ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2023, том 59, № 11, с. 1462-1470

УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

УДК 517.9

РАЗРЕШИМОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Предлагается новый подход к вопросу разрешимости как обыкновенных уравнений, так и

с частными производными, в теории линейных дифференциальных уравнений, а также в

теории интегральных уравнений.

DOI: 10.31857/S0374064123110031, EDN: PDRKWE

Введение. Пусть X и Y - векторные пространства, которые оба являются либо веще-

ственными, либо комплексными, A - линейный оператор, определённый на линеале D(A) ⊂ X,

с множеством значений R(A) ⊂ Y. Рассмотрим линейное уравнение

Ax = y,

(1)

где y - заданный элемент пространства Y, а x - искомый элемент из D(A), и введём понятие

его решения.

Элемент x ∈ D(A) называется решением уравнения (1), где y ∈ R(A), если Ax и y

совпадают как элементы из пространства Y.

При таком подходе к понятию решения следует ответить на два вопроса: при каких огра-

ничениях на оператор A

1) у уравнения (1) не может быть двух решений;

2) уравнение (1) имеет решение при каждом y ∈ Y ?

Ответы на эти два вопроса - суть общей теории разрешимости уравнений.

Для дифференциальных уравнений с частными производными часто не удаётся ввести удо-

влетворительное понятие решения. М. Громов отметил [1]: “Классическая теория уравнений

в частных производных уходит корнями в физику, где, как считается, эти уравнения опи-

сывают законы природы. “Законопослушные” функции, удовлетворяющие таким уравнениям,

весьма редки в пространстве всех “допустимых” функций (независимо от выбора топологии в

рассматриваемом функциональном пространстве)”.

Пусть математическая модель физического процесса описывается уравнением

∑

C_α(t)D^αu = f(t), t ∈ Ω ⊂ Rⁿ,

(2)

|α|≤m

где α = (α₁, . . . α_n) - мультииндекс, |α| = α₁ + . . . + α_n, D^α = Dα11 . . . Dnn , Dk = ∂/∂xk.

Классическим решением уравнения (2) называется функция u, имеющая непрерывные

частные производные D^αu при |α| ≤ m и обращающая уравнение в тождество.

Многие задачи математической физики требуют расширения понятия решения, поскольку

из физических соображений следует, что искомые функции не имеют необходимого числа про-

изводных. Это привело к понятию обобщённого решения [2]. Существуют дифференциальные

уравнения, не имеющие и обобщённого решения. Например, математическая модель вынуж-

денных 2π-периодических колебаний закреплённой на концах отрезка [0, π] струны имеет вид

u_tt - c²u_xx = f(t,x), (t,x) ∈ Ω = R × [0,π],

u, u_t, f(t, x) ∈ L²¹(Ω) - 2π-периодические по t функции, u(t, 0) = u(t, π) = 0. В работе [3]

показано, что эта модель имеет или не имеет обобщённого решения при каждой функции

1462

РАЗРЕШИМОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

1463

f (t, x) в зависимости от того, не является или является c числом Лиувилля, что отражает

сложность рассматриваемого процесса.

Предлагается идея: записывается счётная система φ = {φ_p, p ∈ N} элементов, имеющая в

некотором векторном пространстве H₁ со скалярным произведением 〈· , ·〉₁ биортогональную

систему φ^∗ = {φ^∗p, p ∈ N}, причём в некотором векторном пространстве H₂ со скалярным

произведением 〈· , ·〉₂ системы Aφ = {Aφ_p, p ∈ N} и (Aφ)^∗ = {(Aφ_p)^∗, p ∈ N} биортогональ-_∑∑

ны. Если существуют пространства X и Y, в которых сходятся ряды_p a_pφ_p,_p a_pAφ_p,

где a_p - числа и x, y - соответствующие их суммы, то элемент x следует называть решением

уравнения (1); так как это решение определяется множеством φ, то естественно назвать его

φ-решением.

На первой стадии разработки теории разрешимости возникает вопрос: в каких случаях

можно построить пространства X и Y, в которых при всех a_p, b_p, p ∈ N, сходились бы_∑∑

ряды_p a_pφ_p и_p b_pAφ_p? Эту идею удалось реализовать в статьях [4-6].

