ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2023, том 59, № 1, с.138-141
КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ
УДК 517.912
ОБ ОДНОМ НЕЛИНЕЙНОМ ОБЫКНОВЕННОМ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОМ УРАВНЕНИИ
ВТОРОГО ПОРЯДКА
© 2023 г. А. А. Косов, Э. И. Семенов
Рассмотрено нелинейное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка спе-
циального вида, частный случай которого возникает при построении точных решений урав-
нения нелинейной теплопроводности со степенным коэффициентом. Получены условия на
параметры, при которых уравнение допускает однократное интегрирование. Приведён ряд
примеров построения точных решений, выражаемых через элементарные функции или че-
рез функцию Ламберта.
DOI: 10.31857/S0374064123010120, EDN: ODHRIB
В данной работе рассматривается автономное нелинейное обыкновенное дифференциаль-
ное уравнение (ОДУ) второго порядка относительно неизвестной функции y = y(x) следую-
щего вида:
1
yy′′ +
y′2 + (Ay + Byp-1)y′ + αy2 + βyp = 0,
(1)
λ
где λ = 0, p = 2, A, B, α, β - параметры. Отметим, что требование p = 2 является
существенным, так как в противном случае уравнение (1) приводится к виду
1
yy′′ +
y′2 + (A + B)yy′ + (α + β)y2 = 0.
(2)
λ
С помощью замены y′(x) = w(x)y(x) ОДУ (2) сводится к дифференциальному уравнению
с разделяющимися переменными w′ + (1 + 1/λ)w2 + (A + B)w + α + β = 0, которое легко
интегрируется в элементарных функциях. Уравнение (2) с λ = -1 рассматривал Пенлеве [1,
с. 505]. Уравнение (1) при p = 1 возникает при построении точных решений многомерного
уравнения нелинейной теплопроводности (см. [2])
Ut = ∇ · (Uλ∇U), U = U(t,x), x ∈ Rn,
(3)
которое подстановкой U(t, x) = u(ξ, t)1/λ, ξ = ∥x∥, сводится к уравнению
1
n-1
ut = uuξξ +
u2ξ +
uuξ.
λ
ξ
В работе [2] показано, что, отыскивая автомодельные решения этого уравнения в виде u(ξ, t) =
= (θt - T )-σW (z), z = ξ(θt - T )(σ-1)/2, приходим к ОДУ
(
)
1
n-1
θ(1 - σ)
WWzz +
W2z +
W +
z Wz + θσW = 0,
λ
z
2
которое, в свою очередь, заменой W (z) = z2y(x), x = ln z, приводится к уравнению (1) с
параметрами p = 1, A = n + 2 + 4/λ, B = θ(1 - σ)/2, α = 2(n + 2/λ), β = θ. ОДУ (1)
появляется также при построении решений типа “бегущей волны” одномерного нелинейного
уравнения в частных производных следующего вида [3, с. 17]:
Vt = Vηη + BVλ(p-2)/(λ+1)Vη + α1V + β1V(λ(p-1)+1)/(λ+1), V = V (t,η), λ = -1.
(4)
138
ОБ ОДНОМ НЕЛИНЕЙНОМ ОБЫКНОВЕННОМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОМ УРАВНЕНИИ 139
В случае α1 = β1 = 0 уравнение (4) представляет собой обобщённое уравнение Бюргерса [3,
с. 17], а если к тому же положить p = 3 + 1/λ, то (4) сводится к классическому уравнению
Бюргерса Vt = Vηη + BV Vη. Отыскивая решения уравнения (4) как V (t, η) = y(x)(1+λ)/λ, x =
= η - At, в результате редукции придём к ОДУ (1) при следующих соотношениях на пара-
метры: β = λβ1/(1 + λ), α = λα1(1 + λ).
Уравнение (1) подстановкой y′(x) = w(y) сводится к уравнению Абеля второго рода
1
yww′ +
w2 + (Ay + Byp-1)w + αy2 + βyp = 0, w = w(y),
(5)
λ
решения которого для некоторых значений параметров можно найти в работе [4, с. 93]. Ниже
будет показано, что если между параметрами существуют определённые зависимости, то мож-
но осуществить непосредственное однократное интегрирование уравнения (1) и, как следствие,
получить решения для широкого класса параметров.
