ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2023, том 59, № 12, с. 1641-1653

УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

УДК 517.956.4

НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ

ДЛЯ ОДНОРОДНЫХ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ

В ПОЛУОГРАНИЧЕННОЙ ПЛОСКОЙ ОБЛАСТИ

И УСЛОВИЕ ДОПОЛНИТЕЛЬНОСТИ

Рассмотрены начально-краевые задачи для однородных параболических систем с коэффи-

циентами, удовлетворяющими двойному условию Дини, с нулевыми начальными условиями

в полуограниченной плоской области с негладкой боковой границей. Методом граничных

интегральных уравнений доказана теорема об однозначной классической разрешимости

таких задач в пространстве функций, непрерывных вместе со своей пространственной про-

изводной первого порядка в замыкании области. Дано интегральное представление полу-

ченных решений. Показано, что рассматриваемое в работе условие разрешимости постав-

ленных задач эквивалентно известному условию дополнительности.

DOI: 10.31857/S0374064123120051, EDN: NVAUBL

Введение. Теория однозначной разрешимости начально-краевых задач для параболиче-

ских систем общего вида с гёльдеровскими коэффициентами в пространствах Hk+α,(k+α)/2(Ω),

k ≥ 2,

0 < α < 1, в областях с гладкими боковыми границами построена в работе [1] (см.

также [2, c. 705]). Особый интерес указанные задачи представляют в случае областей с неглад-

кими боковыми границами, допускающими, в частности, “клювы”. В случае параболических

систем с гёльдеровскими коэффициентами первая и вторая начально-краевые задачи в плос-

ких областях с негладкими боковыми границами из класса Жевре H(1+α)/2 рассматривались

в статьях [3-8]. В случае параболических систем с коэффициентами, удовлетворяющими двой-

ному условию Дини, в [9-14] доказаны теоремы о существовании и единственности решений

из пространства C1,0(Ω) первой, второй и смешанной начально-краевых задач в областях с

боковыми границами из класса H1/2+ω, где ω удовлетворяет условию Дини.

Естественно возникает вопрос об исследовании начально-краевых задач для параболиче-

ских систем в областях с негладкими боковыми границами, на которых задаются граничные

условия общего вида. В настоящей работе доказана однозначная классическая разрешимость в

пространстве C1,0(Ω) начально-краевых задач общего вида для однородных параболических

систем с коэффициентами, удовлетворяющими двойному условию Дини, c нулевыми началь-

ными условиями в полуограниченной области с боковой границей из класса Дини-Гёльдера

H1/2+ω, где ω удовлетворяет условию Дини. Коэффициенты в граничных условиях являются

постоянными. Показано, что рассматриваемое в данной статье условие разрешимости постав-

ленных задач эквивалентно известному условию дополнительности (см. [2, c. 700; 15, с. 360]).

Построен пример, иллюстрирующий тот факт, что в общем случае это условие может не вы-

полняться. Приведён алгоритм вычислений, связанный с проверкой выполнения указанного

условия разрешимости.

Работа состоит из четырёх пунктов. В п. 1 приводятся необходимые определения и форму-

лируются основные результаты. В п. 2 доказывается теорема об однозначной разрешимости в

пространстве C[0, T ] систем граничных интегральных уравнений, которые индуцируются гра-

ничными условиями поставленных задач. Доказательству основной теоремы об однозначной

разрешимости рассматриваемых задач посвящён п. 3. В п. 4 доказывается эквивалентность

условия разрешимости из основной теоремы и известного условия дополнительности, кроме

того, строится пример, показывающий, что в общем случае это условие может не выполнять-

ся, а также приводится алгоритм вычислений, связанный с проверкой выполнения указанного

условия.

1641

1642

САХАРОВ

1. Необходимые сведения и формулировка основного результата. Следуя [16,

c. 151], модулем непрерывности называем непрерывную неубывающую полуаддитивную

функцию ω : [0, +∞) → R, для которой ω(0) = 0. Говорят, что модуль непрерывности ω

удовлетворяет условию Дини, если

∫z

ω(z) = y-1ω(y) dy < +∞, z > 0.

(1)

Через D обозначим множество модулей непрерывности, удовлетворяющих условию Дини (1).

Пусть T > 0 - фиксированное число. Через C[0, T ] обозначим пространство непрерывных

на отрезке [0, T ] вектор-функций с нормой ∥ψ; [0, T ]∥⁰ = max

|ψ(t)|. Положим C[0, T ] = {ψ ∈

t∈[0,T ]

∈ C[0,T] : ψ(0) = 0}.

Здесь и далее для числового вектора a (числовой матрицы A) под |a| (соответственно

|A|) понимаем максимум из модулей его компонент (её элементов).

Пусть ω - некоторый модуль непрерывности. Введём пространства

{

}

|Δ_tψ(t)|

Hq+ω[0,T] = ψ ∈ C[0,T] : ∥ψ;[0,T]∥q+ω = ∥ψ;[0,T]∥⁰ +

sup

<∞ ,

t,t+Δt∈(0,T )

|Δt|^qω(|Δt|1/2)

Δt=0

Hq+ω[0,T] = {ψ ∈ Hq+ω[0,T] : ψ(0) = 0}, q = 0,1/2,

где Δ_tψ(t) = ψ(t + Δt) - ψ(t).

