ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2023, том 59, № 3, с.333-349

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

УДК 517.928.4

АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЯ СИНГУЛЯРНО

ВОЗМУЩЁННОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ

С ОДНОМАСШТАБНЫМ ВНУТРЕННИМ СЛОЕМ

Рассмотрена краевая задача для сингулярно возмущённой системы двух обыкновенных

дифференциальных уравнений второго порядка с разными степенями малого параметра

при вторых производных. Особенность задачи состоит в том, что одно из двух уравне-

ний вырожденной системы имеет двукратный корень, а другое - три непересекающихся

простых (однократных) корня. Доказано, что для достаточно малых значений малого па-

раметра задача имеет решение, обладающее быстрым переходом в окрестности некоторой

внутренней точки отрезка. Построено и обосновано полное асимптотическое разложение

этого решения. Оно качественно отличается от известного разложения в случае, когда все

корни вырожденных уравнений являются простыми, но также не совпадает с разложе-

ниями в исследованных ранее задачах с двукратными корнями, в частности, внутренний

переходный слой оказывается одномасштабным.

DOI: 10.31857/S0374064123030044, EDN: QUJPPV

1. Введение и постановка задачи. Рассмотрим краевую задачу

d²u

d²v

ε²

= F(u,v,x,ε), ε

= f(u,v,x,ε),

0 < x < 1,

(1)

dx²

(0, ε) =

(1, ε) = 0,

(0, ε) =

(1, ε) = 0,

(2)

где ε > 0 - малый параметр, u(x, ε) и v(x, ε) - искомые скалярные функции, F и

f -

заданные функции в области D = I_u × I_v × [0, 1] × [0, ε₀], I_u и I_v - некоторые интервалы

изменения переменных u и v, ε₀ > 0.

При ε = 0 уравнения (1) принимают вид

F (u, v, x, 0) = 0, f(u, v, x, 0) = 0.

(3)

В данной работе ставятся вопросы о существовании и асимптотике по параметру ε решения

задачи (1), (2) с переходным слоем в окрестности некоторой внутренней точки x_∗ отрезка [0, 1]

(назовём её точкой перехода), где решение совершает быстрый переход из малой окрестности

одного решения вырожденной системы (3) в малую окрестность другого её решения. Такие

решения называются контрастными структурами типа ступеньки (КСТС).

Опишем кратко структуру работы. В п. 1 приводятся условия, обеспечивающие существо-

вание искомой КСТС в задаче (1), (2). В п. 2 строится формальная асимптотика КСТС,

причём построение ведётся раздельно слева и справа от точки перехода. В п. 3 проводится

сшивание асимптотик в точке x_∗ и строится асимптотическое приближение для этой точки.

В п. 4 доказывается существование решения задачи (1), (2) с построенной асимптотикой. В п. 5

приводится пример задачи вида (1), (2), на котором иллюстрируется построение асимптотики

решения. В п. 6 содержатся некоторые замечания в отношении рассмотренной задачи и других

возможных задач о КСТС.

Сформулируем условия, при которых задача (1), (2) будет рассматриваться ниже.

Условие А1. Функция F (u, v, x, ε) имеет вид

F (u, v, x, ε) = h(x)(u - ϕ(v, x))² - εF₁(u, v, x, ε),

где h(x) > 0 при x ∈ [0, 1] и ϕ(v, x) ∈ I_u при (v, x) ∈ I_v × [0, 1].

333

334

СИМАКОВ

Из условия А1 следует, что корень u = ϕ(v, x) первого уравнения (3) является двукратным.

Отметим, что КСТС в сингулярно возмущённых задачах с кратными корнями исследовались

во многих работах, краткий обзор которых можно найти в [1]. В данной статье асимптотика ре-

шения имеет свои качественные особенности, относящиеся, прежде всего, к переходному слою.

Условие А2. Уравнение g(v, x) := f(ϕ(v, x), v, x, 0) = 0 имеет три простых корня v =

= ψ_i(x) ∈ I_v, i = 1,2,3, причём

ψ₁(x) < ψ₂(x) < ψ₃(x), x ∈ [0,1].

(4)

Условие А3. Функции h(x), ϕ(v, x), ψ_i(x), i = 1, 2, 3, f(u, v, x, ε) и F₁(u, v, x, ε) явля-

ются достаточно гладкими при (u, v, x, ε) ∈ D.

Требуемый порядок гладкости этих функций зависит от порядка асимптотики, которую мы

хотим построить. Так как далее речь пойдёт об асимптотике произвольного порядка, будем

считать их бесконечно дифференцируемыми.

Условие А4. Уравнение

∫

I(x) :=

g(v, x) dv = 0

ψ₁(x)

имеет корень x = x₀ ∈ (0, 1), и

I^′(x₀) < 0.

(5)

Будем искать решение задачи (1), (2), удовлетворяющее предельным равенствам

{

ϕ(ψ₁(x), x),

0≤x<x₀,

ψ₁(x),

0≤x<x₀,

lim

u(x, ε) =

lim

v(x, ε) =

(6)

ε→0

ϕ(ψ₃(x), x),

x₀ < x ≤ 1,

ε→0

ψ₃(x),

x₀ < x ≤ 1.

