ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2023, том 59, № 12, с. 1591-1598

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

УДК 517.927.6+517.927.4

АНАЛИЗ МНОГОТОЧЕЧНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ

ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОГО МАТРИЧНОГО

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ

Для нелинейного дифференциального матричного уравнения с помощью конструктивного

метода регуляризации по линейной части уравнения с использованием соответствующих

фундаментальных матриц исследована многоточечная краевая задача. По исходным дан-

ным задачи получены достаточные условия её однозначной разрешимости. Предложены

итерационные алгоритмы построения решения, содержащие сравнительно простые вычис-

лительные процедуры. Даны эффективные оценки, характеризующие скорость сходимости

итерационной последовательности к решению, а также оценки области локализации реше-

ния.

DOI: 10.31857/S0374064123120014, EDN: NUPTOT

Рассмотрим многоточечную краевую задачу для дифференциального матричного уравне-

ния

= A(t)X + XB(t) + F (t, X), X ∈ R^n×n, t ∈ I,

(1)

с условием

∑

M_iX(t_i) = 0,

0=t₁ <t₂ <...<t_k =ω,

(2)

i=1

где A, B ∈ C(I, R^n×n), I = [0, ω]; F ∈ C(D_ρ, R^n×n), D_ρ = {(t, X) : t ∈ I, ∥X∥ < ρ}; ω > 0,

0 < ρ ≤ ∞, M_i - вещественные постоянные n × n-матрицы. Предполагаем, что нелинейная

функция F (t, X) удовлетворяет в области D_ρ условию Липшица относительно X (локально)

и что F (t, 0) ≡ 0.

Задача (1), (2) изучается на основе применения метода регуляризации [1, с. 70] в смысле

[2, с. 156], при этом используются регуляризаторы различных типов (односторонний и двусто-

ронний), конструируемые по линейной части уравнения. В рассмотренных случаях получены

достаточные условия однозначной разрешимости задачи и алгоритмы построения решения, ос-

нованные на вычислительной схеме классического метода последовательных приближений [3,

с. 605]. Качественными методами эта задача исследовалась в статье [4]. С периодическими

краевыми условиями на основе метода регуляризации она рассматривалась в [5]. Настоящая

статья является обобщением и развитием работ [6, 7].

Задачу (1), (2) будем исследовать в конечномерной банаховой алгебре B(n) непрерывных

матричнозначных функций I → R^n×n с нормой ∥X∥_C = max ∥X(t)∥. Сначала применим

t∈I

левостороннюю регуляризацию [1, гл. 1]. При этом для получения соответствующего экви-

валентного интегрального уравнения воспользуемся расщеплением (декомпозицией) матрицы

A(t) в виде

A(t) = A₁(t) + A₂(t),

(3)

где матрица A₁(t) выбирается специальным образом, например, согласно [1, гл. 1]. Доста-

точно эффективным является представление матрицы A(t) = (a_ij )ni,j=1, в котором в качестве

матрицы A₁(t) используется диагональная часть матрицы A(t), т.е.

A₁(t) = diag [a₁₁(t),a₂₂(t),... ,a_nn(t)].

1591

1592

БОНДАРЕВ, ЛАПТИНСКИЙ

Возможны и другие способы расщепления матрицы A(t) [1, гл. 1, 5], в том числе и три-

виальные: A₁(t) ≡ 0 и A₁(t) ≡ A(t) (тогда соответственно A₂(t) ≡ A(t) и A₂(t) ≡ 0). При

выборе декомпозиции матриц целесообразно руководствоваться скоростью сходимости соот-

ветствующих алгоритмов.

