ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2023, том 59, № 12, с. 1680-1691

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

УДК 517.968.23

ОБ АСИМПТОТИКЕ СПЕКТРА

ИНТЕГРАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА

С ЛОГАРИФМИЧЕСКИМ ЯДРОМ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА

Изучается асимптотическое поведение спектра интегрального оператора, схожего с инте-

гральным оператором с логарифмическим ядром, зависящим от суммы аргументов. Прос-

той заменой переменных соответствующее уравнение сводится к интегральному уравнению

типа свёртки, заданному на конечном отрезке (как известно, такие уравнения в общем

случае не решаются в квадратурах). Далее с помощью преобразования Фурье уравнение

сводится к задаче сопряжения аналитических функций, а затем - к бесконечной системе

линейных алгебраических уравнений, выделение главных членов в которой позволяет по-

лучить соотношение, определяющее спектр исходной задачи.

DOI: 10.31857/S0374064123120087, EDN: NXRBRI

Введение. В работе [1] было доказано, что интегральный оператор с логарифмическим

ядром, зависящим от суммы аргументов, вида

∫1

(Au)(x) = ln(t + x)u(t) dt, δ ≤ x ≤ 1,

где 0 < δ < 1 - фиксированное число, имеет лишь одно положительное собственное значение.

В статье [2] найдена асимптотика спектра интегрального уравнения переноса

∫¹

ϕ(t) dt

ϕ(x) = λ

x ∈ [-1,1],

0 < α < 1.

|t - x|^α

−1

В работах [3, 4] изучена асимптотика собственных значений и собственных функций более

общего семейства интегральных операторов типа свёртки

∫т

(Au)(τ) = k(t - τ)u(τ) dτ,

0≤t≤T,

для которых образ Фурье ядра k(s) - функция K(x) - является невырожденной однородной

функцией, т.е. K(cx) = c^-γK(x) для любого c > 0 и любого вещественного x, где 0 < γ < 1.

Метод решения уравнений типа свёртки, рассматриваемых на конечном отрезке, при из-

вестных двух частных решениях, отвечающих правым частям специального вида, предложен

в [5]. В [6] изучена асимптотика собственных значений и собственных функций интеграль-

ного оператора свёртки с ядром k(x) = (πx)-1 sin(lx), l > 0, рассматриваемого на отрезке

[-1, 1], а в статье [7] исследована асимптотика собственных значений и собственных функций

интегрального оператора свёртки с логарифмическим ядром.

1. Постановка задачи. Рассмотрим задачу на собственные значения для интегрального

оператора, родственного используемому в работе [1]:

∫

√

ψ(x) =

ψ(t)√

δ ≤ x ≤ 1,

(1)

t+x

1680

ОБ АСИМПТОТИКЕ СПЕКТРА ИНТЕГРАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА

1681

где 0 < δ < 1, γ > 0 - фиксированные числа. Изучим асимптотику спектра этого оператора

в предположении, что λ ≫ 0.

√

Обозначив x =

δe^y, t =

δe^s, v(y) = ey/2ψ(

δe^y), a = - ln

δ, запишем (1) в виде

∫

γ/2

v(y) =

v(s) ds,

-a ≤ y ≤ a.

(2)

ch ((y - s)/2)

−a

Заметим, что собственная функция уравнения (2) будет либо чётной, либо нечётной.

Рассмотрим сначала случай чётной собственной функции: v(y) = v(-y). Пусть T (y) -

чётная функция, удовлетворяющая условиям T^′′(y) = v(y), T (±a) = 0:

∫

T (y) = (y - t)v(t) dt - (a - t)v(t) dt,

тогда с учётом равенства

∫a

T^′(a) = v(t)dt = -T^′(-a)

уравнение (2) можно представить в виде

∫

T (s) ds

v(y) = w(y) -

-a ≤ y ≤ a,

(3)

4π

ch²((s - y)/2)

-a

где

γ²/2

w(y) =

T^′(a)ln

ch y + ch a

В соответствии с общей схемой, описанной в [8, с. 201], продолжим уравнение (3) на всю

вещественную прямую, доопределив функции v(y), w(y) и T (y) нулём вне отрезка [-a, a]:

∫

T (s) ds

v(y) = w(y) -

+ f₊(y - a) + f₊(-y - a),

-∞ < y < +∞,

(4)

4π

ch²((s - y)/2)

−∞

где f₊(y) = 0 при y ≤ 0.