Было построено полное топологическ∑е векторное пространство D^′φ,элементыuкоторого

и только они представимы в виде u =_p a_pφ_p, и доказано, что уравнение (1) имеет φ-ре-

∑

шение, если y =_p b_pAφ_p.

Отметим, что в работе [7] вводится самый широкий класс обобщённых периодических

функций, который можно отождествить с множеством формальных тригонометрических ря-

дов. Предложенный там подход является частным случаем разработанного нами подхода.

Введение пространства D^′φ^{позволилозначительнорасширитьмножестворазрешимых}

дифференциальных уравнений, в том числе и тех, которые не имели обобщённых решений.

В частности, упомянутая выше задача о колебании струны при иррациональном c однознач-

φ = {exp(ik₁t)sin(k₂x), k₁ ∈ Z, k₂ ∈ N}.

Очевидны и недостатки.

1. Если систему φ мы выбираем сами, то ничто не мешает выбрать её так, что выполнится

не только биортогональность, но и равенство φ = φ^∗, существование у Aφ биортогональной

(Aφ)^∗ в общем случае под вопросом.

∑

2. Если элемент y задан, то возможно ли равенство y =_p b_pφ_p?

3. Не решены вопросы регулярности φ-решения.

Поэтому ниже приводится новый подход (при введённом понятии решения) к вопросу раз-

решимости дифференциальных уравнений. Разработанный метод универсален в том смысле,

что применим к линейным уравнениям разных типов (скалярным, матричным, дифференци-

альным, интегральным, алгебраическим, функциональным, с отклонениями и без отклонений

аргументов и многим другим), что будет показано на конкретных типах уравнений.

1. Абстрактные результаты.

1.1. Известные результаты, гарантирующие разрешимость уравнения (1). Пусть

A отображает конечномерное линейное пространство L^m в конечномерное линейное прост-

ранство Lⁿ. C помощью базисов e₍₁₎ в L^m и e₍₂₎ в Lⁿ уравнение преобразуется к системе

уравнений A₀u = v, в которой A₀ - прямоугольная числовая матрица размерности m × n и

справедлива

Теорема 1 [8, с. 49]. Уравнение (1) разрешимо (однозначно) тогда и только тогда, когда

совпадают ранги матриц A₀ и расширенной (A₀|y) (в системе A₀e₍₁₎ - линейно независимые

элементы).

Проблема разрешимости резко усложняется тогда, когда либо m, либо n, либо и m и n

одновременно равны +∞. Хотя и в этом случае часто уравнение Ax = y можно преобразовать

в систему A₀u = v, однако матрица A₀ окажется бесконечномерной и неизвестно, будет ли

справедлива теорема 1.

Пусть A - линейный оператор с плотной в банаховом пространстве X областью определе-

ния и замкнутым в банаховом пространстве Y множеством значений R(A). Пусть A^∗ - опе-

ратор, сопряжённый к A, с областью определения D(A^∗), N(A^∗) = {ψ ∈ D(A^∗), A^∗ψ = 0}.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№ 11

2023

1464

МОКЕЙЧЕВ, СИДОРОВ

Теорема 2 [9, c. 229]. 1. Если N(A^∗) = {0}, то R(A) = Y.

2. Если N(A^∗) = {0}, то для разрешимости уравнения Ax = y необходимо и достаточно,

чтобы 〈y, ψ〉 = 0 для всех решений уравнения A^∗ψ = 0.

Здесь и далее через

обозначаем число нуль, нулевой вектор, нулевую матрицу, нуле-

вой элемент. По смыслу всегда будет понятно, что подразумевается под записью 0. В случае

конкретных пространств X теоремы о разрешимости выглядят проще.

Теорема 3 [10, c. 44]. Пусть X - полное метрическое пространство с метрикой ρ и

оператор A : X → X таков, что для всех x,y ∈ X ρ(Ax,Ay) ≤ αρ(x,y), где α < 1 и не

зависит от x и y. Тогда уравнение Ax = x имеет одно и только одно решение x.

