ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2023, том 59, № 2, с.223-235

УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

УДК 517.956.2

КОРРЕКТНОСТЬ ОБОБЩЁННОЙ ЗАДАЧИ

САМАРСКОГО-ИОНКИНА ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ

УРАВНЕНИЙ В ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБЛАСТИ

Исследуется корректность в пространствах Соболева некоторых аналогов нелокальной за-

дачи Самарского-Ионкина для эллиптических уравнений второго порядка. Для изучаемых

задач доказываются теоремы существования и единственности регулярных решений - ре-

шений, имеющих все обобщённые по Соболеву производные, входящие в соответствующее

уравнение. Изучаются некоторые спектральные задачи для эллиптических уравнений с

нелокальным условием Самарского-Ионкина.

DOI: 10.31857/S0374064123020085, EDN: PUUISH

Введение. Нелокальными задачами для дифференциальных уравнений называют задачи

с условиями, связывающими значения решения и (или) его производных в граничных точках

со значениями решения и (или) его производных в точках иных граничных или внутренних

многообразий. Важной вехой в развитии теории нелокальных задач, особенно применитель-

но к эллиптическим уравнениям (которым и посвящена настоящая статья), явилась статья

А.В. Бицадзе и А.А. Самарского [1], опубликованная в 1969 г. В ней был предложен новый

подход к постановке нелокальных краевых задач, с тех пор он активно используется многими

авторами. С различными аспектами, связанными с теорией нелокальных краевых задач, преж-

де всего для эллиптических уравнений, можно ознакомиться в работах [2-17]; в частности, в

монографиях [11, 13, 15] можно найти обширную библиографию и примеры задач матема-

тического моделирования, приводящих к нелокальным краевым задачам для эллиптических

уравнений.

Особую роль для развития теории нелокальных краевых задач для дифференциальных

уравнений сыграли работы [18-21] (формально эти работы были связаны с параболическими

уравнениями, но предложенные в них постановки задач и использованные методы оказались

актуальными и для других классов уравнений). В [18, 19] изучалась нелокальная задача для

одномерного уравнения параболического типа второго порядка, возникающая при моделирова-

нии некоторых неклассических процессов теплопроводности. Для этой задачи был предложен

метод, основанный на разложении решения по специальной биортогональной системе функ-

ций, и с его помощью были установлены существование и устойчивость решения. В дальней-

шем метод работ [18, 19] успешно применялся в исследованиях близких нелокальных задач для

гиперболических уравнений второго порядка, параболических уравнений четвёртого порядка,

некоторых других уравнений.

В 1980 г. была опубликована статья А.А. Самарского [20], в которой для параболических

уравнений с одной пространственной переменной была также предложена постановка нело-

кальной по пространственной переменной задачи, включающая постановки как классических

начально-краевых задач, так и задачу Н.И. Ионкина (из работ [18, 19]). Исследованию раз-

решимости нелокальных задач с условием А.А. Самарского посвящены работы Н. Лажетича,

А.И. Кожанова, Л.С. Пулькиной и многих других авторов.

Наконец, отметим статью [21], в которой изучена разрешимость задачи Н.И. Ионкина для

одномерных параболических уравнений с переменными коэффициентами. Метод исследова-

ния отличался от метода работ [18, 19], но в ней разрешимость была установлена в весовых

пространствах.

Именно задача Н.И. Ионкина, или, в терминологии последнего времени, задача Самарско-

го-Ионкина, но для эллиптических уравнений с выделенной переменной, и будет предметом

223

224

КОЖАНОВ, ДЮЖЕВА

исследования в настоящей статье; используемый при этом метод будет отличаться как от

метода работ [18, 19], такь и от метода работы [21].

Все построения и рассуждения будем вести с использованием пространств Лебега L_p и

Соболева W^lp. Необходимые определения и описания свойств функций из этих пространств

можно найти в монографиях [22-24].

Уточним, что цель работы - исследовать корректности тех или иных задач в классах ре-

гулярных решений - решений, имеющих все обобщённые по С.Л. Соболеву производные, вхо-

дящие в соответствующее уравнение.

В работе изучим нелокальные задачи Самарского-Ионкина для некоторых модельных

уравнений. Обобщения полученных результатов на более общие уравнения и на некоторые

другие задачи приведём в конце статьи.

1. Постановка задач. Пусть x - точка интервала (0, 1), y = (y₁, . . . , y_n) - точка огра-

ниченной области Ω пространства Rⁿ с гладкой (для упрощения бесконечно-дифференци-

руемой) границей, Q - цилиндр (0, 1) × Ω, S = (0, 1) × ∂Γ - боковая граница Q. Далее,

пусть c(x, y), f(x, y) и γ(y) - заданные функции, определённые при x ∈ [0, 1], y ∈ Ω, L -

дифференциальный оператор, действие которого на заданной функции u(x, y) определяется

равенством

Lu = u_xx + Δ_yu + c(x,y)u

(Δ_y - оператор Лапласа по переменным y₁, . . . , y_n).

Нелокальная задача I. Найти функцию u(x, y), являющуюся в цилиндре Q решением

уравнения

Lu = f(x,y),

(1)

удовлетворяющую условиям

u|_S = 0,

(2)

u(0, y) = γ(y)u(1, y), u_x(1, y) = 0, y ∈ Ω.

(3)

Нелокальная задача II. Найти функцию u(x, y), являющуюся в цилиндре Q решением

уравнения (1), удовлетворяющую условию (2) и условиям

u_x(0,y) = γ(y)u_x(1,y), u(1,y) = 0, y ∈ Ω.

