ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2023, том 59, № 10, с. 1412-1424

УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

УДК 517.955+517.957

ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ

ЛИУВИЛЛЯ В КЛАССЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ

БЕСКОНЕЧНОЗОННЫХ ФУНКЦИЙ

Для интегрирования нелинейного уравнения Лиувилля в классе периодических бесконеч-

нозонных функций применён метод обратной спектральной задачи. Введена эволюция

спектральных данных периодического оператора Дирака, коэффициент которого является

решением нелинейного уравнения Лиувилля. Доказана разрешимость задачи Коши для

бесконечной системы дифференциальных уравнений Дубровина в классе трижды непре-

рывно дифференцируемых периодических бесконечнозонных функций. Показано, что сум-

ма равномерно сходящегося функционального ряда, построенного с помощью решения сис-

темы уравнений Дубровина и формулы первого следа, удовлетворяет уравнению Лиувилля.

DOI: 10.31857/S0374064123100084, EDN: OOBNJP

Введение. В настоящей работе рассматривается задача Коши для нелинейного уравнения

Лиувилля (см. [1, с. 14; 2]) вида

q_xt = a(t)e^q, q = q(x,t), x ∈ R, t > 0,

(1)

с начальным условием

q(x, 0) = q₀(x), q₀(x + π) = q₀(x) ∈ C³(R),

(2)

в классе действительных бесконечнозонных π-периодических по x функций:

q(x + π, t) = q(x, t), q(x, t) ∈ C1,1x,t(t > 0)

^⋂C(t ≥ 0).

(3)

Здесь a(t) ∈ C([0, ∞)) - заданная непрерывная ограниченная функция. Нетрудно убедиться

в том, что условия совместности линейных уравнений

(

)

(

)

(

)

q_x/2

-λ

b(t)e^q

y₁

y_x =

y, y_t =

y, y =

-q_x/2

2λ

y₂

эквивалентны уравнению (1) для функции q = q(x, t), x ∈ R, t > 0. Хорошо известно, что

нахождение явной формулы для решения нелинейного эволюционного уравнения Кортевега-

де Фриза (КдФ), модифицированного уравнения Кортевега-де Фриза (мКдФ), нелинейного

уравнения Шрёдингера (НУШ), уравнения синус-Гордона, уравнения Хирота и др. в классе

периодический функций существенно зависит от количества нетривиальных лакун в спектре

периодического оператора Штурма-Лиувилля и оператора Дирака. С помощью метода обрат-

ной спектральной задачи для оператора Штурма-Лиувилля и оператора Дирака с периоди-

ческим потенциалом, когда в спектре имеется только конечное число нетривиальных лакун, в

работах [3-8] была установлена полная интегрируемость нелинейных эволюционных уравне-

ний (КдФ, мКдФ, НУШ, синус-Гордона, Хироты и др.) в классе конечнозонных периодических

и квазипериодических функций. Кроме того, для конечнозонных решений нелинейных эволю-

ционных уравнений (КдФ, мКдФ, НУШ и др.) была выведена явная формула через тета-

функции Римана. Таким образом, в этих работах была доказана разрешимость задачи Ко-

ши для нелинейных эволюционных уравнений при любых конечнозонных начальных данных.

Более подробно эта теория изложена в монографиях [9, 10], а также в статье [11].

1412

ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ЛИУВИЛЛЯ

1413

В связи с этим класс периодических функций удобно разбить на два множества:

1) класс периодических конечнозонных функций;

2) класс периодических бесконечнозонных функций.

Известно [12], что если q(x) = 2a cos(2x), a = 0, то в спектре оператора Штурма-

Лиувилля Ly ≡ -y^′′ +q(x)y, x ∈ R, открыты все лакуны, иначе говоря, q(x) - периодический

бесконечнозонный потенциал. Аналогичные примеры имеются для периодического оператора

Дирака (см. [13]).

В данной работе предлагается алгоритм построения периодических бесконечнозонных ре-

шений q(x, t), x ∈ R, t > 0, задачи (1)-(3) сведением её к обратной спектральной задаче для

оператора Дирака:

L(τ, t)y ≡ B

+ Ω(x + τ,t)y = λy, x ∈ R, t > 0, τ ∈ R,

(4)

где

(

)

(

)

(

)

P (x, t) Q(x, t)

y₁

Ω(x, t) =

P (x, t) = 0, Q(x, t) =

q^′x(x,t).

−1

Q(x, t)

-P(x,t)

y₂

Отметим, что задача Коши в классе периодических и почти-периодических бесконечнозонных

функций для нелинейных эволюционных уравнений без источника и с источником, а также с

дополнительным членом в различных постановках изучалась в работах [14-24].

1. Эволюция спектральных данных. Обозначим через

c(x, λ, τ, t) = (c₁(x, λ, τ, t), c₂(x, λ, τ, t))^т, s(x, λ, τ, t) = (s₁(x, λ, τ, t), s₂(x, λ, τ, t))^т

решения уравнения (4) с начальными условиями c(0, λ, τ, t) = (1, 0)^т и s(0, λ, τ, t) = (0, 1)^т

соответственно.

Функция

Δ(λ, τ, t) = c₁(π, λ, τ, t) + s₂(π, λ, τ, t)

называется функцией Ляпунова для уравнения (4).

