ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2023, том 59, № 12, с. 1606-1618
УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
УДК 517.956.4
О ГЛАДКОСТИ ПОТЕНЦИАЛА ПУАССОНА
ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ
ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ
© 2023 г. Е. А. Бадерко, К. Д. Федоров
Рассматривается решение задачи Коши в полосе на плоскости для однородной параболиче-
ской системы второго порядка. Коэффициенты системы удовлетворяют двойному условию
Дини. Начальная функция непрерывна и ограничена вместе со своими первой и второй
производными. С помощью потенциала Пуассона исследуется характер гладкости этого
решения и доказываются соответствующие оценки.
DOI: 10.31857/S0374064123120038, EDN: NUZIJI
Введение. В настоящей работе предметом исследования является характер гладкости ре-
шения задачи Коши в полосе D на плоскости для однородной параболической системы вто-
рого порядка с коэффициентами, удовлетворяющими двойному условию Дини. В силу теорем
о единственности решения задачи Коши (см. [1, c. 29] и [2]) этот вопрос сводится к изучению
характера гладкости потенциала Пуассона.
Если коэффициенты параболической системы удовлетворяют условию Гёльдера, то, как
следует из работы [3] (см. также [1, c. 361]), для любой начальной функции из класса H2+α(R),
где 0 < α < 1, решение задачи Коши принадлежит классу H2+α,1+α/2(D).
В случае одного параболического уравнения в статье [4] установлена принадлежность по-
тенциала Пуассона пространству H2+ω1,1+ω2 (D), где ω1, ω2 - некоторые модули непрерыв-
ности. При этом предполагается, что модуль непрерывности коэффициентов уравнения удо-
влетворяет тройному условию Дини, начальная функция непрерывна и ограничена вместе со
своими первой и второй производными, причём её вторая производная Дини-непрерывна.
Если коэффициенты параболической системы в полосе D удовлетворяют двойному усло-
вию Дини, то в [5] установлены оценки для потенциала Пуассона и его первой пространствен-
ной производной в предположении, что начальная функция непрерывна и ограничена вместе
со своей первой производной.
В настоящей статье для параболической системы с коэффициентами, удовлетворяющими
двойному условию Дини, рассматривается случай, когда начальная функция является непре-
рывной и ограниченной вместе со своими первой и второй производными, и доказывается
теорема о принадлежности потенциала Пуассона пространству
C2,1(D) (см. ниже (1)).
Заметим, что достаточно слабые условия на коэффициенты системы и на плотность потен-
циала Пуассона не позволяют воспользоваться известными методами исследования характера
регулярности решения задачи Коши (см. [1, c. 441; 3; 4; 6]). Поэтому предлагаемый нами метод
отличается от известных до сих пор и существенно опирается на свойства фундаментальных
матриц решений параболических систем.
Работа состоит из трёх пунктов: в п. 1 приводятся необходимые для дальнейшего изло-
жения сведения и формулируется основная теорема, в п. 2 доказываются вспомогательные
утверждения, касающиеся характера гладкости фундаментальных матриц решений, п. 3 по-
свящён доказательству основной теоремы.
1. Предварительные сведения и формулировка основного результата. Через
C2(R) обозначим пространство (вектор-) функций h : R → Rm, m ∈ N, непрерывных и
ограниченных вместе со своими первой и второй производными, с нормой
∥h; R∥2 = sup |h(x)| + sup |h′(x)| + sup |h′′(x)|.
x∈R
x∈R
x∈R
1606
О ГЛАДКОСТИ ПОТЕНЦИАЛА ПУАССОНА
1607
Пусть T > 0 фиксировано. На плоскости R2 переменных x и t рассматриваем полосу
D = {(x,t) ∈ R2 : x ∈ R,
0 < t ≤ T}.
Следуя [1, c. 16], через H2+α,1+α/2(D),
0 < α < 1, обозначим пространство (вектор-)
функций u, непрерывных вместе со своими первыми по x, t и второй по x производными в
D, для которых конечно выражение
(
∑
∑
∂r+su
1
∂r+su
∥u∥(2+α)D =
sup
x,t)
sup
+
Δ
+
(x,t)∈D
∂tr∂xs(
(x,t),(x+Δx,t)∈D
|Δx|α
x∂tr∂xs(x,t)
2r+s≤2
2r+s=2
|Δx|=0
)
1
∂r+su
1
∂u
+
sup
+
sup
Δ
Δ
,
(x,t),(x,t+Δt)∈D
|Δt|α/2
t∂tr∂xs(x,t)
(x,t),(x,t+Δt)∈D
|Δt|(1+α)/2
t∂x(x,t)
|Δt|=0
|Δt|=0
где
Δxf(x,t) = f(x + Δx,t) - f(x,t), Δtf(x,t) = f(x,t + Δt) - f(x,t)
для любой функции f.
Через
C2,1(D) обозначим пространство (вектор-) функций u, непрерывных и ограничен-
ных вместе со своими первыми по x, t и второй по x производными в D, для которых
конечно выражение
∑
∂r+su
1
∂u
∥u; D∥(2) =
sup
x,t)
sup
(1)
+
Δ
.