Чтобы сформулировать остальные условия, определим несколько кривых на плоскости

переменных (v, x) и в пространстве переменных (u, v, x):

l₁ = {(v,x) : v = ψ₁(x),

0 ≤ x ≤ x₀}, l₂ = {(v,x) : ψ₁(x₀) ≤ v ≤ ψ₃(x₀), x = x₀},

l₃ = {(v,x) : v = ψ₃(x), x₀ ≤ x ≤ 1},

⋃

L_i = {(u,v,x) : u = ϕ(v,x),(v,x) ∈ l_i}, i = 1,2,3, l =

l_i,

L= L_i.

i=1

Отметим, что l_i и L_i, i = 1, 2, 3, - гладкие кривые, а l и L - непрерывные кривые, состав-

ленные из трёх гладких звеньев.

Условие А5. F₁(u, v, x, 0) > 0 в точках кривых L₁ и L₃.

Условие А6. ∂g(v, x)/∂v > 0 в точках кривых l₁ и l₃.

Условие А7. Выполнены неравенства

∫

g(s, x₀) ds > 0 при ψ₁(x₀) < v ≤ ψ₂(x₀)

ψ₁(x₀)

∫

g(s, x₀) ds > 0 при ψ₂(x₀) ≤ v < ψ₃(x₀).

ψ₃(x₀)

Условие А8. Имеют место неравенства

G₁(v,x₀) > 0 при ψ₁(x₀) ≤ v ≤ ψ₂(x₀)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№3

2023

АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЁННОЙ СИСТЕМЫ

335

G₃(v,x₀) > 0 при ψ₂(x₀) ≤ v ≤ ψ₃(x₀),

где

∫

∂ϕ

∂²ϕ

Gi(v, x) :=

(v, x)g(v, x) + 2

(v, x)

g(s, x) ds + F₁(ϕ(v, x), v, x, 0), i = 1, 3.

∂v

∂v²

ψ_i(x)

Условие А9. ∂ϕ(v, x)/∂v > 0 в точках кривой l.

Условие А10. ∂f(u, v, x, 0)/∂u < 0 в точках кривой L.

Заметим, что неравенства в условиях А5-А10 останутся верными при замене x₀ на x_∗ в

определениях кривых l и L, если точка x_∗ принадлежит достаточно малой и не зависящей

от ε окрестности точки x₀.

2. Построение асимптотики. Определим точку перехода x_∗ как точку пересечения v-

компоненты искомого решения с корнем ψ₂ : v(x_∗, ε) = ψ₂(x_∗), и поставим на отрезках [0, x_∗]

и [x_∗, 1] две вспомогательные задачи, аналогичные задаче (1), (2) с добавлением граничных

условий

v(-)(x_∗,ε) = ψ₂(x_∗), v⁽⁺⁾(x_∗,ε) = ψ₂(x_∗).

(7)

Индексами(-) и⁽⁺⁾ будем отмечать функции, определяемые соответственно из левой и пра-

вой вспомогательных задач.

Считая x_∗ фиксированной точкой из достаточно малой окрестности точки x₀, будем стро-

ить асимптотики решений вспомогательных задач в виде

U(∓)(x,ε) = u(∓)(x,ε) + Π(∓)u(ξ_∓,ε) + P(∓)u(ζ_∓,ε) + Q(∓)u(τ,ε),

(8)

V (∓)(x,ε) = v(∓)(x,ε) + Π(∓)v(ξ_∓,ε) + P(∓)v(ζ_∓,ε) + Q(∓)v(τ,ε).

(9)

Здесь

u(∓)(x,ε),

v(∓)(x, ε) - регулярные части асимптотики; Π(-)u(ξ-, ε), Π(-)v(ξ-, ε) и

P(-)u(ζ_-,ε), P(-)v(ζ_-,ε) - погранслойные части асимптотики в окрестности точки x =

= 0, ξ_- = x/√ε и ζ- = x/ε3/4 - погранслойные переменные; Π(+)u(ξ+, ε), Π(+)v(ξ+, ε)

и P⁽⁺⁾u(ζ₊,ε), P⁽⁺⁾v(ζ₊,ε) - погранслойные части асимптотики в окрестности точки x = 1,

ξ₊ = (1 - x)/√ε и ζ+ = (1 - x)/ε3/4 - погранслойные переменные; Q(∓)u(τ,ε), Q(∓)v(τ,ε) -

внутрислойные части асимптотики, описывающие быстрое изменение решения в окрестности

точки перехода x_∗, τ = (x-x_∗)/√ε - внутрислойная переменная. Каждое слагаемое в правых

частях представлений (8), (9) будет построено в виде ряда по дробным степеням ε.

