ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2023, том 59, № 12, с. 1680-1691
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
УДК 517.968.23
ОБ АСИМПТОТИКЕ СПЕКТРА
ИНТЕГРАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА
С ЛОГАРИФМИЧЕСКИМ ЯДРОМ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА
© 2023 г. А. А. Полосин
Изучается асимптотическое поведение спектра интегрального оператора, схожего с инте-
гральным оператором с логарифмическим ядром, зависящим от суммы аргументов. Прос-
той заменой переменных соответствующее уравнение сводится к интегральному уравнению
типа свёртки, заданному на конечном отрезке (как известно, такие уравнения в общем
случае не решаются в квадратурах). Далее с помощью преобразования Фурье уравнение
сводится к задаче сопряжения аналитических функций, а затем - к бесконечной системе
линейных алгебраических уравнений, выделение главных членов в которой позволяет по-
лучить соотношение, определяющее спектр исходной задачи.
DOI: 10.31857/S0374064123120087, EDN: NXRBRI
Введение. В работе [1] было доказано, что интегральный оператор с логарифмическим
ядром, зависящим от суммы аргументов, вида
1
(Au)(x) = ln(t + x)u(t) dt, δ x 1,
δ
где 0 < δ < 1 - фиксированное число, имеет лишь одно положительное собственное значение.
В статье [2] найдена асимптотика спектра интегрального уравнения переноса
1
ϕ(t) dt
ϕ(x) = λ
,
x ∈ [-1,1],
0 < α < 1.
|t - x|α
1
В работах [3, 4] изучена асимптотика собственных значений и собственных функций более
общего семейства интегральных операторов типа свёртки
т
(Au)(τ) = k(t - τ)u(τ) dτ,
0tT,
0
для которых образ Фурье ядра k(s) - функция K(x) - является невырожденной однородной
функцией, т.е. K(cx) = cK(x) для любого c > 0 и любого вещественного x, где 0 < γ < 1.
Метод решения уравнений типа свёртки, рассматриваемых на конечном отрезке, при из-
вестных двух частных решениях, отвечающих правым частям специального вида, предложен
в [5]. В [6] изучена асимптотика собственных значений и собственных функций интеграль-
ного оператора свёртки с ядром k(x) = (πx)-1 sin(lx), l > 0, рассматриваемого на отрезке
[-1, 1], а в статье [7] исследована асимптотика собственных значений и собственных функций
интегрального оператора свёртки с логарифмическим ядром.
1. Постановка задачи. Рассмотрим задачу на собственные значения для интегрального
оператора, родственного используемому в работе [1]:
1
λ
γ
xt
dt
ψ(x) =
ln
ψ(t)
,
δ x 1,
(1)
π
t+x
xt
δ
1680
ОБ АСИМПТОТИКЕ СПЕКТРА ИНТЕГРАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА
1681
где 0 < δ < 1, γ > 0 - фиксированные числа. Изучим асимптотику спектра этого оператора
в предположении, что λ ≫ 0.
Обозначив x =
δey, t =
δes, v(y) = ey/2ψ(
δey), a = - ln
δ, запишем (1) в виде
a
λ
γ/2
v(y) =
ln
v(s) ds,
-a y a.
(2)
π
ch ((y - s)/2)
−a
Заметим, что собственная функция уравнения (2) будет либо чётной, либо нечётной.
Рассмотрим сначала случай чётной собственной функции: v(y) = v(-y). Пусть T (y) -
чётная функция, удовлетворяющая условиям T′′(y) = v(y), T (±a) = 0:
y
a
T (y) = (y - t)v(t) dt - (a - t)v(t) dt,
0
0
тогда с учётом равенства
a
T(a) = v(t)dt = -T(-a)
0
уравнение (2) можно представить в виде
a
λ
T (s) ds
v(y) = w(y) -
,
-a y a,
(3)
4π
ch2((s - y)/2)
-a
где
λ
γ2/2
w(y) =
T(a)ln
π
ch y + ch a
В соответствии с общей схемой, описанной в [8, с. 201], продолжим уравнение (3) на всю
вещественную прямую, доопределив функции v(y), w(y) и T (y) нулём вне отрезка [-a, a]:
λ
T (s) ds
v(y) = w(y) -
+ f+(y - a) + f+(-y - a),
-∞ < y < +∞,
(4)
4π
ch2((s - y)/2)
−∞
где f+(y) = 0 при y 0.