(x,t)∈D
∂tr∂xs(
(x,t),(x,t+Δt)∈D
|Δt|1/2
t∂x(x,t)
2r+s≤2
|Δt|=0
Заметим, что пространство
C2,1(D) совпадает с пространством H2+α,1+α/2(D) при подста-
новке в определение последнего α = 0.
Под значениями (вектор-) функций и их производных на границе области понимаем их
предельные значения “изнутри” области.
Для любой матрицы B (или вектора b) под |B| (соответственно |b|) понимаем максимум
из модулей элементов B (компонент b).
Модулем непрерывности, согласно [7, с. 150-151], называем непрерывную, неубывающую,
полуаддитивную функцию ω : [0, +∞) → R такую, что ω(0) = 0.
Пусть ω0 - модуль непрерывности, удовлетворяющий двойному условию Дини:
∫z
∫
y
ω0(z) = y-1 dy ω0(ξ)ξ-1 dξ < ∞, z > 0,
0
0
и такой, что для некоторого ε0 ∈ (0, 1) функция ν(z) = ω0(z)z-ε0 , z > 0, почти убывает.
В полосе D рассмотрим равномерно параболический по Петровскому (см. [8]) оператор
∑
∂u
∂ku
Lu =
- Ak(x,t)
,
∂t
∂xk
k=0
где u = (u1, u2, . . . , um)т и Ak = ||aijk||mi,j=1, k = 0, 1, 2, - m × m-матрицы, элементы которых
суть вещественнозначные функции, определённые в D и удовлетворяющие условиям:
(a) для собственных чисел μr матрицы A2 выполнено Re μr(x, t) ≥ δ для некоторого
δ > 0 и всех (x,t) ∈ D, r = 1,m;
(b) функции aijk ограничены в D и справедливы оценки
|aijk(x + Δx, t + Δt) - aijk(x, t)| ≤ ω0(|Δx| + |Δt|1/2),
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№ 12
2023
2∗
1608
БАДЕРКО, ФЕДОРОВ
(x, t), (x + Δx, t + Δt) ∈ D, i, j = 1, m, k = 0, 1, 2.
Пусть
∫
1
Z(x, t; ξ, τ) =
eiσx exp(-A2(ξ,τ)σ2t)dσ, t > 0,
0 ≤ τ ≤ T, x,ξ ∈ R.
2π
−∞
Справедливы неравенства (см. [9, c. 296-297]):
∂l+kZ
x,t;ξ,τ)
C(l, k)t-(2l+k+1)/2 exp(-cx2/t),
(2)
≤
∂tl∂xk(
∂l+kZ
∂l+kZ
x,t;ξ + Δξ,τ) -
(x, t; ξ, τ)
C(l, k)t-(2l+k+1)/2ω0(|Δξ|) exp(-cx2/t),
(3)
≤
∂tl∂xk(
∂tl∂xk
где t > 0, 0 ≤ τ ≤ T, x,ξ,ξ + Δξ ∈ R, k,l ≥ 0.
Положим D∗ = {(x, t; ξ, τ) ∈ D × D : t > τ}. Матрицу Γ(x, t; ξ, τ), (x, t; ξ, τ) ∈ D∗,
называем фундаментальной матрицей решений (далее - ф.м.р.) системы Lu = 0, если:
1) функции Γ, ∂Γ/∂t, ∂Γ/∂x, ∂2Γ/∂x2 непрерывны в D∗;
2) для любой фиксированной пары (ξ, τ) ∈ R × [0, T ) столбцы матрицы Γ(x, t; ξ, τ) явля-
ются решениями системы Lu = 0 по переменным (x, t) ∈ R × (τ, T ];
3) для любой финитной и непрерывной (вектор-) функции h : R→Rm, h=(h1, h2, . . . , hm)т,
и любого фиксированного τ ∈ [0, T ) потенциал Пуассона
+∞
u(x, t) =
Γ(x, t; ξ, τ)h(ξ) dξ, x ∈ R, t ∈ [τ, T ],
-∞
является классическим ограниченным решением задачи Коши
Lu = 0 в R × (τ,T], u(x,τ) = h(x), x ∈ R,
и в случае m ≥ 2 удовлетворяет условию: для любого t1 ∈ (τ,T) существует постоянная
C1 = C1(t1) такая, что
∂ku
x,t)
C1, k = 1,2, (x,t) ∈ R × [t1,T].
≤
∂xk(
Из теорем единственности для решения задачи Коши (см. [1, c. 29], если m = 1, и [2], если
m ≥ 2) следует единственность ф.м.р. для системы Lu = 0.
