ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2023, том 59, № 11, с. 1471-1499

УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

УДК 517.958

О СУЩЕСТВОВАНИИ

ГЛОБАЛЬНЫХ СЛАБЫХ РЕШЕНИЙ

С КОМПАКТНЫМИ НОСИТЕЛЯМИ

СИСТЕМЫ ВЛАСОВА-ПУАССОНА

С ВНЕШНИМ МАГНИТНЫМ ПОЛЕМ

Рассмотрена первая смешанная задача для системы Власова-Пуассона с внешним маг-

нитным полем в области с кусочно-гладкой границей. Эта задача описывает кинетику

двухкомпонентной высокотемпературной плазмы под действием самосогласованного элек-

трического поля и внешнего магнитного поля. Доказано существование глобальных слабых

решений. В случае цилиндрической области получены достаточные условия существования

глобальных слабых решений с носителями в строго внутреннем цилиндре, что соответству-

ет удержанию высокотемпературной плазмы в пробочной ловушке.

DOI: 10.31857/S0374064123110043, EDN: PDXVTF

Введение. Уравнения Власова, или кинетические уравнения с самосогласованным полем,

были впервые получены в статье [1]. В настоящее время они представляют собой одну из

наиболее распространённых моделей кинетической теории газов. Им посвящена обширная ли-

тература как в физике (см. [2-6]), так и в математике (см. [7-25]). Обобщённые решения задачи

Коши для системы уравнений Власова-Пуассона рассматривались в работах [8, 13, 16] и др.

Существование глобального классического решения задачи Коши для уравнений Власова-

Пуассона изучалось в статьях [11, 19, 22, 23] и др. Рядом авторов исследовались слабые реше-

ния смешанных задач для указанных уравнений (см., например, [7, 9, 12, 24, 25]). Отметим,

что для уравнений Власова нет исчерпывающих результатов о повышении гладкости обобщён-

ных решений смешанных задач, как в случае классических уравнений в частных производных

второго порядка. Вопрос о существовании классических и сильных решений смешанных задач

в общем случае является нерешённой проблемой ([18, 25], см. также важные работы [15, 17],

посвящённые этому вопросу).

Актуальность исследования смешанных задач для системы уравнений Власова в ограни-

ченной области относительно функций плотности распределения заряженных частиц проти-

воположных знаков связана с созданием управляемого термоядерного синтеза. Как известно

[6], в случае попадания значительного числа частиц на стенки реактора может произойти его

разрушение. Для удержания заряженных частиц на некотором расстоянии от стенок реакто-

ра используется внешнее магнитное поле. С точки зрения дифференциальных уравнений это

означает, что внешнее магнитное поле должно обеспечивать существование решений системы

Власова-Пуассона с носителями функций плотности распределения заряженных частиц, ле-

жащих на некотором расстоянии от границы области. Существование классических решений

этой задачи рассматривалось в работах [26-32].

В настоящей работе будет исследован вопрос существования глобальных слабых решений

первой смешанной задачи для системы Власова-Пуассона с внешним магнитным полем, опи-

сывающей кинетику двухкомпонентной плазмы в ограниченной области с кусочно-гладкой

границей. В случае цилиндрической области будут также получены достаточные условия су-

ществования глобальных слабых решений с носителями функций плотности распределения

заряженных частиц, лежащих в строго внутреннем цилиндре. Это соответствует модели удер-

жания плазмы в пробочной ловушке.

Постановке задачи и используемым в работе обозначениям посвящён п. 1, п. 2 - свойствам

характеристик уравнений Власова. В п. 3 рассмотрены сильные решения системы уравнений

1471

1472

СКУБАЧЕВСКИЙ

Власова для фиксированной напряжённости электрического поля, доказано существование

сильного решения. Сглаженной системе уравнений Власова-Пуассона посвящён п. 4, доказано

существование сильного решения для произвольного параметра сглаживания κ > 0. В п. 5

доказано существование слабого решения смешанной задачи для системы Власова-Пуассона,

которое является слабым пределом подпоследовательности решений сглаженной системы. По-

лученные результаты являются обобщением работ [24, 25] на случай двухкомпонентной плазмы

с внешним магнитным полем. Использование результатов пп. 2-4 совместно с методом априор-

ной оценки напряжённости электрического поля через нормы начальных функций плотности

распределения заряженных частиц, разработанном в статье [32], позволило доказать в п. 6 су-

ществование слабого решения смешанной задачи для системы Власова-Пуассона в цилиндре

с компактными носителями функций плотности распределения заряженных частиц.

1. Постановка задачи и обозначения. Будем рассматривать систему уравнений Власо-

ва-Пуассона

∫

∑

-Δϕ(x,t) = 4πe

βf^β(x,v,t)dv, x ∈ Q,

0 < t < T, β = ±1,

(1)

R³

∂f^β

βe

+ 〈v, ∇_xf^β〉 +

-∇_xϕ +

[v, B], ∇_vfβ = 0, x∈Q, v ∈R3,

0<t<T, β=±1, (2)

∂t

m_β

относительно неизвестных функций ϕ(x, t) и f^β(x, v, t) (β = ±1). Здесь ϕ = ϕ(x, t) - по-

тенциал самосогласованного электрического поля; f^β = f^β(x, v, t) - функция распределения

положительно заряженных ионов, если β = +1, и электронов, если β = -1, в точке x со

скоростью v в момент времени t; Q ⊂ R³ - ограниченная область с границей ∂Q ∈ C^∞ или

цилиндр G × (-d, d), G ⊂ R² - ограниченная область с границей ∂G ∈ C^∞;

∇_x и ∇_v -

градиенты по x и v соответственно; m₊₁ и m-1 - массы иона и электрона соответственно;

e - заряд электрона; c - скорость света; B - индукция внешнего магнитного поля; 〈·,·〉 -

скалярное произведение в пространстве R³; [· , ·] - векторное произведение в R3.

Введём множество K ⊂ ∂Q следующим образом: K = ∅, если ∂Q ∈ C^∞, и K = (∂G ×

× {-d})

^⋃ (∂G × {d}), если Q = G × (-d, d).

Добавим начальные и граничные условия на функции f^β следующего вида:

f^β(x,v,t)|t=0 =fβ(x,v), x ∈Q, v ∈ R³, β = ±1,

(3)

f^β(x,v,t) = f^β(x,R-1(x,v),t), x∈∂Q \ K, v∈R³,

0<t<T,

〈n(x), v〉<0, β =±1,

(4)

а также условия Дирихле для потенциала самосогласованного электрического поля:

ϕ(x, t) = 0, x ∈ ∂Q,

0≤t<T,

(5)

где

f^β(x, v), β = ±1, - заданные начальные функции распределения заряженных частиц;

R(x, v, t) : B₊ × (0, T ) → B_- × (0, T ) - биективное отображение, действующее по формулам

R(x, v, t) := (x, R(x, v), t), R(x, v) := (x, v - 2〈v, n(x)〉n(x)),

(6)

где

B₊ = {(x,v) ∈ (∂Q \ K) × R³ : 〈v,n(x)〉 > 0},

B_- = {(x,v) ∈ (∂Q \ K) × R³ : 〈v,n(x)〉 < 0},

B₀ = {(x,v) ∈ (∂Q \ K) × R³ : 〈v,n(x)〉 = 0},

(7)

n(x) - единичный вектор внешней нормали к границе ∂Q в точке x. Отображение R назы-

вается оператором зеркального отражения.

Введём следующие обозначения:

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№ 11

2023

О СУЩЕСТВОВАНИИ ГЛОБАЛЬНЫХ СЛАБЫХ РЕШЕНИЙ

1473

C^k(^D), k ≥ 0, k ∈ Z, - пространство функций, непрерывных в

D и имеющих непрерыв-

ные производные в

D вплоть до k-го порядка с конечной нормой

∥u∥_k, D = max sup |D^αu(x)|,

|α|≤k x

где D = Rⁿ или D ⊂ Rⁿ - некоторая область;

C¹(Q×R³×[0,T]) - пространство функций, непрерывных и ограниченных в

Q×R³×[0,T],

у которых производные первого порядка также непрерывны и ограничены на этом множестве;

C^k(Rⁿ)(Ck(Q)), k, n ∈ N, - пространство k раз непрерывно дифференцируемых функций

в Rⁿ(Q) с компактными носителями;

C^k(^Q) - пространство вектор-функций Y = (Y1, Y2, Y3) :

Q→ QскоординатамиYi ∈

∈ C^k( ^Q), k ∈ N;

C([0, T ], C^k(^Q)), k ∈ Z, k ≥ 0, - банахово пространство непрерывных функций [0, T ] ∋

∋ t → ϕ(·,t) ∈ C^k( ^Q) с нормой

∥ϕ∥_k,T = sup ∥ϕ( · , t)∥_k ;

0≤t≤T

L_p(Y ),

1 ≤ p ≤ ∞, - пространство измеримых функций в области Y ⊂ Rⁿ с конечной

нормой

{∫

}1/p

|v(y)|^p dy

если p < ∞,

∥v∥Lp (Y ) = ∥v∥p =

∥v∥L∞(Y ) = ∥v∥ = ess sup |v(y)|, если p = ∞;

y∈Y

W^kp(Q), k ∈ N, 2 ≤ p < ∞, - пространство Соболева функций v ∈ Lp(Q), имеющих все

обобщённые производные D^αv ∈ L_p(Q), |α| ≤ k, с нормой

{∑

∫

}1/p

∥v∥_W k

|D^αv(x)|^p dx

(Q)

|α|≤kQ

Очевидно, для v ∈ C⁰(^D) ∥v∥0, D = ∥v∥. Поэтому в дальнейшем для упрощения обозначе-

ний норму функции в C⁰(^D) будем заменять на норму в смысле пространства L_∞(D). Через

c_i и k_j будем обозначать положительные константы в неравенствах, не зависящие от правой

части. Будем полагать, что B_R(x⁰) := {x ∈ Rⁿ : |x - x⁰| < R} и B_R := B_R(0).

2. Уравнения характеристик. Перейдём к уравнениям характеристик для системы

уравнений Власова (2) с фиксированным потенциалом электрического поля ϕ. Эти уравнения

имеют вид

dX^ϕ

=V^βϕ,

0 < τ < T, β = ±1,

(8)

dτ

βe

∇_xϕ(X^βϕ,τ) +

[V^βϕ , B(X^βϕ )],

0 < τ < T, β = ±1,

(9)

dτ

m_β

m_βc

где ∇_xϕ(X^ϕ , τ) = ∇ϕ_x(x, τ)|x=Xβ .

Далее в работе будем предполагать, что вектор-функции E(x, t) = -∇_xϕ(x, t) и B(x)

удовлетворяют следующему условию.

Q×

Условие 1. Пусть вектор-функция E(x, t) непрерывна и ограничена на множестве

× [0, T ) и непрерывно дифференцируема по x в ( Q \ K) × [0, T ), а вектор-функция B(x)

непрерывна и непрерывно дифференцируема в

Q. Кроме того, для любой точки x⁰ ∈ ∂Q \ K

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№ 11

2023

1474

СКУБАЧЕВСКИЙ

существует шар B_ε(x⁰), ε > 0, такой, что E(x, t) может быть продолжена в (Q⋃ B_ε(x0)) ×

× [0, T ) до функции

^E(x, t), которая непрерывна и ограничена на множестве (Q⋃ B_ε(x0)) ×

× [0, T ) и непрерывно дифференцируема по x в (( Q \ K)^⋃ B_ε(x0)) × [0, T ).

Замечание 1. Введём векторное поле Ψ^β :Q × R³ × [0, T ) → R⁷ по формуле

(

)

βe

Ψ^β(x,v,t) := v,

E(x, t) +

[v, B(x)], 1

m_β

m_βc

Очевидно, что

)

⁽ βe

βe

div_v

E(x, t) +

[v, B(x)]

= 0, (x, v, t) ∈Q × R³ × [0, T ).

m_β

m_βc

Замечание 2. В работах [26-30] получены достаточные условия на начальные функции

распределения, напряжённость электрического поля и индукцию внешнего магнитного поля,

которые гарантируют, что все характеристики, для которых начальные условия по простран-

ственным переменным лежат на компакте внутри области, не пересекаются с границей для

любых t ∈ [0, T ).

Добавим к системе (8), (9) начальные условия вида

X^βϕ|τ=t = x, V^βϕ|τ=t = v,

(10)

где (x, v) ∈ (Q × R³)

^⋃B_-, t ∈ [0,T) (см. (7)).

Обозначим Ω := Q × R³ × (0, T ) и A_± := B_± × (0, T ).

В силу условия 1 для любых p := (x, v, t) ∈ Ω

^⋃A- ⋃(Q×R³×{0}) существует единствен-

ное непродолжаемое решение задачи (8)-(10) на некотором полуинтервале [t, tβ1(p)). Обозна-

чим это решение через S^ϕ(τ, p) := (X^ϕ (τ, p),

ϕ (τ, p)). Очевидно, существует предел

(xβ1, vβ1 ) := lim (X^βϕ (τ, p), V^βϕ(τ, p)) ∈Q × R³.

