ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2023, том 59, № 3, с.295-302

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

УДК 517.925.51+517.926

О СОХРАНЕНИИ КВАДРАТИЧНОЙ ФУНКЦИИ

ЛЯПУНОВА ЛИНЕЙНОЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ

АВТОНОМНОЙ СИСТЕМЫ ПРИ СТАЦИОНАРНЫХ

ВОЗМУЩЕНИЯХ ЕЁ КОЭФФИЦИЕНТОВ

Для автономной линейной однородной асимптотически устойчивой дифференциальной

системы получены достаточные условия на малость возмущений в классе автономных ли-

нейных однородных систем, при выполнении которых квадратичная форма, являющаяся

функцией Ляпунова для исходной системы, будет функцией Ляпунова и для возмущённой

системы.

DOI: 10.31857/S0374064123030019, EDN: QTWXLY

Введение. Важное место в прямом (втором) методе Ляпунова занимает задача о постро-

ении в явном виде функции Ляпунова для тех или иных классов дифференциальных сис-

тем [1-3]. Для установления свойства устойчивости и нахождения качественных характеристик

нелинейных непрерывных (дискретных) динамических систем, допускающих линеаризацию,

вблизи их равновесных состояний могут быть использованы функции Ляпунова квадратично-

го вида [3, с. 33-45; 4, с. 120-132], построенные для соответствующих линеаризованных систем.

При этом могут решаться вопросы построения квадратичной функции Ляпунова с некоторыми

заданными свойствами, которые определяются особенностями исходной задачи [5-7]. Напри-

мер, при решении прикладных динамических задач, когда интерес представляют не только

качественные, но и количественные характеристики системы [8, 9], возникает необходимость

использования ограничений на величину первой производной (первой разности) квадратич-

ной функции Ляпунова V (x) на заданной поверхности уровня V (x) = V₀, причём существен-

ным является такой выбор её параметров, при котором выполнение неравенства

V (x) < 0

(ΔV (x) < 0) обеспечивается с заданным [10, 11] (в том числе максимальным [12, 13]) запасом.

В данной работе изучается вопрос, при каких условиях квадратичная функция Ляпунова,

построенная для автономной линейной дифференциальной системы, будет оставаться функ-

цией Ляпунова при изменении коэффициентов системы.

1. Квадратичная функция Ляпунова, удовлетворяющая заданному ограниче-

нию, для автономных линейных однородных систем дифференциальных урав-

нений.

1.1. Для фиксированного числа n ∈ N рассмотрим автономную линейную систему диф-

ференциальных уравнений

x = Ax, x = (x₁,...,x_n)^т ∈ Rⁿ,

(1)

и квадратичную форму с постоянными коэффициентами

V (x) = x^тKx (K^т = K).

(2)

Элементы постоянных n×n-матриц A и K вещественные. Первая производная

(1)(x) квад-

ратичной формы (2) в силу системы (1) также является квадратичной формой:

(1)(x) = x^т(A^тK + KA)x.

(3)

Далее считаем, что собственные значения λ₁, λ₂, . . . , λ_n матрицы коэффициентов A сис-

темы (1), т.е. корни характеристического уравнения det (A - λE_n) = 0, имеют отрицательные

295

296

АНТОНОВСКАЯ

вещественные части, и что квадратичная форма (2) положительно определена (здесь и ниже

E_n - единичная n × n-матрица). Это предположение означает, в частности, что у системы (1)

имеется [4, с. 35] квадратичная функция Ляпунова.

В работе [10] доказана

Теорема 1. Пусть квадратичная форма (2) является функцией Ляпунова системы (1)

и на заданной поверхности уровня V (x) = V₀ = const > 0 функции V (x) максимальное

значение её первой производной (3) в силу системы (1) равно δV₀. Тогда для собствен-

ных значений λ_i, i = 1,n, матрицы коэффициентов системы (1) справедливо неравенство

2 max Reλ_i ≤ δ < 0, а коэффициенты квадратичной формы (2) удовлетворяют равенству

i=1,n

det (A^тK + KA - δK) = 0.

(4)

Замечание. В дальнейшем матрицу A^тK + KA квадратичной формы (3) обозначаем

через A_K . Очевидно, что матрица A_K симметрична: A_K = AтK . Пусть A_K = (A_km)nk,m=1.

