ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2023, том 59, № 10, с. 1425-1432

ТЕОРИЯ УПРАВЛЕНИЯ

УДК 517.977

НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ

НЕЙРОСЕТЕВОГО ПОДХОДА К СТАБИЛИЗАЦИИ

ПЕРЕКЛЮЧАЕМЫХ ИНТЕРВАЛЬНЫХ СИСТЕМ

Рассматривается задача стабилизации переключаемой интервальной линейной системы с

медленными переключениями, недоступными для наблюдения. Решение предлагается ис-

кать в классе регуляторов переменной структуры. Для обеспечения работоспособности та-

кого регулятора необходимо построение наблюдателя переключающего сигнала. Настоя-

щая работа посвящена некоторым теоретическим вопросам, связанным с периодом кван-

тования времени работы нейронаблюдателя.

DOI: 10.31857/S0374064123100096, EDN: OOCCAQ

1. Постановка задачи. Рассматривается непрерывная скалярная переключаемая интер-

вальная линейная система

x = [A_σ]x + [b_σ]u, σ ∈ S_τ,

(1)

где σ : R₊ → I = {1, . . . , m} - непрерывная справа кусочно-постоянная функция (переключа-

ющий сигнал) с конечным числом разрывов (переключений) на любом конечном промежутке;

S_τ - множество всех переключающих сигналов σ, для которых время между любыми дву-

мя соседними переключениями не меньше τ (τ > 0); I - множество индексов, нумерующих

режимы функционирования системы (1); [A_σ] = [A] ◦ σ - композиция отображения [A] : I →

→ {[A₁], . . . , [A_m]}

([A_i] ∈ IR^n×n, IR^n×n - множество всех квадратных интервальных мат-

риц порядка n) и переключающего сигнала σ,

[b_σ] = [b] ◦ σ - аналогичная композиция для

отображения [b] : I → {[b₁], . . . , [b_m]}

([b_i] ∈ IRⁿ, IRⁿ - множество всех интервальных век-

торов размерности n); пары интервальных матриц ([A_i], [b_i]), i = 1, m, определяют режимы

функционирования системы (1); x ∈ Rⁿ - вектор состояния, u ∈ R¹ - управляющий вход.

Переключаемую интервальную систему (1) будем понимать как бесконечное семейство

обычных переключаемых систем вида

⎧

⎪A1x(t) + b1u при σ(t) = 1,

⎨

A₂x(t) + b₂u при σ(t) = 2,

x(t) =

(2)

⎪

⎩

A_mx(t) + b_mu при σ(t) = m,

где A_i ∈ [A_i], b_i ∈ [b_i] (здесь под включением понимается принадлежность каждого элемента

матрицы A_i либо столбца b_i соответствующему промежутку - элементу интервальной мат-

рицы [A_i] либо интервального столбца [b_i]), i = 1, m, σ ∈ S_τ . При этом если t₀, t₁, . . . , t_n,

... представляет собой последовательность моментов переключения, то t_j - t_i ≥ τ для всех

j > i.

Далее предполагаем, что переключающий сигнал не доступен для наблюдения.

Задача. Требуется стабилизировать систему (1) в нулевом положении равновесия, т.е.

построить обратную связь u = u(x) такую, что для любых x(0) ∈ Rⁿ, σ ∈ S_τ и любых

наборов {A₁, . . . , A_m} (A_i ∈ [A_i]),

{b₁, . . . , b_m} (bi ∈ [bi]) норма ∥x(t)∥ соответствующего

решения системы (2), замкнутой этой обратной связью, стремится к нулю при t → ∞.

При этом вектор-функция x(t) определяется как решение линейной нестационарной сис-

темы с кусочно-постоянными коэффициентами

x = Aσ(t)x + bσ(t)u, x(0) = x₀ ∈ Rⁿ, σ ∈ S_τ,

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№ 10

2023

1426

ФУРСОВ, МОСОЛОВА

где Aσ(t) ∈ {A₁, . . . , A_m}, bσ(t) ∈ {b₁, . . . , b_m}. Далее для векторов будем использовать нормы

√∑

∑

∥x∥ = max|xi| или

∥x∥₂ =

x2i, а для матриц, соответственно,

∥A∥ = max

|a_ij | или

√

∥A∥₂ =

maxsi(A∗A), где si(A∗A) - собственные числа матрицы A∗A.

