ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2023, том 59, № 12, с. 1668-1679

УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

УДК 517.955+517.957

ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ НАГРУЖЕННОГО

УРАВНЕНИЯ КОРТЕВЕГА-ДЕ ФРИЗА

В КЛАССЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

К нахождению решения задачи Коши для нагруженного уравнения Кортевега-де Фриза

в классе периодических бесконечнозонных функций применён метод обратной спектраль-

ной задачи. Предложены простой алгоритм построения уравнения Кортевега-де Фриза

высокого порядка с нагруженными членами и вывод аналога системы дифференциальных

уравнений Дубровина. Показано, что сумма равномерно сходящегося функционального ря-

да, построенного с помощью решения системы уравнений Дубровина и формулы первого

следа, действительно удовлетворяет нагруженному нелинейному уравнению Кортевега-де

Фриза. Кроме того, доказано, что если начальная функция является действительной π-пе-

риодической аналитической функцией, то и решение задачи Коши тоже является действи-

тельной аналитической функцией по переменной x, а также что если число π/n, n ∈ N,

n ≥ 2, является периодом начальной функции, то число π/n является периодом для ре-

шения задачи Коши по переменной x.

DOI: 10.31857/S0374064123120075, EDN: NVRNLU

1. Введение. Постановка задачи. Рассмотрим задачу Коши для нагруженного нели-

нейного уравнения Кортевега-де Фриза (КдФ)

q_t = a(t)q(x₀,t)(q_xxx - 6qq_x) + b(t)q(x₁,t)q_x,

(1)

q(x, t)|t=0 = q₀(x), x ∈ R, t > 0,

(2)

в классе бесконечнозонных π-периодических по x функций

q(x + π, t) = q(x, t) ∈ C3x(t > 0)

^⋂C1t(t > 0)^⋂ C(t ≥ 0).

(3)

В уравнении (1) коэффициенты a(t),b(t) ∈ C[0,∞) - ограниченные действительные функции,

а x₀,x₁ ∈ R.

Целью настоящей работы является разработка алгоритма построения решения q(x, t), x ∈

∈ R, t > 0, задачи (1)-(3) в рамках метода обратной спектральной задачи для оператора

Хилла

L(t)y ≡ -y^′′ + q(x, t)y = λy, x ∈ R, t > 0, λ ∈ C.

(4)

Метод обратной задачи берёт своё начало с работы [1], в которой удалось найти глобальное

решение задачи Коши для уравнения Кортевега-де Фриза

q_t - 6qq_x + q_xxx = 0, q(x,t)|t=0 = q₀(x), x ∈ R,

сведением её к обратной задаче рассеяния для оператора Штурма-Лиувилля

Ly ≡ -y^′′ + q(x)y = λy,

|q(x)|(1 + |x|) ∈ L¹(R).

Эта обратная задача рассеяния впервые была решена в статье [2], а затем рассматривалась в

работах [3, 4] и др. В статье [5] отмечена универсальность метода обратной задачи рассеяния

(МОЗР) и обобщено уравнение КдФ с помощью введённого понятия высшего уравнения КдФ.

С помощью МОЗР для оператора Хилла, когда в спектре имеется только конечное число

нетривиальных лакун, в работах [6, 7] была доказана полная интегрируемость уравнения КдФ

1668

ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ НАГРУЖЕННОГО УРАВНЕНИЯ

1669

в классе конечнозонных периодических и квазипериодических функций. Более подробно эта

теория изложена в монографиях [3, 4, 8, 9].

Отметим, что в задаче

q_t - 6qq_x + q_xxx = 0, q(x,0) = 2acos(2x), a = 0,

нам не удалось найти для решения q(x, t) аналог формулы Итса-Матвеева [6].

Известно [10], что если q(x) = 2a cos(2x), a = 0, то открыты все лакуны в спектре

оператора Хилла Ly ≡ -y^′′ + q(x)y = λy, x ∈ R, иначе говоря, q(x) - бесконечнозонный

π-периодический потенциал. В связи с этим мы изучаем задачу Коши (1)-(3) в классе перио-

дических бесконечнозонных функций. К данной задаче можно применить метод из статьи [11],

при этом её решение получится в виде равномерно сходящегося функционального ряда. Сле-

дует отметить, что решения в классе периодических функций для нелинейных эволюционных

уравнений в различных постановках изучались в работах [12-17].

В связи с интенсивным исследованием задач оптимального управления, применяемых в

агроэкосистеме (например, задачи долгосрочного прогнозирования и регулирования уровня

грунтовых вод и почвенной влаги), существенно вырос интерес к нагруженным уравнениям.

Нагруженными дифференциальными уравнениями в литературе принято называть уравне-

ния, содержащие в коэффициентах или в правой части какие-либо функционалы от решения,

в частности значения решения или его производных на многообразиях меньшей размерности.

Исследование таких уравнений представляет интерес как с точки зрения построения общей

теории дифференциальных уравнений, так и с точки зрения приложений. Среди работ, посвя-

щённых нагруженным уравнениям, следует особо отметить работы А.М. Нахушева [18, 19] и

А.И. Кожанова [20].

Уравнения вида (1) без нагруженного члена встречаются также в прикладной механике.

Например, в [21, 22] система уравнений, описывающая распространение одномерных нелиней-

ных волн в неоднородной газожидкостной среде, сводится к одному уравнению вида

(

)

u_τ + α(τ)uu_η + β(τ)u_ηηη - μ(τ)u_ηη +

+ δ(τ) u = 0.

