ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2023, том 59, № 11, с. 1575-1588

ХРОНИКА

О СЕМИНАРЕ ПО КАЧЕСТВЕННОЙ ТЕОРИИ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

В МОСКОВСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ∗)

Ниже публикуются∗∗) аннотации докладов, заслушанных в осеннем семестре 2023 г. (пре-

дыдущее сообщение о работе семинара см. в журнале “Дифференц. уравнения”. 2023. Т. 59.

№ 6).

DOI: 10.31857/S0374064123110146, EDN: ORPMVN

А. Х. Сташ (Майкоп) “Об управлении суслинскими спектрами верхних сильных показа-

телей колеблемости знаков, нулей и корней линейных однородных дифференциальных урав-

нений” (15 сентября 2023 г.).

DOI: 10.31857/S0374064123110158, EDN: PFDCPP

Для заданного натурального n рассмотрим множество

Eⁿ линейных однородных уравне-

ний n-го порядка

y(n) + a₁(t)y(n-1) + ... + an-1(t) y + a_n(t)y = 0, t ∈ R₊ ≡ [0,+∞),

задаваемых наборами a ≡ (a₁, . . . , a_n): R₊ → Rⁿ непрерывных функций, с которыми в даль-

нейшем и будем отождествлять сами уравнения. Множество всех ненулевых решений уравне-

ния a

Eⁿ обозначим через S_∗(a). Далее звёздочкой снизу будем помечать любое линейное_⋃

пространство, в котором выколот нуль. Положим S^n∗ =a∈˜En S_∗(a).

Определение 1 [1]. Скажем, что в точке t > 0 происходит строгая смена знака функции

y: R₊ → R, если в любой проколотой окрестности этой точки функция y принимает как

положительные, так и отрицательные значения.

Определение 2 [1-3]. Для момента t > 0 и функции y ∈ S^n∗ введём обозначения:

ν^-(y,t) - число точек её строгой смены знака на промежутке (0,t];

ν⁰(y,t) - число её нулей на промежутке (0,t];

ν⁺(y,t) - число её корней (т.е. нулей с учётом их кратности) на промежутке (0,t].

Далее для вектора m ∈ R^n∗ и вектор-функции ψy ≡ (y, y, . . . , y(n-1)) введём обозначение

ν^γ(y,m,t) ≡ ν^γ(〈ψy,m〉,t), где γ ∈ {-,0,+} и 〈·,·〉 - скалярное произведение.

Определение 3 [1]. Верхние (нижние) частоты Сергеева знаков, нулей и корней функции

y ∈ S^n∗ зададим при γ ∈ {-,0,+} соответственно равенствами

(

)

ν^γ(y) ≡ lim

ν^γ(y,t)

ν^γ(y) ≡ lim

ν^γ(y,t)

t→+∞ t

t→+∞

Определение 4 [2, 3]. Верхние (нижние) сильный и слабый показатели колеблемости

знаков, нулей и корней функции y ∈ S^n∗ зададим при γ ∈ {-, 0, +} соответственно равенства-

ми

(

)

νγ•(y) ≡ inf

lim

ν^γ(y,m,t)

νγ• (y) ≡ inf lim

ν^γ(y,m,t) ,

m∈R^n∗

t→+∞

m∈R^n∗ t→+∞

(

)

νγ◦(y) ≡ lim

inf

ν^γ(y,m,t)

νγ◦ (y) ≡ lim

inf

ν^γ(y,m,t)

t→+∞

m∈R^n∗

m∈R^n∗ t

t→+∞

∗) Семинар основан В.В. Степановым в 1930 г., впоследствии им руководили В.В. Немыцкий, Б.П. Демидо-

вич, В.А. Кондратьев, В.М. Миллионщиков, Н.Х. Розов. В настоящее время руководители семинара - И.Н. Сер-

геев, И.В. Асташова, А.В. Боровских, учёный секретарь семинара - В.В. Быков, e-mail: vvbykov@gmail.com.

∗∗) Составитель хроники И.Н. Сергеев.

1575

1576

О СЕМИНАРЕ ПО КАЧЕСТВЕННОЙ ТЕОРИИ

Определение 5. Множество всех значений показателя κ: S_∗(a) → R ≡ R

^⊔ {-∞, +∞}

на нетривиальных решениях уравнения a

Eⁿ назовём спектром κ(S_∗(a)) этого показателя

уравнения a

Eⁿ.

Определение 6 [4, с. 489]. Множество A ⊂ R называется суслинским множеством пря-

мой R, если оно является непрерывным образом множества иррациональных чисел, рассмат-

риваемого в естественной топологии. Множество A ⊂ R - суслинское множество расширенной

числовой прямой, если оно представимо в виде объединения суслинского множества прямой

R и некоторого (возможно, пустого) подмножества множества R.

Все показатели колеблемости решений линейных однородных уравнений первого порядка

равны нулю, а для всех решений любого уравнения второго порядка все верхние (равно как и

нижние) показатели равны между собой, и их спектры состоят из одного значения [3].

В работе [5] доказано существование уравнения третьего порядка с периодическими коэф-

фициентами, спектры показателей колеблемости которого содержат конечные подмножества,

состоящие из сколь угодно большого наперёд заданного числа метрически и топологически су-

щественных значений, кроме того, построено линейное однородное дифференциальное уравне-

ние третьего порядка с переменными ограниченными коэффициентами, спектры показателей

колеблемости которого содержат одно и то же счётное множество метрически и топологиче-

ски существенных значений. В статье [6] приводится линейное однородное дифференциальное

уравнение третьего порядка с неограниченными коэффициентами, спектры показателей ко-

леблемости которого содержат один и тот же отрезок числовой прямой.

В работах [7, 8] доказано, что спектры верхних частот Сергеева знаков, нулей и корней

линейного дифференциального уравнения порядка выше двух являются суслинскими мно-

жествами неотрицательной полуоси расширенной числовой прямой. В предположении, что

спектры содержат точку нуль, верно и обратное утверждение [9], которое распространяется и

на верхние сильные показатели колеблемости знаков, нулей и корней, как показывает

Теорема. Для любого n > 2 и произвольного содержащего нуль суслинского множества

A⊂R₊ существует дифференциальное уравнение a

Eⁿ, удовлетворяющее равенствам

ν^-•(S_∗(a)) = ν0•(S_∗(a)) = ν+•(S_∗(a)) = ν^-(S_∗(a)) = ν⁰(S_∗(a)) = ν⁺(S_∗(a)) = A.

Литература. 1. Сергеев И.Н. Определение и свойства характеристических частот линейного урав-

нения // Тр. cем. имени И.Г. Петровского. 2006. Вып. 25. С. 249-294. 2. Сергеев И.Н. Определение

полных частот решений линейного уравнения // Дифференц. уравнения. 2008. Т. 44. № 11. С. 1577.

3. Сергеев И.Н. Характеристики колеблемости и блуждаемости решений линейной дифференциаль-

ной системы // Изв. РАН. Сер. мат. 2012. Т. 76. № 1. C. 149-172. 4. Куратовский К. Топология. Т. 1.

М., 1966. 5. Сташ А.Х. О существенных значениях характеристик колеблемости решений линейных

дифференциальных уравнений третьего порядка // Вестн. Адыгейского гос. ун-та. Сер. Естеств.-мат.

