ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2023, том 59, № 2, с.170-182
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
УДК 517.925
О БАЗИСЕ ГРЁБНЕРА ИДЕАЛА ЛЯПУНОВСКИХ
ВЕЛИЧИН СИСТЕМЫ КУКЛЕСА
© 2023 г. А. Е. Руденок, М. Н. Василевич
Изучены проблема центра и цикличность особых точек системы Куклеса. Необходимые
условия центра в начале координат получены как многообразие идеала ляпуновских ве-
личин, вычисленных непосредственным решением полиномиальной системы, левые части
которой составляют базис Грёбнера идеала. Этот идеал использован также для вычисления
цикличности центров и фокусов системы. Доказана теорема, которая позволяет находить
цикличность центров полиномиальных систем, используя вместо идеала ляпуновских ве-
личин его базис Грёбнера.
DOI: 10.31857/S0374064123020048, EDN: PUHQOJ
Введение. Система Куклеса (см. [1]) представляет собой систему вида
x = -y,
y = x(1 - Ax - Kx2) - 3xy(B + Lx) + (A - U - Mx)y2 - Ny3,
(1)
где A, B, K, L, M, N, U - вещественные константы.
И.С. Куклес был первым в изучении систем вида (1), и с тех пор они и их обобщения
называются системами Куклеса и обобщёнными системами Куклеса. Считается [2], что ре-
шение задачи о различении центра и фокуса для системы Куклеса было дано независимо
Н.Г. Ллойдом и Дж.М. Пирсоном [3], а также А.П. Садовским [4, 5] с использованием разных
подходов.
В частности, в работе [3] для облегчения вычислений значение коэффициента B было по-
ложено равным единице. Это возможно, если B = 0, поскольку ляпуновские величины пред-
ставляют собой однородные (в обобщённом смысле) полиномы. Многообразие центра было по-
лучено с помощью решения системы из результантов постоянных Ляпунова и с использованием
ресурсов вычислительных центров (Manchester Computing Center и Minnesota Supercomputer
Center). Для доказательства достаточности условий центра использовался метод построения
первого интеграла с помощью инвариантных алгебраических кривых.
В отличие от авторов [3], А.П. Садовский в статьях [4, 5] полагал коэффициент B равным
коэффициенту N, если BN = 0. Это возможно по той же причине однородности ляпуновских
величин. Основным инструментом исследования в статье [4] является метод Л.А. Черкаса, с
помощью которого затруднительно получить необходимые условия центра, но он позволяет
сравнительно просто доказывать достаточность условий центра. В работе [5] А.П. Садовский,
используя свою программу для вычисления ляпуновских величин в пакете Mathematica 4.0,
вычислил первые семь постоянных Ляпунова. Многообразие идеала, образованное из этих мно-
гочленов, он нашел с помощью их результантов. Необходимо отметить сложность вычислений
этих результантов, степени которых достигали значения 996.
В работе [6], которую можно считать продолжением работы [3], авторы отмечают, что
наиболее требовательным аспектом их работы является вычисление результантов многомер-
ных полиномов. В ней они применили разработанное ими программное обеспечение для более
эффективного вычисления результантов. Они также использовали модульную арифметику,
чтобы избежать необходимости вычислять некоторые очень большие результанты.
В статье [7] показано, что система Куклеса при N = 0 может иметь негрубый фокус пятого
порядка и не менее пяти малоамплитудных предельных циклов, рождающихся из него. В [8]
приведена система со значением B = 0, которая имеет негрубый фокус шестого порядка, из
которого рождаются шесть малоамплитудных предельных циклов.
170
О БАЗИСЕ ГРЁБНЕРА
171
В монографии [9, с. 125] А.П. Садовский вычислил базис Грёбнера идеала, образующие
которого состоят из семи ляпуновских величин, а сам базис Грёбнера состоит из пятидесяти
семи многочленов. Из-за громоздкости этого базиса трудно найти непосредственно из него
многообразие центра.
В работе [10] применяется новый метод получения необходимых и достаточных условий
центра, разработанный А. П. Садовским и основанный на методе нормальных форм. Вместо
изучения многообразия идеала фокусных величин исследуется многообразие идеала, базисом
которого являются полиномы, полученные новым методом. В отличии от статьи [5], в этом
исследовании результанты не применялись. Здесь был вычислен радикал идеала, его базис
Грёбнера (не представленный в явном виде), а также его многообразие.
В настоящей статье удалось избежать больших вычислений, которые обычно возникают
при использовании результантов. Найдено многообразие центра непосредственно при решении
полиномиальной системы, левые части которой составляют базис Грёбнера идеала постоянных
Ляпунова. Для упрощения вычислений сделаны подходящие замены коэффициентов системы
Куклеса или параметризация многообразия идеала. При этом базис Грёбнера идеала оказыва-
ется таким, что во всех рассматриваемых в настоящей статье случаях он представлен в полном
виде и не составляет труда найти его многообразие. Также находится число малоамплитудных
предельных циклов, рождающихся из особой точки типа центр или фокус, с помощью матри-
цы Якоби вектор-функции, состоящей из постоянных Ляпунова. Доказана теорема, которая
позволяет находить цикличность центров полиномиальных систем, используя вместо идеала
ляпуновских величин его базис Грёбнера, что существенно сокращает вычисления.
1. Условия центра для системы нелинейных колебаний. Рассмотрим систему нели-
нейных колебаний третьей степени по переменной y :
x = -y,
y = xP0(x) + 3xyP1(x) + y2P2(x) + y3P3(x).
