ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2023, том 59, № 11, с. 1515-1521
ТЕОРИЯ УПРАВЛЕНИЯ
УДК 517.977.5
О СВЯЗИ ПРИНЦИПА МАКСИМУМА ПОНТРЯГИНА
И УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА-ЯКОБИ-БЕЛЛМАНА
В ЗАДАЧАХ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ
СИСТЕМАМИ ДРОБНОГО ПОРЯДКА
© 2023 г. М. И. Гомоюнов
Рассматривается задача оптимального управления динамической системой, движение ко-
торой описывается дифференциальным уравнением с дробной производной Капуто, на
минимум терминального показателя качества. Изучается связь между необходимым усло-
вием оптимальности в форме принципа максимума Понтрягина и уравнением Гамильтона-
Якоби-Беллмана с так называемыми дробными коинвариантными производными. Дока-
зывается, что сопряжённая переменная из принципа максимума Понтрягина совпадает с
точностью до знака с дробным коинвариантным градиентом функционала оптимального
результата, вычисленным вдоль оптимального движения.
DOI: 10.31857/S0374064123110067, EDN: PEGKMT
1. Постановка задачи. Пусть α ∈ (0, 1), T > 0 и n, m ∈ N. Рассмотрим динамическую
систему, движение которой описывается дифференциальным уравнением
(CDαx)(τ) = f(τ,x(τ),u(τ))
(1)
при начальном условии
x(0) = x0.
(2)
Здесь τ ∈ [0, T ] - время, x(τ) ∈ Rn и u(τ) ∈ U ⊂ Rm - состояние системы и управляющее
воздействие в момент времени τ соответственно, x0 ∈ Rn - начальное состояние системы,
(CDαx)(τ) - левосторонняя дробная производная Капуто порядка α от функции x(·) в точке
τ, определяемая равенством (см., например, [1, раздел 2.4; 2, раздел 3])
τ
∫
1
d
x(ξ) - x(0)
(CDαx)(τ) =
dξ,
Γ(1 - α) dτ
(τ - ξ)α
0
где Γ - гамма-функция. Целью управления является минимизация показателя качества
J = σ(x(T)),
(3)
где x(T ) - терминальное состояние системы.
Всюду в статье предполагаем выполненными следующие условия:
(a) множество U является компактным подмножеством пространства Rm;
(b) функция f : [0, T ]×Rn ×Rm → Rn непрерывна и имеет непрерывные частные производ-
ные по первым двум переменным ∂τ f : [0, T ] × Rn × Rm → Rn и ∂xf : [0, T ] × Rn × Rm → Rn×n;
(c) для любого компактного множества K ⊂ Rn × Rm существует число λ ≥ 0 такое, что
∥f(τ, x, u) - f(τ, x′, u′)∥ ≤ λ(∥x - x′∥ + ∥u - u′∥), τ ∈ [0, T ], (x, u), (x′, u′) ∈ K;
(d) существует число c ≥ 0 такое, что
∥f(τ, x, u)∥ ≤ c(1 + ∥x∥), τ ∈ [0, T ], x ∈ Rn, u ∈ U;
(e) функция σ : Rn → R непрерывно дифференцируема.
1515
1516
ГОМОЮНОВ
Отметим, что пространство Rn (и аналогично Rm) рассматривается со стандартным ска-
лярным произведением 〈 · , · 〉 и евклидовой нормой ∥ · ∥, а пространство Rn×n, состоящее из
матриц размера n × n, - с соответствующей подчинённой (операторной) нормой.
Через ACα([0, T ], Rn) обозначим множество функций x: [0, T ] → Rn, каждая из которых
для некоторой своей измеримой (относительно меры Лебега на [0, T ]) и существенно ограни-
ченной функции g : [0, T ] → Rn представима в виде (см., например, [3, определение 2.3])
τ
∫
1
g(ξ)
x(τ) = x(0) +
dξ, τ ∈ [0, T ].
Γ(α)
(τ - ξ)1-α
0
Здесь второе слагаемое - левосторонний дробный интеграл Римана-Лиувилля порядка α от
функции g(·) в точке τ (см., например, [3, определение 2.1]).
Допустимым управлением считаем любую измеримую функцию u: [0, T ] → U. Множество
всех таких управлений u(·) обозначим через U(0, T ). Движение системы (1), (2), отвечающее
управлению u(·) ∈ U(0, T ), определим как функцию x(·) ∈ ACα([0, T ], Rn), которая удовле-
творяет начальному условию (2) и дифференциальному уравнению (1) при почти всех (п.в.)