Пусть

∫

∂1/2ϕ(t) =

√π dt(t-τ)-1/2ϕ(τ)dτ,t∈[0,T],

- оператор дробного дифференцирования порядка 1/2. Следуя [3, 4], введём пространство

C1/2[0, T ] = {ψ ∈ C[0, T ] : ∂1/2ψ ∈ C[0, T ],

∥ψ; [0, T ]∥1/2 = ∥ψ; [0, T ]∥⁰ + ∥∂1/2ψ; [0, T ]∥⁰ < ∞}.

Функция ν(z), z ≥ 0, называется почти убывающей, если для некоторой постоянной C >

> 0 выполняется неравенство ν(z₁) ≤ Cν(z₂), z₁ ≥ z₂ ≥ 0.

В полосе D = {(x, t) ∈ R² : x ∈ R, t ∈ (0, T )} выделим область Ω = {(x, t) ∈ D : x > g(t)},

где g удовлетворяет условию

g ∈ H1/2+ω1[0,T], ω₁ ∈ D,

(2)

причём для некоторого ε₁ ∈ (0, 1) функция z-ε1 ω₁(z), z > 0, почти убывает.

Через C⁰(Ω) обозначим пространство непрерывных и ограниченных в Ω вектор-функ-

ций u с нормой ∥u; Ω∥⁰ = sup |u(x, t)|.

(x,t)∈Ω

Под значениями функций и их производных на границе произвольной области Ω ⊂ R²

понимаем их предельные значения “изнутри” Ω.

∑₁

Положим C1,0(Ω) = {u ∈ C⁰(Ω) : ∂_xu ∈ C⁰(Ω)},

∥u; Ω∥1,0 =

∥∂^lxu; Ω∥⁰, C1,0(Ω) =

l=0

= {u ∈ C1,0(Ω) : ∂^lxu(x, 0) = 0, l = 0, 1}.

Пусть число m ∈ N, m ≥ 2, зафиксировано. Рассмотрим в полосе D равномерно парабо-

лический по Петровскому (см. [17]) оператор

∑

Lu = ∂_tu - A_l(x,t)∂^lxu, u = (u₁,... ,u_m)^т,

l=0

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№ 12

2023

НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ

1643

где A_l = ∥a_jkl∥ - m × m-матрицы, элементами которых являются вещественные функции,

определённые и ограниченные в D, и выполнены условия:

(a) собственные числа μ_r, r = 1, m, матрицы A₂ подчиняются неравенствам Re μ_r(x, t) ≥

≥ δ для некоторого δ > 0 и всех (x,t) ∈ D;

(b) |ajkl(x + Δx, t + Δt) - ajkl(x, t)| ≤ ω0(|Δx| + |Δt|1/2), (x + Δx, t + Δt), (x, t) ∈ D, где

ω₀ - модуль непрерывности, удовлетворяющий двойному условию Дини

∫z

∫

ω₀(z) = y-1 dy x-1ω₀(x)dx < +∞, z > 0,

причём для некоторого ε₀ ∈ (0, 1) функция z-ε0 ω₀(z), z > 0, почти убывает.

Пусть

∫

Z(x, t; A₂(ξ, τ)) =

e^ixy exp{-y²A₂(ξ,τ)t}dy, (x,t) ∈ R × (0,+∞), (ξ,τ) ∈ D.

(3)

2π

−∞

Обозначим D^∗ = {(x, t; ξ, τ) ∈ D × D : t > τ}. Известно (см. [18]), что при выполнении усло-

вий (a) и (b) у системы Lu = 0 существует фундаментальная матрица решений Γ(x, t; ξ, τ),

(x, t; ξ, τ) ∈ D^∗, справедливы оценки

|∂^kt∂^lxΓ(x, t; ξ, τ)| ≤ C(t - τ)-(2k+l+1)/2 exp{-c(x - ξ)²/(t - τ)}, (x, t; ξ, τ) ∈ D^∗,

2k + l ≤ 2,

и, кроме того, для разности

W (x, t; ξ, τ) ≡ Γ(x, t; ξ, τ) - Z(x - ξ, t - τ; A₂(ξ, τ)), (x, t; ξ, τ) ∈ D^∗,

(4)

выполнены оценки

|∂^kt∂^lxW (x, t; ξ, τ)| ≤ C(t - τ)-(2k+l+1)/2 ω₀((t - τ)1/2) exp{-c(x - ξ)²/(t - τ)},

2k + l ≤ 2,

|Δ_t∂_xW (x, t; ξ, τ)| ≤ C(Δt)1/2(t - τ)-3/2 ω₀((t - τ)1/2) exp{-c(x - ξ)²/(t - τ)},

(x, t; ξ, τ), (x, t + Δt; ξ, τ) ∈ D^∗, 0 < Δt ≤ t - τ.

Пусть m_j ∈ N

^⋃ {0}, j = 0, 1, и m₀ + m₁ = m, и пусть заданы m₀ × m-матрица B₀ =

= ∥bjk0∥ и m₁ × m-матрицы B₁ = ∥bjk1∥,

B₁ = ∥bjk1∥, где bjk0, bjk1,

bjk1 - вещественные

числа.