Теорема 4 [11, c. 37]. Пусть X - банахово пространство, A - вполне непрерывный опе-

ратор, отображающий ограниченное замкнутое выпуклое множество Ω ⊂ X в себя. Тогда

уравнение Ax = x имеет решение x ∈ Ω.

Мы привели эти известные теоремы для полноты изложения.

1.2. Пространства, в которых заданный набор линейно независимых элементов

образует ортогональный базис. Пусть L - векторное пространство, g = {g_p ∈ L, p ∈

∑_M

∈ N ⊂ Zⁿ} и L_g = {

c_pg_p, c_p ∈ C, M ∈ N

^⋃ {0}} - линейная оболочка множества g.

|p|=0

Здесь и далее C - множество комплексных чисел, Zⁿ - множество всех n-мерных векторов

∑_M

p = (p₁,...,p_n) с целочисленными координатами, |(p1, . . . , pn)| = |p1| + · · · + |pn|,

(·)

|p|=0

означает, что суммирование производится по всем p ∈ N, для которых |p| ≤ M. Всюду μ =

= {μ_p = 0, p ∈ N}.

На первом этапе предполагаем, что в множестве g элементы линейно независимы, т.е. при

∑_M

каждом M из условия

c_pg_p = 0 следует, что c_p = 0 при всех p. Элементы u ∈ L_g,

|p|=0

v ∈ L_g однозначно представимы в виде u =

^∑u_pg_p, v =^∑v_pg_p, причём в множествах {u_p},

{v_p} имеется конечное количество ненулевых чисел. Поэтому 〈u, v〉_μ =

^∑ |μ_p|²u_pv¯_p - скалярное

произведение в L_g и (〈u, u〉_μ)1/2 = ∥u∥_μ - норма элемента u. Итак, L_g - предгильбертово

пространство.

Пополнение L_g с нормой ∥ · ∥_μ до гильбертова пространства обозначим H_μ(g). Итак,

f ∈ H_μ(g) тогда и только тогда, когда существует последовательность u_m ∈ L_g такая, что

∥f - u_m∥_μ → 0 при m → +∞.

Так как 〈g_p, g_r〉_μ = 0 при p = r и 〈g_p, g_p〉_μ = |μ_p|², то

{μ-1pg_p, p ∈ N} - ортонормированный базис в L_g.

(3)

Если дополнительно не оговорено, то в дальнейшем суммирование проводится по p ∈ N.

Теорема 5. (3) - ортонормированный базис в пространстве H_μ(g).

Доказательство. Пусть f ∈ H_μ(g). Существуют f_m =

^∑f_m,pμ-1pg_p ∈ L_g, при которых

∥f - f_m∥_μ → 0 при m → +∞, lim

∥f_m∥_μ = ∥f∥_μ. В силу (3) имеем

m→+∞

∑

∥fm1 - fm2 ∥2μ =

|fm1,p - fm₂,p|² → 0

при m₁ ≥ m₂ → +∞. Поэтому существуют f_p, для которых

^∑ |f_m,p -f_p|² → 0 при m → +∞.

∑

Составим ряд

f_pμ-1pg_p и его частные суммы S_m =

f_pμ-1pg_p. Ввиду (3)

|p|≤m

∑

∥f_m - S_m∥2μ =

|f_m,p - f_p|² → 0,

если m → +∞. Тогда

∥f - S_m∥_μ ≤ ∥f - f_m∥_μ + ∥f_m - S_m∥_μ → 0

при m → +∞. Это означает, что ряд

^∑f_pμ-1pg_p сходится по норме к элементу f. Теорема

доказана.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№ 11

2023

РАЗРЕШИМОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

1465

Замечание 1. Из доказательства теоремы 5 следует, что ряд

^∑a_pμ-1pg_p сходится в H_μ(g)

по норме тогда и только тогда, когда

^∑ |a_p|² < +∞; если f ∈ H_μ(g), f_p = 〈f, μ-1pg_p〉_μ, то

^∑ |f_p|² < +∞, f =^∑ f_pμ-1pg_p, в частности, f - нулевой элемент в H_μ(g), т.е. f_p = 0 при

всех p ∈ N. Если h ∈ H_μ(g) и μ_p ≤ c₁μ_p при всех достаточно больших |p|, где c₁ не зависит

от p, то h ∈ H_μ(g).