τ ∈ [0,T]. Согласно, например, [4, теорема 2] (см. также [5, утверждение 2]) такое движение
x(·) = x(· ; u(·)) существует и единственно. Задача оптимального управления (1)-(3) состоит
в том, чтобы найти управление u0(·) ∈ U(0, T ), для которого имеет место равенство
σ(x(T ; u0(·))) =
inf
σ(x(T ; u(·))).
u(·)∈U(0,T )
Такое управление u0(·) и отвечающее ему движение x0(·)=x(· ; u0(·)) назовём оптимальными.
2. Принцип максимума Понтрягина. Сформулируем необходимое условие оптималь-
ности в задаче (1)-(3) в форме принципа максимума Понтрягина (подробнее см. в [6]).
Пусть u0(·) ∈ U(0, T ) - оптимальное управление, а x0(·) = x(· ; u0(·)) - соответствующее
оптимальное движение. Рассмотрим интегральное уравнение (сопряжённое уравнение)
T
∫
∂xσ(x0(T))
1
∂xf(ξ,x0(ξ),u0(ξ))тp(ξ)
p(τ) = -
+
dξ, τ ∈ [0, T ),
(4)
Γ(α)(T - τ)1-α
Γ(α)
(ξ - τ)1-α
τ
где ∂xσ(x0(T )) - вектор частных производных функции σ, вычисленных в точке x0(T ), верх-
ний индекст обозначает транспонирование. Пусть C1-α([0, T ), Rn) - множество непрерывных
функций p: [0, T ) → Rn, для каждой из которых существует своё число R ≥ 0 такое, что
(T - τ)1-α∥p(τ)∥ ≤ R, τ ∈ [0, T ).
Решение интегрального уравнения (4) определим как удовлетворяющую этому уравнению
функцию p(·) ∈ C1-α([0, T ), Rn). Согласно, например, [4, теорема 1] и [7, теорема 5.3] (см.
также [8, утверждение 1]) такое решение p(·) существует и единственно. Отметим, что в ра-
боте [6] вместо интегрального уравнения (4) рассматривается эквивалентная ему задача Коши
для дифференциального уравнения с правосторонней дробной производной Римана-Лиувилля
порядка α при подходящем краевом условии, заданном в терминальный момент времени T.
Теорема 1. Пусть u0(·) - оптимальное управление в задаче (1)-(3), x0(·) - отвечающее
ему оптимальное движение системы (1), (2). Тогда выполнено условие максимума
〈p(τ), f(τ, x0(τ), u0(τ))〉 = max〈p(τ), f(τ, x0(τ), u)〉 при п.в. τ ∈ [0, T ],
u∈U
где p(·) - решение сопряжённого уравнения (4).
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№ 11
2023
О СВЯЗИ ПРИНЦИПА МАКСИМУМА ПОНТРЯГИНА
1517
3. Уравнение Гамильтона-Якоби-Беллмана. Начнём с определения функционала оп-
тимального результата в задаче оптимального управления (1)-(3) (подробнее см. в [9]). Рас-
смотрим метрическое пространство (G, ρG), где множество G состоит из пар (t, w(·)) таких,
что t ∈ [0, T ] и w(·) ∈ ACα([0, t], Rn), а метрика ρG задаётся равенством
ρG((t,w(·)),(t′,w′(·))) = |t - t′| + max ∥w(min{τ,t}) - w′(min{τ,t′})∥, (t,w(·)),(t′,w′(·)) ∈ G.
τ ∈[0,T ]
Точки (t, w(·)) ∈ G считаем допустимыми позициями системы (1), при этом функцию w(·)
трактуем как историю движения этой системы на промежутке [0, t]. Пусть зафиксирована
позиция (t, w(·)) ∈ G. Обозначим через U(t, T ) множество допустимых управлений на про-
межутке [t, T ], состоящее из измеримых функций u: [t, T ] → U. Под движением системы
(1), отвечающим позиции (t, w(·)) и управлению u(·) ∈ U(t, T ), понимаем функцию x(·) ∈
∈ ACα([0, T ], Rn), удовлетворяющую начальному условию
x(τ) = w(τ), τ ∈ [0, t],
(5)
и дифференциальному уравнению (1) при п.в. τ ∈ [t, T ]. Согласно, например, [5, утвержде-
ние 2] такое движение x(·) = x(· ; t, w(·), u(·)) существует и единственно. Тогда функционал
оптимального результата ϕ0 : G → R определим равенством
ϕ0(t,w(·)) =
inf
σ(x(T ; t, w(·), u(·))), (t, w(·)) ∈ G.