Известно (см. [10], если m = 1, и [11, 12], если m ≥ 2), что при условиях (a), (b) существует
ф.м.р. Γ(x, t; ξ, τ) системы Lu = 0, для неё выполнены оценки
(
)
∂l+kΓ
(x - ξ)2
x,t;ξ,τ)
C(t - τ)-(2l+k+1)/2 exp
-c
,
0 ≤ 2l + k ≤ 2,
(4)
≤
∂tl∂xk(
t-τ
и, кроме того, для функции
W (x, t; ξ, τ) ≡ Γ(x, t; ξ, τ) - Z(x - ξ, t - τ; ξ, τ)
справедливы неравенства
(
)
∂l+kW
(x - ξ)2
x,t;ξ,τ)
Cω0((t - τ)1/2)(t - τ)-(2l+k+1)/2 exp
-c
,
0 ≤ 2l + k ≤ 2, (5)
≤
∂tl∂xk (
t-τ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№ 12
2023
О ГЛАДКОСТИ ПОТЕНЦИАЛА ПУАССОНА
1609
(
)
∂W
|Δt|1/2 ω0((t - τ)1/2)
(x - ξ)2
C
exp
-c
,
(6)
Δ
≤
t ∂x(x,t;ξ,τ)
(t - τ)3/2
t-τ
(x, t; ξ, τ), (x, t + Δt; ξ, τ) ∈ D∗, 0 < Δt ≤ t - τ.
Здесь и далее через C и c обозначаем положительные постоянные, зависящие от T, δ,
m и коэффициентов оператора L, конкретный вид которых для нас не важен.
Рассмотрим задачу Коши:
Lu = 0 в D, u(x,0) = h(x), x ∈ R.
(7)
Из свойств ф.м.р. следует, что для любой непрерывной и ограниченной (вектор-) функции h
классическим решением задачи (7) является потенциал Пуассона
+∞
P h(x, t) =
Γ(x, t; ξ, 0)h(ξ) dξ, h = (h1, h2, . . . , hm)т,
(8)
−∞
и имеет место оценка
|P h(x, t)| ≤ C sup |h(x)|, (x, t) ∈ D.
x∈R
Если m = 1, то (8) является единственным классическим решением задачи (7) в классе
непрерывных и ограниченных функций (см. [1, c. 29]). Если m ≥ 2, то (8) является един-
ственным классическим решением задачи (7) в пространстве непрерывных и ограниченных
функций, пространственные производные первого и второго порядков которых непрерывны и
ограничены в каждом слое R × [t1, T ], t1 ∈ (0, T ] (см. [2]). Поэтому исследование решения
задачи Коши (7) сводится к изучению свойств потенциала Пуассона (8).
Основным результатом работы является следующая
Теорема. Пусть выполнены условия (a), (b). Тогда для любой функции h ∈ C2(R) потен-
циал Пуассона (8) принадлежит пространству
C2,1(D) и справедлива оценка
∥P h; D∥(2) ≤ C∥h; R∥2,
при этом
∂kPh
lim
(x, t) = h(k)(x0), k = 0, 1, 2,
(9)
(x,t)→(x0,0)
∂xk
(x,t)∈D
причём стремление к пределу равномерно по x0 ∈ R, если k = 0,1, и стремление к пределу
равномерно по x0 ∈ [-d, d] для любого d > 0, если k = 2.
2. Фундаментальные матрицы решений. Для операторов
∂u
∂2u
∂u
∂2u
∂u
L0u =
- A2(x,t)
и L1u =
- A2(x,t)
- A1(x,t)
∂t
∂x2
∂t
∂x2
∂x
соответствующие ф.м.р. Γi(x, t; ξ, τ), i = 0, 1, имеют вид
Γi(x,t;ξ,τ) = Z(x - ξ,t - τ;ξ,τ) + Wi(x,t;ξ,τ),(x,t;ξ,τ) ∈ D∗.
(10)
Слагаемые Wi в (10) удовлетворяют оценкам (5), (6).
Из единственности решения задачи Коши для параболических систем (см. [2]) следует, что
справедливы равенства
∫
(ξ - z)Γ0(x, t; ξ, τ) dξ = (x - z)E, x, z ∈ R,
0≤τ <t≤T,
(11)
−∞
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№ 12
2023
1610
БАДЕРКО, ФЕДОРОВ
и
∫
Γ1(x,t;ξ,τ)dξ = E, (x,t) ∈ D,
0≤τ <t≤T,
(12)
−∞
где E
- единичная матрица.
Ф.м.р. Γ(x, t; ξ, τ) и Γ1(x, t; ξ, τ) систем Lu = 0 и L1u = 0, соответственно, могут быть
представлены в виде
Γ(x, t; ξ, τ) = Γ1(x, t; ξ, τ) + W2(x, t; ξ, τ),
(13)
Γ1(x,t;ξ,τ) = Γ0(x,t;ξ,τ) + W3(x,t;ξ,τ),
(14)
где
∫t
∫
W2(x,t;ξ,τ) =
dη Γ(x, t; y, η)A0(y, η)Γ1(y, η; ξ, τ) dy,
(15)
τ
-∞
∫t
∫
∂Γ0
W3(x,t;ξ,τ) =
dη Γ1(x, t; y, η)A1(y, η)
(y, η; ξ, τ) dy,
(16)
∂y
τ
-∞
(x, t; ξ, τ) ∈ D∗.