Перейдём в соотношении (4) к образам Фурье, обозначив

∫a

∫

V (p) = v(y)e^ipy dy, W (p) = w(y)e^ipy dy, F⁺(p) =

f₊(y)e^ipy dy.

-a

В результате будем иметь

∫a

∫

V (0)

V (0) cos(ap) - V (p)

T^′(a) = v(t)dt =

T (y)e^ipy dy =

p²

-a

∫a

γ²/2

W (p) =

V (0) cos(py) ln

dy.

ch y + ch a

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№ 12

2023

1682

ПОЛОСИН

Заметим, что

∫

]

^[sin(ap)

γ²/4

cos(ap) th a

1 + chy cha cos(py)

W (p) =

V (0)

dy ,

ch a

p²

(ch y + ch a)² p²

так что при p → ∞ справедлива формула

⎧

sin(ap)

γ²/4

⁽1⁾

√

⎪

⎨

V (0)

γ =2

ch a,

ch a

p²

W (p) =

⎪

cos(ap)

⁽1⁾

√

⎩_-

V (0)

th a + O

γ =2

ch a.

2π

p²

p³

Тогда уравнение (4) можно записать в виде

(

)

(V (p) - V (0) cos(ap)) =^W (p) + e^iapF⁺(p) + e^-iapF⁺(-p),

-∞ < p < +∞, (5)

psh(πp)

где

^W (p) = W (p) - V (0) cos(ap).

Обозначим через μ вещественный положительный корень уравнения p sh (πp) = λ. Поло-

жив в (5) p = μ, получим условие, определяющее собственные значения исходной задачи:

- W (μ) = e^iaμF⁺(μ) + e^-iaμF⁺(-μ).

(6)

Введём каноническую функцию X(z) задачи сопряжения [9, с. 176] по правилу

(

μ²

⁾X^-(p)

X(∞) = 1,

psh (πp)

p²

X⁺(p)

тогда

{

∫

)

}

⁽sh (πt) t² - μ²

X(z) = exp

(7)

2πi

tsh (πt) - λ t - z

−∞

Заметим, что X^-(-z) = 1/X⁺(z).

Положим

⎧

(

)

⎪

z² - μ²

1+e2iaz

^W (z)e^iaz + F⁺(z)e2iaz

⎨

V (z)e^iaz - V (0)

Imz > 0,

z²X⁺(z)

X^-(z)

Φ(z) =

⎪F+(-z)

⎩

Im z < 0.

X^-(z)

В силу (5) Φ(z) будет мероморфной функцией, исчезающей на бесконечности, так что

∑

a_k

Φ(z) =

z-z_k

k=1

где через z_k, k ∈ N, обозначены корни уравнения

z sh (πz) = λ,

(8)

лежащие строго в верхней полуплоскости.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№ 12

2023

ОБ АСИМПТОТИКЕ СПЕКТРА ИНТЕГРАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА

1683

2. Основные результаты. Справедливо следующее утверждение.

Лемма 1. Уравнение (8) не имеет кратных корней тогда и только тогда, когда выполнено

условие

Λsin(λΛ) = -1,

(9)

√

где Λ =

(1 +

1 + (πλ/2)-2)/2.

Для доказательства достаточно исключить z из системы, состоящей из уравнения (8) и

уравнения sh (πz) + πz ch (πz) = 0, получающегося в результате дифференцирования уравне-

ния (8) по z.

В дальнейшем будем предполагать, что условие (9) выполнено.

Вычислив вычеты в выражении для функции Φ(z), находим

z2k - μ

F⁺(z_k)e2iazk +^W(z_k)e^iazk

a_k = -

k ∈ N,

z2kX⁺(z_k)

π cth (πz_k) + 1/z_k

откуда при Im z > 0 следует, что

∑

a_k

F⁺(z) = X^-(-z)Φ(-z) = -

X⁺(z)

z+z_k

k=1

Таким образом, мы получаем бесконечную систему линейных алгебраических уравнений

для определения коэффициентов a_k, k ∈ N, в обозначениях p(z) = π cth (πz) + z-1, χ(z) =

= (e^-iaz X⁺(z))²/(1 - μ²z-2):

∑

a_k

1 - (μ/z_m)² W (z_m)eiazm

a_m =

m ∈ N.

(10)

χ(z_m)p(z_m)

z_m + z_k

X⁺(z_m)

p(z_m)

k=1

Исследуем расположение и свойства корней z_k, k ∈ N.