(6)
u(·)∈U(t,T )
Соответственно, управление u0(·), на котором достигается нижняя грань в данном выраже-
нии, назовём оптимальным для позиции (t, w(·)). Отметим, что приведённые построения со-
гласуются с исходной постановкой задачи (1)-(3), при этом начальному условию (2) отвечает
позиция (t, w(·)) ∈ G, где t = 0 и w(0) = x0.
Далее положим G0 = {(t, w(·)) ∈ G: t < T }. Следуя [9], функционал ϕ: G → R назовём
коинвариантно (ci) дифференцируемым порядка α в точке (t, w(·)) ∈ G0, если существуют
число ∂αtϕ(t, w(·)) ∈ R и вектор ∇αϕ(t, w(·)) ∈ Rn такие, что какова бы ни была функция
x(·) ∈ ACα([0, T ], Rn), удовлетворяющая условию (5), справедливо соотношение
∫
)
( ϕ(t + δ, xt+δ (·)) - ϕ(t, w(·))
1
lim
- ∂αt ϕ(t,w(·)) -
∇αϕ(t,w(·)),
(CDαx)(ξ)dξ
= 0,
δ→+0
δ
δ
t
где функция xt+δ(·) ∈ ACα([0, t + δ], Rn) - сужение функции x(·) на промежуток [0, t + δ].
Величины ∂αtϕ(t, w(·)) и ∇αϕ(t, w(·)) назовём ci-производной порядка α по переменной t и
ci-градиентом порядка α функционала ϕ в точке (t, w(·)) соответственно.
Рассмотрим задачу Коши для уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана
∂αtϕ(t,w(·)) + H(t,w(t),∇αϕ(t,w(·))) = 0, (t,w(·)) ∈ G0,
(7)
при краевом условии на правом конце
ϕ(T, w(·)) = σ(w(T )), w(·) ∈ ACα([0, T ], Rn).
(8)
Здесь искомым является функционал ϕ: G → R, а гамильтониан H задаётся равенством
H(τ, x, s) = min〈s, f(τ, x, u)〉, τ ∈ [0, T ], x, s ∈ Rn.
u∈U
Связь между задачей оптимального управления (1)-(3) и задачей Коши (7), (8) устанав-
ливает, в частности, следующий критерий (см. [9, теоремы 10.1 и 11.1]).
Теорема 2. Пусть функционал ϕ: G → R непрерывен, ci-дифференцируем порядка α в
каждой точке (t, w(·)) ∈ G0, и отображения ∂αtϕ: G0 → R и ∇αϕ: G0 → Rn непрерывны.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№ 11
2023
1518
ГОМОЮНОВ
Тогда для того чтобы функционал ϕ был функционалом оптимального результата в задаче
(1)-(3), необходимо и достаточно, чтобы он удовлетворял уравнению Гамильтона-Якоби-
Беллмана (7) и краевому условию (8).
В общем (негладком) случае функционал оптимального результата ϕ0 : G → R совпадает
с единственным обобщённым решением задачи Коши (7), (8) (подробнее см. в статье [10]).
4. Основной результат. Напомним конструкцию обобщённых управлений в задаче (1)-(3)
(см., например, [11, гл. IV; 12, раздел 6.1], а также [13]). Рассмотрим компактное метрическое
пространство (M, ρM ), где множество M состоит из (регулярных) вероятностных борелев-
ских мер на U, а метрика ρM такова, что для любой последовательности мер {μi}i∈N ⊂ M
и меры μ ∈ M сходимость ρM (μi, μ) → 0 при i → ∞ эквивалентна тому, что для любой
непрерывной функции a: U → R справедливо соотношение
∫
∫
lim
a(u)μi(du) = a(u)μ(du).
i→∞
U
U
Пусть зафиксирована позиция (t, w(·)) ∈ G. Обобщённым управлением на промежутке [t, T ]
назовём любую измеримую функцию μ: [t, T ] → M. Пусть M(t, T ) - множество всех таких
обобщённых управлений μ(·). Движение системы (1), отвечающее позиции (t, w(·)) и обоб-
щённому управлению μ(·) ∈ M(t, T ), определим как функцию x(·) ∈ ACα([0, T ], Rn), которая
удовлетворяет начальному условию (5) и дифференциальному уравнению
∫
(CDαx)(τ) = f(τ,x(τ),u)μ(τ)(du) при п.в. τ ∈ [t,T].
