ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2023, том 59, № 12, с. 1710-1714

КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ

УДК 517.977.5

О СУЩЕСТВОВАНИИ УПРАВЛЕНИЯ С ОБРАТНОЙ

СВЯЗЬЮ ДЛЯ ОДНОЙ ДРОБНОЙ МОДЕЛИ ФОЙГТА

Изучается задача управления с обратной связью для одной математической модели, опи-

сывающей движение вязкоупругой жидкости с памятью вдоль траекторий движения поля

скоростей. Доказывается существование оптимального управления, дающего минимум за-

данному ограниченному и полунепрерывному снизу функционалу качества.

DOI: 10.31857/S0374064123120117, EDN: NWUHBJ

1. Введение. Постановка задачи. В ограниченной области Q_T = [0,T] × Ω, где T ≥ 0,

Ω ⊂ Rⁿ, n = 2,3, с границей ∂Ω ⊂ C² рассматривается задача

∫t

∑

∂v

-μ₀△v-μ₁

Div e-(t-s)/λ(t - s)^-αE(v)(s, z(s; t, x)) ds+∇p = f(t, x); (1)

∂t

v_i ∂x_i

Γ(1 - α)

i=1

div v(t, x) = 0, (t, x) ∈ Q_T ;

(2)

∫τ

z(τ; t, x) = x + v(s, z(s; t, x)) ds, t, τ ∈ [0, T ], x ∈Ω;

(3)

v(t, x)|[0,T]×∂Ω = 0; v(0, x) = v₀(x), x ∈ Ω.

(4)

Здесь v(t, x) = (v₁(t, x), . . . , v_n(t, x)) и p(t, x) - искомые скорость и давление рассматривае-

мой среды; E(v) = {E_ij }ni,j=1 - тензор скоростей деформации с элементами E_ij = (∂v_i/∂x_j +

+∂v_j/∂x_i)/2; μ₀ > 0, μ₁ ≥ 0,

0 < α < 1, λ > 0 - константы, отвечающие за вязкоупру-

гие свойства изучаемой жидкости; z(τ; t, x) - траектория движения частицы жидкости; Γ(α) -

гамма-функция Эйлера (см. [1, с. 29]). Знак Div обозначает дивергенцию матрицы, т.е. вектор,

координатами которого являются дивергенции векторов-столбцов матрицы.

Начально-краевая задача (1)-(4) является математической моделью движения вязкоупру-

гой жидкости с памятью вдоль траектории движения частицы среды (см. работы [2-7], в

которых исследован вопрос слабой разрешимости частных случаев рассматриваемой модели).

Наличие интегрального слагаемого в уравнении (1) отражает учёт памяти сплошной среды,

которую необходимо учитывать вдоль траектории движения частицы среды. Таким образом,

возникает z(s; t, x)-траектория частицы среды, указывающая в момент времени s расположе-

ние частицы, находящейся в момент времени t в точке x. Данная траектория определяется

полем скоростей v. Необходимо, чтобы траектории z однозначно определялись полем ско-

ростей v, т.е. чтобы уравнение (3) имело единственное решение для поля скоростей v. Для

этого в работе разрешимость интегральной задачи Коши (3) изучается в терминах регулярных

лагранжевых потоков (РЛП) (см. [8-10]).

В данной статье для изучаемой математической модели рассматривается задача управ-

ления с обратной связью. Заметим, что задачам оптимального управления в механике жид-

кости посвящено большое число исследований (см., например, книгу [11] и приведённую в

ней библиографию), однако в большинстве из них изучаются различные задачи оптимального

управления для системы Навье-Стокса. Но в природе существует огромное число жидкостей,

которые описываются более сложными системами уравнений (такие жидкости называются

“неньютоновскими жидкостями”). Список работ, где рассматриваются задачи оптимального

1710

О СУЩЕСТВОВАНИИ УПРАВЛЕНИЯ С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ

1711

управления, в том числе и задачи с обратной связью для подобных моделей движения жид-

кости, существенно короче (см. [12-14]). В настоящей статье доказывается существование оп-

тимального управления с обратной связью для одной такой модели, описывающей движение

вязкоупругой среды с памятью.