и техн. науки. 2013. Вып. 2 (119). С. 9-22. 6. Сташ А.Х. О существовании линейного дифференциаль-

ного уравнения третьего порядка с континуальными спектрами полной и векторной частот // Вестн.

Адыгейского гос. ун-та. Сер. Естеств.-мат. и техн. науки. 2013. Вып. 3 (122). С. 9-17. 7. Быков В.В.

О бэровской классификации частот Сергеева нулей и корней решений линейных дифференциальных

уравнений // Дифференц. уравнения. 2016. Т. 52. № 4. С. 419-425. 8. Барабанов Е.А., Войделевич А.С.

К теории частот Сергеева нулей, знаков и корней решений линейных дифференциальных уравнений.

II // Дифференц. уравнения. 2016. Т. 52. № 12. С. 1595-1609. 9. Войделевич А.С. О спектрах верхних

частот Сергеева линейных дифференциальных уравнений // Журн. Белорусского гос. ун-та. Матема-

тика. Информатика. 2019. № 1. С. 28-32.

А. Н. Ветохин (Москва) “К задаче Миллионщикова о классе Бэра минорант показателей

Ляпунова спустя 30 лет” (22 сентября 2023 г.).

DOI: 10.31857/S037406412311016X, EDN: PFDWLW

Напомним, что для заданных чисел n ∈ N и k ∈ {1, . . . , n} для систем вида

x = A(t)x, x ∈ R, t ∈ R₊ ≡ [0;+∞),

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№ 11

2023

О СЕМИНАРЕ ПО КАЧЕСТВЕННОЙ ТЕОРИИ

1577

с непрерывными ограниченными коэффициентами максимальная полунепрерывная снизу ми-

норанта k-го из показателей Ляпунова λ₁(A) ≤ . . . ≤ λ_n(A) определяется формулой

λ_k(A) ≡ lim

inf

λ_k(A + B).

ε→0

sup ∥B(t)∥<ε

t∈R₊

По метрическому пространству M и непрерывному ограниченному отображению

A : M × R₊ → EndRⁿ

(1)

построим функцию

μ → λ_k(A(μ,·)).

(2)

В работе [1] был поставлен вопрос о точном бэровском классе функции (2). В.М. Миллион-

щиков установил, что при любом n ∈ N и k = 1 миноранта младшего показателя Ляпунова

совпадает с нижним центральным показателем Винограда [2], и потому функция (2) принад-

лежит третьему бэровскому классу. Оказалось, что при n = 3 и k = 2, 3 функции λ_k(·)

принадлежат третьему бэровскому классу [3], аналогичный результат справедлив для произ-

вольных n ≥ 3 и k = 2, n [4].

В статье [5] в случае когда M есть множество B иррациональных чисел с естественной

метрикой числовой прямой установлено существование отображения (1), для которого функ-

ция (2) не принадлежит второму бэровскому классу. Этот результат обобщает

Теорема 1. Если пространство M содержит множество типа F_σδ, не являющееся

множеством типа G_δσ, то найдётся такое отображение (1), что функция (2) не принад-

лежит второму классу Бэра на пространстве M.

Р. Бэр установил [6], что множество иррациональных чисел, у которых неполные частные

при разложении в цепную дробь стремятся к бесконечности, является множеством типа F_σδ

и не является множеством типа G_δσ в пространстве B. Отсюда и из теоремы 1 вытекает

Теорема 2. Если M = [0, 1], n ≥ 2 и k ∈ {1, . . . , n-1}, то найдётся такое отображение

(1), что функция (2) не принадлежит второму классу Бэра на пространстве M.

Литература. 1. Миллионщиков В.М. Задачи о минорантах показателей Ляпунова // Дифференц.

уравнения. 1993. Т. 29. № 11. С. 2014-2015. 2. Миллионщиков В.М. Доказательство достижимости

центральных показателей // Сиб. мат. журн. 1969. Т. 10. № 1. С. 99-104. 3. Сергеев И.Н. К задаче

о классе Бэра минорант показателей Ляпунова // Дифференц. уравнения. 1995. Т. 31. № 9. С. 1600-

1601. 4. Быков В.В., Салов Е.Е. О классе Бэра минорант показателей Ляпунова // Вестн. Моск. ун-

та. Сер. 1. Математика. Механика. 2003. № 1. С. 33-40. 5. Ветохин А.Н. Класс Бэра максимальных

полунепрерывных снизу минорант показателей Ляпунова // Дифференц. уравнения. 1995. Т. 34. № 10.

С. 1313-1317. 6. Baire R. Sur la representation des functions discontinues // Acta. Math. 1906. V. 30.

P. 1-48.

И. Н. Сергеев (Москва) “Свойства мер устойчивости и неустойчивости нулевого решения

дифференциальной системы” (29 сентября 2023 г.).

DOI: 10.31857/S0374064123110171, EDN: PFGGTM

При n ∈ N для заданной области G ⊂ Rⁿ, содержащей нуль, рассмотрим дифференци-

альную систему

x = f(t,x), f(t,0) ≡ 0, t ∈ R₊ ≡ [0,+∞), x ∈ G, f,f^′x ∈ C(R₊ × G).

(1)

Положим B_δ ≡ {x₀ ∈ Rⁿ : 0 < |x₀| < δ} и Δ ≡ sup{δ : B_δ ⊂ G}, а через x( · , x₀) будем

обозначать непродолжаемое решение системы (1) с начальным значением x(0, x₀) = x₀.

Определение 1. Для системы (1) при κ = λ,π,σ соответственно назовём ляпуновской,

перроновской или верхнепредельной:

а) мерой устойчивости [1, 2] такое число μ_κ(f) ∈ [0, 1], что при каждом μ < μ_κ(f) имеет

место μ-устойчивость, а именно: для любого ε > 0 существует такое δ_ε ∈ (0, Δ), что при

каждом δ ∈ (0, δ_ε) относительная мера в шаре B_δ (т.е. доля от его меры Лебега mes B_δ)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№ 11

2023

1578

О СЕМИНАРЕ ПО КАЧЕСТВЕННОЙ ТЕОРИИ

подмножества M_κ(f, ε, δ) всех значений x₀ ∈ B_δ, удовлетворяющих соответствующему тре-

бованию

sup

|x(t, x₀)| < ε,

lim

|x(t, x₀)| < ε,

lim

|x(t, x₀)| < ε,

(2)

t∈R₊

t→+∞

не меньше μ, и наоборот, при каждом μ > μ_κ(f) такая μ-устойчивость не имеет места;

б) мерой неустойчивости [1, 2] такое число ν_κ(f) ∈ [0, 1], что при каждом ν < ν_κ(f)

имеет место ν-неустойчивость, а именно: для любого ε > 0 существует такое δ_ε ∈ (0, Δ),

что при каждом δ ∈ (0, δ_ε) относительная мера в шаре B_δ подмножества N_κ(f, ε, δ) всех

значений x₀ ∈ B_δ, не удовлетворяющих соответствующему требованию (2), не меньше ν, и

наоборот, при каждом ν > ν_κ(f) такая ν-неустойчивость не имеет места.

Введённые в определении 1 меры устойчивости и неустойчивости позволяют оценивать

снизу возможность (в некотором смысле стохастическую) выбора начального значения возму-

щённого решения, удовлетворяющего требованию (2) и соответственно его отрицанию.