(9)
U
По аналогии со случаем управлений u(·) ∈ U(t, T ) такое движение x(·) = x(· ; t, w(·), μ(·))
существует и единственно. Отметим (см., например, [13, формула (37)]), что существует обоб-
щённое управление μ0(·) ∈ M(t, T ), для которого
σ(x(T ; t, w(·), μ0(·))) =
inf
σ(x(T ; t, w(·), μ(·))) = ϕ0(t, w(·)),
μ(·)∈M(t,T )
где ϕ0 - функционал оптимального результата (6). Такое обобщённое управление μ0(·) назо-
вём оптимальным для позиции (t, w(·)).
Сделаем теперь дополнительное предположение: для позиции (t=0, w(0)=x0) ∈ G, отве-
чающей начальному условию (2), оптимальное обобщённое управление μ0(·) ∈ M(0, T ) един-
ственно (с точностью до значений, принимаемых на множестве нулевой меры Лебега).
Пусть u0(·) ∈ U(0, T ) - оптимальное управление в задаче (1)-(3), x0(·) = x(· ; u0(·)) -
оптимальное движение системы (1), (2). В силу сделанного предположения при п.в. τ ∈ [0, T ]
выполняется равенство
μ0(τ) = δ(u0(τ)),
где δ(u0(τ)) - мера Дирака в точке u0(τ). В частности (см. (9)), движение x0(·) совпадает с
движением x(· ; 0, x0, μ0(·)), отвечающим оптимальному обобщённому управлению μ0(·). Кро-
ме того, из принципа динамического программирования в задаче (1)-(3) (см. [9, теорема 6.1]) и
полугруппового свойства движений системы (1) (см. [5, раздел 3.2]) вытекает, что для каждо-
го t ∈ [0, T ) сужение функции μ0(·) на промежуток [t, T ] будет единственным оптимальным
обобщённым управлением для позиции (t, x0t(·)) ∈ G, где x0t(·) - сужение функции x0(·) на
промежуток [0, t].
Тогда, применяя [13, теорема 9.1], получаем, что для любых t ∈ [0, T ) и ℓ ∈ Rn имеет
место соотношение
(ℓ)
ϕ0(t + δ,yt
(·)) - ϕ0(t, x0t(·))
+δ
lim
= 〈∂xσ(x0(T )), z(T )〉 + 〈Z(T )т∂xσ(x0(T )), ℓ〉.
(10)
δ→+0
δ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№ 11
2023
О СВЯЗИ ПРИНЦИПА МАКСИМУМА ПОНТРЯГИНА
1519
Здесь функция y(ℓ)(·) ∈ ACα([0, T ], Rn) задаётся равенствами y(ℓ)(τ) = x0(τ) при τ ∈ [0, t] и
∫
t
1
(CDαx0)(ξ)
(τ - t)αℓ
y(ℓ)(τ) = x0(0) +
dξ +
,
τ ∈ (t,T],
Γ(α)
(τ - ξ)1-α
Γ(α + 1)
0
функция y(ℓ)t+δ(·) - сужение функции y(ℓ)(·) на промежуток [0, t + δ], функция z(·) является
единственным в пространстве C1-α((t, T ], Rn) решением интегрального уравнения
∫t
∫τ
(1 - α)(T - τ)
(CDαx0)(ξ)
1
∂xf(ξ,x0(ξ),u0(ξ))z(ξ)
z(τ) = -
dξ +
dξ +
Γ(α)(T - t)
(τ - ξ)2-α
Γ(α)
(τ - ξ)1-α
0
t
∫τ
1
(T - ξ)∂τ f(ξ, x0(ξ), u0(ξ)) - αf(ξ, x0(ξ), u0(ξ))
+
dξ, τ ∈ (t, T ],
Γ(α)(T - t)
(τ - ξ)1-α
t
функция Z(·) - единственное в C1-α((t, T ], Rn×n) решение интегрального уравнения
∫τ
In
1
∂xf(ξ,x0(ξ),u0(ξ))Z(ξ)
Z(τ) =
+
dξ, τ ∈ (t, T ],
(11)
Γ(α)(τ - t)1-α
Γ(α)
(τ - ξ)1-α
t
где In ∈ Rn×n - единичная матрица. Через C1-α((t, T ], Rn) обозначено множество непрерыв-
ных функций z : (t, T ] → Rn, для каждой из которых существует число R ≥ 0 такое, что
(τ - t)1-α∥z(τ)∥ ≤ R, τ ∈ (t, T ].