Установим свойства функций W2, W3, которые будем использовать в дальнейшем.
Лемма 1. Пусть выполнены условия (a), (b). Тогда имеют место оценки
(
)
∂kW2
(x - ξ)2
(x, t; ξ, τ)
C(t - τ)(1-k)/2 exp
-c
,
k = 0,1,
(17)
≤
∂xk
t-τ
(
)
∂W2
(Δt)1/2
(x - ξ)2
t
(x, t; ξ, τ)
C
exp
-c
,
(18)
Δ
≤
∂x
(t - τ)1/2
t-τ
(x, t; ξ, τ), (x, t + Δt; ξ, τ) ∈ D∗, 0 < Δt ≤ t - τ;
(
)
∂kW3
(x - ξ)2
(x, t; ξ, τ)
C(t - τ)-k/2 exp
-c
,
k = 0,1,
(19)
≤
∂xk
t-τ
(
)
∂W3
(Δt)1/2
(x - ξ)2
t
(x, t; ξ, τ)
C
exp
-c
,
(20)
Δ
≤
∂x
t-τ
t-τ
(x, t; ξ, τ), (x, t + Δt; ξ, τ) ∈ D∗, 0 < 2Δt ≤ t - τ.
Доказательство. Из определения (15) сразу получаем оценку (17):
(
)∫ t
∂kW2
(x - ξ)2
(x, t; ξ, τ)
C(t - τ)-1/2 exp
-c
(t - η)-k/2 dη ≤
≤
∂xk
t-τ
τ
(
)
(x - ξ)2
≤ C(t - τ)(1-k)/2 exp
-c
,
k = 0,1.
t-τ
Докажем неравенство (18). Пусть 0 < Δt ≤ t - τ. Положим
∫
∫
∂W2
∂Γ
Δt
(x, t; ξ, τ) =
dη
(x, t + Δt; y, η)A0(y, η)Γ1(y, η; ξ, τ) dy -
∂x
∂x
t-Δt
-∞
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№ 12
2023
О ГЛАДКОСТИ ПОТЕНЦИАЛА ПУАССОНА
1611
∫t
∫
∂Γ
− dη
(x, t; y, η)A0(y, η)Γ1(y, η; ξ, τ) dy +
∂x
t-Δt
-∞
∫
∫
∂Γ
+ dη Δt
(x, t; y, η)A0(y, η)Γ1(y, η; ξ, τ) dy ≡
∂x
τ
-∞
≡ I1(x,t,Δt,τ) - I2(x,t,Δt,τ) + I3(x,t,Δt,τ).
Интегралы I1 и I2 оцениваются аналогичным образом. Оценим, например, I2 :
(
) ∫t
(x - ξ)2
dη
|I2(x, t, Δt, τ)| ≤ C(t - τ)-1/2 exp
-c
≤
t-τ
(t - η)1/2
t-Δt
(
)
(x - ξ)2
≤ C(Δt)1/2(t - τ)-1/2 exp
-c
t-τ
Оценим I3. Из представления
∫
∫
∂Z
I3(x,t,Δt,τ) =
dη Δt
(x - y, t - η; y, η)A0(y, η)Γ1(y, η; ξ, τ) dy +
∂x
τ
-∞
∫
∫
∂W
+ dη Δt
(x, t; y, η)A0(y, η)Γ1(y, η; ξ, τ) dy
∂x
τ
-∞
и оценок (2), (6) следует неравенство
(
∫
(
)
1/2
(Δt)
(x - ξ)2
(Δt)1/2
ω0((t - η)1/2)
|I3(x, t, Δt, τ)| ≤ C
exp
-c
+
dη ≤
(t - τ)1/2
t-τ
(t - η)3/2
t-η
τ
(
)
(
)
(x - ξ)2
≤ C 1 + ω0((t - τ)1/2) (Δt)1/2(t - τ)-1/2 exp
-c
t-τ
Оценку (19) сразу получаем из определения (16):
(
)∫ t
∂kW3
(x - ξ)2
(x, t; ξ, τ)
C(t - τ)-1/2 exp
-c
(t - η)-k/2(η - τ)-1/2 dη ≤
≤
∂xk
t-τ
τ
(
)
(x - ξ)2
≤ C(t - τ)-k/2 exp
-c
,
k = 0,1.
t-τ
Наконец, докажем неравенство (20). Пусть 0 < 2Δt ≤ t - τ. Положим
∫
∫
∂W3
∂Γ1
∂Γ0
Δt
(x, t; ξ, τ) =
dη
(x, t + Δt; y, η)A1(y, η)
(y, η; ξ, τ) dy -
∂x
∂x
∂y
t-Δt
-∞
∫t
∫
∂Γ1
∂Γ0
− dη
(x, t; y, η)A1(y, η)
(y, η; ξ, τ) dy +
∂x
∂y
t-Δt
-∞
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№ 12
2023
1612
БАДЕРКО, ФЕДОРОВ
∫
∫
∂Γ1
∂Γ0
+ dη Δt
(x, t; y, η)A1(y, η)
(y, η; ξ, τ) dy ≡
∂x
∂y
τ
-∞
≡ J1(x,t,Δt,τ) - J2(x,t,Δt,τ) + J3(x,t,Δt,τ).
