ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2023, том 59, № 2, с.193-207
УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
УДК 517.956.4
О ФУНДАМЕНТАЛЬНОМ РЕШЕНИИ
ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
С ДИНИ-НЕПРЕРЫВНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
© 2023 г. Е. А. Бадерко, К. В. Семенов
Рассматривается параболическое уравнение с одной пространственной переменной с Дини-
непрерывными коэффициентами. Для этого уравнения доказывается существование клас-
сического фундаментального решения и приводятся оценки. Условие на характер непре-
рывности старшего коэффициента уравнения является точным для существования фунда-
ментального решения.
DOI: 10.31857/S0374064123020061, EDN: PUMUJR
Введение. Хорошо известно, что для равномерно-параболического уравнения с коэффи-
циентами, удовлетворяющими условию Гёльдера, существует классическое фундаментальное
решение, которое строится методом Леви (см., например, [1, с. 404]).
В работе [2] доказано существование фундаментального решения для параболического
уравнения произвольного порядка с одной пространственной переменной в случае Дини-непре-
рывных коэффициентов уравнения, если соответствующий модуль непрерывности ω0 удовле-
творяет условию Дини “дважды”, а именно, если
y
∫z
∫
ω0(z) = y-1 dy ω0(ξ)ξ-1 dξ < +∞, z > 0.
0
0
В дальнейшем этот результат был обобщен на случай параболических систем второго порядка
с одной пространственной переменной (см. [3]). В статье [4] доказано существование класси-
ческого фундаментального решения для одного уравнения со многими пространственными
переменными при приведённом выше условии “дважды”-Дини. Во всех этих работах исполь-
зуется классический метод Леви.
С другой стороны, в статье [5] показано, что в случае, когда старший коэффициент урав-
нения не удовлетворяет условию Дини (см. ниже (1)), а именно, если не выполнено условие
сходимости соответствующего интеграла, классическое фундаментальное решение может не
существовать.
До сих пор оставался открытым вопрос, можно ли построить фундаментальное решение
для параболического уравнения с Дини-непрерывными коэффициентами, если модуль непре-
рывности удовлетворяет только условию Дини (см. ниже (1)). Сложность построения фунда-
ментального решения в этом случае заключается в том, что прямое использование классиче-
ского метода Леви не позволяет отказаться от условия “дважды”-Дини, приведённого выше.
В настоящей работе доказано существование классического фундаментального решения
для параболического уравнения с одной пространственной переменной при условии Дини (см.
ниже (1)), т.е., как следует из [5], при точных условиях на характер гладкости старшего коэф-
фициента уравнения. Для этого предложен метод, который можно назвать модифицированным
методом Леви. Отличие от классического метода заключается в конструкции интегрального
слагаемого (объёмного потенциала) в представлении фундаментального решения, а именно
в этом потенциале используется ядро специального вида (параметрикс), которое строится с
помощью регуляризованных коэффициентов уравнения.
Кроме того, в настоящей статье допускается определённый рост младших коэффициентов
уравнения при t → 0 + .
193
194
БАДЕРКО, СЕМЕНОВ
Статья состоит из четырёх пунктов. В п. 1 приводятся необходимые сведения и форму-
лируется основная теорема. В п. 2 строится параметрикс Γ0. Фундаментальное решение для
параболического уравнения, в котором отсутствует младший член, строится в п. 3. В п. 4
приводится доказательство основной теоремы.
1. Необходимые сведения и формулировка основного результата. Функцию ω :
[0, +∞) → [0, +∞) называем модулем непрерывности, если (см. [6, с. 147]): ω(0) = 0; ω не
убывает; ω непрерывна на [0, +∞); ω полуаддитивна, т.е. ω(z1 + z2) ≤ ω(z1) + ω(z2).
Если ω - модуль непрерывности, то
ω(x)
ω(y)
≤2
,
x ≥ y > 0.
x
y
Для модуля непрерывности справедливо неравенство (см. [7])
ω(|x|) exp(-|x|2/t) ≤ Cω(t1/2) exp(-c|x|2/t), x ∈ R, t > 0,
при некоторых постоянных C, c > 0. Говорят, что модуль непрерывности ω удовлетворяет
условию Дини, если
∫x
ω(z)
ω(x) =
dz < +∞, x > 0.
(1)
z
0
В этом случае функция ω также является модулем непрерывности, причём ω(x) ≤ 2ω(x).
Пусть D = {(x, t) ∈ R2 : 0 < t ≤ T }. В полосе D рассматривается равномерно-параболи-
ческий оператор
∂u
∂2u
∂u
Lu =
- a(x, t)
+ b(x, t)
+ c(x, t)u.
∂t
∂x2
∂x
Предполагаем, что коэффициенты оператора L - вещественнозначные функции, при этом
коэффициент a задан в
D,коэффициентыbиcзаданывD,ивыполненыусловия:
(a) δ ≤ a(x, t) ≤ A, (x, t) ∈D, для некоторых δ, A > 0;
(b) функция a непрерывна в
D, причём имеет место оценка
|Δxa(x, t)| ≤ ω0(|Δx|), (x, t), (x + Δx, t) ∈D,
где ω0 - модуль непрерывности, удовлетворяющий условию Дини, функции b и c непре-
рывны в D и
ω0(t1/2)
ω0(|Δx|)
|b(x, t)| ≤
,
|Δxb(x, t)| ≤
,
t1/2
t1/2
ω0(t1/2)
ω0(|Δx|)
|c(x, t)| ≤
,
|Δxc(x, t)| ≤
,
t
t
(x, t), (x + Δx, t) ∈ D.
Здесь и далее для любой функции f(x, t) обозначаем Δxf(x, t) = f(x + Δx, t) - f(x, t).
