ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2023, том 59, № 12, с. 1599-1605

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

УДК 517.926.4

СУЩЕСТВОВАНИЕ АНТИПЕРРОНОВСКОГО ЭФФЕКТА

СМЕНЫ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ

НА ОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ ПРИ ВОЗМУЩЕНИЯХ

ВЫСШЕГО ПОРЯДКА МАЛОСТИ

Доказано существование двумерной линейной системы

x = A(t)x, t ≥ t0, с ограничен-

ными бесконечно дифференцируемыми коэффициентами и всеми положительными харак-

теристическими показателями, а также бесконечно дифференцируемого m-возмущения

f (t, y), имеющего порядок m > 1 малости в окрестности начала координат y = 0 и не

превосходящего m порядок роста вне её, таких, что возмущённая система

y = A(t)y +

+f(t,y), y ∈ R², t ≥ t₀, имеет решение y(t) с отрицательным показателем Ляпунова.

DOI: 10.31857/S0374064123120026, EDN: NUWDWF

Рассматриваем линейные дифференциальные системы

x = A(t)x, x ∈ Rⁿ, t ≥ t₀,

(1)

с ограниченными бесконечно дифференцируемыми коэффициентами и характеристическими

показателями λ₁(A) ≤ . . . ≤ λ_n(A). Вместе с ними рассматриваем и нелинейные системы

y = A(t)y + f(t,y), y ∈ Rⁿ, t ≥ t₀,

(2)

с m-возмущениями f(t,y), также бесконечно дифференцируемыми порядка m > 1 малости

в окрестности начала координат y = 0 и допустимого роста вне её:

∥f(t, y)∥ ≤ C_f ∥y∥^m, m > 1, C_f = const, y ∈ Rⁿ, t ≥ t₀.

(3)

Эффект Перрона [1; 2, c. 50-51] в двумерном случае устанавливает существование сис-

темы (1) с отрицательными показателями и 2-возмущение (3) таких, что все нетривиальные

решения двумерной системы (2) бесконечно продолжимы вправо и часть из них имеет совпада-

ющие положительные показатели, а в оставшейся непустой части - отрицательный показатель.

Этот эффект смены отрицательных показателей системы (1) на положительные для решений

системы (2) исследован нами (в том числе и совместно с С.К. Коровиным) в серии работ, завер-

шившейся полным описанием [3, 4] совокупностей как положительных, так и отрицательных

(и при их отсутствии) показателей всех нетривиальных решений системы (2).

Больший интерес своими возможными приложениями представляет антиперроновский [5,

6] эффект смены всех положительных показателей системы линейного приближения (1) на

отрицательные для решений систем с малыми возмущениями (линейными экспоненциально

убывающими, линейными стремящимися к нулю на бесконечности, нелинейными высшего по-

рядка малости). При этом в статье [5] реализована смена показателей

λ₁(A) > 0 → λn-1(A + Q) < 0 < λ_n(A + Q)

экспоненциально убывающими линейными возмущениями f(t, y) = Q(t)y (остался открытым

случай λ_n(A + Q) < 0), а в [6] - полная смена показателей λ₁(A) > 0 → λ_n(A + Q) < 0

возмущениями Q(t) → 0 для t → +∞.

1599

1600

ИЗОБОВ, ИЛЬИН

В настоящей работе реализован следующий вариант антиперроновского эффекта: смена

положительных показателей двумерного линейного приближения (1) на отрицательный для

нетривиального решения нелинейной системы (2) с m-возмущением (3).

Справедлива следующая

Теорема. Для любых параметров m > 1, θ > 1, λ > 0 существуют:

1) двумерная линейная система (1) с ограниченной бесконечно дифференцируемой матри-

цей коэффициентов A(t) и характеристическими показателями λ₁(A) = λ₂(A) = λ > 0,

2) также бесконечно дифференцируемое по своим аргументам m-возмущение

f (t, y) : [t₀, +∞) × R² → R²

такие, что возмущённая нелинейная система (2) имеет решение y(t) с показателем Ля-

пунова

θ+1

λ[y] = -λ

< 0.