(2)
Преобразование
yP0(x)
y→
(3)
1 - yP1(x)
переводит систему (2) в систему
x
x = -y,
y=
(1 - B2(x)y2 - B3(x)y3),
(4)
ϕ(x)
где
-3xP1(x)2 + P0(x)P2(x) + P′0(x)
ϕ(x) = P0(x), B2(x) = -
,
x
1
B3(x) = -
(2xP1(x)3 - P0(x)P1(x)P2(x) + P0(x)2P3(x) - P1(x)P′0(x) + P0(x)P′1(x)).
(5)
x
Заметим, что для перехода от системы (2) к системе (4) используется не только замена (3),
но и масштабирование независимой переменной t.
Применим к системе (4) преобразование y → y/Ψ(x), где
( ∫x
)
uB2(u)
Ψ(x) = exp
-
du
(6)
ϕ(u)
0
С учётом масштабирования переменной t получим систему
x
x = -y,
y=
(1 - Γ(x)3B3(x)y3),
(7)
ϕ(x)Γ(x)2
здесь Γ(x) = 1/Ψ(x). Рассмотрим систему
x = -y,
y = x + xf(x) + y2n+1g(x), n ∈ N,
(8)
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№2
2023
172
РУДЕНОК, ВАСИЛЕВИЧ
где f(x), g(x) - голоморфные в окрестности точки x = 0 функции f(0) = 0. Введём обозна-
чения
1
ϕ(x)
ϕ(x) =
,
β1(x) = -
g(x),
1 + f(x)
x
тогда система (8) примет вид
x
x = -y,
y=
(1 - y2n+1β1(x)).
(9)
ϕ(x)
В дальнейшем будем использовать обозначения для произвольной функции h(x) и задан-
ной функции ϕ(x), голоморфных в окрестности точки x = 0:
ϕ(x)
d(h) =
h′(x).
x
Рассмотрим последовательность функций
ϕ
ϕ
γ1 = β1, γ3 =
γ′1 = d(γ1), γ5 =
γ′3 = d(γ3), ... , γ2s+1(x) = d(γ2s-1), ...
(10)
x
x
Теорема Отрокова [11, с. 110-116]. Для того чтобы система (9) имела в особой точке
O(0, 0) центр, необходимо и достаточно, чтобы функции (10) были голоморфными в точ-
ке x = 0.
Заметим, что хотя Н.Ф. Отроков доказал эту теорему для системы Льенара (т.е. при зна-
чении n = 0 в (9)), из его рассуждений следует, что эта теорема справедлива для системы (9)
при всех n ∈ N.
Будем считать, что в (10) функция ϕ(x) та же, что и в системе (4).
Теорема 1. Для того чтобы система (4) имела центр в особой точке, необходимо и
достаточно, чтобы каждая из функций
B3, B5 = 3B2B3 + d(B3), ... , B2i+1 = (2i - 1)B2B2i-1 + d(B2i-1), ...
(11)
была голоморфной в точке x = 0.
Доказательство. Строим последовательность функций (10) для системы (7). При этом
учитываем, что в качестве ϕ(x) будет выбрана функция ϕ(x)Γ(x)2, в качестве β1(x) - функ-
ция Γ(x)3B3(x). Учтём также, что из (6) вытекает равенство Γ′(x) = Γ(x)xB2(x)/ϕ(x). Имеем
последовательность
γ1(x) = Γ(x)3B3(x),
(
)
2
ϕ(x)Γ(x)
ϕ(x)Γ(x)2
xB2(x)
γ3(x) =
(Γ(x)3B3(x))′ =
3Γ(x)3
B3(x) + Γ(x)3(B3(x))′
=
x
x
ϕ(x)
(
)
ϕ(x)B′3(x)
= Γ(x)5 3B2(x)B3(x) +
= Γ(x)5B5(x),
x
(
)
2
ϕ(x)Γ(x)
ϕ(x)Γ(x)2
xB2(x)
γ5(x) =
(Γ(x)5B5(x))′ =
5Γ(x)5
B5(x) + Γ(x)5(B5(x))′
=
x
x
ϕ(x)
(
)
ϕ(x)B′5(x)
= Γ(x)7 5B2(x)B5(x) +
= Γ(x)7B7(x), ...
x
Теорема доказана.
2. Базис Грёбнера и многообразие центра системы Куклеса. Заметим, что в ка-
честве ляпуновских величин системы рассматриваются только те из них, которые не равны
тождественно нулю в рассматриваемом классе систем.
Для системы Куклеса (1) из равенства нулю первой ляпуновской величины имеем
L = -N - BU.
(12)
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№2
2023
О БАЗИСЕ ГРЁБНЕРА
173
С учётом (12) система (1) примет вид
x = -y,
y = x(1 - Ax - Kx2) - 3xy(B - (N + BU)x) + (A - U - Mx)y2 - Ny3.
(13)
В системе (13) сделаем замену
N → -BU + N
(14)
и получим систему
x = -y,
y = x(1 - Ax - Kx2) - 3xy(B - Nx) + (A - U - Mx)y2 - (N - BU)y3.
(15)
Теорема 2. Для того чтобы система (15) имела центр в начале координат, необходимо
и достаточно, чтобы выполнялось одно из следующих условий:
a) B = 0, N = 0;
b) U = 0, N = 0, A = 0;
√
c) B = 0, N = -U2/(3
2), A = -U, M = 0, K = -U2/3;
√
d) B = 0, N = U2/(3
2), A = -U, M = 0, K = -U2/3;
e) M = -2B2, K = 0, A = 0, N = 0;
f) U = 0, N = -B2s2(2 + s4)/2, K = -B2s4(2 + s4)/2, M = B2(-2 + s4)(2 + s4)/2,
A = -Bs2(4 + s4)/2;
g) U = 0, N = B2s2(2 + s4)/2, K = -B2s4(2 + s4)/2, M = B2(-2 + s4)(2 + s4)/2,
A = Bs2(4 + s4)/2;
h) N = BU, M = (A - U)2U/(A - 2U), K = U(-A + U);
i) N = B2s(2+s2)/2, A = Bs(4+s2)/2, K = -B2s2(2+s2)/2, M = B(-4B+Bs4-2sU)/2;
2
16U
4(-2 + s2)U
64U
8(-2 + s2)U2
k) A = -
, B =
, K = -
, M =
,
(2 + s2)2
s(2 + s2)2
s2(2 + s2)2(4 + s2)
(2 + s2)2(4 + s2)
2
32U
N =-
s(2 + s2)2(4 + s2)
Здесь s - произвольный параметр.