2. Постановка задачи управления и основной результат. Рассмотрим пространство

C∞0(Ω) бесконечно-дифференцируемых вектор-функций из множества Ω в Rⁿ с компактным

носителем в Ω. Обозначим множество V = {v ∈ C∞0(Ω), div v = 0}. Через V⁰ обозначим

замыкание V по норме L₂(Ω), через V¹ - по норме W¹²(Ω). Через V-1 будем обозначать

сопряжённое пространство к V¹. Введём пространство

W = {v ∈ L₂(0,T;V ¹)

^⋂L_∞(0,T;V⁰), v^′ ∈ L4/3(0,T;V-1)},

в котором будет доказана разрешимость изучаемой задачи.

Перейдём к описанию задачи управления для изучаемой математической модели. Для это-

го рассмотрим многозначное отображение Ψ : W ⊸ L₂(0, T ; V-1), которое будет использовано

для определения обратной связи и задания ограничений на управление. Будем предполагать,

что Ψ удовлетворяет следующим условиям:

(Ψ1) отображение Ψ определено на пространстве W и имеет непустые компактные вы-

пуклые значения;

(Ψ2) отображение Ψ полунепрерывно сверху (т.е. для каждого v ∈ W и открытого мно-

жества V ⊂ L₂(0, T ; V-1) такого, что Ψ(v) ⊂ V, существует окрестность U(v) такая, что

Ψ(U(v)) ⊂ V ) и компактно (т.е. образ Ψ относительно компактен в L₂(0, T ; V-1));

(Ψ3) отображение Ψ глобально ограничено, т.е. существует константа M > 0 такая, что

∥Ψ(v)∥L2(0,T ;V -1) := sup{∥u∥L₂(0,T ;V -1) : u ∈ Ψ(v)} ≤ M для всех v ∈ W ;

(Ψ4) отображение Ψ слабо замкнуто в следующем смысле: если {v_l}∞l=1 ⊂ W, v_l ⇀ v₀,

u_l ∈ Ψ(v_l) и u_l → u₀ в L₂(0,T;V-1), то u₀ ∈ Ψ(v₀).

Будем рассматривать слабую постановку задачи управления с обратной связью для на-

чально-краевой задачи (1)-(4). Под обратной связью мы понимаем следующее условие:

f ∈ Ψ(v).

(5)

Таким образом, в работе рассматриваем задачу управления с обратной связью (1)-(5).

Будем предполагать, что начальное условие v₀ принадлежит пространству V⁰.

Определение. Слабым решением задачи управления с обратной связью (1)-(5) называ-

ется пара функций (v, f) ∈ W × L₂(0, T ; V-1), удовлетворяющая:

a) условию обратной связи (5);

b) при любой ϕ ∈ V¹ и п.в. t ∈ (0, T ) тождеству

∫

∑

∂ϕ

〈v^′, ϕ〉 -

v_iv

dx + μ₀

∇v : ∇ϕdx +

∂x

Ω i⁼¹

∫

+μ₁

e-(t-s)/λ(t - s)^-αE(v)(s,z(s;t,x))ds E(ϕ)dx = 〈f,ϕ〉,

Γ(1 - α)

Ω 0

где z - РЛП, порождённый v;

c) начальному условию v(0) = v₀.

Справедлива следующая

Теорема 1. Пусть многозначное отображение Ψ удовлетворяет условиям (Ψ1)-(Ψ4).

Тогда существует хотя бы одно слабое решение задачи управления с обратной связью (1)-(5).

Обозначим через Σ ⊂ W × L₂(0, T ; V-1) множество всех слабых решений задачи (1)-(5).

Рассмотрим произвольный функционал качества Φ : Σ → R, удовлетворяющий следующим

условиям:

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№ 12

2023

1712

ЗВЯГИН, КОСТЕНКО

(Φ1) существует число γ такое, что Φ(v, f) ≥ γ для всех (v, f) ∈ Σ;

(Φ2) если v_m ⇀ v_∗ в W и f_m → f_∗ в L₂(0, T ; V-1), то Φ(v_∗, f_∗) ≤ lim Φ(v_m, f_m).

m→∞

Основным результатом работы является

Теорема 2. Если отображение Ψ удовлетворяет условиям (Ψ1)-(Ψ4), а функционал Φ

удовлетворяет условиям (Ψ1), (Ψ2), то задача оптимального управления с обратной связью

(1)-(5) имеет хотя бы одно слабое решение (v_∗,f_∗) такое, что Φ(v_∗,f_∗) = inf Φ(v,f).