Лемма 2. Все невещественные корни уравнения (8) лежат в полосе |Re z| < μ.

Достаточно заметить, что если |Re z| ≥ μ, Im z > 0, то

|z sh (πz)| ≥ |z||sh (πz)| > |Re z| sh (π|Re z|) ≥ μ sh μ = λ.

Лемма 3. Количество корней уравнения (8), лежащих в прямоугольнике с вершинами

±μ + i0,

±μ + i2N, где N ∈ N, равно 2N.

Доказательство. Обозначим f(z) = z sh (πz) - λ, z = x + iy, где x, y ∈ R, тогда

Re f(z) = xsh (πx)cos(πy)-y sin(πy)ch (πx)-λ, Im f(z) = xsin(πy)ch (πx)+y sh (πx)cos(πy).

Изучим приращение аргумента f(z) на сторонах рассматриваемого прямоугольника.

Подсчитаем количество точек пересечения графика f(z) с действительной осью на от-

резке [μ, μ + i2N]. Уравнение Im f(z) = 0 запишем в виде tg (πy) = -y th (πμ)/μ. Так как

th (πμ)/μ > 0, то на каждом интервале вида (k - 1/2, k), k = 1, 2N , у этого уравнения будет

существовать ровно один корень y_k; стало быть, общее количество корней равно 2N. При

этом для нечётных k выполняются неравенства sin(πy_k) > 0, cos(πy_k) < 0, так что

Re f(z_k) = λcos(πy_k) - y_k sin(πy_k)ch (πμ) - λ < 0,

а для чётных k - неравенства sin(πy_k) < 0, cos(πy_k) > 0, а значит,

(

)

sin²(πy_k) ch²(πμ)

sh²(πμ)(1 - cos(πy_k)) + sin²(πy_k)

Re f(z_k) = λ cos(πy_k) +

-1

=λ

> 0.

sh²(πμ)cos(πy_k)

cos(πy_k) sh²(πμ)

С учётом ещё того, что f(μ) = 0, arg f(μ + i0) = π/2 и f(μ + i2N) = i2N sh (πμ), прира-

щение аргумента функции f(z) на отрезке [μ + i0, μ + i2N] равно 2πN.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№ 12

2023

1684

ПОЛОСИН

На отрезке [μ + i2N, -μ + i2N]

Ref(z) = Ref(x + i2N) = xsh (πx) - λ ≤ 0, Im f(z) = Imf(x + i2N) = 2sh (πx),

приращение аргумента равно π.

Так как на отрезке [-μ + i2N, -μ + i0] f(z) = f(-μ + iy) = f(μ - iy) = f(μ + iy), то

приращение аргумента на этом отрезке равно 2πN; на отрезке [-μ + i0, μ + i0] приращение

аргумента, очевидно, равно -π. Таким образом, общее приращение аргумента при обходе

прямоугольника в направлении против часовой стрелки составляет 4πN, что и доказывает

лемму.

Следствие 1. Количество корней уравнения (8) с ненулевой мнимой частью конечно.

Два корня уравнения (8), ближайшие к iλ, обозначим через z∗1, z∗2; возможны случаи

Re z∗1 = Rez∗2 = 0 или Rez∗1 = -Rez∗2 > 0, Im z∗1 = Imz∗2.

Следствие 2. Для всех корней уравнения (8), кроме z∗1, z∗2, справедлива оценка

|z_k - iλ| ≥ 1.

Разобьём множество корней, отличных от z∗1, z∗2, на три дизъюнктных подмножества в

зависимости от знака их действительной части:

∐

{z_k}∞k=1\{z∗1, z∗2} = {z+m}Mm=1

{z^-m}Mm=1

{z0l}∞l=1,

Re z+m > 0, z^-m = -z^m, m = 1,M, Re z0l = 0, l ∈ N,

занумеровав корни в каждом подмножестве в порядке возрастания их мнимых частей.

Лемма 4. Если |z| ≤ 1, то |e^πz - 1| ≥ 2|z|e-π|z|/2.

Доказательство. Обозначим z = re^iθ. Так как r < 1, то



)



)



⁽πr



2 πr



⁽πr



πr



sin θ

| sin θ| = r| sin θ|,

cos θ

| cos θ| ≥ r| cos θ|,

^s

≥

^s

≥

π 2

поэтому

|e^πz - 1|² = 2eπrcosθ[ch (πr cos θ) - cos(πr sin θ)] =

[

(

)

(

)]

πr

= 4eπrcosθ sh²

cos θ

+ sin²

sin θ

≥ 4e^-πr[(r cos θ)² + (r sin θ)²] = 4r²e^-πr,

откуда и вытекает искомое неравенство. Лемма доказана.