(4)

Условие (4) в случае γ(y) ≡ 1 представляет собой нелокальное условие Ионкина из ра-

боты [18], и в этом случае нелокальная задача II фактически и будет задачей Самарского-

Ионкина для эллиптических уравнений.

Нелокальная задача I, безусловно, имеет самостоятельное значение. Вместе с тем, как будет

показано ниже, она тесно связана с нелокальной задачей II.

Наряду с нелокальными задачами I и II, в работе будут изучены и спектральные задачи,

связанные с ними, а именно, задачи I и II в случае c(x, y) ≡ const, γ(y) ≡ const.

2. Разрешимость нелокальной задачи I. Приведём результаты о существовании и

единственности решений нелокальной задачи I в пространстве W²²(Q).

Пусть φ(y) - произвольная функция из пространства

(Ω). Имеет место неравенство

∫

∑

φ²(y) dy ≤ d0

φ² (y)dy,

(5)

y_i

i=1Ω

в котором постоянная d₀ определяется лишь областью Ω (см. [22-24]).

Далее, пусть ψ(x) - функция из пространства W¹²([0, 1]). Имеет место неравенство

∫¹

(

)∫1

ψ²(1) ≤ δ² xψ′2(x)dx +

xψ²(x)dx,

(6)

δ²

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№2

2023

КОРРЕКТНОСТЬ ОБОБЩЁННОЙ ЗАДАЧИ САМАРСКОГО-ИОНКИНА

225

где δ - произвольное положительное число. Для доказательства этого неравенства достаточно

в тождестве

∫¹

∫

ψ²(1) = 2 xψ²(x)dx + 2 x²ψ(x)ψ^′(x)dx

применить ко второму слагаемому правой части неравенство Юнга.

Неравенства (5) и (6) понадобятся в дальнейших выкладках.

Теорема 1. Пусть выполняются условия

c(x, y) ∈ C¹(Q), c(x, y) -

при (x,y) ∈ Q,

(7)

d₀

γ(y) ∈ C²(Ω),

|γ(y)| ≤ 1 при y ∈ Q.

(8)

Тогда для любой функции f(x, y) такой, что f(x, y) ∈ L₂(Q), f_x(x, y) ∈ L₂(Q), нелокальная

задача I разрешима в пространстве W²²(Q) и притом единственным образом.

Доказательство. Пусть выполняется условие

|γ(y)| ≤ γ₀ < 1 при y ∈ Q.

(9)

Для положительного числа ε и для числа λ из отрезка [0, 1] рассмотрим краевую задачу:

найти функцию u(x, y), являющуюся в цилиндре Q решением уравнения

Lu - εΔ_yu_xx = f(x,y),

(10)

удовлетворяющую условию (2) и условиям

u(0, y) = λγ(y)u(1, y), u_x(1, y) = 0, y ∈ Ω.

(11)

Определим банахово пространство V :

V = {v(x,y) : v(x,y) ∈ W²²(Q), v_xx(x,y) ∈ L₂(0,1;W22 (Ω)),

∥v∥_V = (∥v∥2W2

+ ∥v_xx∥2L

)1/2}.

(Q)

2(0,1;W²(Ω))

Покажем, что при фиксированном ε, при всех λ из отрезка [0, 1] и при принадлежно-

сти функции f(x, y) пространству L₂(Q) краевая задача (10), (2), (11) будет иметь решение

u(x, y), принадлежащее пространству V.

Введём функцию w(x, y) = u(x, y) - λγ(y)u(1, y). Вследствие условия (9) функцию u(x, y)

нетрудно выразить через w(x, y):

λγ(y)

u(x, y) = w(x, y) + γ₁(λ, y)w(1, y), γ₁(λ, y) =

1 - λγ(y)

Далее, краевая задача (10), (2), (11) преобразуется в задачу: найти функцию w(x, y), яв-

ляющуюся в цилиндре Q решением уравнения

∑

Lw - εΔ_yw_xx + γ₁(λ,y)Δ_yw(1,y) + 2 γ1yi(λ,y)wyi (1,y) + Δ_yγ₁(λ,y)w(1,y) = f(x,y),

(12)

i=1

удовлетворяющую условию (2) и условиям

w(0, y) = 0, w_x(1, y) = 0, y ∈ Ω.

(13)

Согласно теореме о методе продолжения по параметру [25, гл. III, § 14], краевая задача (12),

(2), (13) будет разрешима в пространстве V при фиксированном ε и при принадлежности

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№2

2023

226

КОЖАНОВ, ДЮЖЕВА

функции f(x, y) пространству L₂(Q) для всех чисел λ из отрезка [0, 1], если: 1) задача (12),

(2), (13) разрешима в пространстве V для λ = 0; 2) для всевозможных решений w(x, y)

краевой задачи (12), (2), (13) выполняется априорная оценка

∥w∥_V ≤ R₀∥f∥L2(Q)

(14)

с постоянной R₀, определяющейся функциями c(x, y) и γ(y), а также областью Ω и, быть

может, числом ε.

Разрешимость краевой задачи (12), (2), (13) в пространстве V при λ = 0 очевидна. Далее,

наличие требуемой оценки (14) установим с помощью техники, которая в дальнейшем будет

неоднократно использоваться: искомая оценка будет получена вначале на всевозможных ре-

шениях краевой задачи (10), (2), (11), а затем перенесена на решение задачи (12), (2), (13) с

помощью представленной выше связи между функциями u(x, y) и w(x, y).

Всюду далее считаем, что ε - число из интервала (0, ε0); величину числа ε0 уточним

ниже.