(v,f)∈Σ

Доказательство данных утверждений состоит из нескольких частей. Сначала на основе

аппроксимационно-топологического подхода к исследованию математических задач гидроди-

намики, разработанного В.Г. Звягиным [15, 16], доказывается существование слабых решений

исследуемой задачи управления с обратной связью. Для этого вводится семейство (0 ≤ ξ ≤ 1)

вспомогательных включений, зависящих от малого параметра ε > 0, доказываются априор-

ные оценки решений и на основе теории топологической степени для многозначных векторных

полей доказывается существование слабых решений вспомогательной задачи управления с об-

ратной связью при ξ = 1. Далее для доказательства разрешимости исходной задачи управле-

ния с обратной связью на основе необходимых оценок устанавливается предельный переход.

В заключение показывается, что во множестве решений найдётся хотя бы одно решение, даю-

щее минимум заданному функционалу качества.

3. Схема доказательства. Рассмотрим следующее семейство (0 ≤ ξ ≤ 1) вспомога-

тельных задач с малым параметром θ > 0. Необходимо найти пару функций (v, f) ∈ W₁ ×

× L₂(0,T;V -1) (W₁ = {v ∈ C([0,T];V ³), v^′ ∈ L₂(0,T;V ³)}), удовлетворяющих:

a) условию обратной связи (5);

b) при любой ϕ ∈ V¹ и п.в. t ∈ (0, T ) тождеству

∫

∑

∂ϕ_j

〈v^′, ϕ〉 - ξ

v_iv_j

dx + μ₀

∇v : ∇ϕdx - ξθ

∇Δv^′ : ∇ϕdx +

∂x

Ω i,j=1

∫

μ₁ξ

e-(t-s)/λ(t - s)^-αE(v)(s,z(s;t,x))E(ϕ)ds dx = ξ〈f,ϕ〉,

Γ(1 - α)

Ω 0

где z - РЛП, порождённый v;

c) начальному условию v(0) = ξv₀.

Далее для изучения вспомогательной задачи перейдём к операторной трактовке. Введём

операторы

∫

J :V³ →V-1,

〈Jv, ϕ〉 = vϕ dx, v ∈ V³, ϕ ∈ V¹;

∫

A:V¹ →V-1,

〈Av, ϕ〉 =

∇v : ∇ϕdx, v ∈ V¹, ϕ ∈ V¹;

^Ω∫

A₂ : V³ → V-1,

〈A₂v, ϕ〉 = -

∇Δv : ∇ϕdx, v ∈ V³, ϕ ∈ V¹;

^Ω (∫t

)

B : V ¹×[0,T]×[0,T]×Ω →V -1, (B(v,z)(t),ϕ)=

e-(t-s)/λ(t-s)^-αE(v)(s,z(s;t,x))ds,E(ϕ) ,

v ∈ V ¹, z ∈ [0,T] × [0,T] × Ω, ϕ ∈ V ¹, t ∈ (0,T);

∫

∑

∂ϕ_j

K : L₄(Ω) → V -1,

〈K(v), ϕ〉 =

v_iv_j

dx, v ∈ L₄(Ω), ϕ ∈ V¹.

∂x

Ω i,j=1

Также определим следующие операторы:

L : W₁ → L₂(0,T;V -1) × V ³, L(v) = ((J + θA₂)v^′ + μ₀Av,v|t=0);

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№ 12

2023

О СУЩЕСТВОВАНИИ УПРАВЛЕНИЯ С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ

1713

C : W₁ → L₂(0,T;V -1) × V ³, C(v) = (K(v),0);

(

)

μ₁

G : W₁ → L₂(0,T;V -1) × V ³, G(v) =

B(v, z), 0

;

Γ(1 - α)

Y : W₁ → L₂(0,T;V -1) × V ³, Y(v) = (Ψ(v),v₀).

Тогда задача о нахождении управления с обратной связью для вспомогательной задачи при

фиксированном 0 ≤ ξ ≤ 1, удовлетворяющего начальному условию v(0) = ξv₀, эквивалентна

задаче о нахождении решения при фиксированном 0 ≤ ξ ≤ 1 операторного включения

v ∈ ξM,

(6)

где M = L-1(Y + C(v) - G(v)).

Для введённых выше операторов справедливы следующие свойства.