2τ

В частности, при μ = 0, k = 1, δ = 0 показано, что при определённых условиях цилиндри-

ческие волны могут существовать в виде солитонов.

В настоящей работе предлагаются простой алгоритм построения уравнения КдФ высокого

порядка с нагруженными членами и вывод аналога системы дифференциальных уравнений

Дубровина. Отметим, что существуют несколько методов построения высших уравнений КдФ.

Важно также уточнить, что найденное нами высшее уравнение КдФ также включает в себя и

уравнение КдФ с нагруженными членами.

2. Вывод уравнения КдФ высокого порядка с нагруженными членами. Рассмот-

рим нелинейное уравнение

q_t = P[q], x ∈ R, t > 0,

(5)

с начальным условием

q(x, 0) = q₀(x), x ∈ R.

(6)

Здесь q = q(x, t) - достаточно гладкая π-периодическая по x функция, а P [q] - многочлен

от q и его производных по x.

Построим многочлен P [q] таким образом, чтобы задача Коши (5), (6) интегрировалась

при помощи обратной задачи для оператора Хилла с коэффициентом q(x, t):

L(t)y ≡ -y^′′ + q(x, t)y = λy, x ∈ R, λ ∈ C.

(7)

Обозначим через y_n = y_n(x, t), n ≥ 1, ортонормированные собственные функции, соответ-

ствующие собственным значениям ξ_n = ξ_n(t), n ≥ 1, задачи Дирихле (y(0, t) = 0, y(π, t) = 0)

для уравнения (7).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№ 12

2023

1670

ХАСАНОВ А.Б., ХАСАНОВ Т.Г.

Продифференцировав по t тождество ξ_n(t) = (L(t)y_n, y_n), n ≥ 1, и использовав симмет-

ричность оператора L(t), будем иметь

∫π

ξ_n(t) = q_ty2n dx.

(8)

Подставим выражение (5) в формулу (8) и получим равенство

∫π

n(t) = P [q]yⁿ dx.

Ищем далее первообразную подынтегральной функции в виде квадратичной формы от y_n и

y^′n, т.е. пусть

(ay2n + by_ny^′n + cy′2n)^′ = P [q]y2n,

(9)

где функции a = a(x, t, ξ_n), b = b(x, t, ξ_n), c = c(x, t, ξ_n) не зависят от y_n и y^′n. Используя

равенство y^′′n = (q - ξ_n)y_n и приравнивая соответствующие коэффициенты, из (9) найдём

b = -c^′, a =

c^′′ - c(q - ξ_n), P[q] =

c^′′′ - 2c^′(q - ξ_n) - cq_x.

(10)

Левые части равенств (10) не зависят от ξ_n, поэтому и правые части также не должны зависеть

от ξ_n. Функцию c(x, t, ξ_n) будем искать в виде многочлена от ξ_n :

∑

c(x, t, ξ_n) =

c_k(x,t,)ξ^N-kn.

(11)

k=0

Подставив выражение (11) в (10), будем иметь

[

]

∑

P [q] = 2c′0(x, t)ξN+1n +

c^′′′k(x,t) - 2qc^′k(x,t) - q_xc_k(x,t) + 2c′k+1(x,t) ξ^N-kn +

k=0

c^′′′N(x,t) - 2qc^′N (x,t) - q_xc_N (x,t),

откуда с учётом независимости многочлена P [q] от ξ_n получаем

c′0(x,t) = 0, c′k+1(x,t) = -

[c^′′′k(x, t) - 4qc^′k(x, t) - 2q_xc_k(x, t)], k = 0, N - 1,

P [q] =

c^′′′N(x,t) - 2qc^′N (x,t) - q_xc_N(x,t).

Теперь рассмотрим уравнение

q_t =

c^′′′N - 2qc^′N - q_xc_N , x ∈ R, t > 0,

(12)

где функция c_N = c_N (x, t) выражается через q = q(x, t) следующим образом: по заданным

непрерывным функциям d_k = d_k(t), k = 0, N, строим последовательность функций

∫

c₀(x,t) = d₀(t), ck+1(x,t) = -

c^′′k(x,t) + qc_k(x,t) -

q_xc_k(x,t)dx + dk+1(t), k = 0,N - 1.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№ 12

2023

ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ НАГРУЖЕННОГО УРАВНЕНИЯ

1671

Так, например,

c₁(x,t) =

d₀(t)[q + q(0,t)] + d₁(t),

c₂(x,t) =

d₀(t)[-q_xx + 3q² + 2qq(0,t) + 3q²(0,t)] +

d₁(t)[q + q(0,t)] + d₂(t)

и т.д.

Нелинейное уравнение (12) называется высшим уравнением Кортевега-де Фриза. В случае

N = 1 оно принимает вид

q_t =

d₀(t)(q_xxx - 6qq_x) -

[2d₁(t) + d₀(t)q(0, t)]q_x.

В частности, при d₀(t) = 0 и d₁(t) = -1 отсюда получаем уравнение

q_t = q_x,

а при d₀(t) = 4, d₁(t) = -2q(0, t) - уравнение КдФ

q_t = q_xxx - 6qq_x.