Умножим уравнение (10) на функцию -xu(x, y) и проинтегрируем по цилиндру Q. После

несложных преобразований получим равенство

∫ [

]

∑

xu2x + xu² - xcu² + ε_y

xu²

xy_i

dx dy +

i=1

∫

)

∑

[1 - λ²γ²(y)]u²(1, y) dy +

[1 - λ²γ²(y)]

u² (1,y) dy =_y

i=1

∫

∑

ελ²

= - xfudxdy + ελ²

γ(y)γyi (y)uyi (1, y)u(1, y) dy +

γ2y

u(1, y) dy.

i=1Ω

Используя условия (7) и (9), а также применяя неравенство Юнга и учитывая неравенство

(5), нетрудно от данного неравенства перейти к следующему:

∫ [

]

∫

∑

1-γ²⁰

xu2x + c₁xu² + ε xu2xy

dx dy +

u²(1,y)dy +

u² (1,y)dy ≤_y

i=1

i=1Ω

∫

≤c₂

f²dx dy + εc3 u2(1, y) dy,

(15)

здесь числа c₁ и c₂ положительны и определяются функцией c(x, y) и областью Ω, а чис-

ло c₃

определяется лишь функцией γ(y). Если теперь число ε₀ принадлежит интервалу

(0, (1 - γ²⁰)/(4c₃)), то при ε < ε₀ из неравенства (15) вытекает априорная оценка

∫ [

]

∫

∑

xu2x + xu² + xu² + ε_y

xu²

dx dy +

u²(1,y)dy +

xy_i

i=1

∫

∑

+ε

u²

y_i

(1, y) dy ≤ M₁ f² dx dy

(16)

i=1Ω

с постоянной M₁, определяющейся функциями c(x, y) и γ(y), а также областью Ω.

На следующем шаге умножим уравнение (10) на функцию xΔ_yu(x, y) и проинтегрируем

по цилиндру Q. Повторяя по сути выкладки, с помощью которых была получена оценка (16),

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№2

2023

КОРРЕКТНОСТЬ ОБОБЩЁННОЙ ЗАДАЧИ САМАРСКОГО-ИОНКИНА

227

но дополнительно учитывая саму оценку (16), получаем, что для решений u(x, y) краевой

задачи (10), (2), (11) выполняется априорная оценка

∫

∑

[xu2xy

+ x(Δ_yu)² + εx(Δ_yu_x)²]dxdy +

u² (1,y)dy +_y

i=1Ω

∫

+ ε (Δ_yu(1,y))²

dy ≤ M₂

f² dxdy

(17)

с постоянной M₂, определяющейся функциями c(x, y) и γ(y), а также областью Ω.

Умножим теперь уравнение (10) на функцию -xΔ_yu_xx(x, y) и проинтегрируем по цилин-

дру Q. Действуя аналогично предыдущему, дополнительно используя оценки (16) и (17), по-

лучаем, что для решений u(x, y) краевой задачи (10), (2), (11) имеет место третья априорная

оценка

∫

[xu2xxy

+ x(Δ_yu_x)² + εx(Δ_yu_xx)²]dxdy + (Δ_yu(1,y))²

dy ≤ M₃

f² dxdy

(18)

с постоянной M₃, определяющейся функциями c(x, y) и γ(y), а также областью Ω.

Умножим уравнение (10) на функцию u_xx(x, y) и проинтегрируем по цилиндру Q. Исполь-

зуя формулу интегрирования по частям, оценку (18), оценку в L₂(Ω) для функции Δ_yu(0, y)

(являющуюся следствием первого условия (11)), неравенство (5), условие (7), неравенство

∫

u2x(0,y)dy ≤ u2xx dxdy,

а также применяя неравенство Юнга, получаем, что для решений u(x, y) краевой задачи (10),

(2), (11) справедлива оценка

∫ [

]

∫

∑

u2xx + (u²

+ u²) dxdy + ε

u²

dy ≤ M₄

f² dxdy

(19)

xy_i

xxy_i

i=1

i=1_Q

с постоянной M₄, определяющейся функциями c(x, y) и γ(y), а также областью Ω и чис-

лом ε.

На следующем шаге умножим уравнение (10) на функцию -εΔ_yu_xx(x, y). Интегрируя

по цилиндру Q и повторяя предыдущие рассуждения, получаем, что для решений u(x, y)

краевой задачи (10), (2), (11) имеет место оценка

]

∫

∫ [_n∑

u2xxy

+ (Δ_yu_x)² + ε(Δ_yu_xx)2

dx dy ≤ M₅ f² dx dy

(20)

Q i⁼¹

с постоянной M₅, вновь определяющейся функциями c(x, y) и γ(y), а также областью Ω и

числом ε.

Из оценок (19) и (20) очевидным образом вытекает суммарная оценка

∥u∥_V ≤ M₀∥f∥2L

(21)

2(Q)

с постоянной M₀, определяющейся вновь функциями c(x, y) и γ(y), областью Ω, а также

числом ε.

Учитывая, что функция w(x, y) представляется через функцию u(x, y) соотношением

w(x, y) = u(x, y) - λγ(y)u(1, y), получаем, что для функции w(x, y) имеет место искомая

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№2

2023

228

КОЖАНОВ, ДЮЖЕВА

оценка (14). Как уже упоминалось выше, из этой оценки следует, что краевая задача (12), (2),

(13) разрешима в пространстве V при всех λ из отрезка [0, 1]. Но тогда и краевая задача

(10), (2), (11) будет разрешима в пространстве V при всех λ из отрезка [0, 1], в том числе и

при λ = 1.

Для осуществления процедуры предельного переход по ε в уравнении (10) необходимо

установить наличие априорных оценок, равномерных по ε.

