ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2023, том 59, № 1, с.130-137
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
УДК 519.622.1
НЕПРЕРЫВНЫЙ МЕТОД НАХОЖДЕНИЯ
ОБОБЩЁННОЙ НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ
НЕРАСТЯГИВАЮЩЕГО ОТОБРАЖЕНИЯ
НА МНОЖЕСТВЕ ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА
© 2023 г. И. П. Рязанцева
Введено понятие обобщённой неподвижной точки нерастягивающего оператора на выпук-
лом замкнутом множестве гильбертова пространства. Для её нахождения построен регуля-
ризирующий алгоритм в форме задачи Коши для дифференциального уравнения первого
порядка, установлены достаточные условия сильной сходимости получаемых приближений
к нормальной обобщённой неподвижной точке при приближённом задании нерастягиваю-
щего оператора и выпуклого замкнутого множества, на котором находится искомая обоб-
щённая неподвижная точка оператора. Приведены примеры параметрических функций,
обеспечивающих сходимость приближений по норме гильбертова пространства к нормаль-
ной обобщённой неподвижной точке оператора на выпуклом замкнутом множестве этого
пространства.
DOI: 10.31857/S0374064123010119, EDN: ODDNEO
1. Постановка задачи. Пусть H - вещественное гильбертово пространство, (u, v) - ска-
лярное произведение элементов u и v из H, Ω - выпуклое и замкнутое множество из H,
PΩ : H → Ω - оператор проектирования в H на Ω, A : H → H - нерастягивающий оператор
на Ω, т.е.
∥Ax - Ay∥ ≤ ∥x - y∥ для любых x, y ∈ Ω.
(1)
Построим операторы B = E - PΩ, C = E - APΩ, где E : H → H - единичный оператор в H.
Поскольку оператор PΩ в H является нерастягивающим (см., например, [1, § 1.3]), то с учётом
(1) и [1, § 1.3] заключаем, что операторы B и C монотонны на H и обладают свойствами
ограниченности и непрерывности, поскольку удовлетворяют условию Липшица.
Отметим, что на множестве Ω оператор C = E - A, а B - нулевой оператор.
Определение (ср. с [1, п. 1.11]). Точку x ∈ Ω назовём обобщённой неподвижной точкой
оператора A на множестве Ω ⊆ H, если
(C x, x - x) ≤ 0 для любого x ∈ Ω,
x ∈ Ω.
(2)
Поскольку D(C) = H, то неравенство (2) эквивалентно неравенству (см. [1, лемма 1.11.4])
(Cx, x - x) ≤ 0 для любого x ∈ Ω,
x ∈ Ω.
(3)
Приведём некоторое пояснение понятия обобщённой неподвижной точки.
Известно (см., например, [1, лемма 1.5.17]), что при всех x ∈ H элемент z = PΩx тогда и
только тогда, когда справедливо неравенство
(z - x, z - y) ≤ 0 для любого y ∈ Ω.
Пусть x - неподвижная точка оператора PΩA, т.е. x = PΩAx, x ∈ Ω. Тогда последнее
неравенство примет вид
(x - Ax, x - y) ≤ 0 для любых x, y ∈ Ω.
Таким образом, обобщённая неподвижная точка оператора A на множестве Ω в наших
условиях совпадает с неподвижной точкой оператора PΩA.
130
НЕПРЕРЫВНЫЙ МЕТОД НАХОЖДЕНИЯ ОБОБЩЁННОЙ НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ 131
Свойство (1) оператора A не гарантирует существование у него неподвижной точки на Ω,
а также не обеспечивает сильную сходимость итерационного процесса xn+1 = Axn к непо-
движной точке оператора A (см. [2, гл. 2, § 4]).
Пусть множество N обобщённых неподвижных точек оператора A на Ω непусто, тогда
из (3) следуют выпуклость и замкнутость множества N. Ставится задача построения устой-
чивого метода нахождения некоторой точки из N.