2.1. Регулярные части асимптотики. Регулярные части асимптотики строятся в виде

рядов по целым степеням

√ε:

∑

u(∓)(x,ε) =

εi/2u(∓)i(x),

v(∓)(x, ε) =

εi/2v(∓)i(x).

i=0

Уравнения для определения функций u(∓)i(x) и v(∓)i(x) будем получать стандартным спо-

собом (см. [2, с. 29]) из равенств

(∓)

d²u

ε²

= F(u(∓), v(∓),x,ε),

(10)

dx²

(∓)

d²v

= f(u(∓), v(∓),x,ε).

(11)

dx²

В нулевом порядке имеем вырожденные системы уравнений

F(u(∓)0, v(∓)0,x,0) = 0, f(u(∓)0, v(∓)0,x,0) = 0,

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№3

2023

336

СИМАКОВ

из которых в соответствии с (6) получаем

u(-)0(x) = ϕ(ψ₁(x),x),

v(-)0(x) = ψ₁(x),

0≤x≤x_∗,

u⁽⁺⁾⁰(x) = ϕ(ψ₃(x),x),

v(+)0(x) = ψ₃(x), x_∗ ≤ x ≤ 1.

Введём обозначения

∂f

f(∓)u(x) :=

(u(∓)0(x), v(∓)0(x),x,0),

f(∓)v(x) :=

(u(∓)0(x), v(∓)0(x),x,0),

(12)

∂u

∂v

∂ϕ

∂g

ϕ(∓)v(x) :=

(v(∓)0(x),x),

g(∓)v(x) :=

(v(∓)0(x),x)

f(∓)u(x

ϕ(∓)v(x)

f(∓)v(x).

∂v

Уравнения (10) не содержат членов порядка

√ε, т.е. членов первого порядка. Во втором

порядке получаем квадратные уравнения

h(x)[u(∓)1 - ϕ(∓)v(x)v(∓)1]²

F(∓)1(x) := F₁(u(∓)0(x), v(∓)0(x),x,0).

В силу условия А5 они имеют по два корня, из которых выбираем положительные:

√

u(∓)1 -

ϕ(∓)v(x)v(∓)1 = a(∓)(x) := h-1(x

F(∓)1(x).

(13)

Вторые уравнения для u(∓)1,

v(∓)1 получаем из равенства (11):

f(∓)u(x)u(∓)1

f(∓)v(x)v(∓)1 = 0.

(14)

Определители систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) (13), (14) равны

f(∓)u(x

ϕ(∓)v(x)

f(∓)v(x) = g(∓)v(x).

В силу условия А6 СЛАУ (13), (14) однозначно разрешимы:

u(∓)1(x)

f(∓)v(x)(g(∓)v(x))-1a(∓)(x),

v(∓)1(x) =

f(∓)u(x)(g(∓)v(x))-1a(∓)(x).

Для каждого i = 2, 3, . . . из равенств (10), (11) находятся СЛАУ относительно u(∓)i,

v(∓)i

такого же типа, как (13), (14):

u(∓)i -

ϕ(∓)v(x)v(∓)i = a(∓)i(x),

f(∓)u(x)u(∓)i

f(∓)v(x)v(∓)i = b(∓)i(x),

где a(∓)i(x), b(∓)i(x) выражаются рекуррентно через

u(∓)j(x),

v(∓)j(x) с номерами j < i. От-

сюда однозначно определяются функции u(∓)i(x),

v(∓)i(x).

2.2. Погранслойные части асимптотики. Погранслойные части асимптотики строятся

в виде рядов по целым степеням

√ε

∑

Π(∓)u(ξ_∓,ε) =

√ε

εi/4Π(∓)iu(ξ_∓), Π(∓)v(ξ_∓,ε) =

εi/4Π(∓)iv(ξ_∓),

i=0

∑

P(∓)u(ζ_∓,ε) = ε3/4

εi/4P(∓)iu(ζ_∓), P(∓)v(ζ_∓

, ε) = ε5/4

εi/4P(∓)iv(ζ_∓).

i=0

Функции Π(∓)iu(ξ_∓), Π(∓)iv(ξ_∓) и P(∓)iu(ζ_∓), P(∓)iv(ζ_∓) определяются точно так же, как

погранслойные функции в первой вспомогательной задаче в работе [3]. Все они находятся в

явном виде и экспоненциально убывают с ростом соответствующей погранслойной переменной.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№3

2023

АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЁННОЙ СИСТЕМЫ

337

2.3. Внутрислойные части асимптотики. Внутрислойные части асимптотики строятся

в виде рядов по целым степеням

√ε

∑

Q(∓)u(τ,ε) =

εi/4Q(∓)iu(τ), Q(∓)v(τ,ε) =

εi/4Q(∓)iv(τ).

i=0

Стандартным способом (см. [2, с. 28]) для функций Q(∓)u, Q(∓)v получаем системы уравнений

d²Q(∓)u

d²Q(∓)v

=Q(∓)F,

=Q(∓)f,

(15)

dτ²

где

Q(∓)F := [F(u(∓) + Q(∓)u, v(∓) + Q(∓)v,x,ε) - F(u(∓), v(∓),x,ε)]|x=x

∗+

√ετ ,

функции Q(∓)f имеют аналогичные выражения. Из этих систем также стандартным способом

будем последовательно для i = 0, 1, 2, . . . извлекать уравнения для функций Q(∓)iu, Q(∓)iv.