При d₀(t) = 4a(t)q(0, t), d₁(t) = -2a(t)q²(0, t) получаем нелинейное уравнение КдФ с нагру-

женным членом

q_t = a(t)q(0,t)(q_xxx - 6qq_x),

а при d₀(t) = 4, d₁(t) = c(t)q(0, t) - уравнение

q_t = q_xxx - 6qq_x + γ(t)q(0,t)q_x.

Точно также можно найти и другие уравнения Кортевега-де Фриза с нагруженными членами:

q_t = a(t)q(x₀,t)(q_xxx - 6qq_x) + b(t)q(x₁,t)q_x, q_t = a(t)q(x₀,t)(q_xxx - 6qq_x) + P₁[q(x₁,t)]q_x.

В случае N = 2 уравнение (12) принимает вид

q_t = -

d₀(t)(q_xxxxx - 10qq_xxx - 20q_xq_xx + 30q²q_x) +

(d₀(t)q(0, t) + 2d₁(t))(q_xxx - 6qq_x) -

(3d₀(t)q²(0, t) + 4d₁(t)q(0, t) + 8d₂(t))q_x.

(13)

В частности, из (13) при d₀ = -16, d₁ = 8q(0, t), d₂ = 2q²(0, t) получаем нелинейное уравне-

ние

q_t = q_xxxxx - 10qq_xxx - 20q_xq_xx + 30q²q_x.

В случае d₀(t) = -16 уравнение (13) можно записать как

q_t = q_xxxx - 10qq_xxx - 20q_xq_xx + 30q²q_x + P₁[q(0,t)](q_xxx - 6qq_x) + P₂[q(0,t)]q_x,

где

P₁[y] = a₀(t)y + a₁(t), P₂[y] = a₀(t)y² + a₁(t)y + a₂(t).

3. Предварительные сведения. Далее для полноты изложения представим некоторые

из основных свойств оператора Хилла.

Рассмотрим в пространстве L²(R) оператор Хилла

Ly ≡ -y^′′ + q(x)y = λy, x ∈ R,

(14)

где q(x) ∈ C¹(R) - действительная π-периодическая функция, λ ∈ C - комплексный пара-

метр. Обозначим через c(x, λ) и s(x, λ) решения уравнения (14), удовлетворяющие начальным

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№ 12

2023

6^∗

1672

ХАСАНОВ А.Б., ХАСАНОВ Т.Г.

условиям c(0, λ) = 1, c^′(0, λ) = 0 и s(0, λ) = 0, s^′(0, λ) = 1. Функция Δ(λ) = c(π, λ) + s^′(π, λ)

называется функцией Ляпунова. Функции

√

s^′(π,λ) - c(π,λ) ∓

Δ²(λ) - 4

ψ_± = c(x,λ) +

s(x, λ)

2s(π, λ)

называются решениями Флоке уравнения (14).

Спектр оператора L представляет собой следующее множество [23, 24]:

}

⋃

σ(L) ≡ E = {λ ∈ R : |Δ(λ)| ≤ 2} = R

(-∞, λ₀)

(λ2n-1, λ2n)

n=1

при этом интервалы (-∞, λ₀), (λ2n-1, λ2n), n ≥ 1, называются лакунами, где λ₀, λ4k-1,

λ4k - собственные значения периодической задачи (y(0) = y(π), y′(0) = y′(π)), а λ4k+1,

λ4k+2 - собственные значения антипериодической задачи (y(0) = -y(π), y^′(0) = -y^′(π)) для

уравнения (14).

Через ξ_n, n ≥ 1, обозначим собственные значения задачи Дирихле (y(0) = 0, y(π) = 0)

для уравнения (14), при этом имеют место включения ξ_n ∈ [λ2n-1, λ2n], n ≥ 1.

Определение 1. Числа ξ_n, n ≥ 1, вместе со знаками σ_n = sign {s^′(π,ξ_n)-c(π,ξ_n)} = ±1,

n ≥ 1, называются спектральными параметрами оператора L.

Определение 2. Спектральные параметры ξ_n, σ_n, n ≥ 1, и границы λ_n, n ≥ 0, спектра

называются спектральными данными оператора L.

Задача нахождения спектральных данных оператора L называется прямой спектральной

задачей, а восстановление потенциала q(x) по спектральным данным - обратной спектраль-

ной задачей для оператора L.

Потенциал q(x) определяется единственным образом (см. [25]) по спектральным данным

{λn-1, ξ_n, σ_n, n ≥ 1}.

Если в уравнении (14) вместо q(x) использовать q(x + τ), то границы λ_n(τ), n ≥ 0, спек-

тра получаемого оператора L(τ)y ≡ -y^′′ + q(x + τ)y = λy не будут зависеть от параметра τ :

σ(L(τ)) = σ(L), λ_n(τ) ≡ λ_n, n ≥ 0, а спектральные параметры - будут: ξ_n = ξ_n(τ), σ_n =

= σ_n(τ), n ≥ 1. Эти спектральные параметры удовлетворяют системе дифференциальных

уравнений Дубровина

√

n(τ) = 2(-1)n-1σn(τ)

(ξ_n - λ2n-1)(λ2n - ξ_n) th_n(ξ),

∏

(λ2k-1 - ξ_n)(λ2k - ξ_n)

h_n(ξ) = √(ξ_n - λ₀)

n ≥ 1,

(15)

(ξ_k - ξ_n)²

k=n

где знак σ_n(τ) = ±1 меняется на противоположный при каждом столкновении точки ξ_n(τ) с

границами своей лакуны [λ2n-1, λ2n].

