ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2023, том 59, № 3, с.314-332

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

УДК 517.927.25

О СПЕКТРАЛЬНЫХ СВОЙСТВАХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ

ОПЕРАТОРОВ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА

С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КРАЕВЫМИ УСЛОВИЯМИ

Исследуются спектральные свойства дифференциального оператора L₀, порождённого

дифференциальным выражением l₀(y) = (-1)^my2m + q(x)y,

0 < x < 1, и краевыми

условиями y(s)(1)-y(s)(0) = 0 (s = 0, 2m - 1), где m ∈ N, q(x) - произвольная комплекс-

∫₁

нозначная функция из класса L⁺¹(0, 1) = {q(x) ∈ L₁(0, 1) :

q(t)e-2πikt dt = 0, k ≤ 0}.

DOI: 10.31857/S0374064123030032, EDN: QUDPJS

1. Введение. Постановка задачи. Известно [1; 2; 3, гл. XIX], что система корневых

функций дифференциального оператора произвольного чётного порядка с усиленно регуляр-

ными краевыми условиями образует безусловный базис пространства L₂.

В работе [4] доказано, что система корневых функций дифференциального оператора чёт-

ного порядка с не усиленно регулярными краевыми условиями образует базис в пространстве

L₂. Существуют примеры дифференциальных операторов с не усиленно регулярными крае-

выми условиями, системы корневых функций которых не образуют базис в пространстве L₂

(см., например, [2, 5, 6]).

Через L обозначим дифференциальный оператор

l(y) = -y^′′ + q(x)y,

0 < x < 1,

(1)

y^′ - (-1)^σy^′(0) = 0, y(1) - (-1)^σy(0) = 0,

(2)

где q(x) - произвольная комплекснозначная функция из класса L₁(0, 1) и σ = 0, 1. Отме-

тим, что краевые условия (2) (так называемые периодические и антипериодические краевые

условия) регулярны, но не усиленно регулярны.

В статьях [7-10] исследованы различные спектральные свойства оператора (1), (2) при σ =

= 0. В основном в этих работах рассматриваются такие комплекснозначные потенциалы q(x),

что соответствующие системы корневых функций содержат конечное число присоединённых

функций (для дифференциальных операторов высокого порядка см., например, [11-15]).

Базисность в пространстве L_p,

1 < p < ∞, системы корневых функций обыкновенного

дифференциального оператора с не усиленно регулярными краевыми условиями (особенно в

случае, когда система корневых функций содержит бесконечное число присоединённых функ-

ций) исследована сравнительно мало.

В [16] была изучена одна неклассическая задача распространения тепла в однородном

стрежне. Методом разделения переменных она сводится к краевой задаче

-y^′′(x) = λy(x),

0 < x < 1,

y(0) = 0, y^′(0) = y^′(1),

краевые условия которой являются регулярными, но не усиленно регулярными. Все собствен-

ные значения этой задачи, начиная со второго, двукратны, а общее число присоединённых

функций бесконечно. Тем не менее в работе было установлено, что специальным образом вы-

бранная система корневых функций образует безусловный базис в L₂(0, 1).

В работе [17] исследуются спектральные свойства дифференциального оператора (1), (2)

при q(x) = Ae2πirx, где A ∈ C, r ∈ Z - произвольные ненулевые постоянные. Установлено,

314

О СПЕКТРАЛЬНЫХ СВОЙСТВАХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ

315

что система корневых функций оператора L содержит бесконечное число присоединённых

функций. Доказано, что специальным образом выбранная система корневых функций этого

оператора образует базис пространства L_p(0, 1),

1 < p < ∞, причём при p = 2 этот базис

является безусловным.

Отметим также статьи [18] и [19], посвящённые исследованию спектральных свойств неко-

торых несамосопряжённых дифференциальных операторов и операторов с периодическими

коэффициентами.

Пусть q(x) - произвольная комплекснозначная функция из класса L₂(0, 1) и

∫¹

q_k = q(t)e-2πikt dt, k ∈ Z.

Класс L⁺¹(0, 1) определим следующим образом:

L⁺¹(0,1) = {q(x) ∈ L₁(0,1) : q_k = 0, k ≤ 0}.

В дальнейшем через L₀ будем обозначать дифференциальный оператор, порождённый

дифференциальным выражением

l(y) = (-1)^my(2m) + q(x)y,

(3)

заданным на интервале (0, 1), и краевыми условиями

y(s)(1) - y(s)(0) = 0, s = 0,2m - 1,

(4)

где m ∈ N и q(x) - произвольная функция из класса L⁺¹(0, 1).

Данная работа посвящена исследованию спектральных свойств (структуры) множества

собственных значений и системы корневых функций, базисных свойств в пространствах

L_p(0,1),

1 < p < ∞, дифференциального оператора L₀ при условии q(x) ∈ L+1 (0,1).

2. Основные результаты. Введём некоторые обозначения. Пусть {T2n}n=∞n=1 - произволь-

ная фиксированная числовая последовательность, ν(l)=(ν₁, . . . , ν_e)∈Z^l,

Z^lk(r) = {ν(l) ∈ Z^l : k > ν₁ > ... > ν_l > r,

|ν_j | = n, j = 1, l},

∑

qk-ν1 · · · qνl-1-ν_lqν_l-n

A_k,n = q_k-n +

(5)

)

(2π)2ml(n2m - ν2m1) · · · (n2m - ν2ml

l=1 ν(l)∈Z^lk(r)

∑

qk-ν1 · · · qkl-1-ke^qkl+n

B_k,n = q_k-n +

(6)

(2π)2ml(n2m - ν2m1) · · · (n2m - ν2ml)

l=1 ν(l)∈Z^lk(r)

B_n = B_n,n, n ∈ N,

(7)

N₁ = {n ∈ N : B_n = 0}, N₂ = N/N₁,

(8)

A_k,n

Φ(n)k,1 =

k ≥ n + 1, n ∈ N

^⋃ {0},

(9)

(2π)2m(n2m - k2m)

A_k,n

Φ(n)k,2 =

k ≥ -n + 1, k = n, n ∈ N,

(10)

(2π)2m(n2m - k2m)

Φk,1(n) = 0, Φn,1(n) = 1, k < n, k ∈ Z, n ∈ N

^⋃ {0},

(11)

Φk,2(n) = 0, Φn,2(n) = 0, Φ-n,2(n) = 1, k < -n, k ∈ Z, n ∈ N,

(12)

[

]

∑

qk-ν1 . . . qkν-1-ν_lΦνn)l,1

D_k(n) = Φ(n)k,1 +

(2π)2m(n2m - ν2m1) . . . (n2m - ν2ml)

l=1 ν(l)∈z^lk(n)

k ≥ n + 1, k ∈ N, n ∈ N,

(13)

(2π)2m(n2m - k2m)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№3

2023

316

КЕРИМОВ

D_k(n) = 0, k ≤ n, k ∈ Z, n ∈ N,

(14)

Ψ_k(n) = Φk,1(n)T2n -

Φk,2(n) + D_k(n), k ≥ -n + 1, k = n, n ∈ N,

(15)

B_n

Ψ_k(n) = 0(k < -n + 1), Ψ_n(n) = T2n, Ψ_-n(n) = -B-1n,

(16)

∑

W2n(x) = e-2πinx +

Φk,2(n)e2πikx, n ∈ N,

(17)

k=-n+1

∑

u₀(x) = 1 + Φk,1(0)e2πikx,

(18)

k=1

∑

u2n-1(x) = e2πinx +

Φk,1(n)e2πikx, n ∈ N₁,

(19)

k=n+1

u2n(x) = W2n(x), n ∈ N₁,

(20)

[

]

∑

u2n-1(x) = (-B_n)1/2 e2πinx +

Φk,1(n)e2πikx ,

k∈N₂,

(21)

k=n+1

∑

u2n(x) = (-B_n)1/2

Ψ_k(n)e2πikx, n ∈ N₂.