D× D:t>τ}.ФункциюΓ(x,t;ξ,τ),(x,t;ξ,τ)∈D∗,
Положим D∗ = {(x, t; ξ, τ) ∈
называем фундаментальным решением уравнения Lu = 0, если:
1) функции Γ, ∂Γ/∂t, ∂Γ/∂x, ∂2Γ/∂x2 непрерывны в D∗;
2) при любых фиксированных (ξ, τ) из R × [0, T ) функция Γ(x, t; ξ, τ) удовлетворяет
уравнению Lu = 0 по переменным (x, t) ∈ R × (τ, T ];
3) для любой непрерывной финитной функции h(x), x ∈ R, и для любого τ ∈ [0, T )
интеграл (потенциал Пуассона)
+∞
u(x, t) =
Γ(x, t; ξ, τ)h(ξ) dξ, x ∈ R, τ ≤ t ≤ T,
-∞
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№2
2023
О ФУНДАМЕНТАЛЬНОМ РЕШЕНИИ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
195
является ограниченным решением задачи Коши
Lu = 0 в R × (τ,T], u(x,τ) = h(x), x ∈ R.
Из единственности решения задачи Коши (см., например, [1, с. 29]) следует, что фунда-
ментальное решение уравнения Lu = 0 единственно.
Пусть ρ ∈ C∞(R) - функция, определённая равенствами ρ(x) = C exp(1/(x2 - 1)) при
|x| < 1 и ρ ≡ 0 при |x| ≥ 1, где постоянная C выбирается из условия
∫
ρ(y) dy = 1.
-∞
Введём обозначения
+∞
∫
1
(x-y)
â(x, t; s) =
a(x - sy, t)ρ(y) dy =
a(y, t)ρ
dy, (x, t) ∈D, s ≥ 0,
s
s
−∞
-∞
и
∫t
Q(x, t, τ; r) =
â(x, θ; r1/4) dθ, x ∈ R,
0 ≤ τ < t ≤ T, r ≥ 0.
τ
Рассмотрим функцию
∫
1
Z(x, t; z, τ; r) =
eixσ exp(-Q(z,t,τ;r)σ2) dσ =
2π
-∞
(
)
1
x2
=
exp
-
,
(2πQ(z, t, τ; r))1/2
4Q(z, t, τ; r)
x,z ∈ R, 0 ≤ τ < t ≤ T, r ≥ 0, и положим (см. [8, с. 17])
(
)
1
x2
Z1(x,t;ξ,τ) ≡ Z(x,t;ξ,τ;0) =
exp
-
,
(x, t; ξ, τ) ∈ D∗.
(2πQ(ξ, t, τ; 0))1/2
4Q(ξ, t, τ; 0)
Основным результатом работы является следующая
Теорема. Пусть для коэффициентов оператора L выполнены условия (a) и (b). Тогда для
уравнения Lu = 0 существует фундаментальное решение Γ(x, t; ξ, τ), (x, t; ξ, τ) ∈ D∗, и для
него выполнены оценки
(
)
∂k+lΓ
(x - ξ)2
x,t;ξ,τ)
C(t - τ)-(1+2l+k)/2 exp -c
,
(2)
≤
∂tl∂xk(
t-τ
при этом для разности
W (x, t; ξ, τ) ≡ Γ(x, t; ξ, τ) - Z1(x - ξ, t; ξ, τ)
справедливы неравенства
(
)
∂k+lW
(x - ξ)2
x,t;ξ,τ)
Cω˜0((t - τ)1/2)(t - τ)-(1+2l+k)/2 exp -c
,
(3)
≤
∂tl∂xk (
t-τ
(x, t; ξ, τ) ∈ D∗, 0 ≤ 2l + k ≤ 2.
4
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№2
2023
196
БАДЕРКО, СЕМЕНОВ
Здесь и далее через C и c обозначены положительные постоянные, зависящие от коэф-
фициентов a, b, c и числа T, конкретный вид которых для нас не важен.
2. Параметрикс Γ0(x - ξ, t; x, τ). Функции â(x,t;s) обладают свойствами
δ ≤ â(x,t;s) ≤ A,
|â(x,t;s) - a(x,t)| ≤ ω0(s),
∂kâ
Ck
∂kâ
Ck
x,t;s)
,
ω0(|Δx|),
≤
Δ
≤
∂xk(
sk
x∂xk(x,t;s)
sk
где (x, t), (x + Δx, t) ∈D, s > 0, k ∈ N⋃ {0}.
Из этих свойств следуют неравенства
δ(t - τ) ≤ Q(x, t, τ; r) ≤ A(t - τ), x ∈ R,
0 ≤ τ < t ≤ T, r ≥ 0,
|Q(x, t, τ; r) - Q(x, t, τ; 0)| ≤ Cω0(r1/4)(t - τ),
∂kQ
x,t,τ;r)
Ck(t - τ)(r-1/4)k,
≤
∂xk (
∂kQ
Ckω0(|Δx|)(t - τ)(r-1/4)k,
Δ
≤
x ∂xk (x,t,τ;r)
здесь x ∈ R, 0 ≤ τ < t ≤ T, r > 0, k ∈ N.
Функция Z(x - ξ, t; z, τ; r) является фундаментальным решением уравнения
∂u
∂2u
(x, t) - â(z, t; r1/4)
(x, t) = 0
∂t
∂x2
с коэффициентом, зависящим от параметров z ∈ R, r ≥ 0, и обладает свойствами
∫
Z(x - ξ, t; z, τ; r) dξ = 1,
(4)
−∞
(
)
∂l+kZ
(x - ξ)2
x - ξ,t;z,τ;r)
Ck,l(t - τ)-(1+2l+k)/2 exp -c
,
(5)
≤
∂tl∂xk(
t-τ
∂kZ
∂kZ
x - ξ,t;z,τ;r) -
(x - ξ, t; z, τ; 0)
≤
∂xk (
∂xk
(
)
(x - ξ)2
≤ Ckω0(r1/4)(t - τ)-(1+k)/2 exp -c
,
t-τ
(
)
∂l+kZ
ω0(|Δz|)
(x - ξ)2
Ck,l
exp
-c
,
Δ
≤
z∂tl∂xk(x-ξ,t;z,τ;r)
(t - τ)(1+2l+k)/2
t-τ
x,ξ,z ∈ R, 0 ≤ τ < t ≤ T, r ≥ 0, k,l ≥ 0.