Кроме того, для решений c(x, λ, τ, t) и s(x, λ, τ, t) при больших |λ| имеют место следую-

щие асимптотические формулы:

⎛

⎞

(

)

[q^′x(x + τ, t) + q^′x(τ, t)] sin(λx) + a(x, τ, t) sin(λx)

cos(λx)

⎜

⎟

c(x, λ, τ, t) =

⎝²

⎠+

sin(λx)

2λ

[q^′x(x + τ, t) - q^′x(τ, t)] cos(λx) - a(x, τ, t) cos(λx)

)

|Im λ|x

⁽e

|λ| → ∞,

(5)

λ²

⎛

⎞

(

)

[q^′x(x + τ, t) - q^′x(τ, t)] cos(λx) + a(x, τ, t) cos(λx)

-sin(λx)

⎜

⎟

s(x, λ, τ, t) =

⎝²

⎠+

cos(λx)

2λ

[q^′x(x + τ, t) + q^′x(τ, t)] sin(λx) + a(x, τ, t) sin(λx)

)

|Im λ|x

⁽e

|λ| → ∞,

(6)

λ²

где

∫

a(x, τ, t) =

[q^′s(s + τ, t)]² ds.

Из этих асимптотик при действительных λ получим

)

⁽ 1

Δ(λ, τ, t) = 2 cos(λπ) +

a(π, τ, t) sin(λπ) + O

|λ| → ∞,

λ²

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№ 10

2023

1414

ХАСАНОВ и др.

)

4a(π, τ, t)

⁽ 1

Δ²(λ,τ,t) - 4 = -4sin²(λπ) +

cos(λπ) sin(λπ) + O

|λ| → ∞.

λ²

Вектор-функции

ψ^±(x,λ,τ,t) = (ψ±1(x,λ,τ,t),ψ±2(x,λ,τ,t))^т = c(x,λ,τ,t) + m^±(λ,τ,t)s(x,λ,τ,t)

называются решениями Флоке уравнения (4).

Функции Вейля-Титчмарша определяются следующими формулами:

√

s₂(π,λ,τ,t) - c₁(π,λ,τ,t) ∓

Δ²(λ,τ,t) - 4

m^±(λ,τ,t) =

2s₁(π, λ, τ, t)

Спектр оператора Дирака L(τ, t) чисто непрерывен и состоит из множества

)

⋃

σ(L) = {λ ∈ R : |Δ(λ)| ≤ 2} = R \

(λ2n-1, λ2n)

n=-∞

Интервалы (λ2n-1, λ2n), n ∈ Z \ {0}, называются лакунами, где λ_n - корни уравнения

Δ(λ) ∓ 2 = 0. Они совпадают с собственными значениями периодической или антипериодиче-

ской (y(0, τ, t) = ±y(π, τ, t)) задачи для уравнения (4). Нетрудно доказать, что λ-1 = λ₀ = 0,

т.е. λ = 0 является двукратным собственным значением периодической задачи для уравне-

ния (4).

Корни уравнения s₁(π, λ, τ, t) = 0 обозначим через ξ_n(τ, t), n ∈ Z \ {0}, и при этом

ξ_n(τ,t) ∈ [λ2n-1,λ2n], n ∈ Z\{0}. Так как коэффициенты в уравнении (4) имеют вид P(x,t) ≡

≡ 0, Q(x, t) = q^′x(x, t)/2, то λ-1 = λ₀ = ξ₀ = 0, т.е. ξ = 0 является собственным значением

задачи Дирихле.

Числа ξ_n(τ, t), n ∈ Z \ {0}, и знаки σ_n(τ, t) = sign {s₂(π, ξ_n, τ, t) - c₁(π, ξ_n, τ, t)}, n ∈

∈ Z \ {0}, называются спектральными параметрами оператора L(τ,t). Спектральные пара-

метры ξ_n(τ, t), σ_n(τ, t) = ±1, n ∈ Z\{0}, и границы спектра {λ_n(τ, t), n ∈ Z\{0}} называются

спектральными данными оператора Дирака L(τ,t).

Определение 1. Коэффициенты P(x,t) ≡ 0, Q(x,t) = q^′x(x,t)/2 периодического опе-

ратора Дирака L(τ, t) называются бесконечнозонными функциями, если границы лакуны

(λ2n-1, λ2n), n ∈ Z, удовлетворяют условиям

...<λ-3 <ξ-1 <λ-2 <λ-1 <ξ₀ <λ₀ <λ₁ <ξ₁ <λ₂ <...,

где λ-1 = λ₀ = ξ₀ = 0.

Определение 2. Коэффициенты P(x,t) ≡ 0, Q(x,t) = q^′x(x,t)/2 периодического опера-

тора Дирака L(τ, t) называются конечнозонными функциями, если существует такое конечное

число N, что для всех |n| > N выполняются равенства λ2n-1 = λ2n = ξ_n, n ∈ Z.

Задача восстановления коэффициента Ω(x, t) оператора L(τ, t) по спектральным данным

называется обратной задачей. Коэффициент Ω(x, t) оператора L(τ, t) определяется однознач-

но по спектральным данным λ_n(τ, t), ξ_n(τ, t), σ_n(τ, t) = ±1, n ∈ Z \ {0}.

Если с помощью начальной функции q₀(x + τ), τ ∈ R, построить оператор Дирака L(τ, 0)

вида

L(τ, 0)y ≡ B

+ Ω₀(x + τ)y = λy, x ∈ R, τ ∈ R,

где

(

)

(

)

q′0(x + τ)/2

y₁

Ω₀(x + τ) =

q′0(x + τ)/2

y₂

то увидим, что границы спектра λ_n(τ), n ∈ Z, полученной задачи не зависят от параметра

τ ∈ R, т.е. λ_n(τ) = λ_n, n ∈ Z, а спектральные параметры от параметра τ зависят: ξ0n(τ),

σ0n(τ), n ∈ Z, и являются периодическими функциями:

ξ0n(τ + π) = ξ0n(τ), σ0n(τ + π) = σ0n(τ), τ ∈ R, n ∈ Z.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№ 10

2023

ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ЛИУВИЛЛЯ

1415

Решив прямую задачу, найдём спектральные данные {λ_n, ξ0n(τ), σ0n(τ), n ∈ Z \ {0}} опера-

тора L(τ, 0).