Если A = (a_ik)ni,k=1 и K = (K_ik)ni,k=1, то для элементов матрицы A_K очевидны равенства

∑

A_km = (K_ima_ik + K_ika_im), k,m = 1,n,

(5)

i=1

в которых учтена симметричность матрицы K (K_ik = K_ki для всех k, i = 1, n). В этих

обозначениях равенство (4) запишется в виде det (A_km - δK_km)nk,m=1 = 0.

Доказательство теоремы 1, приведённое в работе [10], основывается на решении соответ-

ствующей экстремальной задачи. Дадим другое её

Доказательство. Так как (2) - положительно определённая квадратичная форма, то кор-

ректно задан регулярный пучок A_K -μK квадратичных форм [14, гл. 10, § 6], где μ - числовой

параметр. Пусть μ₁ ≤ . . . ≤ μ_n - характеристические числа этого пучка [14, гл. 10, § 6], т.е.

корни уравнения

det (A_K - μK) = 0

(6)

(все корни этого уравнения вещественные [14, гл. 10, § 6]). Тогда, согласно [14, гл. 10, § 7],

имеет место равенство

x^тA_Kx

max

=μ_n.

(7)

x=0

x^тKx

Так как отношение x^тA_K x/x^тKx квадратичных форм на любой прямой, проходящей через

начало координат, принимает, за исключением точки x = 0, одно и то же значение (вообще

говоря, своё для каждой прямой), то

x^тA_Kx

(1)

(x)

max

= max

= δ.

(8)

x=0

x^тKx

V (x)=V₀>0 V (x)

Из равенств (7) и (8) заключаем, что μ_n = δ, а значит, так как μ_n - корень уравнения (6),

справедливо равенство (4).

По условию теоремы 1 квадратичная форма (2) является функцией Ляпунова системы (1),

поэтому квадратичная форма (3) отрицательно определена, а значит, μ_n = δ < 0. Следо-

вательно, для завершения доказательства теоремы остаётся установить справедливость нера-

венства δ ≥ 2 max Re λ_i. Пусть, без нарушения общности, вещественная часть собственного

i=1,n

значения λ_n матрицы A не меньше, чем вещественные части остальных её собственных зна-

чений. Могут представиться только два случая: 1) Im λ_n = 0; 2) Im λn = 0. Рассмотрим

каждый из них отдельно.

В случае 1) обозначим через y ∈ Rⁿ собственный вектор матрицы A, отвечающий соб-

ственному значению λ_n. Тогда Ay = λ_ny и y^тA^т = λ_ny^т. Поэтому верно равенство

y^тA_Ky = y^т(A^тK + KA)y = λ_n(y^тKy + y^тKy) = 2λ_ny^тKy,

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№3

2023

О СОХРАНЕНИИ КВАДРАТИЧНОЙ ФУНКЦИИ ЛЯПУНОВА

297

в силу которого получаем оценку

x^тA_Kx

y^тA_Ky

2λ_ny^тKy

δ = max

≥

= 2λ_n = 2 Re λ_n.

x=0

x^тKx

y^тKy

В случае 2) собственному значению λ_n = α + iβ матрицы A отвечает в пространстве Cⁿ

собственный вектор y = y₁ + iy₂, где y_i ∈ Rⁿ, i = 1, 2. Раскрывая в равенстве A(y₁ + iy₂) =

= (α + iβ)(y₁ + iy₂) скобки и отделяя вещественную и мнимую части, получаем Ay₁ = αy₁ -

- βy₂, Ay₂ = βy₁ + αy₂ и, следовательно, y^т1A^т = αy^т1 - βy^т2, y^т2A^т = βy^т1 + αy^т2. В силу двух

последних соотношений несложно убедиться в том, что имеет место равенство

yтiA_Ky_i = 2αyтiKy_i + (-1)ⁱβ(y^т1Ky₂ + y^т2Ky₁), i = 1,2.

(9)

Выберем тот вектор y_i, для которого второе слагаемое в правой части равенства (9) неотри-

цательно. Тогда при таком y_i вследствие (9) справедливо неравенство yтiA_K y_i ≥ 2αyтiKy_i, в

силу которого и положительной определённости квадратичной формы (2) получаем оценку

x^тA_Kx

yтiA_Ky_i

2αyтiKy_i

δ = max

≥

= 2α = 2 Re λ_n.

x=0

x^тKx

yтiKy_i

Теорема доказана.