Система дифференциальных уравнений Дубровина и формула первого следа

∑

q(τ) = λ₀ + (λ2k-1 + λ2k - 2ξ_k(τ))

(16)

k=1

приводят к методу решения обратной задачи.

Обратные задачи для конечнозонных потенциалов впервые были рассмотрены в работе [26],

поиск их решений был сведён к проблеме обращения Якоби абелевых интегралов. В статье [6]

найдена явная формула для конечнозонных потенциалов. В случае конечнозонных потенциа-

лов система дифференциальных уравнений (15) впервые была получена в [11], в случае пери-

одических потенциалов - в [27], а для почти периодических бесконечнозонных потенциалов -

в работе [4].

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№ 12

2023

ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ НАГРУЖЕННОГО УРАВНЕНИЯ

1673

Отметим, что впервые формула типа (16) была получена в [28] в случае, когда в спектре

оператора L имеется конечное число лакун. Позже аналогичные формулы следов удалось

получить и другим авторам [4, 14, 29, 30].

В процессе изучения обратной спектральной задачи для оператора L найдена связь между

гладкостью потенциала q(x) и длиной лакун (см., например, [3, 27, 31, 32]).

Теорема 1 [3]. Если q(x) ∈Wn2[0, π] и Im q(x) = 0, то собственные значения периодиче-

ской и антипериодической задач для оператора L удовлетворяют равенствам

√

∑

a2j+1

|l_n(2k)|

γ^±k

λ2k-1,

λ2k = k +

∓

(17)

(2k)2j+1

(2k)n+1

kn+2

1≤2j+1≤n+2

где a2j+1, b2j+1 не зависят от k и

∫

∑

a₁ = b₁ =

q(t) dt, l_n(p) =

q(n)(x)e^-ipx dx,

|γ^±k|² < ∞.

k=0

Здесь

[0, π] - подпространство пространства Соболева Wn2[0, π], состоящее из функций

f (x) ∈

[0, π], удовлетворяющих периодическим краевым условиям f(k)(0) = f(k)(π), k =

= 0, n - 1. Заметим, что W⁰²[0, π] =^W02[0, π] = L₂[0, π].

Из асимптотических формул (17) вытекает следующая оценка для длин лакун:

∑

α_k

γ_k = λ2k - λ2k-1 =

k^-n|l_n(2k)| +

α2k < ∞.

(18)

2n-1

kn+1

k=1

Теорема 2 [27]. Для экспоненциального убывания длины лакун оператора L с π-периоди-

ческим действительным потенциалом q(x) необходима и достаточна аналитичность q(x).

Теорема 3 [33]. Для того чтобы число π/n, n ≥ 2, было периодом потенциала q(x) опе-

ратора L, необходимо и достаточно исчезновение всех лакун, номера которых не кратны n.

Эта теорема была доказана в статье [34] для n = 2.

4. Эволюция спектральных данных. Основной результат настоящей работы содержит-

ся в следующей теореме.

Теорема 4. Пусть q(x, t), x ∈ R, t > 0, - решение задачи (1)-(3). Тогда границы спектра

λ_n(t), n ≥ 0, оператора L(t) не зависят от параметра t, т.е. λn(t) = λn, n ≥ 0, а

спектральные параметры ξ_n(t), σ_n(t), n ≥ 1, удовлетворяют аналогу системы уравнений

Дубровина:

˙ξ_n(t) = 2(-1)ⁿσ_n(t)h_n(ξ)[a(t)q(x₀,t)(2q(0,t) + 4ξ_n(t)) - b(t)q(x₁,t)], n ≥ 1,

(19)

где

∏

√

(λ2k-1 - ξ_n)(λ2k - ξ_n)

h_n(ξ) =

(ξ_n - λ2n-1)(λ2n - ξ_n)hn(ξ),

h_n(ξ) = √(ξ_n - λ₀)

(ξ_k - ξ_n)²

k=1, k=n

Здесь знак σ_n(t) меняется на противоположный при каждом столкновении точки ξ_n(t) с

границами своей лакуны [λ2n-1, λ2n]. Кроме того, выполняются следующие начальные ус-

ловия:

ξ_n(t)|t=0 = ξ0n, σ_n(t)|t=0 = σ0n, n ≥ 1,

где ξ0n, σ0n, n ≥ 1, - спектральные параметры оператора L(0).

Доказательство. Пусть q(x, t) - π-периодическая по x функция, удовлетворяющая урав-

нению (1). Обозначим через y_n = y_n(x, t), n ≥ 1, ортонормированные собственные функции

задачи Дирихле (y(0, t) = 0, y(π, t) = 0) для уравнения (4), соответствующие собственным

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№ 12

2023

1674

ХАСАНОВ А.Б., ХАСАНОВ Т.Г.

значениям ξ_n = ξ_n(t), n ≥ 1. Дифференцируя по t тождество (L(t)y_n, y_n) = ξ_n(t), n ≥ 1, и

используя симметричность оператора L(t), будем иметь

∫π

ξ_n(t) = q_t(x,t)y2n(x,t)dx.

(20)

Используя уравнение (1), из равенства (20) получаем

∫π

ξ_n(t) =

{a(t)q(x₀, t)(q_xxx - 6qq_x) + b(t)qq_x}y2n dx = I₁.