В работе [1] была рассмотрена подобная задача стабилизации для скалярной переключае-

мой линейной системы без интервальной неопределённости вида

x = A_σx + b_σu, σ ∈ S_τ.

(3)

При этом для её решения был использован подход, заключающийся в построении регулятора

переменной структуры (переключаемого регулятора)

u = u_σ(x),

(4)

каждый режим которого является стабилизирующей обратной связью u = u_i(x) для, соот-

ветственно, i-го режима

x = A_ix + b_iu переключаемой системы (3), т.е. обеспечивает асимп-

тотическую устойчивость замкнутой системы

x = A_ix + b_iu_i(x).

Отметим, что в предположении полной управляемости пары (A_i, b_i) стабилизирующую об-

ратную связь для каждого режима системы (3) было предложено искать в форме линейной

статической обратной связи u = -kтix. Известно [2, с. 249], что такая обратная связь всегда

существует как решение задачи модального управления.

В настоящей статье для стабилизации системы (1) также предлагается использовать ука-

занный подход и искать стабилизирующую обратную связь в виде переключаемого регулятора

вида (4) с режимами в форме линейной статической обратной связи (u = -kтix)

u = -k_σx, σ ∈ S_τ,

(5)

где k_σ = k ◦ σ - композиция отображения k : I → {k^т1, . . . , kтm} (k_i ∈ Rⁿ) и переключающего

сигнала σ. Тогда система (1), замкнутая регулятором (4), будет иметь вид

x = [A_σ]x - [b_σ]k_σx, σ ∈ S_τ.

(6)

Теперь заметим, что при использовании переключаемого регулятора для стабилизации сис-

темы (1) необходимо решить две проблемы. Первая состоит в поиске для каждого интерваль-

ного режима

x = [A_i]x + [b_i]u

стабилизирующей линейной статической обратной связи u = -kтix, существование которой

уже не гарантируется легко проверяемым критерием, как в случае обычных (не интервальных)

линейных систем. Вместе с этим поиск стабилизирующей обратной связи для каждого режи-

ма переключаемой системы (1) неразрывно связан с решением вопроса об устойчивости этой

системы, замкнутой соответствующим регулятором (5), поскольку известно, что устойчивость

каждого замкнутого режима

x = ([A_i]x - [b_i]kтi )x

системы (1) в отдельности ещё не является достаточным условием устойчивости замкнутой

переключаемой системы (6).

Вторая проблема состоит в том, что для реализации указанного регулятора необходимо

знать моменты переключения режимов и номера активных режимов в каждый момент време-

ни, для того чтобы обеспечить синхронность переключений регулятора. Но, по условию, такая

информация о переключаемой системе в режиме реального времени не доступна.

В п. 2 настоящей работы для решения первой проблемы предлагается использовать резуль-

таты статьи [3], позволяющие свести задачу нахождения стабилизирующей обратной связи для

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№ 10

2023

НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ НЕЙРОСЕТЕВОГО ПОДХОДА

1427

каждого интервального режима к решению системы линейных матричных неравенств, а для

решения задачи устойчивости замкнутой системы (6) будет предложена методика получения

оценок времени задержки τ для обеспечения устойчивости переключаемой интервальной сис-

темы c устойчивыми режимами на основе результатов работ [4, с. 64; 5, с. 88]. Решение второй

проблемы основано на методе построения нейронаблюдателя переключающего сигнала, изло-

женного в статье [1], и представлено в пп. 3, 4.

2. Выбор режимов переключаемого регулятора. Зафиксируем произвольный номер

i ∈ I и рассмотрим задачу поиска параметров вектора k_i ∈ Rⁿ, обеспечивающего устойчи-

вость любой системы из семейства

x = ([A_i] - [b_i]kтi )x.

(7)

Для решения этой задачи может быть использован следующий подход. Для каждой интерваль-

ной матрицы [A_i] построим множество вершинных матриц A_r,i (r = 1, 2n2 ), т.е. таких матриц,

элементы которых принимают только крайние значения (либо a_ij , либо a_ij ) из соответству-

ющих промежутков [a]_ij = [a_ij, a_ij]. Аналогично строим множества вершинных векторов b_q,i

(q = 1, 2ⁿ).