⋃

Обозначим H(g) =_μ H_μ(g). Элементы из H(g) называем g-распределениями.

Определение 1. Ряд

^∑b_pg_p сходится в пространстве H(g), если существует μ, при

котором ряд сходится в H_μ(g) по норме.

Теорема 6. Все ряды

^∑b_pg_p сходятся в пространстве H(g).

Доказательство. Если

^∑ |b_p|²|μ_p|² < +∞, то ряд сходится в силу замечания 1. Убедимся

в том, что эта оценка выполняется при некотором μ. Положим μ_p = x_p|b_p|-1, если b_p = 0,

μ_p = x_p в случае b_p = 0, где x_p = 0,

^∑ |x_p|² < +∞. Так как |b_pμ_p| ≤ |x_p|, то^∑ |b_p|²|μ_p|² <

< +∞.

Очевидно, что если множество ĝ = {ĝ_p, p ∈ N₁} состоит из линейно независимых элемен-

тов и g ⊂ ĝ, то H_μ(g) ⊂ H_μ(ĝ). Теорема доказана.

На втором этапе построим пространство X(g), в котором сходятся все ряды

∑

a_pg_p, a_p ∈ C,

(4)

p∈N

в случае, когда нет линейной зависимости элементов.

Как установлено на первом этапе, X(g) = H(g), если в множестве g все элементы линейно

независимые. Так как элементы g_r = 0 не влияют на сходимость ряда (4), то предполагаем,

что g_p = 0 при всех p ∈ N.

Теорема 7. Предположим, что после удаления из множества g конечного числа элемен-

тов g_p, p ∈ N₂, линейно зависимых от оставшихся, в полученной системе ĝ = {g_p, p ∈ N₁}

элементы линейно независимы. Тогда X(g) = H(ĝ).

Доказательство. Нужно доказать, что в H(ĝ) сходится каждый ряд (4). Итак,

∑

a_pg_p =

a_pg_p +

a_pg_p.

p∈N

p∈N₂

p∈N₁

∑

По предположению число N₂ конечное и g_p = ĝ_p при p ∈ N₁. Поэтомуp∈N2 a_pg_p =

∑

= ∑∈N1 cpĝp∑ средиcp,p∈N1,имеетсяконечноеколичествоненулевыхэлементов.Поэто-

му

a_pg_p =p∈N1 (c_p + a_p)ĝ_p и ряд (4) сходится в H(ĝ). Теорема доказана.

Замечание 2. При выполнении предположения теоремы 7 ряд (4) сходится в H(ĝ) тогда

и только тогда, когда

^∑ |μ_p|²|a_p|² < +∞ при некотором μ. Это объясняется тем, что среди

c_p, p ∈ N, количество ненулевых элементов конечно.

1.3. Разрешимость линейных уравнений. Зафиксируем систему φ = {φ_p, p ∈ N},

принадлежащую некоторому векторному пространству L. Предположим, что все элементы в

φ линейно независимы. Тогда существует пространство H(φ), в котором сходятся все ряды

∑

a_pφ_p, a_p ∈ C,

(5)

причём ряд (5) сходится в H_μ(φ) тогда и только тогда, когда

^∑ |a_p|²|μ_p|² < +∞.

Пусть A₀ - линейный оператор, применимый к каждому элементу множества φ. Введём

множество A₀φ = {A₀φ_p, p ∈ N}, принадлежащее некоторому другому векторному прост-

ранству. Обозначим N₃ = {p : A₀φ_p = 0}.

Предположение (P). Из множества {A₀φ_p, p ∈ N, p ∈ N₃} можно так удалить

конечное количество элементов (множество их индексов обозначим через N₄), линейно за-

висимых от оставшихся {A₀φ_p, p ∈ N₄}, что в A₀

φ = {A₀φ_p, p ∈ N₄} элементы линейно

независимы.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№ 11

2023

1466

МОКЕЙЧЕВ, СИДОРОВ

При выполнении предположения (Р) все ряды

∑

a_pA₀φ_p, a_p ∈ C,

(6)

p∈N

сходятся в H(A₀

φ), причём ряд (6) сходится в H_μ(A₀φ) тогда и только тогда, когда

∑

|a_p|²|μ_p|² < +∞.