2. Операторный метод регуляризации для задачи с точными данными. Пусть
0∈Ω и
(Cx, x) ≥ 0 при
∥x∥ ≥ r > 0, x ∈ Ω, C = E - APΩ.
(4)
Построим в пространстве H операторное уравнение
Bx(t) + β(t)[Cx(t) + α(t)x(t)] = 0, α(t) > 0, β(t) > 0, t ≥ t0 ≥ 0.
(5)
Из свойств операторов B и C следует существование единственного решения уравнения (5)
при всех t ≥ t0 [1, теорема 1.7.5; 3, § 18]. Исследуем поведение x(t) при t → ∞.
Выберем некоторый элемент x ∈ N ⊂ Ω. Поскольку Bx = 0 при всех x ∈ Ω, то из (5)
получаем равенство
(Bx(t) - Bx, x(t) - x) + β(t)[(C x(t) - Cx, x(t) - x) +
+ (Cx, x(t) - x) + α(t)(x(t), x(t) - x)] = 0, x ∈ N.
(6)
Если x(t) ∈ Ω, то условие (2) и монотонность отображений B и C приводят к неравенству
(x(t), x(t) - x) ≤ 0,
т.е.
∥x(t)∥ ≤ ∥x∥,
x(t) ∈ Ω, x ∈ N.
(7)
Пусть теперь x(t) ∈ Ω. Умножив (5) скалярно на x(t), имеем равенство
(Bx(t), x(t)) + β(t)(C x(t), x(t)) + α(t)β(t)∥x(t)∥2 = 0.
(8)
Поскольку 0 ∈ Ω и B(0) = 0, то первое слагаемое в (8) неотрицательно. Кроме того, x(t) = 0,
так как 0 ∈ Ω, а x(t) ∈ Ω. Предполагая существование неограниченной величины x(t) при
t ≥ t0 ≥ 0, состоящей из точек, не входящих в Ω, и учитывая (4), в (8) приходим к противо-
речию. Следовательно, принимая во внимание (7), делаем вывод об ограниченности x(t) при
t ≥ t0 ≥ 0. Значит, x(t) ⇀ x ∈ H (для упрощения записей обозначения для подсемейства не
меняем).
Пусть
β(t)
lim
α(t) = 0,
lim
β(t) = 0,
lim
= 0.
(9)
t→+∞
t→+∞
t→+∞ α(t)
Теперь из (5) в силу ограниченности оператора C имеем сходимость Bx(t) → 0 при t → ∞.
Так как B : H → H - максимальный монотонный оператор (см. [1, теорема 1.4.6]), то из
сходимостей x(t) ⇀ x, Bx(t) → 0 в силу демизамкнутости оператора B вытекает равенство
Bx = 0 (см. [1, §1.4]).
Пусть x - произвольный элемент из Ω, тогда из (6) с учётом монотонности отображений
B и C получаем неравенство
(Cx, x(t) - x) + α(t)(x(t), x(t) - x) ≤ 0, x ∈ Ω.
(10)
Отсюда, устремив t к бесконечности и приняв во внимание первое равенство в (9), а также
ограниченность x(t) при t ≥ t0 ≥ 0, установим неравенство
(Cx, x - x) ≤ 0,
x ∈ Ω для любого x ∈ Ω,
т.е. x∈N.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№1
2023
9∗
132
РЯЗАНЦЕВА
Пусть теперь в (10) x - произвольный элемент из N ⊂ Ω,
y(t) = PΩ x(t) ∈ Ω, t ≥ t0, тогда
(10) запишем в следующей эквивалентной форме:
(Cx, y(t) - x) + (Cx, x(t) - y(t)) + α(t)(x(t), x(t) - x) ≤ 0.
В силу определения обобщённой неподвижной точки первое слагаемое в последнем выражении
неотрицательно. Следовательно, имеет место неравенство
α(t)(x(t), x(t) - x) ≤ ∥Cx∥∥x(t) - y(t)∥, x ∈ N.