Для Q(∓)0u, Q(∓)0v получаем системы уравнений

F(u(∓)0(x_∗) + Q(∓)0u, v(∓)0(x_∗) + Q(∓)0v,x_∗,0) = 0,

d²Q(∓)0v

= f(u(∓)0(x_∗) + Q(∓)0u, v(∓)0(x_∗) + Q(∓)0v,x_∗,0),

dτ²

здесь и далее до конца этого пункта уравнения для функций с индексами(-) и⁽⁺⁾ рассмат-

риваются на полупрямых τ ≤ 0 и τ ≥ 0 соответственно. Из первых уравнений этих систем

следуют равенства

u(∓)0(x_∗) + Q(∓)0u = ϕ(v(∓)0(x_∗) + Q(∓)0v,x_∗),

(16)

в силу которых вторые уравнения, используя вид функции g(v, x) (см. условие А2), можно

записать в виде

d²Q(∓)0v

= g(v(∓)0(x_∗) + Q(∓)0v,x_∗).

(17)

dτ²

Чтобы получить граничные условия при τ = 0, подставим выражения (9) для V(∓)(x, ε)

в равенства (7) вместо v(∓)(x, ε). В результате получим

∑

εi/2v(∓)i(x_∗) +

εi/4Q(∓)iv(0) = ψ₂(x_∗).

(18)

i=0

Отсюда находим

Q(∓)0v(0) = ψ₂(x_∗) - v(∓)0(x_∗).

(19)

Отметим, что ψ₂(x_∗)- v(-)0(x_∗) = ψ₂(x_∗)- ψ₁(x_∗) > 0 и ψ₂(x_∗)- v⁽⁺⁾⁰(x_∗) = ψ₂(x_∗)- ψ₃(x_∗) < 0

(см. (4)).

В качестве вторых граничных условий для функций Q(∓)0v(τ) и также для остальных

функций Q(∓)iv(τ), i = 1, 2, . . . , возьмём стандартные условия на бесконечности:

Q(∓)iv(∓∞) = 0, i = 0,1,2,...

(20)

В силу условия А7 задачи (17), (19), (20) для функций Q(∓)0v(τ) сводятся стандартным

способом к уравнениям первого порядка

(∓)

∫

)1/2

dQ(∓)v

g(v(∓)0(x_∗) + s,x_∗)ds

(21)

dτ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№3

2023

338

СИМАКОВ

с начальными условиями (19). Уравнения интегрируются в квадратурах, их решения являются

возрастающими функциями и имеют экспоненциальные оценки

0 < Q(-)0v(τ) ≤ cexp(κτ), τ ≤ 0;

-cexp(-κτ) ≤ Q⁽⁺⁾⁰v(τ) < 0, τ ≥ 0.

Из равенств (16) находим

Q(∓)0u(τ) = ϕ(v(∓)0(x_∗) + Q(∓)0v(τ),x_∗) - u(∓)0(x_∗) =

= ϕ(v(∓)0(x_∗) + Q(∓)0v(τ), x_∗) - ϕ(v(∓)0(x_∗), x_∗).

(22)

Функции Q(∓)0u(τ) и их производные также имеют экспоненциальные оценки:

|Q(-)0u(τ)| ≤ c exp(κτ), τ ≤ 0;

|Q⁽⁺⁾⁰u(τ)| ≤ c exp(-κτ), τ ≥ 0.

(23)

Несложные вычисления показывают, что справедливы равенства

Q(∓)1v(τ) = 0, Q(∓)1u(τ) = 0,

а для функций Q(∓)2u, Q(∓)2v вследствие (15) получаем системы уравнений

h(x_∗)(Q(∓)2u -

ϕ(∓)v(x_∗, τ)Q(∓)2v + φ(∓)(τ))² = B(∓)(τ),

(24)

d²Q(∓)2v

f(∓)u(x_∗,τ)Q(∓)2u

f(∓)v(x_∗,τ)Q(∓)2v + χ(∓)(τ),

(25)

dτ²

где

∂f

f(∓)u(x,τ) :=

(ϕ(v(∓)0(x) + Q(∓)0v(τ), x), v(∓)0(x) + Q(∓)0v(τ), x, 0),

∂u

∂ϕ

ϕ(∓)v(x, τ) :=

(v(∓)0(x) + Q(∓)0v(τ),x),

∂v

v (x, τ),

x (x, τ) и

ϕx∓)(x, τ) имеют аналогичный смысл,

(∓)

)

⁽du

dv(∓)

φ(∓)(τ) :=

(x_∗) -

ϕ(∓)v(x_∗, τ)