Обратная задача для оператора Дирака вида

(

)(

)

(

)(

)

y′1

p(x) q(x)

y₁

Ly ≡

= λy, x ∈ R,

−1

y′2

q(x)

-p(x)

y₂

c периодическими коэффициентами p(x) = p(x+π), q(x) = q(x+π) в различных постановках

изучена в работах [25-32]. Следует отметить, что обратная задача в терминах спектральных

данных для оператора Хилла исследована в статьях [33-35].

Основной результат настоящей работы содержится в следующей теореме.

Теорема 1. Пусть q(x, t), x ∈ R, t > 0, - решение задачи (1)-(3). Тогда границы спектра

λ_n(τ,t), n ∈ Z\{0}, оператора L(τ,t) не зависят от параметров τ ∈ R и t, т.е. λ_n(τ,t) =

= λ_n, n ∈ Z\{0}, а спектральные параметры ξ_n(τ,t), σ_n(τ,t) = ±1, n ∈ Z\{0}, удовлетво-

ряют соответственно первой и второй системе дифференциальных уравнений Дубровина:

∂ξ_n(τ,t)

= 2(-1)n-1σ_n(τ, t)h_n(ξ(τ, t))ξ_n(τ, t), n ∈ Z \ {0},

(7)

∂τ

∂ξ_n(τ,t)

= 2(-1)ⁿσ_n(τ, t)h_n(ξ(τ, t))g_n(ξ(τ, t)), n ∈ Z \ {0}.

(8)

∂t

Здесь знак σ_n(τ, t) = ±1, n ∈ Z \ {0}, меняется на противоположный при каждом столк-

новении точки ξ_n(τ,t), n ∈ Z \ {0}, с границами своей лакуны [λ2n-1, λ2n]. Кроме того,

выполняются следующие начальные условия:

ξ_n(τ,0) = ξ0n(τ), σ_n(τ,0) = σ0n(τ), n ∈ Z \ {0},

(9)

где ξ0n(τ), σ0n(τ) = ±1, n ∈ Z \ {0}, - спектральные параметры оператора Дирака L(τ, 0).

Последовательности h_n(ξ) и g_n(ξ), n ∈ Z \ {0}, в уравнении (8) определяются по формулам

∏

√

(λ2k-1 -ξ_n(τ, t))(λ2k -ξ_n(τ, t))

h_n(ξ)=

(ξ_n(τ, t)-λ2n-1)(λ2n -ξ_n(t, τ)) f_n(ξ), f_n(ξ)=_√

(ξ_k(τ, t) - ξ_n(τ, t))²

k=-∞

k=n

a(t)

g_n(ξ) =

exp{q(τ, t)}, ξ(τ, t) = (. . . , ξ-1(τ, t), ξ₁(τ, t), . . .).

2ξ_n(τ, t)

Доказательство. Пусть π-периодическая по x функция q(x, t), x ∈ R, t > 0, удовле-

творяет уравнению (1). Обозначим через y_n(x, τ, t) = (yn,1(x, τ, t), yn,2(x, τ, t))^т, n ∈ Z \ {0},

ортонормированные собственные вектор-функции оператора L(τ, t), рассматриваемого на от-

резке [0, π] с граничными условиями Дирихле

y₁(0,τ,t) = 0, y₁(π,τ,t) = 0,

соответствующие собственным значениям ξ_n = ξ_n(τ, t), n ∈ Z \ {0}. Дифференцируя по

переменной t тождество

ξ_n(τ,t) = (L(τ,t)y_n,y_n), n ∈ Z \ {0},

и используя симметричность оператора L(τ, t), получаем

∂ξ_n(τ,t)

= ( Ω (x + τ,t)y_n,y_n), n ∈ Z \ {0}.

(10)

∂t

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№ 10

2023

1416

ХАСАНОВ и др.

Используя явный вид скалярного произведения

∫π

(

)

(

)

y₁(x)

z₁(x)

(y, z) =

[y₁(x)z₁(x) + y₂(x)z₂(x)] dx, y =

y₂(x)

z₂(x)

запишем равенство (10) в виде

∫

∂ξ_n(τ,t)

= yn,1yn,2q_xt dx.

(11)

∂t

Подставив (1) в (11), получим равенство

∂ξ_n(τ,t)

= a(t)I₁(τ, t),

(12)

∂t

∫_π

где I₁(τ, t) =

yn,1yn,2eq(x+τ,t) dx.

С помощью тождеств

(

)

yn,1(x,τ,t) =

y′n,2(x,τ,t) +

q^′x(x + τ,t)yn,2(x,τ,t) ,

ξ_n(τ, t)

(

)

yn,2(x,τ,t) =

-y′n,1(x,τ,t) +

q^′x(x + τ,t)yn,1(x,τ,t)

ξ_n(τ, t)

нетрудно вычислить интеграл

∫π

I₁(τ,t) = yn,1yn,2eq(x+τ,t) dx =

∫

(

)

yn,2eq(x+τ,t) y′n,2(x,τ,t) +

q^′x(x + τ,t)yn,2(x,τ,t) dx =

ξ_n(τ,t)

(∫π

)

[y2n,2(x, τ, t)eq(x+τ,t)]^′ dx

eq(τ,t)[y2n,2(π,τ,t) - y2n,2(0,τ,t)].

(13)

2ξ_n(τ, t)

Подставив (13) в тождество (12), будем иметь

∂ξ_n(τ,t)

a(t)

exp{q(τ, t)}[y2n,2(π, τ, t) - y2n,2(0, τ, t)].