Далее в соответствии с методикой, изложенной в [3], по вершинным матрицам A_r,i и век-

торам b_q,i интервальных семейств [A_i] и [b_i] строятся специальные множества матриц F_l,i ∈

∈ R^n×n и векторов g_l,i ∈ Rⁿ (l = 1,κ, где κ = 2n2+ⁿ), после чего вектор обратной связи k_i

находим из системы линейных матричных неравенств

{

P_iFтl,i + F_l,iP_i + z_igтl,i + g_l,izтi < 0,

(8)

P_i > 0, l = 1,κ.

Если (z_i, P_i) - решение системы (8), то kтi = -zтiP-1i. При этом функция

V_i(x) = x^тP_ix

является общей квадратичной функцией Ляпунова для семейства систем (7).

Итак, пусть стабилизирующие обратные связи u = -kтix для каждого i-го режима систе-

мы (1) построены. Рассмотрим теперь вопрос об оценке времени задержки τ, которое гаран-

тирует устойчивость замкнутой системы (6) при любом σ ∈ S_τ .

Зафиксируем номер i ∈ {1, . . . , m} и рассмотрим произвольную систему

x = (A - bkтi)x,

(9)

где A ∈ [A_i], b ∈ [b_i]. В работе [3] показано, что матрица такой системы может быть пред-

ставлена в виде

∑

A - bkтi = λ_lΨ(i)l(k_i),

λ_l = 1, λ_l ≥ 0,

(10)

l=1

где Ψ(i)l(k_i) = F_l,i - g_l,ikтi.

Пусть пара (z_i, P_i) - решение системы (8). В [3] показано, что тогда для всех l = 1, κ

выполняется неравенство

(Ψ(i)l(k_i))^тQ_i + Q_iΨ(i)l(k_i) < 0,

где kтi = -zтiP-1i, Q_i = P-1i. Отсюда и из (10) имеем

(∑κ

)т

∑

(A - bkтi)^тQ_i + Q_i(A - bkтi) =

λ_lΨ(i)

(k_i) Q_i + Q_i

λ_lΨ(i)l(k_i) =

l=1

∑

= (λ_l(Ψ(i)l(k_i))^тQ_i + Q_iΨ(i)l(k_i)) = -

λ_lH(i)l,

l=1

где H(i)l = -((Ψ(i)l(k_i))^тQ_i + Q_iΨ(i)l(k_i)) - положительно определённые матрицы.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№ 10

2023

9^∗

1428

ФУРСОВ, МОСОЛОВА

Таким образом,

∑

(A - bk_i)^тQ_i + Q_i(A - bk_i) = - λ_lH(i)l,

l=1

∑_κ

причём матрица H(i) =

λ_lH(i)l является положительно определённой. Отсюда получаем,

l=1

что система (9) асимптотически устойчива, а в силу произвольности выбора матрицы A и

вектора b получаем, что обратная связь u = -kтix обеспечивает устойчивость семейства

замкнутых систем (7).

Далее пусть h(i)min - минимальное собственное значение матрицы H(i). Тогда имеем следу-

ющую цепочку соотношений:

(

) )

(∑κ

)

∑

h(i)min = min

(x^тH(i)x) = min x^т

λ_lH(i)

= min

λ_l(x^тH(i)lx)

≥

∥x∥₂=1

l=1

)

(

(∑κ

∑

))_κ∑

≥ min

λ_l(h(i)l∥x∥²²)

≥ min

∥x∥²

λ_lh(i)

= λ_lh(i)l,

(11)

∥x∥₂=1

l=1

где h(i)l - минимальные собственные значения матриц H(i)l. Обозначим μ_i = minh(i)l. Тогда

из (11) получаем

∑

h(i)min ≥

λ_lh(i)

≥μ_i λ_l =μ_i,

l=1

т.е.

h(i)min ≥ μ_i.

(12)

В соответствии с [4, с. 56] для любого решения x(t) системы (9) выполнено неравенство

∥x(t)∥₂ ≤ c_ie-θi(t-s)∥x(s)∥₂, t ≥ s ≥ 0,

√

где c_i =

M_i/m_i, θ_i = h(i)min/(2M_i), а m_i и M_i - соответственно минимальное и максимальное

собственные значения матрицы Q_i. В силу (12)

e-θi(t-s) ≤ e-νi(t-s) при t > s ≥ 0,

где ν_i = μ_i/(2M_i), а тогда для любого решения x(t) системы (9) получаем

∥x(t)∥ ≤

√n∥x(t)∥₂ ≤ c_i√ne^-νi(t-s)∥x(s)∥₂ ≤ c_i√ne^-νi(t-s)∥x(s)∥ при t > s ≥ 0.