τ→tβ1-0

В силу леммы 1.4 из работы [24] возможны следующие случаи:

a) tβ1 = tβ1(p) = T ;

b) tβ1 < T и (xβ1 , vβ1 ) ∈ B₊ = {(x, v) ∈ ∂Q × R³ : 〈v, n(x)〉 > 0};

c) tβ1 < T и (xβ1 , vβ1 ) ∈ B₀ = {(x, v) ∈ ∂Q × R³ : 〈v, n(x)〉 = 0};

d) tβ1 ∈ K.

В случае a) мы получаем непродолжаемое решение на полуинтервале [t, T ). В случае b)

рассмотрим задачу (8), (9) с начальными условиями (10), в которых в соответствии с форму-

лой (6), описывающей зеркальное отражение, положим

(x, v) = (xβ1, R(xβ1 , vβ1 )) ∈ B_- = {(x, v) ∈ ∂Q × R³ : 〈v, n(x)〉 < 0}.

Поскольку вектор R(xβ1 , vβ1) направлен внутрь области Ω, в силу условия 1 на некотором

полуинтервале [tβ1, tβ2) существует единственное непродолжаемое решение системы (8), (9) с

начальными условиями

X^βϕ|τ=tβ

= xβ1, V βϕ |τ=tβ

= R(xβ1,vβ1).

Обозначим это решение через S^ϕ(τ, pβ1 ), где pβ1 = (xβ1, R(xβ1 , vβ1 ), tβ1 ). Очевидно, S^ϕ(τ, p) ⊂

⊂ Q × R³, t ∈ (tβ1,tβ2).

Для tβ2 также возможны случаи a)-d). В случае tβ2 = T мы получаем непродолжаемое ре-

шение на полуинтервале [tβ1, T ). Функция S^ϕ(τ, p), рассматриваемая на полуинтервале [t, T ),

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№ 11

2023

О СУЩЕСТВОВАНИИ ГЛОБАЛЬНЫХ СЛАБЫХ РЕШЕНИЙ

1475

имеет разрывы первого рода в точках tβ1 и tβ2 и удовлетворяет системе уравнений (8), (9) на

интервалах (t, tβ1) и (tβ1 , tβ2).

В случае tβ2 < T и (xβ2, vβ2 ) := lim (X^ϕ (τ, p),

ϕ (τ, p)) ∈ B+ опять рассмотрим систе-

τ→tβ2-0

му (8), (9) с начальными условиями

X^βϕ|τ=tβ

= xβ2, V βϕ |τ=tβ

= R(xβ2,vβ2).

(11)

Существует единственное непродолжаемое решение S^ϕ(τ, pβ2 ) задачи (8), (9), (11), где pβ2 =

= (xβ2 , R(xβ2, vβ2 ), tβ2 ), на некотором полуинтервале [tβ2 , tβ3) и т.д.

Если t > 0, то аналогичные построения можно провести для 0 < τ < t. Рассмотрим

систему (8), (9) при 0 < τ < t c начальными условиями

X^βϕ|τ=t = x, V^βϕ|τ=t = R-1(x,v).

(12)

В силу условия 1 для любых p = (x, v, t) ∈ Ω

^⋃A_- существует единственное непродолжае-

мое решение задачи (8), (9), (12) на некотором полуинтервале (tβ-1, t]. Обозначим это решение

S^ϕ(τ,p₀), где p₀ := (x,R-1(x,v)). Очевидно, существует предел

(xβ-1, vβ-1) := lim (X^βϕ (τ, p₀), V^βϕ(τ, p₀)) ∈ Q × R³.

τ→tβ-1+0

Аналогично предыдущему, возможны следующие случаи:

a) tβ-1 = tβ-1(p₀) = 0;

b) tβ-1 > 0 и (xβ-1, vβ-1) ∈ B_-;

c) tβ-1 > 0 и (xβ-1, vβ-1) ∈ B₀;

d) tβ-1 ∈ K.

В случае tβ-1 = 0 мы получаем непродолжаемое решение на полуинтервале (0, t]. В слу-

чае b) рассматриваем задачу (8), (9) c начальными условиями (10), в которых положим (x, v) =

= (xβ-1, R-1(xβ-1, vβ-1)) ∈ B₊. В силу условия 1 на некотором полуинтервале (tβ-2, tβ-1] суще-

ствует единственное непродолжаемое решение этой задачи и т.д.

Точки tβ1, tβ2, . . . , tβ-1, tβ-2, . . . мы назовём моментами отражения.

Обозначим через S множество точек p = (x, v, t) ∈ Ω

^⋃A- ⋃(Q×R3 ×{0}), для которых

существует t < t^βk < T, k ∈ N, такое, что

либо (x^βk, v^βk ) = lim (X^βϕ (τ, p), V^βϕ(τ, p)) ∈ Γ₀, либо (x^βk , v^βk ) ∈ K,

τ→t^βk-0

или 0 < t^β-j < t, j ∈ N, такое, что

либо (x^β-j , v^β-j) = lim (X^βϕ (τ, p), V^βϕ(τ, p)) ∈ Γ₀, либо (x^β-j , v^β-j) ∈ K,

τ→t^β-j+0

или число моментов отражения бесконечно.

Положим Λ = (Ω

^⋃A- ⋃(Q×R³×{0}))\S. Очевидно, множество Λ состоит из всех точек

p = (x,v,t) ∈ Ω

^⋃A- ⋃(Q × R³ × {0}) в начальных условиях (10), при которых построенные

кусочно-непрерывные решени

S^ϕ(τ,p) существуют на всём интервале (0,T), имеют конечное

число моментов отражения и множество моментов отражения t^βk

(0 < t^βk < T, k = ±1, ±2, . . .)

таких, что (x^βk , v^βk) ∈ B₀ или t^βk ∈ K пусто.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№ 11

2023

3^∗

1476

СКУБАЧЕВСКИЙ

Через μ_n(·) обозначим n-мерную меру Лебега. Пусть B(A_±) - σ-алгебра борелевских

множеств на множестве A_± := B_± × (0, T ) с мерой ν_±, определённой по формуле

∫

ν_±(B) := χ_B(x,v,t)|〈n(x),v〉|dσ(x)dv dt, B ∈ B(A_±),

A_±

где χ_B(x, v, t) - характеристическая функция множества B.

Решени

S^ϕ(τ,x,v,t), 0 ≤ t < T, при (x,v,t) ∈ Λ назовём порождающими характеристи-

ками. Заметим, что при t ≤ τ < T порождающие характеристики

S^ϕ(τ,x,v,t) непрерывны

по τ справа, а при 0 < τ ≤ t они непрерывны по τ слева.

Положим S₁ = S

^⋂Ω, Λ₁ = Λ^⋂ Ω, S₂ = S^⋂ A_-, Λ₂ = Λ^⋂ A_-, S₃ = S^⋂(Q × R³ × {0}),

Λ₃ = Λ

^⋂ (Q × R³ × {0}).

Из леммы 1.34 в [24] вытекает

Теорема 1. μ₇(S₁) = 0, а множество Λ₁ открыто в R⁷, ν_-(S₂) = 0, μ₆(S₃) = 0.

Обозначим Γ_t = {(x, v, τ) ∈ Λ₁ : τ = t}. Из замечания 1 следует

Лемма 1. Для 0 ≤ s, t < T отображени

S^ϕ(s,... ,t) : Γ_t → Γ_s биективно и сохраняет

меру Лебега μ₆(·).

Подробное доказательство см. в предложении 3 из работы [24, с. 52].

3. Сильные решения уравнений Власова. Пустьfβ ∈C0(Q × R³) - непрерывные

функции с компактным носителем в Q × R³,

f^β ≥ 0. Обозначим через w_± : A_± → R изме-

римые по Борелю функции. Введём оператор K по формуле

Kw₊(x,v,t) := w₊(R-1(x,v,t)) для п.в. (x,v,t) ∈ A_-.

Пусть f^β ∈ L_p(Ω),

1 ≤ p ≤ ∞, β = ±1. Зададим функции f^β±, β = ±1, по формулам

fβ+(x,v,t) := lim

f^β(S^βϕ(τ,x,v,t),τ), (x,v,t) ∈ A₊,

(13)

τ→t-0

f^β-(x,v,t) := lim

f^β(S^βϕ(τ,x,v,t),τ), (x,v,t) ∈ A_-.

(14)

τ→t+0

Существование почти всюду этих пределов вытекает из результатов п. 2 и того, что C⁰(Ω)

всюду плотно в L_p(Ω).

Рассмотрим следующую задачу для уравнений Власова:

∂f

βe

V f^β :=

+ 〈v, ∇_xf^β〉 +

E(x, t) +

[v, B(x)], ∇_vf^β

= 0,

(15)

∂t

m_β

m_βc

где x ∈ Q, v ∈ R³, t ∈ (0, T ), β = ±1,

f^β(x,v,0) =fβ(x,v), x ∈Q, v ∈ R³, β = ±1,

(16)

f^β-(x,v,t) = Kfβ+(x,v,t), (x,v,t) ∈ A_-, β = ±1.

(17)

Будем предполагать, что вектор-функции E(x, t) и B(x) удовлетворяют условию 1.

Определение 1. Измеримые функции f^β(x, v, t), β = ±1, будем называть сильным ре-

шением задачи (15)-(17), если f^β п.в. в Ω являются константами вдоль порождающих ха-

рактеристик, удовлетворяют начальному условию (16) для п.в. x ∈Q и v ∈ R³ и краевому

условию (17) для п.в. (x, v, t) ∈ A_-.

Лемма 2. Существует сильное решение задачи (15)-(17), определяемое формулой

f^β(x,v,t) =fβ

S^βϕ(0,x,v,t)), (x,v,t) ∈ Λ₁,

(18)

которое является единственным с точностью до множества меры нуль.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№ 11

2023

О СУЩЕСТВОВАНИИ ГЛОБАЛЬНЫХ СЛАБЫХ РЕШЕНИЙ

1477

Доказательство. 1. Докажем, что при подстановке порождающих характеристик в фор-

мулу (18) мы получим константу, не зависящую от t.

Из группового свойства порождающих характеристик следует, что

S^βϕ(s,y,w,τ)

S^βϕ(s

S^βϕ(t,y,w,τ),t).

(19)

Подставив в функцию f^β(x, v, t) вместо (x, v) порождающую характеристику

S^ϕ(t,y,w,τ),

используя формулу (18) и равенство (19) при s = 0, получим

f^β(x,v,t) = f^β

S^βϕ(t,y,w,τ),t) =fβ

S^βϕ(0

S^βϕ(t,y,w,τ),t))

f^β

S^βϕ(0,y,w,τ)).

(20)

Очевидно, правая часть (20) не зависит от t, т.е. является константой.

2. Проверим выполнение условий (16). В силу непрерывности справа в точке 0 порожда-

ющих характеристик имеем

f^β(x,v,0)

f^β

S^βϕ(0,x,v,0)) =fβ(x,v).

3. Убедимся в справедливости условия (17). По построению порождающих характеристик

для (x, v, t) ∈ A_- существует ε > 0 такое, что при |t - τ| < ε выполняются соотношения

S^βϕ(τ,x,v,t)

S^βϕ(τ,x,v,t), τ > t,

(21)

S^βϕ(τ,R-1(x,v,t))

S^βϕ(τ,x,v,t), τ < t.

(22)

Использовав последовательно (14), (21), (18), (22) и (13), получим

f^β-(x,v,t) = lim

f^β(S^βϕ(τ,x,v,t),τ) = lim

f^β

S^βϕ(τ,x,v,t),τ) =

τ→t+0

= lim

f^β

S^βϕ(0

S^βϕ(τ,x,v,t)),τ)

f^β

S^βϕ(0,x,v,t + 0)) =fβ

S^βϕ(0,x,v,t - 0)) =

τ→t+0

= lim

f^β

S^βϕ(0

S^βϕ(τ,x,v,t)),τ) = lim

f^β

S^βϕ(τ,x,v,t),τ) =

τ→t-0

= lim

f^β(S^βϕ(τ,R-1(x,v,t)),τ)=fβ+(R-1(x,v,t))=Kfβ+(x,v,t), β=±1, (x,v,t)∈A_-.

τ→t-0

Единственность очевидна. Лемма доказана.

Следствие. Пустьfβ ∈C1(Q × R³). Тогда сильное решение задачи (15)-(17) непрерывно

дифференцируемо в Λ₁.

Лемма 3. Пустьfβ ∈ C¹(Q × R³), ψ ∈ C¹(Q × R³) и I := [0, T ), а {f^β}, β = ±1, -

сильное решение задачи (15)-(17). Тогда отображение

(

∫

)

t -→

ψ(x, v)f^β (x, v, t) dx dv

∈ C¹(I)

Q×R³

∫

ψ(x, v)f^β (x, v, t) dx dv =

Q×R³

∫

(

)

βe

〈v, ∇_xψ(x, v)〉 +

∇_xϕ(x,t) +

[v, B(x)], ∇_v ψ(x, v) f^β(x, v, t) dx dv.