Рассмотрим линейную дифференциальную систему

= A₁(t)U, t ∈ I,

(4)

и примем следующие обозначения: U(t) - какая-либо фундаментальная матрица системы (4),

∑

U_i =U(t_i), i=1,k, D_ρ ={(t,X) : t∈I,

∥X∥ ≤ ρ}, H = M_iU_i, γ =∥H-1∥, m_i =∥M_i∥,

i=1

u_i = ∥U_i∥, λ₁ = max∥U(t)∥, λ2 = max∥U-1(t)∥, α2 = max∥A2(t)∥, β = max ∥B(t)∥,

t∈I

∑

h = max∥F (t, 0)∥, q = q(ρ) = γλ1λ2(α2 + β + L)ω

m_iu_i, N = γλ₁λ₂hω

m_iu_i,

t∈I

i=1

где 0 < ρ < ρ,

∥ · ∥ - некоторая фиксированная норма в B(n), например, любая из норм,

приведённых в книге [8, с. 21], L = L(ρ) - постоянная Липшица относительно X функции

F (t, X) для области D_ρ.

Теорема 1. Если выполнены условия

det H = 0,

(5)

q<1

и N ≤ ρ(1 - q),

(6)

то задача (1), (2) однозначно разрешима в области D_ρ. Её решение X(t) представимо в виде

предела равномерно сходящейся на отрезке I последовательности {X_p(t)}∞p=0 матричных

функций, определяемых рекуррентным интегральным соотношением

∫

∑

X_p(t) = U(t)H-1

M_iU_i

U-1(τ)[A₂(τ)Xp-1(τ) + Xp-1(τ)B(τ) + F(τ,Xp-1(τ))]dτ,

(7)

i=1

где p ∈ N, а в качестве X₀(t) может быть выбрана любая непрерывная функция; при этом

для решения справедлива оценка

∥X∥_C ≤

(8)

1-q

Кроме того, каждая из функций X_p(t), p ∈ N, определяемая соотношением (7), удовле-

творяет краевому условию (2), т.е. условию

∑

M_iX_p(t_i) = 0, p ∈ N.

(9)

i=1

Доказательство. С помощью регуляризатора типа [1, с. 70] на основании (3), (4) покажем

сначала, что задача (1), (2) при выполнении условия (5) равносильна интегральному урав-

нению

∫

∑

X(t) = U(t)H-1

M_iU_i

U-1(τ)[A₂(τ)X(τ) + X(τ)B(τ) + F(τ,X(τ))]dτ.

(10)

i=1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№ 12

2023

АНАЛИЗ МНОГОТОЧЕЧНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ

1593

Для упрощения записи в дальнейшем функцию A₂(τ)X(τ) + X(τ)B(τ) + F (τ, X(τ)), стоя-

щую в квадратных скобках в правой части уравнения (10), обозначим через G(τ, X(τ)). Рас-

сматривая уравнение (1) как уравнение (4) с возмущением G(t, X), в силу формулы Лагранжа

вариации произвольных постоянных получим представление

[

∫

]

X(t) = U(t) U-1(t₁)X(t₁) + U-1(s)G(s, X(s)) ds , t ∈ I.

(11)

t₁

Подставим в это тождество t_i вместо t и умножим затем его слева на матрицу M_i. Тогда,

просуммировав полученные равенства по i от 1 до k, будем иметь

∫

∑

M_iX(t_i) =

M_iU_iU-1

(t₁)X(t₁) +

M_iU_i U-1(s)G(s,X(s))ds.

i=1

t₁

В силу краевого условия (2) левая часть этого равенства равна нулю, поэтому, умножив его

слева на H-1, получим

∫

∑

U-1(t₁)X(t₁) = -H-1

M_iU_i U-1(s)G(s,X(s))ds.

(12)

i=1

t₁

Заменив в равенстве (11) первое слагаемое в квадратных скобках согласно (12) и учитывая

определение матрицы H, приходим к тождеству

[

∫

]

∑

X(t) = U(t)

-H-1

M_iU_i

U-1(s)G(s,X(s))ds + H-1

M_iU_i U-1(s)G(s,X(s))ds

i=1

t₁

∫

∑

= U(t)H-1

M_iU_i

U-1(s)G(s,X(s))ds.

i=1

Итак, если дифференцируемая функция X(t) удовлетворяет уравнению (1) и краевому усло-

вию (2), то она удовлетворяет и интегральному уравнению (10).

