ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2023, том 59, № 1, с.100-114

ТЕОРИЯ УПРАВЛЕНИЯ

УДК 517.977.1

О ЛИНЕАРИЗАЦИИ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

С ОДНИМ УПРАВЛЕНИЕМ

НА ОСНОВЕ МАСШТАБИРОВАНИЯ ВРЕМЕНИ

И ОДНОКРАТНОГО ПРОДОЛЖЕНИЯ

Доказывается необходимое и достаточное условие линеаризуемости нелинейных систем с

одним управлением в классе преобразований, содержащих масштабирования времени и

сохраняющих многообразие состояний. Даётся описание систем, которые получены одно-

кратным продолжением нелинейной системы с одним управлением и являются A-орби-

тально линеаризуемыми. Доказывается, что из A-орбитальной линеаризуемости системы,

полученной однократным продолжением аффинной системы с одним управлением, следует

A-орбитальная линеаризуемость и исходной системы. Показывается, что если система, по-

лученная k-кратным продолжением нелинейной системы с одним управлением, где k ≥ 2,

A-орбитально линеаризуема, то и система, полученная из исходной системы её однократ-

ным продолжением, также A-орбитально линеаризуема.

DOI: 10.31857/S0374064123010090, EDN: OCWPMQ

Введение. Задача преобразования нелинейных систем с управлением в линейные управля-

емые системы занимает одно из центральных мест в современной теории управления. Начало

исследованиям в этой области было положено в работе [1], где для аффинных систем с од-

ним управлением получены условия линеаризуемости в специальном классе преобразований.

Впоследствии (см. [2, 3]) эти условия были обобщены и приняли вид известных до настоя-

щего времени условий статической линеаризуемости обратной связью. Двойственный аналог

этих условий получен в статье [4]. Условия статической линеаризуемости обратной связью

для многих систем не выполняются, поэтому дальнейшие исследования в этой области были

нацелены на распространение результатов в области линеаризации на более широкие классы

систем - так появились понятия: приближённая линеаризация обратной связью [5], частичная

линеаризация обратной связью [6], линеаризация обратной связью по выходу [7, с. 225] и др.

Важным обобщением понятия статической линеаризуемости обратной связью стало поня-

тие плоскостности [8]. Напомним, что плоской называют систему, траектории которой могут

быть параметризованы набором гладких функций и их производных по времени до некоторо-

го порядка. При этом сами функции указанного набора называют плоским выходом системы.

Известно, что система с одним управлением является плоской тогда и только тогда, когда

она статически линеаризуема обратной связью (см. [9]). Для систем с векторным управлени-

ем статическая линеаризуемость обратной связью является частным случаем плоскостности и

характеризуется сохранением многообразия состояний при линеаризующих преобразованиях.

Обобщением понятия плоскостности на случай, когда дополнительно к заменам состояний

и управлений используются масштабирования времени [10], является понятие орбитальной

плоскостности [11]. Систему называют орбитально плоской, если распределение, порождённое

бесконечномерным векторным полем, соответствующим системе, диффеоморфно распределе-

нию, порождённому бесконечномерным векторным полем тривиальной линейной управляе-

мой системы (системы без внутренней динамики). Масштабирования времени и линеаризация

нелинейных систем на их основе применяются для решения разнообразных прикладных за-

дач [12, 13]. Частными случаями орбитальной плоскостности являются введённые для аффин-

ных систем понятия орбитальной линеаризуемости [14] и A-орбитальной линеаризуемости [15].

Орбитальная линеаризация основана на масштабированиях времени, зависящих только от

состояния. Условия орбитальной линеаризуемости для систем с одним управлением можно

найти в работах [14, 16], для систем с векторным управлением - в статье [17].

100

О ЛИНЕАРИЗАЦИИ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

101

A-орбитальная линеаризация аффинных систем основана на масштабированиях времени,

зависящих как от состояния, так и от управления. Напомним основные понятия, связанные с

A-орбитальной линеаризуемостью аффинных систем с одним управлением. Пусть рассматри-

вается система

Σ_aff :

x = f(x) + g(x)u,

где x = (x¹, . . . , xⁿ) ∈ X ⊂ Rⁿ, n ≥ 3, - состояние, X - открытое множество, u ∈ R -

управление, f и g - гладкие векторные поля. Под гладкостью в настоящей работе всюду

понимается бесконечная дифференцируемость.

Следуя работе [18], будем говорить, что система Σ_aff A-орбитально линеаризуема в окрест-

ности точки x₀ ∈ X, если существует окрестность V (x₀) точки x₀, для которой найдутся

невырожденная матрица A = (α^ij )i=0,1j=0,1, α^ij ∈ C^∞(V (x₀)), и диффеоморфизм Φ : V (x₀) →

→ Φ(V (x₀)) такие, что заменой независимой переменной

˙τ = α⁰⁰(x) + α⁰¹(x)u,

заменой управления

α¹⁰(x) + α¹¹(x)u

α⁰⁰(x) + α⁰¹(x)u

и заменой состояния y = Φ(x) система Σ_aff преобразуется на множестве M_xu = {(x, u) : x ∈

∈ V (x₀),α⁰⁰(x) + α⁰¹(x)u = 0} в систему

(y¹)^′ = y², . . . , (yn-2)^′ = yn-1, (yn-1)^′ = v, (yⁿ)^′ = 1,

(1)

определённую на множестве M_yv = {(y, v) : y ∈ Φ(V (x₀)), α¹¹(Φ-1(y)) - α⁰¹(Φ-1(y))v = 0}.

Отметим, что в системе (1) штрих обозначает дифференцирование по переменной τ.

Очевидно, что в системе (1) переменную состояния yⁿ можно рассматривать как независи-

мую переменную, а саму систему (1) можно считать линейной управляемой системой (n - 1)-го

порядка

(y¹)^′ = y², . . . , (yn-2)^′ = yn-1, (yn-1)^′ = v.

(2)

Условие A-орбитальной линеаризуемости системы Σ_aff в окрестности точки x₀ известно

из работы [19]. Чтобы его сформулировать, сопоставим системе Σ_aff кораспределение I =

= (span_C∞ {f, g})^⊥ и построим его производный флаг, т.е. последовательность кораспределе-

ний I⁰ ⊃ I¹ ⊃ I² ⊃ . . . , составляемых по правилу

I⁰ = I, Ij+1 = {ω ∈ I^j : dω ≡ 0 mod I^j}, j = 0,1,2,... ,

(3)

где dω - внешний дифференциал формы ω. Напомним, что характеристическим кораспре-

делением гладкого кораспределения K, имеющего постоянный ранг в окрестности точки x₀,

называют кораспределение CK = {ξ ∈ K^⊥ : для любой ω ∈ K ξ ┘ dω ∈ K}^⊥, где ξ ┘ dω -

внутреннее произведение векторного поля ξ и дифференциальной формы dω. Отметим, что

если CK является в окрестности точки x₀ гладким кораспределением постоянного ранга, то

оно вполне интегрируемо в окрестности этой точки.

Справедлива следующая

Теорема 1 [19]. Система Σ_aff A-орбитально линеаризуема в окрестности точки x₀ ∈ X

тогда и только тогда, когда элементы I^j, j = 0,n - 2, производного флага кораспределения

I удовлетворяют следующим двум условиям:

1) ранги кораспределений I^j, j = 0,n - 2, постоянны в окрестности точки x₀;

2) CIn-3(x₀) ⊂ I(x₀).

Из доказательства теоремы 1 следует (см. [19]), что если система Σ_aff A-орбитально лине-

аризуема в окрестности точки x₀, то f(x₀) и g(x₀) линейно независимы, а ранги кораспре-

делений I^j, j = 0, n - 2, удовлетворяют равенствам rank I^j = n - j - 2.

Отметим, что условие A-орбитальной линеаризуемости для систем с векторным управле-

нием получено в статье [19].