(11)
Используя определение оператора B, равенство (5), ограниченность
x(t) при t ≥ t0 ≥ 0 и
ограниченность оператора C, приходим к соотношениям
∥x(t) - y(t)∥ = ∥x(t) - PΩx(t)∥ = ∥Bx(t)∥ ≤ β(t)c1.
Здесь и далее ck, k ∈ N, - положительные постоянные. Теперь из (11) имеем оценку
β(t)
(x(t), x(t) - x) ≤ c2
,
x∈N,
(12)
α(t)
или
β(t)
∥x(t) - x∥2
+ (x, x(t) - x) ≤ c2
,
x∈N.
α(t)
Приняв в последнем неравенстве x = x, с учётом последнего предельного равенства из (9) и
слабой сходимости x(t) к x при t → ∞ установим сходимость ∥x(t) - x∥ к нулю при t → ∞.
Теперь, переходя к пределу при t → ∞ в (12), получим неравенство ∥x∥ ≤ ∥x∥ при всех x ∈ N.
Значит, x - обобщённая неподвижная точка оператора A на множестве Ω с минимальной
нормой. Далее эту точку обозначаем через x∗. Следовательно, x∗ - единственный элемент из
N, определяемый соотношением
∥x∗∥ = min{∥x∥ : x ∈ N}
(13)
и называемый нормальной обобщённой неподвижной точкой оператора A на множестве Ω.
Таким образом, доказана
Теорема 1. Пусть A : H → H - нерастягивающий на Ω оператор, Ω - выпуклое замкну-
тое множество из H,
0 ∈ Ω, множество N обобщённых неподвижных точек оператора
A на Ω непусто, и имеют место условия (4), (9).
Тогда семейство решений x(t) операторного уравнения (5) при t → ∞ сходится по норме
пространства H к единственной нормальной обобщённой неподвижной точке x∗ оператора
A на множестве Ω (см. (13)).
Обсудим связь сформулированного выше определения обобщённой неподвижной точки с
понятием неподвижной точки как решения операторного уравнения x = Ax. Пусть
N -
непустое множество неподвижных точек оператора A, входящих в Ω. Если z ∈ int Ω и z ∈
∈ N, то из (3) нетрудно получить равенство Cz = 0 (см. [1, лемма 1.11.6]). Значит, z ∈
N,
если z ∈ N
⋂ int Ω. Включение
N ⊆ N очевидно. Множество
N может быть пустым, а при
этом N = ∅. Докажем это утверждение примером. Пусть A : R → R - оператор сдвига, т.е.
Ax = x + a, a > 0, тогда
N = ∅ на любом выпуклом замкнутом множестве Ω. Но если
Ω = {x : x ≤ b}, то N = {b}.
3. Непрерывный метод нахождения обобщённой неподвижной точки операто-
ра на выпуклом замкнутом множестве. Пусть выполнены условия теоремы 1, а данные
задачи, поставленной в п. 1, возмущены. Предположим, что вместо множества Ω известно
семейство выпуклых замкнутых множеств {Ωt}, t ≥ t0, Ωt ⊆ H, причём
r(Ω, Ωt) ≤ σ(t),
(14)
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№1
2023
НЕПРЕРЫВНЫЙ МЕТОД НАХОЖДЕНИЯ ОБОБЩЁННОЙ НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ 133
где r(Ω, Ωt) - хаусдорфово расстояние в H между множествами Ω и Ωt из H, σ(t) - неот-
рицательная неубывающая непрерывная функция при t ≥ t0, σ(t) → 0 при t → ∞.
Приближения оператора A задаются семейством отображений
{A(t)}, A(t) : H → H, Ωt ⊆ D(At) = D(A) = H, t ≥ t0,
и справедливы неравенства
∥A(t)x - Ax∥ ≤ δ(t)g(∥x∥) для любых x ∈ H и t ≥ t0,
(15)
∥A(t)x - A(t)y∥ ≤ [1 + h(t)]∥x - y∥,
(16)
здесь δ(t) и h(t) - функции того же класса, что и σ(t); g(s) (s ≥ 0) - неотрицательная
неубывающая функция.