(x_∗) -

ϕ(∓)x(x_∗, τ) τ + u(∓)1(x_∗) -

ϕ(∓)v(x_∗, τ)v(∓)1(x_∗),

(∓)

d²Q

B(∓)(τ) :=

(τ) + F₁(ϕ(v(∓)0(x_∗) + Q(∓)0v(τ), x_∗), v(∓)0(x_∗) + Q(∓)0v(τ), x_∗, 0),

(26)

dτ²

(

(∓)

)

χ(∓)(τ) :=

f(∓)u(x_∗,τ)

f(∓)u(x_∗))

(x_∗)τ + u(∓)1(x_∗)

(

(∓)

)

dv₀

f(∓)v(x_∗,τ)

f(∓)v(x_∗))

(x_∗)τ + v(∓)1(x_∗)

f(∓)x(x_∗,τ)

f(∓)x(x_∗))τ,

u (x) и

v (x) определены в (12),

x (x) вводится аналогичным образом.

Дифференцируя дважды выражения (22) для функций Q(∓)0u(τ) и используя (17) и (21),

приходим к равенствам

(∓)

v₀

∫

d²Q(∓)

(τ) =

ϕ(∓)v(x_∗, τ)g(v(∓)0(x_∗) + Q(∓)0v(τ), x_∗) + 2ϕ(∓)vv(x∗, τ)

g(s, x_∗) ds.

dτ²

v(∓)0(x∗)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№3

2023

АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЁННОЙ СИСТЕМЫ

339

Поэтому выражения (26) для B(∓)(τ) можно записать в виде

B(-)(τ) = G₁(v(-)0(x_∗) + Q(-)0v(τ),x_∗), B⁽⁺⁾(τ) = G₃(v⁽⁺⁾⁰(x_∗) + Q⁽⁺⁾⁰v(τ),x_∗),

функции G_i(v, x) введены в условии А8.

Так как

ψ₁(x_∗) < v(-)0(x_∗) + Q(-)0v(τ) ≤ ψ₂(x_∗) при τ ≤ 0

ψ₂(x_∗) ≤ v⁽⁺⁾⁰(x_∗) + Q⁽⁺⁾⁰v(τ) < ψ₃(x_∗) при τ ≥ 0,

из условия А8 следует, что B(-)(τ) > 0 при τ ≤ 0 и B⁽⁺⁾(τ) > 0 при τ ≥ 0. Тогда из

уравнений (24) получаем

Q(∓)2u =

ϕ(∓)v(x_∗, τ)Q(∓)2v + b(∓)(τ) - φ(∓)(τ),

(27)

где

√

b(∓)(τ) = h-1(x_∗)B(∓)(τ) ≥ c > 0,

берём положительные значения корней из h-1(x_∗)B(∓)(τ).

Из определений (26) для B(∓)(τ), используя экспоненциальные оценки функций Q(∓)0v,

d²Q(∓)0u/dτ² и равенства (13) для a(∓)(x), получаем

√

b(∓)(∓∞) = h-1(x_∗)B(∓)(∓∞) = h-1(x_∗

F(∓)1(x_∗) = a(∓)(x_∗).

Кроме того, из выражений для φ(∓)(τ) следует, что φ(∓)(∓∞)=a(∓)(x_∗), а функции r(∓)2(τ):=

:= b(∓)(τ) - φ(∓)(τ) имеют экспоненциальные оценки вида (23):

|r(-)2(τ)| ≤ c exp(κτ), τ ≤ 0;

|r⁽⁺⁾²(τ)| ≤ c exp(-κτ), τ ≥ 0.

Такие же оценки имеют функции χ(∓)(τ).

Подставляя выражения (27) для Q(∓)2u в уравнения (25) и учитывая, что

∂g

f(∓)u(x_∗,τ

ϕ(∓)v(x_∗, τ)

f(∓)v(x_∗,τ) = ĝ(∓)v(x_∗,τ) :=

(v(∓)0(x_∗) + Q(∓)0v(τ),x_∗),

∂v

приходим к следующим уравнениям для функций Q(∓)2v(τ):

d²Q(∓)2v

= ĝ(∓)v(x_∗,τ)Q(∓)2v + q(∓)2(τ),

(28)

dτ²

где q(∓)2(τ) = χ(∓)(τ)

u (x∗, τ)r2∓)(τ), функции q2∓)(τ) имеют оценки вида (23).

Граничные условия для Q(∓)2v(τ) следуют из (18) и (20):

Q(∓)2v(0) = -v(∓)1(x_∗), Q(∓)2v(∓∞) = 0.

(29)

Решения задач (28), (29) выражаются формулами

∫

)

(∓)

⁽Q

v(0)

Q(∓)2v(τ) = Φ(∓)(τ)

+ Φ-2(∓)(s) Φ(∓)(t)q(∓)2(t)dtds

Φ(∓)(0)

∓∞

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№3

2023

340

СИМАКОВ

где Φ(∓)(τ) := dQ(∓)0v(τ)/dτ . Отсюда для Q(∓)2v(τ) следуют экспоненциальные оценки вида

(23). Зная Q(∓)2v(τ), по формулам (27) находим функции Q(∓)2u(τ), для которых, очевидно,

также справедливы оценки вида (23).