Оценим интеграл J2 (интеграл J1 оценивается аналогично):
(
) ∫t
(
)
C
(x - ξ)2
dη
C(Δt)1/2
(x - ξ)2
|J2(x, t, Δt, τ)| ≤
exp
-c
≤
exp
-c
t-τ
t-τ
(t - η)1/2
t-τ
t-τ
t-Δt
Из представления
∫
∫
∂Z
∂Γ0
J3(x,t,Δt,τ) =
dη Δt
(x - y, t - η; y, η)A1(y, η)
(y, η; ξ, τ) dy +
∂x
∂y
τ
-∞
∫
∫
∂W1
∂Γ0
+ dη Δt
(x, t; y, η)A1(y, η)
(y, η; ξ, τ) dy
∂x
∂y
τ
-∞
и оценок (2), (6) следует неравенство для интеграла J3 :
(
)( ∫ t
∫
)(
1/2
(Δt)
(x - ξ)2
(Δt)1/2
|J3(x, t, Δt, τ)| ≤ C
exp
-c
+
+
(t - τ)1/2
t-τ
(t - η)3/2(η - τ)1/2
(t+τ)/2
τ
)
(
(
)
ω0((t - η)1/2)
) (Δt)1/2
(x - ξ)2
+
dη ≤ C
1 + ω0((t - τ)1/2)
exp
-c
(t - η)(η - τ)1/2
t-τ
t-τ
Лемма доказана.
Лемма 2. Пусть выполнены условия (a), (b). Тогда имеют место оценки
(
)
∂2W2
C
(x - ξ)2
(x, t; ξ, τ)
exp
-c
,
(21)
≤
∂x2
(t - τ)1/2
t-τ
(
)
∂2W3
C
(x - ξ)2
(x, t; ξ, τ)
exp
-c
,
(22)
≤
∂x2
t-τ
t-τ
(x, t; ξ, τ) ∈ D∗, и предельные соотношения
∫
∂2W2
lim
(x, t; ξ, τ) dξ = 0,
(23)
t→τ+0
∂x2
−∞
∫
∂2W3
lim
(ξ - x)
(x, t; ξ, τ) dξ = 0,
(24)
t→τ+0
∂x2
−∞
x ∈ R, τ ∈ [0,T), причём сходимость равномерна по x ∈ R, τ ∈ [0,T).
Доказательство. Докажем оценку (21). Имеет место представление
∫
t
∫
∂2W2
∂2Z
(x, t; ξ, τ) =
dη
(x - y, t - η; x, η)[A0(y, η)Γ1(y, η; ξ, τ) -
∂x2
∂y2
τ
-∞
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№ 12
2023
О ГЛАДКОСТИ ПОТЕНЦИАЛА ПУАССОНА
1613
∫t
∫
[∂2Z
− A0(x,η)Γ1(x,η;ξ,τ)]dy + dη
(x - y, t - η; y, η) -
∂x2
τ
-∞
]
∂2Z
−
(x - y, t - η; x, η) A0(y, η)Γ1(y, η; ξ, τ) dy +
∂y2
∫t
∫
∂2W
+ dη
(x, t; y, η)A0(y, η)Γ1(y, η; ξ, τ) dy ≡ I1(x, t; ξ, τ) + I2(x, t; ξ, τ) + I3(x, t; ξ, τ).
∂x2
τ
-∞
Рассмотрим I1 :
∫t
∫
∂2Z
I1(x,t;ξ,τ) =
dη
(x - y, t - η; x, η)[A0(y, η) - A0(x, η)]Γ1(y, η; ξ, τ) dy +
∂y2
τ
-∞
∫t
∫
∂2Z
+ dη
(x - y, t - η; x, η)A0(x, η)[Γ1(y, η; ξ, τ) - Γ1(x, η; ξ, τ)] dy ≡
∂y2
τ
-∞
≡ I11(x,t;ξ,τ) + I12(x,t;ξ,τ).