(14)

∂t

2ξ_n(τ, t)

Так как собственные значения ξ_n(τ, t) задачи Дирихле для уравнения (4) простые, то

справедливо равенство

y_n(x,τ,t) =

s(x, ξ_n(τ, t), τ, t),

c_n(τ,t)

где

∫π

∂s₁(π,ξ_n(τ,t),τ,t)

c2n(τ,t) =

[s²¹(x, ξ_n(τ, t), τ, t) + s²²(x, ξ_n(τ, t), τ, t)] dx = -

s₂(π,ξ_n(τ,t),τ,t).

∂λ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№ 10

2023

ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ЛИУВИЛЛЯ

1417

Используя это равенство, найдём

(

⁾⁽∂s₁(π,ξ_n(τ,t),τ,t))-1

y2n,2(π,τ,t) - y2n,2(0,τ,t) = - s₂(π,ξ_n(τ,t),τ,t) -

s₂(π,ξ_n(τ,t),τ,t)

∂λ

Подставим в это соотношение равенство

s₂(π,ξ_n(τ,t),τ,t) - c₁(π,ξ_n(τ,t),τ,t) = s₂(π,ξ_n(τ,t),τ,t) -

s₂(π,ξ_n(τ,t),τ,t)

√

= σ_n(τ,t)

Δ²(ξ_n(τ,t)) - 4

и получим

)-1

√

⁽∂s₁(π,ξ_n(τ,t),τ,t)

y2n,2(π,τ,t) - y2n,2(0,τ,t) = -σ_n(τ,t)

Δ²(ξ_n(τ,t)) - 4

(15)

∂λ

С учётом разложений

∏

(λ - λ2k-1)(λ - λ2k)

ξ_k - λ

Δ²(λ) - 4 = -4π²

s₁(π,λ,t) = π

a²

a_k

k=-∞

где a₀ = 1, a_k = k при k = 0, запишем равенство (15) в виде

y2n,2(π,t) - y2n,2(0,t) = 2(-1)ⁿσ_n(τ,t)h_n(ξ).

Подставив это выражение в тождество (14), получим (8). Аналогично можно доказать (7).

Если заменить граничные условия Дирихле на периодические (y(0, t) = y(π, t)) или на

антипериодические (y(0, t) = -y(π, t)) граничные условия, то вместо уравнения (14) получим

∂λ_n(τ,t)/∂t = 0, т.е. λ_n(τ,t) = λ_n(τ,0), n ∈ Z \ {0}.

Теперь в уравнении L(τ, t)ν_n = λ_n(τ, t)ν_n, n ∈ Z\{0}, положим t = 0. Так как собственные

значения λ_n(τ, t) = λ_n(τ, 0), n ∈ Z \ {0}, периодической или антипериодической задач для

уравнения L(τ, 0)ν_n = λ_n(τ)ν_n, n ∈ Z \ {0}, не зависят от параметра τ ∈ R, то имеем

λ_n(τ,t) = λ_n(τ) = λ_n, n ∈ Z \ {0}. Теорема доказана.

Лемма 1. Справедливы следующие формулы следов:

∑

q^′τ (τ,t) = 2

(-1)k-1σ_k(τ, t)h_k(ξ(τ, t)),

(16)

k=-∞

k=0

(

)₂

)

∑

⁽λ22k-1 +λ²

q_τ (τ,t)

q_ττ(τ,t) =

- ξ2k(τ,t)

(17)

k=-∞

k=0

Доказательство. Применим теорему Миттаг-Лёффлера и получим равенства

√

∑

s₂(π,λ,τ,t) - c₁(π,λ,τ,t)

σ_k(τ,t)

Δ²(ξ_k(τ,t)) - 4

⁽∂s₁(π,ξ_k(τ,t),τ,t))-1

s₁(π, λ, τ, t)

(λ - ξ_k(τ, t))

∂λ

k=-∞

k=0

∑

√

)-1

⁽∂s₁(π,ξ_k(τ,t),τ,t))-1(

ξ_k(τ,t)

σ_k(τ,t)

Δ²(ξ_k(τ,t)) - 4

∂λ

k=-∞

k=0

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№ 10

2023

1418

ХАСАНОВ и др.

(

∑

√

∑

⁽∂s₁(π,ξ_k(τ,t),τ,t))-1{

⁽ξ_k(τ,t))n)}

σ_k(τ,t)

Δ²(ξ_k(τ,t)) - 4

∂λ

k=-∞

n=-∞

k=0

∑

⁽ 1⁾

2(-1)k-1σ_k(τ, t)h_k(ξ(τ, t)) + O

|λ| → ∞.

λ²

k=-∞

k=0

С другой стороны, используя асимптотики (5) и (6) для решений c(x, λ, τ, t) и s(x, λ, τ, t)

при больших |λ|, имеем

s₂(π,λ,τ,t) - c₁(π,λ,τ,t)

⁽ 1⁾

q^′τ (τ,t) + O

|λ| → ∞.

s₁(π,λ,τ,t)

λ²

Сравнив эти асимптотики, получим формулу (16).

Если y(x, τ, t) = (y₁(x, τ, t), y₂(x, τ, t))^т является решением периодической или антипери-

одической задачи для уравнения (4), соответствующей спектральному параметру λ = 0, то

y₁(x,τ,t) и y₂(x,τ,t) являются решениями следующих граничных задач:

-y′′1 + q₁(x + τ,t)y₁ = λ²y₁, y₁(0,τ,t) = ±y₁(π,τ,t);

-y′′2 + q₂(x + τ,t)y₂ = λ²y₂, y₂(0,τ,t) = ±y₂(π,τ,t),

где

q₁(x,t) =

q2x(x,t) +

q_xx(x,t), q₂(x,t) =

q2x(x,t) -

q_xx(x,t).