Кроме того, для полных производных функции Z(x - ξ, t; x, τ; r) по переменной x
спра-
ведливы неравенства
(
)∑k
∂k
C
(x - ξ)2
(t - τ)l/2
(x - ξ, t; x, τ; r)
exp
-c
,
(6)
≤
l/4
∂xkZ
(t - τ)(k+1)/2
t-τ
r
l=0
x,ξ ∈ R, 0 ≤ τ < t ≤ T, r > 0, k = 0,1,2,3.
Положим
(
)
1
r2
Z0(r,t) =
exp
-
,
r ≥ 0, t > 0,
(2πt)1/2
4t
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№2
2023
О ФУНДАМЕНТАЛЬНОМ РЕШЕНИИ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
197
и рассмотрим функцию
+∞
Γ0(x,t;z;τ) = 2
Z0(r,t - τ)Z(x,t;z,τ;r)dr, x,ξ,z ∈ R,
0≤τ <t≤T.
(7)
0
Из (4)-(6) следуют равенство
∫
Γ0(x - ξ,t;x,τ)dξ = 1
(8)
−∞
и оценки
(
)
∂k+l
(x - ξ)2
0(x - ξ, t; x, τ)
C(t - τ)-(1+2l+k)/2 exp -c
,
(9)
≤
∂tl∂xkΓ
t-τ
(x, t; ξ, τ) ∈ D∗, 0 ≤ 2l + k ≤ 2.
Заметим, что поскольку
∫
∫
∂Z0
∂2Z0
(r, t - τ) dr =
(r, t - τ) dr = 0, t > τ,
∂t
∂r2
0
0
то справедливо представление
∫
(
)
∂Z0
(r, t - τ) Z(x - ξ, t; x, τ; r) dr =
∂t
0
+∞
(
)
∂Z0
=
(r, t - τ) (Z(x - ξ, t; x, τ; r) - Z(x - ξ, t; x, τ; 0)) dr, (x, t; ξ, τ) ∈ D∗.
(10)
∂t
0
Рассмотрим параболический оператор L1 с коэффициентами a, b, удовлетворяющими
условиям (a) и (b):
∂u
∂2u
∂u
L1u =
- a(x, t)
+ b(x, t)
∂t
∂x2
∂x
Пусть
K(x, t; ξ, τ) = L1x,tΓ0(x - ξ, t; x, τ) =
∂2Γ0
∂Γ0
= (a(ξ, t) - a(x, t))
(x - ξ, t; x, τ) + b(x, t)
(x - ξ, t; x, τ), (x, t; ξ, τ) ∈ D∗.
(11)
∂x2
∂x
Обозначим ω1(x) = ω0(x1/4), x ≥ 0. Из (8) и (9)-(11) следуют равенство
∫
K(x, t; ξ, τ) dξ = 0, x ∈ R,
0≤τ <t≤T,
(12)
−∞
и оценки
(
)
2
ω1((t - τ)1/2)
(x - ξ)
|K(x, t; ξ, τ)| ≤ C
exp
-c
,
(13)
(t - τ)3/2
t-τ
(
(
)
(
))
ω1(|Δx|)
(x - ξ)2
(x + Δx - ξ)2
|ΔxK(x, t; ξ, τ)| ≤ C
exp
-c
+ exp
-c
,
(14)
(t - τ)3/2
t-τ
t-τ
(x, t; ξ, τ), (x + Δx, t; ξ, τ) ∈ D∗.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№2
2023
4∗
198
БАДЕРКО, СЕМЕНОВ
Пусть функция μ непрерывна в D∗ и удовлетворяет условиям
(
)
2
ω((t - τ)1/2)
(x - ξ)
|μ(x, t; ξ, τ)| ≤
exp
-c
,
(t - τ)3/2
t-τ
(
(
)
(
))
ω(|Δx|)
(x + Δx - ξ)2
(x - ξ)2
|Δxμ(x, t; ξ, τ)| ≤
exp
-c
+ exp
-c
,
(t - τ)3/2
t-τ
t-τ
(x, t; ξ, τ), (x + Δx, t; ξ, τ) ∈ D∗, где ω - некоторый модуль непрерывности, удовлетворяющий
условию Дини (1). Рассмотрим объёмный потенциал
∫t
∫
V μ(x,t;ξ,τ) =
dη Γ0(x - y, t; x, η)μ(y, η; ξ, τ) dy, (x, t; ξ, τ) ∈ D∗,
τ
-∞
где функция Γ0 задана формулой (7). Из (8) и (9) следует, что потенциал V μ имеет непре-
рывные в D∗ производные
∫
t
∫
∂V μ
∂
(x, t; ξ, τ) =
dη
Γ0(x - y,t;x,η)μ(y,η;ξ,τ)dy,
(15)
∂x
∂x
τ
-∞
∫
t
∫
∂2Vμ
∂2
(x, t; ξ, τ) =
dη
Γ0(x - y,t;x,η)μ(y,η;ξ,τ)dy =
∂x2
∂x2
τ
-∞
∫t
∫
∂2
= dη
Γ0(x - y,t;x,η)[μ(y,η;ξ,τ) - μ(x,η;ξ,τ)]dy,
(16)
∂x2
τ
-∞
∫t
∫
∂V μ
∂Γ0
(x, t; ξ, τ) = μ(x, t; ξ, τ) +
dη
(x - y, t; x, η)μ(y, η; ξ, τ) dy =
∂t
∂t
τ
-∞
∫t
∫
∂Γ0
= μ(x,t;ξ,τ) + dη
(x - y, t; x, η)[μ(y, η; ξ, τ) - μ(x, η; ξ, τ)] dy,
(17)
∂t
τ
-∞
и справедливы оценки
(
)
∂k+lVμ
ω((t - τ)1/2)
(x - ξ)2
x,t;ξ,τ)
C
exp
-c
,
(18)
≤
∂tl∂xk (
(t - τ)(1+2l+k)/2
t-τ
(x, t; ξ, τ) ∈ D∗, 0 ≤ 2l + k ≤ 2. Из (15)-(17) следует равенство
∫t
∫
L1x,tV μ(x,t;ξ,τ) = μ(x,t;ξ,τ) +
dη K(x - y, t; x, η)μ(y, η; ξ, τ) dy, (x, t; ξ, τ) ∈ D
∗.