Отметим, что в наших предположениях оператор A(t) : H → H может и не иметь обоб-
щённой неподвижной точки на Ωt.
Пусть x ∈ H, тогда при условии (14) верно неравенство
√
∥PΩx - PΩt x∥ ≤ c
σ(t),
(17)
где c - абсолютная постоянная для всех x, принадлежащих ограниченному множеству в H
(см. [4, § 3.4]).
Для решения поставленной некорректной задачи будем использовать непрерывный метод
регуляризации, сводящийся к задаче Коши для дифференциального уравнения первого поряд-
ка. Выбор этого метода обусловлен тем, что имеется большой набор эффективных численных
методов решения дифференциальных уравнений, а в начальных условиях задачи Коши можно
учесть некоторую априорную информацию о искомом решении, если таковая имеется. Автору
неизвестны работы, в которых изучалась бы предложенным методом поставленная в данной
статье задача.
Построим дифференциальное уравнение с приближёнными данными
dy(t)
+ B(t)y(t) + β(t)[C(t)y(t) + α(t)y(t)] = 0
(18)
dt
и с начальным условием
y(t0) = y0 ∈ H.
(19)
Здесь B(t) = E - PΩt , C(t) = E - A(t)PΩt , y0 - произвольный элемент из H, α(t) и β(t) -
положительные дифференцируемые невозрастающие выпуклые вниз бесконечно малые при
t → ∞ функции, t ≥ t0. Следовательно, при t ≤ τ справедливы неравенства (см. [5, §10,
гл. 2])
|β(t) - β(τ)| ≤ β′(t)(t - τ),
|α(t) - α(τ)| ≤ α′(t)(t - τ).
Предполагаем, что оператор A(t) непрерывен по t, а оператор B(t) непрерывен по t в
гильбертовом пространстве (см., например, [4, § 3.4]). Значит, в наших условиях непрерывность
по t слагаемых из (18), не содержащих производную, имеет место. Справедливость условия
Липшица для оператора A(t) вытекает из (16), а для оператора B(t) условие Липшица уста-
навливается на основе справедливости его для оператора проектирования в H на выпуклое
замкнутое множество (см., например, [4, § 3.4]).
Теперь в наших предположениях делаем вывод об однозначной разрешимости задачи Коши
(18), (19) при t ≥ t0 (см. [6, § 33.4]).
Умножив (18) скалярно на y(t), имеем
(y′(t), y(t)) + (B(t)y(t), y(t)) + β(t)[(C(t)y(t), y(t)) + α(t)∥y(t)∥2] = 0.
(20)
Пусть верно неравенство
(B(t)y(t), y(t)) + β(t)[(C(t)y(t), y(t)) + α(t)∥y(t)∥2] ≥ 0
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№1
2023
134
РЯЗАНЦЕВА
при ∥y(t)∥ ≥ r0 > 0 и хотя бы достаточно больших t. Тогда из (20) при этих t получаем
неравенство (y′(t), y(t)) ≤ 0, т.е. d(∥y(t)∥2)/dt ≤ 0. Следовательно, ∥y(t)∥ - ограниченная на
множестве [t0, +∞) функция, а значит, справедливо неравенство
∥y(t)∥ ≤ c0 для любого t ≥ t0, c0 > 0.
(21)
Далее считаем, что условие (21) выполнено.
Построим вспомогательное операторное уравнение с точными данными
B x(τ) + β(τ)[C x(τ) + α(τ)x(τ)] = 0, τ ≥ t0 ≥ 0,
(22)
и на основании теоремы 1 утверждаем сильную сходимость x(τ) при τ → ∞ к нормальной
обобщённой неподвижной точке оператора A на Ω.