Доказательство. С учётом (12) и (14) формулы (5) примут вид
ϕ(x) = 1 - Ax - Kx2,
1
B2(x) =
(U + (A2 + 3B2 + 2K + M - AU)x + (AK - AM - KU - 6BN)x2 + (-KM + 3N2)x3),
x
B3(x) = B(A2 + 2B2 + 2K + M + AU) - N(A + U) +
+ ((-6B2 - 3K - M + AU)N - B(-AK + AM + A2U - KU))x +
+ (-BK(M + 2AU)+ N(AK + AM + 6BN + KU))x2 + (-BK2U + N(K2 + KM - 2N2))x3. (16)
Вычислим идеал J, образованный из первых шести ляпуновских величин системы (15),
например, используя программу А.П. Садовского [5]. Следует заметить, что в [5] эта программа
приведена с опечатками, которые в наших вычислениях исправлены. Первый член идеала J
есть полином
ABK-ABM -6B2N -3KN -MN +2A2BU +6B3U +7BKU +3BMU -2ANU +3ABU2 -3NU2.
Остальные пять образующих идеала J мы не приводим из-за их громоздкости, в частности,
степень шестого члена идеала равна {6, 6, 7, 7, 12, 13} по переменным {K, M, N, U, A, B} со-
ответственно и состоит из 9097 слагаемых.
В дальнейшем при вычислении базиса Грёбнера идеала J можем полагать значение U
равным либо нулю, либо единице. Это вытекает из того факта, что образующие идеала J
представляют собой однородные (в обобщённом смысле) многочлены. Если U = 0, то замена
A → AU, B → BU, N → NU2, K → KU2, M → MU2
(17)
сводит идеал J к идеалу, который получается из J при значении U, равном единице.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№2
2023
174
РУДЕНОК, ВАСИЛЕВИЧ
1. Рассмотрим случай U = 0.
Положив U = 0 в идеале J, получим идеал, который обозначим через j.
1.1. Рассмотрим сначала подслучай N = 0.
Базис Грёбнера идеала j в порядке переменных {B, M, A, K} равен 〈ABK2, AB(M -K)〉.
Отсюда получим многообразие этого идеала:
1) U = 0, N = 0, B = 0;
2) U = 0, N = 0, A = 0;
3) U = 0, N = 0, K = 0, M = 0.
Подставив эти значения в формулы (16), получим:
случай 1) ϕ(x) = 1 - Kx2, B2(x) = 3B2 + 2K + M - KMx2, B3(x) = B(2B2 + 2K +
+ M - KMx2), что соответствует симметрии поля направлений системы (15) относительно
оси Oy;
случай 2) B3(x) = 0, что соответствует симметрии поля направлений системы (15) отно-
сительно оси Ox;
случай 3) функции равны
ϕ(x) = 1 - Ax, B2(x) = A2 + 3B2, B3(x) = B(A2 + 2B2).
По формулам (13) получим
B5(x) = 3B(A2 + 2B2)(A2 + 3B2), B7(x) = 15B(A2 + 2B2)(A2 + 3B2)2.
Методом математической индукции, используя формулы (11), легко доказать, что
B2n+1(x) = (2n - 1)!!B(A2 + 2B2)(A2 + 3B2)n-1, n ∈ N.
Следовательно, на основании теоремы 1 система (15) имеет в начале координат центр.
Полученный случай 1) есть частный случай п. a) теоремы 2, при выполнении которого,
как легко проверить, B3(x) = 0. В формулировке теоремы 2 полученный случай 3) заменён
на более общий случай п. h), который будет рассмотрен далее.
1.2. Рассмотрим теперь подслучай N = 0. Если N > 0, то замена
A → An, B → Bn, N → n2, K → Kn2, M → Mn2
(18)
сводит идеал j к идеалу, в котором N = 1. Вычислив базис Грёбнера этого идеала в порядке
переменных {B, M, A, K}, получим
g1 = 〈(1 + K2)3(4A2 + 16K + 2A2K2 + 8K3 + K5),
(1 + K2)2(2A2 - 31K - K3)(4A2 + 16K + 2A2K2 + 8K3 + K5),
(1 + K2)(-2 + K2 + KM),
220 + 148A2K + 482K2 + 150A2K3 + 610K4 + 76A2K5 +
+ 331K6 + 14A2K7 + 80K8 + 7K10 + 20A2M - 30KM,
(3K + M)(-2 + K2 + KM),
(1 + K2)(4A3 + 360B + 106AK + 6A3K2 + 90BK2 +
+ 24AK3 + 2A3K4 + 9AK5 + AK7 + 90AM),
- 72 + 36AB - 50A2K - 182K2 - 44A2K3 - 185K4 -
- 22A2K5 - 96K6 - 4A2K7 - 23K8 - 2K10,
60A - 4A3K + 630BK + 89AK2 - 10A3K3 + 90BK3 - 40AK4 - 8A3K5 -
- 33AK6 - 2A3K7 - 10AK8 - AK10 + 180BM + 150AKM + 45AM2,
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№2
2023
О БАЗИСЕ ГРЁБНЕРА
175
254A2 + 540B2 + 476K + 20A2K2 + 485K3 - 2A2K4 - 12K5 -
- 8A2K6 - 25K7 - 4K9 + 270M + 270K2M〉.