Здесь запись

∑_′(·) означает, что суммирование проводится по всем p ∈ N₄. Итак, справедлива

Теорема 8. Пусть выполняется предположение (Р). Если ряд (5) сходится в H_μ(φ), то

ряд (6) сходится в H_μ(A₀

φ); если ряд (6) сходится в H_μ(A₀φ) и в N3 конечное количество

элементов, то ряд (5) сходится в H_μ(φ); если в A₀φ элементы линейно независимы, то ряд

(5) сходится в H_μ(φ) тогда и только тогда, когда ряд (6) сходится в H_μ(A₀φ).

Введём оператор A : H(φ) → H(A₀

φ), положив Ax =

^∑a_pA₀φ_p для x =^∑a_pφ_p. Отме-

тим, что Aφ_p = A₀φ_p, p ∈ N.

Рассмотрим уравнение (1), в котором неизвестно x. Через ∥x∥μ,1 (соответственно ∥y∥μ,2)

обозначим норму x ∈ H_μ(φ) (соответственно y ∈ H_μ(

φ)). Как доказано ранее,



∑

²

∑

∑

²

∑



x_pμ-1pφ_p

|x_p|²,

y_pμ-1p

φ_p

|y_p|²,



μ,1

μ,2

поэтому ∥x∥μ,1

= ∥y∥μ,2, если x ∈ H_μ

φ) является решением уравнения Ax = y и y ∈

∈H_μ(

φ).

2. Приложения.

2.1. Дифференциальные уравнения в частных производных с отклонениями

аргументов. Рассмотрим уравнение вида

∑

Ax ≡

C_α,j(t)x(α)(t + τ_α,j) = u(t), t ∈ Ω ⊂ R^s, s ≥ 1.

(7)

α∈Φ j=1

В этом пункте используем обозначения и предположения: Φ - конечное множество муль-

тииндексов α = (α₁, . . . , α_s); C_α,j (t) - квадратные n × n-матрицы, не зависящие от x; x(α) -

производная порядков α₁ по t₁, . . . , α_s по t_s, s ≥ 1; τ_α,j ∈ R^s и не зависят от x, t;

[0, 2π]s ⊂ Ω; если t ∈ Rs, ξ ∈ Rs, то полагаем tξ = (t1ξ1,... ,tsξs), t ≥ ξ означает, что

tj ≥ ξj, j = 1,s; i - мнимая единица; k, p, r, Mj - элементы из Zs; eq = (eq,1,...,eq,n),

e_q,q = 1, e_q,j = 0, если q = j; u(t) не зависит от x.

Уравнение вида (7) пытаются решить, полагая x(ξ) = ψ(ξ) при ξ ∈ Ω, где ψ(ξ) - заданная

достаточно гладкая функция [12].

Введём систему φ = {e_q exp((λ + ik)t), q = 1, n, k ∈ Z^s, s ≥ 1}, где λ = (λ₁, . . . , λ_s) не

зависит от k. Пусть

∏

(λ + ik)^α = (λ_j + ik_j )αj .

j=1

В φ функции линейно независимые, поэтому существуют пространства H_μ(φ), H(φ). Ис-

пользовав обозначение

∑

A_k(t,λ) =

C_α,j(t)(λ + ik)^α exp((λ + ik)τ_α,J ),

α∈Φ j=1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№ 11

2023

РАЗРЕШИМОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

1467

получим Aφ = {A_k(t, λ)e_q exp((λ + ik)t), q = 1, n, k ∈ Z^s, s ≥ 1}. Предполагая, что C_α,j (t) -

тригонометрические многочлены, т.е.

∑

C_α,j(t) =

C_α,j,r exp(irt)

r=M₁

при всех α ∈ Φ, j = 1, n₁, и используя обозначения

∑

A_k,r(λ) =

C_α,j,r(λ + ik)^α exp((λ + ik)τ_α,j),

α∈Φ j=1

будем иметь

∑

A_k(t,λ) =

A_k,r(λ)e_q exp((λ + ik + ir)t).