(22)

k=-n

Заметим, что согласно (13)-(17) имеет место равенство

∑

u2n(x) = T2nu2n-1(x) + (-B_n)-1/2W2n(x) + (-B_n)1/2

D_k(n)e2πikx, n ∈ N₂.

(23)

k=n+1

Пусть {λ_n}n=∞n=0 - последовательность всех собственных значений дифференциального опе-

ратора L₀, пронумерованных в порядке возрастания абсолютных величин и без учёта крат-

ностей.

Теорема 1. Пусть q(x) ∈ L⁺¹(0, 1). Тогда последовательность собственных значений

{λ_n}n=∞n=0 дифференциального оператора L₀ обладает следующими свойствами:

(a) λ_n = (2πn)2m, n ∈ N

^⋃ {0};

(b) λ0 - простое собственное значение, а λn - двукратное собственное значение при

любом n ∈ N;

ная равенством (18);

(d) при n

∈ N₁

собственному значению λ_n соответствуют собственная функция

u2n-1(x), определённая равенством (19), и собственная функция u2n(x), определённая ра-

венством (20);

(e) при n

∈ N₂

собственному значению λ_n соответствуют собственная функция

u2n-1(x), определённая равенством (21), и присоединённая функция u2n(x), определённая ра-

венством (22).

Теорема 2. Пусть p ∈ (1, ∞) - произвольное фиксированное число и q(x) ∈ L⁺¹(0, 1).

Тогда система корневых функций дифференциального оператора L₀ обладает следующими

свойствами:

(a) если |N₂| < ∞, то система корневых функций дифференциального оператора L₀ об-

разует базис пространства L_p(0, 1), и при p = 2 этот базис является безусловным;

(b) если |N₂| = ∞, то специальным образом выбранная система корневых функций диффе-

ренциального оператора L₀ образует базис пространства L_p(0,1), и при p = 2 этот базис

является безусловным.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№3

2023

О СПЕКТРАЛЬНЫХ СВОЙСТВАХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ

317

Теорема 3. Пусть p ∈ (1, ∞) - произвольное фиксированное число и |N₂| = ∞. Тогда

необходимым и достаточным условием базисности в L_p(0,1) системы корневых функций

дифференциального оператора L₀ является существование постоянной C₁, обеспечивающей

для всех n ∈ N₂ справедливость неравенства

|T2nB_n| ≤ C₁.

(24)

3. Некоторые вспомогательные утверждения. Пусть q(x) ∈ L⁺¹(0,1) и L₀ - диффе-

ренциальный оператор (3), (4).

Лемма 1. Пусть Φk,1(n), Φk,2(n), D_k(n) - числа, определённые равенствами (9), (10),

(13). Тогда справедливы неравенства

∑

|Φk,1(n)| ≤ C₂,

|Φk,2(n)| ≤ C₁(n),

|D_k,n| ≤ C₃,

(25)

k=n+1

k=n

где C₂, C₃ - некоторые постоянные, а C₁(n) - постоянная, зависящая только от n.

Доказательство. Предположим, что

∑

P_n,s =

n∈N

^⋃ {0}, s ∈ N.

(26)

ν2m - n2m

ν=n+s

Пусть s ≥ 2, ν ≥ n + s и x ∈ [ν - 1, ν]. Имеем 1/(ν2m - n2m) ≤ 1/(x2m - n2m). Следова-

тельно,

∫

∑

P_n,s =

≤

ν2m - n2m

x2m - n2m

ν=n+s

ν=n+sν-1

n+s-1

⎧

⎪∫

⎧

⎪

n = 0,

⎪

⎨

x2m

(2m - 1)(s - 1)2m-1

⎨

s-1

∫

⁼⎪⎪

≤⎪⎪

n≥1

⎪

n≥1

⎩n2m - 1

x² - 1

⎩n2m-1

x2m - 1

1+(s-1)/n

⎧

⎪

⎨

n = 0,

(2m - 1)((- 1)2m-1

)

≤

⎪

s-1

n≥1

^⎩ 2n2m-1^ln

s-1

Таким образом, имеет место неравенство

P_n,s ≥

n∈N

^⋃ {0}, S ≤ 2.

(27)

s-1

Кроме того, заметим, что

Pn,1 = Pn,2 +

≤ 1 + 1 = 2.

(28)

(n + 1)2m - n2m

Пусть

∫¹

R₀ =

|q(x)| dx.

(29)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№3

2023

318

КЕРИМОВ

Очевидно, что справедлива оценка

∫



|q_k| =^ q(x)e-2πikx dx

R₀.

(30)

≤

Заметим, что если ν(l) ∈ Z^lk(n), то k > ν₁ . . . ν_l > n и, следовательно, имеет место нера-

венство ν_r ≥ n + l - r + 1, r = 1, l. Отсюда и из (5), (26)-(30) получим соотношения

∑

Rl+10

|A_k,n| ≤ R₀ +

≤

(2π)2ml(ν2m1 - n2m) · · · (ν2ml

-n2m)

l=1 ν(l)∈Z^lk(n)

∑

Rl+1

2Rl+10

≤R₀ +

(Pn,1 . . . P_n,l) ≤ R₀ +

=C₄,

(2π)2ml

(2π)2ml(l - 1)!

l=1

где C₄ - некоторая постоянная. Следовательно,

∑

|A_k,n|

C₄Pn,1

2C₄

|Φk,1(n)| ≤

≤

=C₂.

(2π)

k2m - n2m

(2π)2m

k=n+1

Первое из неравенств (25) доказано.

Ввиду (6) и (30) получим

∑

Rl+10

|B_k,n| ≤ R₀ +

≤

(2π)2ml|ν2m1 - n2m| · · · |ν2ml

-n2m|

l=1 ν(l)∈Z^lk(n)

)_l

∑

Rl+10

Rl+10E(l)k,n

≤R₀ +

(31)

(2π)2ml

|ν2m - n2m|

(2π)2ml

l=1

|ν|=n

l=2n+2

где

∑

Rl+10

E(l)k,n =

∥ν2m1 - n2m∥ · · · |ν2ml - n2m|

ν(l)∈Z^lk (n)

Отсюда в силу (27) вытекает, что для всех l ≥ 2n + 2 имеет место оценка

∑

E(l)k,n =

···

≤

|ν2m - n2m|

ν=-n+1

ν=-n+2

ν=-n+1

ν=n

(

)2n

(

)2n

∑

≤

(Pn,2 . . . Pn,l-2n) ≤

|ν2m - n2m|

|ν2m - n2m| (l - 2n -

1)!

ν=-n+1

ν=n

Следовательно, используя (31), легко получим неравенство |B_k,n| ≤ C₂(n), k ≥ -n+1, k = n,

где C₂(n) - некоторая постоянная, зависящая только от n. Тогда ввиду (10) имеем

∑

C₂(n)

|Φk,2(n)| ≤

= C₁(n).

(2π)

|ν2m - n2m|

ν=-n+1

ν=-n+2

ν=n

Третье из неравенств (25) доказывается аналогично первому. Лемма доказана.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№3

2023

О СПЕКТРАЛЬНЫХ СВОЙСТВАХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ

319

Лемма 2. Справедливы равенства

∑

(2π)2m(n2m - k2m)Φk,1(n) =

q_k-νΦν,1(n), n ∈ N

^⋃ {0}, k ∈ Z,

(32)

ν∈Z

∑

(2π)2m(n2m - k2m)Φk,2(n) =

q_k-νΦν,2(n), n ∈ N₁, k ∈ Z,

(33)

ν∈Z

∑

(2π)2m(n2m - k2m)Ψ_k(n) =

q_k-νΨ_ν(n) + Φk,1(n), n ∈ N₂, k ∈ Z.