Рассмотрим задачу о нахождении вектор-функции u ∈ C1,0(Ω), являющейся классическим

решением системы

Lu(x, t) = 0, (x, t) ∈ Ω,

(5)

удовлетворяющей начальному условию

u(x, 0) = 0, x ≥ g(0),

(6)

и граничным условиям

B₀u(g(t),t) = ψ₀(t),

(7)

B₁∂_xu(g(t),t) +B1u(g(t),t) = ψ₁(t), t ∈ [0,T].

(8)

Положим

∫

A(t) = A₂(g(t), t), M(t) =

(9)

√πexp{-y2A(t)}dy,

-∞

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№ 12

2023

1644

САХАРОВ

)

(

B₀

G(t) =

t ∈ [0,T].

(10)

B₁M(t)

Заметим, что из равенства (см. [19]) M²(t) = (A(t))-1, t ∈ [0, T ], следует, что

det M(t) = 0, t ∈ [0, T ].

(11)

Основным результатом настоящей работы является следующая

Теорема 1. Пусть выполнены условия (а), (b), (2) и, кроме того,

det G(t) = 0, t ∈ [0, T ].

(12)

Тогда для любых вектор-функций ψ₀ ∈ C1/2[0, T ] и ψ1 ∈ C[0, T ] существует единственное

классическое решение u ∈ C1,0(Ω) задачи (5)-(8) и справедлива оценка

∥u; Ω∥1,0 ≤ C{∥ψ₀; [0, T ]∥1/2 + ∥ψ₁; [0, T ]∥⁰}.

(13)

При этом для решения u ∈ C1,0(Ω) задачи (5)-(8) справедливо интегральное представление

в виде векторного параболического потенциала простого слоя

∫t

u(x, t) = Γ(x, t; g(τ), τ)ϕ(τ) dτ, (x, t) ∈ Ω,

(14)

где ϕ ∈ C[0, T ] - единственное в пространстве C[0, T ] решение системы граничных инте-

гральных уравнений Вольтерры первого и второго рода

∫^t

B₀

Γ(g(t), t; g(τ), τ)ϕ(τ) dτ = ψ₀(t),

(15)

∫t

B₁(A(t))-1ϕ(t) +

[B₁∂_xΓ(g(t), t; g(τ), τ) +

+ B₁Γ(g(t),t;g(τ),τ)]ϕ(τ)dτ = ψ₁(t), t ∈ [0,T].

(16)

Здесь и далее через C, c обозначаем положительные постоянные, зависящие от чисел T,

m, коэффициентов оператора L, элементов матриц B_j, j = 0,1,

B₁

и модуля непрерывно-

сти ω₁.

Замечание 1. Пусть E - единичная m×m-матрица. Для первой начально-краевой задачи

(m₀ = m, B₀ = E) и второй начально-краевой задачи (m₁ = m, B₁ = E,

B₁ = 0) теорема 1

следует из [9, 10, 13].

В настоящей работе также проверяется, что условие (12) эквивалентно известному (см. [2,

c. 700; 15, с. 360]) условию дополнительности: для произвольно фиксированных чисел p ∈ C,

Re p > 0, и t ∈ [0,T]

⎛

∫

⎞

B₀

(pE + y²A(t))-1 dy

⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

γ ∫p,t)

⎟

det

⎜

⎟ = 0,

(17)

⎜

⎟

⎝B1

y(pE + y²A(t))-1 dy⎠

γ⁺(p,t)

где γ⁺(p, t) - произвольный простой замкнутый контур, содержащийся в полуплоскости

{Im y > 0} и охватывающий корни уравнения det (pE +y²A(t)) = 0, имеющие положительную

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№ 12

2023

НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ

1645

мнимую часть (здесь и далее обход кривых, по которым ведётся интегрирование, предполага-

ется направленным против часовой стрелки). А именно, доказывается следующая

Теорема 2. Если выполняется условие (a), то условие (12) имеет место тогда и только

тогда, когда выполняется условие (17).

Из теоремы 2 следует, в частности, что для первой и второй начально-краевых задач усло-

вие (17) выполнено. Для первой начально-краевой задачи это было ранее показано в моногра-

фии [2, c. 715], для второй - в работах [10, 13].

В общем случае условие (12) может не выполняться. Соответствующий пример приводится

ниже в п. 4.

Заметим, что если известна такая матрица F (t), t ∈ [0, T ], что A(t) = F-1(t)A(t)F (t),

t ∈ [0,T], где A - жорданова форма матрицы A, то элементы матрицы G из условия (12)

могут быть легко вычислены. Алгоритм такого вычисления приводится в п. 4. В некоторых

случаях вычисление элементов матрицы G можно провести даже если матрица F неизвестна

(см. п. 4).

2. Система граничных интегральных уравнений. Приведём сведения, которые будут

использованы в дальнейшем.

Лемма 1 [20]. Пусть ω ∈ D. Тогда ∂^1/2 является ограниченным оператором из прост-

ранства H1/2+ω[0, T ] в пространство Hω[0, T ].

Следуя А.Н. Тихонову (см. [21]), назовём оператор K : C[0, T ] → C[0, T ] вольтерровым,

если для любого t ∈ [0, T ] из равенства ϕ₁ = ϕ₂ на [0, t] следует, что Kϕ₁ = Kϕ₂ на [0, t].