При i = 3, 4, . . . для Q(∓)iu(τ), Q(∓)iv(τ) получаются линейные системы уравнений, кото-

рые приводятся к виду, аналогичному (27), (28):

Q(∓)iu =

ϕ(∓)v(x_∗, τ)Q(∓)iv + r(∓)i(τ),

(30)

d²Q(∓)iv

= ĝ(∓)v(x_∗,τ)Q(∓)iv + q(∓)i(τ),

(31)

dτ²

где функции r(∓)i(τ) и q(∓)i(τ) выражаются рекуррентно через Q(∓)ju(τ), Q(∓)jv(τ) с номера-

ми j < i и имеют оценки вида (23).

Граничные условия для функций Q(∓)iv(τ) извлекаются из (18), (20):

Q(∓)iv(0) = -v(∓)i/2(x_∗), Q(∓)iv(∓∞) = 0,

(32)

где v(∓)i/2(x_∗) = 0, если i - нечётное число.

Решения задач (31), (32) задаются формулами, аналогичными выражениям для Q(∓)2v(τ),

а функции Q(∓)iu(τ) определяются после этого формулами (30). Из этих формул для функций

Q(∓)iv(τ), Q(∓)iu(τ) получаются оценки вида (23).

Сохраняя прежние обозначения для внутрислойных и погранслойных функций, будем да-

лее считать, что все они умножены на бесконечно дифференцируемые срезающие функции

(см. [2, с. 82]).

3. Сшивание асимптотик в точке перехода. Формальные асимптотические ряды

V (∓)(x,ε) удовлетворяют в точке перехода равенствам

V (-)(x_∗,ε) = V ⁽⁺⁾(x_∗,ε) = ψ₂(x_∗),

(33)

причём их построение проводилось для произвольного x_∗ из достаточно малой окрестности

точки x₀. Будем искать асимптотическое приближение для точки перехода в виде

∑

x_∗ = X_n := εi/4x_i,

(34)

i=0

где x0 определено в условии А4, а остальные коэффициенты xi, i ≥ 1, выбираются таким

образом, чтобы также выполнялось формальное равенство

)

⁽ dV(-)

dV⁽⁺⁾

√ε

(X_n, ε) -

(X_n, ε)

= O(ε(n+1)/4).

(35)

Подставим в (35) ряды (9) с учётом того, что производные Π(∓)-функций и P(∓)-функций

равны нулю в точке X_n. Придём к равенству

)

∑

⁽dv(-)i

dv⁽⁺⁾

⁽ dQ(-)iv

dQ⁽⁺⁾v

εi/2

(X_n) -

(X_n)

+ εi/4

(0, X_n) -

(0, X_n)

= O(ε(n+1)/4),

dτ

i=0

в записи которого отражён тот факт, что внутрислойные Q(∓)-функции зависят от параметра

x_∗ = X_n. Подставим в это равенство выражение (34), разложим левую часть в ряд по целым

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№3

2023

АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЁННОЙ СИСТЕМЫ

341

степеням

√ε

и будем приравнивать к нулю коэффициенты разложения при степенях ε⁰, . . .

..., εn/4. В нулевом порядке, используя выражения (21) для производных, получаем

∫

)1/2

∫

)1/2

(-)

dQ⁽⁺⁾v

J (x₀) :=

(0, x₀) -

(0, x₀) =

g(v, x₀) dv

- 2

g(v, x₀) dv

= 0,

dτ

ψ₁(x₀)

ψ₃(x₀)

где последнее равенство имеет место в силу условия А4, причём J^′(x₀) < 0 в силу (5).

Для следующих коэффициентов x_i суммы (34) последовательно при i = 1, n получаются

линейные уравнения

J^′(x₀)x_i = a_i,

(36)

где числа a_i рекуррентно выражаются через x_j с номерами j < i, которые на i-м шаге уже

известны, причём a₁ = 0. Так как J^′(x₀) = 0, уравнение (36) имеет единственное решение

x₁ = 0, x_i = (J^′(x₀))-1a_i, i = 2,n.

Итак, для точки перехода построено асимптотическое приближение (34), обеспечивающее

выполнение формальных равенств (35). Докажем, что в этой точке также справедливы фор-

мальные равенства

)

(-)

⁽ dU

dU⁽⁺⁾

U(-)(X_n,ε) - U⁽⁺⁾(X_n,ε) = O(ε(n+1)/4),

√ε

(X_n, ε) -

(X_n, ε)

= O(ε(n+1)/4).