(34)

ν∈Z

Доказательство. Докажем (32). Сходимость ряда в правой части равенства (32) следует

из леммы 1 и из (11), (30).

∑

Пусть k ≤ n. В этом случае в силу (11) равенство (32) равносильно_ν∈Z q_k-νΦν,1(n) = 0.

Поскольку q(x) ∈ L⁺¹(0, 1), то из соотношения q_k-νΦν,1(n) = 0 и (11) следует неравенство

k > ν ≥ n.Таким образом, (32) справедливо при k ≤ n.

Пусть k > n. Тогда согласно (5), (9) и (11) имеем

∑

q_k-νΦν,1(n) = q_k-n +

q_k-νΦν,1(n) = q_k-n+

q_k-ν ×

ν∈Z

ν=n+1

[

]

∑

qν-ν1 . . . qνl-1-ν_lqν_l-n

× q_ν-n +

(2π)2ml(n2m - ν2m1) . . . (n2m - ν2ml)

(2π)2ml(n2m - ν2m)

l=1 ν(l)∈Z^lν(n)

∑

q_k-νq_ν-n

=q_k-n +

(2π)2m(l+1)(n2m - ν2m1)

ν=n+1

∑

∑ ∑

q_k-νqν-ν1 . . . qνl-1-ν_lqν_l-n

(2π)2m(l+1)(n2m - ν2m1) . . . (n2m - ν2ml)(n2m - ν2m)

ν=n+1 l=1 ν(l)∈Z^lν(n)

∑

q_k-νqν-ν1 ... qνl-1-ν

qνl-n

=q_k-n +

= (2π)2m(n2m - k2m)Φk,1(n).

)

(2π)2ml(n2m - ν2m1) . . . (n2m - ν2ml

l=1 ν(l)∈Z^lν (n)

Равенство (32) доказано.

Докажем равенство (33). Сходимость ряда в правой части (33) следует из леммы 1 и из (30)._∑

Пусть k ≤ -n. В этом случае в силу (12) равенство (33) равносильноν∈Z q_k-νΦν,1(n) =

= 0. Как и в первом случае из соотношения q_k-νΦν,1(n) = 0 и из (12) следует неравенство

k > ν ≥ -n. Следовательно, (33) справедливо при k ≤ -n._∑

Если k = n, то (33) равносильноν∈Z q_n-νΦν,2(n) = 0. Заметим, что согласно (12), (6)-(8)

при n ∈ N₁ имеем

∑

q_n-νΦν,2(n) = q₀Φn,2(n) + q2nΦ-n,2(n) +

q_n-νΦν,2(n) =

ν∈Z

|ν|=n

[

]

∑

qν-ν1 . . . qνl-1-ν_lqνe+n

=q2n +

q_n-ν qν+n +

)

(2π)2ml(n2m - ν2m1) . . . (n2m - ν2ml

|ν|=n

l=1 ν(l)∈Z^lν (-n)

= B_n = 0.

(2π)2ml(n2m - ν2m)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№3

2023

320

КЕРИМОВ

Пусть k > -n и k = n. Используя (10), (6) и (12), получим

∑

q_n-νΦν,2(n) = q_k-nΦn,2(n) + qk+nΦ-n,2(n) +

q_k-νΦν,2(n) = qk+n +

ν∈Z

ν=-n+1

ν|=n

[

]

∑

qν-ν1 . . . qνl-1-ν_lqνe+n

q_k-ν qν+n +

(2π)2ml(n2m - ν2m1) . . . (n2m - ν2ml) (2π)2ml(n2m - ν2m)

ν=-n+1

l=1 ν(l)∈Z^lν(-n)

ν|=n

∑

qk-ν1 . . . qνl-1-ν_lqνe+n

=qk+n +

= (2π)2m(n2m - k2m)Φk,2(n).

)

(2π)2ml(n2m - ν2m1) . . . (n2m - ν2ml

l=1 ν(l)∈Z^lν (-n)

Равенство (33) доказано.

Сходимость ряда в правой части (33) следует из леммы 1 и из (15), (30). В силу (16), (11) и_∑

(12) при k ≤ -n равенство (34) равносильноν∈Z q_n-νΨ_ν (n) = 0. Как и в предыдущих слу-

чаях из соотношения q_k-νΨ_ν (n) = 0 получим k > ν ≤ -n. Таким образом, (34) справедливо

при k ≤ -n.

При k = n (34) в силу (11) равносильно равенству

∑

q_n-νΨ_ν(n) + 1 = 0.

(35)

ν∈Z

Ввиду (15) и (16) получим

∑

q2n

q_n-νΨ_ν(n) + 1 =

q_k-νΨ_ν(n) + 1 -

B_n

ν∈Z

ν=-n+1

ν=n

∑

q2n

=T2n

q_n-νΦν,1(n) -

q_n-νΦν,2(n) +

q_n-νD_ν(n) + 1 -

(36)

B_n

ν=-n+1

ν=n

В силу (11) и (14) имеем

∑

q_n-νΦν,1(n) =

q_n-νD_ν(n) = 0.

ν=-n+1

ν=n

Отсюда и из (36) следует равенство

(

)

∑

q_n-νΨ_ν(n) + 1 = 1 -

q2n +

q_n-νΦν,2(n)

(37)

ν∈Z

ν=-n+1

ν=n

С другой стороны, в силу формул (6), (7) и (10) имеем

∑

q2n +

q_n-νΦν,2(n) = 0.

(38)

ν=-n+1

ν=n

Равенство (35) является следствием (37) и (38).

Докажем (34) при k ≥ -n + 1, k = n. В данном случае (34) равносильно равенству

∑

(2π)2m(n2m - k2m)Ψ_k(n) =

q_n-νΨ_ν(n) + T2nq_k-n -

qk+n + Φk,1(n).

B_n

ν=-n+1

ν=n

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№3

2023

О СПЕКТРАЛЬНЫХ СВОЙСТВАХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ

321

Согласно обозначениям (5)-(15) имеем

∑

q_k-νΨ_ν(n) + T2nq_k-n -

qk+n + Φk,1(n) =

ν=-n+1

ν=n

(

)

∑

qν-ν1 . . . qνl-1-ν_lqν_l-n

=T2n q_k-n +

q_k-ν q_ν-n +

(2π)2ml(n2m - ν2m1) . . . (n2m - ν2ml)

ν=-n+1

l=1 ν∈Z^lν(n)

ν=n

)

(

∑

qk+n +

q_k-ν ×

(2π)2m(n2m - ν2m)

B_n

ν=-n+1

ν=n

(

)

∑

qν-ν1 . . . qνl-1-ν_lqν_l+n

× qν+n +

(2π)2ml(n2m - ν2m1) . . . (n2m - ν2ml)

(2π)2m(n2m - ν2m)

l=1 ν∈Z^lν(n)

(

)

∑

qν-ν1 ... qνl-1-ν_lΦν_l,1(n)

+ Φk,1(n)+

q_k-ν Φν,1(n) +

(2π)2m(n2m - ν2m1) . . . (n2m - ν2ml)

ν=-n+1

l=1 ν∈Z^lν(n)

ν=n

)

=T2nA_k,n -

B_k,n + D_k(n)(2π)2m(n2m - k2m) =

(2π)2m(n2m - ν2m)

B_n

(

)

= T2nΦk,1(n) -

Φk,2(n) + D_k(n)

(2π)2m(n2m - k2m) = (2π)2m(n2m - k2m)Ψ_k(n).