(19)
τ
-∞
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№2
2023
О ФУНДАМЕНТАЛЬНОМ РЕШЕНИИ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
199
3. Фундаментальное решение для оператора L1.
Лемма 1. Пусть ω - модуль непрерывности, удовлетворяющий условию Дини и
∫t
ω(τ1/2)
Jλ,ω(t) =
e-λτ dτ, t ≥ 0, λ > 0.
τ
0
Тогда для любого ε > 0 существует число λ = λ(ε) > 0 такое, что для всех λ ≥ λ(ε)
выполняется неравенство
Jλ,ω(t) ≤ ε, t ≥ 0.
Доказательство. Пусть ε > 0 произвольно. Фиксируем t0 > 0 так, что Jλ,ω(t0) ≤
≤ 2ω(√t0) < ε/2. Из этой оценки сразу следует утверждение леммы для t ∈ (0,t0]. Если
t > t0, то имеют место неравенства
t
∫
ω(t01/2)
e-λτ
ε
1
Jλ,ω(t) ≤ Jλ,ω(t0) + 2
dτ ≤
+C
,
t01/2
τ1/2
2
λ1/2
t0
откуда, выбирая λ достаточно большим, получаем утверждение леммы.
В этом и только в этом пункте зафиксируем постоянную c из оценок (13), (14) и через H
обозначим линейное пространство непрерывных в D∗ функций μ, для которых конечна ве-
личина
(
3/2
(t - τ)
(c (x - ξ)2))
∥μ∥H = sup
|μ(x, t; ξ, τ)|
exp
+
D∗
ω1((t - τ)1/2)
4
t-τ
(
(
(
)
(
))-1)
(t - τ)3/2
c (x + Δx - ξ)2
c (x - ξ)2
+ sup
|Δxμ(x, t; ξ, τ)|
exp
-
+ exp
-
D∗
ω1(|Δx|)
4
t-τ
4
t-τ
Отметим, что H - банахово пространство с нормой ∥μ∥H .
Лемма 2. Для любой функции F ∈ H интегральное уравнение
∫t
∫
μ(x, t; ξ, τ) +
dη K(x - y, t; x, η)μ(y, η; ξ, τ) dy = F (x, t; ξ, τ), (x, t; ξ, τ) ∈ D∗,
(20)
τ
-∞
имеет единственное решение μ ∈ H и справедливо неравенство
∥μ∥H ≤ C∥F ∥H .
(21)
Доказательство. Умножим обе части уравнения (20) на e-λ(t-τ), где λ > 0 будет вы-
брано ниже. Тогда получим эквивалентное (20) уравнение
∫t
∫
μ∗(x,t;ξ,τ)+ dη
K(λ)(x-y,t;x,η)μ∗(y,η;ξ,τ)dy = F(λ)(x,t;ξ,τ), (x,t;ξ,τ) ∈ D∗, (22)
τ
-∞
где K(λ)(x-y, t; x, η)=K(x-y, t; x, η)e-λ(t-η) , F(λ)(x, t; ξ, τ)=F (x, t; ξ, τ)e-λ(t-τ) , μ∗(x, t; ξ, τ)=
= μ(x,t;ξ,τ)e-λ(t-τ).
Через A(λ) обозначим линейный оператор, действующий на функции μ ∈ H по формуле
∫t
∫
A(λ)μ(x,t;ξ,τ) =
dη K(λ)(x - y, t; x, η)μ(y, η; ξ, τ) dy, (x, t; ξ, τ) ∈ D∗.
τ
-∞
Докажем, что для достаточно большого λ > 0 оператор A(λ) : H → H является сжимающим.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№2
2023
200
БАДЕРКО, СЕМЕНОВ
Установим сначала, что существует λ1 > 0 такое, что для любой функции μ ∈ H и для
любых λ ≥ λ1 справедливо неравенство
(
)
2
1
ω1((t - τ)1/2)
c (x - ξ)
|A(λ1)μ(x, t; ξ, τ)| ≤
∥μ∥H
exp
-
,
(x, t; ξ, τ) ∈ D∗.
(23)
4
(t - τ)3/2
4
t-τ
Имеем (см. оценку (13)) соотношения
t
∫
ω1((t - η)1/2) ω1((η - τ)1/2)
|A(λ)μ| ≤ C∥μ∥H e-λ(t-η)
dη ×
(t - η)3/2
(η - τ)3/2
τ
+∞
(
)
(
)
c (x - y)2
c (y - ξ)2
× exp -
exp
-
dy =
4
t-η
4
η-τ
−∞
(
)∫ t
1
c (x - ξ)2
ω1((t - η)1/2) ω1((η - τ)1/2)
= C∥μ∥H
exp
-
e-λ(t-η)
dη.
(t - τ)1/2
4
t-τ
t-η
η-τ
τ
Но выполняется оценка
∫
∫
t
)ω1((t - η)1/2) ω1((η - τ)1/2)
ω1((t - τ)1/2)
+
e-λ(t-η) dη ≤ C
Jλ,ω1 (t),
t-η
η-τ
t-τ
τ
(t+τ)/2
поэтому
(
)
2
ω1((t - τ)1/2)
c (x - ξ)
|A(λ)
μ(x, t; ξ, τ)| ≤ C∥μ∥H
exp
-
Jλ,ω1 (t)
(t - τ)3/2
4
t-τ
и, следовательно (см. лемму 1), существует λ1 > 0 такое, что для любых λ ≥ λ1 верно
неравенство (23).