Для проведения дальнейших исследований вычтем (22) из (18) и, умножив результат ска-
лярно на y(t) - x(τ), придём к равенству
(
)
dy(t)
,y(t) - x(τ)
+ (B(t)y(t) - Bx(τ), y(t) - x(τ)) +
dt
+ (β(t)C(t)y(t) - β(τ)C x(τ), y(t) - x(τ)) + (α(t)β(t)y(t) - α(τ)β(τ)x(τ), y(t) - x(τ)) = 0. (23)
Определим скалярную функцию
2
∥y(t) - x(τ)∥
ρ(t, τ) =
,
2
тогда
ρ′t(t,τ) = (y(t) - x(τ),y′(t)).
Теперь, используя (23), найдём оценку сверху для ρ(t, τ) при t ≤ τ. Прежде всего отметим,
что в наших условиях из доказательства теоремы 1 следует ограниченность в H семейства
{x(t)}, t ≥ t0. Найдём оценки сверху для последних трёх слагаемых из (23). Учитывая моно-
тонность операторов B(t) при t ≥ t0, равенства B(t) = E - PΩt , B = E - PΩ, оценку (17),
имеем соотношения
Λ1(t,τ) = (B(t)y(t) - Bx(τ)),y(t) - x(τ)) = (B(t)y(t) - B(t)x(τ),y(t) - x(τ)) -
- (Bx(τ) - B(t)x(τ), y(t) - x(τ)) ≥ -∥Bx(τ) - B(t)x(τ)∥∥y(t) - x(τ)∥ =
√
= -∥PΩtx(τ) - PΩx(τ)∥∥y(t) - x(τ)∥ ≥ -c
σ(t)∥y(t) - x(τ)∥.
(24)
Далее рассмотрим величину
Λ2(t,τ) = (β(t)C(t)y(t) - β(τ)Cx(τ),y(t) - x(τ)) =
= β(t)(C(t)y(t) - C(t)x(τ),y(t) - x(τ)) - β(t)(Cx(τ) - C(t)x(τ),y(t) - x(τ)) -
- [β(τ) - β(t)](C x(τ), y(t) - x(τ)).
(25)
Оценим слагаемые, стоящие в правой части (25). Определение оператора C(t), оценка (16) и
нерастяжимость оператора PΩt позволяют записать неравенства
(C(t)y(t) - C(t)x(τ), y(t) - x(τ)) =
= ∥y(t) - x(τ)∥2 - (A(t)PΩt y(t) - A(t)PΩt x(τ), y(t) - x(τ)) ≥
≥ ∥y(t) - x(τ)∥2 - [1 + h(t)]∥∥PΩt y(t) - PΩt x(τ)∥∥y(t) - x(τ)∥ ≥ -2h(t)ρ(y(t), x(τ)).
(26)
Поскольку 0 ∈ Ω по условию, то свойство нерастяжимости оператора PΩ обеспечивает вы-
полнение неравенства
∥PΩx∥ ≤ ∥x∥ для любого x ∈ H.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№1
2023
НЕПРЕРЫВНЫЙ МЕТОД НАХОЖДЕНИЯ ОБОБЩЁННОЙ НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ 135
Теперь, используя (15)-(17), запишем цепочку неравенств
∥C(t)x(τ) - C x(τ)∥ = ∥A(t)PΩt x(τ) - APΩ x(τ)∥ ≤
≤ ∥A(t)PΩt x(τ) - A(t)PΩ x(τ)∥ + ∥A(t)PΩ x(τ) - APΩ x(τ)∥ ≤
≤ [1 + h(t)]∥PΩt x(τ) - PΩ x(τ)∥ + δ(t)g(∥PΩ x(τ)∥) ≤
√
√
≤ c3([1 + h(t)]
σ(t) + δ(t)) ≤ c4(δ(t) +
σ(t)).
