ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2023, том 59, № 11, с. 1561-1565
КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ
УДК 517.958
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ
МОДЕЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ НАВЬЕ-СТОКСА
В ТОНКОМ СЛОЕ
© 2023 г. Е. С. Болдырева
Исследуется существование и устойчивость периодических решений модельного уравнения
Навье-Стокса в тонком трёхмерном слое в зависимости от существования и устойчивости
периодических решений одного специального предельного двумерного уравнения.
DOI: 10.31857/S0374064123110110, EDN: PDGIXG
Введение. Уравнение Навье-Стокса является классической моделью исследований тече-
ния ньютоновской жидкости. Наиболее подробно уравнения Навье-Стокса исследованы в фун-
даментальных работах [1-3] и др.
Цель данной статьи - исследовать периодические по времени решения модельного уравне-
ния Навье-Стокса несжимаемой жидкости в тонкой трёхмерной области Q = Ω × (0, ε), где
Ω ∈ R2 - прямоугольник, ε - малый параметр. Для этого рассматривается трёхмерное урав-
нение Навье-Стокса, дополненное периодическими по пространственным переменным гранич-
ными условиями и уравнением несжимаемости.
Данная задача рассматривалась многими авторами (см., например, [4-8]). Постановка за-
дачи в тонком слое впервые была предложена в работе [4]. Модельная задача Навье-Стокса в
параллелепипеде рассматривается в [5], там же вводится понятие “приведённой” системы урав-
нений, которая является в некотором смысле предельной: это трёхмерная система функций,
зависящая от времени t и двух пространственных переменных, лежащих в области Ω. Два
уравнения этой системы являются двумерным уравнением Навье-Стокса в прямоугольнике, а
третье - линейное параболическое уравнение.
Отметим, что после замены переменных толщина ε сингулярно входит в систему урав-
нений. В настоящей работе осуществляются предельные переходы, которые идейно близки к
принципу усреднения (см. [9, 10]).
Дополнительным требованием является нулевое среднее по пространственным перемен-
ным исследуемых решений. На важность такого класса решений указано в работе [7]. При
выполнении этого требования в настоящей статье найдены условия, при которых наличие пе-
риодического решения у двумерного уравнения из “приведённой” системы влечёт за собой су-
ществование при малых ε периодических по t решений у трёхмерного уравнения. Более того,
установлено, что устойчивость по первому приближению периодического решения двумерного
уравнения Навье-Стокса в приведённой системе влечёт за собой при малых ε устойчивость
этих решений у трёхмерного уравнения.
1. Постановка задачи. Рассмотрим трёхмерное уравнение Навье-Стокса в тонком слое
∂U
- ν△U + (U · ▽)U + ▽P = F(t,x1,x2,x3),
▽ · U = 0,
(1)
∂t
где t > 0 и (x1, x2, x3) ∈ Ωε (Ωε = Ω × (0, ε), Ω ⊂ R2 - прямоугольник [0, l1] × [0, l2] и
ε > 0 - малая величина); функция U = (U1,U2,U3) - трёхмерная вектор-функция от пере-
менных (t, x1, x2, x3), которая является скоростью течения элемента в момент времени t в
точке (x1, x2, x3); коэффициент ν - кинематическая вязкость, ниже будем считать, что ν =
= 1; скалярная величина P = P (t, x1, x2, x3) - давление; F = F (t, x1, x2, x3) - внешняя сила,
предполагается T -периодической по переменной t.
Будем рассматривать уравнение (1) как эволюционное уравнение относительно скорости
U = (U1(t,x1,x2,x3),U2(t,x1,x2,x3),U3(t,x1,x2,x3)) и давления P = P(t,x1,x2,x3). Задача
1561
1562
БОЛДЫРЕВА
для уравнения (1) будет изучаться при наличии периодических по пространственным пере-
менным граничных условий
U (t, 0, x2, x3) = U(t, l1, x2, x3), Ux1 (t, 0, x2, x3) = Ux1 (t, l1, x2, x3),
U (t, x1, 0, x3) = U(t, x1, l2, x3), Ux2 (t, x1, 0, x3) = Ux2 (t, x1, l2, x3),
U (t, x1, x2, 0) = U(t, x1, x2, ε), Ux3 (t, x1, x2, 0) = Ux3 (t, x1, x2, ε),
(2)
где Ux1 , Ux2 , Ux3 - производные от функции U по x1, x2, x3 соответственно. Уравнение
(1) с краевыми условиями (2) можно интерпретировать как течение на трёхмерном тонком в
одном направлении торе.