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№1

2023

102

ФЕТИСОВ

В настоящей работе для нелинейных систем с одним управлением рассматривается задача

линеаризации в классе преобразований, содержащих масштабирования времени и сохраняю-

щих многообразие состояний. Наряду с этим исследуется возможность линеаризации систем,

полученных из нелинейной системы её k-кратным продолжением. Отметим, что система, по-

лученная k-кратным продолжением нелинейной системы, является аффинной по управлению,

в связи с чем задача линеаризации k-кратного продолжения может быть решена с привлече-

нием техники A-орбитальной линеаризации. В работе описывается множество систем, которые

получены однократным продолжением нелинейной системы и являются A-орбитально линеа-

ризуемыми. Отдельно рассматривается вопрос об A-орбитальной линеаризации систем, полу-

ченных однократным продолжением аффинной системы. Доказывается, что из A-орбиталь-

ной линеаризуемости однократного продолжения следует A-орбитальная линеаризуемость и

исходной аффинной системы. Показывается, что из A-орбитальной линеаризуемости k-крат-

ного продолжения (k ≥ 2) нелинейной системы следует A-орбитальная линеаризуемость и её

однократного продолжения.

1. Постановка задачи. Рассмотрим нелинейную систему

Σ:

x = F(x,u),

в которой x = (x¹, . . . , xⁿ), n ≥ 3, - состояние, u - управление, (x, u) ∈ M ⊂ Rn+1, M -

открытое множество, F - гладкое векторное поле. Будем полагать, что система Σ рассмат-

ривается в окрестности некоторой точки (x₀, u₀) ∈ M, для которой выполняется условие

F (x₀, u₀) = 0.

Рассмотрим задачу нахождения отображения (τ, y, v) = Ψ(t, x, u), τ ∈ R, y =(y¹, . . . , yⁿ) ∈

∈ Rⁿ, v ∈ R, которое задаётся соотношениями

˙τ = θ(x,u), y = ϕ(x), v = ψ(x,u)

(4)

и удовлетворяет условиям:

а) функции θ и ψ являются гладкими в окрестности точки (x₀, u₀), функция ϕ является

гладкой в окрестности точки x₀;

б) имеют место соотношения

∂ϕ

∂ψ

θ(x₀, u₀) = 0, det

(x₀) = 0,

(x₀, u₀) = 0;

∂x

∂u

в) равенства (4) преобразуют систему Σ в окрестности точки (x₀, u₀) в систему (1).

Как отмечено выше, систему (1) можно рассматривать как линейную управляемую сис-

тему (2) порядка n - 1. В связи с этим будем говорить, что рассматриваемая задача - это

задача линеаризации системы Σ в окрестности точки (x₀, u₀) в классе преобразований (4).

Справедливо следующее утверждение.

Лемма. Система Σ линеаризуема в окрестности точки (x₀, u₀) в классе преобразова-

ний (4) тогда и только тогда, когда существуют гладкие замены состояния и управления

∂ϕ

∂ψ

y = ϕ(x), v = ψ(x,u), det

(x₀) = 0,

(x₀, u₀) = 0,

(5)

∂x

∂u

для которых найдётся гладкая функция h(y, v) такая, что h(ϕ(x₀), ψ(x₀, u₀)) = 0, и с по-

мощью (5) система Σ в окрестности точки (x₀, u₀) преобразуется в систему

y¹ = y²h(y,v), ... ,

yn-2 = yn-1h(y,v),

yn-1 = vh(y,v),

yⁿ = h(y,v).

(6)

Доказательство леммы очевидно. Отметим, что если замена (5), удовлетворяющая услови-

ям леммы, найдена, то в линеаризующем преобразовании Ψ замены состояния и управления

задаются соотношениями (5), а функция θ, определяющая линеаризующую замену независи-

мой переменной, связана с функцией h равенством θ(x, u) = h(ϕ(x), ψ(x, u)).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№1

2023

О ЛИНЕАРИЗАЦИИ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

103

Согласно лемме задачу линеаризации системы Σ в классе преобразований (4) можно рас-

сматривать как задачу поиска замены (5) и функции h таких, что заменой (5) система Σ

преобразуется в систему (6).

2. Условие линеаризуемости. С системой Σ естественным образом ассоциируется ко-

распределение J = span_C∞ {dxⁱ - Fⁱ(x, u) dt, i = 1, n}, заданное на множестве M × R изме-

нения переменных x, u, t. Для того чтобы решить задачу линеаризации системы Σ в классе

преобразований (4), свяжем с системой Σ кораспределение

I = {ω ∈ J : ω(∂/∂t) = 0}.

Установим вид кораспределения I. С этой целью будем искать формы, порождающие I,

∑_n

в виде ω =

λ_i(dxⁱ - Fⁱ(x,u)dt), где λ_i - гладкие функции, подлежащие определению.

i=1

∑_n

Из условия ω(∂/∂t) = 0 получаем уравнение

λ_iFⁱ(x,u) = 0. Поскольку F(x₀,u₀) = 0,

i=1

то это уравнение в окрестности точки (x₀, u₀) имеет n - 1 линейно независимых решений.

Обозначим их через λ¹(x, u), . . . , λn-1(x, u). Тогда кораспределение I порождается формами

∑

ω^l =

λ^li(x,u)(dxⁱ - Fⁱ(x,u)dt) =

λ^li(x,u)dxⁱ, l = 1,n - 1.

i=1

Таким образом, I - кораспределение ранга n-1, заданное на множестве M и имеющее вид

}

∑

I = span_C∞

λ^li(x,u)dxⁱ, l = 1,n - 1

(7)

i=1

Главным результатом в этом пункте является следующая теорема (в её формулировке и

доказательстве используется производный флаг I^j, j = 0, 1, 2, . . . , кораспределения I, со-

ставленный по правилу (3)).

Теорема 2. Система Σ линеаризуема в окрестности точки (x₀, u₀) ∈ M в классе пре-

образований (4) тогда и только тогда, когда выполнены следующие условия:

1) ранги кораспределений I^j, j = 0,n - 1, постоянны в окрестности точки (x₀,u₀);

2) в окрестности точки (x₀, u₀) имеет место включение CIn-2 ⊂ span_C∞ {dx¹, . . . , dxⁿ};

3) CIn-2(x₀, u₀) ⊂ I(x₀, u₀).

Доказательство. Достаточность. Как показано в работе [19], выполнение условий 1)

и 3) означает, что ранги кораспределений I^j, j = 0, n - 1, удовлетворяют условию rank I^j =

= n - j - 1. Обозначим через ω дифференциальную 1-форму, порождающую кораспреде-

ление In-2, так что In-2 = span_C∞ {ω}. Согласно [19] характеристическое кораспределе-

ние CIn-2 кораспределения In-2 в окрестности точки (x₀, u₀) является вполне интегриру-

емым кораспределением ранга 3 и, следовательно, может быть представлено в виде CIn-2 =

= span_C∞{dz¹,dz²,dz³}, где z¹, z², z³ - гладкие функции, независимые в окрестности точ-

ки (x₀, u₀).

Выполнение условия 2) означает, что для любого k = 1, 2, 3 в окрестности точки (x₀, u₀)

имеют место равенства (z^k)^′u = 0. Таким образом, интегралы характеристического кораспре-

деления CIn-2 являются функциями только состояния x: z^k = z^k(x), k = 1, 2, 3.