Покажем далее, что существует число λ2 > 0 такое, что для любой функции μ ∈ H и для
любых λ ≥ λ2 справедлива оценка
(
(
)
(
))
1
ω1(|Δx|)
c (x + Δx - ξ)2
c (x - ξ)2
|ΔxA(λ)μ(x, t; ξ, τ)| ≤
∥μ∥H
exp
-
+ exp
-
,
(24)
4
(t - τ)3/2
4
t-τ
4
t-τ
(x, t; ξ, τ), (x + Δx, t; ξ, τ) ∈ D∗.
В случае 2|Δx|2 ≥ t - τ неравенство (24) сразу следует из (23). Пусть 2|Δx|2 ≤ t - τ.
В этом случае в силу (12) справедливо представление
∫t
∫
ΔxA(λ)μ(x,t;ξ,τ) =
dη K(λ)(x + Δx - y, t; x + Δx, η)[μ(y, η; ξ, τ) - μ(x + Δx, η; ξ, τ)] dy -
t-|Δx|2
-∞
∫t
∫
−
dη K(λ)(x - y, t; x, η)[μ(y, η; ξ, τ) - μ(x, η; ξ, τ)] dy +
t-|Δx|2
-∞
∫
∫
+
dη (μ(y, η; ξ, τ) - μ(x, η; ξ, τ))ΔxK(λ)(x - y, t; x, η) dy +
(t+τ)/2
-∞
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№2
2023
О ФУНДАМЕНТАЛЬНОМ РЕШЕНИИ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
201
∫
∫
+
dη ΔxK(λ)(x - y, t; x, η)μ(y, η; ξ, τ) dy ≡ I1 - I2 + I3 + I4.
τ
-∞
Оценим интеграл I1 :
∫t
∫
(
)
ω1((t - η)1/2)
(x + Δx - y)2
|I1| ≤ C∥μ∥H
dη
e-λ(t-η) exp -c
×
(t - η)3/2
t-η
t-|Δx|2
-∞
(
(
)
(
))
ω1(|x + Δx - y|)
c (y - ξ)2
c (x + Δx - ξ)2
×
exp
-
+ exp
-
dy ≤
(η - τ)3/2
4
η-τ
4
η-τ
(
) ∫ t
ω1(|Δx|)
c (x + Δx - ξ)2
ω1((t - η)1/2)
≤ C∥μ∥H
exp
-
e-λ(t-η) dη ≤
(t - τ)3/2
4
t-τ
t-η
t-|Δx|2
(
)
ω1(|Δx|)
c (x + Δx - ξ)2
≤ C∥μ∥H
exp
-
Jλ,ω1 (t).
(t - τ)3/2
4
t-τ
Аналогично для I2 получаем оценку
(
)
ω1(|Δx|)
c (x - ξ)2
|I2| ≤ C∥μ∥H
exp
-
Jλ,ω1(t).
(t - τ)3/2
4
t-τ
Оценим I3, пользуясь неравенством (a - b)2 ≥ a2/2 - b2, a, b ∈ R:
∫
∫
(
)
ω1(|Δx|)
c (x - y)2
|I3| ≤ C∥μ∥H
dη e-λ(t-η)
exp
-
×
(t - η)3/2
2
t-η
(t+τ)/2
-∞
(
(
)
(
))
ω1(|x - y|)
c (y - ξ)2
c (x - ξ)2
×
exp
-
+ exp
-
dy ≤
(η - τ)3/2
4
η-τ
4
η-τ
(
∫
ω1(|Δx|)
c (x - ξ)2
ω1((t - η)1/2)
≤ C∥μ∥H
exp
-
e-λ(t-η) dη ≤
(t - τ)3/2
4
t-τ
t-η
(t+τ)/2
(
)
ω1(|Δx|)
c (x - ξ)2
≤ C∥μ∥H
exp
-
Jλ,ω1 (t).
(t - τ)3/2
4
t-τ
Наконец, оценим I4 :
∫
∫
(
)
ω1(|Δx|)
c (x - y)2
|I4| ≤ C∥μ∥H
dη
exp
-
×
(t - η)3/2
2
t-η
τ
-∞
(
2
)
ω1((η - τ)1/2)
c (y - ξ)
×
exp
-
e-λ(t-η) dy ≤
(η - τ)3/2
4
η-τ
(
∫
ω1(|Δx|)
c (x - ξ)2
ω1((η - τ)1/2)
≤ C∥μ∥H
exp
-
e-λ(η-τ) dη ≤
(t - τ)3/2
4
t-τ
η-τ
τ
(
)
ω1(|Δx|)
c (x - ξ)2
≤ C∥μ∥H
exp
-
Jλ,ω1 (t).
(t - τ)3/2
4
t-τ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№2
2023
202
БАДЕРКО, СЕМЕНОВ
Из оценок для интегралов I1, I2, I3, I4 и из леммы 1, выбрав достаточно большое λ2 > 0,
получаем (24).
Полагая λ0 = max(λ1, λ2), заключаем, что для оператора A(λ0) : H → H выполняется
неравенство ∥A(λ0)∥ ≤ 1/2, и, следовательно, оператор A(λ0) : H → H является сжимающим.
Поэтому интегральное уравнение (22) для λ = λ0 имеет единственное решение μ∗ ∈ H. Воз-
вращаясь к уравнению (20), приходим к выводу, что функция μ(x, t; ξ, τ) = μ∗(x, t; ξ, τ)eλ0 (t-τ)
является единственным решением уравнения (20) из пространства H и справедливо неравен-
ство (21). Лемма доказана.
Лемма 3. Пусть коэффициенты уравнения L1u = 0 удовлетворяют условиям (a) и (b).