Установим обратное: всякое дифференцируемое решение интегрального уравнения (10) яв-

ляется решением задачи (1), (2). Для этого сначала, продифференцировав обе части уравнения

(10), получим равенство

∑

dX(t)

=A₁(t)X(t) + U(t)H-1

M_iU_iU-1(t)G(t,X(t)) = A₁(t)X(t) + G(t,X(t)),

i=1

которое, поменяв переменную t на τ, запишем в виде

dX(τ)

G(τ, X(τ)) =

- A₁(τ)X(τ).

(13)

dτ

Заменив теперь в уравнении (10) выражение в квадратных скобках равной ему правой частью

равенства (13), будем иметь

∫

∑

X(t) = U(t)H-1

M_iU_i

U-1(τ)[dX(τ) - A₁(τ)X(τ)dτ],

i=1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№ 12

2023

1594

БОНДАРЕВ, ЛАПТИНСКИЙ

т.е.

∫

∑

X(t) = U(t)H-1

M_iU_i

U-1(τ)dX(τ) - U(t)H-1

M_iU_i

U-1(τ)A₁(τ)X(τ)dτ.

(14)

i=1

Выполнив в первой сумме в (14) интегрирование по частям, получим последовательно

[

∫

]

∑

X(t) = U(t)H-1

M_iU_i U-1(τ)X(τ)|^t +_t

U-1(τ)A₁(τ)X(τ)dτ

i=1

∫

∑

- U(t)H-1

M_iU_i

U-1(τ)A₁(τ)X(τ)dτ =

i=1

[

∫

]

∑

= U(t)H-1

M_iU_i U-1(τ)X(t) - U-1(t_i)X(t_i) +

U-1(τ)A₁(τ)X(τ)dτ

i=1

∫

∑

- U(t)H-1

M_iU_i

U-1(τ)A₁(τ)X(τ)dτ =

i=1

∑

= U(t)H-1

M_iU_i[U-1(t)X(t) - U-1(t_i)X(t_i)] = X(t) + U(t)H-1

M_iX(t_i).

i=1

Отсюда имеем соотношение

∑

U (t)H-1

M_iX(t_i) = 0,

i=1

а значит, и краевое условие (9).

Запишем уравнение (10) в операторном виде

X = L(X),

(15)

где L - оператор, определяемый правой частью (10). Этот оператор действует из C(I, R^n×n) в

C¹(I,R^n×n). Рассмотрим его на шаре

D_ρ = {X(t) : ∥X∥_C ≤ ρ} и установим, что из условий (6)

следует выполнение принципа сжимающих отображений Каччопполи-Банаха (см., например,

[3, с. 605]).

Сначала установим, что L(X) ∈Dρ, если X ∈Dρ. Выполнив соответствующие оценки,

получим

 ∫

∑



∥L(X)∥ ≤ ∥U(t)∥∥H-1∥

∥M_i∥∥U_i∥

∥U-1(τ)∥[∥A₂(τ)∥∥X(τ)∥ + ∥X(τ)∥∥B(τ)∥ +



i=1



∑

+ ∥F (τ, X(τ)) - F (τ, 0)∥ + ∥F (τ, 0)∥] dτ ≤ γλ₁λ₂[(α₂ + β + L)ρ + h]ω

m_iu_i = qρ + N.

i=1

На основании условий (6) справедлива оценка

∥L(X)∥_C ≤ ρ.

(16)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№ 12

2023

АНАЛИЗ МНОГОТОЧЕЧНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ

1595

Далее из (15) для любых

X ∈Dρ и

X ∈D

ρ имеем

∫

∑

∥L

X) - L( ^X)∥ ≤ ∥U(t)∥∥H-1∥

∥M_i∥∥U_i∥

∥U-1(τ)∥[(∥A₂(τ)∥ + ∥B(τ)∥)∥X(τ) -X(τ)∥ +

i=1

∑

+ ∥F (τ, X(τ)) - F (τ, X(τ))∥] dτ ≤ γλ₁λ₂(α₂ + β + L)ω

m_iu_i∥X -X∥_C = q∥X˜ -X∥_C,

i=1

т.е.

∥L(^X) - L(^X)∥_C ≤ q∥ X -X∥_C .