Лемма 2 [22]. Пусть ω - некоторый модуль непрерывности и K : C[0, T ] → H^ω[0, T ] -

линейный ограниченный вольтерров оператор. Тогда для любой вектор-функции ψ ∈ C[0, T ]

уравнение ϕ + Kϕ = ψ имеет единственное решение ϕ ∈ C[0, T ] и справедлива оценка

∥ϕ; [0, T ]∥⁰ ≤ C∥ψ; [0, T ]∥⁰.

Докажем, что справедлива

Теорема 3. Пусть выполнены условия (а), (b), (2) и (12). Тогда для любых вектор-функ-

ций ψ₀ ∈ C1/2[0, T ] и ψ1 ∈ C[0, T ] система (15), (16) имеет единственное в пространстве

C[0, T ] решение ϕ ∈ C[0, T ] и справедлива оценка

∥ϕ; [0, T ]∥⁰ ≤ C{∥ψ₀; [0, T ]∥1/2 + ∥ψ₁; [0, T ]∥⁰}.

(18)

Замечание 2. Для первой и второй начально-краевых задач теорема 3 доказана в рабо-

тах [9] и [10] соответственно.

Доказательство теоремы 3. Полагая (см. (4))

N₀(t,τ) = B₀[Z(g(t) - g(τ),t - τ;A(τ)) - Z(0,t - τ;A(τ)) + W(g(t),t;g(τ),τ)],

N₁(t,τ) = B₁∂_xΓ(g(t),t;g(τ),τ) +B1Γ(g(t),t;g(τ),τ),

0≤τ <t≤T,

систему (15), (16) можно записать в виде

∫

B₀Z(0,t - τ;A(τ))ϕ(τ)dτ + N₀(t,τ)ϕ(τ)dτ = ψ₀(t),

(19)

∫^t

B₁(A(t))-1ϕ(t) + N₁(t,τ)ϕ(τ)dτ = ψ₁(t), t ∈ [0,T].

(20)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№ 12

2023

1646

САХАРОВ

Пусть оператор дробного интегрирования действует на функцию ϕ ∈ C[0, T ] по формуле

∫

I1/2ϕ(t) =

√π(t-τ)-1/2ϕ(τ)dτ,t∈[0,T].

В силу (3) и (9)

Z(0, t - τ; A(τ)) =

√

M (τ),

0≤τ <t≤T,

π(t - τ)

поэтому уравнение (19) может быть записано в виде

∫

B₀I1/2(Mϕ)(t) + N₀(t,τ)ϕ(τ)dτ = ψ₀(t), t ∈ [0,T].

(21)

Введём операторы H_l, l = 0, 1, действующие на функцию ϕ ∈ C[0, T ], по формулам

∫t

(H_lϕ)(t) = N_l(t, τ)ϕ(τ) dτ, t ∈ [0, T ],

и запишем систему (21), (20) в операторном виде

B₀I1/2(Mϕ) + H₀ϕ = ψ₀,

(22)

−

B₁A-1ϕ + H₁ϕ = ψ₁.

(23)

Положим ω₂(z) = ω₀(z)+ω₁(z), z ≥ 0. Из [9, 10] следует, что H₀ - ограниченный оператор

из C[0, T ] в H1/2+ω2 [0, T ] и H1 - ограниченный оператор из C[0, T ] в Hω2 [0, T ].

Применив к обеим частям уравнения (22) оператор дробного дифференцирования ∂1/2, в

силу приведённых свойств операторов H_l, l = 0, 1, леммы 1 и справедливых для χ ∈ C[0, T ],

ψ ∈ C1/2[0,T] равенств ∂1/2I1/2χ = χ, I1/2∂1/2ψ = ψ, получим систему интегральных урав-

нений Вольтерры второго рода, эквивалентную (22), (23) для ϕ ∈ C[0, T ]:

B₀Mϕ + K₀ϕ = 2∂1/2ψ₀,

(24)

B₁A-1ϕ + K₁ϕ = -2ψ₁,

(25)

где K₀ = 2∂1/2H₀, K₁ = -2H₁.

Положим

(

)

(

)

K₀

2∂1/2ψ₀

K =

ψ=

K₁

-2ψ₁

В силу (11) и (12) систему (24), (25) можно записать как

ϕ+Kϕ

ψ,

(26)

где

K= (GM)-1K,

ψ = (GM)-1ψ ∈ C[0, T ]. Из свойств операторов Hl, l = 0, 1, и леммы 1

следует, что

K : C[0,T] → Hω2[0,T] - линейный ограниченный вольтерров оператор, тогда по

лемме 2 уравнение (26) имеет единственное в C[0, T ] решение ϕ, причём выполнено неравен-

ство ∥ϕ; [0, T ]∥⁰ ≤ C∥ψ; [0, T ]∥⁰. Отсюда получаем оценку (18). Кроме того, из вида уравнения

(26) следует, что ϕ(0) = 0. Теорема 3 доказана.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№ 12

2023

НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ

1647

3. Доказательство теоремы 1. Сначала докажем существование решения задачи (5)-

(8). Это решение будем искать в виде потенциала простого слоя (14) с плотностью ϕ ∈ C[0, T ],

подлежащей определению. Для любой ϕ ∈ C[0, T ] потенциал (14) является решением систе-

мы (5) и удовлетворяет начальному условию (6). Подставив (14) в граничные условия (7) и

(8), получим систему интегральных уравнений Вольтерры первого и второго рода (15) и (16).