Оценим I11. Из условия (b) получаем
(
)∫ t
(x - ξ)2
ω0((t - η)1/2)
|I11(x, t; ξ, τ)| ≤ C(t - τ)-1/2 exp
-c
dη ≤
t-τ
t-η
τ
(
)
2
ω0((t - τ)1/2)
(x - ξ)
≤C
exp
-c
(25)
(t - τ)1/2
t-τ
Оценим I12. Из представления
∫t
∫
∂Z
∂Γ1
I12(x,t;ξ,τ) = - dη
(x - y, t - η; x, η)A0(x, η)
(y, η; ξ, τ) dy
(26)
∂y
∂y
τ
-∞
следует неравенство
(
)
(x - ξ)2
|I12(x, t; ξ, τ)| ≤ C(t - τ)-1/2 exp
-c
t-τ
Рассмотрим I2. Из оценки (3) имеем
(
)∫ t
(x - ξ)2
ω0((t - η)1/2)
|I2(x, t; ξ, τ)| ≤ C(t - τ)-1/2 exp
-c
dη ≤
t-τ
t-η
τ
(
)
2
ω0((t - τ)1/2)
(x - ξ)
≤C
exp
-c
(27)
(t - τ)1/2
t-τ
Из оценки (5) следует неравенство для интеграла I3 :
(
)∫ t
(x - ξ)2
ω0((t - η)1/2)
|I3(x, t; ξ, τ)| ≤ C(t - τ)-1/2 exp
-c
dη ≤
t-τ
t-η
τ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№ 12
2023
1614
БАДЕРКО, ФЕДОРОВ
(
)
ω
2
0((t - τ)1/2)
(x - ξ)
≤C
exp
-c
(28)
(t - τ)1/2
t-τ
Из оценок для интегралов I1, I2, I3 получаем неравенство (21).
Докажем предельное соотношение (23). Рассмотрим I12. Из представления (26), теоремы
Фубини (см., например, [13, c. 453-455; 14, c. 160-161]) и равенства (12) имеем
∫
∫
t
∫
∫
∂Z
∂Γ1
I12(x,t;ξ,τ)dξ = - dη
(x - y, t - η; x, η)A0(x, η) dy
(y, η; ξ, τ) dξ = 0,
∂y
∂y
−∞
τ
-∞
-∞
x ∈ R, 0 ≤ τ < t ≤ T. Отсюда и из оценок (25), (27), (28) следует соотношение (23).
Далее докажем оценку (22). В силу равенства (12) имеет место представление
∫
t
∫
)
[
]
∂2W3
(∂2Γ1
∂Γ0
∂Γ0
(x, t; ξ, τ) =
dη
(x, t; y, η) A1(x, η)
(y, η; ξ, τ) -
(x, η; ξ, τ) dy +
∂x2
∂x2
∂y
∂x
(t+τ)/2
-∞
∫
∫
)
(∂2Γ1
∂Γ0
+
dη
(x, t; y, η) A1(x, η)
(y, η; ξ, τ) dy +
∂x2
∂y
τ
-∞
∫t
∫
)
(∂2Γ1
∂Γ0
+ dη
(x, t; y, η)
[A1(y, η) - A1(x, η)]
(y, η; ξ, τ) dy ≡
∂x2
∂y
τ
-∞
≡ J1(x,t;ξ,τ) + J2(x,t;ξ,τ) + J3(x,t;ξ,τ).
Имеем
(
)∫ t
(
)
(x - ξ)2
dη
C
(x - ξ)2
|J1(x, t; ξ, τ)| ≤ C(t - τ)-3/2 exp
-c
≤
exp
-c
,
t-τ
(t - η)1/2
t-τ
t-τ
τ
(
)∫ t
(
)
(x - ξ)2
dη
C
(x - ξ)2
|J2(x, t; ξ, τ)| ≤ C(t - τ)-3/2 exp
-c
≤
exp
-c
,
t-τ
(η - τ)1/2
t-τ
t-τ
τ
(
)∫ t
C
(x - ξ)2
ω0((t - η)1/2)
|J3(x, t; ξ, τ)| ≤
exp
-c
dη ≤
(t - τ)1/2
t-τ
(t - η)(η - τ)1/2
τ
(
)
2
ω0((t - τ)1/2)
(x - ξ)
≤C
exp
-c
(29)
t-τ
t-τ
Из оценок для интегралов J1, J2, J3 получаем неравенство (22).
Наконец, докажем предельное соотношение (24). Из теоремы Фубини и равенств (11), (12)
заключаем, что
∫
(ξ - x)J1(x, t; ξ, τ) dξ =
-∞
∫t
∫
∫
[
]
∂2Γ1
∂Γ0
∂Γ0
=
dη
(x, t; y, η)A1(x, η) dy
(ξ - x)
(y, η; ξ, τ) -
(x, η; ξ, τ) dξ = 0
∂x2
∂y
∂x
(t+τ)/2
-∞
-∞
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№ 12
2023
О ГЛАДКОСТИ ПОТЕНЦИАЛА ПУАССОНА
1615
и
∫
∫
∫
∫
∂2Γ1
∂Γ0
(ξ - x)J2(x, t; ξ, τ) dξ =
dη
(x, t; y, η)A1(x, η) dy
(ξ - x)
(y, η; ξ, τ) dξ =
∂x2
∂y
−∞
τ
-∞
-∞
∫
∫
∂2Γ1
=
dη
(x, t; y, η)A1(x, η) dy = 0,
∂x2
τ
-∞
x ∈ R, 0 ≤ τ < t ≤ T. Отсюда и из оценки (29) следует соотношение (24). Лемма доказана.