Тогда для уравнения L1u=0 существует фундаментальное решение Γ1(x, t; ξ, τ), (x, t; ξ, τ) ∈
∈ D∗. Оно имеет вид
Γ1(x,t;ξ,τ) = Z1(x - ξ,t;ξ,τ) + W0(x,t;ξ,τ),
(25)
где
∫t
∫
W0(x,t;ξ,τ) =
dη Γ0(x - y, t; x, η)μ(y, η; ξ, τ) dy,
(26)
τ
-∞
μ ∈ H - решение интегрального уравнения
∫t
∫
μ(x, t; ξ, τ) +
dη K(x - y, t; x, η)μ(y, η; ξ, τ) dy =
τ
-∞
= -L1x,tZ1(x - ξ,t;ξ,τ),(x,t;ξ,τ) ∈ D∗,
(27)
и справедливы оценки
(
)
∂k+lΓ1
c (x - ξ)2
x,t;ξ,τ)
C(t - τ)-(1+2l+k)/2 exp -
,
(28)
≤
∂tl∂xk(
4
t-τ
причём
(
)
∂k+lW0
ω1((t - τ)1/2)
c (x - ξ)2
x,t;ξ,τ)
C
exp
-
,
(29)
≤
∂tl∂xk (
(t - τ)(1+2l+k)/2
4
t-τ
(x, t; ξ, τ) ∈ D∗, 0 ≤ 2l + k ≤ 2.
Доказательство. Ищем фундаментальное решение уравнения L1u = 0 в виде
∫t
∫
Γ1(x,t;ξ,τ) = Z1(x - ξ,t;ξ,τ) + dη
Γ0(x - y,t;x,η)μ(y,η;ξ,τ)dy,
(30)
τ
-∞
(x, t; ξ, τ) ∈ D∗, где μ ∈ H - функция, подлежащая определению.
Потребуем, чтобы функция Γ1 для любых фиксированных ξ ∈ R и τ ∈ [0, T ) удовлетво-
ряла уравнению L1u = 0 по переменным x и t:
L1x,tΓ1(x,t;ξ,τ) = 0.
Тогда (см. (19)) для отыскания функции μ ∈ H получаем интегральное уравнение (27). В силу
свойств функции Z1 правая часть (27) принадлежит пространству H и, следовательно, в силу
леммы 2 уравнение (27) имеет единственное решение μ ∈ H. Подставляя это решение в (30),
определяем функцию Γ1.
Из (5) и (18) следует, что определённая таким образом функция Γ1 непрерывна в D∗
вместе со своими производными ∂Γ1/∂t, ∂Γ1/∂x, ∂2Γ1/∂x2 и справедливы оценки (28) и (29).
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№2
2023
О ФУНДАМЕНТАЛЬНОМ РЕШЕНИИ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
203
Кроме того, в силу (4) для любой непрерывной и ограниченной функции h(x), x ∈ R,
справедливо соотношение
∫
lim
Γ1(x,t;ξ,τ)h(ξ)dξ = h(x0), x0 ∈ R,
0≤τ <T.
(x,t)→(x0,τ+0)
−∞
Таким образом, функция Γ1 из (25) является фундаментальным решением уравнения
L1u = 0. Лемма доказана.
Замечание. Из единственности решения задачи Коши следует равенство
∫
Γ1(x,t;ξ,τ)dξ = 1, x ∈ R,
0≤τ <t≤T.
(31)
−∞
Уточним теперь оценку (29).
Лемма 4. Пусть выполнены условия леммы 3 и Γ1 - фундаментальное решение уравнения
L1u = 0. Тогда для функции W0 из (26) справедливы представление
∫t
∫
W0(x,t;ξ,τ) = - dη
Γ1(x,t;y,η)L1y,ηZ1(y - ξ,η,ξ,τ)dy
τ
-∞
и оценки
(
)
∂k+lW0
ω0((t - τ)1/2)
c (x - ξ)2
x,t;ξ,τ)
C
exp
-
,
(32)
≤
∂tl∂xk (
(t - τ)(1+2l+k)/2
4
t-τ
(x, t; ξ, τ) ∈ D∗, 0 ≤ 2l + k ≤ 2.
Доказательство. Положим
∂2Z1
∂Z1
ν(x, t; ξ, τ) = L1x,tZ1(x - ξ, t; ξ, τ) = (a(ξ, t) - a(x, t))
(x - ξ, t; ξ, τ) + b(x, t)
(x - ξ, t; ξ; τ)
∂x2
∂x
и
∫t
∫
W1(x,t;ξ,τ) = - dη
Γ1(x,t;y,η)L1y,ηZ1(y - ξ,η,ξ,τ)dy, (x,t;ξ,τ) ∈ D∗.
τ
-∞
Функция ν ∈ H, поэтому потенциал W1 имеет непрерывные в D∗ производные (см. (31))
t
∫
∫
∂W1
∂Γ1
(x, t; ξ, τ) = - dη
(x, t; y, η)ν(y, η; ξ, τ) dy,
(33)
∂x
∂x
τ
-∞
∫
t
∫
∂2W1
∂2Γ1
(x, t; ξ, τ) = - dη
(x, t; y, η)ν(y, η; ξ, τ) dy =
∂x2
∂x2
τ
-∞
∫t
∫
∂2Γ1
= - dη
(x, t; y, η)[ν(y, η; ξ, τ) - ν(x, η; ξ, τ)] dy,
(34)
∂x2
τ
-∞
∫
t
∫
∂W1
∂Γ1
(x, t; ξ, τ) = -ν(x, t; ξ, τ) -
dη
(x, t; y, η)ν(y, η; ξ, τ) dy =
∂t
∂t
τ
-∞
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№2
2023
204
БАДЕРКО, СЕМЕНОВ
∫t
∫
∂Γ1
= -ν(x,t;ξ,τ) - dη
(x, t; y, η)[ν(y, η; ξ, τ) - ν(x, η; ξ, τ)] dy.
(35)
∂t
τ
-∞
Отсюда, в частности, следует равенство
∫t
∫
L1x,tW1(x,t;ξ,τ) = -ν(x,t;ξ,τ) - dη
L1x,tΓ1(x,t;y,η)ν(y,η;ξ,τ)dy = -ν(x,t;ξ,τ).