Из условия 3) теоремы следует, что по крайней мере одна из функций z^k, k = 1, 2, 3,

например z³, удовлетворяет условию dz³(x₀) ∈ I(x₀, u₀). В статье [19] показано, что корас-

пределение L = span_C∞ {ω, dz³} в окрестности точки (x₀, u₀) вполне интегрируемо и предста-

вимо в виде L = span_C∞ {dy¹, dyⁿ}, где yⁿ = z³, а y¹ - гладкая функция, такая, что y¹ и yⁿ

независимы в окрестности точки (x₀, u₀). Согласно [19] все кораспределения I^j, j = 0, n - 2,

в окрестности точки (x₀, u₀) могут быть представлены в виде

I^j = span_C∞{dy¹ - y² dyⁿ,... ,dyn-j-1 - y^n-j dyⁿ}, j = 1,n - 2,

I⁰ = span_C∞{dy¹ - y² dyⁿ,... ,dyn-2 - yn-1 dyⁿ,dyn-1 - v dyⁿ},

(8)

где y¹, . . . , yⁿ, v - гладкие функции, независимые в окрестности точки (x₀, u₀).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№1

2023

104

ФЕТИСОВ

Покажем, что (y^j )^′u ≡ 0, j = 1, n - 1, в окрестности точки (x₀, u₀). Действительно, ранее

показано, что (yⁿ)^′u ≡ 0, поэтому если для некоторого j ∈ {1, . . . , n - 1} в любой окрест-

ности точки (x₀, u₀) найдётся точка (x, ũ) такая, что (y^j )^′u(x, ũ) = 0, то в подпространстве

I(x, ũ) содержится форма ω, удовлетворяющая сравнению ω ≡ du mod {dx¹,...,dxⁿ}, чего

согласно (7) быть не может.

Обозначим через Φ диффеоморфизм, заданный системой функций y^j = y^j(x), j = 1, n,

v = v(x,u). Пусть (y₀,v₀) = Φ(x₀,u₀). Образующими кораспределения J являются формы

ωⁱ = dyⁱ - yi+1 dyⁿ, i = 1,n - 2, ωn-1 = dyn-1 - v dyⁿ,

(9)

которые согласно (8) порождают кораспределение I, и некоторая форма, содержащаяся в J и

не зависящая линейно от ωⁱ, i = 1, n - 1. Пусть производная функции yⁿ в силу системы Σ

задаётся выражением

yn = θ(x,u). Тогда очевидно, что в кораспределении J содержится

дифференциальная 1-форма dyⁿ - h(y, v) dt, где h(y, v) = θ(Φ-1(y, v)). Указанная форма

не зависит линейно от ωⁱ, i = 1, n - 1. Следовательно, кораспределение J может быть

представлено в виде

J = span_C∞{dy¹ - y2 dyⁿ,...,dyn-2 - yn-1 dyⁿ,dyn-1 - v dyⁿ,dyⁿ - h(y,v)dt}

или (что то же самое)

J = span_C∞{dy¹ - y²h(y,v)dt,... ,dyn-2 - yn-1h(y,v)dt,dyn-1 - vh(y,v)dt,dyⁿ - h(y,v)dt}.

Отсюда вытекает, что диффеоморфизм Φ преобразует систему Σ в окрестности точки (x₀, u₀)

в систему (6). Отметим, что h(y₀, v₀) = 0, так как противное означало бы выполнение равен-

ства F (x₀, u₀) = 0. Как было отмечено выше, при переходе в системе (6) к новой независимой

переменной yⁿ получим линейную управляемую систему (2).

Необходимость. Пусть система Σ в окрестности точки (x₀, u₀) преобразуется в классе

преобразований (4) в систему (6), где h(y, v) - некоторая функция, гладкая в окрестности

точки (y₀, v₀) = Φ(x₀, u₀) и такая, что h(y₀, v₀) = 0. Системе (6) соответствует кораспре-

деление

= span_C∞{dy¹ - y²h(y,v)dt,... ,dyn-2 - yn-1h(y,v)dt, dyn-1 - vh(y,v)dt, dyⁿ - h(y,v)dt}.

Кораспределение^Î = {ω

J : ω(∂/∂t) = 0} имеет вид

Î= span_C∞{dy¹ - y² dyⁿ,... ,dyn-2 - yn-1 dyⁿ, dyn-1 - v dyⁿ}.

Непосредственные вычисления показывают, что производный флаг кораспределения^Î обра-

зован кораспределениями

Î⁰ =Î,

Î^j = span_C∞{dyⁱ - yi+1 dyⁿ, i = 1,n - j - 1}, j = 1,n - 2,

În-1 = O,

где O : (y, v) → {0} - тривиальное кораспределение. Легко видеть, что ранги всех кораспреде-

ленийÎj, j = 0, n - 1, постоянны в окрестности точки (y₀, v₀). КораспределениеÎn-2 имеет

вид

În-2 = span_C∞{dy¹ - y² dyⁿ}, его характеристическое кораспределение - вид CÎn-2 =

= span_C∞{dy¹,dy²,dyⁿ}. Отсюда вытекает, что в окрестности точки (y₀,v₀) имеет место

включение CÎn-2 ⊂ span_C∞ {dy¹, . . . , dyⁿ} и выполнено условие CÎn-2(y₀, v₀) ⊂Î(y₀, v₀). Сле-

довательно, кораспределение I, соответствующее системе Σ, удовлетворяет условиям 1)-3)

теоремы. Теорема доказана.

Следствие 1. Из доказательства достаточности вытекает, что функция yⁿ = yⁿ(x)

удовлетворяет условию dyⁿ(x₀) ∈ I(x0,u0). Следовательно, в аннуляторе кораспределе-

ния I, которым, как нетрудно видеть, является распределение

}

∑

∂

P = span_C∞

Fⁱ(x,u)

∂xⁱ

∂u

i=1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№1

2023

О ЛИНЕАРИЗАЦИИ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

105

найдётся векторное поле ξ такое, что dyⁿ(ξ)(x₀, u₀) = 0. Поскольку (yⁿ)^′u ≡ 0, то та-

ким векторным полем является поле F. Следовательно, новая независимая переменная yⁿ

удовлетворяет условию dyⁿ(F)(x₀,u₀) = 0.

Следствие 2. Каждая из форм ωⁱ, i = 1, n - 1, задаваемых соотношениями (9), обра-

щается в нуль на векторных полях, порождающих распределение P, в том числе и на поле

F. Действительно, ωⁱ ∈ P^⊥, i = 1,n - 1. Следовательно, ωⁱ(F) = 0, i = 1,n - 1. Запишем

эти равенства в виде

(dyⁱ - yi+1 dyⁿ)(F ) = 0, i = 1, n - 2, (dyn-1 - v dyⁿ)(F ) = 0

и заметим, что поскольку dyⁿ(F )(x₀, u₀) = 0, то в окрестности точки (x₀, u₀) справедливы

соотношения

dyⁱ(F )

dyn-1(F )

yi+1 =

i = 1,n - 2, v =

(10)

dyⁿ(F )

Эти формулы позволяют, зная y¹ и yⁿ, найти остальные переменные состояния и управ-

ление в системе (2).

Замечание 1. В частном случае, когда система Σ аффинна по управлению, связь между

A-орбитальной линеаризуемостью системы и линеаризуемостью системы в классе преобразо-

ваний (4) описывается следующим образом. Если система Σ аффинна по управлению и A-

орбитально линеаризуема в окрестности точки x₀, то для любого u₀ такого, что α⁰⁰(x₀) +

+ α⁰¹(x₀)u₀ = 0, система Σ линеаризуема в окрестности точки (x₀,u₀) в классе преобразова-

ний (4). Если система Σ аффинна по управлению и линеаризуема в окрестности точки (x₀, u₀)

в классе преобразований (4), то система Σ A-орбитально линеаризуема в окрестности точки

x₀ и выполняется условие α⁰⁰(x₀) + α⁰¹(x₀)u₀ = 0.

3. Алгоритм линеаризации. Для того чтобы линеаризовать систему Σ в окрестно-

сти точки (x₀, u₀) в классе преобразований (4), требуется выполнить следующие действия.