Перейдём в соотношении (4) к образам Фурье, обозначив
a
a
V (p) = v(y)eipy dy, W (p) = w(y)eipy dy, F+(p) =
f+(y)eipy dy.
-a
-a
0
В результате будем иметь
a
a
V (0)
V (0) cos(ap) - V (p)
T(a) = v(t)dt =
,
T (y)eipy dy =
,
2
p2
0
-a
a
λ
γ2/2
W (p) =
V (0) cos(py) ln
dy.
π
ch y + ch a
0
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№ 12
2023
1682
ПОЛОСИН
Заметим, что
a
]
λ
[sin(ap)
γ2/4
cos(ap) th a
1 + chy cha cos(py)
W (p) =
V (0)
ln
-
+
dy ,
π
p
ch a
p2
2
(ch y + ch a)2 p2
0
так что при p → ∞ справедлива формула
λ
sin(ap)
γ2/4
(1)
V (0)
ln
+O
,
γ =2
ch a,
π
p
ch a
p2
W (p) =
λ
cos(ap)
(1)
-
V (0)
th a + O
,
γ =2
ch a.
2π
p2
p3
Тогда уравнение (4) можно записать в виде
(
)
λ
1-
(V (p) - V (0) cos(ap)) =W (p) + eiapF+(p) + e-iapF+(-p),
-∞ < p < +∞, (5)
psh(πp)
где
W (p) = W (p) - V (0) cos(ap).
Обозначим через μ вещественный положительный корень уравнения p sh (πp) = λ. Поло-
жив в (5) p = μ, получим условие, определяющее собственные значения исходной задачи:
- W (μ) = eiaμF+(μ) + e-iaμF+().
(6)
Введём каноническую функцию X(z) задачи сопряжения [9, с. 176] по правилу
(
λ
μ2
)X-(p)
1-
=
1-
,
X() = 1,
psh (πp)
p2
X+(p)
тогда
{
)
}
1
(sh (πt) t2 - μ2
dt
X(z) = exp
ln
(7)
2πi
t
tsh (πt) - λ t - z
−∞
Заметим, что X-(-z) = 1/X+(z).
Положим
(
)
z2 - μ2
1+e2iaz
W (z)eiaz + F+(z)e2iaz
V (z)eiaz - V (0)
-
,
Imz > 0,
z2X+(z)
2
X-(z)
Φ(z) =
F+(-z)
,
Im z < 0.
X-(z)
В силу (5) Φ(z) будет мероморфной функцией, исчезающей на бесконечности, так что
ak
Φ(z) =
,
z-zk
k=1
где через zk, k ∈ N, обозначены корни уравнения
z sh (πz) = λ,
(8)
лежащие строго в верхней полуплоскости.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№ 12
2023
ОБ АСИМПТОТИКЕ СПЕКТРА ИНТЕГРАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА
1683
2. Основные результаты. Справедливо следующее утверждение.
Лемма 1. Уравнение (8) не имеет кратных корней тогда и только тогда, когда выполнено
условие
Λsin(λΛ) = -1,
(9)
где Λ =
(1 +
1 + (πλ/2)-2)/2.
Для доказательства достаточно исключить z из системы, состоящей из уравнения (8) и
уравнения sh (πz) + πz ch (πz) = 0, получающегося в результате дифференцирования уравне-
ния (8) по z.
В дальнейшем будем предполагать, что условие (9) выполнено.
Вычислив вычеты в выражении для функции Φ(z), находим
2
z2k - μ
F+(zk)e2iazk +W(zk)eiazk
ak = -
,
k ∈ N,
z2kX+(zk)
π cth (πzk) + 1/zk
откуда при Im z > 0 следует, что
1
ak
F+(z) = X-(-z)Φ(-z) = -
X+(z)
z+zk
k=1
Таким образом, мы получаем бесконечную систему линейных алгебраических уравнений
для определения коэффициентов ak, k ∈ N, в обозначениях p(z) = π cth (πz) + z-1, χ(z) =
= (e-iaz X+(z))2/(1 - μ2z-2):
1
ak
1 - (μ/zm)2 W (zm)eiazm
am =
-
,
m ∈ N.
(10)
χ(zm)p(zm)
zm + zk
X+(zm)
p(zm)
k=1
Исследуем расположение и свойства корней zk, k ∈ N.
Лемма 2. Все невещественные корни уравнения (8) лежат в полосе |Re z| < μ.