Так как для функции q₁(x + τ, t) имеет место равенство

∑

q₁(τ,t) = λ²⁰ +

(λ22k-1 + λ22k - 2ξ2k(τ, t)),

k=1

отсюда следует формула (17). Лемма доказана.

Далее, учитывая формулы следов (16) и (17), систему (8) можно записать в замкнутой

форме:

∂ξ_n(τ,t)

√

= 2(-1)ⁿσ_n(τ, t)

(ξ_n(τ, t) - λ2n-1)(λ2n - ξ_n(t, τ))f_n(ξ)g_n(ξ(τ, t)),

(18)

∂t

где

{

∫

)

}

∑

a(t)

g_n(ξ) =

exp C(t) + 2

(-1)k-1σ_k(s, t)h_k(ξ(s, t)) ds

2ξ_n(τ, t)

k=-∞

k=0

Здесь C(t) - некоторая ограниченная непрерывная функция.

В результате замены переменных

ξ_n(τ,t) = λ2n-1 + (λ2n - λ2n-1)sin² x_n(τ,t), n ∈ Z \ {0},

(19)

систему дифференциальных уравнений Дубровина (18) и начальные условия (9) можно запи-

сать в виде одного уравнения в банаховом пространстве K :

dx(τ, t)

= H(x(τ,t)), x(τ,0) = x⁰(τ) ∈ K,

где

{

}

∑

K = x(τ,t) = (...,x-1(τ,t),x₁(τ,t),...) : ∥x(τ,t)∥ =

(λ2n - λ2n-1)|x_n(τ, t)| < ∞

n=-∞

n=0

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№ 10

2023

ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ЛИУВИЛЛЯ

1419

H(x) = (. . . , H-1(x), H₁(x), . . .),

H_n(x) = (-1)ⁿσ0n(τ)g_n(... ,λ₁ + (λ₂ - λ₁)sin² x₁(τ,t),...) ×

× f_n(... ,λ₁ + (λ₂ - λ₁)sin2 x₁(τ,t),...) = (-1)ⁿσ0n(τ)g_n(x(τ,t))f_n(x(τ,t)).

Известно, что если q₀(x + π) = q₀(x) ∈ C³(R), то q′0(x) ∈ C²(R). Поэтому для длины лакун

оператора L(τ, 0) имеет место оценка (см. [26, с. 98])

|q22k|

δ_k

γ_k ≡ λ2k - λ2k-1 =

(20)

2|k|²

|k|³

где

∑

λ2k = k + c_jk^-j + 2-2|k|-2|q22k| + |k|-3ε+k, λ2k-1 = k +

c_jk^-j - 2-2|k|-2|q22k| + |k|-3ε^-k,

j=1

∑

|q22k|² < ∞,

(ε^±k)² < ∞, δ_k = ε+k - ε^-k.

k=-∞

Отсюда, учитывая ξ_n(τ, t) ∈ [λ2n-1, λ2n], получаем

inf

|ξ_n(τ, t) - ξ_k(τ, t)| ≥ a > 0.

k=n

Теперь, пользуясь этим неравенством и (19), (20), оценим функции

|f_n(x(τ, t))|, |∂fn(x(τ, t))/∂xm|, |gn(x(τ, t))|, |∂gn(x(τ, t))/∂xm|.

Лемма 2. Справедливы следующие оценки:



∂fn(x)



C₁ ≤ |f_n(x)| ≤ C₂,

C₃γ_m,

(21)



≤

∂x_m



C₄

∂gn(x)

C₅γ_m



|g_n(x)| ≤

m,n ∈ Z \ {0},

(22)



≤

|n|

∂x_m

|n|

где C_j > 0, j = 1, 5, не зависят от параметров m и n.

Доказательство. Оценки (21) доказаны в работе [14], поэтому докажем (22). Поскольку

функция a(t) ограничена, то найдётся такое число M > 0, что выполняется неравенство

|a(t)| ≤ M, пользуясь которым и (19), (20), получим оценки

{∫τ



}

|C(t)|



∑



|g_n(x(τ, t))|≤

exp

(-1)k-1γ_kσ0k(s) sin(2x_k(s, t))f_k(x(s, t))

≤



^d

2|λ2n-1 +γ_n sin² x_n(τ, t)|

k=-∞

k=0

{

∫

}

∑

C₄

≤

exp M₁ +

C₂γ_k ds

≤

2A₁|n|

|n|

k=-∞

k=0



{∫τ



}



∑



∂gn(x(τ,t))

|a(t)|e|C(t)|



exp



(-1)k-1γ_kσ0k(s) sin(2x_k(s, t))f_k(x(s, t))

s ×



≤



^d

∂x_m

2|λ2n-1 +γ_n sin²x_n(τ, t)|

k=-∞

k=0

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№ 10

2023

1420

ХАСАНОВ и др.

{∫

[

]



∂f_m(x(s,t))



× 

(-1)m-1γ_mσ0m(s) 2 cos(2x_m(s, t))f_m(x(s, t)) + sin(2x_m(s, t))

⁺

∂x_m(s,t)

∫τ



}



∑



∂f_k(x(s,t))



(-1)k-1γ_kσ0k(s) sin(2x_k(s, t))

≤



^d

∂x_m(s,t)

k=-∞

k=m

{

∫

}{

∫

}

∑

C₅γ_m

≤

exp M₁ +

C₂γ_k ds B₁γ_m|τ| + B₂γ²

|τ| + γ_m

C₃γ_k ds

≤

2A₁|n|

|n|

k=-∞

k=0

k=m

Здесь M₁ = sup C(t), t ≥ 0. Лемма доказана.