Определение 2. Система (1) при κ = λ,π,σ обладает ляпуновской, перроновской или

верхнепредельной:

в) устойчивостью [3, 4] (или почти устойчивостью [5]), если для любого ε > 0 суще-

ствует такое δ ∈ (0, Δ), что M_κ(f, ε, δ) = B_δ (или соответственно mes M_κ(f, ε, δ) = mes B_δ);

д) полной [3, 4] (или почти полной [5]) неустойчивостью, если существуют такие ε > 0 и

δ ∈ (0,Δ), что N_κ(f,ε,δ) = B_δ (или соответственно mesN_κ(f,ε,δ) = mesB_δ).

Согласно [1, 2] для каждой системы (1) её ляпуновские, перроновские и верхнепредельные

меры устойчивости и неустойчивости задаются формулами

mes M_κ(f, ε, δ)

mes N_κ(f, ε, δ)

μ_κ(f) = lim lim

ν_κ(f) = lim lim

κ = λ,π,σ,

(3)

ε→+0δ→+0

mes B_δ

ε→+0δ→+0

mes B_δ

и удовлетворяют неравенствам

0 ≤ μ_λ(f) ≤ μ_σ(f) ≤ μ_π(f) ≤ 1,

0 ≤ ν_π(f) ≤ ν_σ(f) ≤ ν_λ(f) ≤ 1,

(4)

0 ≤ μ_κ(f) + ν_κ(f) ≤ 1, κ = λ,π,σ.

(5)

Все следующие утверждения опубликованы в работе [1]. Прежде всего, из равенств

mes M_κ(f, ε, δ) + mes N_κ(f, ε, δ) = mes B_δ, ε > 0,

0 < δ < Δ, κ = λ,π,σ,

(6)

вытекает

Теорема 1. Если в формулах (3) при некотором κ ∈ {λ, π, σ} только у первой или толь-

ко у второй меры нижний предел при δ → +0 заменить верхним, то она в сумме с другой

мерой будет давать уже ровно 1, но будет оценивать аналогичную описанной в определе-

нии 1 возможность выбора начального значения возмущённого решения с требованием (2)

или соответственно его отрицанием уже не снизу, а сверху.

Далее в линейном случае оба слагаемых в формуле (6) совсем не зависят от δ, а ляпу-

новские и верхнепредельные меры могут принимать лишь свои крайние значения, заведомо

реализуемые также и на перроновских мерах. Это и устанавливают следующие две теоремы.

Теорема 2. Для любой линейной системы вида (1) в формулах (3) для всех упоминаемых в

них мер устойчивости и неустойчивости пределы при δ → +0 являются точными, причём

возможны только следующие две ситуации:

1) либо выполнены соотношения

μ_λ(f) = μ_σ(f) = μ_π(f) = 1 > 0 = ν_π(f) = ν_σ(f) = ν_λ(f)

и система (1) обладает устойчивостью всех трёх типов;

2) либо выполнены соотношения

μ_λ(f) = μ_σ(f) = 0 < 1 = ν_σ(f) = ν_λ(f)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№ 11

2023

О СЕМИНАРЕ ПО КАЧЕСТВЕННОЙ ТЕОРИИ

1579

и система (1) обладает ляпуновской и верхнепредельной почти полной (возможно, даже

полной) неустойчивостью.

Теорема 3. При любом n ∈ N каждая из двух перечисленных в теореме 2 ситуаций реа-

лизуется на некоторой ограниченной линейной автономной системе вида (1), причём вторая

ситуация реализуется по меньшей мере на двух системах: одна из них обладает перронов-

ской полной неустойчивостью, а другая, неавтономная, - перроновской устойчивостью.

В одномерном случае множество всевозможных реализуемых наборов различных мер ус-

тойчивости и неустойчивости оказывается конечным, что и утверждают следующие две те-

оремы.

Теорема 4. При n = 1 меры устойчивости и неустойчивости любой системы (1) удо-

влетворяют соотношениям

μ_λ(f) = μ_σ(f) ≤ μ_π(f), ν_λ(f) = ν_σ(f) ≥ ν_π(f),

(7)

μ_κ(f),ν_κ(f) ∈ {0,1/2,1}, μ_κ(f) + ν_κ(f) = 1, κ = λ,π,σ.

(8)

Теорема 5. При n = 1 оба неравенства в соотношениях (7) для некоторой ограниченной

линейной системы (1) являются строгими, а случаи всех равенств в (7) для каждой пары

мер устойчивости и неустойчивости, задаваемой условиями (8), реализуются на некоторых

автономных системах (1).

В теореме 3 также подтверждена реализуемость для автономных линейных систем как

нулевых, так и единичных значений сразу всеми мерами устойчивости или неустойчивости.

Для автономных нелинейных двумерных систем множество реализуемых наборов всех мер

оказывается уже довольно богатым, что показывают

Теорема 6. При n = 2 для каждого отдельного нестрогого неравенства в (4) существу-

ют две автономные системы вида (1): для одной из них оно обращается в равенство, а для

другой - в строгое неравенство.

Теорема 7. При n = 2 для любого r > 0 существует автономная система (1), у которой

меры устойчивости всех трёх типов принимают одно и то же положительное значение,

равно как и все меры неустойчивости, причём отношение этих двух значений равно r, а

правое неравенство в (5) обращается в равенство.

Литература. 1. Сергеев И.Н. Определение и свойства мер устойчивости и неустойчивости нуле-

вого решения дифференциальной системы // Мат. заметки. 2023. Т. 113. № 6. С. 895-904. 2. Серге-

ев И.Н. Определение мер устойчивости и неустойчивости нулевого решения дифференциальной систе-

мы // Дифференц. уравнения. 2023. Т. 59. № 6. С. 851-852. 3. Сергеев И.Н. Определение устойчивости

по Перрону и её связь с устойчивостью по Ляпунову // Дифференц. уравнения. 2018. Т. 54. № 6.

С. 855-856. 4. Сергеев И.Н. Определение верхнепредельной устойчивости и её связь с устойчивостью

по Ляпунову и устойчивостью по Перрону // Дифференц. уравнения. 2020. Т. 56. № 11. С. 1556-1557.

5. Сергеев И.Н. Массивные и почти массивные свойства устойчивости и неустойчивости дифференци-

альных систем // Дифференц. уравнения. 2021. Т. 57. № 11. С. 1576-1578.

Н. В. Денисов, В. Д. Васильев (Москва) “Определение и свойства примитивной меры

устойчивости нулевого решения дифференциальной системы” (6 октября 2023 г.).

DOI: 10.31857/S0374064123110183, EDN: PFOBHO

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

x = f(t,x), (t,x) ∈ G ⊂ R1+n, f(t,0) = 0, t ∈ R₊ ≡ [0,+∞), f,f^′x ∈ C(G).

(1)

Примитивной мерой устойчивости нулевого решения системы (1) назовём величину

mes {x₀ ∈ U_ε(0) : |x( · , x₀)| < ε, t ∈ R₊}

μ_f ≡ lim

(2)

ε→+0

mes U_ε(0)

где U_ε(0) - ε-окрестность точки нуль фазового пространства (с мерой Лебега mes), а x( · , x₀) -

решение системы с начальным значением x(0, x₀) = x₀. Через M_f обозначим множество всех

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№ 11

2023

1580

О СЕМИНАРЕ ПО КАЧЕСТВЕННОЙ ТЕОРИИ

частичных пределов при ε → +0 дроби в правой части формулы (2): если это множество не

одноточечно, то меру μ_f считаем не определённой.