Достаточно заметить, что если |Re z| μ, Im z > 0, то
|z sh (πz)| |z||sh (πz)| > |Re z| sh (π|Re z|) μ sh μ = λ.
Лемма 3. Количество корней уравнения (8), лежащих в прямоугольнике с вершинами
±μ + i0,
±μ + i2N, где N ∈ N, равно 2N.
Доказательство. Обозначим f(z) = z sh (πz) - λ, z = x + iy, где x, y ∈ R, тогда
Re f(z) = xsh (πx)cos(πy)-y sin(πy)ch (πx)-λ, Im f(z) = xsin(πy)ch (πx)+y sh (πx)cos(πy).
Изучим приращение аргумента f(z) на сторонах рассматриваемого прямоугольника.
Подсчитаем количество точек пересечения графика f(z) с действительной осью на от-
резке [μ, μ + i2N]. Уравнение Im f(z) = 0 запишем в виде tg (πy) = -y th (πμ)/μ. Так как
th (πμ)/μ > 0, то на каждом интервале вида (k - 1/2, k), k = 1, 2N , у этого уравнения будет
существовать ровно один корень yk; стало быть, общее количество корней равно 2N. При
этом для нечётных k выполняются неравенства sin(πyk) > 0, cos(πyk) < 0, так что
Re f(zk) = λcos(πyk) - yk sin(πyk)ch (πμ) - λ < 0,
а для чётных k - неравенства sin(πyk) < 0, cos(πyk) > 0, а значит,
(
)
sin2(πyk) ch2(πμ)
sh2(πμ)(1 - cos(πyk)) + sin2(πyk)
Re f(zk) = λ cos(πyk) +
-1
=λ
> 0.
sh2(πμ)cos(πyk)
cos(πyk) sh2(πμ)
С учётом ещё того, что f(μ) = 0, arg f(μ + i0) = π/2 и f(μ + i2N) = i2N sh (πμ), прира-
щение аргумента функции f(z) на отрезке [μ + i0, μ + i2N] равно 2πN.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№ 12
2023
1684
ПОЛОСИН
На отрезке [μ + i2N, -μ + i2N]
Ref(z) = Ref(x + i2N) = xsh (πx) - λ 0, Im f(z) = Imf(x + i2N) = 2sh (πx),
приращение аргумента равно π.
Так как на отрезке [ + i2N, -μ + i0] f(z) = f( + iy) = f(μ - iy) = f(μ + iy), то
приращение аргумента на этом отрезке равно 2πN; на отрезке [ + i0, μ + i0] приращение
аргумента, очевидно, равно -π. Таким образом, общее приращение аргумента при обходе
прямоугольника в направлении против часовой стрелки составляет 4πN, что и доказывает
лемму.
Следствие 1. Количество корней уравнения (8) с ненулевой мнимой частью конечно.
Два корня уравнения (8), ближайшие к iλ, обозначим через z1, z2; возможны случаи
Re z1 = Rez2 = 0 или Rez1 = -Rez2 > 0, Im z1 = Imz2.
Следствие 2. Для всех корней уравнения (8), кроме z1, z2, справедлива оценка
|zk - iλ| 1.
Разобьём множество корней, отличных от z1, z2, на три дизъюнктных подмножества в
зависимости от знака их действительной части:
{zk}∞k=1\{z1, z2} = {z+m}Mm=1
{z-m}Mm=1
{z0l}∞l=1,
Re z+m > 0, z-m = -zm, m = 1,M, Re z0l = 0, l ∈ N,
занумеровав корни в каждом подмножестве в порядке возрастания их мнимых частей.
Лемма 4. Если |z| 1, то |eπz - 1| 2|z|e-π|z|/2.
Доказательство. Обозначим z = re. Так как r < 1, то
)
)
(πr
2 πr
(πr
πr
in
sin θ
| sin θ| = r| sin θ|,
h
cos θ
| cos θ| r| cos θ|,
s
≥
s
≥
2
π 2
2
2
поэтому
|eπz - 1|2 = 2eπrcosθ[ch (πr cos θ) - cos(πr sin θ)] =
[
(
)
(
)]
πr
πr
= 4eπrcosθ sh2
cos θ
+ sin2
sin θ
4e-πr[(r cos θ)2 + (r sin θ)2] = 4r2e-πr,
2
2
откуда и вытекает искомое неравенство. Лемма доказана.