(17)

Таким образом, на шаре

D_ρ при выполнении условий (6) справедливы неравенства (16) и

(17), означающие, что к уравнению (15) применим принцип сжимающих отображений. На ос-

новании этого заключаем, что решение X = X(t) данного уравнения на шаре

D_ρ существует

и единственно. Другими словами, задача (1), (2) однозначно разрешима в области D_ρ; при

этом на основании (5), (6) справедлива оценка (8).

Решение уравнения (10) будем строить с помощью классического метода последовательных

приближений [3, с. 605] в виде (7). В качестве начального приближения принимаем произволь-

ную функцию X₀(t) ∈ C(I, R^n×n). Очевидно, алгоритм (7) определяет последовательность

{X_p(t)}∞p=0 ⊂ C(I, R^n×n), при этом {X_p(t)}∞p=1 ⊂ C¹(I, R^n×n).

Доказательство того, что функции X₁(t), X₂(t), . . . удовлетворяют краевому условию (9)

аналогично доказательству эквивалентности интегрального уравнения (10) задаче (1), (2).

Изучим вопрос сходимости этой последовательности. Следуя известному приёму, этот во-

прос заменим эквивалентным вопросом о сходимости ряда

X₀(t) + (X₁(t) - X₀(t)) + ... + (X_p(t) - Xp-1(t)) + ...

(18)

Докажем равномерную по t ∈ I сходимость ряда (18). Для этого построим сходящийся чис-

ловой ряд, который мажорирует на отрезке I матричный функциональный ряд (18).

Из (7) имеем

Xp+1(t) - X_p(t) = L(X_p) - L(Xp-1), p ∈ N,

(19)

где, согласно определению оператора L,

∫

∑

L(Y ) = U(t)H-1

M_iU_i

U-1(τ)[A₂(τ)Y (τ) + Y (τ)B(τ) + F(τ,Y (τ))]dτ.

i=1

Выполнив оценки по норме в (19) и использовав соотношение (17), получим

∥Xp+1 - X_p∥_C ≤ q∥X_p - Xp-1∥_C , p ∈ N,

откуда следует окончательная оценка

∥X_p - Xp-1∥_C ≤ q^p∥X₁ - X₀∥_C , p ∈ N,

(20)

при этом ∥X₁ - X₀∥_C = ∥L(X₀) - X₀∥_C .

Используя (20), несложно доказать, что последовательность {X_r}∞r=0 сходится равномерно

по t ∈ I к решению уравнения (10), при этом справедливо неравенство

∥X - X_r∥_C ≤

∥X₁ - X₀∥_C , r ∈ N

^⋃ {0}.

(21)

1-q

Вследствие (20), (21) имеем оценку области локализации решения X(t), определяемую

согласно алгоритму (7):

∥X₁ - X₀∥_C

∥X∥_C ≤ ∥X₀∥_C +

(22)

1-q

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№ 12

2023

1596

БОНДАРЕВ, ЛАПТИНСКИЙ

Покажем, что из (22) при X₀(t) ≡ 0 следует оценка (8), при этом ∥X₁ - X₀∥_C = ∥X₁∥_C =

= ∥L(0)∥_C . Так как

∫

∑

∥L(0)∥ ≤ ∥U(t)∥∥H-1∥

∥M_i∥∥U_i∥

∥U-1(τ)F (τ, 0)∥ dτ ≤ γλ₁λ₂ωh

m_iu_i = N,

i=1

то неравенство (22) влечёт за собой оценку (8). Теорема доказана.

Далее проведём аналогичный анализ на основе правосторонней регуляризации задачи (1),

(2), используя расщепление матрицы B(t) в виде

B(t) = B₁(t) + B₂(t),

где матрицы B₁(t), B₂(t) выбираются указанными выше способами.