Решив систему g1 = 0 относительно переменных {B, M, A, K} и исключив комплексные слу-
чаи, имеем значения
√
√
2
2
-2 + K
-K(4 + K2)
B=±√
√
,
M =-
,
A=∓
√
√
-K
2+K2
K
2
2+K2
Это многообразие является вещественным, только если K принимает отрицательные значе-
ния. Положив K = -s2 и применив замену, обратную к (18), получим многообразие
√
4
K
B
2
M
-2 + s
A
s(4 + s4)
U = 0,
= -s2,
√
=
√
,
=
,
√
=
√
√
(19)
N
N
s
2+s4
N
s2
N
2
2+s4
Из третьего равенства в (19) выразим N = B2s2(2+s4)/2. Подставив это выражение в осталь-
ные равенства (19), получим п. f) теоремы. При этих значениях коэффициентов функция
B3(x) в формулах (16) равна нулю, т.е. система (15) имеет центр в начале координат.
Аналогично рассматривается случай N < 0. При этом будет получен п. g) теоремы.
2. Рассмотрим случай U = 1.
2.1. Пусть B = 0.
Тогда базис Грёбнера идеала J, вычисленный в порядке переменных {N, K, M, A}, равен
h = 〈(1 + A)N,MN,(1 + 3K)N,N(-1 + 18N2)〉.
Решив систему h = 0 относительно переменных {N, K, M, A}, получим три случая:
1) B = 0, N = 0;
√
2) B = 0, U = 1, N = -1/(3
2), K = -1/3, M = 0, A = -1;
√
3) B = 0, U = 1, N = 1/(3
2), K = -1/3, M = 0, A = -1.
Во всех трёх случаях функция B3(x) = 0, т.е. система (15) имеет центр в начале координат.
Случай 1) уже рассмотрен выше. Применив к случаям 2), 3) преобразование, обратное к
(17), получим пп. c), d) теоремы.
2.2. Предположим теперь, что B = 0.
В системе (15) и в идеале J сделаем замену
N →NB.
(20)
Получим систему
x = -y,
y = x(1 - Ax - Kx2) - 3Bx(1 - Nx)y + (A - U - Mx)y2 + B(U - N)y3.
(21)
Идеал J перейдет в идеал, который после сокращения на множитель B обозначим как J1.
√
Положим в нем U = 1, B =
b и обозначим полученный идеал J2. Вычислив его базис
Грёбнера в порядке переменных {b, M, K, A, N}, имеем
g2 = 〈(K + AN - N2)(A2 - 4AN - 2A2N + 4N2 + 5AN2 + A2N2),
(K + AN - N2)(-K - AN + KN + N2 + AN2), (A2 + 4K + AK)(K + AN - N2),
A2 - K - AK + AM - 4AN - 3A2N - 3KN - 2MN + 3N2 + 3AN2,
2AK + KM + A2N - 2KN - 2AKN - AN2 + 3KN2 + MN2,
(-1 + N)(A + A2 + 2b + 2K + M - N - AN),
- A - A2 + A3 - 2b + 2Ab - K + 2AK + A2K + 2bK + 2K2 - M + N +
+ 4AN + A2N + 4KN + AKN + 2MN - 3N2 - 2AN2 - 3KN2 - MN2〉.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№2
2023
176
РУДЕНОК, ВАСИЛЕВИЧ
Замечание 1. Объединив замены (14) и (20), получим замену N → -BU +NB, ключевую
в данной работе. Она позволила представить базис Грёбнера идеала ляпуновских величин
системы Куклеса (при условии UB = 0) в простом виде g2. В статье [10] базис Грёбнера
содержит пятьдесят семь многочленов, из которых затруднительно вычислить многообразие
идеала. Впервые эта замена представлена в материалах конференции [12].
2.2.1. Учитывая разложение пятого члена базиса g2 на множители, рассмотрим сначала
случай N = 1.
Решив систему g2 = 0 относительно переменных {N, K, M, A}, получим
2
(-1 + A)
N = 1, M =
,
K = 1 - A.
(22)
-2 + A
Формулы (16) при выполнении условий (22) примут вид
ϕ(x) = (-1 + x)(-1 - x + Ax),
1
B2(x) =
(2 + A + (-3 + 6A - 4A2 + A3 - 6b + 3Ab)x -
(-2 + A)x
− 2(-1 + 3A - 3A2 + A3 - 6b + 3Ab)x2 + (-1 + 3A - 3A2 + A3 - 6b + 3Ab)x3),
3
(-1 + 3A - 3A2 + A3 - 4b + 2Ab)(-1 + x)
B3(x) = -
-2 + A
Используя формулы (13), вычислим
5
3(-1 + 3A - 3A2 + A3 - 4b + 2Ab)(-1 + 3A - 3A2 + A3 - 6b + 3Ab)(-1 + x)
B5(x) = -
,
(-2 + A)2
7
15(-1 + 3A - 3A2 + A3 - 4b + 2Ab)(-1 + 3A - 3A2 + A3 - 6b + 3Ab)2(-1 + x)
B7(x) = -
(-2 + A)3
Легко показать, используя метод математической индукции и систему (13), что справедлива
формула
(2n - 1)!!(-1 + 3A - 3A2 + A3 - 4b + 2Ab)
B2n+1(x) = -
×
(-2 + A)n
× (-1 + 3A - 3A2 + A3 - 6b + 3Ab)n-1(-1 + x)2n+1.