3. Доказательство теоремы. Достаточно установить следующие неравенства:
∂kPh
(x, t)
C∥h; R∥2, k = 0, 1, 2,
(30)
≤
∂xk
∂Ph
t
(x, t)
C∥h; R∥2|Δt|1/2,
(31)
Δ
≤
∂x
где (x, t), (x, t + Δt) ∈ D, и, в силу непрерывности h, h′, h′′, предельные соотношения:
∂kPh
lim
(x, t) = h(k)(x), k = 0, 1, 2,
(32)
t→+0
∂xk
в которых сходимость равномерна по x ∈ R, если k = 0, 1, и равномерна по x ∈ [-d, d] для
любого d > 0, если k = 2.
Из представления (см. (12), (13))
+∞
∫
P h(x, t) = h(x) + Γ1(x, t; ξ, 0)(h(ξ) - h(x)) dξ +
W2(x,t;ξ,0)h(ξ)dξ
-∞
-∞
и оценок (4), (17) сразу следуют неравенство (30) и предельное соотношение (32) при k = 0.
Из представления (см. (11)-(14))
∫
(
)
∂Ph
∂Γ
(x, t) =
(x, t; ξ, 0) (h(ξ) - h(x) - h′(x)(ξ - x)) dξ +
∂x
∂x
-∞
∫
)
∂W2
+
(x, t; ξ, 0) dξ h(x) + h′(x) +
∂x
-∞
∫
(
)
)
∂W2
∂W3
+ (ξ - x)
(x, t; ξ, 0) +
(x, t; ξ, 0) dξ h′(x),
(33)
∂x
∂x
−∞
неравенства
|h(ξ) - h(x) - h′(x)(ξ - x)| ≤ C∥h; R∥2|ξ - x|2
и оценок (4), (17), (19) следуют неравенство (30) и предельное соотношение (32) при k = 1.
Далее докажем (30) и (32) для k = 2. Имеет место представление (см. (11)-(14))
∫
)
∂2Ph
(∂2Γ
(x, t) =
(x, t; ξ, 0) (h(ξ) - h(x) - h′(x)(ξ - x)) dξ +
∂x2
∂x2
-∞
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№ 12
2023
1616
БАДЕРКО, ФЕДОРОВ
∫
)
∫
∂2W2
(∂2W2
+
(x, t; ξ, 0) dξ h(x) +
(ξ - x)
(x, t; ξ, 0) +
∂x2
∂x2
−∞
-∞
) )
∂2W3
+
(x, t; ξ, 0) dξ h′(x) ≡ I1(x, t) + I2(x, t) + I3(x, t), (x, t) ∈ D.
∂x2
Из неравенства
∫
(
)
|ξ - x|2
(x - ξ)2
|I1(x, t)| ≤ C∥h; R∥2
exp
-c
dξ ≤ C∥h; R∥2
t3/2
t
−∞
и оценок (21), (22) следует (30) при k = 2.
Докажем (32) для k = 2. Из оценки (21) и предельных соотношений (23), (24) получаем
lim
Ik(x,t) = 0, k = 2,3,
(34)
t→+0
причём стремление к пределу равномерно по x ∈ R.
Рассмотрим I1. Пользуясь равенством
h′′(x + Θ(ξ - x))
h(ξ) - h(x) - h′(x)(ξ - x) =
(ξ - x)2,
2
Θ = Θ(x,ξ) ∈ (0,1),
(35)
перепишем I1 в виде
∫
∂2Γ
)h′′(x)
I1(x,t) =
(ξ - x)2
(x, t; ξ, 0) dξ
+
∂x2
2
−∞
∫
1
∂2Γ
+
(ξ - x)2
(x, t; ξ, 0)(h′′(x + Θ(ξ - x)) - h′′(x)) dξ ≡ I11(x, t) + I12(x, t).
2
∂x2
−∞
Рассмотрим I11 :
∫
∂2Z
)h′′(x)
I11(x,t) =
(ξ - x)2
(x - ξ, t; A2(x, 0)) dξ
+
∂ξ2
2
−∞
∫
(∂2Z
∂2Z
+ (ξ - x)2
(x - ξ, t; A2(ξ, 0)) -
(x - ξ, t; A2(x, 0)) +
∂x2
∂ξ2
−∞
)
∂2W
)h′′(x)
+
(x, t; ξ, 0) dξ
=h′′(x)
I11(x,t).
∂x2
2
Из оценок (3), (5) следует неравенство
I11(x,t)| ≤ Cω0(t1/2), из которого имеем
lim
I11(x,t) = 0,
t→+0
причём стремление к пределу равномерно по x ∈ R.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№ 12
2023
О ГЛАДКОСТИ ПОТЕНЦИАЛА ПУАССОНА
1617
Рассмотрим I12. Зафиксируем произвольно d > 0. Пусть ε > 0 произвольно. Обозначим
модуль непрерывности функции h′′ на отрезке [-2d, 2d] через ωh′′,2d, а именно, полагаем
ωh′′,2d(z) =
sup
|h′′(x + Δx) - h′′(x)|.
|Δx|≤z
x,x+Δx∈[-2d,2d]
Тогда выполняется неравенство (см. (35))
|h′′(x + Θ(ξ - x)) - h′′(x)| ≤ ωh′′,2d(δ), если x ∈ [-d, d],
|ξ - x| ≤ δ < d.