(23)

m_β

m_βc

Q×R³

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№ 11

2023

1478

СКУБАЧЕВСКИЙ

Доказательство. В силу лемм 1, 2 имеем

∫

ψ(x, v)f^β (x, v, t) dx dv =

ψ(x, v)fβ

S^βϕ(0,x,v,t))dxdv =

g(x, v, t) dx dv,

(24)

Q×R³

где g(x, v, t) := ψ

S^ϕ(t,x,v,0))fβ(x,v)dxdv. Аналогично доказательству леммы 3.3 в [25] мож-_∫

но показать, что функцияQ×R3 g(x, v, t) dx dv непрерывно дифференцируема по t на полу-

интервале [0, T ) и

∫

dg(x, v, t)

g(x, v, t) dx dv =

dx dv.

(25)

Q×R³

Из (24), (25), уравнений характеристик (8), (9), леммы 1 и равенства (18) следует, что

∫

ψ(x, v)f^β (x, v, t) dx dv =

S^βϕ(t,x,v,0))fβ(x,v)dxdv =

Q×R³

∫

)}

{₃∑(∂ψ(

dX^βϕ,i

Vβϕ,i

S^ϕ(t,x,v,0))

∂ψ

S^ϕ(t,x,v,0))

f^β(x,v)dxdv =

∂X

Vβ

i=1

ϕ,i

Q×R³

∫

{

βe

V βϕ (t,x,v,0),∇ _ˆ

S^βϕ(t,x,v,0))〉 +

∇_ˆ

X^βϕ(t,x,v,0),t) +

X^ϕ ψ

X^ϕ ϕ

m_β

Q×R³

}

βe

Vβϕ(t,x,v,0),B

X^βϕ(t,x,v,0))],∇_ˆ

S^βϕ(t,x,v,0))

f^β(x, v) dx dv =

m_βc

∫

{

}

βe

〈v, ∇_xψ(x, v)〉 +

∇_xϕ(x,t) +

[v, B(x)], ∇_v ψ(x, v)

f^β

S^βϕ(0,x,v,t))dxdv =

m_β

m_βc

Q×R³

∫

{

}

βe

〈v, ∇_xψ(x, v)〉 +

∇_xϕ(x,t) +

[v, B(x)], ∇_v ψ(x, v) f^β(x, v, t) dx dv.

m_β

m_βc

Q×R³

Таким образом, интегральное тождество (23) доказано. Лемма доказана.

Обозначим A_T := Q × R³ × {T } и A₀ := Q × R³ × {0}.

Лемма 4. Пусть {f^β}, β = ±1, - сильное решение задачи (15)-(17), и пусть ψ ∈C1(Q×

× R³ × [0,T]). Тогда (см. (15))

∫

〈f^β, V ψ〉 = ψfβ+dν₊ + ψ(x, v, T )f^β (x, v, T ) dx dv -

A₊

A_T

∫

− ψf^β-dν_- - ψ(x,v,0)f^β(x,v,0)dxdv.

A_-

A₀

Доказательство аналогично доказательству леммы 2.5 из работы [24, с. 68].

4. Сильные решения сглаженной системы Власова-Пуассона. Обозначим через

G = G(x,y) функцию Грина задачи Дирихле для уравнения Пуассона в Q. Так как Q - огра-

ниченная область с кусочно-гладкой границей, функция Грина существует. Единственность

функции Грина следует из теоремы 2.4 в [33]. Подробное изложение результатов, посвящён-

ных функции Грина, также можно найти в статье [33].

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№ 11

2023

О СУЩЕСТВОВАНИИ ГЛОБАЛЬНЫХ СЛАБЫХ РЕШЕНИЙ

1479

Рассмотрим теперь уравнения

∂

βe

+〈v, ∇_xfβκ〉+

E_κ+

[v, B(x)], ∇_v fβκ = 0, x∈Q, v ∈R3, t∈(0, T ), β =±1, (26)

∂t

m_β

m_βc

где

κ - неизвестные функции, κ > 0.

Введём ядро усреднения ω_κ(x) следующим образом. Пусть

{

ce-1/(1-t2 ),

|t| < 1,

ω(t) :=

(27)

|t| ≥ 1,

где постоянная c > 0 определяется из условия

∫

ω(|x|) dx = 1.

(28)

R³

Очевидно, ω ∈C∞(R¹), supp ω = [-1, 1]. Положим ω_κ(x) := κ-3ω(|x|/κ). Тогда ω_κ ∈

∈ C^∞(R³) и suppω_κ = B_κ(0), при этом в силу (27), (28)

∫

ω_κ(x)dx = 1.

(29)

R³

Функцию E_κ будем определять из соотношений

∫

Gκ(x, y) = G(x, ξ)ωκ (y - ξ)dξ,

(30)

∫

E_κ(x,t) = -∇_xϕ_κ(x,t), ϕ_κ(x) = G_κ(x,y)ρ_κ(y,t)dy,

(31)

∫

ρ_κ(x,t) = (f+1κ(x,v,t) - f-1κ(x,v,t))dv.

(32)

R³

Вместе с уравнениями (26) рассмотрим начальные условия

fβκ(x,v,0) =fβ(x,v), x ∈Q, v ∈ R³, β = ±1,

(33)

где

f^β(x, v) ∈C0(Q × R³), а также краевые условия

fβκ,-(x,v,t) = Kfβκ,+, x ∈ A_-, v ∈ R³, t ∈ (0,T), β = ±1,

(34)

где

fβκ,+ := lim

fβκ(Sβκ(τ,x,v,t),τ), (x,v,t) ∈ A₊,

τ→t-0

fβκ,- := lim

fβκ(Sβκ(τ,x,v,t),τ), (x,v,t) ∈ A_-,

τ→t+0

а S^κ(τ,x,v,t):=(X^κ(τ,x,v,t),

κ (τ, x, v, t)) - решение следующей системы уравнений харак-

теристик:

dX^κ

=Vβκ,

0 < τ < T, β = ±1,

(35)

dτ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№ 11

2023

1480

СКУБАЧЕВСКИЙ

βe

∇_xϕ_κ(Xβκ,τ) +

[Vβκ, B(Xβκ )],

0 < τ < T, β = ±1,

(36)

dτ

m_β

m_βc

с начальными условиями X^κ (t, x, v, t) = x,

κ (t, x, v, t) = v, соответствующих сглаженной

системе Власова-Пуассона (26), (30)-(32).

Для множества X ⊂ Rⁿ и отображения f : X → R обозначим через

f продолжение f

нулём на Rⁿ \ Q. Тогда в уравнении (26) при определении E_κ(x, t) плотность заряда ρ_κ(x, t)

мы заменим на сглаженную плотность σ_κ = (ω_κ ∗ ρ_κ)(x, t), и в силу (30) получим выражение

∫

ϕκ(x, t) = G(x, y)(ωκ ∗ ρκ)(y, t) dy,

∫

где (ω_κ ∗ ρ_κ)(y, t) =R3 ω_κ(y - ξ)ρ_κ(ξ, t)dξ.

Теорема 2. Пусть

f^β ∈C0(Q × R³),

f^β ≥ 0. Тогда для любого κ > 0 существует

сильное решение {

κ }, β = ±1, уравнений (26), (30)-(32) с условиями (33), (34).

Доказательство. 1. Зафиксируем κ > 0 и построим последовательность сильных реше-

ний уравнений Власова

κ,n для заданных полей Eκ,n-1.

Положим

∫

fβκ,0(x,v) :=fβ(x,v), ρκ,0(x) := (f+1κ,0 - f-1κ,0)dv.

R³

Тогда σκ,0 := ω_κ ∗ ρκ,0 ∈C∞(R³) и задача

-Δϕκ,0(x) = 4πeσκ,0(x), ϕκ,0|_∂Q = 0

имеет единственное классическое решение ϕκ,0. Поскольку ∂Q \ K ∈ C^∞, функция ϕκ,0(x)

непрерывна по x, непрерывно дифференцируема по x в

Q и дважды непрерывно диффе-

ренцируема по x в

Q \ K, при этом ϕκ,0 ∈ C^∞( Q \ K). Таким образом, функции Eκ,0(x) :=

:= -∇_xϕκ,0(x) и B(x) в уравнении (26) удовлетворяют условию 1. Следовательно, для p =

= (x, v, t) ∈ (Λ₁)κ,0 ⊂ Ω существуют порождающие характеристики, которые обозначим через

Sϕκ,0 (τ,p). Множество (Λ₁)κ,0 ⊂ Ω является открытым и μ₇(Ω \ (Λ₁)κ,0) = 0 (см. теорему 1).

Далее в качестве fβκ,1 возьмём функцию

fβκ,1(x,v,t) :=fβ

S^βϕ

(0, x, v, t)),

κ,0

которая для p(x, v, t) ∈ (Λ₁)κ,0 является сильным решением уравнений Власова для заданного

поля Eκ,0(x) = -∇_xϕκ,0(x). Обозначим теперь

∫

ρκ,1(x,t) := (f+1κ,1 - f-1κ,1)dv,

R³

∫

(∫

)

σκ,1(x,t) = ρκ,1 ∗ ω_κ =

f+1κ,1(ξ,v,t)

f-1κ,1(ξ,v,t))dv ω_κ(x - ξ)dξ.

(37)

R³

Из свойств ядра усреднения ω_κ(x), равенств (37) и леммы 1 получим следующие соотно-

шения:

∥σκ,1( · , t)∥₁ = ∥ρκ,1 ∗ ω_κ∥₁ ≤ ∥f+1∥₁ + ∥f-1∥₁,

∥σκ,1( · , t)∥ ≤ C_κ(∥f+1∥₁ + ∥f-1∥₁).

Рассмотрим отображение

t → σκ,1(·,t) ∈ L₁(Q)

^⋂L_∞(Q).

(38)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№ 11

2023

О СУЩЕСТВОВАНИИ ГЛОБАЛЬНЫХ СЛАБЫХ РЕШЕНИЙ

1481

Из условия компактности носителей начальных функцийfβ и непрерывности отображе-

ния (t, y, w)

Sϕκ,0 (t,y,w,0) (см. лемму 2.1 из [25]) следует ограниченность множества

⋃

supp_x,vfβκ,1(x,v,t) =

supp_x,v f^β

S^β

ϕκ,0

(0, x, v, t)) ⊂ R⁶

для |t - t₀| < ε, (x, v, t) ∈ (Λ₁)κ,0.

Отсюда, а также из непрерывности отображения (x, v, t)

Sϕκ,0 (0,x,v,t) и очевидной

∑

оценки |σκ,1(x, t) - σκ,1(x, t₀)| ≤ Cκ,1β=±1 ∥fβκ,1( · , · , t) - fβκ,1( · , · , t₀)∥₁ вытекает непрерыв-

ность отображения (38).

По построению σκ,1( · , t) ∈C∞(R³) для всех t ∈ [0, T ) и непрерывна по (x, t) в

Q×[0,T).

Обозначим через ϕκ,1(x, t) классическое решение задачи

-Δϕκ,1(x,t) = 4πeσκ,1(x,t), ϕκ,1|_∂Q = 0,

существование которого гарантировано в силу принадлежности σκ,1(x, t) классуC∞(R³) для

всех t ∈ [0, T ).

Поскольку ∂Q \ K ∈ C^∞, функция ϕκ,1(x, t) непрерывна по (x, t), непрерывно диффе-

ренцируема по x в

Q×[0,T) и дважды непрерывно дифференцируема по x в ( Q\K)×[0,T),

при этом ϕκ,1( · , t) ∈ C^∞(Q\K) для t ∈ [0, T ), а ∇ϕκ,1 ограничена в

Q×[0,T). Следователь-

но, функции Eκ,1(x, t) := -∇_xϕκ,1(x, t) и B(x) в уравнении (26) удовлетворяют условию 1.

Таким образом, для p ∈ (Λ₁)κ,1 ⊂ Ω существуют порождающие характеристики, которые мы

обозначим чере

Sϕκ,1 (τ,p). Множество (Λ₁)κ,1 ⊂ Ω является открытым и μ₇(Ω\(Λ₁)κ,1) = 0.

Продолжив построения аналогичным образом, получим последовательность сильных ре-

шений уравнений Власова

κ,n для заданных полей Eκ,n-1 :

fβκ,n(x,v,t) :=fβ

S^β

(0, x, v, t)), n ≥ 1.

ϕκ,n-1

2. Обозначим I := [0, T ). Докажем, что существует подпоследовательность

κ,n_k ⊂

κ,n и

функция

fβκ : I → L₁(Q × R³)

такая, что

(a) для всех g ∈ L_∞(R⁶)

∫



lim sup

fβκ,n

(y, v, t)

fβκ(y,v,t))g(y,v)dy dv

(39)



⁼

k→∞ t∈I

(b) отображение

κ : I → L1(R⁶) непрерывно в слабой топологии на L1(R⁶).