Множество C1-α((t, T ], Rn×n) определяется аналогично.
Поскольку соотношение (10) выполнено для любого ℓ ∈ Rn, а функционал оптимального
результата ϕ0 удовлетворяет специальному условию липшицевости [10, лемма 1], то, рассуж-
дая по схеме доказательства [8, теорема 1] с опорой на [10, утверждение 3], можно показать,
что функционал ϕ0 является ci-дифференцируемым порядка α в точке (t, x0t(·)) и
∂αtϕ0(t,x0t(·)) = 〈∂xσ(x0(T)),z(T)〉,
∇αϕ0(t,x0t(·)) = Z(T)т∂xσ(x0(T)).
(12)
Положим
Δ = {(τ,η) ∈ [0,T] × [0,T]: τ ≥ η}
и, следуя [4] (см. также [14]), рассмотрим непрерывную функцию F : Δ → Rn×n, которая
при каждом фиксированном η ∈ [0, T ] является единственным непрерывным решением инте-
грального уравнения
τ
∫
1-α
In
(τ - η)
∂xf(ξ,x0(ξ),u0(ξ))F(ξ,η)
F (τ, η) =
+
dξ, τ ∈ [η, T ].
(13)
Γ(α)
Γ(α)
(τ - ξ)1-α(ξ - η)1-α
η
Заметим, что в силу связи между уравнениями (11) и (13) для любого τ ∈ (t, T ] справедливо
равенство
F (τ, t)
Z(τ) =
(τ - t)1-α
Таким образом, с учётом (12) имеем
F (T, t)т∂xσ(x0(T ))
∇αϕ0(t,x0t(·)) =
(14)
(T - t)1-α
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№ 11
2023
1520
ГОМОЮНОВ
Пусть p∗(τ) = -∇αϕ0(τ, x0τ(·)) для любого τ ∈ [0, T ). Так как согласно [4, теорема 7] (см.
также [14, утверждение 4.3]) для функции F выполняется соотношение
T
∫
1-α
In
(T - τ)
F (T, ξ)∂xf(ξ, x0(ξ), u0(ξ))
F (T, τ) =
+
dξ, τ ∈ [0, T ],
Γ(α)
Γ(α)
(T - ξ)1-α(ξ - τ)1-α
τ
то непосредственной подстановкой с использованием формулы (14) проверяется, что функция
p∗(·) удовлетворяет сопряжённому уравнению (4). Тогда, принимая во внимание включение
p∗(·) ∈ C1-α([0,T),Rn), приходим к выводу, что функция p∗(·) является единственным реше-
нием уравнения (4). Тем самым доказана
Теорема 3. Пусть u0(·) - оптимальное управление в задаче (1)-(3), x0(·) - отвечающее
ему оптимальное движение системы (1), (2), а функция p(·) - решение соответствующего
сопряжённого уравнения (4). Тогда при дополнительном предположении о том, что опти-
мальное обобщённое управление в задаче (1)-(3) единственно, имеет место равенство
p(τ) = -∇αϕ0(τ, x0τ (·)), τ ∈ [0, T ),
(15)
где x0τ(·) - сужение функции x0(·) на промежуток [0, τ], ∇αϕ0(τ,x0τ(·)) - ci-градиент по-
рядка α функционала оптимального результата ϕ0 в точке (τ, x0τ (·)).