Следующие утверждения показывают, в частности, отсутствие какой-либо логической свя-

зи между значениями примитивной меры устойчивости (в отличие от аналогичных мер из

работ [1-3]) системы (1) и устойчивостью или неустойчивостью по Ляпунову этой системы

(точнее, её нулевого решения).

Теорема 1. Для любого α ∈ [0, 1] существует устойчивая система (1), примитивная

мера устойчивости которой равна μ_f = α.

Теорема 2. Для любого α ∈ [0, 1] существует неустойчивая система (1), примитивная

мера устойчивости которой равна μ_f = α.

Теорема 3. Существует устойчивая система, примитивная мера устойчивости μ_f ко-

торой не определена.

Теорема 4. Существует неустойчивая система, примитивная мера устойчивости μ_f

которой не определена.

Теорема 5. Для любого отрезка [α, β] ⊂ [0, 1] существует система (1), удовлетворяю-

щая равенству M_f = [α, β].

Литература. 1. Сергеев И.Н. Определение и свойства мер устойчивости и неустойчивости нуле-

вого решения дифференциальной системы // Мат. заметки. 2023. Т. 113. № 6. С. 895-904. 2. Серге-

ев И.Н. Определение мер устойчивости и неустойчивости нулевого решения дифференциальной систе-

мы // Дифференц. уравнения. 2023. Т. 59. № 6. С. 851-852. 3. Сергеев И.Н. Свойства мер устойчивости и

неустойчивости нулевого решения дифференциальной системы // Дифференц. уравнения. 2023. Т. 59.

№ 11. С. 1581-1583.

А. К. Деменчук, А. В. Конюх (Минск) “О теореме Массеры о существовании периоди-

ческих решений линейных периодических систем и её обобщении” (13 октября 2023 г.).

DOI: 10.31857/S0374064123110195, EDN: PJDKMQ

Проблеме существования периодических решений обыкновенных дифференциальных пе-

риодических систем, в том числе линейных, посвящено огромное число работ (см., напри-

мер, монографии [1-3] и приведённую в них библиографию). При этом достаточно длительное

время априори предполагалась соизмеримость периодов самой системы и её периодического

решения. Х.Л. Массера был, по-видимому, первым, кто показал ошибочность такого предпо-

ложения. В 1950 г. он получил достаточные условия существования решений, период которых

несоизмерим с периодом самой системы [4]. Впоследствии такого рода решения были названы

сильно нерегулярными [5, с. 17], а описываемые ими колебания - асинхронными. Необходимое

и достаточное условие наличия у линейной дифференциальной периодической неоднородной

системы сильно нерегулярных решений получено в статье [6].

В работе [7] Х.Л. Массера доказал, что линейная неоднородная система

x = A(t)x + f(t), x ∈ Rⁿ, t ∈ R,

(1)

c непрерывными ω-периодическими функциями A, f имеет ω-периодическое решение тогда

и только тогда, когда она имеет ограниченное решение. Этот факт существенно упростил

проблему, сведя вопрос о наличии у линейной ω-периодической системы решений из класса P_ω

непрерывно дифференцируемых ω-периодических вектор-функций к вопросу о наличии у неё

решений из более широкого класса B ограниченных непрерывно дифференцируемых вектор-

функций. Это определило интерес к данному результату и обусловило его многочисленные

обобщения на другие типы систем и их решений (см., например, работы [8-10]).

Возникает естественный вопрос, нельзя ли усилить указанную теорему Массеры так, чтобы

из того, что ω-периодическая система (1) имеет решение в более широком, чем B, классе,

также следовало бы, что она имеет и ω-периодическое решение. Одному из решений этой

задачи и посвящён настоящий доклад. Дадим следующее

Определение. Введём класс L непрерывно дифференцируемых функций x: R → Rⁿ,

растущих медленнее линейной функции, т.е. удовлетворяющих хотя бы одному из двух ус-

ловий:

x(t) = o(t), t → -∞ или t → +∞.

(2)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№ 11

2023

О СЕМИНАРЕ ПО КАЧЕСТВЕННОЙ ТЕОРИИ

1581

Множество B содержится в L, не совпадая с ним: так, функция x(t) = (ln(t² +1), 1, . . . , 1)^т

удовлетворяет обоим условиям (2), но не является ограниченной. Поэтому теорему Массеры

усиливает следующая

Теорема 1. Если ω-периодическая система (1) имеет решение, растущее медленнее ли-

нейной функции, то она имеет и ω-периодическое решение.

Для того чтобы понять, насколько существенно теорема 1 усиливает теорему Массеры, а

заодно и насколько существенно сама теорема Массеры упрощает вопрос о наличии ω-перио-

дических решений, наделим множества L и B метрикой равномерной сходимости на компак-

тах. Тогда ответы на эти два вопроса в определённой степени даёт

Теорема 2. Множество B в метрическом пространстве L имеет первую категорию

Бэра, равно как и множество P_ω в метрическом пространстве B.

Литература. 1. Еругин Н.П. Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений с

периодическими и квазипериодическими коэффициентами. Минск, 1963. 2. Чезари Л. Асимптотичес-

кое поведение и устойчивость решений обыкновенных дифференциальных систем. М., 1964. 3. Якубо-

вич В.А., Старжинский В.М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициен-

тами и их приложения. М., 1972. 4. Massera J.L. Observaciones sobre les soluciones periodicas de ecuaciones

diferenciales // Bol. de la Facultad de Ingenieria. 1950. V. 4. № 1. P. 37-45. 5. Деменчук А. Асинхронные

колебания в дифференциальных системах. Условия существования и управление. Саарбруккен, 2012.

6. Грудо Э.И., Деменчук А.К. О периодических решениях с несоизмеримыми периодами линейных

неоднородных периодических дифференциальных систем // Дифференц. уравнения. 1987. Т. 23. № 3.

С. 409-416. 7. Massera J.L. The existence of periodic solutions of systems of differential equations // Duke

Math. J. 1950. V. 17. № 4. P. 457-475. 8. Makay G. On some possible extensions of Massera’s theorem

// Proc. Colloq. Qual. Theory Differ. Equat. Electron J. Qual. Theory Differ. Equat. Szeged, 2000. № 16.

9. Murakami S., Naito T., Minh N. Massera’s theorem for almost periodic solutions of functional differential

equations // J. Math. Soc. Japan. 2004. V. 56. № 1. P. 247-268. 10. Okada Y. Massera type theorems in

hyperfunctions with refleexive Banach values // RIMS Kuokyuroku Bessatsu. 2013. B40. P. 001-014.

Е. А. Барабанов (Минск), В. В. Быков (Москва) “Поведение размерностей линеалов

решений правильной системы при бесконечно малых параметрических возмущениях её мат-

рицы коэффициентов” (20 октября 2023 г.).