1.2. Заметим, что уравнение (6) может быть записано в виде P_n(μ) = 0, где

P_n(μ) = μⁿ + a₁μn-1 + a₂μn-2 + ... + an-1μ + a_n,

(10)

∑

a_k

= (-1)^k(det K)-1

det Ki1,i2,...,ik , k = 1, n, a_n = (-1)ⁿ(det K)-1det A_K ,

(11)

i₁<i₂<...<i_k

а матрица Ki1,i2,...,ik получается из матрицы K заменой столбцов с номерами i₁, i₂, . . . , i_k

на одноимённые столбцы матрицы A_K . Коэффициенты (11) многочлена (10) получаются,

если раскрыть определитель в (6) и разделить получившийся многочлен на коэффициент при

старшей степени μ. Как отмечено в доказательстве теоремы 1, все корни многочлена P_n(μ)

(см. (10)) вещественные [14, гл. 10, § 6].

Предположим, что построена квадратичная форма (2), которая является функцией Ляпу-

нова системы (1). Пусть коэффициенты системы (1) изменились, т.е. система приняла вид

x = (A + ΔA)x,

(12)

где ΔA = (Δa_ij)ni,j=1 - постоянная вещественная матрица. Тогда для матрицы (A + ΔA)_K

первой производной

(12)(x) квадратичной формы (2) в силу системы (12) очевидно равенство

(A + ΔA)_K = (A + ΔA)^тK + K(A + ΔA) = (A^тK + KA) + ((ΔA)^тK + KΔA) = A_K + (ΔA)_K .

Поэтому величины A_km (см. (5)) преобразуются к виду A_km + ΔA_km, где

∑

ΔA_km = (K_imΔa_ik + K_ikΔa_im), k,m = 1,n,

(13)

i=1

уравнение (6) примет вид

det (A_K + (ΔA)_K - μK) = 0,

(14)

а вместо многочлена (10) получим многочлен

PΔn(μ) = μⁿ + (a₁ + Δa₁)μn-1 + (a₂ + Δa₂)μn-2 + ... + (an-1 + Δan-1)μ + a_n + Δa_n,

(15)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59 № 3 2023

298

АНТОНОВСКАЯ

где Δa_k - сумма произведений всех миноров матрицы (ΔA)_K = (ΔA_ij )ni,j=1 до порядка k

включительно на соответствующие им алгебраические дополнения из матрицы Ki1,i2,...,ik .

В частности, нужный нам в дальнейшем коэффициент Δa_n равен

∑

(-1)

Δa_n =

ω_p,

(16)

det K

p=1

здесь

∑∑

ω₁ =

ΔA_ijA^ij, ω_n = det(ΔA)_K

(17)

i=1 j=1



∑



ΔAi1,j₁

ΔAi1,j₂

... ΔAi1,jq



i₁,...,iq

ω_q =

q = 2,n - 1,

(18)



j₁,...,jq



i₁<...<iq j1<...<jq

ΔAiq,j₁

ΔAiq,j₂

... ΔAiq,jq

где A^ij - алгебраическое дополнение элемента A_ij в матрице A_K , а Ai1,...,ik - алгебраическое_j

1,...,jk

дополнение минора матрицы A_K , построенного на строках с номерами i₁, . . . , i_k и столбцах

с номерами j₁, . . . , j_k. Многочлен (15) и величина (16) получаются, если раскрыть опреде-

литель в (14) с учётом равенств (13) и разделить получившийся многочлен на коэффициент

при старшей степени μ.

Задача, рассматриваемая в работе, состоит в нахождении условий, которым должны удо-

влетворять возмущения, чтобы квадратичная функция Ляпунова (2), построенная для систе-

мы (1), оставалась функцией Ляпунова и для возмущённой системы (12). В следующем пункте

уточним постановку задачи.

2. Об условиях, дающих решение задачи. Функция Ляпунова (2), построенная для

системы (1), будет оставаться функцией Ляпунова и для системы (12), если и только если все

собственные значения матрицы A_K + (ΔA)_K будут отрицательными.