Обозначив c_ii = c_i

√n, α_ii = -ν_i, запишем последнее неравенство в виде

∥x(t)∥ ≤ c_iieαii(t-s)∥x(s)∥, t ≥ s ≥ 0.

(13)

На основании изложенного выше и достаточного условия устойчивости переключаемой

линейной системы, полученного в работе [5], справедлива

Теорема 1. Пусть для переключаемой интервальной линейной системы (1) при любом

i ∈ I совместна система линейных матричных неравенств (8) и (z_i,P_i) - её соответству-

ющее решение. Тогда переключаемый регулятор

u = -k_σx, kтi = -zтi P-1i, σ ∈ S_τ,

(14)

стабилизирует систему (1) при

2 ln c

τ >

|α|

где c = maxcii, α = maxαii.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№ 10

2023

НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ НЕЙРОСЕТЕВОГО ПОДХОДА

1429

3. Построение нейронаблюдателя режимов замкнутой переключаемой системы.

Как уже было упомянуто выше, отсутствие информации о значении переключающего сигнала

в процессе функционирования переключаемой системы не даёт возможности непосредственно

использовать переключаемый регулятор (14). Для того чтобы обеспечить синхронность пе-

реключений самой системы и регулятора, необходимо построить наблюдатель, который бы

формировал в каждый момент времени оценку переключающего сигнала σ(t). В настоящей

работе, как и в статье [1], предлагается строить оценку переключающего сигнала на основе

нейросетевого подхода, который заключается в том, что в качестве упомянутого выше наблю-

дателя режимов используется нейронная сеть. Считаем, что выходом такой нейросети является

оценка σ(t) недоступного для измерения переключающего сигнала σ(t). При этом регулятор

переменной структуры будет иметь вид

u = -k_σx,

(15)

где σ(t) - оценка переключающего сигнала, σ(t) ∈ {1, . . . , m}, а векторы k_i ∈ Rⁿ выбираются

из условий устойчивости семейств матриц [A_i] - [b_i]k_i.

Пара - переключаемый регулятор и нейронная сеть - в [1] была названа нейрорегулято-

ром. Систему (1), замкнутую нейрорегулятором, можно представить переключаемой системой

следующего вида:

x = ([A_σ] - [b_σ]k_σ)x, σ ∈ S_τ,

σ ∈ [S]εp,

(16)

где ε_p = τ/p - достаточно малая положительная константа, p ∈ N - некоторый фиксиро-

ванный параметр алгоритма наблюдения, [S]εp - множество переключающих сигналов, для

которых моменты переключений принадлежат множеству {lε_p, l ∈ N

^⋃ {0}}. Перенумеруем

(от 1 до m²) все возможные режимы

x = ([A_i] - [b_i]k_j)x, i,j = 1,m,

переключаемой системы (16), присвоив каждому (ij)-му режиму соответствующий номер s =

= (i - 1)m + j. Введём функцию ξ : {1, . . . , m²} → {1, . . . , m}, отображающую каждый номер

s в соответствующий ему индекс i, т.е. ξ(s) = i.

Как и в случае построения нейронаблюдателя для переключающего сигнала обычной пе-

реключаемой системы, рассмотренной в [1], работа нейронной сети в качестве наблюдателя

переключающего сигнала для переключаемой интервальной системы (1) также осуществля-

ется в процессе функционирования системы и состоит в том, что для заданной дискретной

последовательности моментов времени lε_p, l ∈ N

^⋃ {0}, по каждой паре измерений векто-

ра состояния (x(lε_p), x((l + 1)ε_p)) нейронная сеть в момент времени t = (l + 1)ε_p должна

определять номер s текущего режима переключаемой системы (16). Также как и в [1] обозна-

чим выход нейросети в момент lε_p через N[lε_p]. На основе данной информации оценка σ[lε]

переключающего сигнала σ(t) строится следующим образом:

σ(t) ≡ ξ(N[lε_p]) при t ∈ [lε_p, (l + 1)ε_p), l ∈ N.

(17)

В результате переключение векторов k_i стабилизирующей обратной связи задаёт переключа-

ющий сигнал (17) с некоторым заданным начальным условием σ(0) = σ₀

(σ₀ ∈ {1,... ,m }).