Утверждение 1. Если λ = -1 и выполнены равенства
1
(λ(p - 1) + 1)β
A=α+
+ 1, B =
,
(6)
λ
λ+1
то общее решение уравнения (1) определяется из ОДУ первого порядка
(
)
αλ
βλ
λ+1
y′ +
y+
yp-1 = C1 exp -
x y-1/λ,
(7)
λ+1
λ+1
λ
где C1 - произвольная постоянная.
Доказательство. Умножив обе части уравнения (7) на exp((λ + 1)x/λ)y1/λ и продиф-
ференцировав полученное выражение по x, приходим к уравнению (1), параметры которого
удовлетворяют соотношениям (6). Утверждение доказано.
В частном случае при C1 = 0 уравнение (7) легко интегрируется и его решение имеет вид
[
(
)]1/(2-p)
β
αλ(p - 2)
y(x) =
-
+ C2 exp
x
,
(8)
α
λ+1
где C2 - произвольная постоянная. В силу утверждения 1 функция (8) будет частным решени-
ем ОДУ (1), в котором параметры связаны равенствами (6). Если для уравнения (1) поставить
задачу Коши с начальными условиями в начале координат x = 0, то, как показывает най-
денное решение (8), в зависимости от параметра p возможны различные типы начальных
условий. Если p ∈ (-∞, 1) и C2 = β/α, то из формулы (8) получим решение задачи Коши
для уравнения (1) с начальными условиями y(0) = 0, y′(0) = ∞; при p = 1 и C2 = β/α - с
условиями y(0) = 0, y′(0) = -λβ/(λ + 1); при p ∈ (1, 2) и C2 = β/α - с нулевыми началь-
ными условиями y(0) = 0, y′(0) = 0; если p ∈ (2, +∞) и C2 = β/α - с условиями y(0) = ∞,
y′(0) = ∞.
Пример 1. Пусть p = 1 - 1/λ, тогда из второго равенства формулы (6) имеем B = 0. В
этом случае уравнение (1) упростится и примет вид
(
)
1
1
yy′′ +
y′2 + α +
+ 1 yy′ + αy2 + βy(λ-1)/λ = 0.
(9)
λ
λ
Общее решение ОДУ (9) в силу утверждения 1 определяется из уравнения
(
(
)
)
αλ
λ+1
βλ
y′ +
y = C1 exp
-
x
-
y-1/λ.
λ+1
λ
λ+1
Это ОДУ является дифференциальным уравнением Бернулли, общее решение которого зада-
ётся формулой
[
(
)
]λ/(λ+1)
C1(λ + 1)
λ+1
β
y(x) =
exp
-
x
+ C2 exp(-αx) -
,
(α - 1)λ - 1
λ
α
где C1, C2 - произвольные постоянные.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№1
2023
140
КОСОВ, СЕМЕНОВ
Если имеет место равенство α = (λ + 1)2/(λ(λ(p - 1) + 1)), p = 1 - 1/λ, то ОДУ пер-
вого порядка (7) заменой y(x) = exp(-(λ + 1)x/(λ(p - 1) + 1))Z(x) сводится к уравнению с
разделяющимися переменными относительно новой функции Z(x):
(
)(
)
(λ + 1)(2 - p)
βλ
Z′ = exp
x C1Z-1/λ -
Zp-1 ,
Z = Z(x).
λ(p - 1) + 1
λ+1
Пример 2. Пусть λ = -1/3, p = 3, α = -4. Тогда ОДУ
(
)
β
yy′′ - 3y′2 +
-6y +
y2 y′ - 4y2 + βy3 = 0
2
имеет общее решение, выражающееся через специальную W-функцию Ламберта [5, с. 5]:
[ (
)
]-1
-2x
βe
1
β2
y(x) = -
W -
exp(f(x))
+1
,
f (x) = -
e-2x + C2,
2C1
2C1
8C1
где C1 = 0, C2 - произвольные постоянные.
Пример 3. Пусть λ = -1/2 и p = 1. Тогда ОДУ (7) является уравнением Риккати,
которое подстановкой
-x
e
u′(x)
y(x) = -
(10)
C1
u(x)
приводится к следующему линейному дифференциальному уравнению второго порядка:
u′′ - (α + 1)u′ + C1βexu = 0.
Общее решение этого ОДУ выражается через бесселевы функции первого и второго рода [4,
с. 185]. Таким образом, по формуле (10) найдено общее решение нелинейного уравнения
yy′′ - 2y′2 + ((α - 1)y + 2β)y′ + αy2 + βy = 0.