Наряду с принятыми выше обозначениями, будем использовать также следующие: V (t) -

фундаментальная матрица линейного дифференциального уравнения

= V B₁(t), t ∈ I,

V_i = V (t_i), v_i = ∥V_i∥, α = max∥A(t)∥, β2 = max∥B2(t)∥,

t∈I

μ₁ = max∥V (t)∥, μ2 = max ∥V-1(t)∥,

t∈I

∑_k

Φ - линейный оператор, задаваемый равенством ΦY ≡

M_iY V_i (см. [4]) и

i=1

∑

γ = ∥Φ-1∥,

q= q(ρ) = γμ₁μ₂(α + β₂ + L)ω m_iv_i,

Ń=γμ1μ₂hω m_iv_i.

i=1

Теорема 2. Если оператор Φ однозначно обратим и выполнены условия q < 1,

Ń_≤ ρ(1-

− q), то задача (1), (2) однозначно разрешима в области D_ρ. Её решение X(t) представимо

в виде предела равномерно сходящейся на отрезке I последовательности {X_p(t)}∞p=0 мат-

ричных функций, определяемых рекуррентным интегральным соотношением

(

∫

})

{∑k

X_p(t)= Φ-1

M_i

[A(τ)Xp-1(τ) + Xp-1(τ)B₂(τ) + F (τ, Xp-1(τ))]V-1(τ) dτVi

V (t), (23)

i=1

где p ∈ N, а в качестве X₀(t) может быть выбрана любая непрерывная функция; при этом

для решения справедлива оценка

∥X∥_C ≤

1-q

Кроме того, каждая из функций X_p(t), p ∈ N, определяемая соотношением (23), удовле-

творяет краевому условию (9).

Для доказательства теоремы 2 достаточно воспользоваться регуляризатором типа [1, с. 70]

при получении эквивалентной интегральной задачи

(

{∑k

∫

})

X(t) = Φ-1

M_i

[A(τ)X(τ) + X(τ)B₂(τ) + F (τ, X(τ))]V-1(τ) dτVi

V (t),

(24)

i=1

а затем выполнить соответствующие выкладки в рамках применения принципа сжимающих

отображений. Выкладки, связанные с обоснованием сходимости и скорости сходимости алго-

ритма (23), проводятся аналогично.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№ 12

2023

АНАЛИЗ МНОГОТОЧЕЧНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ

1597

В работе [4] задача (1), (2) рассмотрена качественными методами с использованием фун-

даментальных матриц, определяемых слагаемыми линейной части уравнения (1).

Метод регуляризации [1, с. 70] позволяет выполнить более эффективный анализ задачи

(1), (2) на основе двойного расщепления коэффициентов уравнения (1), а именно:

A(t) = A₁(t) + A₂(t), B(t) = B₁(t) + B₂(t),

где матрицы A_i(t) и B_i(t) (i = 1, 2) выбираются описанными выше способами.

Наряду с обозначениями, принятыми для теорем 1 и 2, будем использовать следующие:

∑_k

Ψ - линейный оператор, задаваемый равенством ΨY ≡

M_iU_iY V_i [4] и

i=1

∑

γ=∥Ψ-1_∥,

q= q(ρ)= γλ1λ₂μ₁μ₂(α₂ + β₂ + L)ω m_iu_iv_i,

i=1

∑

q₀ =γλ₁λ₂μ₁μ₂Lω

m_iu_iv_i,

N =γλ1λ2μ1μ2hω

m_iu_iv_i.

i=1

Теорема 3. Если оператор Ψ однозначно обратим и выполнены условияq < 1,

N ≤ ρ(1-

−q), то задача (1), (2) однозначно разрешима в области D_ρ. Её решение X(t) представимо

в виде предела равномерно сходящейся на отрезке I последовательности {X_p(t)}∞p=0 мат-

ричных функций, определяемых рекуррентным интегральным соотношением

{∑k

∫

X_p(t) = U(t)Ψ-1

M_iU_i

U-1(τ)[A₂(τ)Xp-1(τ) + Xp-1(τ)B₂(τ) +

i=1

}

+ F(τ,Xp-1(τ))]V -1(τ)dτV_i V (t),

(25)

где p ∈ N, а в качестве X₀(t) может быть выбрана любая непрерывная функция; при этом

для решения справедлива оценка

∥X∥_C ≤

1-q

Кроме того, каждая из функций X_p(t), p ∈ N, определяемая соотношением (25), удовле-

творяет краевому условию (9).