(4)

mθ - 1

Доказательство. 1^◦. Построение системы линейного приближения. По числу α =

= λ(θ + 1)/(θ - 1), точкам t_k = θ^k, k ∈ N₀ ≡ N

^⋃ {0}, функциям ε(t) = exp(-t²), t ≥ 1, и

Гелбаума-Олмстеда [7, с. 54]

e_βγ(τ,τ₁,τ₂) = β + (γ - β)exp{-(τ - τ₁)-2 exp[-(τ - τ₂)-2]}, τ ∈ (τ₁,τ₂),

принимающей на концах интервала значения β и γ и нулевые значения своих односторон-

них производных любого порядка, определим ограниченные бесконечно дифференцируемые

коэффициенты необходимой диагональной системы

x = diag[a₁(t),a₂(t)]x = A(t)x, x ∈ R², t ≥ t₀ = 1.

(5)

Для этого на промежутке [t2k, t2k+2) с произвольным фиксированным k ∈ N₀ положим

{

-α,

t ∈ [t2k,t′2k+1],

a₂(t) =

t^′k ≡ t_k - ε(t_k),

e_-α,α(t,t′2k+1,t2k+1),

t ∈ (t′2k+1,t2k+1),

{

α,

t ∈ [t2k+1,t′2k+2],

a₂(t) =

e_α,-α(t,t′2k+2,t2k+2),

t ∈ (t′2k+2,t2k+2),

a₁(t) = -a₂(t), t ∈ [t2k,t2k+2), k ∈ N₀.

Для вычисления характеристических показателей системы (5) рассмотрим другую диаго-

нальную систему

x = diag[a′1(t),a′2(t)]x = A^′(t)x, x ∈ R², t ≥ t₀,

(5^′)

с кусочно-постоянными коэффициентами

{

-α, t ∈ [t2k, t2k+1),

a′2(t) =

a′1(t) = -a′2(t), t ∈ [t2k,t2k+2).

α,

t ∈ [t2k+1,t2k+2),

Из очевидных равенств

∫

θ-1

(t2k+2 - t2k)-1

a′2(τ)dτ = (t2k+3 - t2k+1

)-1

a′1(τ)dτ = α

= λ,

θ+1

t2k

t2k+1

справедливых при всех k ∈ N₀, для характеристических показателей системы (5^′) следуют

необходимые представления λ₁(A^′) = λ₂(A^′) = λ.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№ 12

2023

СУЩЕСТВОВАНИЕ АНТИПЕРРОНОВСКОГО ЭФФЕКТА

1601

Матрицы A(t) и A^′(t) на промежутке [t_k, tk+1) отличаются друг от друга на величину,

не превосходящую 2α, причём это происходит на промежутке длины ε(tk+1). Таким образом,

имеет место неравенство

∫

∥A(τ) - A^′(τ)∥e^Mτ dτ < +∞

t₀

при любом конечном M > 0.

Поэтому, согласно [8], системы (5) и (5^′) являются асимптотически эквивалентными (при-

водимыми друг к другу линейным преобразованием Ляпунова). Тем самым справедливы и

необходимые равенства

θ-1

λ₁(A) = λ₂(A) = α

= λ.

θ+1

2^◦. Построение возмущённой системы и её решения с отрицательным показа-

телем. Сначала изложим алгоритм такого построения на отрезке [t2k, t2k+2] с произвольно

фиксированным k > 1.

Определим величины

θ-1

β₁ = θβ₂ - (θ - 1)α, β₂ = -α

(6)

mθ - 1

и будем строить на этом отрезке возмущённую систему с m-возмущением

f (t, y) = (f₁(t, y₂), f₂(t, y₁))^т, t ∈ [t2k, t2k+2], y ∈ R²⁺ ≡ {(y₁, y₂)^т : y₁ ≥ 0, y₂ ≥ 0},

и её решение y(t) = (y₁(t), y₂(t))^т с начальными значениями

y₁(t2k) = eβ1t2k , y₂(t2k) = c2keβ2t2k .

(7)

Здесь и ниже

(∫t

)

c2k(t) ≡ exp

[-α + e_α,-α(τ, t′2k, t2k)] dτ

t ∈ [t′2k,t2k],

(8)

t′

( ∫ t

)

c2k+1(t) ≡ exp

[α + e_-α,α(τ, t′2k+1, t2k+1)] dτ

t ∈ [t′2k+1,t2k+1];

t′

2k+1

будем также использовать обозначение c_k(t_k) = c_k.