Лемма 1. 1. Отображение L : W₁ → L₂(0, T ; V-1) × V³ обратимо и обратное к нему

отображение L-1 : L₂(0,T;V-1) × V³ → W₁ является непрерывным.

2. Отображение K : W₁ → L₂(0,T;V-1) является компактным.

3. Отображение B : W₁ → L₂(0,T;V-1) является L-уплотняющим по мере некомпакт-

ности Куратовского γ_k.

Далее для операторного включения (6) доказываются априорные оценки.

Лемма 2. Если v ∈ W₁ - решение семейства включений (6) для некоторого ξ ∈ [0, 1], то

для него имеет место оценка ∥v∥W1 ≤ C, где константа C зависит от θ.

Из данной априорной оценки следует, что все решения операторного включения (6) лежат

в шаре B_R ⊂ W₁ с центром в нуле и радиуса R = C + 1. Согласно утверждению 1 леммы 1

оператор L : W₁ → L₂(0, T ; V-1) × V³ является обратимым. Тогда ни одно решение v ∈ ξM

не принадлежит границе шара B_R.

В силу утверждения 1 леммы 1 оператор L-1 : L₂(0, T ; V-1) × V³ → W₂ является непре-

рывным. Согласно утверждениям 2 и 3 леммы 1 отображение (Y + C(v) - G(v)) : W₁ →

→ L₂(0,T;V-1) × V³ является L-уплотняющим относительно меры некомпактности Кура-

товского γ_k. Следовательно, оператор M : W₁ → W₁ является уплотняющим относительно

меры некомпактности Куратовского γ_k.

Таким образом, векторное поле v - ξM невырождено на границе шара B_R, а значит, для

этого векторного поля определена топологическая степень deg (I - ξM, B_R, 0). По свойствам

гомотопической инвариантности и нормировки степени получим, что deg (I - M, B_R, 0) =

= deg (I,B_R,0) = 1. Отличие от нуля степени отображения обеспечивает существование хотя

бы одного решения v ∈ W₁ включения (6) при ξ = 1, а следовательно, и вспомогательной

задачи при ξ = 1.

Далее для полученного решения вспомогательной задачи при ξ = 1 доказывается следу-

ющая оценка решений.

Лемма 3. Если v ∈ W₁ - решение семейства включений (6) для ξ = 1, то для него имеет

место оценка ∥v∥_W ≤ C₁, где константа C₁ не зависит от θ.

На основе оценки леммы 3, условий (Ψ1)-(Ψ4), плотного вложения пространства V³ в V⁰,

без ограничения общности (если необходимо переходя к подпоследовательности) получаем, что

для любого v∗0 ∈ V⁰ существует последовательность vm0 ∈ V³, сходящаяся к v∗0 в V⁰; v^m →

→ v^∗ слабо в L₂(0,T;V¹) при m → ∞; v^m → v^∗ *-слабо в L_∞(0,T;V⁰) при m → ∞;

(v^m)^′ → (v^∗)^′ слабо в L4/3(0, T ; V-1) при m → ∞; z^m(τ; t, x) сходится по мере Лебега на

множестве [0, T ] × Ω по (τ, x) к z(τ; t, x) для t ∈ [0, T ] и существует f^∗ ∈ L₂(0, T ; V-1)

такое, что f^m → f^∗ ∈ Ψ(v^∗) при m → ∞.

Переходя к пределу при θ → 0 в интегральном равенстве для вспомогательной задачи при

ξ = 1, получаем, что предельная пара функций (v^∗,f^∗) удовлетворяет интегральному равен-

ству из определения слабого решения задачи управления с обратной связью (1)-(5), условию

обратной связи (5) и начальному условию из (4). Это и завершает доказательство теоремы 1.

Из теоремы 1 следует, что множество решений Σ не пусто. Таким образом, существует

минимизирующая последовательность (v_l, f_l) ∈ Σ такая, что lim

Φ(v_l, f_l) = inf Φ(v, f).

l→∞

(v,f,)∈Σ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№ 12

2023

1714

ЗВЯГИН, КОСТЕНКО

Как и ранее, используя оценку леммы 3, без ограничения общности (в случае необходимости

переходя к подпоследовательности), можем предположить, что v_l ⇀ v_∗ *-слабо в L_∞(0, T ; V⁰);

v_l → v_∗ сильно в L₂(0,T;L₄(Ω)); v_l ⇀ v_∗ слабо в L₂(0,T;V¹); z_l(τ;t,x) → z_∗(τ;t,x) по норме

Лебега относительно (τ, x) ∈ [0, T ]×Ω; f_l → f_∗ ∈ Ψ(v^∗) сильно в L₂(0, T ; V-1) при m → +∞.