Данная теорема выявляет связь между принципом максимума Понтрягина и уравнением
Гамильтона-Якоби-Беллмана в задаче (1)-(3). При этом равенство (15) выступает аналогом
соответствующего факта, известного в теории оптимального управления обыкновенными диф-
ференциальными системами (см., например, [15, § 9], а также [16, теорема 8.1]). Отметим, что
в наиболее простом случае доказательство этого факта проводится при дополнительном пред-
положении о том, что функция оптимального результата является дважды непрерывно диф-
ференцируемой, и опирается, в частности, на необходимое условие экстремума для функций,
определённых на пространстве состояний системы Rn, и теорему о независимости смешан-
ной производной от порядка дифференцирования. Однако следование этой стандартной схеме
рассуждений для обоснования равенства (15) в рассматриваемой задаче (1)-(3) осложняется
бесконечномерным характером системы (1) и спецификой ci-производных порядка α, вхо-
дящих в уравнение Гамильтона-Якоби-Беллмана (7). Поэтому была выбрана другая схема
рассуждений, близкая, например, к доказательству леммы II.7 в [17]. Наконец, подчеркнём,
что в дополнение к результатам работ [8-10, 13] теорема 3 служит ещё одним подтвержде-
нием того, что аппарат ci-производных порядка α является адекватным инструментом для
исследования задач управления системами дробного порядка.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда (проект 19-11-
00105).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Kilbas A.A., Srivastava H.M., Trujillo J.J. Theory and Applications of Fractional Differential Equations.
Amsterdam, 2006.
2. Diethelm K. The Analysis of Fractional Differential Equations: an Application-Oriented Exposition Using
Differential Operators of Caputo Type. Berlin, 2010.
3. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые
их приложения. Минск, 1987.
4. Bourdin L. Cauchy-Lipschitz theory for fractional multi-order dynamics: state-transition matrices,
Duhamel formulas and duality theorems // Differ. Integr. Equat. 2018. V. 31. № 7/8. P. 559-594.
5. Gomoyunov M.I. Solution to a zero-sum differential game with fractional dynamics via approximations
// Dyn. Games Appl. 2020. V. 10. № 2. P. 417-443.
6. Bergounioux M., Bourdin L. Pontryagin maximum principle for general Caputo fractional optimal control
problems with Bolza cost and terminal constraints // ESAIM Contr. Optim. Ca. 2020. V. 26. Art. 35.
7. Bourdin L. Weighted Hölder continuity of Riemann-Liouville fractional integrals - application to
regularity of solutions to fractional Cauchy problems with Carathéodory dynamics // Fract. Cal. Appl.
Anal. 2019. V. 22. № 3. P. 722-749.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№ 11
2023
О СВЯЗИ ПРИНЦИПА МАКСИМУМА ПОНТРЯГИНА
1521
8. Gomoyunov M.I. On differentiability of solutions of fractional differential equations with respect to initial
data // Fract. Calc. Appl. Anal. 2022. V. 25. № 4. P. 1484-1506.
9. Gomoyunov M.I. Dynamic programming principle and Hamilton-Jacobi-Bellman equations for fractio-
nal-order systems // SIAM J. Control Optim. 2020. V. 58. № 6. P. 3185-3211.
10. Гомоюнов М.И., Лукоянов Н.Ю. Дифференциальные игры в системах дробного порядка: неравен-
ства для производных функционала цены по направлениям // Тр. Мат. ин-та им. В.А. Стеклова.
2021. Т. 315. С. 74-94.
11. Варга Дж. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями. М.,
1977.
12. Krasovskii N.N., Subbotin A.I. Game-Theoretical Control Problems. New York, 1988.
13. Gomoyunov M.I. Sensitivity analysis of value functional of fractional optimal control problem with
application to feedback construction of near optimal controls // Appl. Math. Optim. 2023. V. 88. № 2.
Art. 41.
14. Gomoyunov M.I. On representation formulas for solutions of linear differential equations with Caputo
fractional derivatives // Fract. Calc. Appl. Anal. 2020. V. 23. № 4. P. 1141-1160.
15. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оп-
тимальных процессов. М., 1961.
16. Fleming W.H., Rischel R.W. Deterministic and Stochastic Optimal Control. New York, 1975.
17. Субботина Н.Н. Метод характеристик для уравнений Гамильтона-Якоби и его приложения в ди-
намической оптимизации // Совр. математика и её приложения. 2004. Т. 20. С. 1-129.
Институт математики и механики
Поступила в редакцию 26.05.2023 г.
имени Н.Н. Красовского УрО РАН,
После доработки 26.05.2023 г.
Уральский федеральный университет,
Принята к публикации 25.08.2023 г.
г. Екатеринбург
6
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№ 11
2023