Прежде всего заметим, что равномерными по ε будут априорные оценки (16) и (17). Да-

лее в равенстве, полученном после умножения уравнения (10) на функцию -xΔ_yu_xx(x, y) и

интегрирования по Q, преобразуем правую часть:

∫

− xfΔ_yu_xx dxdy = (xf)_xΔ_yu_x dxdy.

Применив неравенство Юнга, получим, что для решения u(x, y) краевой задачи (10), (2),

(11) (при λ = 1) выполняется оценка

]

∫

∫ [_n∑

xuxxyi + x(Δ_yu_x)² + εx(Δ_yu_xx)2 dx dy +

[Δ_yu(1, y)]²

dy ≤ M₆

(f² + f2x) dx dy

(22)

Q i⁼¹

с постоянной M₆, определяющейся лишь функциями c(x, y) и γ(y), а также областью Ω.

Повторяя далее действия, которые привели к оценкам (19) и (20), но при этом учитывая

оценку (22), получаем, что для функции u(x, t) выполняется оценка

∫ [

]

∫

∑

u2xx +

u2xy

+ ε²(Δ_yu_xx

)²

dx dy ≤ M₇ (f² + f2x) dx dy,

(23)

i=1

постоянная M₇ в которой определяется лишь функциями c(x, y) и γ(y), а также областью Ω.

Последняя требуемая оценка

∫

(Δ_yu)²

dx dy ≤ M₈ (f² + f2x) dx dy

(24)

очевидным образом вытекает из оценок (19), (20), (22) и (23).

Полученных оценок уже вполне достаточно для осуществления процедуры предельного

перехода. Действительно, выберем последовательность {ε_m}∞m=1 чисел из интервала (0, ε₀),

сходящуюся к нулю. Далее, из семейства {u_m(x, y)}∞m=1 решений краевых задач (10), (2), (11)

в случае λ = 1, ε = ε_m выберем подсемейство {umk (x, y)}∞m=1 такое, что для некоторой

функции u(x, y) имеют место сходимости при k → ∞ : umk (x, y) → u(x, y) слабо в W²²(Q),

εmk Δ_yumkxx(x,y) → 0 слабо в L2(Q), um_k (0,y) → u(0,y) слабо в W²(Ω), um_k (1,y) → u(1,y)

слабо в W²²(Ω) (вследствие свойства рефлексивности гильбертова пространства это возмож-

но). Очевидно, что предельная функция u(x, y) и будет искомым решением краевой задачи I

при выполнении условия (9).

Пусть теперь выполняется более общее условие (8). Рассмотрим краевую задачу: найти

функцию u(x, y), являющуюся в цилиндре Q решением уравнения (10) и удовлетворяющую

условию (2) и условиям

u(0, y) = (1 - ε)γ(y)u(1, y), u_x(1, y) = 0, y ∈ Ω.

Согласно доказанному выше, эта задача при ε ∈ (0, ε₀) имеет решение u(x, y), принадлежащее

пространству V. Повторяя рассуждения и выкладки, проведённые выше, но дополнительно

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№2

2023

КОРРЕКТНОСТЬ ОБОБЩЁННОЙ ЗАДАЧИ САМАРСКОГО-ИОНКИНА

229

используя неравенство (6) (с фиксированными числом δ), получаем, что для функции u(x, y)

имеет место оценка

∫

∑

[u2xx +

u2xy

+ (Δ_yu)² + ε²(Δ_yu_xx)²] dx dy +

i=1

∫

∑

u² (0,y)dy +_y

u²

(1, y) dy ≤ M₉ (f² + f2x) dx dy

y_i

i=1Ω

c постоянной M₉, определяющейся лишь функциями c(x, y) и γ(y), а также областью Ω.

Данной оценки вполне достаточно для выбора соответствующей сходящейся к искомому ре-

шению u(x, y) нелокальной задачи I последовательности.

Единственность в пространстве W²²(Q) решения нелокальной задачи I очевидным образом

вытекает из оценки

∫

(xu2x + xu²) dx dy ≤ M f² dx dy,

справедливой при выполнении как условия (9), так и условия (8). Из этой оценки и из нера-

венства (6) вытекает, что для решения u(x, y) нелокальной задачи I в случае f(x, y) ≡ 0

выполняется условие u(0, y) = 0. Другими словами, функция u(x, y) будет решением одно-

родной смешанной краевой задачи из пространства W²²(Q) для эллиптического уравнения.

Как хорошо известно [23], данное решение - тождественно нулевая функция, а это и означает

единственность решения нелокальной задачи I. Теорема доказана.

Пусть γ₀ и γ₁ - фиксированные числа такие, что 0 ≤ γ₀ ≤ 1 ≤ γ₁.

Теорема 2. Пусть выполняются условия

γ(y) ∈ C²(Ω), γ₀ ≤ γ(y) ≤ γ₁ при y ∈ Ω;

(25)

c(x, y) ∈ C¹(Q), c(x, y) -

+ 2γ²¹(γ²¹ - 1) < 0 при (x, y) ∈ Q.

(26)

d₀

Тогда для любой функции f(x, y) такой, что f(x, y) ∈ L₂(Q), f_x(x, y) ∈ L₂(Q), нелокальная

задача I разрешима в пространстве W²²(Q) и при том единственным образом.

Доказательство. Вновь воспользуемся методом регуляризации и методом продолжения

по параметру. Изучим сначала случай γ₀ > 0.