Кроме того, при выполнении условия
∫
F dx = 0,
(3)
Q
как показано в [7], если в начальный момент времени
∫
U dx = 0,
(4)
Q
то все решения U будут обладать таким же свойством в любой момент времени.
Произведём в задаче (1), (2) следующую замену переменных:
x1 = x1, x2 = x2, x3 = εy,
u(t, x1, x2, y) = U(t, x1, x2, εy), p(t, x1, x2, y) = P (t, x1, x2, εy).
Тогда уравнение (1) примет вид
uε
-△εũε +
uε · ▽ε)ũε = Fε(t,x1,x2,εy),
(5)
dt
где ▽ε = (∂/∂x1, ∂/∂x2, ε-1∂/∂y) и △ε = (∂2/∂x21 + ∂2/∂x22 + ε-2∂2/∂y2) - сингулярные по ε
дифференциальные выражения, граничные условия (2) запишутся как
u(t, 0, x2, y) = u(t, l1, x2, y),
ux1 (t, 0, x2, y) = ux1 (t, l1, x2, y),
u(t, x1, 0, y) = u(t, x1, l2, y),
ux2 (t, x1, 0, y) = ux2 (t, x1, l2, y),
u(t, x1, x2, 0) = u(t, x1, x2, 1),
ux3 (t, x1, x2, 0) = ux3 (t, x1, x2, 1),
(6)
∫
∫
а условия (3) и (4) перейдут в условияQ ũε dx = 0 иQ Fε dx = 0 соответственно, где Q =
= (0, l1) × (0, l2) × (0, 1).
Обозначим через Aε оператор, порождённый эллиптическим дифференциальным выра-
жением △ε и граничными условиями (6), т.е. Aεu = -△εũε, а через Bε - оператор, опреде-
ляемый равенством Bεu = (ũε · ▽ε)ũε. Тогда, как показано в [11], для любого фиксированного
ε > 0 оператор Aε - сильно-позитивный в пространстве L2(Q), поэтому для него определены
e-Aεt и дробные степени A-αε, где -1 < -α < 0.
Используя стандартные замены с дробными степенями u = A-αε û (см. [11, 12]), уравне-
ние (5) сводится к следующему уравнению:
dû
+ Aεû = AαFε - Bεû.
(7)
dt
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№ 11
2023
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ
1563
Задача о T -периодических по t решениях уравнения (7) сводится к задаче о нахождении
неподвижных точек интегрального оператора (см. [11])
∫
T
∫
t
Φε(û)=e-Aεt(I -e-AεT )-1 Aαεe-Aε(T-s)(Fε -BεA-αεû(s))ds + Aαεe-Aε(t-s)(Fε -BεA-αεû(s))ds
0
0
в пространстве CT (L2(Q) - T -периодических по t функций со значениями в пространст-
ве L2(Q).
Будем предполагать, что неподвижные точки являются гладкими функциями, тогда от
интегрального уравнения
û = Φε(û) можно перейти к дифференциальному уравнению (7)
(см. [11]), т.е. если û - неподвижная точка оператора Φε, то Aαε u - решение уравнения (7).
Первым результатом данной работы является доказательство существования при малых
ε периодических по t решений rε. Затем с помощью линеаризации по В.И. Юдовичу [3]
исследуется устойчивость решений rε. Линеаризованное уравнение (см. [3]) имеет вид
u′ε - △εuε + (rε(t) · ▽ε)uε + (uε · ▽ε)rε(t) = 0.