(36)
τ
-∞
Из (33)-(35) и того, что ν ∈ H, получаем оценки
(
)
∂k+lW1
ω0((t - τ)1/2)
c (x - ξ)2
x,t;ξ,τ)
C
exp
-
,
(37)
≤
∂tl∂xk (
(t - τ)(1+2l+k)/2
4
t-τ
(x, t; ξ, τ) ∈ D∗, 0 ≤ 2l + k ≤ 2.
Из равенства (36) заключаем, что сумма Z1(x - ξ, t; ξ, τ) + W1(x, t; ξ, τ) также является
фундаментальным решением уравнения L1u = 0 и, следовательно, совпадает с Γ1(x, t; ξ, τ).
Отсюда делаем вывод, что W1 ≡ W0 в D∗ и (см. (37)) справедливы оценки (32). Лемма
доказана.
4. Доказательство основной теоремы. Пусть Γ1 - фундаментальное решение уравне-
ния L1u = 0, существование которого доказано в лемме 3. Для Γ1 имеют место оценки
(
)
∂k+lΓ1
(x - ξ)2
x,t;ξ,τ)
C(t - τ)-(1+2l+k)/2
exp
-c1
,
(38)
≤
∂tl∂xk(
t-τ
(x, t; ξ, τ) ∈ D∗, 0 ≤ 2l + k ≤ 2.
В этом и только в этом пункте зафиксируем постоянную c1 из неравенства (38).
Пусть H1 - множество непрерывных функций ν : D∗ → R, для которых конечна величина
(
)
t1/2(t - τ)
(x - ξ)2
∥ν∥H1 = sup
exp c1
|ν(x, t; ξ, τ)|.
D∗ ω0((t - τ)1/2)
t-τ
Заметим, что H1 - банахово пространство c нормой ∥ν∥H1 .
Лемма 5. Пусть Γ1 - фундаментальное решение уравнения L1u = 0. Тогда интегральное
уравнение
∫t
∫
(
)
ν(x, t; ξ, τ) + dη
c(x, t)Γ1(x, t; y, η) ν(y, η; ξ, τ) dy = F1(x, t; ξ, τ), (x, t; ξ, τ) ∈ D∗,
(39)
τ
-∞
где F1(x, t; ξ, τ) = -c(x, t)Γ1(x, t; ξ, τ), имеет единственное решение ν ∈ H1. Для этого ре-
шения справедлива оценка
(
(
)
(
))
ω0(|Δx|)
(x + Δx - ξ)2
(x - ξ)2
|Δxν(x, t; ξ, τ)| ≤ C
exp
-c
+ exp
-c
,
(40)
t1/2(t - τ)
t-τ
t-τ
(x, t; ξ, τ), (x + Δx, t; ξ, τ) ∈ D∗.
Доказательство. Заметим, что в силу условия (b) и оценок (38) функция F1 ∈ H1.
Умножим обе части уравнения (39) на e-λ(t-τ), где λ > 0 будет выбрано ниже. Тогда получим
эквивалентное (39) интегральное уравнение
∫t
∫
ν∗(x,t;ξ,τ) + dη
e-λ(t-η)(c(x,t)Γ1(x,t;y,η))ν∗(y,η;ξ,τ)dy = F∗1(x,t;ξ,τ),
(41)
τ
-∞
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№2
2023
О ФУНДАМЕНТАЛЬНОМ РЕШЕНИИ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
205
где ν∗(x, t; ξ, τ) = ν(x, t; ξ, τ)e-λ(t-τ), F∗1(x, t; ξ, τ) = F1(x, t; ξ, τ)e-λ(t-τ).
Через B(λ) обозначим линейный оператор, действующий на функции ν ∈ H1 по формуле
∫t
∫
B(λ)ν(x,t;ξ,τ) = dη
e-λ(t-η)(c(x,t)Γ1(x,t;y,η))ν(y,η;ξ,τ)dy, (x,t;ξ,τ) ∈ D∗.
τ
-∞
Докажем, что существует число λ1 > 0 такое, что оператор B(λ1) : H1 → H1 - сжимающий.
В самом деле, имеем (см. условие (b) для коэффициента c)
(
)∫ t
2
ω0(t1/2
)
1
(x - ξ)
ω0((η - τ)1/2)
|B(λ)ν| ≤ C∥ν∥H1
exp
-c1
e-λ(t-η)
dη ≤
t
(t - τ)1/2
t-τ
η1/2(η - τ)1/2
τ
(
)∫ t
ω0((t - τ)1/2)
(x - ξ)2
ω0((η - τ)1/2)
≤ C∥ν∥H1
exp
-c1
e-λ(t-η)
dη ≤
t1/2(t - τ)
t-τ
η-τ
τ
(
)
ω0((t - τ)1/2)
(x - ξ)2
≤ C∥ν∥H1
exp
-c1
Jλ,ω0 (t).
t1/2(t - τ)
t-τ
В силу свойств интеграла Jλ,ω0 (t) (см. лемму 1) выбираем λ1 > 0 таким, что CJλ,ω0 (t) < 1/2
при любых λ ≥ λ1. Тогда для любой функции ν ∈ H1 получаем оценку
(
)
2
1
ω0((t - τ)1/2)
(x - ξ)
|B(λ)ν| ≤
∥ν∥H1
exp
-c1
,
(x, t; ξ, τ) ∈ D∗,
2
t1/2(t - τ)
t-τ
если λ ≥ λ1. Таким образом, имеем
1
∥B(λ1)ν∥H1 ≤
∥ν∥H1 .
2
Следовательно, интегральное уравнение (41) при λ = λ1 имеет единственное решение ν∗ ∈
∈ H1. Отсюда, полагая ν = ν∗eλ1(t-τ), делаем вывод, что ν ∈ H1 - единственное решение
уравнения (39).
Докажем неравенство (40). В случае t - τ ≤ |Δx|2 оценка (40) сразу следует из того, что
ν ∈H1.