Для положительного числа ε и для чисел λ из отрезка [0, 1] рассмотрим задачу: найти

функцию u(x, y), являющуюся в цилиндре Q решением уравнения (10) и удовлетворяющую

условию (2) и условиям

u(0, y) - γ₀u(1, y) = λ[γ(y) - γ₀]u(1, y), u_x(1, y) = 0, y ∈ Ω.

(27)

Поскольку γ₀ ≤ 1, то краевая задача (10), (2), (27) при λ = 0, при фиксированном ε и

при принадлежности функции f(x, y) пространству L₂(Q) будет разрешима в пространстве

V (см. доказательство теоремы 1). Для доказательства разрешимости этой же задачи для

остальных чисел λ из отрезка [0, 1] вновь перейдём к вспомогательной задаче для диффе-

ренциального уравнения вида (12).

Положим

λ(x² - 2x)

w(x, y) = u(x, y) -

[γ(y) - γ₀]u(1, y),

γ₀

λ[γ(y) - γ₀]

β₀(λ,y) = 1 +

β₁(λ,y) =

γ₀

γ₀β₀(λ,y)

Заметим, что функция β₀(λ, y) положительна при λ ∈ [0, 1], y ∈ Ω, и что имеет место

равенство

u(x, y) = w(x, y) + (x² - 2x)β₁(λ, y)w(1, y).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№2

2023

6^∗

230

КОЖАНОВ, ДЮЖЕВА

Это равенство позволяет перейти от краевой задачи для функции u(x, y) к краевой задаче

для функции w(x, y), причём для функции w(x, y) должны выполняться локальные краевые

условия смешанной задачи, а именно, условие (2) и условия

w(0, y) = γ₀w(1, y), w_x(1, y) = 0, y ∈ Ω.

Как было показано при доказательстве теоремы 1, для разрешимости полученной краевой

задачи для функции w(x, y), а также для разрешимости в пространстве V нелокальной кра-

евой задачи (10), (2), (27) при λ ∈ [0, 1], достаточно показать, что имеет место равномерно по

λ оценка (21).

Для получения нужной оценки умножим уравнение (10) на функцию -xu(x, y) и проин-

тегрируем по цилиндру Q. Получим равенство

∫ [

]

∑

xu2x + xu² - xcu² + ε_y

xu²

dx dy =

xy_i

i=1

∫

∑

([(1 - λ)γ₀ + λγ(y)]² - 1)u²(1, y) dy +

([(1 - λ)γ₀ + λγ(y)]² - 1)u² (1, y) dy +_y

i=1Ω

∫

∑

+ελ

[(1-λ)γ₀+λγ(y)]γyi (y)uyi (1, y)u(1, y) dy+

(y)u²(1, y) dy-

xfudxdy. (28)

i=1Ω

Используя неравенство (6), в котором δ² = 1/(2(γ²¹ -1)), оценим первое слагаемое в правой

части (28):

∫

([(1 - λ)γ₀ + λγ(y)]² - 1)u²(1, y) dy ≤

∫

≤ (γ²¹ - 1) u²(1, y) dy ≤

xu2x dxdy + 2γ²¹(γ²¹ - 1) xu² dxdy.

(29)

Далее, вновь используя (6), нетрудно показать, что имеет место неравенство



∫

_ε

∑



([(1 - λ)γ₀ + λγ(y)]² - 1)u² (1, y) dy +_y

^2

i=1Ω

∫



∑



+ ελ

[(1 - λ)γ₀ + λγ(y)]γyi (y)uyi (1, y)u(1, y) dy +

(y)u²(1, y) dy

≤

i=1Ω

∫

]

∑

≤ε δ₁

xu2xy

dx dy + C(δ₁)

xu²

dx dy + C₁ xu²

dx dy + C₂ xu² dx dy ,

(30)

y_i

i=1_Q

в котором δ₁ - произвольное положительное число, C(δ₁) определяется помимо числа δ₁

также функцией γ(y), C₁ и C₂ - положительные числа, определяющиеся лишь функцией

γ(y). Зафиксируем число δ₁ = 1/2. Положим

{

}

C₀

ε₁ = min

C(1/2)

2C₁

C₂

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№2

2023

КОРРЕКТНОСТЬ ОБОБЩЁННОЙ ЗАДАЧИ САМАРСКОГО-ИОНКИНА

231

Если изначально число ε принадлежит интервалу (0, ε₁), то из (28)-(30) вследствие усло-

вия (26) вытекает априорная оценка

∫ [

]

∑

xu2x + xu² + xu² + ε_y

xu²

dx dy +

xy_i

i=1

∫

∑

+ u²(1,y)dy + ε

u²

y_i

(1, y) dy ≤ M₁₀ f² dx dy,

(31)

i=1Ω

постоянная M₁₀ в которой определяется лишь функциями c(x, y) и γ(y).

Последовательно умножая уравнение (10) на функции xΔ_yu(x, y) и -xΔ_yu_xx(x, y), ин-

тегрируя по цилиндру Q, используя условия (27), неравенство (15) и условия (25) и (26),

учитывая также оценку (31), получаем, что для решений краевой задачи (10), (2), (27) выпол-

няются оценки

]

∫ [_n∑

xu2xy

+ x(Δ_yu)² + εx(Δ_yu_x)2

dx dy +

Q i⁼¹

∫

∑

u² (1,y)dy + ε_y

[Δ_yu(1, y)]²

dy ≤ M₁₂

f² dxdy,

(32)

i=1Ω

]

∫

∫ [_n∑

xu2xxy

+ x(Δ_yu_x)² + εx(Δ_yu_xx)2 dx dy +

[Δ_yu(1, y)]²

dy ≤ M₁₃

f² dxdy

(33)

Q i⁼¹

с числом M₁₂, определяемым областью Ω, функциями c(x, y) и γ(y), и числом M₁₃, опре-

деляемым областью Ω, функциями c(x, y) и γ(y), а также числом ε.