Лемма 5. Для корней z+m с номерами, удовлетворяющими условию 2m ≤ μe^Cμ, где C <

< π - фиксированная константа, справедлива асимптотическая формула

z+m = μ + 2im - π-1 ln(1 + 2im/μ) + O(1/μ).

Доказательство. Обозначим f(z) = z sh (πz) - λ, z+m,0 = μ + 2im - π-1 ln(1 + 2im/μ).

Воспользуемся теоремой Руше, положив ϕ(z) = -f(z+m,0). Пусть |δ| ≤ 1, тогда

)]

^[z

⁽z

2f(z) = 2z sh (πz) - 2λ = μe^πμ

eπ(z-μ) - 1 -

e-π(z+μ) - e-2πμ

(



)

_z



_z



|2f(z)| ≥ μe^πμ



π(z-μ) - 1



−π(z+μ) - e-2πμ



^-



^μe

|2f(z+m,0 + δ)| ≥ μe^πμ(|e^πδ - 1| - T ),

где



(

(

)(

)₂))

_δ-π-1ln(1+2im/μ)



δ - π-1 ln(1 + 2im/μ)

⁽ 2m



T =e^π

e-2πμ 1+eπ

⁺



μ + 2im

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№ 12

2023

ОБ АСИМПТОТИКЕ СПЕКТРА ИНТЕГРАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА

1685

Так как



_δ-π-1ln(1+2im/μ)



O(1),



⁼

1 + 2im/μ

(

)(

)₂)

(

)



δ - π-1 ln(1 + 2im/μ)

⁽ 2m



O(1)



e2Cμ,



≤

μ + 2im

то в силу леммы 4 справедливо неравенство |2f(z)| ≥ μe^πμ(2|δ|e-π/2 + O(1/μ)).

Далее, поскольку

[

(

)(

)₂

]

1 ln(1 + 2im/μ)

2im

2ϕ = μe^πμ

+ 1-

e-2πμ - e-2πμ ,

πμ

1 + 2im/μ

πμ

1 + 2im/μ

то |2ϕ(z)| = O(e^πμ), поэтому существует такая константа C₀, не зависящая ни от m, ни от μ,

что на окружности |δ| = C₀/μ выполняется неравенство |f| > |ϕ|, что и доказывает лемму.

Изучим теперь свойства канонической функции (7).

Лемма 6. Справедливо неравенство

tsh (πt) - λ

> 1, t ∈ R.

sh(πt) t² - μ²

Достаточно заметить, что

(

)

(

)

tsh(πt) - λ

μsh(πμ)

μsh (πμ)

t² - t

=1+

sh(πt) t² - μ²

t² - μ²

sh(πt)

t² - μ²

sh (πμ)

sh (πt)

и записать искомое неравенство в виде

t/sh (πt) - μ/sh (πμ)

< 0.

t² - μ²

Изучим теперь поведение канонической функции (7) в верхней полуплоскости.

Теорема. Пусть z = μ + iμξ, Re ξ > 0, тогда

[ (

) (

)]

∫

1 + iξ + s ds

ln(X⁺(z))-2 = μ ξ ln 1+

2i ln

iξ(2 + iξ)

1 + iξ

πi

1 + iξ - s s

∫1

(

)

∫

(

)

iξ

iξ + 1 + s

ξ-i

s²

ds + 2

πi

1-s²

iξ + 1 - s iξ + 2

s² - 1

s² - (1 + iξ)²

∫

ξ-i

⁽1⁾

ln(1 - e^-t)

π(1 + iξ/2)

t - iπμξ

Доказательство. Представим каноническую функцию (7) в виде

∫

(

))

∑

ξ-i

sh (πμ)

ln(X⁺(μ + iμξ))-2 = 2

= I_k,

s² - 1

sh (πμs) s² - (1 + iξ)²

k=1

где

∫1

[ (

)

(

)]

ξ-i

ln eπμ(1-s)

I₁ = 2

= μ ξ ln

+ 2i ln

s² - (1 + iξ)²

iξ(2 + iξ)

1 + iξ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№ 12

2023

1686

ПОЛОСИН

∫

(

))