DOI: 10.31857/S0374064123110201, EDN: PESHBC

Пусть M - метрическое пространство. Для каждого μ ∈ M обозначим через S(μ, A)

пространство решений системы

x = A(t,μ)x, x ∈ Rⁿ, t ∈ R₊ ≡ [0,+∞),

(1)

с кусочно-непрерывными и ограниченными коэффициентами. Для каждого α ∈ R положим

L_α(μ,A) ≡ {x ∈ S(μ,A) : λ[x] < α}, N_α(μ,A) ≡ {x ∈ S(μ,A) : λ[x] ≤ α},

где λ[x] - характеристический показатель функции x [1, с. 41] (для нулевого решения считаем

его равным -∞). Как известно, для любого α ∈ R множества L_α(μ, A) и N_α(μ, A) явля-

ются линейными подпространствами пространства S(μ, A). Обозначим их размерности через

d_α(μ,A) и D_α(μ,A) соответственно. В частности, величина d₀(μ,A) называется индексом

экспоненциальной устойчивости.

Обозначим через Rⁿ(M) класс семейств систем (1) с матрицами A(t, μ) = B(t) + Q(t, μ),

где функция B : R₊ → R^n×n непрерывна и ограничена, система

x = B(t)x правильна [1,

с. 80], а Q : R₊ × M → R^n×n непрерывна и удовлетворяет условию sup ∥Q(t, μ)∥ → 0 при

μ∈M

t → +∞. Зафиксировав α,β ∈ R, положим

R^nα,β(M) ≡ {(d_α(·,A),D_β(·,A)) : A ∈ Rⁿ(M)}.

Следуя [2, с. 221], для каждых числа r ∈ R и функции f : M → R условимся обозначать

через [f ≥ r] лебеговское множество {μ ∈ M : f(μ) ≥ r} функции f. Кроме того, через Z_n

будем обозначать множество {0, 1, . . . , n}.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№ 11

2023

1582

О СЕМИНАРЕ ПО КАЧЕСТВЕННОЙ ТЕОРИИ

Обобщение примера Р.Э. Винограда [3] неустойчивости показателей Ляпунова правильной

системы при убывающих к нулю на бесконечности возмущениях её коэффициентов представ-

ляет

Теорема. Для произвольных метрического пространства M, чисел α, β ∈ R и нату-

рального n ≥ 2 вектор-функция (g, h): M → Z_n × Z_n принадлежит классу R^nα,β(M) тогда

и только тогда, когда для каждого r ∈ R множество [g ≥ r] имеет тип F_σ, а множество

[h ≥ r] - тип F_σδ, причём для всех μ ∈ M выполняется неравенство h(μ) ≥ g(μ), если

β ≥ α, и неравенство h(μ) ≤ g(μ), если β < α.

Замечание. Полное описание аналогичного класса вектор-функций для семейств (1) с мат-

рицами B(t) + Q(t, μ), где B : R₊ → R^n×n непрерывна и ограничена, а Q : R₊ × M → R^n×n

непрерывна и экспоненциально убывает (равномерно по μ) при t → +∞, получено в работе [4]

и совпадает с приведённым.

Литература. 1. Адрианова Л.Я. Введение в теорию линейных систем дифференциальных урав-

нений. СПб., 1992. 2. Хаусдорф Ф. Теория множеств. М.; Л., 1937. 3. Виноград Р.Э. Неустойчивость

характеристических показателей правильных систем // Докл. АН СССР. 1953. Т. 91. № 5. С. 1001-

1002. 4. Барабанов Е.А., Быков В.В., Карпук М.В. Потеря устойчивости в линейной системе с экспо-

ненциально убывающим параметрическим возмущением // Дифференц. уравнения. 2020. Т. 56. № 11.

С. 1563-1564.

М. И. Зайдель (Москва) “Полное описание пар индексов устойчивости и экспоненци-

альной устойчивости линейной системы при экспоненциально убывающих параметрических

возмущениях” (27 октября 2023 г.).

DOI: 10.31857/S0374064123110213, EDN: PCIFYG

Для заданного натурального n ≥ 2 рассмотрим множество M_n линейных дифференци-

альных систем

x = A(t)x, x ∈ Rⁿ, t ∈ R₊ ≡ [0,+∞),

(1)

с непрерывными и ограниченными на полуоси R₊ коэффициентами. Для краткости мы отож-

дествляем систему (1) с матричнозначной функцией A: R₊ → R^n×n и пишем A ∈ M_n.

Через s (A) обозначим индекс устойчивости системы A ∈ M_n, т.е. размерность линей-

ного подпространства её ограниченных решений, а через es (A) - её индекс экспоненциальной

устойчивости, т.е. размерность линейного подпространства её решений с отрицательными

характеристическими показателями Ляпунова [1, с. 12].

Для системы A ∈ M_n и метрического пространства M рассмотрим класс E_n[A](M)

непрерывных (по совокупности переменных) матричнозначных функций Q: R₊ × M → R^n×n,

удовлетворяющих для некоторых положительных постоянных C_Q и σ_Q (своих для каждой

матрицы Q) оценке

∥Q(t, μ)∥ ≤ C_Q exp(-σ_Qt), (t, μ) ∈ R₊ × M,

а также неравенствам

s (A + Q( · , μ)) ≤ s (A), es (A + Q( · , μ)) ≤ es(A), μ ∈ M.

Для каждых M и n ≥ 2 ставится задача полного дескриптивно-функционального описа-

ния класса пар

ΣE_n(M) ≡ {((s(A),es (A)),(s(A + Q),es (A + Q))) : A ∈ M_n, Q ∈ E_n[A](M)},

составленных из пар индексов системы A и пар индексов (зависящих от параметра μ ∈ M)

семейства A + Q, когда A пробегает множество M_n, а Q (при каждом фиксированном

A) - класс E_n[A](M). Напомним, что функция f : M → R называется [2, с. 224] функцией

класса (F_σ,^∗ ) (а значит, второго класса Бэра [2, с. 249]), если для любого r ∈ R прообраз

f-1((r,+∞)) является F_σ-множеством пространства M, т.е. представляется в виде счётного

объединения его замкнутых подмножеств. Кроме того, будем обозначать через Z_n множество

{0, 1, . . . , n}. Решение поставленной задачи даёт

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№ 11

2023

О СЕМИНАРЕ ПО КАЧЕСТВЕННОЙ ТЕОРИИ

1583

Теорема. Для любых метрического пространства M и натурального числа n ≥ 2 пара

((α₀, β₀), (α(·), β(·))), где α₀, β₀ ∈ Z_n и α, β : M → Z_n, принадлежит классу ΣE_n(M) тогда

и только тогда, когда выполняются следующие условия:

1) α₀ ≥ β₀;

2) α(μ) ≥ β(μ) для всех μ ∈ M;

3) α(μ) ≤ α₀, β(μ) ≤ β₀ для всех μ ∈ M;

4) функции α, β принадлежат классу (F_σ,^∗ ).

Далее рассмотрим такое параметрическое семейство линейных дифференциальных систем

x = A(t,μ)x, x ∈ Rⁿ, t ∈ R₊, μ ∈ M,

что при каждом μ ∈ M функция A( · , μ): R₊ → R^n×n непрерывна и ограничена на R₊.

Класс таких семейств A( · , · ), непрерывных по μ ∈ M в компактно-открытой топологии

на пространстве M_n, обозначим через Cⁿ(M), а в равномерной топологии - через Uⁿ(M).

