(t) + (β + h²¹ + |k - 2|h₁)∥u_xx∥²² + k(h²¹ + h₂₃/2)

∥u_xx∥

dτ .

Пусть γ ≥ 1/2. Уменьшив левую часть последнего неравенства и обозначив h₂₄ = k +

+ 2 - 2(α + β + γ), h₂₅ = 2α + β + 2γ + 1, h₂₆ = β + h²¹ + |k - 2|h₁, h₂₇ = k(h²¹ + h₂₃/2),

E₁(t) = kh₂₂ + f′′1(t) + h₂₅f₁(t), имеем

∫

h₂₄f₂(t) ≤ E₁(t) + h₂₆∥u_xx∥²² + h₂₇

∥u_xx∥²² dτ .

(66)

Вернёмся к рассмотрению неравенства (46): уменьшая его левую часть и увеличивая пра-

вую, полагая α > 1 и γ > 1, обозначая h₂₈ = (α - 1)-1(h²¹ + 2h₁ + β) и

(

∫

)

E₂(t) = (α - 1)-1 h₁₄ + 2f₂(t) + (β + 2) f₂(τ)dτ + (β + 1) f₁(τ)dτ

получаем интегральное неравенство

∫

∥u_xx∥²² ≤ E₂(t) + h₂₈

∥u_xx∥²² dτ,

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№1

2023

УМАРОВ

откуда в силу леммы Гронуолла выводим оценку

∫

∥u_xx∥²² ≤ E₂(t) + h₂₈ E₂(τ)eh28(t-τ)

dτ ≤ E₂(t) + h₂₉ E₂(τ) dτ ,

(67)

где обозначено h₂₉ = h₂₈eh28t⁰ .

Интегрируя по частям

∫

(∫τ

)

∫

f_i(s)ds dτ = τ f_i(s)ds|^t

- τf_i(τ)dτ ≤ t f_i(τ)dτ ≤ t₀ f_i(τ)dτ, i = 1,2,

оценим интеграл в (67):

∫

(

∫

)

E₂(τ)dτ ≤

h₁₄t₀ + 2 f₂(τ)dτ + (β + 2)t₀ f₂(τ)dτ + (β + 1) f₁(τ)dτ

α-1

Применим полученную оценку для увеличения правой части неравенства (66) и обозначим

h₃₀ = (α - 1)-1h₁₄(1+h₂₉t₀), h₃₁ = (α - 1)-1[β+2+(2+(β+2)t₀)h₂₉], h₃₂ = (α - 1)-1(β + 1)×

× (1 + h₂₉t₀). В результате имеем

∫

∥u_xx∥²² ≤ h₃₀ +

f₂(t) + h₃₁ f₂(τ)dτ + h₃₂ f₁(τ)dτ.

(68)

α-1

Теперь вернёмся к рассмотрению неравенства (66): применив (68), увеличим его правую

часть:

2h₂₆

h₂₄f₂(t) ≤ kh₂₂ + (h₂₆ + h₂₇t₀)h₃₀ + f′′1(t) + h₂₅f₁(t) +

f₂(t) +

α-1

(

)∫ t

∫

2h₂₇

+ (h₂₆ + h₂₇t₀)h₃₁ +

f₂(τ)dτ + (h₂₆ + h₂₇t₀)h₃₂ f₁(τ)dτ,

α-1

откуда, полагая

α > 2h₁ + 1,

(69)

обозначая h₃₃ = h₂₄ - 2h₂₆/(α - 1), h₃₄ = kh₂₂ + (h₂₆ + h₂₇t₀)h₃₀, h₃₅ = (h₂₆ + h₂₇t₀)h₃₂,

h₃₆ = (h₂₆ + h₂₇t₀)h₃₁ + 2h₂₇/(α - 1),

∫

E₃(t) = h₃₄ + f′′1(t) + h₂₅f₁(t) + h₃₅ f₁(τ)dτ

и требуя h₃₃ > 0, что приводит к условию

k > 2[(α - 1)(α + β + γ - 1) + h²¹ - 2h₁ + β]/(α - 2h₁ - 1),

имеем

∫

h₃₆

f₂(t) ≤

E₃(t) +

f₂(τ)dτ.

(70)

h₃₃

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№1

2023

РАЗРУШЕНИЕ РЕШЕНИЯ И ГЛОБАЛЬНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ ЗАДАЧИ КОШИ

Пусть h₃₄ + f′′1(0) + h₂₅f₁(0) ≥ 0, тогда на некотором отрезке [0, t02] ⊆ [0, t01] справед-

ливо неравенство E₃(t) ≥ 0, поэтому к интегральному неравенству (70) применима лемма

Гронуолла и, значит, справедлива оценка

∫t

h₃₃f₂(t) ≤ E₃(t) + h₃₇ E₃(τ)dτ,

(71)

где обозначено h₃₇ = et0h³⁶/h33 h₃₆/h₃₃.

Оценивая интеграл в правой части неравенства (71), имеем

∫

E₃(τ)dτ ≤ h₃₄t₀ + f1′(t) - f1′(0) + (h₂₅ + h₃₅t₀) f₁(τ)dτ.

(72)

Пусть выполняется условие f1′(0) = 2[(ϕ, ψ)+(ϕ^′, ψ^′)] > 0. Тогда на отрезке [0, t₀₃] ⊆ [0, t₀₂]

справедливо неравенство f1′(t) ≥ 0, и поэтому справедлива оценка

∫

f₁(τ)dτ = tf₁(t) - τf′1(τ)dτ ≤ t₀f₁(t),

с учётом которой неравенство (72) примет вид

∫

E₃(τ)dτ ≤ h₃₄t₀ + f1′(t) + (h₂₅ + h₃₅t₀)t₀f₁(t).