ξ-i

1-e-2πμ

I₂ = 2

se-πμ(1-s) -

s² - 1

1 - e-2πμs s² - (1 + iξ)²

∫

(

))

ξ-i

sh(πμ)

I₃ = 2

s² - 1

sh (πμs) s² - (1 + iξ)²

Вычислим второй интеграл. Для этого представим его в виде I₂ = I₂₁ + I₂₂, где

∫

(

)

∫

(

)

ξ-i

1 + iξ - s

I₂₁ = 2

d ln

1 - e-2πμs s² - (1 + iξ)²

πi

1-e-2πμs

1 + iξ + s

∫

∫1

2 + iξ

1 + iξ - s ds

2πμs

1 + iξ - s ds

ln(1 - e-2πμ) ln

πi

iξ

πi

1 + iξ + s s

πi

e2πμs - 1

1 + iξ + s s

∫

2 + iξ

1 + iξ - s ds

1 + iξ - t/(2πμ) dt

ln(1 - e-2πμ) ln

πi

iξ

πi

1 + iξ + s s

πi

1 + iξ + t/(2πμ) e^t - 1

∫

2 + iξ

1 + iξ - s ds

e-2πμ(1 + O(e-2πμ))ln

πi

iξ

πi

1 + iξ + s s

∫

(

((

)₂))

πi

πμ(1 + iξ)

2πμ(1 + iξ)

e^t - 1

∫

2 + iξ

1 + iξ - s ds

t dt

= -e-2πμ

+ O(μ-2);

πi

iξ

πi

1 + iξ + s s

π²μ(i - ξ)

e^t - 1

iξ

I₂₂ -

ln(1 - e-2πμ) ln

πi

2 + iξ

∫

(

) (

2s sh (πμs) - 2 sh (πμ)

⁽1 + iξ - s 2 + iξ⁾⁾

iξ

ln e^-πμ

d ln

ln(1 - e-2πμ) ln

πi

s² - 1

1 + iξ + s iξ

πi

2 + iξ

∫

(

)

πμs ch (πμs) + sh(πμs)

⁽1 + iξ - s 2 + iξ⁾

ds = I₂₂₁ + I₂₂₂,

πi

1-s²

s sh (πμs) - sh (πμ)

1 + iξ + s iξ

∫

⁽1 + iξ - s 2 + iξ⁾

I₂₂₁ = -

ds,

πi

1-s²

1 + iξ + s iξ

∫

πμs ch (πμs) + sh(πμs)

⁽1 + iξ - s 2 + iξ⁾

I₂₂₂ = -

ds =

πi

s sh(πμs) - sh (πμ)

1 + iξ + s iξ

∫

[ (

) (

)]

∫

(

)

e^-t dt

t/(πμ)

f₁(t)

iξ + t/(πμ)

2 + iξ

- ln

dt,

πi

e^-t - 1

iξπμ

2 + iξ

πi

f₂(t)

2 + iξ - t/(πμ) iξ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№ 12

2023

ОБ АСИМПТОТИКЕ СПЕКТРА ИНТЕГРАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА

1687

(

)

(

)

-t

et-2πμ

f₁(t) = et-2πμ(1 - e^-t) +

- 1 - 2t

πμ

1-e^-t

πμ

1-e^-t

(

)

f₂(t) =

(et-2πμ - e^-t) + 1 - e-2πμ.

πμ

Так как

|f₂(t)| = 1 - e^-t + t(e^-t - et-2πμ)/(πμ) + et-2πμ - e-2πμ ≥ 1 - e^-t,

(

)



|1 - t - e^-t|

e^-t - 1 + t



(1 - e^-t)-1

≤

+ t,



⁼

1-e^-t

(1 - e^-t)²

(

)



(1 + 2t)(1 - e^-t) - t

1 + t - (1 + 2t)e^-t



- 1 - 2t

(1 - e^-t)-1

≤

+ t,



⁼

1-e^-t

(1 - e^-t)²

то при 0 ≤ t ≤ πμ справедлива оценка



(

)

(

)

f1(t)

e^-t

e^-πμ



e^-πμ +

≤

^f₂(t)

πμ

Таким образом, I₂ = J₂₁(ξ) + J₂₂, где

∫

(

)

1 + iξ + s ds

iξ

iξ + 1 + s

J₂₁(ξ) =

ds,

πi

1 + iξ - s s

πi

1-s²

iξ + 1 - s iξ + 2

∫

(

)

iξ

t dt

J₂₂ =

(e-2πμ + ln(1 - e-2πμ)) ln

πi

2 + iξ

π²μ(i - ξ)

e^t - 1

μ²

∫

[ (

) (

)]