(21)

Ищем первообразную подынтегральной функции в виде квадратичной формы от y_n и y^′n,

т.е. пусть

(ay2n + by_ny^′n + cy′2n)^′ = [a(t)q(x₀, t)(q_xxx - 6qq_x) + b(t)q(x₁, t)q_x]y2n,

(22)

где функции a = a(x, t, ξ_n), b = b(x, t, ξ_n) и c = c(x, t, ξ_n) не зависят от y_n и y^′n. Используя

равенство y^′′n = (q(x, t) - ξ_n(t))y_n и приравнивая коэффициенты, из (22) найдём

b = -c^′, a =

c^′′ - c(q - ξ_n),

c^′′′ - 2c^′(q - ξ_n) - cq_x = a(t)q(x₀,t)(q_xxx - 6qq_x) + b(t)q(x₁,t)q_x.

(23)

Нетрудно заметить, что

c(x, t, ξ_n) = 2a(t)q(x₀, t)q(x, t) + α(t),

где α(t) = 4a(t)q(x₀, t)ξ_n(t) - b(t)q(x₁, t) удовлетворяет равенству (23).

Таким образом, при

a(x, t, ξ_n) = a(t)q(x₀, t)q_xx - [2a(t)q(x₀, t)q + 4a(t)q(x₀, t)ξ_n - b(t)q(x₁, t)](q - ξ_n),

b(x, t, ξ_n) = -2a(t)q(x₀, t)q_x, c(x, t, ξ_n) = a(t)q(x₀, t)q(x, t) + 4a(t)q(x₀, t)ξ_n - b(t)q(x₁, t)

выполняется соотношение (22). Значит,

I₁ = (ay2n + by_ny^′n + cy′2n)|π0 = c(x,t,ξ_n)y′2n(x,t)|π0 =

= [a(t)q(x₀, t)(2q(0, t) + 4ξ_n(t)) - b(t)q(x₁, t)][y′2n(π, t) - y′2n(0, t)].

(24)

Подстановка формулы (24) в (21) даёт

ξ_n(t) = [y′2n(π,t) - y′2n(0,t)][a(t)q(x₀,t)(2q(0,t) + 4ξ_n(t)) - b(t)q(x₁,t)].

(25)

Так как собственные значения ξ_n(t) задачи Дирихле для уравнения (4) простые, то по-

лучим

y_n(x,t) =

s(x, ξ_n(t), t),

α_n(t)

где

∫π

∂s(π,ξ_n(t),t)

α2n(t) = s²(x,ξ_n(t),t)dx = s^′(π,ξ_n(t),t)

∂λ

откуда будем иметь равенство

)

)-1⁽

⁽∂s(π,ξ_n(t),t)

y′2n(π,t) - y′2n(0,t) =

s^′(π,ξ_n(t),t) -

∂λ

s^′(π,ξ_n(t),t)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

2023

№ 12

ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ НАГРУЖЕННОГО УРАВНЕНИЯ

1675

Подставив в него выражение

√

s^′(π,ξ_n(t),t) -

= σ_n(t)

Δ²(ξ_n(t)) - 4,

s^′(π,ξ_n(t),t)

получим

-1

√

⁽∂s(π,ξ_n(t),t)⁾

y′2n(π,t) - y′2n(0,t) = σ_n(t)

Δ²(ξ_n(t)) - 4

∂λ

Здесь

(

)

σ_n(t) = sign s^′(π,ξ_n(t),t) -

s^′(π,ξ_n(t),t)

Из разложений

∏

(λ2k-1 - λ)(λ2k - λ)

ξ_k(t) - λ

Δ²(λ) - 4 = 4π²(λ₀ - λ)

s(π, λ, t) = π

k⁴

k²

k=1

следует, что

y′2n(π,t) - y′2n(0,t) = 2(-1)ⁿσ_n(t)h_n(t).

Если подставим это равенство в (25), то получим систему (19).

Теперь докажем независимость от t собственных значений λ_n(t), n ≥ 0, периодической

и антипериодической задач для уравнения (4). Обозначим через ν_n(x, t) нормированную соб-

ственную функцию, соответствующую собственному значению λ_n(t), n ≥ 0, периодической и

антипериодической задач для уравнения (4). Действуя приведённым выше образом, получим

равенство

λ_n(t) = [a(t)q(x₀,t)(2q(0,t) + 4λ_n(t)) - b(t)q(x₁,t)][v′2n(π,t) - v′2n(0,t)],

из которого следует, что

λ_n(t) = 0, n ≥ 0, так как ν_n(0,t) = ±ν_n(π,t), ν^′n(0,t) = ±ν^′n(π,t).

Это и означает независимость границы спектра оператора L(t) от параметра t.

Следствие 1. Обозначим через λ_n, n ≥ 0, ξ0n(τ), σ0n(τ), n ≥ 1, спектральные данные

оператора

L(τ)y ≡ -y^′′ + q₀(x + τ)y = λy, x ∈ R, λ ∈ C.

Пусть q(x, t), x ∈ R, t > 0, - решение задачи (1)-(3). Тогда спектральные данные λ_n(τ, t),

n ≥ 0, ξ_n(τ,t), σ_n(τ,t), n ≥ 1, оператора

L(τ, t)y ≡ -y^′′ + q(x + τ, t)y = λy, x ∈ R, λ ∈ C,

удовлетворяют аналогу системы уравнений Дубровина

λ_n(τ,t) = λ_n,

∂ξ_n(τ,t)

= 2(-1)ⁿσ_n(τ, t)h_n(ξ(τ, t))[a(t)q(x₀, t)(2q(τ, t) + 4ξ_n(τ, t)) - b(t)q(x₁, t)].