Лемма 5. Для корней z+m с номерами, удовлетворяющими условию 2m μe, где C <
< π - фиксированная константа, справедлива асимптотическая формула
z+m = μ + 2im - π-1 ln(1 + 2im/μ) + O(1).
Доказательство. Обозначим f(z) = z sh (πz) - λ, z+m,0 = μ + 2im - π-1 ln(1 + 2im/μ).
Воспользуемся теоремой Руше, положив ϕ(z) = -f(z+m,0). Пусть |δ| 1, тогда
)]
[z
(z
2f(z) = 2z sh (πz) - 2λ = μeπμ
eπ(z-μ) - 1 -
e(z+μ) - e-2πμ
,
μ
μ
(
)
z
z
|2f(z)| μeπμ
π(z-μ) - 1
−π(z+μ) - e-2πμ
,
-
μe
μe
|2f(z+m,0 + δ)| μeπμ(|eπδ - 1| - T ),
где
(
(
)(
)2))
δ-π-1ln(1+2im/μ)
δ - π-1 ln(1 + 2im/μ)
( 2m
T =eπ
e-2πμ 1+eπ
1+
1+
+
μ + 2im
μ + 2im
μ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№ 12
2023
ОБ АСИМПТОТИКЕ СПЕКТРА ИНТЕГРАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА
1685
Так как
δ-π-1ln(1+2im/μ)
O(1),
=
1 + 2im/μ
(
)(
)2)
(
)
δ - π-1 ln(1 + 2im/μ)
( 2m
O(1)
1+
1+
1+
e2,
≤
μ + 2im
μ
μ
то в силу леммы 4 справедливо неравенство |2f(z)| μeπμ(2|δ|e-π/2 + O(1)).
Далее, поскольку
[
(
)(
)2
]
1 ln(1 + 2im/μ)
1 ln(1 + 2im/μ)
2im
2ϕ = μeπμ
+ 1-
1+
e-2πμ - e-2πμ ,
πμ
1 + 2im/μ
πμ
1 + 2im/μ
μ
то |2ϕ(z)| = O(eπμ), поэтому существует такая константа C0, не зависящая ни от m, ни от μ,
что на окружности |δ| = C0 выполняется неравенство |f| > |ϕ|, что и доказывает лемму.
Изучим теперь свойства канонической функции (7).
Лемма 6. Справедливо неравенство
t
tsh (πt) - λ
> 1, t ∈ R.
sh(πt) t2 - μ2
Достаточно заметить, что
(
)
(
)
t
tsh(πt) - λ
1
μsh(πμ)
μsh (πμ)
μ
t
=
t2 - t
=1+
-
,
sh(πt) t2 - μ2
t2 - μ2
sh(πt)
t2 - μ2
sh (πμ)
sh (πt)
и записать искомое неравенство в виде
t/sh (πt) - μ/sh (πμ)
< 0.
t2 - μ2
Изучим теперь поведение канонической функции (7) в верхней полуплоскости.
Теорема. Пусть z = μ + iμξ, Re ξ > 0, тогда
[ (
) (
)]
1
1
1
1
1 + + s ds
ln(X+(z))-2 = μ ξ ln 1+
2i ln
1+
+
ln
+
(2 +)
1 +
πi
1 + iξ - s s
0
1
(
)
(
)
1
2s
+ 1 + s
ξ-i
s2
ds
+
ln
ds + 2
ln
+
πi
1-s2
+ 1 - s iξ + 2
π
s2 - 1
s2 - (1 +)2
0
1
ξ-i
dt
(1)
+
ln(1 - e-t)
+O
π(1 + iξ/2)
t - iπμξ
μ
0