В силу леммы 4.5 из работы [16] достаточно показать, что:

1) семейство функций

κ,n является слабо компактным в L1(Q × R³) для всех t ∈ I;_∫

2) для любых g(y, v) ∈ L_∞(Q × R³) семейство функцийQ×R3

κ,n(y,v,t)g(y,v)dy dv рав-

ностепенно непрерывно по t.

Первое утверждение следует из теоремы 4.2 в [16] (теорема Данфорда-Петтиса). Доказа-

тельство второго утверждения аналогично предложению 5 в [24]. Переобозначим подпоследо-

вательность

κ,n_k снова как

κ,n.

∫

3. Пусть

ρκ(y, t) :=_R3

f+1κ(y,v,t)

f-1κ(y,v,t))dv и σ_κ(x,t) :=R3 ρ_κ(y,t)ω_κ(x - y)dy.

Докажем справедливость равенства

lim sup ∥σκ,n( · , t) - σ_κ( · , t)∥₁ = 0.

(40)

n→∞ t∈I

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№ 11

2023

1482

СКУБАЧЕВСКИЙ

Для каждого фиксированного x ∈ Q имеем

∫

σκ,n(x,t) =

f+1κ,n(y,v,t)

f-1κ,n(y,v,t))ω_κ(x - y)dy dv,

R⁶

∫

σ_κ(x,t) =

f+1κ(y,v,t)

f-1κ(y,v,t))ω_κ(x - y)dy dv,

R⁶

где ω_κ(x - y) ∈ L_∞(R⁶).

Из последних двух соотношений и (39) получим равенство

lim sup |σκ,n(x, t) - σ_κ(x, t)| = 0

(41)

n→∞ t∈I

для любого x ∈ Q.

Используя лемму 1 об инвариантности меры относительно отображения

Sϕκ,n-1 (s,·,·,t) :

Γ_t → Γ_s и групповое свойство порождающих характеристик, будем иметь

∫

∥fβκ,n∥₁ =

fβκ,n(x,v,t)dxdv =

f^β

S^βϕ

(0, x, v, t)) dx dv =

κ,n-1

Q×R³

∫

f^β

S^βϕ

S^β

(t, y, w, 0), t)) dy dw =

f^β(y, w) dy dw = ∥fβ∥₁.

κ,n-1

ϕκ,n-1

Q×R³

Из непрерывности отображения

κ(·,·,t) : I → L1(R6) в слабой топологии и теоремы

Банаха-Штейнгауза вытекает неравенство

sup∥fβκ(·,·,t)∥₁ ≤ cκ,1,

t∈I

где cκ,1 > 0 - некоторая константа, не зависящая от t.

Отсюда и из (41) получим

|σκ,n(x, t) - σ_κ(x, t)| ≤ |σκ,n(x, t)| + |σ_κ(x, t)| ≤

∑

≤cκ,2

(∥fβ∥₁ + ∥f^β(·,·,t)∥1) ≤ cκ,2

(∥fβ ∥₁ + cκ,1),

(42)

где cκ,2 > 0 не зависит от x, n и t.

Из (41), (42) и теоремы Лебега о предельном переходе под знаком интеграла следует, что

∫

sup

|σκ,n(x, t) - σ_κ(x, t)| dx ≤ sup |σκ,n(x, t) - σ_κ(x, t)| dx → 0 при n → ∞.

t∈I

4. Покажем теперь, что для фиксированного κ > 0 предел последовательности сильных

решений уравнений Власова

κ,n, определённый в п. 2 доказательства, является сильным

решением сглаженной системы Власова-Пуассона (26), (30)-(32) с начальными условиями (33)

и краевыми условиями (34).

В п. 2 доказательства мы определили функции

κ, а в п. 3 - функции ρκ и σκ. Обозначим

∫

ϕκ(x, t) := G(x, ξ)σκ (ξ, t) dξ, x ∈Q, t ∈ I,

(43)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№ 11

2023

О СУЩЕСТВОВАНИИ ГЛОБАЛЬНЫХ СЛАБЫХ РЕШЕНИЙ

1483

E_κ(x,t) := -∇_xϕ_κ(x,t), x ∈Q, t ∈ I.

(44)

Из известных свойств функции Грина [33]

c₁

G(x, y) ≤

|∇_xG(x, y)| ≤

x,y ∈ Q, x = y,

(45)

|x - y|

|x - y|²

а также соотношений (42)-(45) и неравенства Гёльдера следует оценка

∥Eκ,n( · , t) - E_κ( · , t)∥ ≤ c₂∥σκ,n( · , t) - σ_κ( · , t)∥1/41, t ∈ I,

∫

где Eκ,n(x, t) = -∇ϕκ,n(x, t), ϕκ,n(x, t) =_Q G(x, y)σκ,n(y, t) dy, x ∈Q, t ∈ I.

Отсюда и из (40) получим

lim sup ∥Eκ,n( · , t) - E_κ( · , t)∥ = 0.

(46)

n→∞ t∈I

Таким образом, отображение

I ∋ t → E_κ(·,t) ∈ C( ^Q)

непрерывно, т.е. функция E_κ(x, t) непрерывна по x и t на множестве

Q×I.

По построению функция ϕ_κ является решением задачи

-Δϕ_κ(x,t) = 4πeσ_κ(x,t), x ∈ Q, t ∈ I,

(47)

ϕκ(x, t) = 0, x ∈ ∂Q, t ∈ I,

(48)

где по определению σ_κ( · , t) ∈ C^∞(^Q), t ∈ I. Поэтому по теореме 6.18 из [34] о регулярности

решений эллиптических задач вблизи гладкой границы ϕ_κ(x, t) непрерывна по x и t, непре-

рывно дифференцируема по x в

Q × [0,T) и дважды непрерывно дифференцируема по x в

(Q \ K) × [0,T). Таким образом, выполнено условие 1, которое обеспечивает существование

порождающих характеристик для сглаженного уравнения Власова (26) на открытом множе-

стве (Λ₁)_κ ⊂ Ω, при этом μ₇(Ω \ (Λ₁)_κ) = 0. Из равенства (46) следует, что вектор-функции

Eκ,n и E_κ удовлетворяют условиям леммы 2.1 в [25]. Отсюда вытекает существование числа

N ∈ N такого, что для любых (x,v,t) ∈ (Λ₁)_κ, s = t_k(x,v,t) (k ∈ Z) и n ≥ N мы имеем

(x, v, t) ∈ (Λ₁)κ,n и

lim

Sβκ,n(s,x,v,t)

Sβκ(s,x,v,t),

n→∞

где (Λ₁)κ,n ⊂ Ω - открытое множество, μ₇(Ω \ (Λ₁)κ,n) = 0.

Следовательно, для всех (x, v, t) ∈ (Λ₁)_κ

lim

fβκ,n(x,v,t) = lim

f^β

Sβκ,n(0,x,v,t)) =fβ

Sβκ(0,x,v,t)) =: gβκ(x,v,t).

(49)

n→∞

Из (49) получим

sup|fβκ,n(x, v, t)|, sup |gβκ(x, v, t)| ≤ ∥fβ∥.

x,v,t

Из соотношений (49), последнего неравенства и теоремы Лебега о предельном переходе под

знаком интеграла следует, что

lim

∥fβκ,n( · , · , t) - gβκ( · , · , t)∥₁ = 0, t ∈ I,

n→∞

поэтому

fβκ(x,v,t) = gβκ(x,v,t)

f^β

Sβκ(0,x,v,t)) для п.в. (x,v,t) ∈ Ω.

(50)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№ 11

2023

1484

СКУБАЧЕВСКИЙ

Отсюда имеем

∫

σ_κ(x,t) =

f+1κ(y,v,t)

f-1κ(y,v,t))ω_κ(x - y)dy dv =

(g+1κ(y,v,t) - g-1κ(y,v,t))dy dv.

(51)

R⁶

Таким образом, функции g^κ удовлетворяют сглаженной системе уравнений Власова-Пуас-

сона (26), (30)-(32). Легко видеть, что начальные условия (33) и краевые условия (34) также

выполняются.

Мы доказали, что функция g^κ(x, v, t) =fβ

S^κ(0,x,v,t)) является сильным решением за-

дачи (26), (30)-(34). Теорема доказана.

5. Слабые решения смешанной задачи для системы Власова-Пуассона. Дока-

жем теорему существования слабых решений системы Власова-Пуассона (1), (2) c начальным

условием (3) и краевыми условиями (4), (5).

Пусть f^β ∈ L_p(Ω), 1 ≤ p < ∞, Ω := Q × R3 × (0,T), а функция E = E(x,t) такова, что

f^βE локально интегрируема на Ω.

Определение 2. Функции f^β назовём слабо дифференцируемыми по направлению

(

)

βe

l^β := v,

E+

[v, B(x)], 1

m_β

m_βc

если существуют функции h^β ∈ L_p(Ω) такие, что для всех g^β ∈C1(Ω)

∫

〈h^β , g^β 〉 = -〈f^β, L^β g^β 〉 := - f^βL^βg^β dx dvdt,

где

βe

∂g

L^βg^β := 〈v,∇_xg^β〉 +

E+

[v, B(x)], ∇_v g^β

m_β

m_βc

∂t

Функции h^β ∈ L_p(Ω) определены единственным образом и обозначаются через L^βf^β.

Определение 3. Пусть функции f^β ∈ L_p(Ω) (1 ≤ p < ∞) слабо дифференцируемы по

направлению l^β. Функции f^β± ∈ L_p,loc(A_±) будем называть следами f^β на A_±, если

∫

〈L^β f^β, ψ^β 〉 + 〈f^β, L^βψ^β 〉 = fβ+ψ^βdν₊ - f^β-ψ^β dν_-

A₊

A_-

для любых ψ^β ∈C1(Ω × R³ × (0, T )).

В силу определения 1 и лемм 3, 4 любое сильное решение {f^β}, β = ±1, задачи (1)-(5) с

начальными функциям

f^β ∈C1(Q × R³) слабо дифференцируемо по направлению l^β, при

этом L^βf^β = 0, следы f^β на A_± существуют и задаются формулами (13), (14).

Запишем задачу (1)-(5) следующим образом:

∂f^β

βe

+ 〈v, ∇_xf^β〉 +

E+

[v, B], ∇_vf^β

= 0, x ∈ Q, v ∈ R³, t ∈ (0, T ), β = ±1, (52)

∂t

m_β

∫

∑

E(x, t) = -

∇_xG(x,ξ)ρ(ξ,t)dξ, ρ(x,t) =

βf^β(x,v,t)dv, x ∈Q, t ∈ [0,T),

(53)

R³

f^β(x,v,0) =fβ(x,v), x ∈Q, v ∈ R³,

(54)

f^β-(x,v,t) = Kfβ+(x,v,t), (x,v,t) ∈ A_-, β = ±1.

(55)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№ 11

2023

О СУЩЕСТВОВАНИИ ГЛОБАЛЬНЫХ СЛАБЫХ РЕШЕНИЙ

1485

Пусть 1 ≤ p ≤ ∞ и 1 ≤ p^′ ≤ ∞ такие, что 1/p + 1/p^′ = 1, и пусть X - измеримое

подмножество Rⁿ. Для 1 ≤ p < ∞ обозначим через σ(p, p^′) слабую топологию в L_p(X), а

через σ(∞, 1) - слабую-* топологию в пространстве L_∞(X).

Определение 4. Функции {f^β}, β = ±1, будем называть слабым решением системы

уравнений (52)-(55), если выполняются следующие условия:

1) отображения f^β : I → (L₁(Q × R³), σ(1, ∞))

^⋂ (L_∞(Q × R³), σ(∞, 1)) непрерывны, β =

= ±1;

2) f^β(x, v, 0) =fβ(x, v) для почти всех x ∈Q, v ∈ R³ и β = ±1;_∫∑

3) для почти всех (x, t) ∈ Q × [0, T ) и ρ(x, t) =R3 ββfβ(x,v,t)dvположимE(x,t)=∫

= -Q ∇_xG(x,ξ)ρ(ξ,t)dξ, тогда функции f^βE локально интегрируемы на Ω × R³;

4) для всех ψ ∈C1(Q × R³) имеем

(

∫

)

t→

ψ(x, v)f^β (x, v, t) dx dv

∈ C¹(I),

Q×R³

∫

ψ(x, v)f^β (x, v, t) dx dv =

(X^β ψ)(x, v, t)f^β (x, v, t) dx dv,

Q×R³

где

βe

(X^β ψ)(x, v, t) := 〈v, ∇_xψ(x, v)〉 +

E(x, t) +

[v, B(x)], ∇_v ψ(x, v)

;

m_β

m_βc

5) следы f^β на A_± существуют и f^β- = Kfβ+ на A_-, β = ±1.