- ln

πi

iξπμ

(2 + iξ)πμ e^t - 1

∫

(

)

(

))

(

)

e^-t

e^-πμ

iξ + t/(πμ)

2 + iξ

⁽1⁾

O e^-πμ +

+ t ln

dt = O

πi

πμ

2 + iξ - t/(πμ) iξ

Теперь вычислим третий интеграл. Для этого представим его в виде

∫

(

)

∫ (

)

ξ-i

s²

ξ-i

e-πμ(s-1)(1 - e-2πμ)

I₃ -2

ln 1-

s² - 1

s² - (1 + iξ)²

s(1 - e-2πμs)

s² - (1 + iξ)²

∫

(

)

ξ-i

e^-t(1 - e-2πμ)

(1 + t/(πμ))(1 - e-2πμe-2t) (t - iπμξ)(2 + t/(πμ) + iξ)

∫

ξ-i

ln(1 - e^-t)

+I₃₀,

π(1 + iξ/2)

t - iπμξ

где

∫ (

)

ξ-i

e^-t(1 - e-2πμ)

I₃₀ = 2

(1 + t/(πμ))(1 - e-2πμe-2t) (t - iπμξ)(2 + t/(πμ) + iξ)

∗

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№ 12

2023

1688

ПОЛОСИН

∫

ξ-i

ln(1 - e^-t)

π(1 + iξ/2)

t - iπμξ

∫

(

)

ξ-i

e-t-2πμ(1 + e^-t)

πμ + t e^t - 1

(1 + t/(πμ))(1 - e-2t-2πμ) (t - iπμξ)(2 + t/(πμ) + iξ)

∫

ξ-i

ln(1 - e^-t) dt

⁽1⁾

π²μ 1 + iξ/2

t - iπμξ 2 + t/(πμ) + iξ

Теорема доказана.

Следствие 3. При z = μ + iμξ, Re ξ > 0, справедливо представление

= exp{2iaμ + μf(ξ) + g(ξ) + . . .},

χ(z)

где

(

)

(

)

f (ξ) = -2ξ + ξ ln

+ 2i ln

iξ(2 + iξ)

1 + iξ

∫

∫1

(

)

iξ(2 + iξ)

1 + iξ + s ds

iξ

iξ + 1 + s

g(ξ) = ln

ds +

(1 + iξ)²

πi

1 + iξ - s s

πi

1-s²

iξ + 1 - s iξ + 2

∫

(

)

ξ-i

s²

s² - 1

s² - (1 + iξ)²

Заметим, что

h(ξ) ≡ Re f(ξ) = -2ξ + ξ ln(1 + ξ²) -

ln(4 + ξ²) - ξ ln ξ + 2 arctg ξ - 2 arctg

h(+0) = 0, h(+∞) = -∞, h(ξ) монотонно возрастает при 0 ≤ ξ ≤ ξ_max и монотонно убывает

при ξ_max ≤ ξ < +∞, где ξ_max - корень уравнения h^′(ξ) = 0:

√

3/2

ξ_max =

√

e⁴ - 1

1 - (3/4)e-4 + 1

Следовательно, на луче 0 < ξ < +∞ у функции h(ξ) существует в точности один корень

ξ₀, причём в окрестности этого корня h(ξ) = h^′(ξ₀)(ξ - ξ₀) + O((ξ - ξ₀)²). Таким образом, при

(ξ₀ - δ)μ ≤ m ≤ (ξ₀ + δ)μ

= exp{2iãμ + 2f^′(ξ₀)(m - S) + . . .},

χ(z^m)

где ã = a - if(ξ₀)/2 (заметим, что Re f(ξ₀) = 0), S - номер, ближайший к μξ₀.

Изучим теперь систему линейных алгебраических уравнений (10).

Заново разобьём множество корней уравнения (8) на подмножества. Все корни, отличные

от a⁺¹, . . . , a+S, a-1, . . . , a^-S, a∗1, a∗2, обозначим через a⁰¹, a⁰², . . . , занумеровав их в порядке

возрастания мнимых частей, а при их равенстве - по убыванию действительных частей.

