ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2023, том 59, № 12, с. 1715-1717
КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ
УДК 517.926.4
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ КОШИ
ДЛЯ ОДНОГО ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ УРАВНЕНИЯ
С ДРОБНОЙ ПРОИЗВОДНОЙ ДЖРБАШЯНА-НЕРСЕСЯНА
© 2023 г. Б. Ю. Иргашев
Получено решение задачи Коши для одного вырождающегося уравнения с дробной произ-
водной Джрбашяна-Нерсесяна, частные решения которого представлены с помощью функ-
ции Килбаса-Сайго.
DOI: 10.31857/S0374064123120129, EDN: NWUWZQ
В последнее время интенсивно изучаются уравнения c производными дробного порядка с
переменными коэффициентами. В работе [1] изучалось уравнение
Dα0xxβu(x) = λu(x),
0 < x < b,
где 0 < α < 1, β ≥ 0, λ - спектральный параметр. В статье [2] были найдены решения в
замкнутой форме уравнений дробного порядка
(Dα0+y)(x) = axβy(x) + f(x),
0 < x < d ≤ ∞, α > 0, β ∈ R, a = 0,
(Dα-y)(x) = axβ y(x) + f(x),
0 ≤ d < x < ∞, α > 0, β ∈ R, a = 0,
с производными Римана-Лиувилля на полуоси (0, ∞) (см. [3, с. 85]).
К таким уравнениям приводят многие прикладные задачи [4]. Примером является уравне-
ние теории полярографии [5]
(D1/20+y)(x) = axβy(x) + x-1/2, x > 0,
-1/2 < β ≤ 0,
возникающее при a = -1 в задачах диффузии [5].
Рассмотрим следующее уравнение:
D{γ0,γ1,...,γm-1,γm}0yu(y) = λysu(y), y > 0, λ,s ∈ R,
(1)
где D{γ0,γ1,...,γm-1,γm}0y - оператор дробного дифференцирования Джрбашяна-Нерсесяна поряд-
∑m
ка α =
γk - 1 > 0, ассоциированный с последовательностью
k=0
{γk}m0 = {γ0, γ1, . . . , γm-1, γm}, γk ∈ (0, 1], k = 0, m,
определяемый соотношением [6]
,
y
y
y
Dγ0y - оператор дробного интегро-дифференцирования в смысле Римана-Лиувилля порядка γ
с началом в точке y = 0 [1, с. 9]:
⎧
y
∫
⎪
1
g(t) dt
⎪
⎪
,
γ < 0,
⎨Γ(-γ)
|y - t|1+γ
0
Dγ0yg(y) =
⎪g(y),
γ = 0,
⎪(
)p
⎪
d
γ-p
⎩
D0
g(y),
p - 1 < γ ≤ p, p ∈ N.
y
dy
1715
1716
ИРГАШЕВ
В работе [6] рассмотрена задача Коши для уравнения
∑
akD{γ0,...,γk}0yu(y) = f(y)
(2)
k=0
с переменными коэффициентами. Исследуемая задача эквивалентно сведена к интегральному
уравнению Вольтерры второго рода. Доказана теорема существования и единственности реше-
ния. В статье [7] в терминах функции Райта построено явное представление решения задачи
Коши для уравнения (2). В статье [8] для линейного обыкновенного дифференциального урав-
нения дробного порядка вида (2) с производными Римана-Лиувилля была сформулирована и
решена начальная задача.
В данной работе в терминах функции Килбаса-Сайго строится решение следующей задачи
Коши (см. [6]).
Задача Коши. Найти функцию u(y), удовлетворяющую уравнению (1) и следующим
условиям:
1) u(y) ∈ L1[0, l],
0 < l < +∞;
2) D{γ0,γ1,...,γj }0yu(y) ∈ AC[0, l], 0 ≤ j ≤ m - 1;
3) D{γ0,γ1,...,γm-1,γm}0yu(y) = λysu, y > 0,
0 = λ ∈ R, lim
D{γ0}0yu(y) = A0, lim
D{γ0,γ1}0yu(y) =
y→0
y→0
= A1, ..., lim
D{γ0,γ1,...,γm-1}0yu(y) = Am-1, здесь Ai, i = 0,m - 1, - заданные константы.
y→0
Теорема. Пусть α > 0, γ0+γm +s > 1. Тогда задача Коши имеет единственное решение.