Доказательство. Представим каноническую функцию (7) в виде
(
(
))
ξ-i
s
sh (πμ)
ds
ln(X+(μ + iμξ))-2 = 2
ln
s-
= Ik,
π
s2 - 1
sh (πμs) s2 - (1 +)2
k=1
0
где
1
[ (
)
(
)]
ξ-i
ln eπμ(1-s)
ds
1
1
I1 = 2
= μ ξ ln
1+
+ 2i ln
1+
,
π
s2 - (1 +)2
(2 +)
1 +
0
7
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№ 12
2023
1686
ПОЛОСИН
1
(
(
))
ξ-i
s
1-e-2πμ
ds
I2 = 2
ln
se-πμ(1-s) -
,
π
s2 - 1
1 - e-2πμs s2 - (1 + )2
0
(
(
))
ξ-i
s
sh(πμ)
ds
I3 = 2
ln
s-
π
s2 - 1
sh (πμs) s2 - (1 +)2
1
Вычислим второй интеграл. Для этого представим его в виде I2 = I21 + I22, где
1
(
)
1
(
)
ξ-i
s
ds
1
s
1 + iξ - s
I21 = 2
ln
=
ln
d ln
=
π
1 - e-2πμs s2 - (1 + )2
πi
1-e-2πμs
1 + + s
0
0
1
1
1
2 +
1
1 + iξ - s ds
1
2πμs
1 + iξ - s ds
=
ln(1 - e-2πμ) ln
-
ln
-
ln
=
πi
πi
1 + + s s
πi
e2πμs - 1
1 + + s s
0
0
1
1
2 +
1
1 + iξ - s ds
1
1 + iξ - t/(2πμ) dt
=
ln(1 - e-2πμ) ln
-
ln
-
ln
=
πi
πi
1 + + s s
πi
1 + + t/(2πμ) et - 1
0
0
1
1
2 +
1
1 + iξ - s ds
=-
e-2πμ(1 + O(e-2πμ))ln
-
ln
-
πi
πi
1 + + s s
0
(
((
)2))
1
t
t
dt
-
-
+O
=
πi
πμ(1 +)
2πμ(1 +)
et - 1
0
1
1
2 +
1
1 + iξ - s ds
1
t dt
= -e-2πμ
ln
-
ln
+
+ O(μ-2);
πi
πi
1 + + s s
π2μ(i - ξ)
et - 1
0
0
1
I22 -
ln(1 - e-2πμ) ln
=
πi
2 +
1
(
) (
1
2s sh (πμs) - 2 sh (πμ)
(1 + iξ - s 2 + ))
1
=
ln e-πμ
d ln
-
ln(1 - e-2πμ) ln
=
πi
s2 - 1
1 + + s iξ
πi
2 +
0
1
(
)
1
2s
πμs ch (πμs) + sh(πμs)
(1 + iξ - s 2 + )
=-
+
ln
ds = I221 + I222,
πi
1-s2
s sh (πμs) - sh (πμ)
1 + + s iξ
0
1
1
2s
(1 + iξ - s 2 + )
I221 = -
ln
ds,
πi
1-s2
1 + + s iξ
0
1
1
πμs ch (πμs) + sh(πμs)
(1 + iξ - s 2 + )
I222 = -
ln
ds =
πi
s sh(πμs) - sh (πμ)
1 + + s iξ
0
[ (
) (
)]
(
)
1
e-t dt
t
t/(πμ)
1
f1(t)
+ t/(πμ)
2 +
=-
ln
1-
- ln
1-
+
ln
dt,
πi
e-t - 1
iξπμ
2 +
πi
f2(t)
2 + iξ - t/(πμ)
0
0
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№ 12
2023
ОБ АСИМПТОТИКЕ СПЕКТРА ИНТЕГРАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА
1687
(
)
(
)
-t
e
t
et-2πμ
t
f1(t) = et-2πμ(1 - e-t) +
1-
+
- 1 - 2t
,
πμ
1-e-t
πμ
1-e-t
(
)
t
f2(t) =
1-
(et-2πμ - e-t) + 1 - e-2πμ.