(26)

∂t

Здесь знак σ_n(τ, t) меняется на противоположный при каждом столкновении точки ξ_n(τ, t)

с границами своей лакуны [λ2n-1, λ2n]. Кроме того, выполняются следующие начальные ус-

ловия:

ξ_n(τ,t)|t=0 = ξ0n(τ), σ_n(τ,t)|t=0 = σ0n(τ), n ≥ 1.

(27)

Замечание 1. С помощью формулы первого следа

∑

q(τ, t) = λ₀ +

(λ2k-1 + λ2k - 2ξ_k(τ, t))

(28)

k=1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№ 12

2023

1676

ХАСАНОВ А.Б., ХАСАНОВ Т.Г.

систему дифференциальных уравнений (26) можно записать в замкнутой форме:

[

(

)(

∑

∂ξ_n(τ,t)

= 2(-1)ⁿσ_n(τ, t)h_n(ξ) a(t) λ₀ + (λ2k-1 + λ2k - 2ξ_k(x₀, t))

2λ₀ +

∂t

k=1

)

(

)]

∑

(λ2k-1+λ2k -2ξ_k(τ, t))+4ξ_n(τ, t)

-b(t) λ₀+ (λ2k-1+λ2k -2ξ_k(x₁, t))

n ≥ 1. (29)

k=1

В результате замены переменных по формуле

ξ_n(τ,t) = λ2n-1 + (λ2n - λ2n-1)sin² x_n(τ,t), n ∈ N,

систему дифференциальных уравнений Дубровина (29) и начальные условия (27) можно за-

писать в виде одного уравнения в банаховом пространстве K :

dx(τ, t)

= H(x(τ,t)), x(τ,0) = x⁰(τ) ∈ K,

где

{

}

∑

K = x(τ,t) = (x₁(τ,t),x₂(τ,t),...,x_n(τ,t),...)∥x(τ,t)∥ =

(λ2n - λ2n-1)x_n(τ, t) < ∞

n=1

H(x) = (H₁(x), H₂(x), . . . , H_n(x), . . .),

H_n(x) = (-1)ⁿσ0n(τ)g_n(... ,λ2n-1 + (λ2n - λ2n-1)sin² x_n(τ,t),...) ×

× f_n(... ,λ2n-1 + (λ2n - λ2n-1)sin2 x_n(τ,t),...) = (-1)ⁿσ0n(τ)g_n(x(τ,t))f_n(x(τ,t)),

(

)(

)

∑

g_n(ξ(τ,t)) = a(t) λ₀+ (λ2k-1λ2k -2ξ_k(x₀,t))

4ξ_n(τ, t)+2λ₀ +2 (λ2k-1 -λ2k -2ξ_k(τ, t))

k=1

(

)

∑

− b(t) λ₀ + (λ2k-1 - λ2k - 2ξ_k(x, t))

k=1

∏

(λ2k-1 - ξ_n(τ, t))(λ2k - ξ_n(τ, t))

f_n(ξ(τ,t)) = √(ξ_n(τ,t) - λ₀)

(ξ_k(τ, t) - ξ_n(τ, t))²

k=1, k=n

ξ = ξ(τ,t) = (ξ₁(τ,t),ξ₂(τ,t),...,ξ_n(τ,t),...),

σ = σ(τ,t) = (σ₁(τ,t),σ₂(τ,t),...,σ_n(τ,t),...),

x = x(τ,t) = (x₁(τ,t),x₂(τ,t),...,x_n(τ,t),...).

Лемма. Если начальная функция q₀(x) удовлетворяет условию q₀(x + π) = q₀(x) ∈

∈ C⁴(R), то вектор-функция H(x(τ,t)) удовлетворяет условию Липшица в банаховом прост-

ранстве K, т.е. существует константа L > 0 такая, что для произвольных элементов

x(τ, t), y(τ, t) ∈ K выполняется следующее неравенство:

∥H(x(τ, t)) - H(y(τ, t))∥ ≤ L∥x(τ, t) - y(τ, t)∥,

где

∑

L = n³γ_n < ∞.

n=1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№ 12

2023

ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ НАГРУЖЕННОГО УРАВНЕНИЯ

1677

Таким образом, условие Липшица выполняется. Поэтому решение задачи Коши (26), (27)

для всех t > 0 и τ ∈ R существует и единственно.

Следствие 2. Лемма даёт метод решения задачи (1)-(3). Обозначим через λ_n, n ≥ 0,

ξ_n(τ,t), σ_n(τ,t), n ≥ 1, спектральные данные оператора L(τ,t). Сначала найдём спектраль-

ные данные λ_n, n ≥ 0, ξ0n(τ), σ0n(τ), n ≥ 1, для оператора L(τ). После этого в уравнении

(29) и в начальных условиях (27) последовательно положим τ = x₀ и τ = x₁. Решив полу-

ченные задачи Коши, найдём ξ_n(x₀, t) и ξ_n(x₁, t). Затем из формулы (28) определим функции

q(x₀, t) и q(x₁, t). Далее, подставив эти данные в систему уравнений (26) и решив задачу

Коши (26), (27) при произвольном значении τ, получим ξ_n(τ, t), n ≥ 1. Из формулы следов

(28) найдём q(τ,t).