Теорема 3. Пустьfβ ∈C1(Q × R³),

f^β ≥ 0. Тогда существует слабое решение {f^β},

β = ±1, задачи (52)-(55).

Доказательство теоремы опирается на следующие вспомогательные утверждения.

Лемма 5. Пусть 1 ≤ r < 3, r ≤ q < 3r/(3 - r), и пусть K ⊂ R³ область такая, что

K⊂ Q. Тогда оператор A_G : L_r(Q) → L3q(Q), определённый по формуле

∫

(A_Gσ)(x) = χ_K (x)

∇_xG(x,y)σ(y)dy,

является компактным, где χ_K (x) - характеристическая функция множества K.

Доказательство см. в [24, лемма 4.3].

Лемма 6. Пусть выполнены условия теоремы 3 и пусть {

κ }, κ > 0, - сильное решение

задачи (26), (29)-(34). Тогда для любой последовательности {κ_n}, κ_n → 0 при n → ∞, κ_n >

> 0, существуют подпоследовательность {κnk } и функции f^β ∈ C(I, (L_p(Q × R³), σ(p, p^′)))

такие, что для любых p, p^′ ∈ [1, ∞], 1/p + 1/p′ = 1, справедливы утверждения:

κnk⇀fβ в(Lp(Q×R3),σ(p,p′))равномернопоt∈Iприk→∞;

κnk⇀fβ в(Lp(Ω),σ(p,p′))приk→∞;

c) существуют g^β± ∈ L_∞(A_±, dν_±) такие, что fβκ

⇀^∗ g^β± в L_∞(A_±,dν_±) при k → ∞.

nk^,±

Доказательство аналогично [24, лемма 4.5].

В дальнейшем для упрощения будем обозначать подпоследовательность {κnk } через κ_n.

Лемма 7. Пусть выполнены условия теоремы 3.

a) Пусть, кроме того, 1 ≤ p ≤ 5/3, а функции ρκn : I → L_p(Q) определены по формуле

∫

ρβκ

(x, t) := fβκ

(x, v, t) dv.

R³

Тогда ρκn (x, t) ⇀ ρ^β (x, t) при n → ∞ в (L_p(Q), σ(p, p^′)) равномерно по t ∈ I.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№ 11

2023

1486

СКУБАЧЕВСКИЙ

b) Пусть 1 ≤ p ≤ ∞, ψ ∈C1(Q × R³). Тогда

∫

ψ(·,v)fβκ

(·,v,t)dv ⇀ ψ(·,v)f^β(·,v,t)dv

R³

в (L_p(Q), σ(p, p^′)) при n → ∞ равномерно по t ∈ I.

Доказательство см. в [24, лемма 4.7].

Доказательство теоремы 3. 1. Рассмотрим функции f^β, g^β±, β = ±1, из леммы 6.

Покажем, что {f^β}, β = ±1, - слабое решение задачи (52)-(55). Выполнение условий 1)-3)

для функций {f^β} в определении слабого решения следует из леммы 6, равенства (33), а

также соотношений (53) и (46).

2. Докажем выполнение условия 4). Вначале покажем, что

lim sup(Jβ1,n(t) + Jβ2,n(t)) = 0,

(56)

n→∞ t∈I

где



∫

(

)



βe



J^β

(t) =^

〈v, ∇_xψ(x, v)〉 +

[v, B(x)], ∇_v ψ(x, v) (fβκ

(x, v, t) - f^β(x, v, t)) dx dv

1,n

^,

m_βc

Q×R³



∫



βe



J^β

(t) =^

〈∇_vψ(x, v), Eβκ

(x, t)fβκ

(x, v, t) - E^β(x, t)f^β (x, v, t)〉 dx dv

(57)

2,n

^,

m_β

Q×R³

∫

ψ∈C1(Q × R³), Eκn(x,t) =_Q e_n(x,y)ρκn(y,t)dy, ρκn(y,t) :=R3

κn (y, v, t) dv.

Докажем, что

lim sup Jβ1,n = 0.

(58)

n→∞ t∈I

Поскольку ψ ∈C1(Q × R³), имеем

βe

〈v, ∇_xψ(x, v)〉 +

[v, B(x)], ∇_v ψ(x, v)

∈ L_∞(Q × R³)

^⋂L₁(Q × R³).

m_βc

Отсюда и из утверждения а) леммы 6 следует равенство (58).

Докажем теперь, что

lim sup Jβ2,n = 0.

(59)

n→∞ t∈I

∫

Для любых t ∈ I и п.в. x ∈ Q имеем ρ^β(x, t) :=R3 f^β(x, v, t) dv. В силу леммы 6 ρ^β( · , t) ∈

∈ L₁(Q). Из доказательства леммы 4.1 в [34] и неравенств (45) следует, что потенциал

∫

ϕβ (x, t) := G(x, y)ρ^β (y, t) dy

непрерывно дифференцируем по x для x ∈ Q и t ∈ I и

∫

E^β(x,t) = -∇_xϕ^β(x,t) = -

∇_xG(x,y)ρ^β(y,t)dy.

Обозначим

∫

e(x, y) := -∇_xG(x, y), e_n(x, y) := -

∇_xG(x,ξ)ωκn (y - ξ)dξ.

(60)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№ 11

2023

О СУЩЕСТВОВАНИИ ГЛОБАЛЬНЫХ СЛАБЫХ РЕШЕНИЙ

1487

Тогда

∫

E^β(x,t) = e(x,y)ρ^β(y,t)dy.

Положим

∑

E(x, t) =

βE^β(x,t), Eκn(x,t) =

βEβκ

(x, t).

Используя (60), мы можем записать (57) в виде

∫

Jβ2,n(t) =^βe

fβκ

(x, v, t)fβκ

(y, w, t)〈e_n(x, y) - e(x, y), ∇_v ψ(x, v)〉 dx dv dy dw +

m_β

Q×Q×R⁶

∫

βe

fβκ

(x, v, t)(fβκ

(y, w, t) - f^β(y, w, t))〈e(x, y), ∇_v ψ(x, v)〉 dx dv dy dw +

m_β

Q×Q×R⁶

∫

βe

f^β(y,w,t)(fβκ

(x, v, t) - f^β(x, v, t))〈e(x, y), ∇_v ψ(x, v)〉 dx dv dy dw.

(61)

m_β

Q×Q×R⁶

Доказательство равенства (59) проводится аналогично доказательству леммы 4.8 из [24]. Для

этого достаточно показать, что каждое из трёх слагаемых в формуле (61) стремится к нулю

при n → ∞ равномерно по t ∈ I. Докажем, например, справедливость этого утверждения для

второго слагаемого. Для этого воспользуемся леммой 5 при r = 5/3 и r ≤ q < 15/4. Выберем

q^′ из условия 1/q + 1/q^′ = 1. Поскольку supp_xψ ⊂ Q, в силу утверждения b) леммы 7 имеем



∫



fβκ

(x, v, t)(fβκ

(y, w, t) - f^β(y, w, t))〈e(x, y), ∇_v ψ(x, v)〉 dx dv dy dw



⁼

m_β

Q×Q×R⁶



∫



χsuppxψ(x)

(x, v, t)(fβκ

(y, w, t) - f^β(y, w, t))〈e(x, y), ∇_v ψ(x, v)〉 dx dv dy dw



κn

≤

m_β

Q×Q×R⁶

∫

 ∫

∫







≤



e(x, y)(ρβκ

(y, t) - ρ^β(y, t)) dy

fβκ

(x, v, t)∇_vψ(x, v) dv

x≤

χsuppxψ(x)



^d

m_β

R³



∫



∫



≤

supp_x

ψ(x)

e(x, y)(ρβκ

(y, t) - ρ^β(y, t)) dy

fβκ

(x, v, t)∇_v ψ(x, v) dv

(62)

^χ



 .

m_β

′

R³

В силу утверждения b) леммы 7

∫



(x, v, t)∇_v ψ(x, v) dv

≤ C,

(63)

 f

κn



q^′

R³

где C > 0 не зависит от t ∈ I.

С другой стороны, из леммы 5 следует, что оператор A_G : L_r(Q) → L3q(Q) компактный, по-

этому он переводит слабо сходящуюся последовательность {ρκn } в L_r(Q) (см. утверждение а)

леммы 7) в сильно сходящуюся в L3q(Q). Следовательно,



∫



supp_x

ψ(x)

e(x, y)(ρβκ

(y, t) - ρ^β(y, t)) dy

→0

χ



ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№ 11

2023

1488

СКУБАЧЕВСКИЙ

равномерно по t ∈ I. Отсюда и из (62), (63) следует (59). Таким образом, справедливость (56)

доказана. Это означает, что

∫

(X^β ψ)(x, v, t)fβκ

(x, v, t) dx dv →

(X^β ψ)(x, v, t)f^β (x, v, t) dx dv

(64)

Q×R³

при n → ∞ равномерно по t ∈ I.

С другой стороны, в силу утверждения а) леммы 6 имеем

∫

ϕ(x, v)fβκ

(x, v, t) dx dv →

ϕ(x, v)f^β (x, v, t) dx dv

(65)

Q×R³

при n → ∞ равномерно по t ∈ I, при этом из леммы 3 следует, что

∫

ϕ(x, v)fβκ

(x, v, t) dx dv ∈ C¹(I),

(66)

Q×R³

∫

ϕ(x, v)fβκ

(x, v, t) dx dv =

(X^β ϕ)(x, v, t)fβκ

(x, v, t) dx dv.

(67)

Q×R³

Из (64)-(67) и единственности предела заключаем, что последовательность

∫

}

^{d

ϕ(x, v)fβκ

(x, v, t) dx dv

Q×R³

при n → ∞ сходится к

( ∫

)

ϕ(x, v)f^β (x, v, t) dx dv

∈ C¹(I)

Q×R³

равномерно по t ∈ I, при этом выполняется равенство

( ∫

)

∫

ϕ(x, v)f^β (x, v, t) dx dv

= (X^β ϕ)(x, v, t)f^β (x, v, t) dx dv

Q×R³

для t ∈ I.

Выполнение условия 5 следует из доказательства предложения 6 в [24, с. 102-106].

Итак, мы доказали существование глобального слабого решения {f^β}, β = ±1, первой

смешанной задачи для системы Власова-Пуассона с внешним магнитным полем, описываю-

щей кинетику двухкомпонентной высокотемпературной плазмы в области с гладкой границей.

Лемма доказана.

6. Система уравнений Власова-Пуассона в цилиндре. Далее предположим, что Q =

= G × (-d,d), где G ⊂ R² - ограниченная область с границей ∂G ∈ C^∞, d > 0.

Вначале мы докажем вспомогательный результат о существовании и единственности силь-

ного решения уравнения Пуассона с условиями Дирихле в цилиндре Q в пространстве Собо-

лева W2p(Q), p ≥ 2, который является обобщением соответствующего результата для ограни-

ченной области с гладкой границей (см. теорему 9.15 из [34, гл. 9, § 9.6]).

Рассмотрим краевую задачу

-Δu(x) = F(x), x ∈ Q,

(68)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№ 11

2023

О СУЩЕСТВОВАНИИ ГЛОБАЛЬНЫХ СЛАБЫХ РЕШЕНИЙ

1489

u(x) = 0, x ∈ ∂Q,

(69)

где F ∈ L_p(Q), 2 ≤ p < ∞.

Определение 5. Функцию u ∈W1p(Q) назовём слабым (обобщённым) решением зада-

чи (68), (69), если для любой функции v ∈C1(Q) выполняется интегральное тождество

∫

∇u(x)∇v(x) dx = F (x)v(x) dx.

Определение 6. Функцию u ∈

(Q)

^⋂W2p,loc(Q) назовём сильным решением зада-

чи (68), (69), если она удовлетворяет п.в. в Q уравнению (68).

Очевидно, что сильное решение задачи (68), (69) является и слабым тем более.

Лемма 8. Для любой функции F ∈ L_p(Q) существует единственное сильное решение

^⋂W1

u ∈ W2p(Q)

(Q) задачи (68), (69), при этом

∥u∥_W 2

(70)

p (Q) ≤^c1^∥F∥Lp(Q)^,

где 2 ≤ p < ∞, c₁ = c₁(Q) > 0 не зависит от F.

Доказательство. Доказательство проводится аналогично тому, как это сделано в теоре-

ме 9.15 из [34, гл. 9, § 9.6], в которой рассматривалась область с гладкой границей. Принци-

пиальное отличие заключается в том, что в рассматриваемом случае граница ∂Q не является

гладкой, так как она содержит два ребра ∂G × {-d} и ∂G × {d}.