2.1. Так как матрица A_K + (ΔA)_K симметричная, то все её собственные значения веще-

ственны (см., например, [15, с. 204]). Значит, если у матрицы A_K + (ΔA)_K все собственные

значения отрицательны, то все коэффициенты её характеристического многочлена PΔn(μ) по-

ложительны, что очевидно следует из формул Виета. Как хорошо известно [16, с. 92], для мно-

гочлена с вещественными коэффициентами (все корни которого не обязательно вещественны)

условие положительности всех коэффициентов является необходимым условием того, чтобы

все корни этого многочлена имели отрицательную вещественную часть, но, вообще говоря, не

достаточным для многочленов степени выше двух. В рассматриваемом же нами случае мно-

гочлена, все корни которого вещественны, это необходимое условие является и достаточным.

Действительно, если все коэффициенты многочлена, имеющего только вещественные корни,

положительны, то значения этого многочлена на неотрицательной полуоси положительны, а

значит, все его корни лежат на отрицательной полуоси. Таким образом, справедлива

Теорема 2. Квадратичная форма (2), являющаяся функцией Ляпунова для системы (1),

будет оставаться функцией Ляпунова и для системы (12), если и только если для матрицы

ΔA выполняются неравенства a_k + Δa_k > 0, k = 1,n.

Таким образом, чтобы проверить, будет ли квадратичная форма (2), являющаяся функци-

ей Ляпунова системы (1), также и функцией Ляпунова системы (12), нужно в дополнение к

найденным положительным коэффициентам a_k, k = 1, n, (см. формулы (11)) найти величи-

ны Δa_k, k = 1, n, (см. формулы (16)) и проверить выполнимость неравенств a_k + Δa_k > 0,

k = 1,n. Для проверки этого необходимого и достаточного условия нужно вычислить все

величины Δa_k, k = 1, n, что связано с большим количеством довольно объёмных вычисле-

ний. Можно предложить достаточное условие, для проверки которого требуется вычислить

фактически только элемент Δa_n.

Чтобы сформулировать это достаточное условие, рассмотрим, наряду с системой (12), так-

же параметрическое семейство уравнений

x = (A + τΔA)x,

(19)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59 № 3 2023

О СОХРАНЕНИИ КВАДРАТИЧНОЙ ФУНКЦИИ ЛЯПУНОВА

299

параметр τ в котором изменяется на отрезке [0, 1], и в которое системы (1) и (12) входят при

τ = 0 и τ = 1 соответственно. Обозначим через Δa_n(τ) величину Δa_n, вычисленную при

фиксированном τ для системы (19) по формуле (16), т.е. для системы (19) нужно в формулах

(17) и (18) заменить ΔA_ij на τΔA_ij и (ΔA)_K на (τΔA)_K . Тогда очевидно, что величина

Δa_n(τ) представляет собой многочлен степени n переменной τ с нулевым свободным членом:

∑

(-1)

Δa_n(τ) =

ω_pτ^p.

det K

p=1

Обозначим через PτΔn(μ) многочлен PΔn(μ) (см. (15)), построенный для системы (19). Сво-

бодный член многочлена PτΔn(μ) равен Δa_n(τ) + a_n и является многочленом степени n с

положительным свободным членом.

Предложение 1. Если многочлен Δa_n(τ) + a_n при всех τ ∈ [0, 1] положителен, то

квадратичная форма (2), являющаяся функцией Ляпунова для системы (1), будет функцией

Ляпунова и для системы (12).

Доказательство. У многочлена PτΔn(μ), поскольку он при любом τ ∈ [0, 1] является

характеристическим многочленом симметрической матрицы, все корни вещественные. Корни

многочлена являются непрерывными функциями его коэффициентов, поэтому корни много-

члена PτΔn(μ) - непрерывные функции параметра τ. Так как при τ = 0 все корни лежат на

отрицательной полуоси, то, если бы при изменении параметра τ от 0 до 1 хотя бы один из

корней перешёл на неотрицательную полуось, он, поскольку является непрерывной функци-

ей τ, должен был бы при некотором значении τ₀ ∈ (0, 1] стать равным нулю. Но тогда при

τ = τ₀ многочлен Δa_n(τ) + a_n, являясь произведением корней многочлена PτΔn(μ), должен

равняться нулю, что противоречит условию предложения. Предложение доказано.