Для последних функций справедливы оценки

e-2αε(t2k) ≤ c2k(t) ≤ 1, t ∈ [t′2k,t2k].

Положив

1 ≤ c2k+1(t) ≤ e2αε(t2k+1), t ∈ [t′2k+1,t2k+1],

f₁(t,y₂) ≡ 0, t ∈ [t2k,t2k+1],

(9)

для первой компоненты y₁(t) строящегося решения получим представление

{

t ∈ [t2k,t′2k+1],

y₁(t) = eβ1t2k+α(t-t2k) ×

(10)

c-12k+1(t), t ∈ [t′2k+1,t2k+1].

При определении необходимого бесконечно дифференцируемого m-возмущения f₂(t, y₁) и

построении второй компоненты y₂(t) этого решения на отрезке [t2k, t2k+1] следует иметь в

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№ 12

2023

1602

ИЗОБОВ, ИЛЬИН

виду, что сама функция ym1, y₁ ≥ 0, для m > 1, отличных от натуральных значений, не

является бесконечно дифференцируемой в точке y₁ = 0. Поэтому воспользуемся следующими

двумя бесконечно дифференцируемыми (с нулевыми значениями односторонних производных

любого порядка на концах соответствующих промежутков) функциями:

⎧

⎨e01(τ,τ1,τ2), τ ∈ [τ1,τ2],

E(τ, τ₁, τ₂, τ₃, τ₄) =

τ ∈ (τ₂,τ₃],

(11)

^⎩e₁₀(τ,τ₃,τ₄], τ ∈ [τ₃,τ₄],

{

y^mie₀₁(y_i,0,ε(t_k)), y_i ∈ [0,ε(t_k)],

Fk(yi) =

i ∈ {1,2}.

(12)

y^mi,

y_i > ε(t_k),

Следует отметить, что необходимое уменьшение величин положительных компонент y_i(t)

строящегося решения y(t) (и тем самым в итоге необходимую реализацию отрицательности

показателя решения y(t), построенного на всей полуоси [t₀, +∞)) будем осуществлять нену-

левыми и только отрицательными значениями компонент m-возмущения.

В соответствии с этим компонента f₂(t, y₁) m-возмущения f(t, y) на отрезке [t2k, t2k+1]

имеет представление

{

t ∈ [t2k,η2k+1],

f₂(t,y₁) =

(13)

−d2k+1F2k+1(y₁)E(t,η2k+1,η′2k+1,t′2k+1,t2k+1),

t ∈ (η2k+1,t2k+1],

в котором η2k+1 ≡ t2k+1 - 1, η′2k+1 = η2k+1 + ε(t2k+1), y₁ ≥ 0, а постоянная d2k+1 > 0

подлежит последующему определению.

Бесконечная дифференцируемость функции f₂(t, y₁) обеспечивается аналогичным свой-

ством функций Гелбаума-Олмстеда и нулевыми значениями их односторонних производных

любого порядка в концевых точках промежутков определения, а также значениями самих этих

функций в указанных точках.

По определению постоянной β₁ < 0 для первой компоненты y₁(t) наряду с представлени-

ями (8) и (10) справедливы равенства

{

t ∈ [t2k,t′2k+1],

y₁(t) = eβ2t2k+1 + α(t - t2k+1) ×

(14)

c-12k+1(t), t ∈ [t′2k+1,t2k+1].

Для этой компоненты на отрезке [t2k+1 - 1, t2k+1], во всех внутренних точках которого

возмущение f₂(t, y₁) при y₁ > 0 отрицательно, в соответствии с его определением (11)-(13)

установим неравенство

y₁(t) > ε(t2k+1), t ∈ [t2k+1 - 1,t2k+1].

(15)

Так как β₂ > -α, то неравенство (15) на отрезке [t2k+1 - 1, t′2k+1] получается из представ-

ления (14) следующим образом:

ln y₁(t) > -α(1 + t2k+1) > -2αt2k+1 > -t22k+1 ≡ ln ε(t2k+1),

что обеспечивается выбором

k > k₀ : t_k > tk0 = θk0 > 4(1 + α).