До сих пор мы предполагали, что задача Коши (1)-(3) имеет решение. От этого предполо-

жения нетрудно освободиться, непосредственно убедившись, что полученная таким способом

функция q(τ, t) действительно удовлетворяет уравнению (1).

Замечание 2. Покажем, что найденная функция q(τ, t) действительно удовлетворяет

уравнению (1). Для этого используем систему уравнений Дубровина

∂ξ_n

= 2(-1)n-1σ_n(τ, t)h_n(ξ), n ≥ 1,

(30)

∂τ

и вторую формулу следов

∑

q²(τ,t) -

q_ττ(τ,t) = λ²⁰ +

(λ22k-1 + λ22k - 2ξ2k(τ, t)).

(31)

k=1

Из систем (26) и (30) имеем

∂ξ_n(τ,t)

= [-a(t)q(x₀, t)(2q(τ, t) + 4ξ_n(τ, t)) + b(t)q(x₁, t)]

(32)

∂t

∂τ

Продифференцировав формулу первого следа (28) по t, с учётом (32) найдём

(

)

∑

∂ξ_k

q_t = -2

= 2a(t)q(x₀, t)

2q(τ, t)

ξ_k

- 2b(t)q(x₁, t)

(33)

∂t

∂τ

k=1

Далее продифференцировав по τ формулы следов (28) и (31), будем иметь

∑

∂ξ_k

= -q_τ ,

ξ_k

q_τττ - 2qq_τ .

∂τ

k=1

Используя эти равенства, из (33) выводим

q_t = a(t)q(x₀,t)(q_τττ - 6qq_τ ) + b(t)q(x₁,t)q_τ .

Замечание 3. Равномерная сходимость рядов в указанных выше формулах следует из

(18) и оценки (см. [4, 27])

c₁n ≤ |hn(ξ)| ≤ c₂n, n ≥ 1,

где c₁ > 0 и c₂ > 0 не зависят от n.

Теорема 5. Пусть функция q₀(x) удовлетворяет условию

q₀(x + π) = q₀(x) ∈ C⁴(R).

Тогда существует решение q(x, t), x ∈ R, t > 0, задачи (1)-(3), однозначно определяемое по

формуле (28) и принадлежащее классу

C3x(t > 0)

^⋂C1t(t > 0)^⋂ C(t ≥ 0).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№ 12

2023

1678

ХАСАНОВ А.Б., ХАСАНОВ Т.Г.

Следствие 3. Если начальная функция q₀(x) является действительной π-периодической

аналитической функцией, то решение q(x, t) задачи (1)-(3) тоже является действительной

аналитической функцией по x.

Это утверждение следует из теоремы Трубовица [27]. Так как длины лакун, соответствую-

щие потенциалу q₀(x), убывают экспоненциально, а потенциалу q(x, t) соответствуют те же

лакуны, то q(x, t) является действительной аналитической функцией по x.

Следствие 4. Если число π/n, n ∈ N, n ≥ 2, является периодом начальной функции

q₀(x), то лакуны, номера которых не делятся на n, исчезают. Потенциалу q(x,t) соот-

ветствуют те же лакуны, значит, по теореме Хохштадта, число π/n является периодом

и для функции q(x,t) по переменной x. Здесь лакуна (λ2k-1,λ2k) имеет номер k.

Пример. Рассмотрим следующую задачу:

q_t = a(t)q(x₀,t)(q_xxx - 6qq_x) + b(t)q(x₁,t)q_x,

q(x, t)|t=0 = q₀(x) ≡ 2℘(x - x₀) +

где ℘(z) - эллиптическая функция Вейерштрасса, т.е. однозонный потенциал, задаваемый

спектром E = [λ₀, λ₁]

^⋃ [λ₂; ∞) и спектральными параметрами ξ₀(0) ∈ [λ₁, λ₂], σ₀(0) = ±1, а

c = +2(λ₀ + λ₁ + λ₂).

Нетрудно видеть, что решение этой задачи определяется по формуле

( ∫ t

∫

)

q(x, t) = 2℘ x + b(τ)q(x₁, τ) dτ + c a(τ)q(x₀, τ) dτ - x₀

Таким образом, при наличии нагруженного коэффициента или члена в уравнении КдФ

скорость распространения периодической бегущей волны в зависимости от коэффициентов

a(t) и b(t) увеличивается или уменьшается, а амплитуда не меняется.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Gardner C., Green I., Kruskal M., Miura R. A method for solving the Korteveg-de Vries equation

// Phys. Rev. Lett. 1967. V. 19. P. 1095-1098.

2. Фаддеев Л.Д. Свойства S-матрицы одномерного уравнения Шрёдингера

// Тр. Мат. ин-та

им. В.А. Стеклова. 1964. Т. 73. С. 314-336.

3. Марченко В.А. Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения. Киев, 1977.

4. Левитан Б.М. Обратные задачи Штурма-Лиувилля. М., 1984.

5. Lax P.D. Integrals of nonlinear equations of evolution and solitary waves // Comm. Pure and Appl.

Math. 1968. V. 21. P. 467-490.

6. Итс А.Р., Матвеев В.Б. Операторы Шрёдингера с конечнозонным спектром и N-солитонные ре-

шения уравнения Кортевега-де Фриза // Журн. теор. и мат. физики. 1975. Т. 23. № 1. С. 51-68.