(8)

r=M₁

Теорема 9. Пусть выполняются равенства (8). Тогда:

1) если матрицы Ak,M2 (λ) обратимы при k ≥ M₄, то в Aφ(M₄) ≡ {A(e_q exp((λ + ik)t)),

q = 1,n, k ≥ M₄} элементы линейно независимы;

2) если матрицы Ak,M1 (λ) обратимы при k ≤ M₃, то в Aφ(M₂) ≡ {A(e_q exp((λ + ik)t)),

q = 1,n, k ≤ M₃} элементы линейно независимы;

3) если матрицы Ak,M2 (λ) обратимы при всех k (либо матрицы Ak,M1 (λ) обратимы при

всех k), то в {A(e_q exp((λ + ik)t)), q = 1, n, k ∈ Z^s} элементы линейно независимы.

Доказательство. Докажем первое утверждение. Предположим, что в Aφ(M₄) имеются

линейно зависимые элементы, т.е. существуют такие числа b_k,q, при которых

∑

b_k,qA(e_q exp((λ + ik)t)) ≡ 0,

|b_k,q| = 0.

(9)

k=M₄ q=1

После обозначений b_k = (bk,1, . . . , b_k,n) в силу (9) получим тождество

∑

A_k,r(λ)b_k exp(i(k + r)t) ≡ 0.

(10)

k=M₄ r=M1

При этом было учтено, что λ не зависит от k и exp(λt) = 0. Ввиду (9), не нарушая общности,

можно считать bM5 = 0. Запишем (10) в виде

∑

AM5,M₂ bM₅ exp(i(M5 + M2)t) + Dk,r exp(i(k + r)t),

здесь штрих указывает на то, что суммирование проводится по тем k ∈ [M₄, M₅], r ∈ [M₁, M₂],

для которых k + r ≤ M₅ + M₂, |k + r| < |M₅ + M₂|, т.е. exp(i(M₅ + M₂)t) отсутствует в

∑_′(·).

Поэтому AM5,M₂ bM₅ = 0, bM₅ = 0. Полученное противоречие доказывает первое утверждение.

Аналогично доказываются второе и третье.

Ниже

φ = {Aφ_q,p, q,p ∈ N₆} получается удалением из Aφ всех нулевых элементов и

конечного количества ненулевых элементов, линейно зависимых от оставшихся. На основании

доказанных результатов сформулируем основной результат данного пункта.

Теорема 10. Пусть в

φ элементы линейно независимы. Тогда

1) уравнение (7) имеет решение x ∈ H(φ) тогда и только тогда, когда u ∈ H(

φ);

2) если в Aφ конечное количество нулевых элементов, то x ∈ H_μ(φ) тогда и только

тогда, когда u ∈ H_μ(

φ);

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№ 11

2023

1468

МОКЕЙЧЕВ, СИДОРОВ

3) уравнение (7) однозначно разрешимо в H(φ) тогда и только тогда, когда в Aφ эле-

менты линейно независимы, u ∈ H(Aφ).

Доказательство. Нужно доказать только второе утверждение. Пусть x ∈ H_μ(φ), т.е. x =

∑

^∑x_q,pμ-1pe_q exp((λ+ik)t). Тогда^∑|xq,p|2 < +∞. Значит, рядq,p∈N6 xq,pμ-1pA(eq exp((λ +

+ ik)t)) сходится в H_μ(

φ), т.е. u = Ax ∈ H_μ(

φ).

В случае u ∈ H_μ(

φ) имеем

∑

u_q,pμ-1pA(e_q exp((λ + ik)t)),

|u_q,p|² < +∞.

q,p∈N₆

Добавив конечное количество чисел, получим

^∑ |u_q,p|² < +∞. Следовательно, ряд

∑

x_q,pμ-1pe_q exp((λ + ik)t)

сходится в H_μ(φ) и его сумма x является решением уравнения (7).