2.2. Поставим следующую задачу: для матрицы A найти такое значение ε(A) > 0, чтобы

для любой матрицы ΔA, удовлетворяющей неравенству ∥ΔA∥ < ε(A), матрица A_K + (ΔA)_K

была бы невырожденной (а значит, все её собственные значения имели бы отрицательные

вещественные части). В приведённой постановке задачи величина ε(A) зависит от выбора

матричной нормы [15, с. 351], но заранее фиксировать эту норму нецелесообразно, а её выбор

в каждом конкретном случае должен отдельно оговариваться.

Из теоремы 2 вытекает, что величина ε(A) равна наибольшему из тех d, при которых для

любой матрицы ΔA, принадлежащей открытому шару ∥ΔA∥ < d, выполняются неравенства

a_k+Δa_k > 0, k = 1,n. Из этой задачи на максимум для системы n+1 неравенств (содержащей

n² + 1 неизвестных: n² элементов матрицы ΔA и величина d) получить в общем случае

для величины ε(A) выражение через элементы матрицы A, по-видимому, довольно сложно,

если вообще возможно. Конечно, приведённое выше неравенство a_k + Δa_k > 0, k = 1, n,

можно, как это следует из предложения 1, заменить условием: свободный член Δa_n(τ) +

+ a_n многочлена PτΔn(μ) при всех τ ∈ [0,1) положителен. Но, по-видимому, аналитические

трудности нахождения величины ε(A) из этих условий сравнимы с трудностями нахождения

этой величины из приведённой выше системы n + 1 неравенств. Поэтому сформулируем два

достаточных условия, решающих данную задачу.

Матрица A_K + (ΔA)_K будет невырожденной, если норма матрицы возмущения (ΔA)_K не

превосходит радиуса невырожденности [17, с. 118-119] матрицы A_K . Другими словами, имеет

место

Лемма. Если матрица A_K отрицательно определена, то матрица A_K + (ΔA)_K будет

отрицательно определённой при любой матрице (ΔA)_K, удовлетворяющей неравенству

∥(ΔA)_K ∥ < ∥A-1K∥-1 = min |Λ_i(A_K )|,

i=1,n

где Λ_i(A_K ) (i = 1, n) - собственные значения матрицы A_K . (Через ∥ · ∥ обозначена спек-

тральная норма матрицы [15, с. 357].)

Из леммы очевидно вытекает

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59 № 3 2023

300

АНТОНОВСКАЯ

Предложение 2. Если матрица A_K отрицательно определена и выполняется нера-

венство

∥ΔA∥ < (2∥K∥)-1 min |Λ_i(A_K )|,

i=1,n

то отрицательно определённой будет и матрица A_K + (ΔA)_K.

3. Два частных случая построения квадратичной функции Ляпунова с задан-

ным максимумом на её поверхности уровня первой производной. Пусть квадратичная

функция Ляпунова для системы (1) строится в соответствии с методикой работы [11], осно-

ванной на переходе к каноническим координатам.

3.1. Рассмотрим случай, когда все корни характеристического уравнения системы (1) ве-

щественны и различны; без нарушения общности считаем, что λ₁ < λ₂ < . . . < λ_n. Тогда

существует линейное преобразование координат

x = Bξ, ξ = (ξ₁,...,ξ_n)^т ∈ Rⁿ,

где B - невырожденная n×n-матрица, приводящее систему (1) к каноническому виду [1, с. 121]

ξ = Aξ, i = 1,n, A = diag[λ₁,...,λ_n].

(20)

(У матрицы B её k-й столбец является собственным вектором матрицы A, соответствующим

собственному значению λ_k, k = 1, n.) При этом квадратичные формы (2) и (3) перейдут

соответственно в квадратичные формы W (ξ) и

(20)(ξ), причём (см. [10])

(1)

(20)

(1)

(20)

max

= max

min

= min

V =V₀

W=V₀

V =V₀

W=V₀

Таким образом, не ограничивая общности, можно предполагать, что система (1) имеет

канонический вид (20). Тогда равенства (5) примут вид

A_km = (λ_m + λ_k)K_km, k,m = 1,n,

а уравнение (6) запишется следующим образом:

det ((λ_k + λ_m - μ)K_km)nk,m=1 = 0.