Построим кораспределение J = span_C∞ {dxⁱ - Fⁱ(x, u) dt, i = 1, n}, ассоциированное с сис-

темой Σ. Найдём кораспределение I = {ω ∈ J : ω(∂/∂t) = 0} и построим его производный

флаг. Проверим, что ранги всех кораспределений, составляющих производный флаг, постоян-

ны в окрестности точки (x₀, u₀). Из доказательства теоремы 2 следует, что если для неко-

торого j ∈ {0, . . . , n - 1} ранг кораспределения I^j отличен от n - j - 1, то система Σ не

линеаризуема в окрестности точки (x₀, u₀) в классе преобразований (4). Для кораспределения

In-2 = span_C∞{ω} построим характеристическое кораспределение CIn-2 и найдём полную

систему z¹, z², z³ его интегралов. В результате характеристическое кораспределение CIn-2

будет представлено в виде CIn-2 = span_C∞ {dz¹, dz², dz³}. Проверим выполнение равенств

(z^k)^′u ≡ 0, k = 1, 2, 3. Если хотя бы одно из них не выполнено, то система Σ не линеаризуема в

окрестности точки (x₀, u₀) в классе преобразований (4). В противном случае определим, суще-

ствует ли номер k ∈ {1, 2, 3}, для которого имеет место условие dz^k(F )(x₀, u₀) = 0. Если тако-

го k не существует, то система Σ не линеаризуема в окрестности точки (x₀, u₀) в классе пре-

образований (4). В противном случае линеаризовать систему Σ в окрестности точки (x₀, u₀) в

классе преобразований (4) возможно. Предположим для определённости, что dz³(F )(x₀, u₀) =

= 0. Тогда принимаем yⁿ = z³ и составляем кораспределение L = span_C∞ {ω, dyⁿ}. Как

отмечено в доказательстве теоремы 2, кораспределение L вполне интегрируемо в окрестности

точки x₀. Найдём интеграл y¹ кораспределения L, независимый от yⁿ. Используя форму-

лы (10), определим функции y², . . . , yn-1, v. Как показано выше, соотношения y^j = y^j(x),

j = 1,n, v = v(x,u) задают линеаризующее преобразование системы Σ, причём yⁿ должна

быть выбрана новой независимой переменной.

В качестве примера покажем, что система

x¹ = u - 2x⁴(u)² - 2u(x⁴)² + x⁴,

x² = ux⁴ + (x⁴)²,

x³ = ux² + x²x⁴ + 3(x²)²x⁴u + 3(x²)²(x⁴)²,

x⁴ = (u)² + ux⁴

(11)

с состоянием x ∈ R⁴ и управлением u ∈ R линеаризуема в классе преобразований (4) в

окрестности любой точки (x₀, u₀) ∈ M = {(x, u) : x⁴ = 0, u + x⁴ = 0}.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№1

2023

106

ФЕТИСОВ

Системе (11) соответствуют векторное поле

∂

F = (u - 2x⁴(u)² - 2u(x⁴)² + x⁴)

+ (ux⁴ + (x⁴)²)

∂x¹

∂x²

∂

+ (ux² + x²x⁴ + 3(x²)²x⁴u + 3(x²)²(x⁴)²)

+ ((u)² + ux⁴)

∂x³

∂x⁴

и кораспределение

J = span_C∞{dx¹ - (u - 2x⁴(u)² - 2u(x⁴)² + x⁴)dt,dx² - (ux⁴ + (x⁴)²)dt,

dx³ - (ux² + x²x⁴ + 3(x²)²x⁴u + 3(x²)²(x⁴)²) dt, dx⁴ - ((u)² + ux⁴) dt}.

Кораспределение I = {ω ∈ J : ω(∂/∂t) = 0} имеет вид

I = span_C∞{x4 dx¹ - (1 - 2x⁴u)dx²,x4 dx³ - (x² + 3(x²)²x⁴)dx²,x4 dx⁴ - udx²}.

Его производный флаг образован кораспределениями

I⁰ = I, I¹ = span_C∞ {x⁴ dx¹ - dx² + 2(x⁴)² dx⁴,x⁴ dx³ - (x² + 3(x²)²x⁴)dx²},

I² = span_C∞ {ω}, I³ = O,

где ω = dx³ - 3(x²)² dx² - 2x²x⁴ dx⁴ - x² dx¹.

Аннулятором кораспределения I² является распределение (I²)^⊥ = span_C∞ {ξ₁, ξ₂, ξ₃, ξ₄},

в котором

∂

ξ₁ =

+x²

ξ₂ =

+ 3(x²)²

ξ₃ = 2x²x⁴

ξ₄ =

∂x¹

∂x³

∂x²

∂x³

∂x⁴

∂u

Построим характеристическое кораспределение CI² = {ξ ∈ (I²)^⊥ : ξ ┘ dω ∈ I²}^⊥ кораспреде-

ления I². Нетрудно видеть, что dω = dx¹ ∧ dx² + 2x⁴ dx⁴ ∧ dx², где ∧ обозначает внешнее

произведение дифференциальных форм. Поскольку справедливы равенства

ξ_k ┘dω = ξ_k ┘(dx¹ ∧ dx² + 2x⁴ dx⁴ ∧ dx²) =

= dx¹(ξ_k) dx² - dx²(ξ_k) dx¹ + 2x⁴ dx⁴(ξ_k) dx² - 2x⁴ dx²(ξ_k) dx⁴, k = 1, 4,

то

ξ₁ ┘dω = dx², ξ₂ ┘dω = - dx¹ - 2x⁴ dx⁴, ξ₃ ┘dω = 2x⁴ dx², ξ₄ ┘dω = 0.

Будем искать векторное поле ξ ∈ (I²)^⊥, удовлетворяющее условию ξ ┘ dω ∈ I², в виде

ξ = β¹ξ₁ + β²ξ₂ + β³ξ₃ + β⁴ξ₄, где β^k - гладкие функции, подлежащие определению, k =

= 1, 2, 3, 4. Вычислив внутреннее произведение векторного поля ξ и дифференциальной фор-

мы dω, будем иметь

ξ ┘dω = (β¹ξ₁ + β²ξ₂ + β³ξ₃ + β⁴ξ₄)┘dω = β1 dx² - β²(dx¹ + 2x4 dx⁴) + β³2x4 dx².

Следовательно, условие ξ ┘ dω ∈ I² приводит к равенству

β¹ dx² - β²(dx¹ + 2x⁴ dx⁴) + β³2x⁴ dx² = γ(dx³ - 3(x²)² dx² - 2x²x⁴ dx⁴ - x² dx¹),

где γ - некоторая гладкая функция. Приравняв коэффициенты при dx¹, dx², dx³ и dx⁴ в

левой и правой частях равенства, получим γ = 0, β² = 0, β¹ = -β³2x⁴. Отсюда вытекает, что

векторное поле ξ ∈ (I²)^⊥, удовлетворяющее условию ξ ┘ dω ∈ I², описывается выражением

(

)

∂

ξ = -β³2x⁴ξ₁ + β³ξ₃ + β⁴ξ₄ = β³

- 2x⁴

+β⁴

∂x⁴

∂x¹

∂u

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№1

2023

О ЛИНЕАРИЗАЦИИ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

107

Следовательно,

{

}

∂

(CI²)^⊥

= span_C∞

- 2x⁴

∂x⁴

∂x¹

∂u

Аннулятором этого распределения является кораспределение

CI² = span_C∞{dx¹ + 2x4 dx⁴,dx²,dx³}.

Его интегралы - функции z¹(x) = x¹ +(x⁴)², z²(x) = x², z³(x) = x³. Очевидно, что (z^k)^′u ≡ 0

для всех k = 1, 2, 3.

Нетрудно видеть, что dz¹(F ) = (dx¹ + 2x⁴ dx⁴)(F ) = u + x⁴ = 0 для всех (x, u) ∈ M.

Положим y⁴ = z¹ и составим кораспределение

L = span_C∞{ω,dy⁴} = span_C∞{dx³ - 3(x²)2 dx² - 2x²x4 dx⁴ - x2 dx¹,dx¹ + 2x4 dx⁴}.