Из теоремы 3 следует, что система (15), (16) имеет единственное в пространстве C[0, T ] ре-

шение ϕ ∈ C[0, T ], подставив которое в потенциал (14), получим решение задачи (5)-(8).

Из оценки (18) и свойств потенциала простого слоя (см. [18]) делаем вывод, что найденное

решение принадлежит пространству C1,0(Ω) и выполнено неравенство (13).

Далее докажем единственность решения задачи (5)-(8). Пусть u ∈ C1,0(Ω) - классическое

решение задачи (5)-(8) при ψ_j (t) = 0, t ∈ [0, T ], j = 0, 1. Тогда вектор-функция u является

единственным (см. [13]) в пространстве C1,0(Ω) классическим решением второй начально-

краевой задачи

Lu(x, t) = 0, (x, t) ∈ Ω, u(x, 0) = 0, x ≥ g(0),

∂_xu(g(t),t) = ψ(t), t ∈ [0,T],

где ψ ∈ C[0, T ], и для неё справедливо интегральное представление (см. [10])

∫t

u(x, t) = Γ(x, t; g(τ), τ)ϕ(τ) dτ, (x, t) ∈ Ω,

(27)

где ϕ ∈ C[0, T ]. Подставив выражение (27) в граничные условия (7) и (8) с нулевыми правыми

частями, получим, что ϕ ∈ C[0, T ] одновременно является решением однородной системы

уравнений (15), (16) и, следовательно, в силу теоремы 3 ϕ(t) = 0, t ∈ [0, T ]. Возвращаясь к

представлению (27), получаем, что u(x, t) = 0, (x, t) ∈ Ω. Теорема 1 доказана.

4. Доказательство теоремы 2. Следуя [23, с. 139], приведём определение показательной

функции матрицы и её свойства. Показательной функцией e^H ≡ exp{H} квадратной матрицы

∑+∞

H называется сумма ряда

H^j/j!. Она обладает следующими свойствами:

j=0

exp{H^т} = (exp{H})^т,

(28)

e^tH = He^tH, t ∈ R,

(29)

eR+H = e^Re^H, если RH = HR.

(30)

Пусть H - жорданова форма матрицы H, s - количество жордановых клеток K_j в H, k_j -

размеры этих клеток, ν_j - соответствующие им собственные числа. Пусть F - такая матрица,

что H = F-1HF. Имеют место равенства

e^tH = Fe^tHF-1,

(31)

e^tH = diag [etK1 ,... ,etKs ],

(32)

⎛

⎞

t²

tkj-¹

···

⎜

⎟

⎜

(k_j - 1)!⎟

⎜

⎟

⎜

tkj-²

⎟

⎜0

···

⎟

⎜

(k_j - 2)!⎟

etKj = etνj

⎜

⎟,

t ∈ R, j = 1,s.

(33)

⎜

⎟

⎜

tkj-³

⎟

⎜0

···

⎟

⎜

(k_j - 3)!⎟

⎝

⎠

···

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№ 12

2023

1648

САХАРОВ

Из (32) и (33) следует, в частности, что

e^yE = e^yE, y ∈ C.

(34)

Пусть P (y), y ≥ 0, - m × m-матрица, элементами которой являются полиномы, ν_j(y),

j = 1,m, - собственные числа P(y). Имеют место оценки (см. [24, с. 171])

| exp{τP (y)}| ≤ C(1 + τ1/2 + τ1/2y)2(m-1) exp{τ max Re ν_j (y)}, y ≥ 0, τ ≥ 0.

(35)

j∈{1,...,m}

Далее обозначим через K_m пространство (кольцо) m×m-матриц над полем C. Следуя [25,

с. 7], нормой на K_m назовём функционал ∥ · ∥ : K_m → [0, +∞), удовлетворяющий следующим

условиям для всех H, R ∈ K_m :

1) ∥H∥ = 0 тогда и только тогда, когда H = 0;

2) ∥λH∥ = |λ|∥H∥, λ ∈ C;

3) ∥H + R∥ ≤ ∥H∥ + ∥R∥;

4) ∥HR∥ ≤ ∥H∥∥R∥.

Известно [26, c. 354], что функционал H → m|H|, H ∈ K_m, является нормой на K_m.

Доказательство. Зафиксируем произвольно t₀ ∈ [0, T ], p₀ ∈ C, Re (p₀) > 0, и положим

M = M(t₀), A = A(t₀), γ⁺ = γ⁺(p₀,t₀). Достаточно доказать справедливость равенств

∫

M =

(p₀E + y²A)-1 dy,

(36)

√π p₀

γ⁺

∫

A-1 =

y(p₀E + y²A)-1 dy,

(37)

πi

γ⁺

где

)

(

)

√π⁽

p₀ =

cos

- isin

α = Arg(p₀) ∈

|p₀|1/2

Докажем (36). Из равенств (см. [27, с. 27])

∫

√π

τ-1/2 cos(|p₀|τ sin α)exp{-|p₀|τ cos α}dτ =

cos

|p₀|1/2

∫

√π

τ-1/2 sin(|p₀|τ sin α)exp{-|p₀|τ cos α}dτ =

sin

|p₀|1/2

где α = Arg (p₀), следует, что

∫

τ-1/2e-p0τ dτ =

τ-1/2 exp{-|p₀|τ(cos α + isin α)}dτ =

+∞

∫

= τ-1/2 cos(|p₀|τ sinα)exp{-|p₀|τ cosα}dτ - i τ-1/2 sin(|p₀|τ sinα)exp{-|p₀|τ cosα}dτ = p₀.