Так как при этом условия теоремы 1 выполняются, то полученное многообразие идеала (22)
есть многообразие центра системы (15). Выполнив в нём преобразование, обратное к (17),
получим случай п. h) теоремы 2.
2.2.2. Рассмотрим теперь случай A + A2 + 2b + 2K + M - N - AN = 0. Вычислив (при
выполнении этого условия и условия N = 1) базис Грёбнера идеала, построенного на базисе
g2, в порядке переменных {b,M,K,A,N} будем иметь
g3 = 〈(K + AN - N2)(A2 - 4AN - 2A2N + 4N2 + 5AN2 + A2N2),
(K + AN - N2)(-K - AN + KN + N2 + AN2), (A2 + 4K + AK)(K + AN - N2),
A2 - K - AK + AM - 4AN - 3A2N - 3KN - 2MN + 3N2 + 3AN2,
2AK + KM + A2N - 2KN - 2AKN - AN2 + 3KN2 + MN2,
A + A2 + 2b + 2K + M - N - AN〉.
Рассмотрим случаи, соответствующие разложению первого члена этого базиса на мно-
жители.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№2
2023
О БАЗИСЕ ГРЁБНЕРА
177
2.2.2.1. В случае K + AN - N2 = 0, решив систему g3 = 0, получим многообразия идеа-
ла J2 :
3
(A - N)
(A - N)(-A + 2N + 2AN - 3N2)
1) b = -
, M =
, K = (N - A)N;
2(A - 2N)
A - 2N
2) b = -M/2, K = 0, A = 0, N = 0.
Случай 2) есть случай п. e) теоремы. В случае 1), поскольку b = B2, с целью избавиться
от иррациональности введём параметр s по формуле
2(A - 2N)
s2 = -
A-N
Получим многообразие центра в параметрическом виде:
1
1
1
1
N =
B2s(2 + s2), A =
Bs(4 + s2), K = -
B2s2(2 + s2), M =
B(-4B + Bs4 - 2sU).
2
2
2
2
Выполнив в нём преобразование, обратное к (17), получим случай п. i) теоремы 2. При этих
значениях в (16) B3(x) = 0.
2.2.2.2. В случае A2 - 4AN - 2A2N + 4N2 + 5AN2 + A2N2 = 0 базис Грёбнера идеала,
построенного на базисе g3, в порядке переменных {b, M, K, A, N} равен
h1 = 〈A2 - 4AN - 2A2N + 4N2 + 5AN2 + A2N2,-K - AN + KN + N2 + AN2,
A2 + 4K + AK,2A + M - 3N - 3AN,-A + A2 + 2b + 2K + 2N + 2AN〉.
Решив систему h1 = 0 и исключив комплексный случай, получим действительное много-
образием идеала в виде
√
2
-3A2 - A3 ∓ 2A
-A
A
b=
,
K =-
,
2(4 + A)
4+A
√
√
-2A + A2 ± 3A
-A
2A + A2 ± A
-A
M =
,
N =
4+A
(1 + A)(4 + A)
Введём параметр s по формуле A = -16(2 + s2)-2. Учтём, что b = B2. Возвращаясь к
старым переменным (используя преобразования (17), (20)), получим многообразие
2
16U
4(-2 + s2)U
64U
A=-
,
B=
,
K =-
,
(2 + s2)2
s(2 + s2)2
s2(2 + s2)2(4 + s2)
2
8(-2 + s2)U
32U2
M =
,
N =-
(2 + s2)2(4 + s2)
s(2 + s2)2(4 + s2)
Легко проверить, что при этом B3(x) = 0, т.е. это многообразие принадлежит многообразию
центра системы (15). Это случай п. k) теоремы 2. Теорема 2 доказана.
3. Цикличность центров системы Куклеса в семействе систем Куклеса. Будем
рассматривать систему Куклеса при возмущениях, не выводящих её за пределы семейства
систем
∑
x = -y + λx,
y = x + λy +
ai,jxiyj.
(23)
i+j=2
Явные выражения параметров системы (15) в случаях центра в формулировке теоремы 2
позволяют легко найти цикличности этих центров.
Обозначим Λ = (K, M, N, U, A, B). Будем считать Λ точкой в шестимерном аффинном
пространстве A∗ параметров системы (15). Точку Λ0 ∈ A∗ будем называть центром (фоку-
сом), если соответствующая система (15) имеет центр (фокус) в особой точке (x, y) = (0, 0).
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№2
2023
178
РУДЕНОК, ВАСИЛЕВИЧ
Введём вектор-функцию
F (Λ) = (L1, L2, . . . , Lm),
(24)
где Li (i = 1, m) - постоянные Ляпунова системы (15). Точку Λ0
∈ A∗ будем называть
фокусом n-го порядка, если выполняются соотношения
F (Λ0) = (0, 0, . . . , 0, Ln(Λ0), . . .), Ln(Λ0) = 0.
Точку Λ0
∈ A∗ будем называть центром n-го порядка, если в любой достаточно малой её
окрестности в пространстве A∗ имеется фокус n-го порядка.
Пусть Λ0 - центр или фокус n-го порядка. Будем говорить, что Λ0 имеет цикличность,
равную n, если для любой достаточно малой ε-окрестности точки (x, y) = (0, 0) существу-
ет δ-окрестность точки Λ0 ∈ A∗, в которой есть фокус, имеющий n предельных циклов,
расположенных в ε-окрестности точки (x, y) = (0, 0).
Для вычисления цикличности центров системы Куклеса в семействе систем (24) справед-
лива следующая
Теорема Кристофера [13]. Предположим, что c - точка на многообразии центров в
пространстве параметров и первые L1, ... , Lk ляпуновские величины имеют независи-
мые линейные части (относительно их разложения по всем параметрам возмущения). Тогда
точка c лежит на компоненте многообразия центров коразмерности не менее k + 1, до-
бавляя параметр следа L0, и существуют бифуркации, которые порождают k предельных
циклов локально из центра, соответствующего значению параметра c.