Записав выражение для L как L = span_C∞ {dx³ - 3(x²)² dx², dx¹ + 2x⁴ dx⁴}, видим, что в

качестве интеграла кораспределения L, независимого от y⁴, может быть принята функция

y¹ = x³ - (x²)³.

Функции y², y³ и v могут теперь быть вычислены по формулам (10):

dy¹(F )

dy²(F )

dy³(F )

y² =

=x², y³ =

=x⁴, v =

= u.

dy⁴(F )

Непосредственная проверка показывает, что найденное преобразование линеаризует систе-

му (11) не только локально, т.е. заменой

y¹ = x³ - (x²)³, y² = x², y³ = x⁴, y⁴ = x¹ + (x⁴)², v = u

система (11) преобразуется на множестве M в линейную управляемую систему

(y¹)^′ = y², (y²)^′ = y³, (y³)^′ = v

с независимой переменной y⁴.

4. Линеаризация на основе однократного продолжения. Рассмотрим, наряду с сис-

темой Σ, систему, полученную из Σ её однократным продолжением, т.е. аффинную систему

Σ₁ :

x = F(x,u),

u=u¹

с состоянием (x, u) ∈ M ⊂ Rn+1 и управлением u¹ ∈ R. Полагаем, как и выше, что система Σ₁

рассматривается в окрестности точки (x₀, u₀) ∈ M, для которой F (x₀, u₀) = 0. Так как

система Σ₁ является аффинной по управлению, задача её линеаризации в окрестности точки

(x₀, u₀) может быть решена с привлечением техники A-орбитальной линеаризации.

A-орбитальная линеаризуемость системы Σ₁ в окрестности точки (x₀, u₀) означает суще-

ствование окрестности V (x₀, u₀) точки (x₀, u₀), для которой найдутся невырожденная мат-

рица A = (α^ij )i=0,1j=0,1, α^ij ∈ C^∞(V (x₀, u₀)), и диффеоморфизм Φ : V (x₀, u₀) → Φ(V (x₀, u₀))

такие, что заменой независимой переменной

˙τ = α⁰⁰(x,u) + α⁰¹(x,u)u¹,

заменой управления

α¹⁰(x,u) + α¹¹(x,u)u

α⁰⁰(x,u) + α⁰¹(x,u)u¹

и заменой состояния y = Φ(x, u) система Σ₁ преобразуется на множестве M_xu = {(x, u, u¹) :

(x, u) ∈ V (x₀, u₀), α⁰⁰(x, u) + α⁰¹(x, u)u¹ = 0} в систему

(y¹)^′ = y², . . . , (yn-1)^′ = yⁿ, (yⁿ)^′ = v, (yn+1)^′ = 1,

(12)

определённую на множестве M_yv = {(y, v) : y ∈ Φ(V (x₀, u₀)), α¹¹(Φ-1(y)) - α⁰¹(Φ-1(y))v = 0}.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№1

2023

108

ФЕТИСОВ

Очевидно, что в системе (12) переменную состояния yn+1 можно рассматривать как неза-

висимую переменную, а саму систему (12) можно считать линейной управляемой системой

n-го порядка

(y¹)^′ = y², . . . , (yn-1)^′ = yⁿ, (yⁿ)^′ = v.

Аффинной системе Σ₁ соответствуют векторные поля

∑

∂

f₀ =

Fⁱ(x,u)

f₁ =

∂xⁱ

∂u

i=1

В формулировке условия A-орбитальной линеаризуемости аффинных систем (см. теоре-

му 1) используется аннулятор распределения, порождаемого векторными полями системы.

Нетрудно видеть, что распределение FΣ1 = span_C∞ {f₀, f₁}, порождаемое полями f₀ и f₁,

совпадает с распределением P, сопоставленным ранее системе Σ. Следовательно, совпада-

ют и аннуляторы этих распределений: IΣ1 = I, где I - кораспределение, соответствующее

системе Σ. Воспользовавшись теоремой 1, получим необходимое и достаточное условие A-ор-

битальной линеаризуемости системы Σ₁ и следствие из него, устанавливающее связь между

линеаризуемостью системы Σ в классе преобразований (4) и A-орбитальной линеаризуемо-

стью системы Σ₁. В формулировках теоремы и следствия используется производный флаг

I^j, j = 0,1,2,... , кораспределения I, соответствующего системе Σ.

Теорема 3. Система Σ₁ A-орбитально линеаризуема в окрестности точки (x₀, u₀) ∈ M

тогда и только тогда, когда выполняются условия:

1) ранги кораспределений I^j, j = 0,n - 1, постоянны в окрестности точки (x₀,u₀);

2) CIn-2(x₀, u₀) ⊂ I(x₀, u₀).

Следствие 3. Пусть:

1) система Σ₁ A-орбитально линеаризуема в окрестности точки (x₀,u₀) ∈ M,

2) в окрестности точки (x₀, u₀) имеет место включение CIn-2 ⊂ span_C∞ {dx¹, . . . , dxⁿ}.

Тогда система Σ линеаризуема в окрестности точки (x₀, u₀) в классе преобразований (4).

Замечание 2. Если в результате применения к системе Σ алгоритма линеаризации из

п. 3 оказалось, что условия 1) и 3) теоремы 2 выполнены, но какой-либо интеграл кораспреде-

ления CIn-2 зависит от u, то систему Σ нельзя линеаризовать в окрестности точки (x₀, u₀)

в классе преобразований (4). Как вытекает из доказательства теоремы 2, проблема состоит в

том, что если функция yⁿ зависит от u, то дифференциальная 1-форма вида dyⁿ - h dt не

содержится в кораспределении J , ассоциированном с системой Σ. Продолжение системы Σ

до системы Σ₁ устраняет эту проблему. Поскольку в системе Σ₁ есть уравнение u = u1, то и

в кораспределении JΣ1 форма dyⁿ - h dt содержится даже в случае, если yⁿ зависит от u.

Чтобы построить преобразования, A-орбитально линеаризующие систему Σ₁ в окрестности

точки (x₀, u₀), воспользуемся алгоритмом A-орбитальной линеаризации, приведённым в ра-

боте [19], и тем фактом, что кораспределение IΣ1 , соответствующее системе Σ₁, совпадает с

кораспределением I, сопоставленным системе Σ. Выполнение условия 3) теоремы 2 означает,

что существуют интеграл z = z(x, u) кораспределения CIn-2 и векторное поле f_l, l ∈ {0, 1},

для которых имеет место условие dz(f_l)(x₀, u₀) = 0. Положим yn+1 = z(x, u) и составим ко-

распределение L = span_C∞ {ω, dyn+1}, где ω - форма, порождающая кораспределение In-2.

Проинтегрировав L, найдём его интеграл y¹, независимый от yn+1. Положим

dyⁱ(f_l)

yi+1 =

i = 1,n - 1.

(13)

dyn+1(f_l)

Найдём производные функций yn+1 и yⁿ в силу системы Σ₁ :

yn+1 = α⁰⁰(x,u) + α⁰¹(x,u)u¹,

yⁿ = α¹⁰(x,u) + α¹¹(x,u)u¹.

Линеаризующие преобразования в окрестности точки (x₀, u₀) определяются соотношениями

y^j = y^j(x,u), j = 1,n + 1, и матрицей A = (α^ij)i=0,1j=0,1.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№1

2023

О ЛИНЕАРИЗАЦИИ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

109

Пример. Рассмотрим систему

x¹ = -(u)⁴,

x² = 3(u)³,

x³ = -3(u)²,

x⁴ = u

(14)

на множестве M = {(x, u) : u = 0}. Покажем сначала, что система (14) не линеаризуема в

классе преобразований (4) в окрестности любой точки (x₀, u₀) ∈ M.