(21)

Построим для системы (1) квадратичную функцию Ляпунова (2), удовлетворяющую равенству

max

(20) = δV0, где в качестве заранее выбранной величины δ можно взять любое число

V =V₀>0

из полуинтервала [2λ_n, 0).

Квадратичную функцию Ляпунова с max

(20) = δV0 зададим следующим образом:

V =V₀>0

∑

V (ξ₁, ξ₂, . . . , ξ_n) =

K_iiξ2i + Kn-1,n-1ξ2n-1 + 2Kn-1,nξn-1ξ_n + K_nnξ2n,

(22)

i=1

где K_ii > 0, i = 1, n, K2n-1,n = (1-R(δ))Kn-1,n-1K_nn, а R(δ) = (λn-1 -λ_n)²(λn-1 +λ_n -δ)-2,

т.е. матрица K построенной квадратичной формы имеет вид

[

(

)]

Kn-1,n-1

Kn-1,n

K = diag K₁₁,...,Kn-2,n-2,

(23)

Kn-1,n

K_n,n

Несложно убедиться в том, что при условии δ ∈ [2λ_n, 0) величина R(δ) принадлежит полуин-

тервалу (0, 1], а квадратичные формы с матрицами K и A_K (матрицы A и K определены

в (20) и (23)) соответственно положительно и отрицательно определены. Корнями уравне-

ния (21) являются μ₁ = 2λ₁, . . . , μn-2 = 2λn-2, μn-1 = 2(λn-1 + λ_n) - δ, μ_n = δ (то, что

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59 № 3 2023

О СОХРАНЕНИИ КВАДРАТИЧНОЙ ФУНКЦИИ ЛЯПУНОВА

301

первые n - 2 из этих значений корни уравнения (21), очевидно, в том, что два последних

из них корни, проще всего убедиться непосредственной подстановкой в уравнение (21)). При

этом в рассматриваемом случае при выборе матрицы квадратичной формы (23) наибольшим

корнем уравнения (21) будет δ.

3.2. Рассмотрим случай, когда все корни характеристического уравнения системы (1) раз-

личны, причём среди корней с наибольшей вещественной частью имеются комплексно-сопря-

жённые между собой.

Пусть сначала корни λ₁, . . . , λn-2 характеристического уравнения вещественны и только

λn-1,n = α ± iβ, α = max Re λ_i, β = 0. Тогда существует линейное невырожденное преобра-

i=1,n

зование координат, приводящее систему (1) к каноническому виду [1, с. 121]

[

(

)]

α β

˙ξ

= Aξ, A = diag λ₁, . . . , λn-2,

(24)

-β α

(здесь и в аналогичном случае ниже матрицу коэффициентов получившейся после линейной

замены координат дифференциальной системы мы обозначаем снова через A). При этом квад-

ратичные формы (2) и (3) перейдут соответственно в квадратичные формы W (ξ) и

(24)(ξ),

причём (см. [10]) справедливы равенства

(1)

(25)

(1)

(25)

max

= max

min

= min

V =V₀

W=V₀

V =V₀

W=V₀

В этом случае для канонической системы дифференциальных уравнений (24) квадратич-

ную функцию Ляпунова, удовлетворяющую условию max^V = δV₀, можно искать [11] в ви-

V =V₀

де (22), где

(Kn-1,n-1 + K_nn)² = C(δ)(Kn-1,n-1K_nn - K2n-1,n), C(δ) = (δ - 2α)²β-2 + 4.

(25)

Нетрудно убедиться в том, что корнями уравнения (6) являются μ₁ = 2λ₁, . . . , μn-2 =

= 2λn-2, μn-1 = 4α - δ, μ_n = δ. В рассматриваемом случае при выборе (25) матрицы

квадратичной формы наибольшим корнем уравнения (6) будет δ.