Отсюда, учитывая (30) и (34), получаем

∫

M =

τ-1/2e-p0τ dτ

exp{-y²A} dy =

√

e-p0τ dτ

exp{-τy²A} dy =

√πp₀

πp₀

-∞

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№ 12

2023

НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ

1649

∫

dτ

exp{-τ(p₀E + y²A)} dy = lim

√

dτ

exp{-τ(p₀E + y²A)} dy.

√π p₀

ε→+0

πp₀

-∞

b→+∞

Известно (см. [2, c. 699]), что уравнение

det (p₀E + y²A) = 0

(38)

имеет m корней с положительной мнимой частью и m корней с отрицательной мнимой ча-

стью. Следовательно, det (p₀E + y²A) - полином степени 2m, причём

det (p₀E + y²A) = 0, y ∈ R,

(39)



A_jk(y)



(p₀E + y²A)-1 =

y ∈ R,

(40)

^,

^det(p₀E + y²A)

где A_jk, j, k = 1, m, - полиномы степени не выше 2(m - 1).

Зафиксируем произвольные ε, b,

0 < ε < b. Используя равенство (30), оценку (35) и

свойство 4) нормы m| · |, с учётом условия (a) получаем

| exp{-τ(p₀E + y²A)}| =

m|exp{-τ(p₀E + y²A)}| ≤ m|exp{-τp₀E}||exp{-τy²A}| ≤

≤ C(1 + b1/2 + b1/2y)2(m-1) exp{-cε(1 + y²)}, y ≥ 0, τ ∈ [ε,b].

Следовательно, интеграл

∫

exp{-τ(p₀E + y²A)} dy

сходится равномерно по τ ∈ [ε, b]. Отсюда, учитывая (29) и (39), имеем

∫

M = lim

dy exp{-τ(p₀E + y²A)} dτ =

ε→+0

√πp₀

b→+∞

∫

∂

= - lim

dy (p₀E + y²A)-1

exp{-τ(p₀E + y²A)} dτ =

ε→+0

√πp₀

∂τ

b→+∞

∫

= lim

(p₀E + y²A)-1[exp{-ε(p₀E + y²A)} - exp{-b(p₀E + y²A)}] dy.

(41)

ε→+0

√π p₀

b→+∞

Зафиксируем произвольно y₀ > 0. Используя оценку (35), получаем

| exp{-b(p₀E + y²A)}| ≤ C(1 + b1/2 + b1/2y₀)2(m-1)e^-cb, y ∈ [0, y₀].

(42)

Кроме того, в силу (40) отображение y → (p₀E + y²A)-1 непрерывно на [0, y₀]. Отсюда и из

(39), (42) следует, что

lim

(p₀E + y²A)-1 exp{-b(p₀E + y²A)} = 0,

(43)

b→+∞

причём стремление к пределу равномерно по y ∈ [0, y₀].

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№ 12

2023

1650

САХАРОВ

Далее положим

B = {(y,ε) ∈ R² : y ∈ [0,y₀], ε ∈ [0,1]}, Q(y,ε) = exp{-ε(p₀E + y²A)}, (y,ε) ∈ B.

В силу равномерной непрерывности отображения Q на множестве B для любого κ > 0

найдётся такое δ > 0, что при 0 ≤ ε < δ

|Q(y, ε) - Q(y, 0)| = |Q(y, ε) - E| < κ, y ∈ [0, y₀],

и, следовательно,

lim

(p₀E + y²A)-1 exp{-ε(p₀E + y²A)} = (p₀E + y²A)-1,

(44)

ε→+0

причём стремление к пределу равномерно по y ∈ [0, y₀].

Из (43) и (44) вытекает равенство

∫

lim

(p₀E+y²A)-1[exp{-ε(p₀E+y²A)}-exp{-b(p₀E+y²A)}] dy = (p₀E+y²A)-1 dy, (45)

ε→+0

b→+∞ 0

где d = 2 max{1, |a₁|, . . . , |a2m|}, a_j , j = 1, 2m, - корни уравнения (38).

Далее докажем, что интеграл

∫

(p₀E + y²A)-1[exp{-ε(p₀E + y²A)} - exp{-b(p₀E + y²A)}] dy

(46)

сходится равномерно по ε, b > 0. Пусть F такая матрица, что A = F-1AF, где A - жорданова

форма матрицы A. Обозначим через s количество жордановых клеток K_j в A, через k_j -

размеры этих клеток, а через μ_j - соответствующие им собственные числа матрицы A. Тогда,

учитывая (31)-(33),

exp{-τy²A} = F diag [exp{-τy²K₁}, . . . , exp{-τy²K_m}]F-1, y ≥ d, τ ≥ 0,

причём

⎛

⎞

-τy²

(-τy²)²

(-τy²)kj -¹

···

⎜

⎟

⎜

(k_j - 1)!