Таким образом, неравенство (15) полностью доказано. Оно позволяет представить возму-

щение f₂[t, y₁(t)] в виде

f₂[t,y₁(t)] = -d2k+1E(t,...)ym1(t), t ∈ [t2k+1 - 1,t2k+1].

(16)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№ 12

2023

СУЩЕСТВОВАНИЕ АНТИПЕРРОНОВСКОГО ЭФФЕКТА

1603

Вторая компонента y₂(t) с начальным значением y₂(t2k) = c2k exp(β₂t2k) является на

отрезке [t2k, t2k+1] решением линейного неоднородного уравнения

y₂ = a₂(t) + f₂(t,y₁(t)), t ∈ [t2k,t2k+1].

Это решение в силу равенств (11)-(14) и (16) имеет представление

y₂(t) = z₁(t) + z₂(t), t ∈ [t2k,t2k+1],

{

t ∈ [t2k,t′2k+1),

z₁(t) = y₂(t2k)e-α(t-t2k) ×

(17)

c2k+1(t),

t ∈ [t′2k+1,t2k+1],

z₂(t) = 0, t ∈ [t2k,η2k+1),

∫t

z₂(t) = -d2k+1emβ2t2k+1

c1-m2k+1(τ)E(τ,...)eα(τ-t)+mα(τ-t2k+1) dτ ≡

η2k+1

≡ -d2k+1emβ2t2k+1 J2k+1(η2k+1,t), t ∈ [η2k+1,t2k+1].

(18)

При этом, согласно оценкам (9) для функций c_k(t), отличных от единицы лишь на интер-

валах (t^′k, t_k), справедливы неравенства

J2k+1(η2k+1,t) ≤ e2mα, t ∈ [η2k+1,t2k+1],

e-2mα ≤ J2k+1(η′2k+1,t′2k+1) < J2k+1(η2k+1,t2k+1).

(19)

По определению (6) величины β₂ справедливо равенство

β₂ - (θ - 1)α = mθβ₂.

Поэтому функция z₁(t), найденная по формуле (17), принимает значение

z₁(t2k+1) = c2k exp(mβ₂t2k+1).

(20)

Постоянную d2k+1 определим из условия

y₂(t2k+1) = z₁(t2k+1) + z₂(t2k+1) = exp(β₁t2k+1).

Сравнивая значения (18) и (20), для постоянной d2k+1 получаем представление

c2k - exp(βt2k+1)

d2k+1 =

J2k+1(η2k+1,t2k+1)

в котором величина β = β₁ - mβ₂ является в соответствии с определением (6) отрицательной:

θ-1

β = (θ - m)β₂ - (θ - 1)α = -α(1 + m)

< 0.

mθ - 1

Поэтому для k ≥ k₀ : θk0 > mθ/(θ - 1)² постоянная d2k+4 будет положительной и ограничен-

ной сверху величиной e2mα.

С учётом оценок (9) и соотношений (17)-(19) для второй компоненты y₂(t) справедливы

неравенства

|y₂(t)| = e2α+β2t2k -α(t-t2k ) ≤ e2α+β2t, t ∈ [t2k, η2k+1),

поскольку β₂t > -α в силу (6);

|y₂(t)| ≤ z₁(t) + |z₂(t)| ≤ e2α+β2t2k -α(t-t2k ) + d2k+1emβ2t2k+1 J2k+1(η2k+1, t) ≤

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№ 12

2023

1604

ИЗОБОВ, ИЛЬИН

≤e4mα(+β2t2k-α(t2k+1-t2k)) +e4mα+mβ2t2k+1 =

= 2e4mα+mβ2 t2k+1 ≤ e4mα+β2t, t ∈ [η2k+1, t2k+1],

так как β₂ < 0, и поэтому

mβ₂t2k+1 < β₂t2k+1 ≤ β₂t.

Для первой же компоненты y₁(t) в силу оценок (9), представления (10) и определения β₁

справедливы соотношения

0 < y₁(t) ≤ exp[α + β₁t2k + α(t - t2k)] = exp[α + β₂t2k+1 - α(t2k+1 - t)] ≤

≤ exp(α + β₂t), t ∈ [t2k, t2k+1].