πμ
Так как
|f2(t)| = 1 - e-t + t(e-t - et-2πμ)/(πμ) + et-2πμ - e-2πμ 1 - e-t,
(
)
t
|1 - t - e-t|
e-t - 1 + t
1
1-
(1 - e-t)-1
=
+ t,
=
1-e-t
(1 - e-t)2
(1 - e-t)2
2
(
)
t
(1 + 2t)(1 - e-t) - t
1 + t - (1 + 2t)e-t
3
- 1 - 2t
(1 - e-t)-1
=
+ t,
=
1-e-t
(1 - e-t)2
(1 - e-t)2
2
то при 0 t πμ справедлива оценка
(
)
(
)
f1(t)
e-t
1
e-πμ
3
e-πμ +
+t
+
+t
≤
f2(t)
πμ
2
πμ
2
Таким образом, I2 = J21(ξ) + J22, где
1
1
(
)
1
1 + + s ds
1
2s
+ 1 + s
J21(ξ) =
ln
+
ln
ds,
πi
1 + iξ - s s
πi
1-s2
+ 1 - s iξ + 2
0
0
(
)
1
1
t dt
1
J22 =
(e-2πμ + ln(1 - e-2πμ)) ln
+
+O
+
πi
2 +
π2μ(i - ξ)
et - 1
μ2
0
[ (
) (
)]
1
t
t
dt
+
ln
1-
- ln
1-
+
πi
iξπμ
(2 +)πμ et - 1
0
(
(
)
(
))
(
)
1
e-t
1
e-πμ
3
+ t/(πμ)
2 +
(1)
+
O e-πμ +
+t
+
+ t ln
dt = O
πi
πμ
2
πμ
2
2 + iξ - t/(πμ)
μ
0
Теперь вычислим третий интеграл. Для этого представим его в виде
(
)
∫ (
)
ξ-i
s2
ds
ξ-i
e-πμ(s-1)(1 - e-2πμ)
ds
I3 -2
ln
=2
ln 1-
=
π
s2 - 1
s2 - (1 +)2
π
s(1 - e-2πμs)
s2 - (1 +)2
1
1
(
)
ξ-i
e-t(1 - e-2πμ)
dt
=2
ln
1-
=
π
(1 + t/(πμ))(1 - e-2πμe-2t) (t - iπμξ)(2 + t/(πμ) +)
0
ξ-i
dt
=
ln(1 - e-t)
+I30,
π(1 + iξ/2)
t - iπμξ
0
где
∫ (
)
ξ-i
e-t(1 - e-2πμ)
dt
I30 = 2
ln
1-
-
π
(1 + t/(πμ))(1 - e-2πμe-2t) (t - iπμξ)(2 + t/(πμ) +)
0
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№ 12
2023
7
1688
ПОЛОСИН
ξ-i
dt
-
ln(1 - e-t)
=
π(1 + iξ/2)
t - iπμξ
0
(
)
ξ-i
1
t
e-t-2πμ(1 + e-t)
dt
=2
ln
1+
+
-
π
πμ + t et - 1
(1 + t/(πμ))(1 - e-2t-2πμ) (t - iπμξ)(2 + t/(πμ) +)
0
1
ξ-i
t
ln(1 - e-t) dt
(1)
-
=O
π2μ 1 + iξ/2
t - iπμξ 2 + t/(πμ) +
μ
0
Теорема доказана.
Следствие 3. При z = μ + iμξ, Re ξ > 0, справедливо представление
1
= exp{2iaμ + μf(ξ) + g(ξ) + . . .},
χ(z)
где
(
)
(
)
1
1
f (ξ) = -2ξ + ξ ln
1+
+ 2i ln
1+
,
(2 +)
1 +
1
1
(
)
(2 +)
1
1 + + s ds
1
2s
+ 1 + s
g(ξ) = ln
+
ln
+
ln
ds +
(1 +)2
πi
1 + iξ - s s
πi
1-s2
+ 1 - s iξ + 2
0
0
(
)
ξ-i
s2
ds
+2
ln
π
s2 - 1
s2 - (1 +)2
1
Заметим, что
ξ
ξ
h(ξ) Re f(ξ) = -2ξ + ξ ln(1 + ξ2) -
ln(4 + ξ2) - ξ ln ξ + 2 arctg ξ - 2 arctg
,
2
2
h(+0) = 0, h(+) = -∞, h(ξ) монотонно возрастает при 0 ξ ξmax и монотонно убывает
при ξmax ξ < +∞, где ξmax - корень уравнения h(ξ) = 0:
1
3/2
ξmax =
1-
e4 - 1
1 - (3/4)e-4 + 1
Следовательно, на луче 0 < ξ < + у функции h(ξ) существует в точности один корень
ξ0, причём в окрестности этого корня h(ξ) = h(ξ0)(ξ - ξ0) + O((ξ - ξ0)2). Таким образом, при
(ξ0 - δ)μ m (ξ0 + δ)μ
1
= exp{2iãμ + 2f(ξ0)(m - S) + . . .},
χ(zm)
где ã = a - if(ξ0)/2 (заметим, что Re f(ξ0) = 0), S - номер, ближайший к μξ0.
Изучим теперь систему линейных алгебраических уравнений (10).
Заново разобьём множество корней уравнения (8) на подмножества. Все корни, отличные
от a+1, . . . , a+S, a-1, . . . , a-S, a1, a2, обозначим через a01, a02, . . . , занумеровав их в порядке
возрастания мнимых частей, а при их равенстве - по убыванию действительных частей.