Доказательство. Решение задачи будем искать в виде
∑
u(y) =
dkuk(y),
(3)
k=0
где dk - произвольные постоянные и
uk(y) = yαk Eα,(α+s)/α,(α
k+s)/α(λyα+s).
Здесь
∑
∏
Γ(α(jm + l) + 1)
Eα,m,l =
cizi, c0 = 1, ci =
,
i ≥ 1,
Γ(α(jm + l + 1) + 1)
i=0
j=0
– функция Килбаса-Сайго [2].
Для определения постоянных dk запишем функции uk в виде
∑
uk(y) = c0yαk + c1λyαk+α+s + yαk
cn(λyα+s)n, k = 0,m - 1.
n=2
Учитывая неравенство γ0 + γm + s > 1 и применяя формулу (см. [6])
⎧
⎪0,
0 ≤ k ≤ j - 1,
⎨
Γ(1 + αk),
k = j,
D{γ0,γ1,...,γj}0yyαk =
⎪
Γ(1 + αk)
⎩
yαk-αj , j < k ≤ m,
Γ(1 + αk - αj)
из начальных условий 3) задачи Коши находим
Ak
dk =
Γ(αk + 1)
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№ 12
2023
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ КОШИ
1717
Теперь покажем, что представление
∑
Akyαk
u(y) =
Eα,(α+s)/α,(αk+s)/α(λyα+s)
Γ(αk + 1)
k=0
удовлетворяет уравнению (1). Из обобщённой формулы Ньютона-Лейбница (см., например, [9,
с. 15]) имеем
∑
yαk-αAk
D{γ0,γ1,...,γm}0yu = Dα0yu -
Γ(αk - α + 1)
k=0
Далее, использовав формулу (10) из работы [2] (в нашем случае m = (α+s)/α, l = (αk +s)/α,
αk = α(l - m + 1)), будем иметь
D{γ0,γ1,...,γm-1,γm}0yu(y) = λysu(y).
Перейдём к единственности решения. Пусть функция u(y) - решение задачи Коши. Из ре-
зультата работы [6, лемма 1] следует, что u(y) есть также решение следующего интегрального
уравнения Вольтерры:
y
∫
∑
Akyαk
1
u(y) =
+
(y - t)α-1tsu(t) dt,
0≤y≤l.
(4)
Γ(1 + αk)
Γ(α)
k=0
0
Из условий 1) и 2) задачи Коши следует интегрируемость функции ysu(y). Это означает, что
интегральное уравнение (4) имеет единственное решение. Теорема доказана.
Из утверждения теоремы следует, что общее решение уравнения (1) из класса L1[0, l], 0<
< l < +∞, можно представить в виде (3).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Нахушев А.М. Дробное исчисление и его применение. М., 2003.
2. Килбас А.А., Сайго М. Решение в замкнутой форме одного класса линейных дифференциальных
уравнений дробного порядка // Дифференц. уравнения. 1997. Т. 33. № 2. С. 195-204.
3. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые
их приложения. Минск, 1987.
4. Oldham К.В., Spanier J. The Fractional Calculus. New York; London, 1974.
5. Wiener K. On solutions of a differential equation of nonintegral order that occurs in the theory of
polarography // Wiss. Z. Martin-Luther-Univ. Halle- Wittenberg Math.-Natur. Reiche. 1983. V. 32. № 1.
P. 41-46.
6. Джрбашян М.М., Нерсесян А.Б. Дробные производные и задачи Коши для дифференциальных
уравнений дробного порядка // Изв. АН АрмССР. Математика. 1968. T. 3. № 1. С. 3-28.
7. Богатырева Ф.Т. Начальная задача для уравнения дробного порядка с постоянными коэффициен-
тами // Вестн. КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2016. № 5. С. 21-26.
8. Псху А.В. Начальная задача для линейного обыкновенного дифференциального уравнения дроб-
ного порядка // Мат. сб. 2011. Т. 202. № 4. C. 111-122.
9. Псху А.В. Уравнения в частных производных дробного порядка. М., 2005.
Наманганский инженерно-строительный институт,
Поступила в редакцию 01.03.2023 г.
Узбекистан,
После доработки 21.09.2023 г.
Институт математики имени В.И. Романовского АН РУз,
Принята к публикации 11.10.2023 г.
г. Ташкент
9
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№ 12
2023