Имеет место цепочка включений

⋃

E_n[A](M) ⊂ Uⁿ(M) ⊂ Cⁿ(M),

A∈Mn

а из теоремы вытекает

Следствие. Для каждых метрического пространства M и натурального числа n ≥ 2

классы

ΣC_n(M) ≡ {(s(A),es (A)) : A ∈ Cⁿ(M)}, ΣU_n(M) ≡ {(s(A),es (A)) : A ∈ Uⁿ(M)}

(2)

совпадают между собой и состоят из пар (α(·),β(·)) функций α,β : M → Z_n, принадлежа-

щих классу (F_σ,^∗ ) и удовлетворяющих неравенству α(μ) ≥ β(μ) для всех μ ∈ M.

Замечание. Описание классов, составленных лишь из вторых элементов пар классов (2),

получено в работе [3]: эти классы совпадают между собой и состоят из функций класса (F_σ,^∗ ).

Литература. 1. Изобов Н.А. Введение в теорию показателей Ляпунова. Минск, 2006. 2. Хау-

сдорф Ф. Теория множеств. М.; Л., 1937. 3. Барабанов Е.А., Быков В.В., Карпук М.В. Полное описание

индекса экспоненциальной устойчивости линейных параметрических систем как функции параметра

// Дифференц. уравнения. 2019. Т. 55. № 10. С. 1307-1318. (Поправка: Письмо в редакцию // Диффе-

ренц. уравнения. 2019. Т. 55. № 12. С. 1726.)

Э. Е. Тусупбекова (Москва) “Исследование и анализ системы, описывающей модель “лес-

биомасса” (10 ноября 2023 г.).

DOI: 10.31857/S0374064123110225, EDN: PBMWWV

В работе [1] предложена математическая модель системы “лес-биомасса” (в её основу по-

ложена модель “хищник-жертва” [2]), в которой учитывается возрастная структура лесной

биомассы через выделение в её популяции P молодых и M зрелых деревьев, а переменная I

обозначает объём полученной продукции после их индустриальной переработки. Для описания

взаимодействия между величинами P, M и I рассматривается динамическая система

(

)

= rP

- βP + γP,

= βP - qd₀M - d₁M,

(

)

α₂I

˙I

= α₁ -

I - d₂I, P(0),M(0),I(0) ≥ 0,

(1)

α₃ + M

в которой параметры r, k, γ, β, α₁, α₂, α₃, q, d₀, d₁, d₂ характеризуют соответственно

скорость роста молодых деревьев, ёмкость среды лесной биомассы, размер новых плантаций,

скорость перехода дерева от молодого до зрелого состояния, максимальный темп индустриали-

зации, максимальное снижение темпов индустриализации, среднюю ставку правительства по

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№ 11

2023

1584

О СЕМИНАРЕ ПО КАЧЕСТВЕННОЙ ТЕОРИИ

предоставлению защиты лесной биомассы, скорость исчерпания зрелых деревьев промышлен-

ными предприятиями, необходимые затраты на вырубку леса, скорость исчерпания зрелых

деревьев под влиянием природных факторов и снижение производительности предприятий

из-за отсутствия предпочитаемых зрелых деревьев.

В статье [1] с использованием методов работы [3] доказаны положительность и ограни-

ченность решений системы (1) и существование их предельных значений (на бесконечности).

Ниже асимптотические свойства решений исследуются с помощью методов работы [4]. Сис-

тема (1), исходя из физического смысла её параметров и в соответствии с классификацией

особых точек в трёхмерном пространстве, может иметь положения равновесия только типа

узел или седлоузел (с ненулевыми действительными собственными значениями одного знака

или, соответственно, разных знаков - при этом узловую часть называем устойчивой, если

отрицательных собственных значений больше, и неустойчивой, если их меньше). Обозначим

A≡r-β+γ, B≡qd₀ +d₁, D≡α₁ -d₂.

Теорема 1. Система (1) имеет четыре положения равновесия

E₀ ≡ (0,0,0), E₁ ≡ (p₀,m₀,0), E₂ ≡ (0,0,i₂), E₃ ≡ (p₀,m₀,i₃),

где

Aβk

Dα₃

D(α₃ + m₀)

p₀ ≡

m₀ ≡

i₂ ≡

i₃ ≡

α₂

а при условии A,B,D = 0 для них реализуются в точности следующие восемь случаев:

1) если A, D < 0 < B, то E₀ - устойчивый узел, а E₃ и E₁, E₂ - седлоузлы с неустой-

чивой и устойчивыми узловыми частями соответственно;

2) если A, D > 0 > B, то E₀ - неустойчивый узел, а E₃ и E₁, E₂ - седлоузлы с

устойчивой и неустойчивыми узловыми частями соответственно;

3) если A, B > 0 > D, то E₁ - устойчивый узел, а E₂ и E₀, E₃ - седлоузлы с неустой-

чивой и устойчивыми узловыми частями соответственно;

4) если A, B < 0 < D, то E₁ - неустойчивый узел, а E₂ и E₀, E₃ - седлоузлы с

устойчивой и неустойчивыми узловыми частями соответственно;

5) если B, D > 0 > A, то E₂ - устойчивый узел, а E₁ и E₀, E₃ - седлоузлы с неустой-

чивой и устойчивыми узловыми частями соответственно;

6) если B, D < 0 < A, то E₂ - неустойчивый узел, а E₁ и E₀, E₃ - седлоузлы с

устойчивой и неустойчивыми узловыми частями соответственно;

7) если A, B, D > 0, то E₃ - устойчивый узел, а E₀ и E₁, E₂ - седлоузлы с неустойчивой

и устойчивыми узловыми частями соответственно;

8) если A, B, D < 0, то E₃ - неустойчивый узел, а E₀ и E₁, E₂ - седлоузлы с устойчивой

и неустойчивыми узловыми частями соответственно.

Интерес для приложений представляют случаи 4) и 7) теоремы 1, в которых поставленная

задача имеет практический смысл.

Теорема 2. Если A = 0, то решения системы (1) имеют вид

((

)

∫

((

)

)-1

Aβ

P (t) = A

e^-At +

M (t) =

e^Bτ

e^-Aτ +

dτ + C₁,

P (0)

e^Bt

P (0)

t₁

(∫t

∫

((

)

)-1

I(t) =

e^Ds

e^Bτ

e^-Aτ +

dτ + C₁

ds + C₂

α₂

e^Bs

P (0)

t₂

t₁

а если A = 0, то

∫

)-1

⁽r

P (t) =

M (t) =

e^Bτ

τ +

dτ + C₁,

P (0)

e^Bt

P (0)

t₁

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№ 11

2023

О СЕМИНАРЕ ПО КАЧЕСТВЕННОЙ ТЕОРИИ

1585

(∫t

(

∫

)-1

⁽r

I(t) =

e^Ds

e^Bτ

τ+

dτ + C₁

ds + C₂

t₁,t₂,C₁,C₂ ∈ R.

α₂

e^Bs

P (0)

t₂

t₁

Приведённые результаты позволяют исследовать динамику изучаемого процесса и понять,

при каком наборе параметров система имеет устойчивый режим существования.