Так как S ∼ μξ0, то коэффициенты 1/(z-m + z+k) малы, если хотя бы один из индексов
больше S. Таким образом, главные члены системы (10) можно записать в виде
a+k
a2
− p(z-m)χ(z-m)a-m = X+(z-m) W (z-m)e-iazm -a1
-
,
m = 1,S;
(11)
+
zm + zk
zm + z1
zm + z
k=1
2
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№ 12
2023
ОБ АСИМПТОТИКЕ СПЕКТРА ИНТЕГРАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА
1689
a-k
a2
- p(z+m)χ(z+m)a+m +
= X+(z+m) W (z+m)e-iazm -a1
-
,
m = 1,S;
-
zm + zk
zm + z1
zm + z
k=1
2
(
)
1
a2
a0m =
-X+(z0m)W(z0m)e-iazm +a1
+
,
m ∈ N;
p(z0m)χ(z0m)
z0m + z1
z0m + z
2
a1
a2
a+k
a-k
a0k
p(z∗m)χ(z∗m)a∗m -
-
=
+
+
-
+
-
z∗m + z1
z∗m + z
z∗m + z
z∗m + z
z∗m + z0
2
k
k
k
k=1
k=1
k=1
− X+(z∗m) W (z∗m)e-iazm , m = 1,2.
Запишем главные члены первых двух групп уравнений системы (11) в матричной форме
AX = F, где
X = (a+1 ,...,a+S,a-1 ,...,a-S )т, F = (f+1 ,...,f+S ,f-1 ,...,f-S )т,
a2
f+m = X+(z-m)W(z-m)e-iazm -a1
-
,
m = 1,S,
zm + z1
zm + z
2
a2
f-m = X+(z+m)W(z+m)e-iazm -a1
-
,
m = 1,S,
zm + z1
zm + z
2
(
)
Ω e2iãμD
A=
,
e-2iãμD
Ω
Ω = Ωт CS×S - матрица, не зависящая от μ, D ∈ CS×S - диагональная матрица, не
зависящая от μ. Обращая матрицу A, получаем
Ξ = Ω-1D, G = (I - Ξ2)-1Ω-1 = (gkm)Sk,m=1, H = -Ξ(I - Ξ2)-1Ω-1 = -ΞG = (hkm)Sk,m=1,
(
)
G e2iãμH
A-1 =
e-2iãμH
G
Отсюда имеем X = A-1F,
gkm
gkm
a+k =
gkme-iazm X+(z-m) W(z-m) - a
-a
+
1
2
zm + z
zm + z
m=1
m=1
1
m=1
2
hkm
hkm
+e2iãμ
hkme-iazm X+(z+m) W(z+m) - e2iãμa
1
-e2iãμa
2
,
zm + z
zm + z
m=1
m=1
1
m=1
2
hkm
hkm
a-k = e-2iãμ
hkme-iazm X+(z-m) W(z-m) - e-2iãμa
1
-e-2iãμa
2
+
zm + z
zm + z
m=1
m=1
1
m=1
2
gkm
gkm
+ gkme-iazmX+(z+m) W(z+m) - a
1
-a
2
,
k = 1,S.
zm + z
zm + z
m=1
m=1
1
m=1
2
Таким образом, последние два уравнения системы (11) принимают вид
(
)(
)
(
)
q11
q12
a1
r1
=
,
q21
q22
a2
r2
где
)
1
1
gkm
hkm
q11 = p(z1)χ(z1) -
+
+e2iãμ
+
+
2z
z
+zk
zm + z
zm + z
1
1
1
1
k=1
m=1
m=1
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№ 12
2023
1690
ПОЛОСИН
(
)
1
hkm
gkm
1
1
+
e-2iãμ
+
-
,
-
z
+zk
zm + z
zm + z
(z1 + z0k)2 p(z0k)χ(z0k)
k=1
1
m=1
1
m=1
1
k=1
)
1
1
gkm
hkm
q12 = -
+
+e2iãμ
+
z1 + z
z1 + z+
zm + z
zm + z
2
2
2
k=1
k m=1
m=1
(
)
1
hkm
gkm
1
1
1
+
e-2iãμ
+
-
,
-
z
+zk
zm + z
zm + z
z1 + z0
z2 + z0
p(z0k)χ(z0k)
k=1
1
m=1
2
m=1
2
k=1
k
k
)
1
1
gkm
hkm
q21 = -
+
+e2iãμ
+
z2 + z
z2 + z+
zm + z
zm + z
1
1
1
k=1
k m=1
m=1
(
)
1
hkm
gkm
1
1
1
+
e-2iãμ
+
-
,
-
z
+zk
zm + z
zm + z
z2 + z0
z1 + z0
p(z0k)χ(z0k)
k=1
2
m=1
1
m=1
1
k=1
k
k
)
1
1
gkm
hkm
q22 = p(z2)χ(z2) -
+
+e2iãμ
+
+
2z
z
+zk
zm + z
zm + z
2
2
2
2
k=1
m=1
m=1
(
)
1
hkm
gkm
1
1
+
e-2iãμ
+
-
,
-
z
+zk
zm + z
zm + z
(z2 + z0k)2 p(z0k)χ(z0k)
k=1
2
m=1
2
m=1
2
k=1
)
1
r1 =
gkme-iazm X+(z-m) W(z-m
)+e2iãμ
hkme-iazm X+(z+m) W(z+m)
+
+
z
+zk
k=1
1
m=1
m=1
(
)
1
+
e-2iãμ
hkme-iazm X+(z-m) W(z-m) +