Отсюда, из представления
( ∫
∫
1
)∂2Γ
I12(x,t) =
+
(x, t; ξ, 0)(h′′(x + Θ(ξ - x)) - h′′(x))(ξ - x)2 dξ
2
∂x2
|ξ-x|≤δ
|ξ-x|>δ
и оценки (4) следует неравенство
|I12(x, t)| ≤ C(ωh′′,2d(δ) + exp(-cδ2/t)),
из которого, выбирая последовательно достаточно малое δ = δ(ε, d) > 0 и затем достаточно
малое t = t(δ) > 0, получаем
|I12(x, t)| ≤ ε.
Таким образом, lim
I12(x,t) = 0 и, следовательно,
t→+0
lim
I1(x,t) = h′′(x),
t→+0
причём сходимость равномерна на [-d, d]. Отсюда и из (34) следует равенство (32) при k = 2.
Наконец, докажем оценку (31). Не ограничивая общности, считаем Δt > 0. В случае
2Δt ≥ t > 0 неравенство (31) следует из представления (33) и оценок (4), (17), (19):
∂Ph
∂Ph
∂Ph
t
(x, t)
(x, t + Δt) - h′(x)
(x, t) - h′(x)
Δ
≤
+
≤
∂x
∂x
∂x
≤ C∥h;R∥2(|t + Δt|1/2 + |t|1/2) ≤ C∥h;R∥2|Δt|1/2.
В случае 0 < 2Δt ≤ t неравенство (31) следует из представления (см. (33))
∫
(
)
∂Ph
∂Z
Δt
(x, t) =
Δt
(x - ξ, t; A2(ξ, 0)) (h(ξ) - h(x) - h′(x)(ξ - x)) dξ +
∂x
∂x
−∞
+∞
(
)
∫
)
∂W
∂W2
+ Δt
(x, t; ξ, 0) (h(ξ) - h(x) - h′(x)(ξ - x)) dξ +
Δt
(x, t; ξ, 0) dξ h(x) +
∂x
∂x
−∞
-∞
∫
(
)
)
∂W2
∂W3
+ (ξ - x) Δt
(x, t; ξ, 0) + Δt
(x, t; ξ, 0) dξ h′(x)
∂x
∂x
−∞
и оценок (2), (6), (18), (20). Теорема доказана.
Замечание. Из доказательства теоремы следует, что если функция h′′ ограничена и рав-
номерно непрерывна, то сходимость в предельном соотношении (9) равномерна по x0 ∈ R.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№ 12
2023
1618
БАДЕРКО, ФЕДОРОВ
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения па-
раболического типа. М., 1967.
2. Бадерко Е.А., Черепова М.Ф. О единственности решения задачи Коши для параболических систем
// Дифференц. уравнения. 2019. Т. 55. № 6. С. 822-830.
3. Солонников В.А. О краевых задачах для линейных параболических систем дифференциальных
уравнений общего вида // Тр. Мат. ин-та им. В.А. Стеклова. 1965. Т. 83. С. 3-163.
4. Камынин Л.И. О решении методом потенциалов основных краевых задач для одномерного пара-
болического уравнения 2-го порядка // Сиб. мат. журн. 1974. Т. 15. № 4. C. 806-834.
5. Бадерко Е.А., Сахаров С.И. Потенциал Пуассона в первой начально-краевой задаче для параболи-
ческой системы в полуограниченной области на плоскости // Дифференц. уравнения. 2022. Т. 58.
№ 10. С. 1333-1343.
6. Arnese G. Su alcune proprieta dell’integrale di Poisson relativo ad una equazione parabolica di ordine
2m a coefficienti non costanti // Ann. di Mat. Pura ed Appl. 1971. V. 91. № 1. P. 1-16.
7. Дзядык В.К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. М., 1977.
8. Петровский И.Г. О проблеме Коши для систем линейных уравнений с частными производными в
области неаналитических функций // Бюлл. Моск. гос. ун-та. Секция А. 1938. Т. 1. № 7. C. 1-72.
9. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. М., 1968.
10. Бадерко Е.А. О потенциалах для 2p-параболических уравнений // Дифференц. уравнения. 1983.
Т. 19. № 1. С. 9-18.
11. Зейнеддин М. Гладкость потенциала простого слоя для параболической системы второго порядка
в классах Дини // Деп. ВИНИТИ РАН. 16.04.92. № 1294-В92.
12. Зейнеддин М. О потенциале простого слоя для параболической системы в классах Дини: дис
канд. физ.-мат. наук. М., 1992.
13. Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции по математическому анализу. М., 2008.
14. Богачев В.И., Смолянов О.Г. Действительный и функциональный анализ: университетский курс.
М.; Ижевск, 2020.
Московский государственный университет
Поступила в редакцию 16.09.2023 г.
имени М.В. Ломоносова,
После доработки 16.09.2023 г.
Московский центр фундаментальной
Принята к публикации 11.10.2023 г.
и прикладной математики
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№ 12
2023
