ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2023, том 59, № 10, с. 1438-1440
КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ
УДК 517.927.25
О КРАТНОМ СПЕКТРЕ ЗАДАЧИ
ДЛЯ УРАВНЕНИЯ БЕССЕЛЯ ЦЕЛОГО ПОРЯДКА
С КВАДРАТОМ СПЕКТРАЛЬНОГО ПАРАМЕТРА
В ГРАНИЧНОМ УСЛОВИИ
© 2023 г. Н. Ю. Капустин
Рассматривается задача для уравнения Бесселя целого порядка с комплексным физиче-
ским и спектральным параметрами в граничном условии. Спектральный параметр в гра-
ничное условие входит квадратично. Изучается вопрос базисности системы собственных
функций в случае появления кратного собственного значения.
DOI: 10.31857/S0374064123100114, EDN: OOJKGO
1. Постановка задачи. В работе [1] рассмотрена спектральная задача для уравнения
Бесселя целого порядка
(
)
1
n2
R′′(r) +
R′(r) + λ -
R(r) = 0,
0 < r < 1,
(1)
r
r2
с граничным условием
R′(1) = dλ2R(1).
(2)
В предположении ограниченности решений уравнения (1) получена система собственных
функций
√
Rk(r) = Jn(
λkr), k ∈ N,
отвечающих собственным значениям λk - корням характеристического уравнения
√
√
√
J′n(
λ) = d(
λ)3Jn(
λ).
(3)
Для всех собственных значений задачи будем считать выполненным условие
√
-π/2 < arg
λk ≤ π/2, k ∈ N.
2. Основные результаты. Получено уравнение
-4zJn(z)J′n(z) + n2J2n(z) = z2[J2n(z) + (J′n(z))2]
(4)
для кратных корней уравнения (3) и доказана их простота при n = 0 (случай n = 0 доста-
точно подробно изучен в статье [2] и на нём здесь мы останавливаться не будем).
Доказано следующее утверждение: если d ∈ {J′n(z)Jn(z)/z3}, где z - любой корень урав-
нения (4), то система
{√rRk(r) =√rJn(√λkr)}, k = 1,2,... ,l - 1,l + 1,... ,m - 1,m + 1,... ,
собственных функций задачи (1), (2), умноженных на весовой множитель, без любых двух
собственных функций с номерами l и m является базисом Рисса в пространстве L2(0, 1).
Биортогонально сопряжённая к этой системе система {√rWk(r)} определяется по формуле
[
]
√
√
√
(λk - λm)Jn(√λk)
(λk - λl)J0(√λk)
Wk(r) = A-1k Jn(
λkr) -
λlr) -
λmr) ,
(λl - λm)Jn(√λl)Jn(
(λm - λl)Jn(√λm)Jn(
1438
О КРАТНОМ СПЕКТРЕ ЗАДАЧИ
1439
где
∫1
√
√
Ak = rJ2n(
λkr)dr + 2dλkJ2n(
λk) =
0
)
(d2λ3k + 1 - n2/λk
√
√
=
J2n(
λk) + 2dλkJ2n(
λk), k = 1,2,... ,l - 1,l + 1,... ,m - 1,m + 1,...
2
Рассмотрим случай появления кратного спектра. Имеют место утверждения.
Теорема 1. Если d = J′n(z)Jn(z)/z3, где комплексное число z - любой корень уравне-
ния (4), то система {√rRk(r)}, k = 1,2,... ,l - 1,l + 1,... , собственных функций задачи
(1), (2), умноженных на весовой множитель, без одной собственной функции с номером l,
соответствующей кратному собственному значению λl = z2, является базисом Рисса в
пространстве L2(0,1). Биортогонально сопряжённая к этой системе система {√rVk(r)}
определяется по формуле
[
(
]
√
√
(λl - λk)Jn(√λk)
(λl - λk)Zl(1))Jn(√λk)
Vk(r) = A-1k Jn(
λkr) -
Zl(r) -
1-
√
λlr) ,
Jn(√λl)
Jn(
λl)
Jn(√λl)Jn(
где
√
√
r
Zl(r) =
√ [Jn+1(
λlr) - Jn-1(
λlr)].