(73)

Из (71) и (73), обозначая h₃₈ = h₃₄ + h₃₇h₃₄t₀ и h₃₉ = (h₂₅ + h₃₅t₀)(1 + h₃₇), выводим

h₃₃f₂(t) ≤ f′′1(t) + h₃₇f1′(t) + h₃₉f₁(t)+h₃₈, t ∈ [0,t₀₃].

(74)

Оценивая снизу левую часть неравенства (74) с учётом соотношения (60), получаем

h₃₃

f₁(t)f′′1(t) -

(f′1(t))² + h₃₇f₁(t)f1′(t) + h₃₉f²¹(t)+h₃₈f₁(t) ≥ 0,

причём, так как f₁(t) ≥ f₁(0) > 0 на отрезке [0, t₀₃], то h₃₈f₁(t) ≤ (h₃₈/f₁(0))f²¹(t) и, значит,

h₃₃

f₁(t)f′′1(t) -

(f′1(t))² + h₃₇f₁(t)f1′(t) + h₄₀f²¹(t) ≥ 0, t ∈ [0, t₀₃],

(75)

где обозначено h₄₀ = h₃₉ + h₃₈/f₁(0).

К полученному обыкновенному дифференциальному неравенству (75) можно применить

результат, приведённый в монографии [13, приложение, § 2, формула (2.9)], если потребовать

h₃₃/4 > 1, и, значит, при выполнении условия (69) справедлива оценка ранее неопределённого

числа k :

k = k₀ > max{2,2[(α - 1)(α + β + γ + 1) + β + h²¹ - 2h₁]/(α - 2h₁ - 1)}.

Теперь, полагая во всех соотношениях (в которых фигурирует) число k равным k₀, из

неравенства (75) заключаем, что если в дополнении к ранее приведённым условиям потребо-

вать выполнения неравенства

√

f′1(0) > (4h₃₇/(h₃₃ - 4) + 2

h₄₀/(h₃₃ - 4))f₁(0),

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№1

2023

УМАРОВ

то время t₀ существования решения не может быть сколь угодно большим: t₀ < T₀ =

= (f₁(0))1-h33/⁴/h₄₁, где

(

)

[(

)₂

]

h₃₃

4h₃₇

4h₄₀

h₄₁ =

- 1 (f₁(0))-h33/⁴ f′1(0) -

f₁(0)

(f₁(0))2

> 0,

h₃₃

-4

h₃₃ - 4

причём для функционала f₁(t) справедлива оценка снизу

4h₃₇t/(h₃₃-4)

f₁(t) ≥

[(f₁(0))1-h33/⁴ - h₄₁t]4/(h33-⁴⁾

и, значит, не существует глобального по времени решения задачи Коши (1), (2).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Данфорд Н., Шварц Дж.Т. Линейные операторы. Общая теория. М., 1962.

2. Филиппов А.П. Колебания деформируемых систем. М., 1970.

3. Ерофеев В.И., Кажаев В.В., Семерикова Н.П. Волны в стержнях. Дисперсия. Диссипация. Нели-

нейность. М., 2002.

4. Greenberg J.M., McCamy R.C., Mizel V.J. On the existence, uniqueness and stability of solutions of the

equation σ^′(u_x)u_xx + λu_xtx = ρ₀u_tt // J. Math. and Mech. 1968. V. 17. P. 707-728.

5. Webb G.F. Existence and asymptotic behavior for a strongly damped nonlinear wave equation // Canad.

J. Math. 1980. V. 32. № 3. P. 631-643.

6. Andrews G. On the existence of solutions to the equation u_tt = u_xxt + σ(u_x)_x // J. Differ. Equat. 1980.

V. 35. № 2. P. 200-231.

7. Кожанов А.И., Ларькин Н.А., Яненко Н.Н. Смешанная задача для одного класса уравнений тре-

тьего порядка // Сиб. мат. журн. 1981. Т. 22. № 6. С. 81-86.

8. Ларькин Н.А., Новиков В.A., Яненко H.H. Нелинейные уравнения переменного типа. Новосибирск,

1983.

9. Васильев В.В., Крейн С.Г., Пискарев С.И. Полугруппы операторов, косинус оператор-функции и

линейные дифференциальные уравнения // Итоги науки и техники. Сер. Мат. анализ. Т. 28. М.,

1990. С. 87-202.

10. Dragomir S.S. Some Gronwall Type Inequalities and Applications. Melbourne, 2002.

11. Appell J., Zabreiko P.P. Nonlinear Superposition Operators. Cambridge, 1990.

12. Benjamin T.B., Bona J.L., Mahony J.J. Model equations for long waves in nonlinear dispersive systems

// Philos. Trans. Roy. Soc. London. 1972. V. 272. P. 47-78.

13. Корпусов М.О., Свешников А.Г., Юшков Е.В. Методы теории разрушения решений нелинейных

уравнений математической физики. М., 2014.

Академия наук Чеченской Республики,

Поступила в редакцию 27.06.2022 г.

г. Грозный,

После доработки 07.11.2022 г.

Чеченский государственный педагогический

Принята к публикации 28.11.2022 г.

университет, г. Грозный

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№1

2023