B_n

Равенство (34) доказано. Лемма доказана.

Лемма 3. Справедливы следующие оценки:

∑

⁽ ln(n + 1)⁾

|Φk,1(n)| = O

(39)

n2m-1

k=n+1

∑

⁽ ln(n + 1)⁾

|Φk,2(n)| = O

(40)

n2m-1

k=-n+1

∑

⁽ ln(n + 1)⁾

|D_k(n)| = O

(41)

n2m-1

k=n+1

Доказательство. Пусть n ≥ 3 и

∑

E(n) =

(42)

|n2m - ν2m|

ν=n

Заметим, что

E(n) =

+ E₁(n) + E₂(n),

(43)

n2m

где

∑

E₁(n) =

E₂(n) =

(44)

n2m - ν2m

ν2m - n2m

ν=1

ν=n+1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№3

2023

322

КЕРИМОВ

Если x ∈ [ν, ν + 1], ν = 1, n - 2, то имеем

≤

n2m - ν2m

n2m - x2m

Следовательно,

∫

∑

ln(n + 1)

≤

2m - ν2m

n2m - x2m

n2m-1

ν=1

ν=1 ν

Отсюда и из (44) легко вывести неравенство

2 ln(n + 1)

E₁(n) ≤

(45)

n2m-1

Как и выше, при x ∈ [ν - 1, ν], ν ≥ n + 2, имеем 1/(ν2m - n2m) ≤ 1/(x2m - n2m), откуда

следует неравенство

∫

∑

≤

ν2m - n2m

x2m - n2m

ν=n+2

ν=n+2ν-1

n+1

∫

ln(2n + 1)

ln(n + 1)

≤

n2m-1

x² - 1

2n2m-1

n2m-1

1+1/n

Отсюда и из (44) приходим к оценке

ln(n + 1)

2 ln(n + 1)

E₂(n) ≤

≤

(46)

(n + 1)2m - n2m

n2m-1

В силу (42)-(46) имеем

5 ln(n + 1)

E(n) ≤

(47)

n2m-1

Пусть n₀ ≥ 3 - фиксированное целое число такое, что при всех n ≥ n₀

имеют место

неравенства

R₀E(n)

5R₀ ln(n + 1)

≤

(2π)2m

(2π)2mn2m-1

где R₀ - число, определённое равенством (29). Тогда в силу (5), (9), (42) и (47) при n ≥ n₀

получим

[

]

∑

Rl0

|Φk,1(n)|≤R₀

≤

(2π)2ml|n2m - ν2m1| · · · |n2m - ν2ml|

(2π)2m|n2m -k2m|

k=n+1

l=1 v∈Z^lν(n)

[

∑

⁽R₀E(n))l]

2R₀E(n)

10R₀ ln(n + 1)

≤R₀

≤

(2π)2m

(2π)2m|n2m - k2m|

(2π)2m

(2π)2mn2m-1

k=n+1

l=1

Оценка (39) доказана.

Оценки (40) и (41) доказываются совершенно аналогично. Лемма доказана.

Лемма 4. Если существует присоединённая функция дифференциального оператора L₀,

∫₁

соответствующая собственной функции y₀(x), то справедливо равенство

y²⁰(x)dx = 0.

Это утверждение доказывается аналогично доказательству леммы 3.1 из работы [17].

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№3

2023

О СПЕКТРАЛЬНЫХ СВОЙСТВАХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ

323

Лемма 5 [17]. Пусть выполнены следующие условия:

∫₁

a) y₀, y₁ - функции из класса L₂(0, 1) и

y²(x)dx = 0,

y₀(x)y₁(x)dx = 1;

b) функции ψ₀ и ψ₁ определены равенствами ψ₀ = -(a + c₀)y₀ + y₁, ψ₁ = y₀, где a -

∫₁

произвольное фиксированное число и c₀ =

y²¹(x)dx.

Тогда справедливы равенства (y₀, ψ₀) = (ay₀ + y₁, ψ₁) = 1, (y₀, ψ₁) = (ay₀ + y₁, ψ₁) = 0.

Элементы системы {ν_n(x)}n=∞n=0 определим следующим образом:

v₀(x) = u₀(x), v2n-1(x) = u2n(x), n ∈ N₁,

(48)

v2n(x) = u2n-1(x), n ∈ N,

(49)

∑

v2n-1(x) = -T∗2nu2n-1(x) +

W2n(x) + (-B_n)1/2

D_k(n)e2πikx, n ∈ N₂,

(50)

(-B_n)1/2

k=n+1

(

)

∑

T^∗

=T2n

Φ20,2(n) + 2

Φk,2(n)Φ-k,2(n)

(51)

k=1

Лемма 6. Справедливы асимптотические формулы

(

⁽ ln(n + 1)⁾⁾

u2n-1(x) = v2n(x) = e2πinx 1+O

n∈N₁,

|N₁| = ∞,

(52)

n2m-1

(

⁽ ln(n + 1)⁾⁾

u2n(x) = v2n-1(x) = e-2πinx 1+O

n∈N₁,

|N₁| = ∞,

(53)

n2m-1

(

⁽ ln(n + 1)⁾⁾

u2n-1(x) = v2n(x) = (-B_n)1/2e2πinx 1+O

n∈N₂,

|N₂| = ∞,

(54)

n2m-1

(

⁽ ln(n + 1)⁾⁾

u2n(x) = T2n(-B_n)1/2e2πinx 1+O

n2m-1

(

⁽ ln(n + 1)⁾⁾

+ (-B_n)-1/2e2πinx 1+O

n∈N₂,

|N₂| = ∞,

(55)

n2m-1

(

⁽ ln(n + 1)⁾⁾

v2n-1(x) = -T2n(-B_n)1/2e2πinx 1+O

n2m-1

(

⁽ ln(n + 1)⁾⁾

+ (-B_n)-1/2e2πinx 1+O

n∈N₂,

|N₂| = ∞.

(56)

n2m-1

Доказательство. Формулы (52)-(54) являются простыми следствиями обозначений (17)-

(21), (48), (49) и леммы 3.

Докажем формулу (56) (формула (55) доказывается совершенно аналогично).

Заметим, что согласно лемме 3 и равенству (17) справедливы равенства

∑

⁽ ln²(n + 1)⁾

Φ20,2(n) + 2

Φk,2(n)Φ-k,2(n) = O

n∈N₂,

|N₂| = ∞,

n4m-1

k=1

(

⁽ ln(n + 1)⁾⁾

W2n(x) = e-2πinx 1+O

n ∈ N.

n2m-1

Кроме того, в силу (6) и (7) имеем

)

⁽ ln(n + 1)

B_n = q2n + O

= O(1), n ∈ N₂,

|N₂| = ∞.

n2m-1

Равенство (55) является следствием последних трёх равенств и (50), (51), (54).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№3

2023

324

КЕРИМОВ

В дальнейшем норму в пространстве L_p(0, 1),

1 < p < ∞, будем обозначать через ∥ · ∥_p.

Лемма доказана.

Пусть запись b_n = O^∗(1), где {b_n}∞n=1 - произвольная числовая последовательность, озна-

чает выполнение неравенства d₁ ≤ |b_n| ≤ d₂, n ∈ N, где d₁ и d₂ - некоторые положительные

постоянные.