Замечание 2. Если в теореме Кристофера не требовать, чтобы многообразия центров име-
ли коразмерность, в точности равную k + 1, то условие строгой последовательности линейно
независимых по линейным частям ляпуновских величин несущественно. Можно, например,
начинать её формулировку следующим образом: если якобиан первых n ляпуновских вели-
чин в точке c имеет ранг k, k ≤ n, то точка c лежит на компоненте многообразия центров
коразмерности не менее k + 1.
Обозначим через λ1, . . . , λk линейно независимые линейные части первых n ляпуновских
величин. Потребуем для последовательности λ0, λ1, . . . , λk, где λ0 - параметр линейной
части системы (см. (23)), выполнения условий:
1) она должна быть знакочередующейся;
2) |λ0| ≪ |λ1| ≪ |λ2| ≪ . . . ≪ |λk|.
Здесь ≪ означает “много меньше”. Эти условия гарантируют существование вокруг особой
точки O(0, 0) возмущённой системы k + 1 замкнутых кривых без контакта, внутри которых
имеется k малоамплитудных предельных циклов.
Используя замечание 2, можно утверждать следующее. Пусть c - точка на многообразии
центров в пространстве параметров. Так как многообразие идеала и многообразие, задаваемое
уравнениями g = 0, где g - базис Грёбнера идеала, одно и то же, то ранг якобиана образующих
базиса Грёбнера, вычисленный в точке c, также как и ранг якобиана образующих идеала,
определяет оценку снизу коразмерности многообразия центров, на котором лежит эта точка.
Следовательно, справедлива
Теорема 3. Предположим, что c - точка на многообразии центров в пространстве па-
раметров. Если якобиан образующих базиса Грёбнера идеала ляпуновских величин в точке c
имеет ранг k, то точка c лежит на компоненте многообразия центров коразмерности не
менее k + 1, добавляя параметр следа L0, и существуют бифуркации, которые порождают
k предельных циклов локально из центра, соответствующего значению параметра c.
В статье [14] авторы, комментируя теорему Кристофера, замечают, что фактически суще-
ствуют аналогичные предыдущие результаты, полученные С. Чиконе и М. Джейкобсом [15, 16],
а также М. Хан [17] применяет их для системы Льенара. Со своей стороны заметим, что этот
метод применён ещё раньше в работе [18] (лемма 1 и теорема 5).
Теорема 4. В случае выполнения условий теоремы 2 соответствующий центр системы
Куклеса (15) имеет в классе систем Куклеса (23) цикличность k не меньше чем:
a) k = 3, если AMU(-AM + A2U + 2MU - 2AU2 + U3) = 0;
b) k = 4, если BKM = 0;
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№2
2023
О БАЗИСЕ ГРЁБНЕРА
179
c), d) k = 5, если U = 0;
e) k = 4, если BU = 0;
f), g) k = 4, если Bs = 0;
h) k = 4, если BU(A3 + 2AB2 - 3A2U - 4B2U + 3AU2 - U3) = 0;
i) k = 4, если Bs(2Bs + Bs3 - 2U)U = 0;
k) k = 5, если U = 0.
Доказательство. Через DF (Λ) обозначим матрицу Якоби вектор-функции (24). Если
Λ = {K,M,N,U,A,B} - вектор параметров нелинейных частей системы (15), Λ0 - центр и
rank(DF (Λ)) = n при значениях Λ = Λ0, то Λ0 имеет цикличность не менее n + 1 в классе
систем (23). На самом деле, в силу теоремы Кристофера условие rank(DF (Λ0)) = n гарантиру-
ет рождение n малоамплитудных предельных циклов, ещё один дополнительный предельный
цикл рождается при возмущении первой постоянной Ляпунова L+N (см. формулы (13), (15)),
функционально независимой от других постоянных Ляпунова.
Легко вычислить матрицу Якоби DF (Λ) вектор-функции F (Λ), Λ = {K, M, N, U, A, B},
параметры которой состоят из образующих идеала J ляпуновских величин системы (15):
DF(Λ) = {{AB - 3N + 7BU,-AB - N + 3BU,-6B2 - 3K - M - 2AU - 3U2,
2A2B + 6B3 + 7BK + 3BM - 2AN + 6ABU - 6NU, BK - BM + 4ABU - 2NU + 3BU2,
AK - AM - 12BN + 2A2U + 18B2U + 7KU + 3MU + 3AU2}, . . .}.
Подставив сюда последовательно значения параметров из условий теоремы 2 (вычислив ми-
норы максимального порядка, не равные тождественно нулю) и условия, при которых хотя бы
один из них ненулевой, получим условия теоремы 2. Теорема 4 доказана.
Теорема 3 даёт возможность при вычислении цикличности избежать громоздких вычис-
лений, которые появляются при использовании теоремы Кристофера. Вычислим цикличность
центров системы Куклеса (15), если UB = 0, используя базис g2. Из полиномов g2, учиты-
вая, что b = B2, и возвращаясь к старым переменным, а также используя преобразования
(17), (20), получаем полиномы
〈(B2K + ABN - N2)(A2N2 - 2A2BNU + 5AN2U + A2B2U2 - 4ABNU2 + 4N2U2),
(B2K + ABN - N2)(-BKN - AN2 + B2KU + ABNU - N2U),
(B2K + ABN - N2)(AK + A2U + 4KU),
- AB2K + AB2M - 3A2BN - 3BKN - 2BMN + 3AN2 + A2B2U - B2KU - 4ABNU + 3N2U,
B2KM - 2ABKN + 3KN2 + MN2 + 2AB2KU + A2BNU - 2BKNU - AN2U,
(-N + BU)(A2B + 2B3 + 2BK + BM - AN + ABU - NU),
A2B2K +2B4K +2B2K2 +ABKN -3KN2 -MN2 +A3B2U +2AB4U +2AB2KU +A2BNU +
+ 4BKNU + 2BMNU - 2AN2U - A2B2U2 - 2B4U2 - B2KU2 - B2MU2 + 4ABNU2 -
- 3N2U2 - AB2U3 + BNU3〉.