Из оценок (31)-(33) следует справедливость оценки (21) и, далее, разрешимость в прост-

ранстве V краевой задачи (10), (2), (27) в случае γ₀ > 0 при всех λ из отрезка [0, 1], при

фиксированном ε и при принадлежности функции f(x, y) пространству L₂(Q).

Если теперь в интеграле с функцией -xf(x, y)Δ_yu_xx(x, y) дополнительно проинтегриро-

вать по частям, то получим, что для решений u(x, y) краевой задачи (10), (2), (27) выполня-

ется равномерная по ε оценка (22). В свою очередь, из этой оценки следует, что выполняются

равномерные по ε оценки (23) и (24).

Из полученных равномерных по ε априорных оценок вытекает, что существует последо-

вательность решений краевой задачи (10), (2), (27) с λ = 1, сходящаяся к решению u(x, y) из

пространства W²²(Q) нелокальной задачи I.

Пусть теперь γ₀ = 0. Рассмотрим краевую задачу: найти функцию u(x, y), являющуюся

в цилиндре Q решением уравнения (10), удовлетворяющую условию (2) и условиям

u(0, y) = [ε + γ(y)]u(1, y), u_x(1, y) = 0, y ∈ Ω.

(11’)

Как следует из доказанного выше, при фиксированном ε эта задача разрешима в пространстве

V. Повторяя доказательство априорных оценок (31), (32), (23) и (24), нетрудно теперь уже из

семейства решений задачи (10), (2), (11’) выбрать последовательность, сходящуюся к искомому

решению нелокальной задачи I.

Единственность решения нелокальной задачи I в пространстве W²²(Q) очевидна. Теорема

доказана.

3. Разрешимость нелокальной задачи II. Исследование разрешимости нелокальной

задачи II будет проведено с помощью результатов, полученных в п. 2.

Теорема 3. Пусть выполняется одно из условий:

γ(y) ∈ C²(Ω), c(x, y) ∈ C¹(Q),

|γ(y)| ≤ 1 при y ∈ Ω, (xc_x(x, y))_x ≥ 0,

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№2

2023

232

КОЖАНОВ, ДЮЖЕВА

c(x, y) -

при (x,y) ∈ Q;

(34)

d₀

γ(y) ∈ C²(Ω), γ(y) ≥ 0 при y ∈ Ω, maxγ(y) = γ1 > 1, (xcx(x, y))x ≥ 0,

c(x, y) -

+ 2γ²¹(γ²¹ - 1) < 0 при (x, y) ∈ Q.

(35)

d₀

Тогда для любой функции f(x, y) такой, что f(x, y) ∈ L₂(Q), f_x(x, y) ∈ L₂(Q), f_xx(x, y) ∈

∈ L₂(Q), f(1,y) = 0 при y ∈ Ω, нелокальная задача II имеет решение u(x,y) такое, что

u(x, y) ∈ W²²(Q), u_x(x, y) ∈ W²²(Q), причём это решение единственно.

Доказательство. Пусть g(x, y) - заданная функция. Рассмотрим задачу: найти функцию

v(x, y), являющуюся в цилиндре Q решением уравнения

∫1

Lv - c_x(x,y) v(z,y)dz = g(x,y),

(36)

и такую, что для неё выполняются условия (2) и (3). В этой задаче уравнение (36) лишь

незначительно отличается от уравнения (1). Заменяя (36) уравнением

∫1

Lv - λc_x(x,y) v(z,y)dz = g(x,y)

с параметром λ из отрезка [0, 1], повторяя доказательство теоремы 1 при выполнении условия

(34) или теоремы 2 при выполнении условия (35), а также дополнительно используя условие

(xc_x(x, y))_x ≥ 0, нетрудно показать, что краевая задача (36), (2), (3) будет иметь решение

v(x, y), принадлежащее пространству W²²(Q).

∫₁

Положим g(x, y) = f_x(x, y), u(x, y) = -

v(z, y) dz. Уравнение (36) для функций u(x, y)

и f(x,y) имеет вид

∂

(u_xx + Δ_yu + cu - f) = 0.

(37)

∂x

Справедливо равенство u_xx + Δ_yu + cu - f = 0. Отсюда следует, что построенная по функ-

ции v(x, y) функция u(x, y) будет решением уравнения (1). Выполнение краевых условий (2)

и (4) для функции u(x, y), принадлежность функции u(x, y) требуемому классу очевидны.

Следовательно, найденная функция u(x, y) и будет искомым решением нелокальной задачи II.

В классе {u(x, y) : u(x, y) ∈ W²²(Q), u_x(x, y) ∈ W²²(Q)} единственность решений нелокаль-

ной задачи II очевидна. Теорема доказана.

4. Собственные числа нелокальных задач I и II. Опишем некоторые свойства соб-

ственных чисел эллиптических задач с нелокальными условиями Самарского-Ионкина.

Спектральная задача I. Найти числа λ и γ, для которых задача

u_xx + Δ_yu = λu, (x,y) ∈ Q,

u(x, y)|_S = 0,

u(0, y) = γu(1, y), u_x(1, y) = 0, y ∈ Ω,

имеет нетривиальное решение u(x, y), принадлежащие пространству W²²(Q).