Лемма 7. При p ∈ (1, ∞) имеют место соотношения

)

⁽ ln(n + 1)

∥u2n-1∥_p = ∥v2n∥_p = 1 + O

n∈N₁,

|N₁| = ∞,

(57)

n2m-1

)

⁽ ln(n + 1)

∥u2n∥_p = ∥v2n-1∥_p = 1 + O

n∈N₁,

|N₁| = ∞,

(58)

n2m-1

(

⁽ ln(n + 1)⁾⁾

∥u2n-1∥_p = ∥v2n∥_p = |B_n|1/2 1+O

n∈N₂,

|N₂| = ∞,

(59)

n2m-1

∥u2n∥_p = |B_n|-1/2[|T2nB_n| + 1]O^∗(1), n ∈ N₂,

|N₂| = ∞,

(60)

∥v2n-1∥_p = |B_n|-1/2[|T2nB_n| + 1]O^∗(1), n ∈ N₂,

|N₂| = ∞.

(61)

Доказательство данной леммы дословно повторяет доказательство леммы 3.5 из [17].

Лемма 8 [17]. Пусть {ϕ_n}n=∞n=0 - ортонормированный базис гильбертова пространства

H и {a_n}n=∞n=0 - произвольная ограниченная числовая последовательность. Тогда система

{ψ_n}n=∞n=0, где ψ₀ = ϕ₀, ψ2n-1 = ϕ2n-1 и ψ2n = a_nϕ2n-1 + ϕ2n, n ∈ N, является базисом

Рисса пространства H.

Лемма 9. Пусть n - фиксированное целое неотрицательное число, R(x) ∈ L₁(0, 1),

∫₁

F (x) ∈ L₁(0, 1),

{θ_k}k∈Z ∈ l₁, r_k =

R(x)e-2πikx dx, k ∈ Z, F_k =

F (x)e-2πikx dx, k ∈ Z,

∑

(2π)2m(n2m - k2m)θ_k =

r_k-νθ_ν + F_k, k ∈ Z.

(62)

ν∈Z

Тогда функция

∑

u(x) = θ_ke2πikx

(63)

k∈Z

принадлежит классу W2m1(0,1) и является решением краевой задачи

(-1)^mu(2m)(x) + R(x)u(x) = (2πn)2mu(x) - F (x),

(64)

u(s)(1) - u(s)(0) = 0, s = 0,2m - 1.

(65)

Доказательство. В силу условия {θ_k}k∈Z ∈ l₁ функциональный ряд в правой части (63)

сходится абсолютно и равномерно на отрезке [0, 1]. Следовательно,

∫

∑

R(x)u(x)e-2πikx

dx = θ_ν R(x)e-2πi(k-ν) dx =

z_k-νθ_ν, k ∈ Z.

(66)

ν∈Z

Из (62) и (66) находим, что при k ∈ Z имеет место равенство

∫¹

(-1)^m(2πik)2mθ_k =

[(2πk)2mu(x) - R(x)u(x) - F (x)]e-2πikx dx,

(67)

т.е. числа (-1)^m(2πik)2mθ_k, k ∈ Z, являются коэффициентами Фурье функции

Q(x) = (2πn)2mu(x) - R(x)u(x) - F (x).

(68)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№3

2023

О СПЕКТРАЛЬНЫХ СВОЙСТВАХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ

325

Пусть

∫1

Q_k = Q(x)e-2πikx dx, k ∈ Z.

(69)

Согласно [20, п. 10.1.5] ряд

^∑Q_k

e2πikx

(70)

2πik

k=0

равномерно сходится при x ∈ [0, 1]. Заметим также, что ряды

∑ Q_k

e2πikx, s = 2,2m - 1,

(2πik)^s

k=0

сходятся абсолютно и равномерно при x ∈ [0, 1].

Ввиду (67)-(69)

Q_k = (-1)^m(2πik)2mθ_k, k ∈ Z.

(71)

Отсюда и из рассуждений выше следует, что ряды

∑

(2πik)2mθ_ke2πikx, s = 0, 2m - 1,

k∈Z

сходятся равномерно на отрезке [0, 1]. Следовательно, u(x) ∈ C2m-1[0, 1], при s = 0, 2m - 1

∑

u(s)(x) =

(2πik)^sθ_ke2πikx,

(72)

k∈Z

и ряд в правой части (72) сходится равномерно на [0, 1]. Отсюда также следует, что функция

u(x) удовлетворяет краевым условиям (65).

Используя интегрирование по частям, находим

∫

(∫x

)

Q_k

Q(t) dt e-2πikx dx =

k = 0, k ∈ Z.

2πik

Кроме того,

∫

(∫x

)

∫

Q(t) dt dx = - xQ(x) dx = d₀.

∫_x

Таким образом, ряд Фурье функции

Q(t) dt,

0 ≤ x ≤ 1, имеет вид

∫

∑

Q_ke2πikx

Q(t) dt =

+d₀

2πik

k∈Z

и равномерно сходится при x ∈ [0, 1]. Следовательно, ряд (70), или согласно (71) ряд

∑

(-1)^m

(2πik)2m-1θ_ke2πikx,

k∈Z

∫_x

является рядом Фурье функции

Q(t) dt - d₀ при x ∈ [0, 1]. Отсюда и из (72) получим

равенство

∫x

(-1)^mu(2m-1)(x) = Q(t) dt - d₀,

0 ≤ x ≤ 1,

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№3

2023

326

КЕРИМОВ

которое означает, что (-1)^mu(2m-1)(x) ∈ W¹¹(0, 1) и при почти всех x ∈ (0, 1) имеет место

(-1)^mu(2m-1)(x) = Q(x). Отсюда и из (68) следует, что уравнение (64) удовлетворяется при

почти всех x ∈ (0, 1). Лемма доказана.

4. Доказательство основных результатов. Докажем, что функция u2n-1(x), n ∈ N,

является собственной функцией дифференциального оператора L₀, соответствующей соб-

ственному значению λ = (2πn)2m.

Введём обозначения R(x) = q(x), F (x) = 0, θ_k = Φk,1(n), k ∈ Z. Заметим, что согласно

(25) и (32) выполняются все условия леммы 9. Следовательно, функция u(x) = u2n-1(x) при-

надлежит классу W2m1(0, 1) и является решением краевой задачи (64), (65) при R(x) = q(x),

F (x) = 0.

Используя леммы 1, 2 и 9, совершенно аналогичным образом доказывается, что функция

u2n(x), n ∈ N₁

^⋃ {0}, является собственной функцией дифференциального оператора L₀,

соответствующей собственному значению λ = (2πn)2m.

∫₁

Заметим, что

u²⁰(x)dx = 1. Тогда в силу леммы 4 не существует присоединённой функ-

ции, соответствующей собственной функции u₀(x).

Пусть n ∈ N₂ - фиксированное число, R(x) = q(x), F (x) = u2n-1(x), θ_k = (-B_n)1/2ψ_k(n).

Ввиду (15), (16), (11), (12), (14) и (25) имеем соотношения

∑

|θ_k| ≤ |T2n||B_n|1/2

|Φk,1(n)| + |B_n|-1/2

|Φk,2(n)| + |B_n|1/2

|D_k(n)| < ∞.

k∈Z

k=n+1

k=-n

k=n+1

Следовательно, удовлетворяются все условия леммы 9.

Таким образом, функция

∑

u(x) = u2n(x) = (-B_n)1/2

ψ_k(n)e2πikx, n ∈ N₂,

k=-n

принадлежит классу W2m1(0, 1) и является решением краевой задачи (64), (65) при R(x) =

= q(x), F(x) = u2n-1(x), т.е. функция u2n(x) (n ∈ N₂) является присоединённой функцией

дифференциального оператора L₀, соответствующей собственному значению (2πn)2m и соб-

ственной функции u2n-1(x).