(37)

С этой целью введём обозначения

u(∓)(τ,ε) = u(∓)(X_n +

√ετ, ε) + Q(∓)u(τ, X_n, ε), v(∓)(τ, ε) = v(∓)(X_n +√ετ, ε) + Q(∓)v(τ, X_n, ε)

и запишем разложения u(∓)(τ, ε), v(∓)(τ, ε) в ряды по целым степеням

√ε

∑

u(-)(τ,ε) =

εi/4u(-)i(τ), v(-)(τ,ε) =

εi/4v(-)i(τ), τ ≤ 0,

(38)

i=0

∑

u⁽⁺⁾(τ,ε) =

εi/4u(+)i(τ), v⁽⁺⁾(τ,ε) =

εi/4v(+)i(τ), τ ≥ 0.

(39)

i=0

Главные члены этих разложений имеют вид

u(∓)0(τ) = u(∓)0(x₀) + Q(∓)0u(τ,x₀), v(∓)0(τ) = v(∓)0(x₀) + Q(∓)0v(τ,x₀).

Из (33), (35) вытекают равенства

(-)

dv(+)i

v(-)i(0) = v(+)i(0),dvi

(0) =

(0), i = 0, n,

(40)

dτ

причём

(∓)

∫

)1/2

dQ(∓)v

v(∓)0(0) = ψ₂(x₀),dv0

(0) =

(0, x₀) =

g(v, x₀) dv

=: Φ₀.

(41)

dτ

ψ₁(x₀)

Докажем, что имеют место аналогичные равенства для u(∓)i(τ):

(-)

du(+)i

u(-)i(0) = u(+)i(0),dui

(0) =

(0), i = 0, n.

(42)

dτ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№3

2023

342

СИМАКОВ

Отсюда вытекают формальные равенства (37). Введём для i = 0, n функции

{

(-)

(τ), τ ≤ 0,

v(-)i(τ), τ ≤ 0,

u_i(τ) =

v_i(τ) =

u(+)i(τ), τ > 0,

v(+)i(τ), τ ≥ 0.

Из уравнений (17) следует, что функция v₀(τ) является решением уравнения

d²v₀

= g(v₀,x₀),

-∞ < τ < ∞,

dτ²

а равенства (41) показывают, что она удовлетворяет начальным условиям

dv₀

v₀(0) = ψ₂(x₀),

(0) = Φ₀.

dτ

Тогда v₀(τ) - бесконечно гладкая функция при -∞ < τ < ∞.

Функцию u₀(τ) в силу равенств (16) можно записать в виде u₀(τ) = ϕ(v₀(τ), x₀), отку-

да следует, что u₀(τ) также является бесконечно гладкой функцией при всех τ и, значит,

выполнены равенства (42) при i = 0.

Докажем, что u_i(τ) и v_i(τ) - бесконечно гладкие функции для всех i=1, n. Для u(∓)(τ, ε),

v(∓)(τ,ε) из (10), (11) и (15) запишем системы уравнений

(∓)

d²u

= F(u(∓),v(∓),X_n +

√ετ, ε),d2v(∓)

= f(u(∓),v(∓),X_n +

√ετ, ε).

dτ²

Подставим в них разложения (38) и (39). Точно так же как в п. 2.3 извлекались уравнения для

Q(∓)iu, Q(∓)iv, отсюда для u(∓)i, v(∓)i получим системы уравнений

u(∓)i =^∂ϕ(v0(τ), x0)v(∓)i + ri(τ),

(43)

∂v

d²v(∓)i

∂g

(v₀(τ), x₀)v(∓)i + q_i(τ),

(44)

dτ²

∂v

где r_i(τ) и q_i(τ) выражаются рекуррентно через u_j (τ), v_j(τ) с номерами j < i и являют-

ся бесконечно гладкими функциями, если таковыми являются u_j(τ), v_j(τ). Из (44) и (40)

следует, что функция v_i(τ) является решением уравнения

d²v_i

∂g

(v₀(τ), x₀)v_i + q_i(τ),

-∞ < τ < ∞,

dτ²

∂v

с начальными условиями

(∓)

dv_i

v_i(0) = v(∓)i(0),dvi(0) =

(0).

dτ

Поэтому v_i(τ) - бесконечно гладкая функция при -∞ < τ < ∞. Из (43) следует теперь, что

u_i(τ) также бесконечно гладкая функция.

Таким образом, выполнены равенства (42) и, значит, в точке X_n справедливы формальные

равенства (37).

4. Обоснование асимптотики.

4.1. Теорема об асимптотике решения. Обозначим через

n (x, ε, x∗) и

n (x, ε, x∗)

следующие частичные суммы формальных асимптотических рядов (8), (9):

∑

U(∓)n(x,ε,x_∗) =

εi/2u(∓)i(x) +

εi/4Π(∓)iu(ξ_∓) +

i=0

∑

+ε3/4

εi/4P(∓)iu(ζ_∓) +

εi/4Q(∓)iu(τ,x_∗),

(45)

i=0

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№3

2023

АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЁННОЙ СИСТЕМЫ

343

∑

V (∓)n(x,ε,x_∗) =

εi/2v(∓)i(x) +

εi/4Π(∓)iv(ξ_∓) +

i=0

∑

+ε5/4

εi/4P(∓)iv(ζ_∓) +

εi/4Q(∓)iv(τ,x_∗).