Исследуем устойчивость периодических по t решений уравнения (7) с помощью спектральной
задачи
uε′ + Aεuε + Bε(t)uε + σεuε(t) = 0,
(8)
где uε(t) - T -периодическая по t функция, Bε(t)uε = (rε(t)·▽ε)uε + (uε ·▽ε)rε(t), а σε - спек-
тральный параметр. Для этого используем результат В.И. Юдовича об устойчивости, который
в наших обозначениях сформулируем как
Теорема 1. Для того чтобы периодическое решение rε уравнения (5) при малом ε было
асимптотически устойчивым, достаточно, чтобы уравнение (8) не имело нетривиальных
периодических решений при Reσε ≤ -σ0 < 0.
2. Приведённое уравнение Навье-Стокса. Предельный переход в операторе Φε при
ε → 0 описывается при помощи “приведённой” системы (см. [4, 6]):
(
)
∂v
∂2
∂2
(F01)
-
+
v + (v · ▽2)v =
,
∂t
∂x21
∂x22
F02
(
)
(
)
∂u3
∂2
∂2
∂
∂
-
+
u3 + v1
+v2
u3 = F03,
(9)
∂t
∂x21
∂x22
∂x1
∂x2
где u = (v1(t, x1, x2), v2(t, x1, x2), u3(t, x1, x2)), v = (v1(t, x1, x2), v2(t, x1, x2)), u3 = u3(t, x1, x2).
В (9) учтено, что функция F0(t, x1, x2) = F (t, x1, x2, 0) и является трёхмерной:
F0(t,x1,x2) = (F01(t,x1,x2),F02(t,x1,x2),F03(t,x1,x2)).
Рассмотрим систему уравнений (9) со следующими краевыми условиями:
u(t, 0, x2) = u(t, l1, x2), ux1 (t, 0, x2) = ux1 (t, l1, x2),
u(t, x1, 0) = u(t, x1, l2), ux2 (t, x1, 0) = ux2 (t, x1, l2).
(10)
Кроме того, будем предполагать, что выполнены равенства ▽2 · v = 0. Заметим, что если
∫
F0 dx = 0, то для периодических по t решений u выполнено тождество
Ω
∫
u(t, x1, x2) dx1 dx2 ≡ 0.
Ω
Обозначим через A0 оператор, порождённый эллиптическим дифференциальным выра-
жением △2 = ∂2/∂x21 + ∂2/∂x22 и граничными условиями (10).
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№ 11
2023
1564
БОЛДЫРЕВА
Для “приведённой” системы (9) задача об исследовании устойчивости (см. теорему 1) ре-
шений данной системы сводится к отсутствию периодических решений при σ ≥ σ0 с Re σ > 0
следующей спектральной задачи:
w
+A0
w
Aα0 B0A-α0
w+
w = 0,
(11)
∂t
∂w3
+A0w3 +Aα0B03A-α0w3 + σw3 = 0.
(12)
∂t
Системе (11), (12) соответствует действующий в пространстве CT (L2(Ω)) оператор Φ02 ,
задаваемый формулой
T
∫
Φ02 (w) = e-A0t(I - e-A0T )-1 Aα0e-A0(T-s)(B0(s) - σ)A-α0w(s)ds +
0
∫t
+ Aα0e-A0(t-s)(B0(s) - σ)A-α0w(s)ds.
0
Пусть M - проекция, полученная интегрированием по переменной y :
∫1
(Mu)(x1, x2, x3) = u(x1, x2, y) dy,
0
таким образом, Mu фактически не зависит от третьей переменной. Очевидно, M : L2(Q) →
→ L2(Q). В силу лемм 1, 2 из статьи [6] при ε → 0 оператор Φε(u) → Φ0(Mu), где Φ0(Mu)
определяется формулой
T
∫
Φ0(M û) = e-A0t(I - e-A0T )-1 Aα0e-A0(T-s)(F0 - B0A-α0M û)ds +
0
∫t
+ Aα0e-A0(t-s)(F0 - B0Aα0M û)ds.
0
При таком доопределении оператора Φε(u) при ε = 0 получившийся оператор Φε(u) будет
вполне непрерывным по совокупности переменных (ε, u).
Заметим, что неподвижные точки оператора Φ0(M û) являются функциями двух простран-
ственных переменных и поэтому совпадают с неподвижными точками Φ02 (u) в пространст-
ве CT (L2(Ω)).
3. Теоремы о существовании и устойчивости. Главным результатом данной работы
являются следующие теоремы.