Тем самым доказано, что каждое из чисел (2πn)2m, n ∈ N

^⋃ {0}, является собственным

значением дифференциального оператора L₀, причём при n ≥ 1 число (2πn)2m является по

меньшей мере двукратным собственным значением.

Пусть L∗0 - дифференциальный оператор, сопряжённый к L₀, оператор L∗0 порожден диф-

ференциальным выражением l∗0(v) = (-1)^mv(2m) + q(x)v(x) и краевыми условиями v(s)(1) -

- v(s)(0) = 0, s = 0,2m - 1.

Предположим, что {v_n(x)}n=∞n=0 - система, определённая равенствами (47)-(50). Очевид-

но, что каждое из чисел (2πn)2m, n ∈ N

^⋃ {0}, является собственным значением оператора

L∗0 и при n ≥ 1 число (2πn)2m - двукратное, по меньшей мере, собственное значение этого

оператора. Нетрудно заметить, что функция v₀(x) является собственной функцией операто-

ра L∗0, соответствующей простому собственному значению λ = 0; при n ∈ N₁ каждая из

функций v2n-1(x) и v2n(x) является собственной функцией оператора L∗0, соответствующей

собственному значению (2πn)2m; при n ∈ N₂ функция v2n(x) является собственной функ-

цией оператора L∗0, соответствующей собственному значению (2πn)2m; при n ∈ N₂ функция

v2n-1(x) является присоединённой функцией оператора L∗0, соответствующей собственной

функции v2n(x) и собственному значению (2πn)2m.

Докажем, что система {v_n(x)}n=∞n=0 биортогонально сопряжена к системе {u_n(x)}n=∞n=0 или,

что то же самое, имеет место равенство

∫1

⋃

(u_n, v_ν ) = u_n(x)v(x) dx = δ_n,ν , n, ν ∈ N

{0},

где δ_n,ν - символ Кронекера.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№3

2023

О СПЕКТРАЛЬНЫХ СВОЙСТВАХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ

327

Заметим, что u2n-1(x), u2n(x) - корневые функции оператора L₀, соответствующие соб-

ственному значению λ = (2πn)2m; v2ν-1(x), v2ν (x) - корневые функции оператора L∗0, соот-

ветствующие значению μ = (2πν)2m. Поскольку при n = ν имеет место λ = μ = μ, то отсюда

и из сказанного выше следует справедливость равенств (u2n-1, v2ν-1) = 0, (u2n, ν2ν-1) = 0,

(u2n-1, v2ν ) = 0, (u2n, v2ν ) = 0, где n = v, n, ν ∈ N. По той же причине (u0, vν ) = 0,

(u_n, v₀) = 0, где ν, n ∈ N.

Таким образом, нужно доказать выполнение равенств

(u₀, v₀) = 1, (u2n-1, v2n-1) = 1, (u2n-1, v2n) = 0, n ∈ N,

(73)

(u2n, v2n-1) = 0, (u2n, v2n) = 1, n ∈ N.

(74)

Согласно (17)-(19) и (48), (49) при n ∈ N₁ имеем

∫1

(u₀, v₀) = u²⁰(x) dx = 1,

∫1

∫

[

∑

(u2n-1, v2n-1) = u2n-1(x)u2n(x) dx =

Φk,2(n)e2πi(k+n)x +

k=-n+1

]

∑

Φk,1(n)e2πi(k-n)x +

Φk,1(n)Φν,2(n)e2πi(k+ν)x dx

= 0,

k=n+1

k=n+1 ν=-n+1

∫1

∫

[

∑

(u2n-1, v2n) = u22n-1(x) dx =

e4πinx + 2

Φk,1(n)e2πi(k+n)x +

k=n+1

]

∑

Φk,1(n)Φν,1(n)e2πi(k+ν)x dx

= 0.

k=n+1 k=ν+1

Равенства (74) при n ∈ N₁ доказываются совершенно аналогично.

Для доказательства равенств (73) и (74) в случае n ∈ N₂ используем лемму 5. Пусть

n∈N₂ и

∑

y₀ = u2n-1(x), y₁ =

W_n(x) + (-B_n)1/2

D_k(n)e2πikx,

(75)

(-B_n)1/2

k=n+1

∫1

a = T2n, c₀ = y²¹(x)dx.

(76)

Используя (17), нетрудно убедиться в том, что имеет место равенство

(

)

∑

c₀ = -

Φ20,2(n) + 2

Φk,2(n)Φ-k,2(n)

(77)

k=1

Таким образом, согласно (21)-(23) и (49)-(51) при n ∈ N₂ имеем

u2n-1 = y₀, u2n = ay₀ + y₁, v2n-1 = -(a + c₀)y₀ + y₁, v2n = y₀.

(78)

Кроме того, легко убедиться в том, что в рассматриваемом случае справедливы равенства

∫

y²⁰(x)dx = 0,

y₀(x)y₁(x)dx = 1.

Отсюда и из (75)-(78) с учётом леммы 5 следуют равенства (73), (74) при n ∈ N₂.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№3

2023

3^∗

328

КЕРИМОВ

Заметим, что периодические краевые условия регулярны. Следовательно [21, с. 74], доста-

точно большие по абсолютной величине собственные значения дифференциального оператора

L₀ лежат в O(n2m-3/2) окрестностях точек (2πn)2m, где n = n₀,n₀ + 1,... и n₀ - некото-

рое достаточно большое натуральное число; кроме того, в каждой такой окрестности лежат

или два простых собственных значения, или одно двукратное собственное значение. Отсюда

и из сказанного выше следует, что если S₀ - система корневых функций дифференциального

оператора L₀, содержащая систему {u_n(x)}n=∞n=0, то имеет место равенство

S₀ = {U_n(x)}n=∞n=0 = S₁

^⋃ {u_n(x)}n=∞n=0,

где S₁ - либо пустое множество, либо содержит только конечное число корневых функций.

Так как периодические краевые условия регулярны, то система S₀ полна и минимальна в

пространстве L₂(0, 1) (см., например, [4]). Если S∗0 - система, биортогонально сопряжённая

в L₂(0,1) к системе S₀, хорошо известно, что S∗0 является системой всех корневых функций

дифференциального оператора L∗0 и в данном случае справедливо равенство

S∗0 = {V_n(x)}n=∞n=0 = S∗1

^⋃ {v_n(x)}n=∞n=0,

где S∗1 - либо пустое множество, либо содержит конечное число корневых функций диффе-

ренциального оператора L∗0. Заметим, что |S₁| = |S∗1|.

Всюду в дальнейшем будем считать, что |N₁| = |N₂| = ∞. Остальные случаи рассматри-

ваются совершенно аналогично.

Из леммы 7 легко получим соотношение

⎧

⎨

⁽ ln(n + 1)⁾

1+O

если γ = 1 и n ∈ N₁,

∥u2n-γ ∥₂∥v2n-γ ∥₂ =

n2m-1

(79)

^⎩(|T2nB_n| + 1)O^∗(1), если γ = 0 и n ∈ N₂.

Пусть выполняется неравенство (24). Отсюда и из (79) следует существование постоянной C,

обеспечивающей для всех n ∈ N

^⋃ {0} выполнение неравенства

∥U_n∥₂∥V_n∥₂ ≤ C.

(80)

Докажем, что каждая из систем S₀ и S∗0 является безусловным базисом пространства

L₂(0,1). Поскольку S₀ и S∗0 полны в пространстве L₂(0,1), биортогонально сопряжены и

|S₁| = |S∗1| < ∞, то достаточно доказать [22, с. 375], что каждая из систем

}n=∞

^{u_n(x)}n=∞

^{v_n(x)

∥u_n∥₂∥v_n∥₂

∥u_n∥₂

∥v_n∥₂

n=0

является бесселевой, т.е. для всех f ∈ L₂(0, 1) выполняются условия

^∑ |(f, u_n)|²

< ∞,

∥u_n∥²∥v_n∥² < ∞.