С системой (14) ассоциировано кораспределение

J = span_C∞{dx¹ + (u)4 dt,dx² - 3(u)3 dt,dx³ + 3(u)2 dt,dx⁴ - udt}.

Кораспределение I = {ω ∈ J : ω(∂/∂t) = 0} имеет вид

I = span_C∞{dx¹ + (u)3 dx⁴,dx² - 3(u)2 dx⁴,dx³ + 3udx⁴}.

Его производный флаг образован кораспределениями

I⁰ = I, I¹ = span_C∞{dx¹ - (u)² dx³ - 2(u)³ dx⁴,dx² + 2udx³ + 3(u)² dx⁴},

I² = span_C∞ {dx¹ + udx² + (u)² dx³ + (u)³ dx⁴}, I³ = O.

Характеристическое кораспределение CI² имеет вид CI² = span_C∞ {dz¹, dz², dz³}, где

z¹(x,u) = x¹ + ux² + (u)²x³ + (u)³x⁴, z²(x,u) = x² + 2ux³ + 3(u)²x⁴, z³(x,u) = u.

Очевидно, что ранги кораспределений I^j, j = 0, 1, 2, 3, постоянны, dz³ = du ∈ I. Как видим,

условия 1) и 3) теоремы 2 выполнены, но (z^k)^′u ≡ 0, k = 1, 2, 3, поэтому система (14) не

линеаризуема в классе преобразований (4) в окрестности любой точки (x₀, u₀) ∈ M.

Рассмотрим теперь продолжение системы (14) - аффинную систему

x¹ = -(u)⁴,

x² = 3(u)³,

x³ = -3(u)²,

x⁴ = u,

u=u¹,

(15)

которой соответствуют векторные поля

∂

f₀ = -(u)⁴

+ 3(u)³

- 3(u)²

f₁ =

∂x¹

∂x²

∂x³

∂x⁴

∂u

Согласно теореме 3 система (15) A-орбитально линеаризуема в окрестности любой точки

(x₀, u₀) ∈ M. Построим линеаризующие преобразования. Очевидно, что интеграл z³(x, u) = u

кораспределения CI² и векторное поле f₁ удовлетворяют условию dz³(f₁) = 1 = 0, поэтому

полагаем y⁵ = u и составляем кораспределение

L = I² + span_C∞{du} = span_C∞{dx¹ + udx² + (u)2 dx³ + (u)3 dx⁴,du}.

Кораспределение L представимо в виде L = span_C∞ {dy¹, du}, где y¹ = x¹ + ux² + (u)²x³ +

+ (u)³x⁴. Функции y², y³ и y⁴ могут быть найдены с использованием формул (13):

dy¹(f₁)

dy²(f₁)

dy³(f₁)

y² =

= x² + 2ux³ + 3(u)²x⁴, y³ =

= 2x³ + 6ux⁴, y⁴ =

= 6x⁴.

dy⁵(f₁)

Таким образом, линеаризующая замена состояния задаётся соотношениями y^j = y^j (x, u),

j = 1, 5, и переменная y5 должна быть принята за новую независимую переменную. По-

скольку производные функций y⁵ и y⁴ в силу системы (15) задаются выражениями y5 = u1,

y⁴ = 6u, то линеаризующая замена управления в системе (15) имеет вид

v = 6u/u¹.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№1

2023

110

ФЕТИСОВ

Указанными заменами система (15) преобразуется на множестве M_xu = {(x, u, u¹) : u = 0,

u¹ = 0} в линейную управляемую систему

(y¹)^′ = y², (y²)^′ = y³, (y³)^′ = y⁴, (y⁴)^′ = v,

определённую на множестве M_yv = {(y, v) : v = 0}.

Рассмотрим теперь частный случай, когда исходная нелинейная система является аффин-

ной по управлению, т.е. рассмотрим продолжение

Σaff,1 :

x = f(x) + g(x)u,

u=u¹

системы Σ_aff . Отметим, что (x, u) ∈ X × R - состояние системы Σaff,1, u¹ ∈ R - управление.

Связь между A-орбитальной линеаризуемостью системы Σaff,1 и A-орбитальной линаризуе-

мостью системы Σ_aff устанавливается в следующей теореме.

Теорема 4. Если система Σaff,1 A-орбитально линеаризуема в окрестности точки

(x₀, u₀) ∈ X × R, то система Σ_aff A-орбитально линеаризуема в окрестности точки x₀.

Доказательство. Сопоставим аффинной системе Σaff,1 векторные поля

∑

∂

f₀ = (fⁱ(x) + gⁱ(x)u)

f₁ =

∂xⁱ

∂u

i=1

Из A-орбитальной линеаризуемости системы Σaff,1 в окрестности точки (x₀, u₀) вытекает,

что f₀(x₀, u₀) и f₁(x₀, u₀) линейно независимы. Следовательно, f(x₀) + g(x₀)u₀ = 0. Не огра-

ничивая общности рассуждений, предположим, что fⁿ(x₀) + gⁿ(x₀)u₀ = 0. Тогда кораспреде-

ление IΣaff,1 = (span_C∞ {f₀, f₁})^⊥ имеет вид IΣaff,1 = span_C∞ {ω¹, . . . , ωn-1}, где дифференци-

альные 1-формы ωⁱ задаются выражениями ωⁱ = (fⁿ(x) + gⁿ(x)u) dxⁱ - (fⁱ(x) + gⁱ(x)u) dxⁿ,

i = 1, n - 1. Построим кораспределение I1Σaff,1 = {ω ∈ IΣaff,1 : dω ≡ 0 mod IΣaff,1 }. Будем

∑n-1

искать формы, порождающие I1Σaff,1 , в виде ω =

μ_iωⁱ, где μ₁, ..., μn-1 - гладкие

i=1

функции, подлежащие определению. Нетрудно видеть, что справедливы сравнения

dωⁱ ≡ gⁿ(x) du ∧ dxⁱ - gⁱ(x) du ∧ dxⁿ mod I_Σ

i = 1,n - 1.

aff,1

∑n-1

Поэтому соотношение

μ_idωⁱ ∧ ω¹ ∧ ... ∧ ωn-1 = 0 после алгебраических преобразований

i=1

приводит к уравнению



∑



^fⁱ(x) gⁱ(x)



μ_i

(16)

_fn(x) gⁿ(x)=

i=1

Так как система Σaff,1 A-орбитально линеаризуема, то кораспределение I¹

в окрест-

Σaff,1

ности точки (x₀, u₀) имеет постоянный ранг n - 2. Следовательно, хотя бы для одного i ∈

∈ {1, . . . , n - 1} коэффициент при μ_i отличен от нуля в точке x₀. Для определённости пред-

положим, что определитель



fn-1(x₀) gn-1(x₀)



fⁿ(x₀)

gⁿ(x₀)

⁼

Выразив из (16) функцию μn-1 и подставив полученное соотношение в формулу ω =

∑n-1

μ_iωⁱ, получим, что кораспределение I¹

имеет вид

i=1

Σaff,1

⎧



⎫



⎨

dxⁱ

dxn-1

dxⁿ

⎬



I^1Σ

= span_C∞

fⁱ(x) fn-1(x) fⁿ(x)

, i = 1,n - 2

aff,1



⎩

⎭



_gi(x) gn-1(x) gⁿ(x)

Таким образом, I¹

является кораспределением на множестве X. Поскольку систе-

Σaff,1

ма Σaff,1 A-орбитально линеаризуема в окрестности точки (x₀, u₀), кораспределения I^j

Σaff,1

j = 1,n - 1, имеют постоянный ранг в окрестности точки x₀ и CIn-2Σ

(x₀) ⊂ IΣaff,1 (x₀, u₀).

aff,1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№1

2023

О ЛИНЕАРИЗАЦИИ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

111

С аффинной системой Σ_aff ассоциировано кораспределение IΣaff = (span_C∞ {f, g})^⊥. Не-

сложно проверить, что имеет место равенство IΣaff = I¹

. Отсюда вытекает, что для всех

Σaff,1

j = 0,n - 2 справедливы соотношения IjΣ

=Ij+1Σ

. Следовательно, кораспределения I^j

aff

aff,1

Σ_aff

j = 0,n - 2, имеют постоянный ранг в окрестности точки x₀.