Пусть t - τ > |Δx|2. Положим
∫t
∫
Bν(x,t;ξ,τ) =
dη c(x, t)Γ1(x, t; y, η)ν(y, η; ξ, τ) dy, (x, t; ξ, τ) ∈ D∗,
τ
-∞
и рассмотрим ΔxBν. Имеем
∫t
∫
|ΔxBν(x, t; ξ, τ)| ≤
dη
|Γ1(x, t; y, η)Δxc(x, t)ν(y, η; ξ, τ)| dy +
τ
-∞
∫t
∫
+ dη
|c(x + Δx, t)ΔxΓ1(x, t; y, η)ν(y, η; ξ, τ)| dy ≤
τ
-∞
(
)∫ t
ω0(|Δx|)
(x - ξ)2
ω0((η - τ)1/2)
ω0(t1/2)
|Δx|
≤C
exp
-c
dη + C
×
t(t - τ)1/2
t-τ
η-τ
t
(t - τ)1/2
τ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№2
2023
206
БАДЕРКО, СЕМЕНОВ
(
(
)
(
))∫ t
(x - ξ)2
(x + Δx - ξ)2
1
ω0((η - τ)1/2)
× exp -c
+ exp
-c
dη ≤
t-η
t-η
(t - η)1/2
η-τ
τ
(
(
)
(
))
ω0(|Δx|)
(x - ξ)2
(x + Δx - ξ)2
≤C
exp
-c
+ exp
-c
,
(42)
t1/2(t - τ)
t-η
t-η
(x, t; ξ, τ), (x + Δx, t; ξ, τ) ∈ D∗.
Оценим |ΔxF1(x, t; ξ, τ)| в случае t - τ ≤ |Δx|2 :
|ΔxF1(x, t; ξ, τ)| ≤ |Δxc(x, t)Γ1(x, t; ξ, τ)| + |c(x + Δx, t)ΔxΓ1(x, t; ξ, τ)| ≤
(
)
ω0(|Δx|)
1
(x - ξ)2
≤C
exp
-c
+
t
(t - τ)1/2
t-τ
(
(
)
(
))
ω0(t1/2
) |Δx|
(x + Δx - ξ)2
(x - ξ)2
+C
exp
-c
+ exp
-c
≤
t
t-τ
t-τ
t-τ
(
(
)
(
))
ω0(|Δx|)
(x + Δx - ξ)2
(x - ξ)2
≤C
exp
-c
+ exp
-c
t1/2(t - τ)
t-τ
t-τ
Отсюда, учитывая (42), получаем окончательно оценку (40). Лемма доказана.
Пусть ν ∈ H1 - решение интегрального уравнения (39). Тогда справедливы неравенства
(
)
2
ω0((t - τ)1/2)
(x - ξ)
|ν(x, t; ξ, τ)| ≤ C
exp
-c
(t - τ)3/2
t-τ
и
(
(
)
(
))
2
ω0(|Δx|)
(x + Δx - ξ)
(x - ξ)2
|Δxν(x, t; ξ, τ)| ≤ C
exp
-c
+ exp
-c
,
(t - τ)3/2
t-τ
t-τ
(x, t; ξ, τ), (x + Δx, t; ξ, τ) ∈ D∗.
Из этих оценок, равенства (31) и оценок (38) следует, что для функции
∫t
∫
W2(x,t;ξ,τ) =
dη Γ1(x, t; y, η)ν(y, η; ξ, τ) dy
(43)
τ
-∞
справедливы неравенства
(
)
∂k+lW2
(x - ξ)2
x,t;ξ,τ)
Cω0((t - τ)1/2)(t - τ)-(1+2l+k)/2
exp
-c1
,
(44)
≤
∂tl∂xk (
t-τ
(x, t; ξ, τ) ∈ D∗, 0 ≤ 2l + k ≤ 2.
Доказательство теоремы. Пусть ν ∈ H1 - решение интегрального уравнения (39), су-
ществование которого доказано в лемме 5, и функция W2 задана формулой (43). Тогда из
свойств функции Γ1 и оценок (44) получаем, что функция
Γ(x, t; ξ, τ) = Γ1(x, t; ξ, τ) + W2(x, t; ξ, τ), (x, t; ξ, τ) ∈ D∗,
является фундаментальным решением уравнения Lu = 0 и выполнены оценки (2).
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№2
2023
О ФУНДАМЕНТАЛЬНОМ РЕШЕНИИ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
207
Кроме того, из представления (25) следует равенство
Γ(x, t; ξ, τ) = Z1(x - ξ, t; ξ, τ) + W0(x, t; ξ, τ) + W2(x, t; ξ, τ), (x, t; ξ, τ) ∈ D∗,
из которого, учитывая оценки (32) и (44), получаем неравенства (3). Теорема доказана.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения па-
раболического типа. М., 1967.
2. Бадерко Е.А. О потенциалах для 2p-параболических уравнений // Дифференц. уравнения. 1983.
Т. 19. № 1. С. 9-18.
3. Зейнеддин М. Гладкость потенциала простого слоя для параболической системы второго порядка
в классах Дини // Деп. ВИНИТИ РАН. 16.04.92. № 1294-В92.
4. Zhenyakova I.V., Cherepova M.F. The Cauchy problem for a multi-dimensional parabolic equation with
Dini-continuous coefficients // J. of Math. Sci. 2022. V. 264. № 5. P. 581-602.
5. Ильин А.М. О фундаментальном решении параболического уравнения // Докл. АН СССР. 1962.
Т. 147. № 4. С. 768-771.
6. Дзядык В.К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. М., 1977.
7. Камынин Л.И. О гладкости тепловых потенциалов в пространстве Дини-Гёльдера // Сиб. мат.
журн. 1970. Т. 11. № 5. С. 1017-1045.
8. Эйдельман С.Д. Параболические системы. М., 1964.
Московский государственный университет
Поступила в редакцию 22.09.2022 г.
имени М.В. Ломоносова,
После доработки 22.09.2022 г.
Московский центр фундаментальной
Принята к публикации 20.01.2023 г.
и прикладной математики
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№2
2023