7. Дубровин Б.А., Новиков С.П. Периодический и условно периодический аналоги многосолитонных

решений уравнения Кортевега-де Фриза // Журн. эксп. и теор. физики. 1974. Т. 67. № 12. С. 2131-

2143.

8. Митропольский Ю.А., Боголюбов Н.Н. (мл.), Прикарпатский А.К., Самойленко В.Г. Интегри-

руемые динамические системы: спектральные и дифференциально-геометрические аспекты. Киев,

1987.

9. Захаров В.Е., Манаков С.В., Новиков С.П., Питаевский Л.П. Теория солитонов: метод обратной

задачи. М., 1980.

10. Ince E.L. A proof of the impossibility of the coexistence of two Mathien functions // Proc. Cambridge

Phil. Soc. 1922. V. 21. P. 117-120.

11. Дубровин Б.А. Периодическая задача для уравнения Кортевега-де Фриза в классе конечнозонных

потенциалов // Функц. анализ и его прил. 1975. Т. 9. Вып. 3. С. 41-51.

12. Grinevich P.G., Taimanov I.A. Spectral conservation laws for periodic nonlinear equations of the

Melnikov type // Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2. 2008. V. 224. P. 125-138.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№ 12

2023

ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ НАГРУЖЕННОГО УРАВНЕНИЯ

1679

13. Khasanov A.B. Yakshimuratov A.B. The almos-periodicity of infinite-gap potentials of the Dirac operator

// Dokl. Math. 1996. V. 54. № 2. P. 767-769.

14. Хасанов А.Б., Яхшимуратов А.Б. Обратная задача на полуоси для оператора Штурма-Лиувилля

с периодическим потенциалом // Дифференц. уравнения. 2015. Т. 51. № 1. С. 23-33.

15. Смирнов А.О. Эллиптические решения нелинейного уравнения Шрёдингера и модифицированного

уравнения Кортевега-де Фриза // Мат. сб. 1994. Т. 185. № 8. С. 103-114.

16. Lax P. Almost periodic solutions of the KdF equation // SCAM Rev. 1976. V. 18. № 3. P. 351-575.

17. Домрин А.В. Мероморфное продолжение решений солитонных уравнений // Изв. РАН. Сер. мат.

2010. Т. 74. № 3. С. 23-44.

18. Нахушеев А.М. Нагруженные уравнения и их приложения // Дифференц. уравнения. 1983. Т. 19.

№ 1. С. 86-94.

19. Нахушеев А.М. Уравнения математической биологии. М., 1995.

20. Кожанов А.И. Нелинейные нагруженные уравнения и обратные задачи // Журн. вычислит. мате-

матики и мат. физики. 2004. Т. 44. С. 694-716.

21. Луговцов А.А. Распространение нелинейных волн в газожидкостной среде. Точные и приближённые

аналитические решения волновых уравнений // Прикл. механика и техн. физика. 2010. Т. 51. № 1.

С. 54-61.

22. Луговцов А.А. Распространение нелинейных волн в неоднородной газожидкостной среде. Вывод

волновых уравнений в приближении Кортевега-де Фриза // Журн. теор. и мат. физики. 2009.

Т. 50. № 2. С. 188-197.

23. Титчмарш Э.Ч. Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными урав-

нениями второго порядка. Т. 1. М., 1960.

24. Титчмарш Э.Ч. Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными урав-

нениями второго порядка. Т. 2. М., 1961.

25. Станкевич И.В. Об одной задаче спектрального анализа для уравнения Хилла // Докл. АН СССР.

1970. Т. 192. № 1. С. 34-37.

26. Ахиезер Н.И. Континуальный аналог ортогональных многочленов на системе интервалов // Докл.

АН СССР. 1961. Т. 141. № 2. С. 262-266.

27. Trubowtz E. The inverse problem for periodic potentials // Comm. Pure. Appl. Math. 1977. V. 30.

P. 321-337.

28. Hochstadt H. On the determination of Hill’s equation from its spectrum // Arch. Rat. Mech. Anal. 1965.

V. 19. P. 353-362.

29. Mckean H.P., Moerbeke P. The spectrum of Hill’s equation // Invent. Math. 1975. V. 30. № 3. P. 217-274.

30. Flachka H. On the inverse problem for Hill’s operator // Arch. Rational Mech. Anal. 1975. V. 59. № 4.

P. 293-309.

31. Hochstadt H. Estimates on the stability interval’s for the Hill’s equation // Proc. AMS. 1963. V. 14.

P. 930-932.

32. Левитан Б.М., Гусейнов Г.Ш. Вычисление главного члена асимптотики длины лакуны периодиче-

ской задачи Штурма-Лиувилля // Сердика Българско математическо списание. 1977. Т. 3. С. 273-

280.

33. Hochstadt H. A generalization of Borg’s inverse theorem for Hill’s equations // J. Math. Anal. and Appl.

1984. V. 102. P. 599-605.

34. Borg G. Eine umkehrung der Sturm-Liouvillschen eigenwertaufgable. Bestimmung der differential-

gleichung durch die eigenwete // Acta Math. 1946. V. 78. P. 1-96.

Самаркандский государственный университет,

Поступила в редакцию 29.12.2020 г.

Узбекистан,

После доработки 23.10.2023 г.

Ургенчский государственный университет,

Принята к публикации 13.11.2023 г.

Узбекистан

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№ 12

2023