Для уравнения (7) второй по важности является проблема регулярности решений, т.е. вы-

деления дополнительных свойств решений. Например, если

∑

x = zk exp((λ + ik)t)

(11)

и ряд сходится при всех t ∈ Ω, то x следует считать обычной функцией в Ω; если ряд

сходится равномерно в Ω, то x следует считать непрерывной функцией в Ω и так далее.

Выделим условия на коэффициенты z_p, гарантирующие сходимость ряда (11) в D^′(Ω) -

пространстве обобщённых функций (распределений Шварца).

Пространство обобщённых функций строится по схеме:

1) фиксируется открытая область Ω ⊂ R^s ненулевой меры;

2) через C+∞0(Ω) обозначается множество всех бесконечно дифференцируемых в Ω функ-

ций f(t), удовлетворяющих условию f(t) ≡ 0 вне ограниченного замкнутого множества K_f ⊂

⊂ Ω ненулевой меры;

3) последовательность {f_m(t) ∈ C+∞0(Ω), m = 1, 2, . . .} называется сходящейся в C+∞0(Ω),

если существует такое ограниченное замкнутое K ⊂ Ω, что f_m(t) ≡ 0 вне K для всех m

и при некоторой f₀(t) ∈ C+∞0(Ω), каждом α имеет место sup |fmα)(t) - f(α)0(t)| → 0 при

t∈Ω

m → +∞;

4) каждый линейный непрерывный функционал, заданный на C+∞0(Ω), называется обоб-

щённой функцией;

5) ряд (11) называется сходящимся в множестве обобщённых функций, если при каждой

f (t) ∈ C+∞0(Ω) сходится числовой ряд

∑ ∫

z_k f(t)exp((λ + ik)t)dt.

(12)

Теорема 11. Пусть выполняется равенство (11) и существует p ∈ Z^s, при котором

∑

|z_k||(λ + ik)^p| < +∞.

Тогда ряд из (11) сходится в пространстве обобщённых функций.

Доказательство. Не нарушая общности, можно считать, что все координаты в p отри-

цательны. Докажем абсолютную сходимость ряда (12). Так как

(λ + ik)^-p exp((λ + ik)t) = (exp((λ + ik)t))(-p),

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№ 11

2023

РАЗРЕШИМОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

1469

то

∫

f (t) exp((λ + ik)t) dt = (λ + ik)^p f(t)(exp((λ + ik)t))(-p) dt.

Напомним, что z(α) - производная порядка α. Интегрируя по частям и учитывая f(t) ≡ 0

вне K_f ⊂ Ω, получаем соотношение

∫

f (t) exp((λ + ik)t) dt = (-1)^|p|(λ + ik)^p f(-p)(t) exp((λ + ik)t) dt,

при этом

 ∫



∫



f(-p)(t)exp((λ + ik)t)dt

|f(-p)(t)|| exp(λt)| dt = C_p < +∞,



≤

K_f

так как K_f - ограниченное и замкнутое множество, а подынтегральные функции непрерывны

в K_f. Следовательно,

∫



∑



∑



|z_k|

f (t) exp((λ + ik)t) dt

C_p

|z_k||(λ + ik)^p| < +∞.



≤

Замечание 3. При выполнении предположений теоремы 11 решение x уравнения (7)

можно считать в Ω обобщённой функцией. Следует отметить, что фразы “x можно назвать

обобщённым решением уравнения (7)” и “x - обобщённое решение уравнения (7)” имеют раз-

ный смысл. Чтобы убедиться в этом, достаточно напомнить понятие обобщённого решения.

Обобщённая функция x называется обобщённым решением уравнения (7), если при каж-

дой f ∈ C+∞0(Ω) выполняется x[A^∗f] = u[f], где A^∗ - сопряжённый к A оператор, u ∈ D^′(Ω),

v[f] - значение обобщённой функции на f, т.е. об обобщённом решении может идти речь толь-

ко тогда, когда существует A^∗, A^∗C+∞0(Ω) ⊂ C+∞0(Ω), u - обобщённая функция.