Спектральная задача II. Найти числа λ и γ, для которых задача

u_xx + Δ_yu = λu, (x,y) ∈ Q,

u(x, y)|_S = 0,

u_x(0,y) = γu_x(1,y), u_x(1,y) = 0, y ∈ Ω,

имеет нетривиальное решение u(x, y), принадлежащие пространству W²²(Q).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№2

2023

КОРРЕКТНОСТЬ ОБОБЩЁННОЙ ЗАДАЧИ САМАРСКОГО-ИОНКИНА

233

Исследование разрешимости спектральных задач I и II будет проведено с помощью клас-

сического метода разделения переменных.

Как хорошо известно (см., например, [24]), существуют последовательности {w_k(y)}∞k=1 и

{β_k}∞k=1 соответственно собственных функций и собственных чисел спектральной задачи

Δ_yw(y) = βw(y), y ∈ Ω,

w(y)|_Γ = 0.

Более того, известно, что все собственные числа β_k отрицательны, имеют конечную крат-

ность, последовательность {βk}∞k=1 можно расположить в монотонно убывающую последо-

вательность, имеющую единственную предельную точку -∞, функции w_k(x), i = 1, 2, . . . ,

принадлежат пространству W²²(Q) и образуют базис в пространстве L₂(Ω).

Пусть λ - число из промежутка (-∞, β1]. Обозначим через k0(λ) натуральное число

такое, что βk0(λ)+1 < λ ≤ βk₀(λ).

Теорема 4. Действительное число λ будет собственным числом спектральной задачи I,

если выполняется одно из условий:

1) λ ≤ β₁, γ = cos

√β_k - λ для некоторого натурального числа k такого, что 1 ≤ k ≤

≤ k₀(λ);

2) λ ≤ β₁, γ = (e√λ-βk + e-√λ-βk )/2 для некоторого натурального числа k такого, что

k ≥ k₀(λ) + 1;

3) λ > β₁, γ = (e√λ-βk - e-√λ-βk )/2 для некоторого натурального числа k.

Доказательство. Определим функцию φ_k(x) как решение задачи

φ^′′k(x) + (β_k - λ)φ_k(x) = 0, x ∈ (0,1),

φ_k(0) = γφ_k(1), φ^′k(1) = 0.

При выполнении одного из условий 1)-3) функция φ_k будет ненулевой. Положив далее

u_k(x,y) = φ_k(x)w_k(y), получим ненулевое решение спектральной задачи I, а это и означает

требуемое. Теорема доказана.

Теорема 5. Действительное число λ будет собственным числом спектральной задачи II,

если выполняется одно из условий 1)-3) теоремы 4.

Доказательство этой теоремы очевидно.

Некоторые следствия из теоремы 4 и 5 будут приведены в следующем пункте.

5. Комментарии и дополнения.

5.1. Приведём простой пример, показывающий, что подход, предложенный в настоящей

работе, можно использовать и в других ситуациях.

Пусть b(x, y) и c(x, y) - заданные в Q функции, M - оператор, действие которого опре-

деляется равенством

Mv = v_xx + Δ_yv + b(x, y)v_x + c(x, y)v.

Теорема 6. Пусть выполняются условия

b(x, y) ∈ C¹(Q), c(x, y) ∈ C¹(Q),

b(x, y) ≤ 0, c(x, y) -

b_x(x,y) -

при (x,y) ∈ Q,

d₀

γ(y) ∈ C²(Ω), γ²(y) ≤ 1 -

b(1, y) при y ∈ Ω.

Тогда для любой функции f(x, y) такой, что f(x, y) ∈ L₂(Q), f_x(x, y) ∈ L₂(Q), нелокальная

задача с условиями (2), (3) для уравнения Mv = f имеет решение u(x, y), принадлежащее

пространству W²²(Q), и притом ровно одно.

Доказательство этой теоремы проводится полностью аналогично доказательству теоре-

мы 1.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№2

2023

234

КОЖАНОВ, ДЮЖЕВА

Нетрудно установить для уравнения Mv = f также и теоремы, аналогичные теоремам 2

и 3.

Заметим, что теорема 6 и аналогичные ей теоремы показывают, что для задач с обобщён-

ным условием Самарского-Ионкина существенную роль могут играть младшие члены.

5.2. Результаты о разрешимости нелокальных задач I и II нетрудно получить и для других

более общих, чем (1), уравнений. Например, оператор Лапласа Δ_y можно заменить более об-

щим эллиптическим оператором второго порядка, действующим по переменным y₁, . . . , y_n,

вторую производную по x можно заменить дифференциальным выражением ∂(a(x, y)u_x)/∂x

с положительной функцией a(x, y). Далее Δ_y можно заменить оператором (-1)m+1Δ^myu (с

естественными дополнительными граничными условиями на множестве S), вместо гранично-

го условия (2) можно задавать граничное условие второй или третьей краевых задач.

5.3. Как следует из п. 1, нелокальная задача II в случае γ ≡ 1 является собственно зада-

чей с условием Ионкина, а именно, условием периодического вида u(0, y) = u(1, y) при y ∈ Ω.

В общем же случае нелокальная задача II может быть и задачей с условием антипериодичности

u(0, y) = -u(1, y), и задачей, в которой на подмножестве Ω₁ из Ω задаётся условие u(0, y) =

= u(1, y), на другом подмножестве Ω₂ - условие u(0, y) = -u(1, y), на третьем же подмноже-

стве Ω₃ - обычное условие Дирихле u(0, y) = 0.

5.4. Условия f(x,y) ∈ L₂(Q), f_x(x,y) ∈ L₂(Q) теорем 1 и 2 можно заменить условием

f (x, y) ∈ L₂(0, 1;W12(Ω)). Это следует из равенства

∫

∑

- xfΔ_yu_xx dxdy =

xf_yΔ_yu_xx dxdy,

i=1_Q

которое можно использовать при получении равномерной по ε оценки (23).