Лемма 3. Если периодическая бесконечнозонная функция q₀(x) удовлетворяет условию

q₀(x + π) = q₀(x) ∈ C³(R), то вектор-функция H(x(τ,t)) удовлетворяет условию Липшица

в банаховом пространстве K, т.е. существует константа L > 0 такая, что для произ-

вольных элементов x(τ, t), y(τ, t) ∈ K выполняется неравенство

∥H(x(τ, t)) - H(y(τ, t))∥ ≤ L∥x(τ, t) - y(τ, t)∥,

где

∑

γ_n

L=C

< ∞.

(23)

|n|

n=-∞

n=0

Доказательство. Сначала, используя лемму 2, оценим производную функции F_n(x) =

= g_n(x)f_n(x), n ∈ Z \ {0}:



∂Fn(x)

∂gn(x)

∂f_n(x)



∂fn(x)

∂gn(x)



f_n(x) +

g_n(x)



g_n(x)| +



f_n(x)| ≤



⁼



≤



^|



^|

∂x_m

C₄

C₅γ_m

Cγ_m

≤C₃γ_m

+C₂

≤

|n|

где положительные константы C₂, C₃, C₄ и C₅ не зависят от m и n. Далее, используя

выражение

H_n(x(τ,t)) = (-1)ⁿσ0n(τ)F_n(x(τ,t)), n ∈ Z \ {0},

получаем равенство

|H_n(x(τ, t)) - H_n(y(τ, t))| = |F_n(x(τ, t)) - F_n(y(τ, t))|.

Применим к функции ϕ(t) = F_n(x + t(y - x)) теорему Лагранжа о конечном приращении

на отрезке t ∈ [0, 1] и получим ϕ(1) - ϕ(0) = ϕ^′(t^∗), т.е.

∑

∂F_n(θ)

Fn(x) - Fn(y) =

(x_m - y_m),

∂x_m

m=-∞

m=0

где θ = x + t^∗(y - x). Отсюда следует, что

|H_n(x(τ, t)) - H_n(y(τ, t))| = |F_n(x(τ, t)) - F_n(x(τ, t))| ≤



∑



∑

∂Fn(θ)

≤



x_m(τ,t) - y_m(τ,t)| ≤

|λ2m - λ2m-1||x_m(τ, t) - y_m(τ, t)| =

∥x - y∥.



^|

∂x_m

|n|

m=-∞

m=0

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№ 10

2023

ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ЛИУВИЛЛЯ

1421

Теперь оценим норму

∑

∥H(x) - H(y)∥ =

(λ2n - λ2n-1)|H_n(x) - H_n(y)| ≤

(λ2n - λ2n-1)∥x - y∥ = L∥x - y∥.

|n|

n=-∞

n=0

Здесь

∑

γ_n

(λ2n - λ2n-1) = C

< ∞.

|n|

n=-∞

n=0

Таким образом, условие Липшица выполняется. Поэтому решение задачи Коши (8), (9) для

всех t > 0 и τ ∈ R существует и единственно. Лемма доказана.

Замечание 1. Теорема 1 и лемма 2 дают метод нахождения решения задачи (1)-(3).

Сначала найдём спектральные данные λ_n, ξ0n(τ), σ0n(τ) = ±1, n ∈ Z \ {0}, операто-

ра Дирака L(τ, 0). Обозначим спектральные данные оператора L(τ, t) через λ_n, ξ_n(τ, t),

σ_n(τ,t) = ±1, n ∈ Z \ {0}. Теперь, решив задачу Коши (18), (9) при произвольном значе-

нии τ, найдём ξ_n(τ, t), σ_n(τ, t), n ∈ Z \ {0}. Из формулы следов (16) определим функцию

q_τ (τ,t), т.е. найдём решение задачи (1)-(3).

До сих пор мы предполагали, что задача Коши (1)-(3) имеет решение. От этого предполо-

жения нетрудно освободиться, непосредственно убедившись, что полученная таким способом

функция q_τ (τ, t), τ ∈ R, t > 0, действительно удовлетворяет уравнению (1).

Замечание 2. Функция q_τ (τ, t), построенная с помощью систем уравнений Дубровина (8),

(9) и формулы следа (16), действительно удовлетворяет уравнению (1).

При этом мы также будем использовать вторую формулу следов (17). Продифференциро-

вав формулу (17) по t, будем иметь

∑

∂ξ_k(τ,t)

q_τ (τ,t)q_τt(τ,t) +

(q_τt(τ, t))_τ = -

2ξ_k(τ, t)

(24)

∂t

k=-∞

k=0

Здесь использовали равенство (q_τ (τ, t))_tτ = (q_τ (τ, t))_τt. Далее, учитывая систему уравнений

(8), из (24) получаем

∑

q_τ (τ,t)z(τ,t) + z_τ (τ,t) = -4

(-1)^kσ_k(τ, t)h_k(ξ)a(t) exp{q(τ, t)},

(25)

k=-∞

k=0

где

z(τ, t) = q_τt(τ, t).

(26)

Теперь используем систему уравнений (7), соответствующую уравнению (4), а также формулу

следов (16). Тогда из (25) получим уравнение относительно z(τ, t):

q_τ (τ,t)z(τ,t) + z_τ (τ,t) = 2a(t)eq(τ,t)q_τ (τ,t).

(27)

Нетрудно проверить, что функция

z(τ, t) = a(t)eq(τ,t) + C₁(t)e-q(τ,t)

является решением линейного уравнения (27). Выбрав C₁(t) = 0, имеем z(τ, t) = a(t)eq(τ,t).

Отсюда и из обозначения (26) получим уравнение (1): q_τt = a(t)eq(τ,t).

Замечание 3. Равномерная сходимость рядов в (16), (17) и (23) следует из равенств (20)

и оценки (21).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№ 10

2023

1422

ХАСАНОВ и др.