Литература. 1. Chaudhary M., Dhar J., Misra O. A mathematical model for the conservation of

forestry biomass with an alternative resource for industrialization: a modified Leslie Gower interaction

// Modeling Earth Systems and Environment. 2015. V. 1 (43). P. 1-10. 2. Leslie P.H. Some further notes on

the use of matrices in population mathematics // Biometrika. 1948. P. 213-245. 3. Chen F. On a nonlinear

nonautonomous predator-prey model with diffusion and distributed delay // Comput. Appl. Math. 2014.

V. 180. № 1. P. 33-49. 4. Асташова И.В. Применение динамических систем к исследованию асимпто-

тических свойств решений нелинейных дифференциальных уравнений высоких порядков // Соврем.

математика и её приложения. 2003. Т. 8. С. 3-33.

И. В. Асташова (Москва) “Об асимптотической эквивалентности квазилинейных уравне-

ний при возмущении степенной малости ” (17 ноября 2023 г.).

DOI: 10.31857/S0374064123110237, EDN: PQNSOX

Рассматривается задача асимптотической эквивалентности следующих двух уравнений:

∑

y(n) +

a_j(x)y(j) + p(x)sgn y |y|^k = f(x),

(1)

j=0

∑

z(n) +

a_j(x)z(j) + p(x)sgn z |z|^k = 0.

(2)

j=0

В работах [1, 2] приводятся результаты об асимптотической близости решений уравнений

(1) и (2) при экспоненциально малой правой части f; в статье [3] доказываются результаты

об их асимптотической эквивалентности при a_j = 0 в случае экспоненциально или степенно

малых возмущений f; в [4] при f = 0 изучается вопрос о различных типах асимптотиче-

ской близости решений уравнения (2) и его частных случаев к решениям соответствующих

линейных уравнений; в работах [5, 6] содержатся, в частности, результаты об асимптотиче-

ском поведении решений невозмущённых уравнений. Ниже, в предположении k > 1 и n ≥ 2,

обозначим α ≡ n/(k - 1).

Теорема. Если функции a₀, . . . , an-1, p, f непрерывны, причём p ограничена и

∫

xn-j-1|a_j(x)|dx < +∞, j = 0,n - 1,

x₀

то для любого C > 0 найдётся такое σ > α, что если f(x) = o(x^-σ-n), x → +∞, то для

каждого решения y уравнения (2), удовлетворяющего условию |y(x)| ≤ Cx^-α, существует

единственное решение z уравнения (1), удовлетворяющее условию

|y(x) - z(x)| = O(x^-σ), x → +∞,

(3)

а для каждого решения z уравнения (1), удовлетворяющего условию |z(x)| ≤ Cx^-α, суще-

ствует единственное решение y уравнения (2), удовлетворяющее условию (3).

Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Российского научного фонда

(проект 20-11-20272-п).

Литература. 1. Astashova I. On asymptotic equivalence of n-th order nonlinear differential equations

// Memoirs on Differ. Equat. and Math. Phys. 2022. V. 87. P. 17-24. 2. Асташова И.В. Об асимптотиче-

ской эквивалентности квазилинейных уравнений // Дифференц. уравнения. 2022. Т. 58. № 11. С. 1572-

1573. 3. Astashova I.V. On asymptotic equivalence of n-th order nonlinear differential equations // Tatra

10 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№ 11

2023

1586

О СЕМИНАРЕ ПО КАЧЕСТВЕННОЙ ТЕОРИИ

Mountains Math. Publ. 2015. V. 63. P. 31-38. 4. Astashova I., Bartusek M., Dosla Z., Marini M. Asymptotic

proximity to higher order nonlinear differential equations // Adv. in Nonlin. Anal. 2022. V. 11 (1). P. 1598-

1613. 5. Кигурадзе И.Т., Чантурия Т.А. Асимптотические свойства решений неавтономных обыкно-

венных дифференциальных уравнений. М., 1990. 6. Асташова И.В. Качественные свойства решений

квазилинейных дифференциальных уравнений // Качественные свойства решений дифференциальных

уравнений и смежные вопросы спектрального анализа / Под ред. И.В. Асташовой. M., 2012. P. 22-290.

И. Н. Сергеев (Москва) “Определение полных свойств колеблемости и вращаемости диф-

ференциальной системы и их исследование по первому приближению” (24 ноября 2023 г.).

DOI: 10.31857/S0374064123110249, EDN: PPKMFX

Для области G евклидова пространства Rⁿ (n > 1) рассмотрим дифференциальную

(нелинейную, вообще говоря) систему вида

x = f(t,x), x ∈ G, f(t,0) = 0, t ∈ R₊ ≡ [0,+∞), f,f^′x ∈ C(R₊ × G),

(1)

с которой свяжем линейную однородную систему её первого приближения

x = A(t)x ≡ f_′(t,x), A(t) ≡ f^′x(t,0), t ∈ R₊, x ∈ Rⁿ,

(2)

причём на нелинейную добавку h(t, x) ≡ f(t, x)-A(t)x = o(x) (x → 0) обычное требование её

равномерной малости по t ∈ R₊ здесь не накладываем. Через x_f ( · , x₀) обозначим непродол-

жаемое решение системы (1) с начальным условием x_f (0, x₀) = x₀, а через S_δ(f) - множество

решений с начальными значениями x₀, удовлетворяющими условию 0 < |x₀| < δ.

Определение 1 [1]. Для описания характеристик колеблемости и ориентированной вра-

щаемости (аналогичных характеристикам блуждаемости [2]) выполним следующее:

1) каждому числу t ∈ R₊ и непрерывно-дифференцируемой функции u : [0, t] → Rⁿ \ {0}

поставим в соответствие значения функционалов K = N, Θ колеблемости и вращаемости

соответственно (неопределённые, если функция u определена не на всём отрезке [0, t]):

а) K(t, u) = N(t, u) - нормированное (умноженное на π) число нулей на промежутке (0, t]

функции P₁u, где P₁ - ортогональный проектор на фиксированную прямую в Rⁿ, причём

в критической ситуации, когда хотя бы один из нулей τ ∈ [0,t] кратен (т.е. является нулём

ещё и производной (P₁u)^·), считаем выражение N(t, u) неопределённым;

б) K(t, u) = Θ(t, u) ≡ |ϕ(t, P₂u)| - модуль ориентированного угла ϕ(t, P₂u) (непрерывного

по t, с начальным условием ϕ(0, P₂u) = 0) между вектором P₂u(t) и начальным вектором

P₂u(0), где P₂ - ортогональный проектор на фиксированную плоскость в Rⁿ, причём в кри-

тической ситуации, когда P₂u(τ) = 0 хотя бы при одном τ ∈ [0,t], считаем выражение Θ(t,u)

неопределённым;

2) далее, системе (1), моменту t ∈ R₊ и невырожденному преобразованию L ∈ Aut Rⁿ

поставим в соответствие значения нижнего и верхнего (шаровых) функционалов колеблемости

и вращаемости при K = N, Θ соответственно, определяемых равенствами

Ǩ_b(f,t,L) ≡ lim

K(Lx_f ( · , x₀), t),

K_b(f,t,L) ≡ lim

K(Lx_f ( · , x₀), t);

x₀→0

3) наконец, нижний (слабый шаровой)

κ^◦b(f) и верхний (сильный шаровой) κ•b(f) по-

казатели колеблемости и вращаемости системы (1) зададим при κ = ν, θ соответственно

формулами

κ^◦b(f) ≡ lim

inf

t-1 Ǩ_b(f,t,L),

κ^•b(f) ≡ inf

lim

t-1 K_b(f,t,L)

(3)

t→+∞

L∈Aut Rⁿ

t→+∞

(а верхний слабый κ◦b(f) и нижний сильный κ•b(f) - теми же формулами (3), но с перестав-

ленными в них местами пределом при t → +∞ и точной нижней гранью по L ∈ Aut Rⁿ).