Все этапы доказательства указанной леммы состоят из вспомогательных утверждений,

касающихся гладкости и априорных оценок слабых решений задачи (68), (69) во внутренних

подобластях Q^′

( Q^′ ⊂ Q) или в подобластях Q^′ вблизи гладкой границы Q^′ ⊂ Q, ∂Q′ ⋂∂Q =

= ∅. В рассматриваемом нами случае ключевым результатом является

Лемма 9. Пусть B+R := {x ∈ B_R : x₃ > 0} и B++R := {x ∈ B_R : x₂ > 0, x₃ > 0}. Пусть

функция u ∈W1p(B++R),

2 ≤ p < ∞, является слабым решением задачи (68), (69) в B++R и

равна нулю вблизи ∂B++R

^⋂ {x ∈ R³ : x₂ > 0, x₃ > 0}, где F ∈ L_p(B++R).

Тогда u ∈ W2p(B++R) и справедливо неравенство

∥u∥W2

p (BR+)≤c2∥F∥Lp(B⁺⁺R)^,

где c₂ > 0 и не зависит от F.

Доказательство. Продолжим функции u(x) и F (x) нечётным образом в B+R \ B++R,

полагая

ũ(x₁, x₂, x₃) = -u(x₁, -x₂, x₃), x ∈ B+R, x₂ < 0,

F (x₁, x₂, x₃) = -F (x₁, -x₂, x₃), x ∈ B+R, x₂ < 0.

По построению функция ũ, которая является нечётным продолжением функции u, обла-

дает следующими свойствами: ũ ∈W1p(B+R) и ũ(x) = 0 вблизи ∂B+R ⋂ {x ∈ R³ : x₃ > 0}.

Покажем, что функция ũ является слабым решением задачи (68), (69) в B+R. Возьмём

произвольную пробную функцию v ∈C1(B+R). Введём чётную функцию ξ_ε(x₂) ∈ C¹(R) так,

что ξ_ε(x₂) = 0 при |x₂| ≤ ε, ξ_ε(x₂) = 1 при |x₂| ≥ 2ε и |ξ^′ε(x₂)| ≤ 2/ε, где ε > 0.

Тогда, используя определения функций

F и ũ и формулу Лейбница, получаем

∫

F (x)ξ_ε(x₂)v(x) dx =

∇ũ(x)∇(ξ_εv)(x) dx =

B⁺

B_R

∫

ξ_ε(x₂)∇ũ(x)∇v(x)dx +

v(x)ξ^′ε(x₂)Dx2 ũ(x) dx.

(71)

B⁺

B_R

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№ 11

2023

1490

СКУБАЧЕВСКИЙ

С учётом чётности функции ξ_ε(x₂) и нечётности по x₂ функции ũ(x), оценки |ξ^′ε(x₂)| ≤

≤ 2/ε и формулы Лагранжа в силу абсолютной непрерывности интеграла Лебега получим



∫



∫



v(x)ξ^′ε(x₂)Dx2 ũ(x) dx

(v(x₁, x₂, x₃) - v(x₁, -x₂, x₃))ξ^′ε(x₂)Dx2 u(x) dx



⁼



≤

B⁺

B_R

^⋂ {x₂<2ε}

∫

≤ 4ε

max

|Dx2 v(x)|

|Dx2 u(x)| dx → 0 при ε → 0.

(72)

x∈B+

⋂

B++R

{x₂<2ε}

Устремив в тождестве (71) ε к нулю, в силу (72) будем иметь

∫

F (x)v(x) dx =

∇ũ(x)∇v(x) dx.

B⁺

B_R

Таким образом, ũ ∈W1p(B+R) является слабым решением задачи (68), (69) в B+R и u(x) = 0

вблизи ∂B+R

^⋂ {x₃ > 0}.

Следовательно, в силу леммы 9.12 из [34, гл. 9, § 9.5] ũ ∈ W2p(B+R) и

∥ũ∥W2

p (B^R)≤k1

F∥Lp(B+R)^,

где k₁ > 0 не зависит от

F. Отсюда вытекает утверждение леммы 9.

Комбинируя известные утверждения о гладкости и априорных оценках слабых решений

внутри области, вблизи гладких частей границы, а также доказанную выше лемму 9 о глад-

кости и априорных оценках слабых решений задачи (68), (69) вблизи ребра, мы убеждаемся в

справедливости леммы 8. Лемма доказана.

Замечание 3. Лемма 8 справедлива также в случае сильно эллиптического в

Q диффе-

ренциального уравнения второго порядка с гладкими коэффициентами и однородными усло-

виями Дирихле на границе ∂Q. Однако нам понадобится лишь рассмотренная выше зада-

ча (68), (69).

В дальнейшем нам потребуется оценка нормы напряжённости самосогласованного элек-

трического поля E_κ(x, t) для сглаженной системы Власова-Пуассона через нормы начальных

функций распределения заряженных частицfβ(x, v).

Обозначим

Q2δ := {x ∈ Q : dist(x,∂G × (-d,d)) > 2δ}, G2δ := {x ∈ G : dist (x^′,∂G) > 2δ},

где число δ > 0 таково, что Q2δ = ∅, x = (x^′, x₃).

Предположим, что выполнено следующее

Условие 2. Пустьfβ ∈C1(R⁶) и suppfβ ⊂ D₀ := (Q2δ ⋂ B_λ) × B_ρ, где δ, ρ > 0, 0∈Q2δ,

2δ < λ < d/2.

Из (47), (48), (50) и (51) получим задачу

-Δϕ_κ(x,t) = 4πeσ_κ(x,t), x ∈ Q, t ∈ [0,T),

(73)

ϕκ(x, t) = 0, x ∈ ∂Q, t ∈ [0, T ),

(74)

где

∫

∑

σ_κ(x,t) =

ω_κ(x - y)

fβκ(y,v,t)dy dv, x ∈ Q, t ∈ [0,T),

(75)

β=±1

R⁶

κ (y, v, t)

((y, v) ∈ R⁶, t ∈ [0, T )) - продолжение по y нулём в R³ \ Q функции

κ (y, v, t) =

f^β

S^κ(0,y,v,t)) (y ∈ Q, v ∈ R³, t ∈ [0,T)), κ > 0 (см. доказательство теоремы 2).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№ 11

2023

О СУЩЕСТВОВАНИИ ГЛОБАЛЬНЫХ СЛАБЫХ РЕШЕНИЙ

1491

Из условия 2 и теоремы 1 следует, что σ_κ( · , t) ∈ C^∞(^Q) для любого t ∈ [0, T ).

Обозначим

R(T ) := {1 + max sup sup |v| : существуют x ∈ Q и t ∈ [0, T ) такие, что fβκ(y, v, t) = 0}.

β κ>0 v∈R³

Условие 3. R(T ) < ∞.

Выполнение аналогичного условия в случае задачи Коши для системы Власова-Пуассона

доказано в работах [22, 23]. Заметим, что константа R(T ) зависит также от начальных функ-

цийfβ (см. [22, с. 1316]).

Теорема 4. Пусть выполнено условие 2. Тогда справедлива оценка

c₃

|||∇ϕ_κ|||0,T ≤

max ∥fβ∥, β = ±1,

(76)

κ³

где c₃ = c₃(Q, ρ) > 0 - константа, не зависящая от T,

f^β и κ.

Если к тому же выполняется условие 3, то имеет место неравенство

|||∇ϕ_κ|||0,T ≤ c₄ max ∥fβ∥, β = ±1,

(77)

где c₄ = c₄(Q, ρ, T

f^β) > 0 - константа, не зависящая от κ.

Доказательство. 1. В силу леммы 8 для t ∈ [0, T ) существует единственное сильное

^⋂ W1

решение ϕ_κ( · , t) ∈ W2p(Q)

(Q) задачи (73), (74), при этом

∥ϕ_κ( · , t)∥_W 2

(78)

p (Q) ≤^c14πe∥σκ(·,t)∥Lp (Q)^,

где c₁ = c₁(Q) > 0 не зависит от σ_κ и от t, p ≥ 2.

Из теоремы Соболева о непрерывности вложения пространства W2p(Q) в C¹(^Q) при p ≥ 4

и соотношений (70) и (75) следует, что

∑

|||∇ϕ_κ( · , t)|||_C0( Q₎ ≤ k1∥ϕκ( · , t)∥_W 2

(Q)

≤ c₁k₁4πe∥σ_κ(·,t)∥L4(D) ≤ c1k14πe

I^β,

(79)

β=±1

где

{∫



∫



}1/4



⁴

I^β =



ω_κ(x - y)fβκ(y,v,t)dy dv



 d

Q Q×R³

{∫



∫



}1/4



⁴



ω_κ(x - y)fβ

Sβκ(0,y,v,t))dy dv



 d

Q Q×R³

k₁ = k₁(Q) > 0.

В силу леммы 1 отображение

S^ϕ(t,·,·,0) : Γ₀ → Γ_t биективно и отображает измеримое

множество U₀ = (D₀ × {0})

^⋂Λ ⊂ Γ₀ на множество U_t ⊂ Γ_t, при этом μ₆(U_t) = μ₆(U₀) < ∞,

где Γ_t = {(x, v, τ) ∈ Λ₁ : τ = t}, множества Λ и Λ₁ определены перед теоремой 1.

Отсюда имеем

{∫

 ∫



}1/4



⁴



I^β =

ω_κ(x - y)fβ

Sβκ(0,y,v,t))dy dv

≤



 d

Q Ut

{∫

(∫

)₄

}1/4

≤ sup

f^β

Sβκ(0,y,v,t))

ω_κ(x - y)dy dv dx

(80)

(y,v)∈U

Q Ut

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№ 11

2023

4^∗

1492

СКУБАЧЕВСКИЙ

2. Докажем справедливость оценки (76). Из (27), (28) для любых x, y ∈ R³ получим

k₂

ω_κ(x - y) ≤

(81)

κ³

где k₂ > 0 не зависит от x, y ∈ R³ и κ > 0. Из (80) и (81) вытекают неравенства

{∫

}1/4

k₂

I^β ≤ max

f^β(z, w)k2

μ⁴⁶(U_t)dx

≤

μ1/4+13(Q)μ₃(B_ρ)∥fβ∥.

(82)

(z,w)∈D0

κ³

Из (79), (82) следует оценка (76).

3. Остаётся доказать неравенство (77). Пусть выполнено условие 3. Тогда из (80) и условия 3

получим

{∫

(

∫

)₄

}1/4

I^β ≤ max

f^β(z,w)

ω_κ(x - y)dy dx

≤μ1/43(Q)μ₃(BR(T))∥fβ∥.

(83)

(z,w)∈D0

Q |v|<R(T)

|x-y|<κ

Из (80), (83) вытекает (77). Теорема доказана.

Рассмотрим порождающие характеристики

S^κ(τ,x,v,0)

X^κ(τ,x,v,0)

κ (τ, x, v, 0)),

(x, v, 0) ∈ Λ₃, сглаженной системы уравнений (35), (36). Положим (x^βk, v^βk ) :

S^κ(t^βk -0,x,v,0),

k ∈ N.

Лемма 10. Пусть выполнено условие 2. Тогда для всех (x, v, 0) ∈ Λ₃, (x, v) ∈ D₀, спра-

ведлива оценка

eT^βk₁

V βκ (τ,x,v,0)| ≤ ρ +

∥fβ∥,

0≤τ <tβ1,

(84)

m_β

(

)

|xβ1 - x| ≤ ρ +eTβ

k₁∥fβ∥ T^β,

(85)

m_β

где k₁ = c₃/κ³ (c₃ > 0) - константа из неравенства (76); T^β := tβ1 < T, если существует

X^β

момент отражения tβ1 < T, T^β = T, если

κ (τ, x, v, 0)

^⋂ ∂Q = ∅ для всех 0 ≤ τ < T;

xβ1 :=Xκ(T^β - 0,x,v,0).

Если к тому же выполняется условие 3, то для всех (x, v, 0) ∈ Λ₃, (x, v) ∈ D₀, выпол-

няются неравенства (84), (85) с константой k₁ = c₄, где c₄ > 0 - постоянная из неравен-

ства (77).

Доказательство. Умножим (36) скалярно н

κ . Тогда для всех

κ (τ, x, v, 0) = 0 будем

иметь

1 d

βe

V βκ (τ,x,v,0)|² = -

〈∇_xϕ_κ

Xβκ(τ,x,v,0))

V βκ (τ,x,v,0)〉,

0≤τ <T^β.

2 dτ

m_β

Отсюда и из неравенства Коши-Буняковского получим

1 d

V βκ (τ,x,v,0)|² ≤

|∇_xϕ_κ(Xβκ (τ, x, v, 0))|

V βκ (τ,x,v,0)|,

0≤τ <T^β.

2 dτ

m_β

Следовательно,

V βκ (τ,x,v,0)| ≤

|∇_xϕ_κ(Xβκ (τ, x, v, 0))|,

0≤τ <T^β.