Теорема 2. Если периодическая бесконечнозонная функция q₀(x) удовлетворяет условию

q₀(x + π) = q₀(x) ∈ C³(R),

то существует однозначно определяемое решение q^′x(x,t), x ∈ R, t > 0, задачи (1)-(3),

которое определяется по формуле (16) и принадлежит классу C1,1x,t(t > 0)

^⋂C(t ≥ 0).

Следствие 1. Из результатов работ [29] и [33] следует, что если начальная функ-

ция q₀(x) является действительной аналитической π-периодической функцией, то решение

q(x, t) задачи (1)-(3) является действительной аналитической функцией по переменной x.

Следствие 2. Если число π/2 является периодом (антипериодом) для начальной функ-

ции q₀(x), то все корни уравнения Δ(λ)+ 2 = 0 (Δ(λ)- 2 = 0) являются двукратными. Так

как функция Ляпунова, соответствующая коэффициенту q(x, t), совпадает с Δ(λ), то со-

гласно результатам работ [28] и [30] число π/2 является также периодом (антипериодом)

для решения q(x, t) по переменной x.

Теперь рассмотрим конечнозонный случай. Здесь решение q^′τ (τ, t), τ ∈ R, t > 0, задачи

(1)-(3) определяется по формуле

∑

q^′τ (τ,t) = 2

(-1)k-1σ_k(τ, t)hk(ξ(τ, t)),

k=-N

k=0

при этом координаты ξ =ξ(τ, t)=(ξ_-N (τ, t), . . . , ξ-1(τ, t), . . . , ξ_-N (τ, t)), σ(τ, t) = (σ_-N (τ, t),

...,σ-1(τ,t),...,σ_-N(τ,t)) удовлетворяют системе уравнений Дубровина

√

∂ξ_n(τ,t)

= 2(-1)ⁿσ_n(τ, t)

(ξ_n(τ, t) - λ2n-1)(λ2n - ξ_n(t, τ)

f_n(ξ)g_n(ξ(τ,t)),

|n| ≤ N,

∂t

∂ξ_n(τ,t)

= 0,

|n| ≥ N + 1,

∂t

с начальными условиями

ξ_n(τ,0) = ξ0n(τ), σ_n(τ,0) = σ0n(τ), n = ±1,±2,... ,±N,

где ξ0n(τ), σ0n(τ) = ±1, n = ±1, ±2, . . . , ±N, - спектральные параметры конечнозонного опе-

ратора Дирака вида

(

)(

)

(

)(

)

(

)

y′1

q′0(x + τ)/2

y₁

L(τ, 0)y ≡

=λ

x ∈ R, τ ∈ R.

−1

y′2

q′0(x + τ)/2

y₂

Здесь

{√

(ξ_n(τ, t) - λ2n-1)(λ2n - ξ_n(t, τ)

f_n(ξ),

|n| ≤ N,

h_n(ξ) =

|n| ≥ N + 1,

∏

(λ2k-1 - ξ_n(τ, t))(λ2k - ξ_n(τ, t))

f_n(ξ) =_√

(ξ_k(τ, t) - ξ_n(τ, t))²

k=-N

k=n

{

∫

)

}

∑

a(t)

gn(ξ) =

exp C(t) + 2

(-1)k-1σ_k(s, t)hk(ξ(s, t)) ds

2ξ_n(τ, t)

k=-N

k=0

Нетрудно заметить, что задача (1)-(3) разрешима при всех конечнозонных начальных дан-

ных, так как

∑

γ_n

L=C

γ_n ≡ 0,

|n| ≥ N + 1.

|n|

n=-N

n=0

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№ 10

2023

ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ЛИУВИЛЛЯ

1423

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Жибер А.В., Муртозина Р.Д., Хабибуллин И.Т., Шабат А.Б. Характеристическое кольцо Ли и

нелинейные интегрируемые уравнения. М.; Ижевск, 2012.

2. Жибер А.В., Ибрагимов Н.Х., Шабат А.Б. Уравнения типа Лиувилля // Докл. АН СССР. 1979.

Т. 249. № 1. С. 26-29.

3. Итс А.Р., Матвеев В.Б. Операторы Шрёдингера с конечнозонным спектром и N-солитонные ре-

шения уравнения Кортевега-де Фриза // Журн. теор. и мат. физики. 1975. Т. 23. № 1. С. 51-68.

4. Дубровин Б.А., Новиков С.П. Периодический и условно периодический аналоги многосолитонных

решений уравнения Кортевега-де Фриза // Журн. эксп. и теор. физики. 1974. Т. 67. № 12. С. 2131-

2143.

5. Итс А.Р., Котляров В.П. Явные формулы для решений нелинейного уравнения Шрёдингера

// Докл. АН УССР. Сер. А. 1976. № 11. С. 965-968.

6. Смирнов А.О. Эллиптические решения нелинейного уравнения Шрёдингера и модифицированного

уравнения Кортевега-де Фриза // Мат. сб. 1994. Т. 185. № 8. С. 103-114.

7. Матвеев В.Б., Смирнов А.О. Решения типа “волн-убийц” уравнений иерархии Абловица-Каупа-

Ньюэлла-Сигура: единый подход // Журн. теор. и мат. физики. 2016. Т. 186. № 2. С. 191-220.

8. Матвеев В.Б., Смирнов А.О. Двухфазные периодические решения уравнений из АКНС иерархии

// Зап. науч. сем. ПОМИ. 2018. Т. 473. С. 205-227.

9. Митрапольский Ю.А., Боголюбов Н.Н. (мл.), Прикарпатский А.К., Самойленко В.Г. Интегри-

руемые динамические системы: спектральные и дифференциально-геометрические аспекты. Киев,

1987.

10. Захаров В.Е., Манаков С.В., Новиков С.П., Питаевский Л.П. Теория солитонов: метод обратной

задачи. М., 1980.