Заметим, что многообразие идеала, построенное на этих полиномах, совпадает с много-
образием идеала J, если UB = 0. Вычисляя их якобиан по всем переменным и подставляя
в него последовательно значения параметров из пп. e), h), i), k), а также учитывая, что
ещё один дополнительный предельный цикл рождается при возмущении первой постоянной
Ляпунова L + N, получаем, что соответствующий центр системы Куклеса (15) имеет в классе
систем (23) цикличность не меньшую чем:
e) k = 4, если BU = 0;
h) k = 4, если BU(A3 + 2AB2 - 3A2U - 4B2U + 3AU2 - U3) = 0;
i) k = 4, если Bs(2Bs + Bs3 - 2U)U = 0;
k) k = 5, если (-2 + s2)U = 0,
3
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№2
2023
180
РУДЕНОК, ВАСИЛЕВИЧ
как и в теореме 4. Заметим, что расхождение в дополнительном условии в п. k) объясняется
тем, что если -2 + s2 = 0, то из условий п. k) имеем B = 0, что было исключено при
построении базиса g2.
4. Цикличность фокуса седьмого порядка в классе систем Куклеса. В статье [5]
А.П. Садовский рассмотрел систему Куклеса при возмущениях, не выводящих её за пределы
семейства систем (23), и доказал существование системы с порядком фокуса равным семи, из
которого рождается семь малоамплитудных предельных циклов. Цикличность особых точек
он доказывал возмущением коэффициентов интеграла Ляпунова невозмущённой системы и
построением топографической системы, состоящей из замкнутых кривых без контакта.
Рассмотрим систему (21) и идеал J1 её ляпуновских величин. Известно [5], что система
Куклеса имеет фокус седьмого порядка при четырнадцати различных значениях параметров
системы. Для системы (21) при условии U = 1 они вычисляются решением полиномиальных
уравнений, полученных из базиса Грёбнера G идеала, образованного первыми пятью членами
идеала J1. Если вычислить G в порядке переменных {B, M, K, N, A} и исключить случаи
K +AN -N2 = 0, A2-4AN -2A2N +4N2+5AN2+A2N2 = 0 (они рассмотрены в пп. 2.2.2.1
и 2.2.2.2), то первый его член есть многочлен от переменной A степени, равной 92. Можно
говорить о семи различных действительных значениях многообразия этого идеала, поскольку
остальные семь отличаются только знаком параметра B. Для одного из них с точностью до
60 знаков после запятой имеем
Λ0 = {U = 1, A = 7.9908225164330261266925440375527893734048807875633217057464,
N = 1.3113118343205675155585433645822877413132288561326667238972,
K = -5.8688951619243736152944517091401487512751768807163046666217,
M = -0.0646901377171405031116142201347285831386829008073203160783,
B = 5.7754361832649848697427677464763643462622157734387390916148}.
(25)
Подставляя эти значения в J1, получим
J1 = {0. · 10-56,0. · 10-53,0. · 10-49,0. · 10-46,0. · 10-43,
6944017.85354666037951561868415805117468027428},
это подтверждает, что Λ0 - фокус седьмого порядка. Напомним, что первая постоянная Ля-
пунова равна нулю в силу условия (12).
Следующая теорема справедлива для любых полиномиальных систем с чисто мнимыми
корнями характеристического уравнения.
Теорема 5. Если Λ0
- фокус порядка n в аффинном пространстве параметров сис-
темы, F (Λ) - вектор-функция (24), состоящая из первых n - 1 ляпуновских величин и
rank (DF (Λ)) = n - 1 при значениях ΛΛ0, то Λ0 имеет цикличность, в точности равную
n - 1 в классе систем с такими же параметрами (без возмущения параметров линейной
части), и цикличность, в точности равную n в классе систем, полученных добавлением к
этим параметрам параметра λ0 линейной части системы.
Доказательство. В статье [18] рассматривается рождение предельных циклов из особых
точек системы с однородными нелинейностями третьей степени и доказана теорема (лемма 1
и теорема 5), сформулированная для этой системы, но доказательство которой не нарушает
общности, и её можно применить к полиномиальным системам с нелинейностями любой степе-
ни. Хотя она сформулирована с употреблением ранга линейно независимых линейных частей
ляпуновских величин возмущённой системы, очевидно, что вместо этого можно применить
ранг матрицы Якоби ляпуновских величин системы.
Теорема 6 [18]. Если Λ0 - фокус порядка n в аффинном пространстве параметров систе-
мы A∗, F(Λ) - вектор-функция, состоящая из первых n-1 ляпуновских величин системы и
rank (DF (Λ)) = n - 1 при значениях Λ = Λ0, то для любой достаточно малой окрестности
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№2
2023
О БАЗИСЕ ГРЁБНЕРА
181
точки O(0,0) существует сколь угодно малое возмущение значений точки Λ0 в прост-
ранстве A∗ (без возмущения линейной части) такое, что в этой окрестности имеется не
менее n - 1 предельных циклов возмущённой системы.
Очевидно,что если возмутить и линейную часть этой системы, то можно получить не менее
n малоамплитудных предельных циклов возмущённой системы.