gkme-iazm X+(z+m) W(z+m)
-
-
z
+zk
k=1
1
m=1
m=1
1
1
-
e-iazk X+(z0k)W(z0k) + e-iaz1X+(z1)W(z1),
z1 + z0
p(z0k)χ(z0k)
k=1
k
)
1
r2 =
gkme-iazm X+(z-m) W(z-m
)+e2iãμ
hkme-iazm X+(z+m) W(z+m)
+
+
z
+zk
k=1
2
m=1
m=1
(
)
1
+
e-2iãμ
hkme-iazm X+(z-m) W(z-m) +
gkme-iazm X+(z+m) W(z+m)
-
-
z
+zk
k=1
2
m=1
m=1
1
1
-
e-iazk X+(z0k)W(z0k) - e-iaz2X+(z2)W(z2),
z2 + z0
p(z0k)χ(z0k)
k=1
k
откуда и находим коэффициенты a1, a2.
Подстановка найденных коэффициентов в условие (6) даёт асимптотическое соотношение
для определения собственных значений, которое не записываем ввиду его громоздкости.
Случай нечётной собственной функции рассматривается аналогично; тогда функция T (y) -
это нечётная функция, удовлетворяющая условиям T′′(y) = v(y), T(±a) = 0.
Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства науки и высшего образования
Российской Федерации в рамках реализации программы Московского центра фундаменталь-
ной и прикладной математики по соглашению № 075-15-2022-284.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№ 12
2023
ОБ АСИМПТОТИКЕ СПЕКТРА ИНТЕГРАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА
1691
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Oseledets I. The integral operator with logarithmic kernel has only one positive eigenvalue // Linear
Algebra and its Appl. 2008. V. 428. № 7. P. 1560-1564.
2. Ukai S. Asymptotic distribution of eigenvalues of the kernel in the Kirkwood-Riseman integral equation
// J. of Math. Phys. 1971. V. 12. № 1. P. 83-92.
3. Пальцев Б.В. Уравнения свёртки на конечном интервале для одного класса символов, имеющих
степенную асимптотику на бесконечности // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1980. Т. 44. № 2. С. 322-394.
4. Пальцев Б.В. Асимптотика спектра интегральных операторов свёртки на конечном интервале с
однородными полярными ядрами // Изв. РАН. Сер. мат. 2003. Т. 67. № 4. С. 67-154.
5. Сахнович Л.А. Уравнения с разностным ядром на конечном отрезке // Успехи мат. наук. 1980.
Т. 35. № 4. С. 69-129.
6. Полосин А.А. О спектре и собственных функциях оператора свёртки на конечном интервале с
образом ядра - характеристической функцией // Дифференц. уравнения. 2017. Т. 53. № 9. С. 1180-
1194.
7. Полосин А.А. Об асимптотическом поведении собственных значений и собственных функций инте-
грального оператора свёртки с логарифмическим ядром, заданного на конечном отрезке // Диф-
ференц. уравнения. 2022. Т. 58. № 9. С. 1251-1265.
8. Гахов Ф.Д., Черский Ю.И. Уравнения типа свертки. М., 1978.
9. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М., 1977.
Московский государственный университет
Поступила в редакцию 13.08.2023 г.
имени М.В. Ломоносова
После доработки 13.08.2023 г.
Принята к публикации 11.10.2023 г.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№ 12
2023