Пусть теперь среди корней характеристического уравнения имеется, кроме пары λn-1,n =

α±iβ, β = 0, ещё одна пара комплексно-сопряжённых корней, скажем, пара λi-1,i = α₁±iβ₁,

β₁ = 0, а остальные корни вещественные. Тогда линейным невырожденным преобразованием

координат система (1) может быть приведена к виду, аналогичному (24), но с матрицей

[

(

)

(

)]

α₁

β₁

α β

A = diag λ₁,...,λi-2,

,λi+1,... ,λn-2,

−β₁

α₁

-β α

Если искать квадратичную функцию Ляпунова для канонической системы в виде (22), где

Kn-1,n-1 и Knn связаны равенством (25), считая коэффициенты Ki-1,i-1 и Kii равными

между собой (Ki-1,i-1 = K_ii), то корнями уравнения (6) будут μ₁ = 2λ₁, . . . , μi-2 = 2λi-2,

μi-1 = 2α₁, μ_i = 2α₁, μi+1 = 2λi+1, μn-2 = 2λn-2, μn-1 = 4α-δ, μ_n = δ. В рассматриваемом

случае при выборе (25) матрицы квадратичной формы наибольшим корнем уравнения (6)

будет также δ.

Случай, когда среди корней характеристического уравнения имеется несколько пар ком-

плексно-сопряжённых корней, рассматривается аналогично.

Таким образом, если наибольшему значению вещественных частей корней характеристи-

ческого уравнения соответствует пара комплексно-сопряжённых корней, корнями уравнения

(6) являются μ₁ = 2 Re λ₁, . . . , μn-2 = 2 Re λn-2, μn-1 = 4α - δ, μ_n = δ. И в рассматривае-

мом случае при выборе согласно (23), (25) матрицы квадратичной формы наибольшим корнем

уравнения (6) будет δ.

Переходя обратно от канонических переменных к переменным x₁, x₂, . . . , x_n, получим

квадратичную функцию Ляпунова (2), удовлетворяющую заданным ограничениям.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59 № 3 2023

302

АНТОНОВСКАЯ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. М.; Л., 1950.

2. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. М., 1966.

3. Косякин А.А., Шамриков Б.М. Колебания в цифровых автоматических системах. М., 1983.

4. Барбашин Е.А. Функции Ляпунова. М., 1970.

5. Хусаинов Д.Я., Юнькова Е.А. Об одном методе нахождения решения матричного уравнения Ля-

пунова с заданным спектром // Укр. мат. журн. 1984. Т. 36. № 4. С. 528-531.

6. Сарыбеков Р.А. Экстремальные квадратичные функции Ляпунова систем уравнений второго по-

рядка // Сиб. мат. журн. 1977. Т. 18. № 5. С. 1159-1167.

7. Комаров Ю.А., Хусаинов Д.Я. Некоторые замечания об экстремальной функции Ляпунова для

линейных систем // Укр. мат. журн. 1983. Т. 35. № 6. С. 750-753.

8. Пропой А.И. О проблеме устойчивости движения // Автоматика и телемеханика. 2000. № 4. С. 51-

60.

9. Антоновская О.Г., Горюнов В.И. Об одном способе оценки размеров области притяжения непо-

движной точки нелинейного точечного отображения произвольной размерности // Изв. вузов. Ма-

тематика. 2016. № 12. С. 12-18.

10. Антоновская О.Г. О построении квадратичной функции Ляпунова с заданными свойствами

// Дифференц. уравнения. 2013. Т. 49. № 9. С. 1220-1224.

11. Антоновская О.Г. Об определении коэффициентов квадратичной функции Ляпунова с заданными

свойствами // Дифференц. уравнения. 2016. Т. 52. № 3. С. 275-281.

12. Антоновская О.Г. О максимальном ограничении знакоотрицательности первой производной (пер-

вой разности) квадратичной функции Ляпунова // Дифференц. уравнения. 2003. Т. 39. № 11.

С. 1562-1563.

13. Антоновская О.Г. Построение квадратичных функций Ляпунова, удовлетворяющих заданным

ограничениям, для непрерывных и дискретных динамических систем // Изв. вузов. Математика.

2004. № 2 (501). С. 19-23.

14. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М., 1967.

15. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. М., 1989.

16. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М., 1967.

17. Поляк Б.Т., Хлебников М.В., Щербаков П.С. Управление линейными системами при внешних воз-

мущениях: техника линейных матричных неравенств. М., 2014.

Нижегородский государственный

Поступила в редакцию 30.01.2020 г.

архитектурно-строительный университет

После доработки 30.12.2022 г.

Принята к публикации 20.01.2023 г.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59 № 3 2023