Покажем, что CIn-3Σ(x0)

⊂ IΣaff(x₀). Предположив противное, получим CIn-2Σ

(x₀) ⊂

aff

aff,1

⊂ I1Σaff,1(x₀). Согласно правилу построения производного флага I1Σaff,1(x₀) ⊂ IΣaff,1(x₀,u₀),

поэтому приходим к включению CIn-2Σ

(x₀) ⊂ IΣaff,1 (x₀, u₀), являющемуся противоречием.

aff,1

Таким образом, CIn-3Σ(x0) ⊂ IΣaff (x0). Согласно теореме 1 система Σaff A-орбитально лине-

aff

аризуема в окрестности точки x₀.

Замечание 3. Таким образом, из A-орбитальной линеаризуемости однократного продол-

жения аффинной системы Σ_aff в окрестности точки (x₀, u₀) следует A-орбитальная линеари-

зуемость самой системы Σ_aff в окрестности точки x₀. Как видно из теоремы 3 и следующего

за ней примера, свойство, установленное в теореме 4, является характерной особенностью аф-

финных систем. Для систем, не аффинных по управлению, однократное продолжение может

быть линеаризуемым и в случае, если исходная система не линеаризуема в классе преобразо-

ваний (4).

5. Линеаризация на основе k-кратного продолжения. Рассмотрим теперь, наряду с

системой Σ, систему, полученную из Σ её k-кратным продолжением:

Σ_k :

x = F(x,u⁰),

u⁰ = u¹, ... ,

uk-1 = u^k.

Введём обозначение u = (u⁰, . . . , uk-1) и отметим, что (x, u) ∈ M × Rk-1 - состояние систе-

мы Σ_k, а u^k ∈ R - управление. Система Σ_k является аффинной по управлению. Будем рас-

сматривать задачу A-орбитальной линеаризации системы Σ_k в окрестности точки (x₀, u₀).

A-орбитальная линеаризуемость системы Σ_k в окрестности точки (x₀, u₀) означает существо-

вание окрестности V (x₀, u₀) точки (x₀, u₀), для которой найдутся невырожденная матрица

A = (α^ij)i=0,1j=0,1, α^ij ∈ C^∞(V (x₀,u₀)), и диффеоморфизм Φ : V (x₀,u₀) → Φ(V (x₀,u₀)) такие,

что заменой независимой переменной

˙τ = α⁰⁰(x,u) + α⁰¹(x,u)u^k,

заменой управления

α¹⁰(x,u) + α¹¹(x,u)u

α⁰⁰(x,u) + α⁰¹(x,u)u^k

и заменой состояния y = Φ(x, u) система Σ_k в окрестности точки (x₀, u₀) преобразуется на

множестве M_xu = {(x, u, u^k) : (x, u) ∈ V (x₀, u₀), α⁰⁰(x, u) + α⁰¹(x, u)u^k = 0} в систему

(y¹)^′ = y², . . . , (yn+k-2)^′ = yn+k-1, (yn+k-1)^′ = v, (yn+k)^′ = 1,

(17)

определённую на множестве M_yv = {(y, v) : y ∈ Φ(V (x₀, u₀)), α¹¹(Φ-1(y))-α⁰¹(Φ-1(y))v = 0}.

В системе (17) переменную состояния yn+k можно рассматривать как независимую перемен-

ную, а саму систему (17) можно считать линейной управляемой системой (n + k - 1)-го по-

рядка

(y¹)^′ = y², . . . , (yn+k-2)^′ = yn+k-1, (yn+k-1)^′ = v.

Выясним связь между A-орбитальной линеаризуемостью системы Σ_k, k ≥ 2, и A-орбиталь-

ной линеаризуемостью системы Σ₁.

Теорема 5. Пусть система Σ_k, k ≥ 2, A-орбитально линеаризуема в окрестности

точки (x₀,u₀) ∈ M × Rk-1. Тогда система Σ₁ A-орбитально линеаризуема в окрестности

точки (x₀,u⁰⁰).

Доказательство. Аффинной системе Σ_k соответствуют векторные поля

∑

∂

f₀ =

Fⁱ(x,u⁰)

+ ul+1

f₁ =

∂xⁱ

∂u^l

∂uk-1

i=1

l=0

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№1

2023

112

ФЕТИСОВ

Из A-орбитальной линеаризуемости системы Σ_k в окрестности точки (x₀, u₀) следует, что

векторы

f₀(x₀,u₀) и

f₁(x₀,u₀) линейно независимы.

Покажем сначала, что невозможен случай F (x₀, u⁰⁰) = 0. Предположим противное. Тогда

из линейной независимости векторов

f₀(x₀,u₀) и

f₁(x₀,u₀) вытекает существование номе-

ра ρ ∈ {1, . . . , k - 1} такого, что uρ0 = 0. Покажем, что из A-орбитальной линеаризуемо-

сти системы Σ_k следует условие u¹⁰ = 0. Предположим, что это не так, и пусть r ∈ {2,

...,k-1} - наименьший номер, удовлетворяющий условию ur0 = 0. В этом случае аннулятором

распределения FΣk = span_C∞

f₀

f₁} является кораспределение

IΣk = span_C∞{ω¹,... , ωⁿ;u^r du^l - ul+1 dur-1, l = 0,k - 2, l = r - 1},

где ωi = ur dxi - Fi(x,u0)dur-1, i = 1,n.

Построение производного флага кораспределения IΣk даёт следующий результат:

IjΣ

= span_C∞{ω¹,... , ωⁿ;u^r du^l - ul+1 dur-1, l = 0,k - j - 2, l = r - 1}, j = 0,k - 2 - r,

Ik-1-rΣ

= span_C∞{ω¹,... , ωⁿ;u^r du^l - ul+1 dur-1, l = 0,r - 2}.

Найдём кораспределение I^k-r. Обозначим через_Σ

ωⁱ = u^r dui-n-1 - u^i-n dur-1, i = n + 1,n + r - 1,

последние r - 1 форм, порождающих кораспределение Ik-1-r. Будем искать формы, по-_Σ

∑n+r-1

рождающие кораспределение Ik-rΣ

в виде ω =

μ_iωⁱ, где μ₁, ..., μn+r-1 - гладкие

i=1

∑n+

r-1

функции, подлежащие определению из условия

μ_idωⁱ∧ω¹∧...∧ωn+r-1 = 0. Поскольку

i=1

{

du^r ∧ dxⁱ,

i = 1,n,

dωⁱ ≡

mod Ik-1-r,_Σ

du^r ∧ dui-n-1,

i = n + 1,n + r - 1,

∑n+r-1

то равенство

μ_idωⁱ ∧ ω¹ ∧ ... ∧ ωn+r-1 = 0 после алгебраических преобразований

i=1

приводит к уравнению

μ₁F¹(x,u⁰) + ... + μ_nFⁿ(x,u⁰) + μn+1u¹ + ... + μn+r-1ur-1 = 0

относительно μ₁, . . . , μn+r-1. Так как F (x₀, u⁰⁰) = 0 и u¹⁰ = . . . = ur-10 = 0, в точке (x₀, u₀)

полученное уравнение имеет n + r - 1 линейно независимых решений. Как следствие, ранг

кораспределения Ik-rΣ

в окрестности точки (x₀, u₀) не может быть равен n+r-2. Отсюда вы-

текает, что система Σ_k не является A-орбитально линеаризуемой в окрестности точки (x₀, u₀).

Полученное противоречие доказывает, что u¹⁰ = 0.