Показатели (3) оказываются для системы (1) соответственно наименьшим и наибольшим

в каждой четвёрке показателей колеблемости или вращаемости из определения 1.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№ 11

2023

О СЕМИНАРЕ ПО КАЧЕСТВЕННОЙ ТЕОРИИ

1587

Известны и другие функционалы, отвечающие за аналогичные свойства решений, не свя-

занные с их нормой (см., например, [3-5]): неориентированную, частотную и плоскую вра-

щаемость, блуждаемость, а также поворачиваемость заданного ранга. Помимо шаровых по-

казателей можно рассматривать (см. [6-8]) ещё сферические и радиальные показатели.

Определяемые ниже свойства дифференциальной системы отдалённо напоминают устойчи-

вость по Ляпунову (нулевого решения). В отличие от неё здесь на все решения, начинающиеся

достаточно близко к нулю, накладываются ограничения не по норме, а по среднему количеству

нулей их проекций на прямые или по среднему угловому отклонению (от начального положе-

ния) их проекций на плоскости, причём лишь на конечных (пусть и растущих) промежутках

времени, поскольку в нелинейном случае решения могут быть определены не на всей полуоси.

Определение 2. Будем говорить, что система (1) обладает:

1) полной колеблемостью или полной вращаемостью, если существуют такие ε > 0 и

T ∈ R₊, что для каждого L ∈ AutRⁿ справедливы, соответственно, оценки

Ň_b(f,t,L) > εt или

Θ_b(f,t,L) > εt, t > T;

2) полной неколеблемостью или полной невращаемостью, если для любого ε > 0 суще-

ствуют такие T ∈ R₊ и L ∈ Aut Rⁿ, что справедливы, соответственно, оценки

N_b(f,t,L) < εt или

Θ_b(f,t,L) < εt, t > T.

Наличие у системы полных свойств колеблемости и вращаемости, как и блуждаемости [2],

однозначно определяется знаками её соответствующих шаровых показателей, как показывает

Теорема 1. Полная колеблемость и полная вращаемость системы (1) равносильны поло-

жительности её нижнего показателя колеблемости и соответственно вращаемости:

θ◦

ν^◦b(f) > 0,

(f) > 0,

а её полная неколеблемость и полная невращаемость равносильны равенству нулю её верхнего

показателя колеблемости и соответственно вращаемости:

θ•

ν^•b(f) = 0,

(f) = 0.

В двумерном случае все шаровые показатели вращаемости исходной системы совпадают

с аналогичными показателями системы её первого приближения, по которой, таким образом,

однозначно устанавливается наличие у исходной системы полной вращаемости или полной

невращаемости, что и подтверждает

Теорема 2. При n = 2 полные вращаемость и невращаемость системы (1) равносильны

положительности нижнего и соответственно равенству нулю верхнего показателя враща-

емости линейной системы (2) её первого приближения:

θ◦

θ•

(f_′) > 0,

(f_′) = 0,

и более того, имеют место равенства

θ∗

(f) =θ∗b(f_′),

∗ = ◦,•.

˜⁼ ˇ^, ˆ^,

Как известно [9], нижние показатели колеблемости и вращаемости исходной системы оце-

ниваются сверху соответствующими показателями системы её первого приближения, что поз-

воляет переносить отдельные свойства последней на исходную систему, о чём и говорит

Теорема 3. Если линейная система (2), являющаяся системой первого приближения

для системы (1), не обладает полной колеблемостью или полной вращаемостью, то ею не

обладает также и система (1), и более того, имеют место неравенства

ν∗b(f) ≤ ν^∗b(f_′),

θ∗

(f) ≤θ∗b(f_′),

∗ = ◦,•.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№ 11

2023

10^∗

1588

О СЕМИНАРЕ ПО КАЧЕСТВЕННОЙ ТЕОРИИ

Однако многие свойства вращаемости системы первого приближения не переносятся на

исходную систему уже в трёхмерном случае, а свойства колеблемости - даже в двумерном,

что и демонстрируют

Теорема 4. При n = 2 существует линейная система (2), являющаяся системой первого

приближения для системы (1) и обладающая полной колеблемостью, которой не обладает

система (1), и более того, имеют место соотношения

ν^∗b(f) = 0 < 1 = ν^∗b(f) = ν^∗b(f_′),

∗ = ◦,•.

Теорема 5. При n = 3 существует линейная система (2), являющаяся системой первого

приближения для системы (1) и обладающая полной неколеблемостью и полной невращаемо-

стью, которыми не обладает система (2), и более того, имеют место соотношения

κ^∗b(f_′) = κ^∗b(f) = 0 < 1 = κ^∗b(f),

∗ = ◦,•, κ = ν,θ.

Замечание. Возможности исследования по первому приближению полных свойств колеб-

лемости и вращаемости, в отличие от блуждаемости [2], пока ещё не вполне изучены.

Литература. 1. Сергеев И.Н. Определение шаровых показателей колеблемости, вращаемости и

блуждаемости дифференциальной системы // Дифференц. уравнения. 2021. Т. 57. № 6. С. 859-861.

2. Сергеев И.Н. Определение полных блуждаемости и неблуждаемости дифференциальной системы

и их исследование по первому приближению // Дифференц. уравнения. 2022. Т. 58. № 11. С. 1577-

1578. 3. Сергеев И.Н. Ляпуновские характеристики колеблемости, вращаемости и блуждаемости ре-

шений дифференциальных систем // Тр. сем. имени И.Г. Петровского. 2016. Вып. 31. С. 177-219.

4. Сергеев И.Н. Показатели плоской вращаемости линейной дифференциальной системы // Тр. сем.

им. И.Г. Петровского. 2019. Вып. 32. С. 325-348. 5. Сергеев И.Н. Характеристики поворачиваемо-

сти решений дифференциальных систем // Дифференц. уравнения. 2014. Т. 50. № 10. С. 1353-1361.

6. Сергеев И.Н. Определение сферических показателей колеблемости, вращаемости и блуждаемости

дифференциальной системы // Дифференц. уравнения. 2020. Т. 56. № 6. С. 839-840. 7. Сергеев И.Н.

Определение радиальных показателей колеблемости, вращаемости и блуждаемости дифференциаль-

ной системы // Дифференц. уравнения. 2020. Т. 56. № 11. С. 1560-1562. 8. Сергеев И.Н. Определе-

ние показателей колеблемости, вращаемости и блуждаемости нелинейных дифференциальных систем

// Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 2021. № 3. С. 41-46. 9. Сергеев И.Н. Исследова-

ние показателей колеблемости, вращаемости и блуждаемости по первому приближению // Дифференц.

уравнения. 2023. Т. 59. № 6. С. 726-734.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№ 11

2023