⎟

⎜

⎟

⎜

-τy²

(-τy²)kj -²

⎟

⎜0

···

⎟

⎜

(k_j - 2)!

⎟

exp{-τy²K_j} = exp{-τy²μ_j }⎜

⎟,

j = 1,s.

(47)

⎜

⎟

(-τy²)kj -³

⎜

⎟

⎜0

···

⎟

⎜

(k_j - 3)!

⎟

⎝

⎠

···

Положим

(-τy²)

R_jl(y,τ) = exp{-τy²μ_l}

y ≥ 0, τ ≥ 0, j = 0,k_l - 1, l = 1,s.

В силу условий (a) справедливы оценки

|R_jl(y, τ)| ≤ C, y ≥ 0, τ ≥ 0, j = 1, k_l - 1, l = 1, s.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№ 12

2023

НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ

1651

Отсюда, используя равенства (30), (34), (47) и свойство 4) нормы m| · |, получаем

| exp{-τ(p₀E + y²A)}| ≤ m| exp{-τpE}|| exp{-τy²A}| ≤ C, y ≥ 0, τ ≥ 0.

(48)

Кроме того, из равенства (40) следует, что

|(p₀E + y²A)-1| ≤ C

y ≥ d.

y²

Поэтому в силу (48) интеграл (46) сходится равномерно по ε, b > 0. Отсюда и из (43)-(45),

переходя к пределу в (41) при ε → +0, b → +∞ и учитывая (40), получаем (см. [28, c. 219])

∫

M =

(p₀E + y²A)-1 dy =

√

(p₀E + y²A)-1 dy.

√πp₀

πp₀

−∞

γ⁺

Следовательно, выполняется равенство (36).

Докажем равенство (37). Известно (см. [15, c. 357]), что

∫

A-1 =

y(p₀E + y²A)-1 dy,

(49)

2πi

C_R

где C_R = {z ∈ C : |z| = R} - окружность достаточно большого радиуса R > 0, охватывающая

корни уравнения (38). Заметим, что

∫

y(p₀E + y²A)-1 dy = 0

-R

и, следовательно, справедливы равенства

∫

y(p₀E + y²A)-1 dy =

y(p₀E + y²A)-1 dy,

(50)

C⁺

где C+R = {z ∈ C_R : Im z ≥ 0}. Далее имеем

∫

y(p₀E + y²A)-1 dy = i

R²e2iϕ(p₀E + R²e2iϕA)-1dϕ =

y(p₀E + y²A)-1 dy,

C+R

C^-

где C^-R = {z ∈ C_R : Im z ≤ 0}. Отсюда и из (49), (50) вытекает равенство (37). Теорема 2

доказана.

Замечание 3. Условие (12) может не выполняться.

Например, если m₀ = m₁ и для некоторого t₀ ∈ [0, T ] имеет место равенство B₀ =

= B₁M(t₀), то detG(t₀) = 0. В частности, если

⎞

^⎛1

(

)

(

)

⎜0

0⎟

-1/2

A(t) ≡ A =

⎝

⎠, t ∈ [0,T], B0 =

B₁ =

-1/2

то, применив (28), (32), (33), равенства

∞

∫

^√π

y2ke-ay2 dy =(2k-1)!!

k ∈ N, a > 0,

(51)

2k⁺¹a^k

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№ 12

2023

1652

САХАРОВ

и формулы (9), (10), последовательно найдём

⎞

^⎛1 -1/2

⎜0

0⎟

⎜0

-1/2

1⎟

M (t) ≡ M =

⎝

⎠, G(t) ≡ G =

⎝

⎠.

-1/2

Отсюда вытекает равенство det G = 0.

Заметим, что можно описать конкретный алгоритм вычисления элементов матрицы G(t)

в том случае, если известна такая матрица F (t), что

A(t) = F-1(t)A(t)F (t), t ∈ [0, T ],

(52)

где A - жорданова форма матрицы A. Для этого зафиксируем произвольно t₀ ∈ [0, T ] и

положим A = A(t₀), A = A(t₀), M = M(t₀), F = F (t₀), G = G(t₀). Обозначим через s

количество жордановых клеток K_j в составе A, через k_j - размеры этих клеток, а через μ_j -

соответствующие этим клеткам собственные числа матрицы A. Используя (31)-(33), получаем

e-y2A = F diag [e-y2K¹,... ,e-y2K^s]F-1,

(53)

⎛

⎞

-y²

y⁴

(-y)2kj -²

···

⎜

⎟

⎜

(k_j - 1)!

⎟

⎜

⎟

⎜

-y²

(-y)2kj -⁴

⎟

⎜0

···

⎟

⎜

(k_j - 2)!

⎟

e-y2K^j = e-y2μ^j

⎜

⎟,

y ∈ R, j = 1,s.

(54)

⎜

⎟

(-y)2kj -⁶

⎜

⎟

⎜0

···

⎟

⎜

(k_j - 3)!

⎟

⎝

⎠

···

Используя (9), (51)-(54) и учитывая условие (a), можно вычислить элементы матрицы M, а

затем по формуле (10) - элементы матрицы G.

Заметим, что приведённый выше пример показывает, что вычисление элементов матрицы

G в отдельных случаях возможно без предварительного нахождения матрицы F из (52).