(27)
В силу ограниченности оператора C, ограниченности семейств {y(t)} (см. (21)) и {x(t)} при
t ≥ t0 делаем вывод о справедливости соотношений
[β(t) - β(τ)](C x(τ), y(t) - x(τ)) ≥ -c5|β(t) - β(τ)| ≥ -c5β′(t)(t - τ), t ≤ τ.
(28)
Таким образом, в силу (25)-(28) установлена оценка
√
Λ2(t,τ) ≥ -2h(t)ρ(y(t), x(τ)) - c6[δ(t) +
σ(t) + β′(t)(t - τ)], t ≤ τ.
(29)
Оценим последнее слагаемое в (23):
Λ3(t,τ) = (α(t)β(t)y(t) - α(τ)β(τ)x(τ),y(t) - x(τ)) ≥
≥ α(t)β(t)∥y(t) - x(τ)∥2 - |α(t)β(t) - α(τ)β(τ)|∥x(τ)∥∥y(t) - x(τ)∥ ≥
≥ 2λ(t)ρ(t, τ) - c7λ′(t)(t - τ), λ(t) = α(t)β(t), t ≤ τ.
(30)
Теперь, используя (24), (29) и (30), от (23) придём к неравенству
√
ρ′t(t,τ) ≤ -2λ(t)ρ(t,τ) + c8{δ(t) + h(t) +
σ(t) + [β′(t) + λ′(t)](t - τ)}, t ≤ τ.
(31)
Использовав лемму 1 из [5, гл. 2, § 10], из (31) имеем оценку
[ (
∫
t
)
ρ(t, τ) ≤ c9 exp
-2
λ(s) ds
+
t0
∫t
( ∫ t
)
]
√
+
{δ(θ) + h(θ) +
σ(θ) + [β′(θ) + λ′(θ)](θ - τ)} exp
- λ(s) ds dθ , t ≥ t0, θ ≤ τ.
t0
θ
Положив здесь t = τ, ρ(τ, τ) = ρ(τ), получим неравенство
[ ( ∫τ
) ∫τ
√
ρ(τ) ≤ c9 exp
-2
λ(s) ds
+
{δ(θ) + h(θ) +
σ(θ) + [β′(θ) + λ′(θ)](θ - τ)} ×
t0
t0
(∫θ
)
( ∫τ
)]
× exp λ(s) ds dθ exp
- λ(s) ds
,
λ(t) = α(t)β(t), t ≥ t0, θ ≤ τ.
t0
t0
Разобьём второе интегральное слагаемое в квадратных скобках правой части в нём на две
√
части: в первой части подынтегральная функция содержит сумму δ(θ) + h(θ) +
σ(θ), а во
второй - [β′(θ) + λ′(θ)](θ - τ). К первому полученному интегральному слагаемому применим
правило Лопиталя один раз, а ко второму - дважды, тогда придём к оценке
[ ( ∫τ
)
√
]
δ(τ) + h(τ) +
σ(τ)
β′(τ) + λ′(τ)
ρ(τ) ≤ c10 exp
-2
λ(s) ds
+
-
λ(τ)
λ2(τ) + λ′(τ)
t0
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№1
2023
136
РЯЗАНЦЕВА
Значит, при выполнении неравенства
λ2(τ) + λ′(τ) > 0
(32)
условия
∫
∞
√
δ(t) + h(t) +
σ(t)
β′(τ) + λ′(τ)
λ(t)dt = +∞, lim
= 0, lim
=0
(33)
t→+∞
λ(t)
t→+∞ λ2(τ) + λ′(τ)
t0
обеспечивают сходимость ρ(τ) = ∥y(τ) - x(τ)∥2/2 → 0 при τ → ∞.
Теперь, приняв во внимание доказанную теорему 1 и неравенство
∥y(τ) - x∗∥ ≤ ∥y(τ) - x(τ)∥ + ∥x(τ) - x∗∥,
приходим к следующему утверждению.