(81)

∥u_n∥

∥v_n∥²

n=0

Согласно (80) последнее неравенство в (81) может быть заменено условием

^∑ |(f, v_n)|²

< ∞.

∥v_n∥

n=0

Для доказательства первого неравенства из (81) достаточно доказать сходимость рядов

∑

|(f, u2n-1)|²

|(f, u2n)|²

(82)

∥u2n-1∥22

∥u2n∥²

n∈N_j

где f ∈ L₂(0, 1) и j = 1, 2.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№3

2023

О СПЕКТРАЛЬНЫХ СВОЙСТВАХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ

329

Пусть

ϕ₀(x) = 1, ϕ2n-1(x) = e2πinx, ϕ2n(x) = e-2πinx, n ∈ N.

(83)

Так как система (83) образует ортонормированный базис пространства L₂(0, 1), то она также

является бесселевой.

Всюду в дальнейшем через C (с нижним индексом) будем обозначать некоторые положи-

тельные постоянные.

Пусть n₀ - некоторое достаточно большое целое число. Согласно (56)-(59) имеем

∥u2n-1∥₂ ≥ C₃,

∥u2n∥₂ ≥ C₄, n ≥ n₀, n ∈ N₁,

(84)

∥u2n-1∥₂ ≥ C₅|B_n|1/2,

∥u2n∥₂ ≥ C₆|B_n|-1/2, n ≥ n₀, n ∈ N₂.

(85)

Кроме того, при всех f ∈ L₂(0, 1) в силу (52)-(55) и (24) находим

(

)

ln²(n + 1)

|(f, u2n-1)|² ≤ C7 |(f, ϕ2n-1)|2 + ∥f∥2

n≥n₀, n∈N₁,

(86)

n4m-2

(

)

ln²(n + 1)

|(f, u2n)|² ≤ C8 |(f, ϕ2n)|2 + ∥f∥2

n≥n₀, n∈N₁,

(87)

n4m-2

(

)

ln²(n + 1)

|(f, u2n-1)|² ≤ C₉|B_n|-1

|(f, ϕ2n-1)|² + ∥f∥²

n≥n₀, n∈N₂,

(88)

n4m-2

(

)

ln²(n + 1)

|(f, u2n)|² ≤ C₁₀|B_n|-1

|(f, ϕ2n-1)|² + |(f, ϕ2n)|² + ∥f∥²

n≥n₀, n∈N₂.

(89)

n2m-1

Сходимость рядов (82) следует из оценок (84)-(89). Например, ввиду (85) и (89) при всех

n ≥ n₀ и n ∈ N₂ имеем

[

]

∑

|(f, u2n)|²

ln²(n + 1)

≤C₁₁

|(f, ϕ_n)|² + ∥f∥²

< ∞.

∥u2n∥2

n2m-1

n∈N₂

n=n₀

n≥n₀

Таким образом, доказано, что каждая из систем S₀ и S∗0 образует безусловный базис

пространства L₂(0, 1).

Теперь докажем, что система {u_n(x)}n=∞n=0 содержит все корневые функции дифференци-

ального оператора L₀ или, что то же самое, что S₁ = ∅.

Пусть

ψ₀(x) = ϕ₀(x), ψ2n-1(x) = ϕ2n-1(x), ψ2n(x) = ϕ2n(x), n ∈ N₁,

ψ2n-1(x) = ϕ2n-1(x), ψ2n(x) = -T2nB_n, ϕ2n-1(x) + ϕ2n(x), n ∈ N₂.

Так как система (83) является ортонормированным базисом пространства L₂(0, 1) и выпол-

няется условие (24), то в силу леммы 8 система {ψ_n(x)}n=∞n=0 является базисом Рисса этого же

пространства.

Заметим, что при выполнении условия (24) в силу (52)-(55) имеем равенства

)

⁽ ln(n + 1)

⁽ ln²(n + 1)⁾

u2n-1(x) = ψ2n-1(x)+O

u2n(x) = ψ2n(x)+O

n∈N₁,

|N₁| = ∞,

n2m-1

)

⁽ ln(n + 1)

(-B_n)-1/2u2n-1(x) = ψ2n-1(x) + O

n2m-1

)

⁽ ln(n + 1)

(-B_n)1/2u2n(x) = ψ2n(x) + O

n∈N₂,

|N₂| = ∞.

n2m-1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№3

2023

330

КЕРИМОВ

Согласно этим соотношениям соответствующая перестановка системы

{u₀(x)}

^⋃ {u2n-1(x), u2n(x)}n∈N1 ⋃ {(-B_n)1/2u2n-1(x), (-B_n)1/2u2n(x)}n∈N2

(90)

является квадратично близкой к системе {ψ_n(x)}n=∞n=0. Кроме того, система (90) также ми-

нимальна. Следовательно (см. [22, c. 374]), эта система образует базис пространства L₂(0, 1).

Поскольку {u_n(x)}n=∞n=0 есть часть базиса S₀, то S₁ = ∅. Таким образом, система {u_n(x)}n=∞n=0

содержит все корневые функции дифференциального оператора L₀.

Теорема 1 и часть теоремы 2, относящаяся к базисности в L₂(0, 1), доказаны.

Предположим, что 1 < p < 2 и p фиксировано. Поскольку система {u_n(x)}n=∞n=0 полна

в пространстве L₂(0, 1), то эта система полна и в пространстве L_p(0, 1). Следовательно (см.

[23, с. 19]), для базисности в L_p(0, 1) этой системы необходимо и достаточно существование

постоянной M₁ > 0, обеспечивающей при всех l ∈ N справедливость неравенства



 ∑l



(f, v_n)u_n

≤ M₁∥f∥_q,

(91)



n=0

где f(x) - произвольная функция из L_p(0, 1).

Пусть выполняется неравенство (24). Отсюда и из леммы 7 получим, что имеет место

оценка

∥u_n∥_p∥v_n∥_q ≤ C₁₂,

(92)

где p-1 + q-1 = 1. Отсюда следует, что неравенство (91) равносильно существованию посто-

янной M₂ > 0, обеспечивающей при всех l ∈ N выполнение неравенства



∑



(f, v_n)u_n

≤ M₂∥f∥_p,

(93)



n=1

где f(x) - произвольная функция из L_p(0, 1).

Положим

∑

J_l(f) =

(f, v2n-j)u2n-j +

(f, v2n-j )u2n-j .

(94)

n=1

j=0

n=1

j=0

n∈N₁

n∈N₂

Тогда неравенство (93) примет вид ∥J_l(f)∥_p ≤ M₂∥f∥_p. Непосредственное вычисление с ис-

пользованием леммы 6 показывает, что при n ∈ N (случаи n ∈ N₁ и n ∈ N₂ рассматриваются

отдельно) имеет место равенство

∑

(f, v2n-j )u2n-j =

j=0

)

⁽ ln(n + 1)

⁽ ln(n + 1)⁾

= (f, ϕ2n-1)ϕ2n-1 + (f, ϕ2n)ϕ2n + (f, ϕ2n-1)O

+ (f, ϕ2n)O

n2m-1

(

⁽ ln(n + 1)⁾⁾

⁽ ln(n + 1)⁾

+ f,O

ϕ2n-1 + f,O

ϕ2n + f,O

n2m-1

Отсюда и из (94) следует

J_l(f) = Jl,1(f) + Jl,2(f) + Jl,3(f) + Jl,4(f),

где

(

∑

⁽ ln(n + 1)⁾⁾

Jl,1(f) =

(f, ϕ_n)ϕ_n, Jl,2(f) =

f,O

ϕn,

n2m-1

n=1

(

∑

⁽ ln(n + 1)⁾

⁽ ln(n + 1)⁾⁾

⁽ ln(n + 1)⁾

Jl,3(f) =

(f, ϕ_n)O

Jl,4(f) =

f,O

n2m-1

n=1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№3

2023

О СПЕКТРАЛЬНЫХ СВОЙСТВАХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ

331

Заметим, что система {ϕ_n(x)}n=∞n=0, определённая равенствами (83), является равномерно

ограниченным базисом пространства L_p(0, 1) [24, с. 594]. Следовательно, существует постоян-

ная M₃ > 0, обеспечивающая при всех l ∈ N справедливость неравенства



∑



(f, ϕ_n)ϕ_n

≤ M₃∥f∥_p



n=1

или, что то же самое,

∥Jl,1(f)∥_p ≤ M₃∥f∥_p.