Аналогичные изменения можно внести и в формулировку теоремы 3.

5.5. Теоремы о разрешимости нелокальных задач I и II, а также теоремы о собственных

числах спектральных задач I и II говорят прежде всего о том, что корректность краевых задач

для эллиптических уравнений с обобщённым условием Самарского-Ионкина существенным

образом определяется младшим коэффициентом и функцией (числом) γ. И если в теоремах

существования 1-3 важнейшим является условие отрицательности коэффициента c(x, y), то в

спектральных задачах (дающих, в частности, условия неединственности решений) существен-

ную роль может сыграть коэффициент γ. Например, при подходящем выборе числа γ как в

спектральной задаче I, так и в спектральной задаче II любое действительное число λ может

оказаться собственным числом. И наоборот, нетрудно найти числа γ, для которых спектраль-

ные задачи I и II не будут иметь действительных собственных чисел (таковыми, например,

будут все числа γ из промежутка (-∞, -1)).

Работа выполнена в рамках госзадания “Программа фундаментальных исследований

Самарского государственного университета в области химических наук и материаловедения”

(тема № FSSE-2020-0005).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бицадзе А.В., Самарский А.А. О некоторых простейших обобщениях линейных эллиптических

задач // Докл. АН СССР. 1969. Т. 185. № 4. С. 739-740.

2. Романко В.К. Граничные задачи для одного класса дифференциальных операторов // Дифференц.

уравнения. 1974. Т. 10. № 1. С. 117-131.

3. Романко В.К. Однозначная разрешимость граничных задач для некоторых дифференциально-опе-

раторных уравнений // Дифференц. уравнения 1977. Т. 13. № 2. С. 324-335.

4. Дезин А.А. Общие вопросы теории граничных задач. М., 1980.

5. Бицадзе А.В. К теории нелокальных краевых задач // Докл. АН СССР. 1984. Т. 277. № 1. С. 17-19.

6. Ильин В.А., Моисеев Е.И. Двумерная нелокальная краевая задача для оператора Пуассона в диф-

ференциальной и разностной трактовках// Мат. моделирование. 1990. Т. 2. № 8. С. 139-156.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№2

2023

КОРРЕКТНОСТЬ ОБОБЩЁННОЙ ЗАДАЧИ САМАРСКОГО-ИОНКИНА

235

7. Моисеев Е.И. О базисности собственных функций одной нелокальной краевой задачи// Докл. АН

СССР. 1990. Т. 313. № 3. С. 556-589.

8. Жура Н.А. Краевые задачи Бицадзе-Самарского для эллиптических в смысле Дуглиса-Ниренберга

систем // Дифференц. уравнения. 1992. Т. 28. № 1. С. 81-91.

9. Гущин А.К., Михайлов В.П. Условия фредгольмовости одного класса нелокальных задач для эл-

липтического уравнения второго порядка // Докл. АН СССР. 1993. Т. 333. № 3. С. 290-292.

10. Гущин А.К., Михайлов В.П. О разрешимости нелокальных задач для эллиптического уравнения

второго порядка // Мат. сб. 1994. Т. 184. С. 121-160.

11. Skubachevskii A.L. Elliptic Functional Differential Equations and Applications // Operator Theory.

Advances and Applications. V. 91. Basel; Boston; Berlin, 1997.

12. Гущин А.К. Об условии компактности одного класса операторов и его приложении к исследованию

разрешимости нелокальных задач для эллиптических уравнений // Мат. сб. 2002. Т. 193. № 5.

С. 17-36.

13. Нахушев А.М. Задачи со смещением для уравнений в частных производных. М., 2006.

14. Ashyraliev A., Akay N. A note on the well-posedness of the nonlocal boundary value problem for elliptic

difference equations// Appllied Mathematics Computation. 2006. V. 175. № 1. P. 49-60.

15. Скубачевский А.Л. Неклассические краевые задачи. I // Соврем. математика. Фунд. направления.

2007. Т. 26. С. 3-132.

16. Ashyraliev A., Akay N. A note on the Bitsadze-Samarskii type nonlocal boundary value problem in a

Banach space // Math. Anal. and Appl. 2008. V. 344. P. 557-563.

17. Kozhanov A.I. Nonlocal problems with integral conditions for elliptic equations // Complex Variables

and Elliptic Equat. 2019. V. 64. № 5. P. 741-752.

18. Ионкин Н.И. Решение одной краевой задачи теории теплопроводности с неклассическим краевым

условием // Дифференц. уравнения. 1977. Т. 13. № 2. С. 294-304.

19. Ионкин Н.И. Об устойчивости одной задачи теории теплопроводности с неклассическим краевым

условием // Дифференц. уравнения. 1979. Т. 15. № 7. С. 1279-1283.

20. Самарский А.А. О некоторых проблемах теории дифференциальных уравнений // Дифференц.

уравнения. 1980. Т. 16. № 11. С. 1925-1935.

21. Юрчук Н.И. Смешанная задача с интегральным условием для некоторых параболических уравне-

ний // Дифференц. уравнения. 1986. Т. 22. № 12. С. 2117-2126.

22. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. М., 1988.

23. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа.

М., 1973.

24. Triebel H. Interpolation Theory. Functional Spaces. Differential Operators. Berlin, 1980.

25. Треногин В.А. Функциональный анализ. М., 1973.

Институт математики

Поступила в редакцию 13.07.2022 г.

имени С.Л. Соболева СО РАН, г. Новосибирск,

После доработки 18.01.2023 г.

Самарский государственный

Принята к публикации 20.01.2023 г.

технический университет

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№2

2023