Теорема 2. Пусть “приведённое” трёхмерное уравнение Навье-Стокса (9) имеет T -пе-
риодическое по t решение u0 такое, что спектральная задача, построенная по линеаризо-
ванному на первых двух компонентах решения u0 двумерного уравнения Навье-Стокса
∂q0
- △2q0 + (q0▽2)v0i (t) + (v0i (t)▽2)q0 = 0, i = 1,2,
∂t
в классе T -периодических по t решений, удовлетворяющих условиям (3), (4), не вырожде-
на. Тогда при малых ε трёхмерное уравнение Навье-Стокса (5) имеет периодические по t
решения rε и справедливо соотношение
(∫
)
sup
|rε(t, x1, x2, y) - u0(t, x1, x2)|2 dx1 dx2 dy
---→ 0.
t
ε→0
Q
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№ 11
2023
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ
1565
В доказательстве теоремы главную роль играет следующая вспомогательная лемма, име-
ющая и самостоятельный интерес.
Лемма. Пусть спектральная задача (12), построенная по линеаризованному на первых
двух компонентах решения u0 двумерного уравнения Навье-Стокса, в классе T -периодиче-
ских по t решений не вырождена при всех σ с Reσ ≥ 0. Тогда при том же σ спектральная
задача (11), (12), построенная по приведённой линеаризованной на решении u0 системе, то-
же не вырождена.
Теорема 3. Пусть спектральная задача (12), построенная по двумерному линеаризован-
ному на первых двух компонентах решения u0 уравнения Навье-Стокса, в классе T -перио-
дических по t решений не вырождена при Re σ ≤ -σ0 = 0, т.е. v0i(t), i = 1,2, является
асимптотически устойчивым решением двумерного уравнения Навье-Стокса (10). Тогда при
достаточно малом ε спектральная задача, построенная по трёхмерному линеаризованному
на решении rε уравнению (8), тоже не вырождена при Reσε ≤ -σ0 < 0, т.е. решение rε
будет асимптотически устойчивым решением уравнения (5).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Leray J. Etude de diverses equations integrales nonlineaires et de quelques problemes que pose
l’hydrodynamique // J. Math. Pures Appl. 1933. V. 12. P. 1-82.
2. Ладыженская О.А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М., 1970.
3. Юдович В.И. Метод линеаризации в гидродинамической теории устойчивости. Ростов, 1984.
4. Raugel G., Sell G. Navier-Stokes equations on thin 3FD domains. I: Global attractors and global
regularity of solutions // J. Amer. Math. Soc. 1993. V. 6. P. 503-568.
5. Raugel G., Sell G. Equations de Navier-Stokes dans des domaines minces endimension trois: regularite
globale // C. R. Acad. Sci. Paris. 1989. V. 309. P. 299-303.
6. Johnson R., Kamenskii M., Nistri P. On the existence of periodic solutions of the Navier-Stokes equations
in thin domain using the topological degree // J. of Dynamics and Differ. Equat. 2000. V. 12. № 4. P. 681-
712.
7. Foias C., Manley O., Rosa R., Temam R. Navier-Stokes Equations and Turbulence. Cambridge, 2009.
8. Звягин В.Г. Введение в топологические методы нелинейного анализа. Воронеж, 2014.
9. Левенштам В. Б. Обоснование метода усреднения для системы уравнений с оператором Навье-
Стокса в главной части // Алгебра и анализ. 2014. Т. 26. № 1. С. 94-127.
10. Гурова И.Н. Одно утверждение типа принципа родственности и вторая теорема Н.Н. Боголюбо-
ва в принципе усреднения параболических уравнений // Качественные и приближённые методы
исследования операторных уравнений. Ярославль, 1982. С. 47-58.
11. Красносельский М.А. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций. М., 1966.
12. Соболевский П.Е. О нестационарных уравнениях гидродинамики вязкой жидкости // Докл. АН
СССР. 1959. Т. 128. № 1. С. 45-48.
Воронежский государственный университет
Поступила в редакцию 02.09.2023 г.
После доработки 02.09.2023 г.
Принята к публикации 20.09.2023 г.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№ 11
2023