В утверждении 1 требуется выполнение условия λ = -1. Если отказаться от этого условия,
то при определённых предположениях на параметры можно также произвести непосредствен-
ное однократное интегрирование уравнения (1). Так, справедливо
Утверждение 2. Если выполнены равенства
1
1
A=α+
+ 1, β = α, B = p +
- 1,
(11)
λ
λ
то общее решение уравнения (1) определяется из ОДУ первого порядка
y′ + y + yp-1 = C1e-αxy-1/λ,
(12)
где C1 - произвольная постоянная.
Доказательство. Умножив обе части уравнения (12) на eαxy1/λ и продифференцировав
полученное выражение по x, приходим к уравнению (1), параметры которого удовлетворяют
соотношениям (11). Утверждение доказано.
С учётом равенств (11) уравнение (1) запишется как
[(
)
(
)
]
1
1
1
yy′′ +
y′2 + α +
+1 y+ p+
− 1 yp-1 y′ + αy2 + αyp = 0.
(13)
λ
λ
λ
Пусть p = 2, тогда при C1 = 0 из (12) получим частное решение ОДУ (13) вида
[
]1/(p-2)
C2
y(x) =
,
e(p-2)x - C2
где C2 - произвольная постоянная.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№1
2023
ОБ ОДНОМ НЕЛИНЕЙНОМ ОБЫКНОВЕННОМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОМ УРАВНЕНИИ 141
Пример 4. Пусть p = 1 - 1/λ, соответственно B = 0. Тогда уравнение (13) упростится и
примет вид
(
)
1
1
yy′′ +
y′2 + α +
+ 1 yy′ + αy2 + αy(λ-1)/λ = 0.
(14)
λ
λ
Общее решение ОДУ (14) в силу утверждения 2 определяется из уравнения Бернулли
y′ + y = (C1 exp(-αx) - 1)y-1/λ, y = y(x),
общее решение которого задаётся формулами
[
(
)
]λ/(λ+1)
C1(λ + 1)
1+λ
y(x) =
exp(-αx) + C2 exp
-
x
-1
,
λ = -1,
(1 - α)λ + 1
λ
(
)
C1
y(x) = C2 exp
-2x +
e-αx ,
λ = -1,
α
где C1, C2 - произвольные постоянные.
Если имеет место равенство α = p - 1 + 1/λ, то подстановкой y(x) = e-xZ(x) ОДУ (13)
сводится к уравнению с разделяющимися переменными относительно новой функции Z(x):
Z′ = (C1Z-1/λ - Zp-1)e(2-p)x, Z = Z(x).
(15)
Пример 5. Пусть λ = 1, p = 4. Тогда из уравнения (15) в зависимости от знака C1 по
формуле y(x) = e-xZ(x) получим для ОДУ
yy′′ + y′2 + (6y + 4y3)y′ + 4y2 + 4y4 = 0
решения следующих видов:
√
√
y(x) = ±e-x[
C1 th (C2 -
C1 e-2x)]1/2, C1 > 0,
√
√
y(x) = ±e-x[
-C1 tg (
-C1 e-2x + C2)]1/2, C1 < 0,
где C1 = 0, C2 - произвольные постоянные.
Замечание. Уравнение (5) является уравнением Абеля второго рода и сводится [4, с. 93]
к более простому виду, не содержащему квадрат искомой функции. Для такого уравнения
в [4] приводится множество случаев интегрируемости при различных значениях параметров.
Например, для B = 0 таких интегрируемых случаев набирается около двадцати, в каждом из
которых будут свои условия на параметры.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда (проект 22-29-
00819).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М., 1971.
2. Косов А.А., Семенов Э.И. О точных решениях уравнения нелинейной диффузии // Сиб. мат. журн.
2019. Т. 60. № 1. С. 123-140.
3. Полянин А.Д., Зайцев В.Ф. Нелинейные уравнения математической физики: в 2 ч. Ч. 1. М., 2017.
4. Полянин А.Д., Зайцев В.Ф. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.,
2001.
5. Дубинов А.Е., Дубинова И.Д., Сайков С. W-функция Ламберта и её применение в математических
задачах физики. Саров, 2006.
Институт динамики систем и теории управления
Поступила в редакцию 07.03.2022 г.
имени В.М. Матросова СО РАН, г. Иркутск
После доработки 06.08.2022 г.
Принята к публикации 28.11.2022 г.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№1
2023