Описанный наблюдатель далее обозначаем через Nεp . По аналогии с [1] введём дискретную

ошибку оценивания e_σ[lτ] (l ∈ N

^⋃ {0}) сигнала σ(t):

e_σ[lτ] = max

μ(i+1)τiτ ,

i=0,l-1

где μ(i+1)τiτ - количество промежутков вида [jε_p, (j + 1)ε_p) ⊂ [iτ, (i + 1)τ], для которых σ(t) ≡

≡ σ(jε_p).

Заметим, что построение описанного нейронаблюдателя для переключаемой интервальной

системы является существенно более сложной задачей по сравнению с обычной системой, рас-

смотренной в статье [1], поскольку в данном случае каждый режим, по сути, представляет

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№ 10

2023

1430

ФУРСОВ, МОСОЛОВА

собой континуальное семейство систем, в связи с чем теперь речь идёт о распознавании с

помощью нейросети различных семейств линейных динамических систем.

4. Квантование времени работы наблюдателя переключающего сигнала. Одной

из основных проблем обеспечения работоспособности переключаемого регулятора (15) явля-

ется правильный выбор величины ε_p (периода срабатывания нейронаблюдателя). Учитывая,

что режимы регулятора (15) могут переключаться только в дискретные моменты времени t =

= lε_p и при этом ещё могут возникать ошибки в распознавании режимов замкнутой системы

(16), практически неизбежно будут возникать неустойчивые режимы на промежутках време-

ни, длина которых будет зависеть от величины ε_p. И для того чтобы при этом обеспечить

стремление нормы решения к нулю, необходимо рассчитать “правильное” значение величины

ε_p в зависимости от возможной ошибки оценивания переключающего сигнала и от величины

задержки τ. Решим этот вопрос.

Итак, для каждого замкнутого режима

x = ([A_i] - [b_i]k_j)x, i = j,

(18)

построим интервальное расширение

x = [Λ_ij]x,

[Λ_ij ] = {Λ ∈ R^n×n : |Λ - Λ^◦ij | ≤ △Λ_ij },

(19)

где Λ^◦ij - центральный элемент интервального семейства, △Λ_ij - размах интервальной неопре-

делённости и A_i - b_ik_j ∈ [Λ_ij ] для любых A ∈ [A_i] и b ∈ [b_i]. Знаки модуля | · | и неравенства

≤ относительно матриц далее понимаем поэлементно.

Рассмотрим следующие системы:

(Σ₁)

x = Λ^◦ijx,

(Σ₂)

x = (|Λ^◦ij| + △Λ_ij)x,

(Σ₃)

x = |Λ^◦ij|x.

Пусть J(l)ij - жорданова нормальная форма (ЖНФ) для матрицы системы Σ_l, r(l)ij - размер

максимальной клетки Жордана для J(l)ij, M(l)ij - соответствующая матрица преобразования к

ЖНФ J(l)ij. Обозначим

r(l)ij-1

∑

t^k

α(l)ij =

max

Reλ(ijl)k, c(l)ij = ∥(M(l)ij)-1∥∥(M_ij)(l)∥, P(1)ij(t) =

λ(ijl)k∈ SpecJ(l)

k=0

Тогда, в соответствии с [6, с. 57], для норм матриц Коши систем Σ_l, l = 1, 2, 3, выполняются

оценки

(1)

∥eΛij(t-s)∥ ≤ c(1)ije^α

(t-s)P(1)ij(t - s),

(2)

∥e(|Λij|+△Λij )(t-s)∥ ≤ c(2)ije^α

(t-s)P(2)ij(t - s),

(3)

∥e|Λij|(t-s)∥ ≤ c(3)ije^α

(t-s)P(3)ij(t - s)

(20)

при любых t > s ≥ 0.

Пусть теперь Λ - некоторая произвольная матрица из семейства [Λ_ij ]. Тогда, в соответ-

ствии с [7, с. 88], для матрицы Коши системы

x = Λx

(21)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№ 10

2023

НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ НЕЙРОСЕТЕВОГО ПОДХОДА

1431

при любых t > s ≥ 0 имеем следующую оценку:

|eΛ(t-s) - eΛij(t-s)| ≤ e(|Λij|+△Λij)(t-s) - e|Λij|(t-s)

или

eΛij(t-s) - e(|Λij|+△Λij)(t-s) + e|Λij|(t-s) ≤ eΛ(t-s) ≤ eΛij(t-s) + e(|Λij|+△Λij)(t-s) - e|Λij|(t-s).