Так как S ∼ μξ₀, то коэффициенты 1/(z^-m + z+k) малы, если хотя бы один из индексов

больше S. Таким образом, главные члены системы (10) можно записать в виде

∑ a+k

a∗2

− p(z^-m)χ(z^-m)a^-m = X⁺(z^-m) W (z^-m)e-iazm -a1

m = 1,S;

(11)

z^m + z_k

z^m + z∗1

z^m + z^∗

k=1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№ 12

2023

ОБ АСИМПТОТИКЕ СПЕКТРА ИНТЕГРАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА

1689

∑

a^-k

a∗2

- p(z+m)χ(z+m)a+m +

= X⁺(z+m) W (z+m)e-iazm -a1

m = 1,S;

z^m + z_k

z^m + z∗1

z^m + z^∗

k=1

(

)

a∗2

a0m =

-X⁺(z0m)^W(z0m)e-iazm +a1

m ∈ N;

p(z0m)χ(z0m)

z0m + z∗1

z0m + z^∗

∑

a∗1

a∗2

a+k

a^-k

a0k

p(z^∗m)χ(z^∗m)a^∗m -

z^∗m + z∗1

z^∗m + z^∗

z^∗m + z

z^∗m + z⁰

k=1

− X⁺(z^∗m) W (z^∗m)e-iazm , m = 1,2.

Запишем главные члены первых двух групп уравнений системы (11) в матричной форме

AX = F, где

X = (a+1 ,...,a+S,a-1 ,...,a-S )^т, F = (f+1 ,...,f+S ,f-1 ,...,f-S )^т,

a∗2

f+m = X⁺(z^-m)^W(z^-m)e-iazm -a1

m = 1,S,

z^m + z∗1

z^m + z^∗

a∗2

f^-m = X⁺(z+m)^W(z+m)e-iazm -a1

m = 1,S,

z^m + z∗1

z^m + z^∗

(

)

Ω e2iãμD

e-2iãμD

Ω = Ω^т ∈ C^S×S - матрица, не зависящая от μ, D ∈ C^S×S - диагональная матрица, не

зависящая от μ. Обращая матрицу A, получаем

Ξ = Ω-1D, G = (I - Ξ²)-1Ω-1 = (g_km)Sk,m=1, H = -Ξ(I - Ξ²)-1Ω-1 = -ΞG = (h_km)Sk,m=1,

(

)

G e2iãμH

A-1 =

e-2iãμH

Отсюда имеем X = A-1F,

∑

g_km

∑ g_km

∗

a+k =

g_kme-iazm X⁺(z^-m) W(z^-m) - a^∗

-a

z^m + z^∗

m=1

∑

h_km

∑ h_km

∗

+e2iãμ

h_kme-iazm X⁺(z+m) W(z+m) - e2iãμa^∗

-e2iãμa

z^m + z^∗

m=1

∑

h_km

∑ h_km

∗

a^-k = e-2iãμ

h_kme-iazm X⁺(z^-m) W(z^-m) - e-2iãμa^∗

-e-2iãμa

z^m + z^∗

m=1

∑

g_km

∑ g_km

∗

+ g_kme-iazmX⁺(z+m) W(z+m) - a^∗

-a

k = 1,S.

z^m + z^∗

m=1

Таким образом, последние два уравнения системы (11) принимают вид

(

)(

)

(

)

q₁₁

q₁₂

a∗1

r₁

q₂₁

q₂₂

a∗2

r₂

где

)

∑

∑ g_km

h_km

q₁₁ = p(z∗1)χ(z∗1) -

+e2iãμ

2z^∗

z^∗

+z_k

z^m + z^∗

k=1

m=1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№ 12

2023

1690

ПОЛОСИН

(

)

∑

h_km

g_km

e-2iãμ

∗

z^∗

+z_k

z^m + z

z^m + z^∗

(z∗1 + z0k)2 p(z0k)χ(z0k)

k=1

m=1

k=1

)

∑

∑ g_km

h_km

q₁₂ = -

+e2iãμ

z∗1 + z^∗

z∗1 + z⁺

z^m + z^∗

k=1

k m=1

m=1

(

)

∑

h_km

g_km

e-2iãμ

∗

z^∗

+z_k

z^m + z

z^m + z^∗

z∗1 + z⁰

z∗2 + z⁰

p(z0k)χ(z0k)

k=1

m=1

k=1

)

∑

∑ g_km

h_km

q₂₁ = -

+e2iãμ

z∗2 + z^∗

z∗2 + z⁺

z^m + z^∗

k=1

k m=1

m=1

(

)