С другой стороны, цикличность фокуса Λ0 не может быть больше n согласно теореме о
рождении предельных циклов из сложного фокуса.
Теорема 7 [19, c. 264]. Если O(0, 0) - сложный фокус кратности n динамической сис-
темы (A) класса N ≥ 2n + 1 или аналитической, то существуют числа ε, δ такие, что
всякая система (A), δ-близкая до ранга 2n+1 к системе (A), имеет не более n предельных
циклов, расположенных в ε-окрестности точки O(0,0).
Теорема 5 доказана.
Теорема 8. Фокус (25) системы (21) имеет цикличность, в точности равную семи в
классе систем (23).
Доказательство. Вычислим матрицу Якоби вектор-функции F (Λ), Λ={U, A, N, K, M, B},
параметры которой состоят из образующих идеала J1 ляпуновских величин системы (21):
DF(Λ) = {{2A2 + 6B2 + 7K + 3M - 2AN + 6AU - 6NU,K - M + 4AU - 2NU + 3U2,
- 6B2 - 3K - M - 2AU - 3U2, A - 3N + 7U, -A - N + 3U, -12B(N - U)}, . . .}.
Левый верхний минор пятого порядка этой матрицы при значениях (25) равен
-7.877691275206453989959453678018994874324746820134322667 · 1016,
т.е. rank (DF (Λ0)) = 5. Если к вектор-функции F (Λ) добавить первую компоненту L + NB,
функционально не зависящую от других (см. формулы (12), (14), (20)), а к значениям (25)
добавить соответствующее значение параметра L = -NB, то получим вектор-функцию F (Λ)
и значения параметров Λ0 = {L0, U0, B0, M0, K0, N0, A0}, для которых rank (DF (Λ0)) = 6. По
утверждению теоремы 5 это гарантирует рождение ровно семи малоамплитудных предельных
циклов, расположенных в окрестности особой точки O(0, 0) системы (23).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Куклес И.С. О некоторых случаях отличия фокуса от центра // Докл. АН СССР. 1944. Т. 42. № 5.
С. 208-211.
2. Gine J. Center conditions for generalized polynomial Kukles systems // Commun. Pure Appl. Anal.
2017. V. 16. № 2. P. 417-426.
3. Lloyd N.G., Pearson J.M. Computing centre conditions for certain cubic systems // J. Comp. Appl.
Math. 1992. V. 40. № 3. P. 323-336.
4. Садовский А.П. Решение проблемы центра и фокуса для кубической системы нелинейных колебаний
// Дифференц. уравнения. 1997. Т. 33. № 2. С. 236-244.
5. Садовский А.П. Кубические системы нелинейных колебаний с семью предельными циклами // Диф-
ференц. уравнения. 2003. Т. 39. № 4. С. 472-481.
6. Pearson J.M., Lloyd N.G. Kukles revisited: advances in computing techniques // Comput. Math. Appl.
2010. V. 60. № 10. P. 2797-2805.
7. Christopher C.I., Lloyd N.Ci. On the paper of Jin and Wang cont cerning the conditions for a centre in
certain cubic systems // Bull. London Math. Soc. 1990. V. 22. P. 5-12.
8. Lloyd N.G., Pearson J.M. Conditions for a centre and the bifurcation of limit cycles in a class of cubic
systems // Bifurcations of Planar Vector Fields. Lect. Notes in Math. 1990. V. 1455. P. 230-242.
9. Садовский А.П. Полиномиальные идеалы и многообразия. Минск, 2008.
10. Садовский А.П., Маковецкая Т.В., Чергинец Д.Н. Радикал идеала фокусных величин комплексной
системы Куклеса // Журн. Белорус. гос. ун-та. Математика. Информатика. 2017. № 2. C. 4-11.
11. Отроков Н.Ф. Аналитические интегралы и предельные циклы. Горький, 1972.
12. Руденок А.Е., Шуба А.С. Базис Гребнера идеала ляпуновских величин системы Куклеса // Матери-
алы Междунар. науч. конф. “Шестые Богдановские чтения по обыкновенным дифференциальным
уравнениям”. 7-10 декабря 2015 г. Минск, 2015. Ч. 1. С. 86-87.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№2
2023
3∗
182
РУДЕНОК, ВАСИЛЕВИЧ
13. Christopher C. Estimating limit cycle bifurcations from centers // Differential Equations with Symbolic
Computation. Trends in Mathematics. Birkhäuser Basel, 2005. P. 23-35.
14. Cruz L., Romanovski V.G., Torregrosa J. The center and cyclicity problems for quartic linear-like
reversible systems // Nonlin. Anal. 2020. V. 190. P. 1-19.
15. Chicone C., Jacobs M. Bifurcation of critical periods for plane vector fields // Trans. Amer. Math. Soc.
1989. V. 312. № 2. P. 433-486.
16. Chicone C., Jacobs M. Bifurcation of limit cycles from quadratic isochrones // J. Differ. Equat. 1991.
V. 91. № 2. P. 268-326.
17. Han M. Liapunov constants and Hopf cyclicity of Liénard systems // Ann. Differ. Equat. 1999. V. 15.
№ 2. P. 113-126.
18. Руденок А.Е. О предельных циклах двумерной автономной системы с нелинейностями третьей сте-
пени // Дифференц. уравнения. 1987. Т. 23. № 5. С. 825-834.
19. Андронов А.А., Леонтович Е.А., Гордон И.И., Майер А.Г. Теория бифуркаций динамических сис-
тем на плоскости. М., 1967.
Белорусский государственный университет,
Поступила в редакцию 22.11.2022 г.
г. Минск
После доработки 22.11.2022 г.
Принята к публикации 20.01.2023 г.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№2
2023