(86)

dτ

m_β

Проинтегрировав (86) по τ от 0 до t, в силу теоремы 4 и условия 2 имеем

∫

V βκ (t,x,v,0)| ≤ |v| +

|∇_xϕ_κ(Xβκ (τ, x, v, 0))| dτ ≤ ρ +eTβ k₁∥f^β∥.

m_β

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№ 11

2023

О СУЩЕСТВОВАНИИ ГЛОБАЛЬНЫХ СЛАБЫХ РЕШЕНИЙ

1493

Неравенство (84) доказано. Проинтегрировав (84) от 0 до T^β по t, получим (85). Лемма

доказана.

Замечание 4. Положив в (85) xβ1 ∈ (G × {-d})

^⋃ (G × {d}), будем иметь

(

)

< |xβ1 - x| ≤ ρ +^eT

k₁ max∥fβ∥ T.

m-1

Условие 4. Имеет место неравенство

(

)

> ρ+

k₁ max ∥fβ∥ T.

m-1

Если выполняется условие 4, то траектория частицы сглаженной системы Власова-Пуас-

сона, находящейся в момент времени τ = 0 в точке (x,v), не может достичь оснований

цилиндра в момент времени τ = t ≤ T. Другими словами,

Sβκ(t,x,v,0)

^⋂ ((G × {-d} × R³)^⋃ (G × {d} × R³)) = ∅.

Таким образом, если выполняется условие 4, то порождающие характеристики сглаженной

системы уравнений Власова-Пуассона не пересекаются с основаниями цилиндра Q = G ×

× (-d, d).

В дальнейшем будем предполагать, что выполняется следующее

Условие 5. Пусть B

C¹(^Q) и пусть B(x) = (0,0,b) для x ∈Qδ/2, где

(ρm₊₁ + eT k₁ max ∥fβ∥) < b,

(87)

eδ

k₁ > 0 - константа из неравенства (84).

Введём матрицу

(

)

cos θ

- sin θ

R(θ) =

θ ∈ R.

sin θ cos θ

Умножение на матрицу R(θ) соответствует вращению на угол θ на плоскости. Следующее

утверждение позволяет применить свойства этого оператора к исследованию траекторий за-

ряженных частиц при наличии ненулевого магнитного поля в (36). В работе [29] доказаны

следующие свойства матрицы R(θ).

Лемма 11.

a) R(θ₁)R(θ₂) = R(θ₁ + θ₂), θ₁, θ₂ ∈ R;

b) R(θ)^m = R(mθ), θ ∈ R, m ∈ Z;

R(θ) = R(π/2)R(θ) = R(θ + π/2), θ ∈ R;

dθ

d) |R(θ)x| = |x|, θ ∈ R, x ∈ R²;

e) exp(tR(θ)) = exp(t cos θ)R(t sin θ).

Обозначим x^′ = (x₁, x₂) и Xκ′ (x, v, τ) = (Xβκ,1(x, v, τ), Xβκ,2(x, v, τ)).

Следующий результат является обобщением леммы 3.3 из [29] (см. также [30]).

Лемма 12. Пусть выполняются условие 2 и условия 4, 5 с константой k₁ = c₃/κ³, где

c₃ > 0 - постоянная из неравенства (76).

Тогда порождающие характеристик

S^κ(τ,x,v,0), (x,v,0) ∈ Λ₃, 0 ≤ τ < T, сглаженной

системы (35), (36) для каждого 0 < κ < 1 обладают следующими свойствами: если x^′ ∈

∈ G_δ′ , δ^′ ≥ δ, v ∈ B_ρ, то T^β = T и | Xκ′ (τ,x,v,0) - x^′| < δ/2,

κ (τ, x, v, 0) ∈ Bρ₁ для всех

0 ≤ τ < T, где

ρ₁ = ρ +

k₁ max∥fβ∥.

m-1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№ 11

2023

1494

СКУБАЧЕВСКИЙ

Если же выполняются условия 2, 3 и условия 4, 5 с константой k₁ = c₄, где c₄ > 0 -

постоянная из неравенства (77), не зависящая от κ, то порождающие характеристики

S^κ(τ,x,v,0), (x,v,0) ∈ Λ₃, 0 ≤ τ < T, системы (35), (36) удовлетворяют тем же свой-

ствам равномерно по всем 0 < κ < 1.

Доказательство. 1. Докажем, что

T^β = T,

(88)

(89)

Xβ′κ(τ,x,v,0) - x^′| < δ/2 для всех τ ∈ [0,T).

При этом если выполняются условия 2, 4, 5 с константой k₁ = c₃/κ³, то соотношения (88),

(89) справедливы для каждого 0 < κ < 1, удовлетворяющего условиям 4 и 5.

Если же выполняются условия 2, 3 и условия 4, 5 с константой k₁ = c₄ (c₄ > 0 не зависит

от κ), то соотношения (88), (89) справедливы для всех 0 < κ < 1.

Предположим противное: либо T^β = tβ1 < T, либо

Xκ′ (τ₀,x,v,0) - x^′| ≥ δ/2 для некото-

рого τ₀ ∈ [0, T ).

Заметим, что неравенство tβ1 := T^β < T влечёт за собой выполнение соотношения

lim

dist (Xβ′κ (τ, x, v, 0), ∂G) = 0.

τ→T^β-0

Следовательно, |Xκ′ (τ₀, x, v, 0) - x^′| ≥ δ/2 для некоторого τ₀ ∈ [0, T^β ).

Xβ′

Поскольку

κ (0, x, v, 0) = x^′, то для некоторого τ1, 0 < τ1 ≤ τ0 < Tβ, имеем

(90)

Xβ′κ(τ,x,v,0) - x^′| = δ/2,

(91)

| Xβ′κ (τ, x, v, 0) - x^′| < δ/2, τ ∈ [0, τ1).

Из (90), (91) и условия 4 следует, что порождающие характеристики

S^κ(τ,x,v,0) не пе-

ресекаются с границей ∂Q × R³ при τ ∈ [0, τ₁], т.е.

S^κ(τ,x,v,0) = S^κ(τ,x,v,0), τ ∈ [0,τ₁].

Поэтому в силу условия 5 мы можем записать уравнение характеристик (36) в виде

⎛

⎞

κ (τ)

βe

∇_xϕ_κ(Xβκ,τ) +

⎝_-b

⎠_V β

(τ), τ ∈ (0, τ₁).

dτ

m_β

m_βc

Следовательно,

(

)

d Vβκ,1(τ)

βeb

⁽π⁾⁽Vβκ,1(τ)⁾

βe

∇(x1,x₂)ϕκ(X^κ,τ), τ ∈ (0,τ1).

dτ Vβκ,2(τ)

⁺m_βcR

V βκ,2(τ)

m_β

(

βeb

⁽π⁾⁾

Умножив последнее уравнение на exp τ

, получим равенство

m_βc

[ (

βeb

⁽π⁾⁾⁽Vβκ,1(τ)^)]

exp τ

dτ

m_βc

V βκ,2(τ)

(

βe

βeb

⁽π⁾⁾

exp τ

∇(x1,x₂)ϕκ(X^κ,τ), τ ∈ (0,τ1).

(92)

m_β

m_βc

Проинтегрировав (92) от 0 до t, t ∈ (0, τ₁), будем иметь

)

(

)

∫

(

βeb

⁽π⁾⁾⁽Vβκ,1(t)

v₁

βe

βeb

⁽π⁾⁾

exp t

exp τ

∇(x1,x₂)ϕκ(X^κ,τ)dτ.

m_βc

V βκ,2(t)

v₂

m_β

m_βc

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№ 11

2023

О СУЩЕСТВОВАНИИ ГЛОБАЛЬНЫХ СЛАБЫХ РЕШЕНИЙ

1495

Из леммы 11 (см. п. e)) следует, что

(

) (

)

(

)

βeb

⁽π⁾⁾

βeb

exp τ

= exp τ

cos

R τ

sin

=R τ

m_βc

Умножив предыдущее уравнение на R(-tβeb/(m_β c)), получим

(

)

(

)(

)

∫

(

)

V βκ,1(t)

βeb

v₁

βe

βeb

= R -t

R (τ - t)

∇(x1,x₂)ϕκ(X^κ,τ)dτ.

Vβκ,2

(t)

m_βc

v₂

m_β

m_βc

Поэтому из (35) имеем

(

)

(

)

Xβκ,1(τ₁)

x₁

+I₁ +I₂,

(93)

Xβκ,2(τ₁)

x₂

где

∫τ1

(

)(

)

∫

τ₁

∫

(

)

βeb

v₁

βe

βeb

I₁ =

R -t

dt, I₂ = -

R (τ - t)

∇(x1,x₂)ϕκ(X^κ,τ)dτdt.

m_βc

v₂

m_β

m_βc

Вычислим I₁ и I₂. В силу леммы 11 (см. п. c)) мы имеем

(

)

( (

))

βeb

m_βc d

βeb

R -t

m_βc

βeb dt

m_βc

Отсюда

[

(

)]

(

)

{ (

)

(

)}(

)

m_βc

βeb

t=τ1

v₁

m_βc

βeb

v₁



I₁ =

- R -t

-R -τ₁

+R -



v₂

βeb

m_βc

βeb

m_βc

t=0

{

(

)

} (

)( )

m_βc

βeb

v₁

-R -τ₁

+ R(0) R -

βeb

m_βc

v₂

(

)

(

)

⎛

⎞

βeb

1 - cos τ₁

- sin τ₁

(

)(

)

⎜

m_βc

⎟

m_βc

v₁

⎜

⎟

)

(

)

⎝ (

⎠ -1 0

v₂

βeb

sin τ₁

1 - cos τ₁

m_βc

(

)

(

)

⎛

⎞

βeb

sin τ₁

1 - cos τ₁

(

)

⎜

m_βc

⎟

m_βc

v₁

⎜

⎟

(

))

(

)

⎝ (

⎠

v₂

βeb

− 1 - cos τ₁

sin τ₁

m_βc

(

)

(

))

⎛

⎞

β sin τ₁

v₁ +

1 - cos τ₁

v₂

m_βc

⎜

m_βc

⎟

⎜

⎟

(

))

(

)

⎝ (

⎠^.

βeb

− 1 - cos τ₁

v₁ + β sin τ₁

v₂

m_βc

Таким образом,

((

(

)

(

))

)₂

m_βc

|I₁| =

β sin τ₁

v₁ +

1 - cos τ₁

v₂

m_βc

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№ 11

2023

1496

СКУБАЧЕВСКИЙ

( (

(

))

(

)

)₂)1/2

+ - 1 - cos τ₁

v₁ + β sin τ₁

v₂

m_βc

(

((

(

))₂

(

)))1/2

m_βc

(v²¹ + v²)

1 - cos τ₁

+ sin²

m_βc

τ₁ m_βc

(

))1/2

m_βc

√

|v|

1 - cos τ₁

≤

m₊₁|v|.

(94)

m_βc

С другой стороны, используя лемму 11 (см. п. c)), видим, что

∫

τ₁

{∫τ1

(

)

}

βe

βeb

I₂ = -

R (τ - t)

∇(x1,x₂)ϕκ(X^κ,τ)dτ =

m_β

m_βc

∫

τ₁

{ (

)

} (

)

βeb

R (τ - τ₁)

- R(0) R -

∇(x1,x₂)ϕκ(X^κ,τ)dτ =

m_βc

⎛

(

)

(

)⎞

⎛

⎞

∫

τ₁

cos (τ - τ₁)

-1

-β sin (τ - τ₁)

(

∂ϕ_κ(X^κ,τ)

⎜

m_βc

⎟

1)⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

∂x₁

⎟

(

)

(

)

τ =

⎝

⎠d

⎠ -1 0

∂ϕ_κ(X^κ,τ)

β sin (τ - τ₁)

cos (τ - τ₁)

-1

m_βc

∂x₂

⎛

(

)

(

)

⎞⎛

⎞

∫

τ₁

β sin (τ - τ₁)

cos (τ - τ₁)

-1

∂ϕ_κ(X^κ,τ)

⎜

m_βc

⎟⎜

⎟

⎜

⎟⎜

∂x₁

⎟

(

)

(

)

τ =

⎝

⎠⎝

⎠ d

∂ϕ_κ(X^κ,τ)

1 - cos (τ - τ₁)

β sin (τ - τ₁)

m_βc

∂x₂

⎛

(

)

⎞

⁾∂ϕ_κ(Xβκ,τ)

∫

τ₁

β sin (τ - τ₁)

+ cos (τ - τ₁)

-1

⎜

⎟

⎜

m_βc

∂x₁

m_βc

∂x₂

⎟

⎜

(

⎟

dτ.

⎝

⁾⁾∂ϕ_κ(Xβκ , τ)

⁾∂ϕ_κ(Xβκ,τ)⎠

1 - cos (τ - τ₁)

+ β sin (τ - τ₁)

m_βc

∂x₁

m_βc

∂x₂

Тогда аналогично (94) имеем

∫

τ₁

(((

(

))₂

(

))

|I₂| =

1- cos (τ-τ₁)

+sin2 (τ - τ1)

m_βc

)₂

⁽⁽∂ϕ_κ(Xβκ , τ)

⁽∂ϕ_κ(Xβκ,τ))2))1/2 dτ =

∂x₁

∂x₂

∫

τ₁

((

(

))₂

(

))1/2

1- cos (τ-τ₁)

+sin2 (τ - τ1)

|∇(x1,x₂)ϕκ(X^κ , τ)| dτ ≤

m_βc

∫

τ₁

≤

|∇(x1,x₂)ϕκ(X^κ , τ)| dτ ≤

T |||∇ϕ_κ|||0,T .