11. Matveev V.B. 30 years of finite-gap integration theory // Philos. Trans. of the Royal Soc. A. Math. Phys.

and Eng. Sci. 2008. V. 366. P. 837-875.

12. Ince E.L. A proof of the impossibility of the coexistence of two Mathieu functions // Proc. Cambridge

Phil. Soc. 1922. V. 21. P. 117-120.

13. Джаков П.Б., Митягин Б.С. Зоны неустойчивости одномерных периодических операторов Шрё-

дингера и Дирака // Успехи мат. наук. 2006. Т. 61. № 4 (370). С. 77-182.

14. Маннонов Г.А., Хасанов А.Б. Задача Коши для нелинейного уравнения Хирота в классе периоди-

ческих бесконечнозонных функций // Алгебра и анализ. 2022. Т. 34. № 5. С. 139-172.

15. Хасанов А.Б., Нормуродов Х.Н., Худаёров У.О. Интегрирование модифицированного уравнения

Кортевега-де Фриза-синус-Гордона в классе периодических бесконечнозонных функций // Журн.

теор. и мат. физики. 2023. Т. 214. № 2. С. 198-210.

16. Grinevich P.G., Taimanov I.A. Spectral conservation laws for periodic nonlinear equations of the

Melnikov type // Amer. Math. Soc. Trans. Ser. 2. V. 224. / Eds. V.M. Buchstaer, I.M. Krichever.

Providence, 2008. P. 125-138.

17. Хасанов А.Б., Хасанов М.М. Интегрирование нелинейного уравнения Шрёдингера с дополнитель-

ным членом в классе периодических функций // Журн. теор. и мат. физики. 2019. Т. 199. № 1.

С. 60-68.

18. Khasanov A.B., Khasanov T.G. Integration of a nonlinear Korteweg-de Vries equation with a loaded

term and a source // J. of Appl. and Industr. Math. 2022. V. 16. № 2. P. 227-239.

19. Khasanov A.B., Allanazarova T.Z. On the modified Korteweg-de Vries equation with loaded term

// Ukrainian Math. J. 2022. V. 73. № 11. P. 1783-1809.

20. Муминов У.Б., Хасанов А.Б. Задача Коши для дефокусирующего нелинейного уравнения Шредин-

гера с нагруженным членом // Мат. тр. 2022. Т. 25. № 1. С. 102-133.

21. Бабажанов Б.А., Хасанов А.Б. О периодической оценке Тоды с интегральным источником // Теор.

и мат. физика. 2015. Т. 184. № 2. С. 1114-1128.

22. Хасанов А.Б., Яхшимуратов А.Б. Почти-периодичность бесконечномерных потенциалов оператора

Дирака // Докл. РАН. 1996. Т. 350. № 2. P. 746-748.

23. Lax P. Almost periodic solutions of the KdV equation // SIAM Rev. 1976. V. 18. № 3. P. 351-375.

24. McKean H., Trubowitz E. Hill’s operator and hyperelliptic function theory in the presence of infinitely

many branchpoints // Comm. Pure Appl. Math. 1976. V. 29. P. 143-226.

25. Левитан Б.М., Саргсян И.С. Операторы Штурма-Лиувилля и Дирака. М., 1988.

26. Мисюра Т.В. Характеристика спектров периодической и антипериодической краевых задач, порож-

даемых операцией Дирака. I // Теория функций, функциональный анализ и их приложения. Т. 30.

/ Под peд. В.А. Марченко. Харьков, 1978. С. 90-101

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№ 10

2023

1424

ХАСАНОВ и др.

27. Мисюра Т.В. Характеристика спектров периодической и антипериодической краевых задач, порож-

даемых операцией Дирака. II // Теория функций, функциональный анализ и их приложения. Т. 31.

/ Под peд. В.А. Марченко. Харьков, 1979. С. 102-109.

28. Хасанов А.Б., Яхшимуратов А.Б. Аналог обратной теоремы Г. Борга для оператора Дирака // Узб.

мат. журн. 2000. № 3-4. С. 40-46.

29. Хасанов А.Б., Ибрагимов А.М. Об обратной задаче для оператора Дирака с периодическим потен-

циалом // Узб. мат. журн. 2001. № 3-4. С. 48-55.

30. Currie S., Roth T., Watson B. Borg’s periodicity theorems for first-order self-adjoint systems with

complex potentials // Proc. Edinb. Math. Soc. 2017. V. 60. № 3. P. 615-633.

31. Grebert B., Guillot J.C. Gap of one dimensional periodic AKNS systems // Forum Math. 1993. V. 5.

№ 5. P. 459-504.

32. Korotayev E., Mokeev D. Dubrovin equation for periodic Dirac operator on the half-line // Appl. Anal.

2020. V. 101. № 1. P. 1-29.

33. Trubowtz E. The inverse problem for periodic potentials // Comm. Pure. Appl. Math. 1977. V. 30.

P. 321-337.

34. Хасанов А.Б., Яхшимуратов А.Б. Обратная задача на полулинии для оператора Штурма-

Лиувилля с периодическим потенциалом // Дифференц. уравнения. 2015. Т. 51. № 1. P. 23-32.

35. Бабаджанов Б.А., Хасанов А.Б., Яхшимуратов А.Б. Об обратной задаче для квадратичного пуч-

ка операторов Штурма-Лиувилля с периодическим потенциалом // Дифференц. уравнения. 2005.

Т. 41. № 3. P. 298-305.

Самаркандский государственный университет

Поступила в редакцию 27.03.2023 г.

имени Ш. Рашидова, Узбекистан,

После доработки 24.08.2023 г.

Самаркандский государственный

Принята к публикации 25.08.2023 г.

архитектурно-строительный университет,

Узбекистан

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№ 10

2023