(95)

Далее, поскольку 1 < p < 2, справедливы соотношения

(

))

)1/2

(2l∑

²

⁽ ln(n + 1)



∥Jl,2(f)∥_p ≤ ∥Jl,2(f)∥₂ =

≤

 f



n2m-1

n=1

)1/2

(2l∑

ln²(n + 1)

≤ C₁₃∥f∥₁

≤ C₁₄∥f∥_p.

(96)

n4m-2

n=1

Из теоремы Рисса (см. [25, с. 154]) следует, что

)1/p

∑

(2l∑

)1/q(2l∑

ln(n+1)

ln^p(n+1)

∥Jl,3(f)∥_p ≤C₁₅

|(f, ϕ_n)|

≤C₁₅

|(f, ϕ_n)|q

≤C₁₆∥f∥_p.

(97)

n2m-1

n(2m-1)p

n=1

Кроме того, справедливо неравенство

∑

ln²(n + 1)

∥Jl,4(f)∥_p ≤ C₁₇∥f∥₁

≤ C₁₈∥f∥_p.

(98)

n4m-2

n=1

Неравенство (94) является следствием (95)-(98).

Пусть 2 < p < ∞ и p-1 + q-1 = 1. Заметим, что 1 < q < 2 и система {v_n(x)}n=∞n=0 яв-

ляется системой корневых функций дифференциального оператора L₀. Как доказано выше,

система корневых функций такого оператора образует базис пространства L_r(0, 1) при лю-

бом r ∈ (1, 2), в частности при r = q. Таким образом, система {v_n(x)}n=∞n=0 является базисом

пространства L_q(0, 1). Следовательно, биортогонально сопряжённая система {u_n(x)}n=∞n=0 яв-

ляется базисом пространства L_p(0, 1). Последнее означает, что система {un(x)}n=∞n=0 также

образует базис пространства L_p(0, 1). Теорема 2 и часть теоремы 3 (достаточность условия

(24) для базисности) доказаны.

Пусть 1 < p < ∞ и {u_n(x)}n=∞n=0 является базисом пространства L_p(0, 1). Хорошо извест-

но, что в этом случае имеет место неравенство (92). Для завершения доказательства теоремы 3

достаточно заметить, что в силу (59)-(61) неравенства (24) и (92) равносильны.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Михайлов В.П. О базисах Рисса в L₂(0, 1) // Докл. АН СССР. 1962. Т. 144. № 5. С. 981-984.

2. Кесельман Г.М. О безусловной сходимости разложений по собственным функциям некоторых диф-

ференциальных операторов // Изв. вузов. Математика. 1964. Т. 2. № 39. С. 82-83.

3. Данфорд Н., Шварц Дж.Т. Линейные операторы. Т. 3. M., 1974.

4. Шкаликов А.А. О базисности собственных функций обыкновенного дифференциального оператора

с интегральными условиями // Вестн. Московского гос. ун-та. Сер. Математика и механика. 1982.

Т. 6. С. 12-21.

5. Макин А.С. Об одном классе краевых задач для оператора Штурма-Лиувилля // Дифференц.

уравнения. 1999. Т. 35. № 8. С. 1058-1068.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№3

2023

332

КЕРИМОВ

6. Джаков П.Б., Митягин Б.С. Зоны неустойчивости одномерных периодических операторов Шрё-

дингера и Дирака // Успехи мат. наук. 2006. Т. 61. № 4 (370). С. 77-182.

7. Керимов Н.Б., Мамедов Х.Р. О базисности Рисса корневых функций некоторых регулярных крае-

вых задач // Мат. заметки. 1988. Т. 64. № 4. С. 558-563.

8. Макин А.С. О сходимости разложений по корневым функциям периодической краевой задачи

// Докл. РАН. 2006. Т. 406. № 4. С. 452-457.

9. Шкаликов А.А., Велиев О.А. О базисности Рисса собственных и присоединённых функций периоди-

ческой и антипериодической задач Штурма-Лиувилля // Мат. заметки. 2009. Т. 85. № 5. С. 671-676.

10. Джаков П.Б., Митягин Б.С. Сходимость спектральных разложений операторов Хилла с тригоно-

метрическими многочленами как потенциалы // Докл. РАН. 2011. Т. 436. № 1. С. 11-13.

11. Kerimov N.B., Kaya U. Spectral properties of some regular boundary value problems for fourth order

differential operators // Central Eur. J. of Math. 2013. V. 11. № 1. P. 94-111.

12. Kerimov N.B., Kaya U. Some problems of spectral theory of fourth order differential operators with

regular boundary conditions // Arabian J. of Math. 2014. V. 3. № 1. P. 49-61.

13. Kerimov N.B., Kaya U. Spectral asymptotics and basis properties of fourth order differential operators

with regular boundary conditions // Math. Methods in the Appl. Sci. 2014. V. 37. № 5. P. 609-779.

14. Gunes H., Kerimov N.B., Kaya U. Spectral properties of fourth order differential operators with periodic

and antiperiodic boundary conditions // Results in Math. 2015. V. 68. № 3-4. P. 501-518.

15. Керимов Н.Б. О спектральных свойствах некоторых краевых задач для дифференциальных опе-

раторов высокого порядка // Докл. РАН. 2013. Т. 453. № 2. С. 131.

16. Ионкин Н.И. Решение одной краевой задачи теории теплопроводности с неклассическим краевым

условием // Дифференц. уравнения. 1977. Т. 13. № 2. С. 294-304.

17. Керимов Н.Б Об одной краевой задаче типа задачи Н.И. Ионкина // Дифференц. уравнения. 2013.

T. 49. № 10. С. 1267-1280.

18. Гасымов М.Г. Спектральный анализ одного класса несамосопряжённых дифференциальных опера-

торов второго порядка // Функц. анализ и его приложения. 1980. Т. 14. Вып. 1. С. 14-19.

19. Гасымов М.Г. Спектральный анализ одного класса обыкновенных дифференциальных операторов

с периодическими коэффициентами // Докл. АН СССР. 1980. Т. 252. № 2. С. 277-280.

20. Эдвардс Р. Ряды Фурье в современном изложении. Т. 1. М., 1985.

21. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М., 1969.

22. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Введение в теорию линейных несамосопряжённых операторов в гильбер-

товом пространстве. М., 1965.

23. Кашин Б.С., Саакян А.А. Ортогональные ряды. М., 1984.

24. Бари Н.К. Тригонометрические ряды. М., 1961.

25. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. М., 1965.

Университет Хазар,

Поступила в редакцию 04.12.2022 г.

г. Баку, Азербайджан,

После доработки 04.12.2022 г.

Институт математики и механики

Принята к публикации 20.01.2023 г.

НАН Азербайджана, г. Баку

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№3

2023