Теорема 2. Пусть выполнены условия теоремы 1. Кроме того, предположим, что вме-
сто множества Ω известно семейство выпуклых замкнутых множеств {Ωt}, Ωt ⊆ H,
t ≥ t0 ≥ 0, приближения оператора A : H → H задаются семейством операторов {A(t)},
A(t) : H → H при t ≥ t0 ≥ 0, причём A(t) непрерывен по t при t ≥ t0, Ωt ⊆ D(A(t)) =
= D(A) = H, при этом справедливы неравенства (14)-(16). Построим непрерывный регуля-
ризованный метод первого порядка для задачи нахождения обобщённой неподвижной точки
оператора A на выпуклом замкнутом множестве Ω в форме задачи Коши (18), (19), где
α(t) и β(t) - положительные дифференцируемые невозрастающие выпуклые вниз бесконечно
малые при t → ∞ функции, и выполнены условия (21), (32), (33).
Тогда единственное решение задачи Коши (18), (19) при t → ∞ сходится по норме прост-
ранства H к единственной нормальной обобщённой неподвижной точке оператора A на
выпуклом замкнутом множестве Ω.
Покажем, что множество параметрических функций, обеспечивающих сходимость y(t) к
x∗ при t → ∞, непусто.
Пусть
σ(t) = 1/tσ, h(t) = 1/th, δ(t) = 1/tδ, β(t) = 1/tβ , α(t) = 1/tα,
(34)
где σ, h, δ, β, α - положительные постоянные. Тогда условия (9) выполняются при α > 0,
β > 0, β > α. Расходимость интеграла из (33) имеет место при α+β ≤ 1. Второе равенство в
(33) будет выполнено, если α + β < max{δ, h, σ/2}. Заметим, что в наших условиях найдётся
число t0 > α1/(1-α) такое, что при t ≥ t0 верно неравенство α2(t)+α′(t) > 0. Для выбранных
параметрических функций (34) имеем
β′(t) + α′(t)
βtα-β + α
=-
,
α2(t) + α′(t)
t1-α - α
т.е. и последнее предельное равенство из (33) имеет место. Таким образом, если
0 < α < max{β,1 - β,δ - β,h - β,σ/2 - β},
то функции (34) удовлетворяют условиям теоремы 2.
Для нахождения неподвижных точек нерастягивающих отображений можно использовать
и итерационные процессы (см., например, [7-9]). Сходимость методов итеративной регуля-
ризации для операторных уравнений вида Ax = f с монотонными операторами изучалась,
например, в монографиях [10, гл. 5; 1, гл. 6].
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№1
2023
НЕПРЕРЫВНЫЙ МЕТОД НАХОЖДЕНИЯ ОБОБЩЁННОЙ НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ 137
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Alber Ya., Ryazantseva I. Nonlinear Ill-Posed Problems of Monotone Type. Dordrecht, 2006.
2. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М., 1976.
3. Вайнберг М.М. Вариационный метод и метод монотонных операторов в теории нелинейных урав-
нений. М., 1972.
4. Рязанцева И.П. Избpанные главы теоpии опеpатоpов монотонного типа. Нижний Новгоpод, 2008.
5. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. М., 1981.
6. Тpеногин В.А. Функциональный анализ. М., 1980.
7. Browder F.E. Convergence of approximantes to fixed point of non-expansive nonlinear maps in Banach
spaces // Arch. Ration Mech. Anal. 1967. V. 24. № 1. P. 82-90.
8. Halperin B. Fixed points of nonexpansive maps // Bull. Amer. Math. Soc. 1967. V. 73. № 6. P. 957-961.
9. Васин В.В., Агеев А.Л. Некорректные задачи с априорной информацией. Екатеринбург, 1993.
10. Бакушинский А.Б., Гончарский А.В. Некорректные задачи. Численные методы и приложения. М.,
1989.
Нижегородский государственный технический
Поступила в редакцию 22.12.2021 г.
университет имени Р.Е. Алексеева
После доработки 26.09.2022 г.
Принята к публикации 28.11.2022 г.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№1
2023