∑

h_km

g_km

e-2iãμ

∗

z^∗

+z_k

z^m + z

z^m + z^∗

z∗2 + z⁰

z∗1 + z⁰

p(z0k)χ(z0k)

k=1

m=1

k=1

)

∑

∑ g_km

h_km

q₂₂ = p(z∗2)χ(z∗2) -

+e2iãμ

2z^∗

z^∗

+z_k

z^m + z^∗

k=1

m=1

(

)

∑

h_km

g_km

e-2iãμ

∗

z^∗

+z_k

z^m + z

z^m + z^∗

(z∗2 + z0k)2 p(z0k)χ(z0k)

k=1

m=1

k=1

)

∑

r₁ =

g_kme-iazm X⁺(z^-m) W(z^-m

)+e2iãμ

h_kme-iazm X⁺(z+m) W(z+m)

z^∗

+z_k

k=1

m=1

(

)

∑

e-2iãμ

h_kme-iazm X⁺(z^-m) W(z^-m) +

g_kme-iazm X⁺(z+m) W(z+m)

z^∗

+z_k

k=1

m=1

∑

e-iazk X⁺(z0k)^W(z0k) + e-iaz1X⁺(z∗1)^W(z∗1),

z∗1 + z⁰

p(z0k)χ(z0k)

k=1

)

∑

r₂ =

g_kme-iazm X⁺(z^-m) W(z^-m

)+e2iãμ

h_kme-iazm X⁺(z+m) W(z+m)

z^∗

+z_k

k=1

m=1

(

)

∑

e-2iãμ

h_kme-iazm X⁺(z^-m) W(z^-m) +

g_kme-iazm X⁺(z+m) W(z+m)

z^∗

+z_k

k=1

m=1

∑

e-iazk X⁺(z0k)^W(z0k) - e-iaz2X⁺(z∗2)^W(z∗2),

z∗2 + z⁰

p(z0k)χ(z0k)

k=1

откуда и находим коэффициенты a∗1, a∗2.

Подстановка найденных коэффициентов в условие (6) даёт асимптотическое соотношение

для определения собственных значений, которое не записываем ввиду его громоздкости.

Случай нечётной собственной функции рассматривается аналогично; тогда функция T (y) -

это нечётная функция, удовлетворяющая условиям T^′′(y) = v(y), T^′(±a) = 0.

Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства науки и высшего образования

Российской Федерации в рамках реализации программы Московского центра фундаменталь-

ной и прикладной математики по соглашению № 075-15-2022-284.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№ 12

2023

ОБ АСИМПТОТИКЕ СПЕКТРА ИНТЕГРАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА

1691

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Oseledets I. The integral operator with logarithmic kernel has only one positive eigenvalue // Linear

Algebra and its Appl. 2008. V. 428. № 7. P. 1560-1564.

2. Ukai S. Asymptotic distribution of eigenvalues of the kernel in the Kirkwood-Riseman integral equation

// J. of Math. Phys. 1971. V. 12. № 1. P. 83-92.

3. Пальцев Б.В. Уравнения свёртки на конечном интервале для одного класса символов, имеющих

степенную асимптотику на бесконечности // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1980. Т. 44. № 2. С. 322-394.

4. Пальцев Б.В. Асимптотика спектра интегральных операторов свёртки на конечном интервале с

однородными полярными ядрами // Изв. РАН. Сер. мат. 2003. Т. 67. № 4. С. 67-154.

5. Сахнович Л.А. Уравнения с разностным ядром на конечном отрезке // Успехи мат. наук. 1980.

Т. 35. № 4. С. 69-129.

6. Полосин А.А. О спектре и собственных функциях оператора свёртки на конечном интервале с

образом ядра - характеристической функцией // Дифференц. уравнения. 2017. Т. 53. № 9. С. 1180-

1194.

7. Полосин А.А. Об асимптотическом поведении собственных значений и собственных функций инте-

грального оператора свёртки с логарифмическим ядром, заданного на конечном отрезке // Диф-

ференц. уравнения. 2022. Т. 58. № 9. С. 1251-1265.

8. Гахов Ф.Д., Черский Ю.И. Уравнения типа свертки. М., 1978.

9. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М., 1977.

Московский государственный университет

Поступила в редакцию 13.08.2023 г.

имени М.В. Ломоносова

После доработки 13.08.2023 г.

Принята к публикации 11.10.2023 г.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№ 12

2023