(95)

Из (90), (93)-(95) и теоремы 4 следует, что

= |Xβ′κ (τ1, x, v, 0) - x^′| ≤ |I1| + |I2| ≤ 2ceb(ρm+1 + eT |||∇ϕκ|||0,T ) ≤

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№ 11

2023

О СУЩЕСТВОВАНИИ ГЛОБАЛЬНЫХ СЛАБЫХ РЕШЕНИЙ

1497

≤

(ρm₊₁ + ek₁T max ∥fβ∥).

(96)

С другой стороны, (84) влечёт за собой неравенство

(ρm₊₁ + ek₁T max∥fβ∥) <δ

κ (τ, x, v, 0)-x^′| < δ/2

для всех τ ∈ [0, T ).

2. В силу леммы 10 |

ϕ (x, v, t)| < ρ1 для всех x^′ ∈ Gδ′ , v ∈ Bρ и t ∈ [0, T ). Лемма

доказана.

Аналогично лемме 12 можно доказать следующее утверждение.

Лемма 13. Пусть выполняются условие 2 и условия 4, 5 с константой k₁ = c₃/κ³, где

c₃ > 0 - постоянная из неравенства (76).

Тогда порождающие характеристики

S^κ(τ,x,v,t), (x,v,t) ∈ Λ₁, 0 ≤ τ < t < T, сгла-

женной системы (35), (36) для каждого 0 < κ < 1 обладают следующими свойствами: если

x^′ ∈ G_δ′ , δ^′ ≥ δ, v ∈ Bρ1, то на полуинтервале [0,t) не существует моментов отражения

tβ-1

и | Xκ′(τ,x,v,t) - x^′| < δ/2,

κ (τ, x, v, t) ∈ Bρ₂ для всех 0 ≤ τ < T, где

ek₁T

ρ₂ = ρ₁ +

max ∥fβ∥.

m-1

Если же выполняются условия 2, 3 и условия 4, 5 с константой k₁ = c₄, где c₄ >

> 0 - постоянная из неравенства (77), не зависящая от κ, то порождающие характе-

ристики

S^κ(τ,x,v,t), (x,v,t) ∈ Λ₁, 0 ≤ τ < t < T, системы (35), (36) удовлетворяют тем

же свойствам равномерно по всем 0 < κ < 1.

Обозначим D¹⁰ = D¹⁰(κ) := (Q3δ/2

^⋃Bλ1) × Bρ1, где λ₁ = λ + Tρ₁.

Лемма 14. Пусть выполняются условия 2 и 4, 5 с константой k₁ = c₃/κ³, где c₃ > 0 -

постоянная из неравенства (76).

Тогда для каждого 0 < κ < 1 имеем

suppfβ

Sβκ(0,x,v,t)) ⊂ D¹⁰(κ),

0<t<T.

Если же выполняются условия 2, 3 и условия 4, 5 с константой k₁ = c₄, где c₄ > 0 -

постоянная из неравенства (77), не зависящая от κ, то для всех 0 < κ < 1

suppfβ

Sβκ(0,x,v,t)) ⊂ D¹⁰,

0≤t≤T,

где D¹⁰ не зависит от κ.

Доказательство. В силу леммы 12 и замечания 4 достаточно показать, что S^κ (t, x, v, 0) =

S^κ(t,x,v,0) ∈ D¹⁰ для всех (x,v) ∈ sup

f^β, (x,v,0)∈Λ₃. Согласно условию 2 sup

f^β ⊂ D₀.

Тогда из леммы 12 следует, что S^κ(t, x, v, 0) ∈ Q3δ/2 × Bρ1 . По условию x ∈ B_λ, поэтому, так

как |

κ (t, x, v, 0)| < ρ1, 0 < t < T, из равенства λ1 = λ + Tρ1 получим соотношения

∫t

|Xβκ (t, x, v, 0)| ≤ |x| +

|Vβκ(τ, x, v, 0)| dτ < λ₁.

Лемма доказана.

Определим функцию

κ (x, v, t) по формуле

{

^β(S^κ (0, x, v, t)), (x, v) ∈ D¹⁰,

0≤t<T,

fβκ(x,v,t) =

(97)

(x, v) ∈ (Q × R³) \ D¹⁰,

0≤t<T.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№ 11

2023

1498

СКУБАЧЕВСКИЙ

В силу леммы 13 sup

f^β(S^κ(0,x,v,t)) ⊂ D¹⁰. Следовательно, используя метод характери-

стик, непрерывную дифференцируемость отображения S^κ(0, x, v, t) по x, v, t и условие 2,

мы видим, что существует единственное классическое решение задачи (26), (30)-(32) с усло-

виями (33), (34) в C¹(Q × R³ × [0, T )) с носителем по x, v в D¹⁰. Это решение определяется

формулой (97).

Теорема 5. Пусть выполнены условия 2-5. Тогда существует слабое решение {f^β}, β =

= ±1, системы (52)-(55), при этом supp_x,vf^β(x,v,t) ⊂D10 для всех t ∈ [0,T).

Доказательство. В силу теоремы 3 существует слабое решение {f^β}, β = ±1, зада-

чи (52)-(55). По лемме 6 найдётся подпоследовательность

κn ⇀ f^β в (Lp(Q × R³), σ(p, p^′)),

где p, p^′ ∈ [1, ∞], 1/p + 1/p′ = 1, равномерно по t ∈ I при n → ∞. Отсюда следует, что для

любой функции ψ ∈C1(Q × R³)

∫

fβκ

(x, v, t)ϕ(x, v) dx dv →

f^β(x,v,t)ϕ(x,v)dxdv

Q×R³

при κ_n → 0 равномерно по t ∈ I.

Пусть теперь ϕ ∈C1(Q × R³) - произвольная функция такая, что ϕ(x, v) = 0 при (x, v) ∈

∈D¹⁰. По доказанному supp_x,v

κn (x, v, t) ⊂D0, t ∈ I. Следовательно,

∫

fβκ

(x, v, t)ϕ(x, v) dx dv = 0

Q×R³

для всех указанных ϕ. Таким образом,

supp_x,vf^β(x,v,t) ⊂D10, t ∈ I.

Теорема доказана.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда (проект 22-21-

00392).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Власов А.А. О вибрационных свойствах электронного газа // Журн. эксп. и теор. физики. 1938.

Т. 8. № 3. С. 291-318.

2. Власов А.А. Теория многих частиц. М., 1950.

3. Ландау Л.Д. О колебаниях электронной плазмы // Журн. эксп. и теор. физики. 1946. Т. 16. С. 574-

586.

4. Вопросы теории плазмы / Под ред. М.А. Леонтовича и Б.Б. Кадомцева. Вып. 11. М., 1982.

5. Курс теоретической физики / Под ред. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшица. Т. 10. Физическая кинетика.

М., 1979.

6. Миямото К. Основы физики плазмы и управляемого синтеза. М., 2007.

7. Alexandre R. Weak solutions of the Vlasov-Poisson initial boundary value problem // Math. Meth. Appl.

Sci. 1993. V. 16. № 8. P. 587-607.

8. Арсеньев А.А. Существование в целом слабого решения системы уравнений Власова // Журн.

вычислит. математики и мат. физики. 1975. Т. 15. № 1. С. 136-147.

9. Арсеньев А.А. О существовании обобщённых и стационарных статистических решений системы

уравнений Власова в ограниченной области // Дифференц. уравнения. 1979. Т. 15. № 7. С. 1253-

1266.

10. Bardos C., Degond P. Global existence for the Vlasov-Poisson equation in 3 space variables with small

initial data // Ann. Inst. H. Poincaré, Anal. Non Linéare. 1985. V. 2. № 2. P. 101-118.

11. Batt J. Global symmetric solutions of the initial value problem of stellar dynamics // J. Differ. Equat.

1977. V. 25. № 3. P. 342-364.

12. Ben Abdallah N. Weak solutions of the initial-boundary value problem for the Vlasov-Poisson system

// Math. Meth. Appl. Sci. 1994. V. 17. № 6. P. 451-476.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№ 11

2023

О СУЩЕСТВОВАНИИ ГЛОБАЛЬНЫХ СЛАБЫХ РЕШЕНИЙ

1499

13. Di Perna R.J., Lions P.L. Solutions globales d’équations du type Vlasov-Poisson // C. R. Acad. Sci.

Paris. Sér. I Math. 1988. V. 307. № 12. P. 655-658.

14. Добрушин Р.Л. Уравнения Власова // Функц. анализ и его прилож. 1979. Т. 13. № 2. С. 48-58.

15. Guo Y. Regularity for the Vlasov equations in a half space // Indiana Univ. Math. J. 1994. V. 43. № 1.

P. 255-320.

16. Horst E., Hunze R. Weak solutions of the initial value problem for the unmodified nonlinear Vlasov

equation // Math. Meth. Appl. Sci. 1984. V. 6. № 1. P. 262-279.

17. Hwang H.J., Velázquez J.J.L. On global existence for the Vlasov-Poisson system in a half space // J.

Differ. Equat. 2009. V. 247. № 6. P. 1915-1948.

18. Козлов В.В. Обобщённое кинетическое уравнение Власова // Успехи мат. наук. 2008. Т. 63. № 4.

С. 93-130.

19. Lions P.L., Perthame B. Propagation of moments and regularity for the 3-dimensional Vlasov-Poisson

system // Invent. Math. 1991. V. 105. № 1. P. 415-430.

20. Маслов В.П. Уравнения самосогласованного поля // Соврем. проблемы математики. М., 1978. Т. 11.

С. 153-234.

21. Mouhot C., Villani C. On Landau damping // Acta Math. 2011. V. 207. № 1. P. 29-201.

22. Pfaffelmoser K. Global classical solutions of the Vlasov-Poisson system in three dimensions for general

initial data // J. of Differ. Equat. 1992. V. 95. № 2. P. 281-303.

23. Schäffer J. Global existence of smooth solutions to the Vlasov-Poisson system in three dimensions

// Comm. Part. Differ. Equat. 1991. V. 16. № 8-9. P. 1313-1335.

24. Weckler J. Zum Anfangs-Randwertproblem des Vlasov-Poisson-Systems. Dissertation, Universität Mün-

chen, 1994.

25. Weckler J. On the initial-boundary-value problem for the Vlasov-Poisson system: existence of weak

solutions and stability // Ach. Rational Mech. Anal. 1995. V. 130. № 2. P. 145-161.

26. Скубачевский А.Л. Об однозначной разрешимости смешанных задач для системы уравнений

Власова-Пуассона в полупространстве // Докл. АН СССР. 2012. Т. 443. № 4. С. 431-434.

27. Скубачевский А.Л. Смешанные задачи для уравнений Власова-Пуассона в полупространстве // Тр.

Мат. ин-та им. В.А. Стеклова. 2013. Т. 283. С. 204-232.

28. Skubachevskii A.L. Nonlocal elliptic problems in infinite cylinder and applications // Discrete and

Continuous Dynamical Systems. Ser. S. 2016. V. 9. № 3. P. 847-868.

29. Скубачевский А.Л., Tsuzuki Y. Классические решения уравнений Власова-Пуассона с внешним

магнитным полем в полупространстве // Журн. вычислит. математики и мат. физики. 2017. Т. 57.

№ 3. С. 536-552.

30. Беляева Ю.О., Скубачевский А.Л. Об однозначной разрешимости первой смешанной задачи для

системы уравнений Власова-Пуассона в бесконечном цилиндре // Зап. науч. сем. ПОМИ. 2018.

Т. 477. С. 12-34.

31. Belyaeva Yu.O., Gebhard B., Skubachevskii A.L. A general way to confined stationary Vlasov-Poisson

plasma configurations // Kinetic and Related Models. 2021. V. 14. № 2. P. 257-282.

32. Скубачевский А.Л. Априорная оценка решений смешанной задачи для системы уравнений Власова-

Пуассона с однородным внешним магнитным полем // Дифференц. уравнения. 2022. Т. 58. № 12.

С. 1683-1687.

33. Grüter M., Widmann K.-O. The Green function for uniformly elliptic equations // Manuscripta

Mathematica. 1982. V. 37. P. 303-342.

34. Гилбарг Д., Трудингер Н. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными

второго порядка. М., 1989.

Российский университет дружбы народов

Поступила в редакцию 20.08.2023 г.

имени Патриса Лумумбы, г. Москва,

После доработки 29.08.2023 г.

Московский центр фундаментальной

Принята к публикации 20.09.2023 г.

и прикладной математики

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№ 11

2023