Отсюда для любого решения системы (21) справедлива оценка

∥x(t)∥ = ∥eΛ(t-s)x(s)∥ ≤ ∥eΛ(t-s)∥∥x(s)∥ ≤ ∥eΛij(t-s) + e(|Λij|+△Λij )(t-s) - e|Λij|(t-s)∥∥x(s)∥.

Учитывая (20) и неравенство

∥eΛij(t-s) - e(|Λij|+△Λij )(t-s) + e|Λij|(t-s)∥ ≤ ∥eΛij(t-s)∥ + ∥e(|Λij|+△Λij )(t-s)∥ + ∥e|Λij|(t-s)∥,

получаем

)

(₃∑

∥x(t)∥ ≤

c(l)ije^αij

(t-s)P(l)ij(t - s)

∥x(s)∥, t > s ≥ 0.

l=1

Введём обозначения

c_ij = 3max{c(1)ij,c(2)ij,c(3)ij}, α_ij = max{α(1)ij,α(2)ij,α(3)ij}, r_ij = max{r(1)ij,r(2)ij,r(3)ij}

и окончательно будем иметь

∥x(t)∥ ≤ c_ij eαij (t-s)P_ij (t - s)∥x(s)∥, t > s ≥ 0,

(22)

∑rij-1

где P_ij (t) =

t^k/k!. И поскольку каждая система семейства (18) принадлежит также

k=0

семейству (19), то для любого решения режима (18) верна та же оценка (22). Обозначим

ρ = maxαij, β = maxcij,

r = maxrij.

i=j

Без ограничения общности будем считать, что ρ > 0.

Основываясь теперь на неравенствах (13), (22) и основном результате работы [1], сформу-

лируем достаточное условие устойчивости замкнутой системы (16).

Теорема 2. Пусть для замкнутой системы (16) при любом переключающем сигнале σ ∈

∈ S_τ и любом начальном условии x(0) ∈ Rⁿ наблюдатель Nεp генерирует оценку σ ∈ [S]εp

с ошибкой, удовлетворяющей условию

e_σ[lτ] ≤ θ

для некоторого θ ∈ N,

0 ≤ θ ≤ [p/2].

Тогда если

2 ln h

τ >

|α|

где h = cθ+2β^θP^θ(ε_p)e(ρ-α)θεp , то для любого начального условия x(0) ∈ Rⁿ и любого пере-

ключающего сигнала σ ∈ S_τ норма соответствующего решения системы (16) стремится к

нулю:

∥x(t)∥ → 0, t → ∞.

∑r-1

Здесь P (t) =

t^k/k!.

k=0

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда (проект 22-21-

00162).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№ 10

2023

1432

ФУРСОВ, МОСОЛОВА

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Фурсов А.С., Мосолова Ю.М. Теоретические аспекты построения нейрорегулятора для переключа-

емых систем // Дифференц. уравнения. 2022. Т. 58. № 11. С. 1548-1556.

2. Андреев Ю.Н. Управление конечномерными линейными объектами. М., 1976.

3. Фурсов А.С., Мосолова Ю.М. Достаточные условия существования стабилизирующих регуляторов

для переключаемых интервальных систем // Дифференц. уравнения. 2022. Т. 58. № 4. С. 534-544.

4. Поляк Б.Т., Хлебников М.В., Щербаков П.С. Управление системами при внешних возмущениях:

техника линейных матричных неравенств. М., 2014.

5. Фурсов А.С., Хусаинов Э.Ф. Сверхстабилизация линейных динамических объектов при действии

операторных возмущений // Дифференц. уравнения. 2014. Т. 50. № 7. C. 865-876.

6. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М., 1967.

7. Ащепков Л.Т., Давыдов Д.В. Универсальные решения интервальных задач оптимизации и управ-

ления. М., 2006.

Электротехнический университет,

Поступила в редакцию 07.06.2023 г.

г. Ханчжоу, Китай,

После доработки 26.07.2023 г.

Московский государственный университет

Принята к публикации 25.08.2023 г.

имени М.В. Ломоносова,

Институт проблем передачи информации

имени А.А. Харкевича, г. Москва

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№ 10

2023