4
λl
Теорема 2. Если d = J′n(z)Jn(z)/z3, где комплексное число z - любой корень уравнения
(4), то система {√rRk(r)}, k = 1,2,... ,m - 1,m + 1,... , собственных функций задачи
(1), (2), умноженных на весовой множитель, без одной собственной функции Rm(r), соот-
ветствующей простому собственному значению λm, при наличии кратного корня λl = z2,
m = l, образует базис Рисса в пространстве L2(0,1). Биортогонально сопряжённая к этой
системе система {√rVk(r)} определяется по формулам
[
]
√
Zαl(1)
Vl(r) = A-1l Zαl(r) -
λmr) ,
Jn(√λm)Jn(
[
]
√
(λk - λm)Jn(√λk)
√
(λk - λl)Jn(√λk)
√
Vk(r) = A-1k Jn(
λkr) -
λlr) -
λmr) , k = l,
(λl - λm)Jn(√λl)Jn(
(λm - λl)Jn(√λm)Jn(
где
√
√
√
r
Jn(√λl)
Zαl(r) =
λlr) - Jn-1(
λlr)] + αJn(
λlr), Zαl(1) =
,
4
√λl [Jn+1(
λl - λm
∫1
(
)
√
√
√
1
Al = rZαl(r)Jn(
λlr)dr + d(λl + λm)Zαl(1)Jn(
λl) = -
2d + d2λ2l +
J2n(
λl).
4λl
0
Доказательство этих теорем проводится по схемам, разработанным в [3, 4] с использованием
результатов работ [5, 6]. Построение биортогонально сопряжённой системы основано, в свою
очередь, на формулах
1
∫
√
√
√
√
rJn(
λmr)Jn(
λkr)dr + d(λm + λk)Jn(
λm)Jn(
λk) = 0,
0
1
∫
√
√
√
√
rJn(
λmr)Zl(r)dr + d(λm + λl)Jn(
λm)Zl(1) - dJn(
λm)Jn(
λl) = 0,
0
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№ 10
2023
1440
КАПУСТИН
в которых λm, λk и λl - различные собственные значения задачи (1), (2), причём λl - кратный
корень.
Функция Zl(r) - это присоединённая функция для собственной функции Rl(r) = Jn(√λlr)
с кратным собственным значением. Действительно, пусть z - любой корень уравнения (4),
d = J′n(z)Jn(z)/z3, λl = z2. Рассмотрим задачу для присоединённой функции
(
)
1
n2
Z′′l(r) +
Z′l(r) + λl -
Zl(r) = Rl(r),
0 < r < 1,
(5)
r
r2
Z′l(1) = dλ2lZl(1) - 2dλlRl(1).
(6)
Решением задачи (5), (6) является корневая функция
√
√
√
r
Zαl(r) =
√ [Jn+1(
λlr) - Jn-1(
λlr)] + αJn(
λlr),
4
λl
где α - любое комплексное число.
Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства науки и высшего образования
Российский Федерации в рамках реализации программы Московского центра фундаменталь-
ной и прикладной математики по соглашению № 075-15-2022-284.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Капустин Н.Ю. О кратном спектре задачи для уравнения Бесселя с квадратом спектрального
параметра в граничном условии // Дифференц. уравнения. 2021. Т. 57. № 12. С. 1715-1718.
2. Moiseev E.I., Moiseev T.E., Kapustin N.Yu. On the multiple spectrum of a problem for the Bessel
equation // Integral Transforms and Special Functions. 2020. V. 31. № 12. P. 1020-1024.
3. Капустин Н.Ю., Моисеев Т.Е. О кратном спектре задачи для уравнения Бесселя со спектральным
параметром в граничном условии // Дифференц. уравнения. 2016. Т. 52. № 10. С. 1426-1430.
4. Моисеев Е.И., Капустин Н.Ю. О базисности в пространстве Lp систем собственных функций,
отвечающих двум задачам со спектральным параметром в граничном условии // Дифференц. урав-
нения. 2000. Т. 36. № 10. С. 1357-1360.
5. Капустин Н.Ю. О классической задаче с комплекснозначным коэффициентом и спектральным
параметром в граничном условии // Дифференц. уравнения. 2012. Т. 48. № 5. С. 701-706.
6. Капустин Н.Ю. О двух спектральных задачах с одним характеристическим уравнением // Диф-
ференц. уравнения. 2015. Т. 51. № 7. С. 962-964.
Московский государственный университет
Поступила в редакцию 30.06.2023 г.
имени М.В. Ломоносова
После доработки 30.06.2023 г.
Принята к публикации 25.08.2023 г.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№ 10
2023