Аналогично как в п. 2 перейдём к пределу во включении

μ₁

Jv^′l + μ₀Av_l +

B(v_l, z_l) - K(v_l) = f_l ∈ Ψ(v_l)

Γ(1 - α)

и получим включение

μ₁

Jv^′∗ + μ₀Av_∗ +

B(v_∗, z_∗) - K(v_∗) = f_∗ ∈ Ψ(v_∗).

Γ(1 - α)

Следовательно, (v_∗, f_∗) ∈ Σ. Поскольку функционал Φ полунепрерывен снизу относительно

слабой топологии, то имеем Φ(v_∗, f_∗) ≤ inf Φ(v, f), откуда следует, что (v_∗, f_∗) - требуемое

(v,f)∈Σ

решение. Это и завершает доказательство теоремы 2.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда (проект 23-71-

10026).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые

их приложения. Минск, 1987.

2. Zvyagin V., Orlov V. Weak solvability of fractional Voigt model of viscoelasticity // Discrete and

Continuous Dynamical Systems. 2018. V. 38. № 12. P. 6327-6350.

3. Звягин А.В. О слабой разрешимости и сходимости решений дробной альфа-модели Фойгта движе-

ния вязкоупругой среды // Успехи мат. наук. 2019. Т. 74. № 3. С. 189-190.

4. Звягин В.Г., Орлов В.П. О регулярности слабых решений обобщённой модели вязкоупругости Фойг-

та // Журн. вычислит. математики и мат. физики. 2020. Т. 60. № 11. С. 1933-1949.

5. Звягин А.В. Исследование слабой разрешимости дробной альфа-модели Фойгта // Изв. РАН. Сер.

мат. 2021. Т. 85. № 1. С. 66-97.

6. Zvyagin V., Orlov V. Weak solvability of one viscoelastic fractional dynamics model of continuum with

memory // J. of Math. Fluid Mech. 2021. V. 23. Art. 9.

7. Zvyagin V.G., Kostenko E.I. Investigation of the weak solvability of one fractional model with infinite

memory // Lobachevskii J. of Math. 2023. V. 44. № 3. P. 969-988.

8. DiPerna R.J., Lions P.L. Ordinary differential equations, transport theory and Sobolev spaces

// Inventiones Mathematicae. 1989. V. 98. № 3. P. 511-547.

9. Crippa G. The ordinary differential equation with non-Lipschitz vector fields // Bollettino dell’Unione

Matematica Italiana. 2008. V. 1. № 2. P. 333-348.

10. Crippa G., de Lellis C. Estimates and regularity results for the diPerna-Lions flow // J. fur die reine

und angewandte Mathematik. 2008. V. 616. P. 15-46.

11. Фурсиков А.В. Оптимальное управление распределёнными системами. Теория и приложения. Но-

восибирск, 1999.

12. Звягин А.В. Задача оптимального управления для стационарной модели слабо концентрированных

водных растворов полимеров // Дифференц. уравнения. 2013. Т. 49. № 2. С. 245-249.

13. Zvyagin V., Zvyagin A., Ustiuzhaninova A. Optimal feedback control problem for the fractional Voigt

α-model // Math. 2020. V. 8. № 7. Art. 1197.

14. Звягин В.Г., Звягин А.В., Хонг Н.М. Об оптимальном управлении с обратной связью для модели

движения нелинейно-вязкой жидкости // Дифференц. уравнения. 2021. Т. 57. № 1. С. 135-139.

15. Звягин В.Г. Аппроксимационно-топологический подход к исследованию математических задач гид-

родинамики // Соврем. математика. Фунд. направления. 2012. Т. 46. С. 92-119.

16. Звягин В.Г., Турбин М.В. Математические вопросы гидродинамики вязкоупругих сред. М., 2012.

Воронежский государственный университет

Поступила в редакцию 08.09.2023 г.

После доработки 08.09.2023 г.

Принята к публикации 11.10.2023 г.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№ 12

2023