Автор выражает благодарность профессору Е.А. Бадерко за постановку задачи и постоян-

ное внимание к работе.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Солонников В.А. О краевых задачах для линейных параболических систем дифференциальных

уравнений общего вида // Тр. Мат. ин-та им. В.А. Стеклова. 1965. Т. 83. С. 3-163.

2. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения па-

раболического типа. М., 1967.

3. Бадерко Е.А., Черепова М.Ф. Первая краевая задача для параболических систем в плоских областях

с негладкими боковыми границами // Докл. РАН. 2014. Т. 458. № 4. C. 379-381.

4. Бадерко Е.А., Черепова М.Ф. Потенциал простого слоя и первая краевая задача для параболической

системы на плоскости // Дифференц. уравнения. 2016. Т. 52. № 2. C. 198-208.

5. Baderko E.A., Cherepova M.F. Uniqueness of a solution in a Holder class to the first initial-boundary

value problem for a parabolic system in a bounded nonsmooth domain in the plane // J. of Math. Sci.

2020. V. 251. № 5. P. 557-572.

6. Бадерко Е.А., Черепова М.Ф. Единственность решений начально-краевых задач для параболиче-

ских систем в плоских ограниченных областях с негладкими боковыми границами // Докл. РАН.

2020. Т. 494. № 5. С. 5-8.

7. Бадерко Е.А., Черепова М.Ф. О единственности решений первой и второй начально-краевых задач

для параболических систем в ограниченных областях на плоскости // Дифференц. уравнения. 2021.

Т. 57. № 8. С. 1039-1048.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№ 12

2023

НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ

1653

8. Коненков А.Н. Существование и единственность классического решения первой краевой задачи для

параболических систем на плоскости // Дифференц. уравнения. 2023. Т. 59. № 7. С. 904-913.

9. Baderko E.A., Cherepova M.F. Dirichlet problem for parabolic systems with Dini continuous coefficients

// Appl. Anal. 2021. V. 100. № 13. P. 2900-2910.

10. Зейнеддин М. О потенциале простого слоя для параболической системы в классах Дини: дис

канд. физ.-мат. наук. М., 1992.

11. Бадерко Е.А., Сахаров С.И. Единственность решений начально-краевых задач для параболических

систем с Дини-непрерывными коэффициентами в плоских областях // Докл. РАН. 2022. Т. 502.

№ 2. С. 26-29.

12. Бадерко Е.А., Сахаров С.И. Потенциал Пуассона в первой начально-краевой задаче для параболи-

ческой системы в полуограниченной области на плоскости // Дифференц. уравнения. 2022. Т. 58.

№ 10. С. 1333-1343.

13. Бадерко Е.А., Сахаров С.И. О единственности решений начально-краевых задач для параболиче-

ских систем с Дини-непрерывными коэффициентами в полуограниченной области на плоскости

// Журн. вычислит. математики. 2023. Т. 63. № 4. С. 584-595.

14. Бадерко Е.А., Сахаров С.И. Об однозначаной разрешимости начально-краевых задач для параболи-

ческих систем в ограниченных плоских областях с негладкими боковыми границами // Дифференц.

уравнения. 2023. Т. 59. № 5. С. 608-618.

15. Эйдельман С.Д. Параболические системы. М., 1964.

16. Дзядык В.К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. М., 1977.

17. Петровский И.Г. О проблеме Cauchy для систем линейных уравнений с частными производными в

области неаналитических функций // Бюлл. Моск. гос. ун-та. Секц. А. 1938. Т. 1. № 7. С. 1-72.

18. Зейнеддин М. Гладкость потенциала простого слоя для параболической системы второго порядка

в классах Дини // Деп. ВИНИТИ РАН. 16.04.92. № 1294-В92.

19. Семаан Х.Д. О решении второй краевой задачи для параболических систем на плоскости: дис

канд. физ-мат. наук. М., 1999.

20. Камынин Л.И. Гладкость тепловых потенциалов в пространстве Дини-Гёльдера // Сиб. мат. журн.

1970. Т. 11. № 5. C. 1017-1045.

21. Тихонов А.Н. О функциональных уравнениях типа Volterra и их применениях к некоторым задачам

математической физики // Бюлл. Моск. гос. ун-та. Секц. А. 1938. Т. 1. № 8. C. 1-25.

22. Baderko E.A., Cherepova M.F. Bitsadze-Samarskii problem for parabolic systems with Dini continuous

coefficients // Complex Variables and Elliptic Equat. 2019. V. 64. № 5. P. 753-765.

23. Филиппов А.Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений. М., 2015.

24. Friedman A. Generalized Functions and Partial Differential Equations. New Jersey, 1963.

25. Богачев К.Ю. Практикум на ЭВМ. Методы решения линейных систем и нахождения собственных

значений. М., 1998.

26. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. М., 1989.

27. Бейтемен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 1. М., 1965.

28. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т. 3. Ч. 2. М., 1974.

Московский государственный университет

Поступила в редакцию 12.09.2023 г.

имени М.В. Ломоносова,

После доработки 12.09.2023 г.

Московский центр фундаментальной

Принята к публикации 11.10.2023 г.

и прикладной математики

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№ 12

2023