Нетрудно убедиться в том, что если u¹⁰ = 0, то:

- кораспределение IΣk может быть представлено в виде

IΣk = span_C∞{ω¹,... , ωⁿ;u¹ du^l - ul+1 du⁰, l = 1,k - 2},

где ωi = u1 dxi - Fi(x,u0)du0, i = 1,n;

- первыми k - 2 элементами производного флага кораспределения IΣk являются корас-

пределения

IjΣ

= span_C∞{ω¹,... , ωⁿ;u¹ du^l - ul+1 du⁰, l = 1,k - j - 2}, j = 0,k - 3;

– (k-1)-м элементом производного флага кораспределения IΣk является кораспределение

Ik-2Σ

= span_C∞{ω¹,... , ωⁿ}.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№1

2023

О ЛИНЕАРИЗАЦИИ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

113

∑_n

Будем искать формы, порождающие кораспределение Ik-1Σ, в виде ω =

μ_iωⁱ, где μ₁,

i=1

∑_n

..., μ_n - гладкие функции, которые необходимо найти из условия

μ_idωⁱ ∧ ω¹ ∧...∧ ωⁿ =

i=1

∑_n

= 0. Поскольку dωⁱ ≡ du¹ ∧ dxⁱ mod Ik-2Σ, то из соотношения

μ_idωⁱ ∧ ω¹ ∧ ... ∧ ωⁿ = 0

i=1

получаем уравнение

μ₁F¹(x,u⁰) + ... + μ_nFⁿ(x,u⁰) = 0

относительно μ₁, . . . , μ_n. Так как F (x₀, u⁰⁰) = 0, то в точке (x₀, u⁰⁰) полученное уравнение

имеет n линейно независимых решений. Следовательно, ранг кораспределения Ik-1 в окрест-_Σ

ности этой точки не может быть равен n - 1. Этот результат противоречит A-орбитальной

линеаризуемости системы Σ_k в окрестности точки (x₀, u₀).

Таким образом, возможен лишь случай, когда F (x₀, u⁰⁰) = 0. Не ограничивая общности,

будем полагать, что Fⁿ(x₀, u⁰⁰) = 0. Тогда аннулятором распределения FΣk является корас-

пределение

IΣk = span_C∞{ω¹,... ,ωn-1;Fⁿ(x,u⁰)du^l - ul+1 dxⁿ, l = 0,k - 2},

где ωⁱ = Fⁿ(x, u⁰) dxⁱ -Fⁱ(x, u⁰) dxⁿ, i = 1, n - 1. Построим производный флаг кораспределе-

ния IΣk . Непосредственные вычисления показывают, что его первые k элементов имеют вид

IjΣ

= span_C∞{ω¹,... ,ωn-1;Fⁿ(x,u⁰)du^l - ul+1 dxⁿ, l = 0,k - j - 2}, j = 0,k - 2,

Ik-1Σ

= span_C∞{ω¹,... ,ωn-1}.

Таким образом, Ik-1 является кораспределением на множестве M. Нетрудно видеть, что_Σ

Ik-1Σ

=P^⊥ =IΣ1.

Согласно теореме 1 из A-орбитальной линеаризуемости системы Σ_k в окрестности точки

(x₀, u₀) следует, что ранги кораспределений Ij , j

= k - 1,n + k - 2, постоянны в окрест-

Σ_k

ности точки (x₀, u⁰⁰) и CIn+k-3Σ(x0, u00)

⊂ IΣk(x₀,u₀). Так как Ik-1Σ

= I⁰ , то ранги ко-_Σ

распределений IjΣ

, j = 0, n - 1, составляющих производный флаг кораспределения IΣ1 ,

постоянны в окрестности точки (x₀, u⁰⁰). Таким образом, условие 1) теоремы 3 выполнено.

Покажем, что кораспределение CIn-2 удовлетворяет условию 2) теоремы 3. Предположив,_Σ

что CIn-2Σ(x0, u00) ⊂ I0Σ1 (x0, u00), получим включение

CIn+k-3Σ

(x₀, u⁰⁰) ⊂ Ik-1Σ(x0, u00) ⊂ IΣ

(x₀, u₀).

Полученный результат противоречит A-орбитальной линеаризуемости системы Σ_k в окрест-

ности точки (x₀, u₀). Таким образом, CIn-2Σ(x0, u00) ⊂ IΣ1 (x0, u00), и это означает, что систе-

ма Σ₁

A-орбитально линеаризуема в окрестности точки (x₀, u⁰⁰).

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных ис-

следований (проект 20-07-00279).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Brockett R.W. Feedback invariants for nonlinear systems // Proc. of IFAC Congress. Helsinki, 1978.

P. 1115-1120.

2. Jakubczyk B., Respondek W. On linearization of control systems // Bull. Acad. Polon. Sci. Ser. Math.

1980. V. 28. P. 517-522.

3. Hunt L.R., Su R. Linear equivalents of nonlinear time-varying systems // Proc. Symp. Math. Theory of

Networks and Systems. 1981. P. 119-123.

4. Gardner R.B., Shadwick W.F. The GS algorithm for exact linearization to Brunovsky normal form

// IEEE Trans. on Automat. Control. 1992. V. 37. № 2. P. 224-230.

5. Krener A. Approximate linearization by state feedback and coordinate change // Systems and Control

Lett. 1984. № 5. P. 181-185.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№1

2023

114

ФЕТИСОВ

6. Marino R. On the largest feedback linearizable subsystem // Systems and Control Lett. 1986. № 6.

P. 345-351.

7. Isidori A. Nonlinear Control Systems. London, 1995.

8. Fliess M., Levine J., Martin P., Rouchon P. Flatness and defect of nonlinear systems: introductory

theory and examples // Int. J. of Control. 1995. V. 61. P. 1327-1361.

9. Charlet B., Levine J., Marino R. On dynamic feedback linearization // System Control Lett. 1989. V. 13.

P. 143-151.

10. Sampei M., Furuta K. On time scaling for nonlinear systems: application to linearization // IEEE Trans.

on Automat. Control. 1986. V. 31. P. 459-462.

11. Fliess M., Levine J., Martin P., Rouchon P. A Lie-Backlund approach to equivalence and flatness of

nonlinear systems. IEEE Trans. on Automat. Control. 1999. V. 44. № 5. P. 922-937.

12. Kiss B., Szadeczky-Kardoss E. Tracking control of the orbitally flat kinematic car with a new time-scaling

input // 46th IEEE Conf. on Decision and Control. New Orleans, 2007. P. 1969-1974.

13. Vollmer U., Raisch J. Control of batch cooling crystallisers based on orbital flatness // Int. J. of Control.

2003. V. 76. P. 1635-1643.

14. Respondek W. Orbital feedback linearization of single-input nonlinear control systems // Proc. of the

IFAC Sympos. on Nonlinear Control Systems. Enschede, 1998. P. 499-504.

15. Фетисов Д.А. А-орбитальная линеаризация аффинных систем // Дифференц. уравнения. 2018.

Т. 54. № 11. С. 1518-1532.

16. Guay M. An algorithm for orbital feedback linearization of single-input control affine systems // Systems

and Control Lett. 1999. V. 38. № 4-5. P. 271-281.

17. Li S.-J., Respondek W. Orbital feedback linearization for multi-input control systems // Int. J. of Robust

and Nonlin. Control. 2015. V. 25. № 9. P. 1352-1378.

18. Fetisov D.A. A-orbital feedback linearization of multiinput control affine systems // Int. J. of Robust

and Nonlin. Control. 2020. V. 30. № 14. P. 5602-5627.

19. Fetisov D.A. On some approaches to linearization of affine systems // IFAC-PapersOnline. 2019. V. 52.

№ 16. P. 700-705.

Московский государственный технический

Поступила в редакцию 09.10.2022 г.

университет имени Н.Э. Баумана

После доработки 09.10.2022 г.

Принята к публикации 28.11.2022 г.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№1

2023