Полученные на завершающем этапе построения на отрезке [t2k, t2k+1] возмущённой систе-

мы и её решения равенства

y₁(t2k+1) = c-12k+1 exp(β₂t2k+1), y₂(t2k+1) = exp(β₁t2k+1)

являются начальными значениями компонент решения y(t) для их построения на следующем

отрезке [t2k+1, t2k+2]. Они идентичны предыдущим начальным значениям (7) с заменой y1

на y₂

и наоборот. Поэтому необходимые построения на отрезке [t2k+1, t2k+2] повторяют с

указанной заменой построения на предыдущем отрезке [t2k, t2k+1].

В итоге на всем отрезке [t2k, t2k+2] построены двумерная нелинейная система с необходи-

мым m-возмущением и её нетривиальное решение y(t) с компонентами y₁(t) и y₂(t), прини-

мающими значения

y₁(t2k) = eβ1t2k , y₁(t2k+1) = c-12k+1eβ2t2k+1 ,

y₂(t2k) = c2keβ2t2k , y₂(t2k+1) = eβ1t2k+1 , k ≥ k₀,

(21)

и удовлетворяющими оценкам

|y_i(t)| ≤ 2 exp(4mα + β₂t), i = 1, 2, t ∈ [t2k, t2k+2],

(22)

с числом k₀ ∈ N, наибольшим из определённых выше.

Методом математической индукции распространим приведённое на отрезке [t2k, t2k+2] по-

строение нелинейной системы с m-возмущением и её решения y(t) на всю полуось t ≥ T₀ =

= θ2k0. При этом для всех k ≥ k₀ сохранятся значения (21) и оценки (22) для компонент

решения y(t). Тем самым очевидны представления λ[y] = β₂ и (4) для показателя этого

решения.

На отрезке [t₀, T₀ + 2], t₀ = 1, положим f(t, y) ≡ 0, y ≥ 0, и построенное решение y(t)

продолжим по непрерывности на этот отрезок решением системы линейного приближения.

Положим также f(t, y) ≡ 0 для всех y ∈ R²⁺ и t ≥ t₀. Теорема доказана.

В заключение отметим очевидную бесконечную продолжимость вправо всех решений по-

строенной возмущённой системы.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Perron O. Die Stabilitätsfrage bei Differentialgleichungen // Math. Zeitschr. 1930. Bd. 32. H. 5. S. 702-

728.

2. Леонов Г.А. Хаотическая динамика и классическая теория устойчивости движения. М.; Ижевск,

2006.

3. Изобов Н.А., Ильин А.В. Построение произвольного суслинского множества положительных ха-

рактеристических показателей в эффекте Перрона // Дифференц. уравнения. 2019. Т. 55. № 4.

С. 464-472.

4. Изобов Н.А., Ильин А.В. Построение счётного числа различных суслинских множеств характерис-

тических показателей в эффекте Перрона смены их значений // Дифференц. уравнения. 2020. Т. 56.

№ 12. С. 1585-1589.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№ 12

2023

СУЩЕСТВОВАНИЕ АНТИПЕРРОНОВСКОГО ЭФФЕКТА

1605

5. Изобов Н.А., Ильин А.В. О существовании линейных дифференциальных систем со всеми поло-

жительными характеристическими показателями первого приближения и экспоненциально убыва-

ющими возмущениями и решениями // Дифференц. уравнения. 2021. Т. 57. № 11. C. 1450-1457.

6. Изобов Н.А., Ильин А.В. Линейный вариант антиперроновского эффекта смены положительных

характеристических показателей на отрицательные // Дифференц. уравнения. 2022. Т. 58. № 11.

C. 1443-1453.

7. Гелбаум Б., Олмстед Дж. Контрпримеры в анализе. М., 1967.

8. Изобов Н.А., Мазаник С.А. Об асимптотически эквивалентных линейных системах при экспонен-

циально убывающих возмущениях // Дифференц. уравнения. 2006. Т. 42. № 2. C. 168-173.

Институт математики НАН Беларуси,

Поступила в редакцию 25.06.2023 г.

г. Минск,

После доработки 25.06.2023 г.

Московский государственный университет

Принята к публикации 11.10.2023 г.

имени М.В. Ломоносова

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№ 12

2023