Доказательство теоремы 3 аналогично доказательству теорем 1 и 2. При этом вместо

интегральных уравнений (10) и (24) получается следующее эквивалентное задаче (1), (2) ин-

тегральное уравнение:

}

{∑k

∫

X(t)=U(t)Ψ-1

M_iU_i

U-1(τ)[A₂(τ)X(τ)+X(τ)B₂(τ)+F(τ,X(τ))]V-1(τ) dτVi V (t). (26)

i=1

Соответствующие оценки для алгоритма (25) выполняются так же, как и в случае теорем 1

и 2.

Следствие (ср. [4]). Пусть оператор Ψ однозначно обратим и выполнены условия q₀ < 1,

N ≤ ρ(1 - q₀). Тогда задача (1), (2) однозначно разрешима; её решение X(t) представимо в

виде предела равномерно сходящейся последовательности матричных функций, определяемых

рекуррентным интегральным соотношением вида (25) и удовлетворяющих условию (9); при

этом справедлива оценка

∥X∥_C ≤

1-q₀

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№ 12

2023

1598

БОНДАРЕВ, ЛАПТИНСКИЙ

В силу произвольности расщепления матриц A(t), B(t) полагаем A₂(t) ≡ 0, B₂(t) ≡ 0.

Тогда U(t) и V (t) - фундаментальные матрицы уравнений dU/dt = A(t)U(t) и dV/dt =

= V (t)B(t) соответственно. При таком расщеплении из интегрального уравнения (26) следует

уравнение (ср. [4])

}

{∑k

∫

X(t) = U(t)Ψ-1

M_iU_i

U-1(τ)F(τ,X(τ))V-1(τ) dτVi V (t).

(27)

i=1

Разумеется, в конструкции оператора Ψ в (27) участвуют соответствующие матрицы U(t)

и V (t).

Замечание. В работе [4] данная задача рассмотрена в области I × R^n×n. Исследование

в этой области её однозначной разрешимости существенно не отличается от линейного слу-

чая, рассмотренного в [6, 7]: в основном всё сводится к оценкам коэффициентов сжатия со-

ответствующих интегральных операторов, полученных различными методами, при этом в [4]

громоздкими и сложными. Методика, используемая в [6, 7] и в предлагаемой работе, вполне

конструктивная, поскольку позволяет получить сравнительно простые условия однозначной

разрешимости и несложные алгоритмы построения решения задачи (1), (2) для области бо-

лее общей конфигурации. Если в настоящей статье условия разрешимости содержат оценки

нормы фундаментальных матриц линейных слагаемых в (1), то в [6, 7] соответствующие усло-

вия представлены явно в терминах задачи в рассматриваемых случаях вырождения краевых

условий, характеризующих связь между матрицами M_i.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Лаптинский В.Н. Конструктивный анализ управляемых колебательных систем. Минск, 1998.

2. Забрейко П.П., Кошелев А.И., Красносельский М.А., Михлин С.Г., Раковщик Л.С., Стецен-

ко В.Я. Интегральные уравнения. М., 1968.

3. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М., 1977.

4. Murty K.N., Howell G.W., Sivasundaram S. Two (multi) point nonlinear Lyapunov systems - existence

and uniqueness // J. Math. Anal. and Appl. 1992. V. 167. P. 505-515.

5. Лаптинский В.Н. О периодических решениях нелинейных матричных дифференциальных уравне-

ний // Весцi АН Беларусi. Сер. фiз.-мат. навук. 1997. № 4. С. 14-18.

6. Бондарев А.Н., Лаптинский В.Н. Многоточечная краевая задача для уравнения Ляпунова в случае

сильного вырождения краевых условий // Дифференц. уравнения. 2011. Т. 47. № 6. С. 776-784.

7. Бондарев А.Н., Лаптинский В.Н. Многоточечная краевая задача для уравнения Ляпунова в случае

слабого вырождения краевых условий // Дифференц. уравнения. 2019. Т. 55. № 3. С. 423-427.

8. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М., 1967.

Белорусско-Российский университет,

Поступила в редакцию 27.06.2023 г.

г. Могилёв

После доработки 27.06.2023 г.

Принята к публикации 11.10.2023 г.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№ 12

2023