Мы выбрали систему φ = {e_q exp((λ + ik)t)}, так как многие волновые процессы после

замены аргументов описываются функцией exp(λt)v(t), где v(t) - периодическая функция;

легко проверяется независимость элементов в φ; в случае det A_k,r(λ) = z(λ) ≡ 0 всегда

можно подобрать λ так, чтобы det A_k,r(λ) = 0 при всех k, r. Действительно, положив λ =

= λ₀(1,... ,1), получим скалярную, аналитическую при всех λ₀ функцию z(λ₀). Известно,

что у таких функций не более счётного множества нулей.

Полученные в п. 2.1 результаты с естественными изменениями переносятся на случай, когда_∑

φ = {e_q(t - t₀)^p, q = 1,n, p ∈ Z^s}, где t_j = tj,0 при всех j; C_α,j(t) =

C_α,j,r(t - t₀)^r,

|r|≤m

t = (t₁,...,t_s), t₀ = (t1,0,...,ts,0). Возникающие при этом ряды называются рядами Лорана.

При s = 1 уравнение (7) можно записать в виде

∑

Ax ≡

C_m,j(t)x(m)(t + τ_m,j) = u(t), t ∈ [a,b] ⊂ R¹.

m=0 j=1

Важно отметить, что в этом случае предыдущие результаты применимы и к сингулярным

дифференциальным уравнениям.

2.2. Интегральные уравнения. Речь пойдёт о линейном уравнении

∫

C(t)x(t) + G(t, ξ)x(ξ)dξ = f(t), t ∈ Ω₁ ⊂ Rⁿ (кратко Ax = y),

(13)

где C(t), G(t, ξ), f(t) - известные, не обязательно скалярные, функции, Ω ⊂ Ω₁. Линейность

означает, что C(t), G(t, ξ), f(t) не зависят от x.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№ 11

2023

1470

МОКЕЙЧЕВ, СИДОРОВ

Зафиксируем φ = {φ_p(τ), p ∈ N}, t ∈ Ω₁, - множество линейно независимых функций,

для которых можно вычислить

{

∫

}

Aφ = C(t)x(t) + G(t, τ)φ_p(τ)dτ, p ∈ N

(14)

Очевидно, что функции в Aφ будут линейно независимы тогда и только тогда, когда_∑

уравнение не имеет ненулевых решений вида

b_pφ_p(t), m < +∞. Справедливо

|p|≤m

Утверждение. Если функции в системе (14) линейно независимы, то существует

пространство H(Aφ) и при каждой функции f ∈ H(Aφ) уравнение (13) имеет единственное

решение x_f ∈ H(φ).

Работа выполнена при финансовой поддержке Казанского (Приволжского) федерально-

го университета в рамках реализации Программы стратегического академического лидерства

(“Приоритет-2030”).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Громов М. Дифференциальные соотношения с частными производными. М., 1990.

2. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. М., 1988.

3. Мокейчев В.С., Мокейчев А.В. Новый подход к теории линейных задач для систем дифференци-

альных уравнений в частных производных. I // Изв. вузов. Математика. 1999. № 1. С. 25-35.

4. Мокейчев В.С. О разложении в ряды по заданной системе элементов // Исследования по приклад-

ной математике и информатике. Вып. 27. Казань, 2011. С. 144-152.

5. Мокейчев В.С. Пространство, элементы которого и только они разлагаются в ряды Фурье по за-

данной системе элементов // Евразийское научное объединение. 2016. Т. 1. № 10. С. 24-31.

6. Мокейчев В.С. Метрические, банаховы, гильбертовы пространства φ_B -распределений // Изв.

вузов. Математика. 2018. № 5. С. 64-70.

7. Горбачук В.И., Горбачук М.Л. Тригонометрические ряды и обобщённые периодические функции

// Докл. АН СССР. 1981. Т. 257. № 4. С. 799-804.

8. Ланкастер П. Теория матриц. М., 1978.

9. Треногин В.А. Функциональный анализ. М., 1980.

10. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. М., 1965.

11. Ниренберг Л. Лекции по нелинейному функциональному анализу. М., 1977.

12. Мокейчев В.С. Дифференциальные уравнения с отклоняющимися аргументами. Казань, 1985.

Казанский (Приволжский)

Поступила в редакцию 16.08.2022 г.

федеральный университет

После доработки 31.08.2023 г.

Принята к публикации 20.09.2023 г.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№ 11

2023