(46)

i=0

Из алгоритма построения асимптотики следуют равенства

L_ε(U(-)n,V(-)n) = O(εn/2+1), M_ε(V(-)n,U(-)n) = O(ε(n+1)/2), x ∈ (0,x_∗),

L_ε(U(+)n,V(+)n) = O(εn/2+1), M_ε(V(+)n,U(+)n) = O(ε(n+1)/2), x ∈ (x_∗,1),

(0, ε, x_∗) =

(1, ε, x_∗) = 0,

(0, ε, x_∗) =

(1, ε, x_∗) = 0,

V (-)n(x_∗,ε,x_∗) = V (+)n(x_∗,ε,x_∗) = ψ₂(x_∗),

где

d²U

d²V

L_ε(U,V ) := ε²

- F(U,V,x,ε), M_ε(V,U) := ε

- f(U,V,x,ε).

(47)

dx²

Теорема. Пусть выполнены условия А1-А10. Тогда для любого целого n ≥ 0 при всех до-

статочно малых ε существует решение u(x,ε), v(x,ε) задачи (1), (2), для которого спра-

ведливы асимптотические равенства

u(x, ε) = U_n(x, ε) + O(ε(n+1)/2), v(x, ε) = V_n(x, ε) + O(ε(n+1)/2), x ∈ [0, 1],

(48)

где

{

n (x, ε, X2n+1),

0≤x≤X2n+1,

U_n(x,ε) =

n (x, ε, X2n+1), X2n+1 < x ≤ 1;

{

n (x, ε, X2n+1),

0≤x≤X2n+1,

x-X2n+1

V_n(x,ε) =

τ =

(49)

√ε

n (x, ε, X2n+1), X2n+1 < x ≤ 1;

4.2. О методе доказательства теоремы. Докажем теорему с помощью асимптотичес-

кого метода дифференциальных неравенств, т.е. построив верхнее и нижнее решения задачи

(1), (2) на основе формальных асимптотических рядов (8), (9) (см. [4]). Напомним понятия

верхнего и нижнего решений для задачи (1), (2).

Определение. Две пары функций U(x, ε), V (x, ε) и U(x, ε), V (x, ε), принадлежащих по

переменной x классу C⁽²⁾(0, 1)

^⋂C⁽¹⁾[0,1], называются упорядоченными верхним и нижним

решениями задачи (1), (2), если они удовлетворяют следующим условиям:

1) при x ∈ [0, 1] выполнены неравенства (условие упорядоченности)

U (x, ε) ≤ U(x, ε) и V (x, ε) ≤ V (x, ε);

2) при x ∈ (0, 1) справедливы неравенства

L_ε(U,V ) ≤ 0 ≤ L_ε(U,V ), M_ε(V ,U) ≤ 0 ≤ M_ε(V ,U)

(операторы L_ε и M_ε определены равенствами (47));

3) имеют место неравенства

(0, ε) ≤ 0 ≤

(0, ε),

(0, ε) ≤ 0 ≤

(0, ε),

(1, ε) ≥ 0 ≥

(1, ε),

(1, ε) ≥ 0 ≥

(1, ε).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№3

2023

4^∗

344

СИМАКОВ

В случае если верхнее и нижнее решения

{

U(-)(x,ε),

0 ≤ x ≤ x,

V (-)(x,ε),

0 ≤ x ≤ x,

U (x, ε) =

V (x, ε) =

(50)

U⁽⁺⁾(x,ε), x ≤ x ≤ 1,

V (+)(x,ε), x ≤ x ≤ 1,

{

U(-)(x, ε),

0 ≤ x ≤ x,

V (-)(x,ε),

0 ≤ x ≤ x,

U (x, ε) =

V (x, ε) =

(51)

U⁽⁺⁾(x,ε),

x ≤ x ≤ 1,

V (+)(x,ε),

x ≤ x ≤ 1,

не являются гладкими в точках x и x соответственно, они должны удовлетворять дополни-

тельным условиям (см. [4]):

4) справедливы неравенства

dU(-)

dU⁽⁺⁾

dV(-)

dV⁽⁺⁾

(x, ε) ≥

(x, ε),

(x, ε) ≥

(x, ε);

5) справедливы неравенства

dU(-)

dU⁽⁺⁾

dV(-)

dV⁽⁺⁾

(x, ε) ≤

(x, ε),

(x, ε) ≤

(x, ε).

При этом неравенства условия 2) должны выполняться всюду на интервале (0, 1), за ис-

ключением точек x и x для верхнего и нижнего решений соответственно.

Условие 2) сформулировано для случая, когда функции F и f удовлетворяют в области

G₀ = {(u,v,x,ε) : U(x,ε) ≤ u ≤ U(x,ε), V (x,ε) ≤ v ≤ V (x,ε),

0 ≤ x ≤ 1,

0≤ε≤ε₀}

(52)

условию квазимонотонности, т.е. функция F (u, v, x, ε) является невозрастающей функцией

аргумента v, а функция f(u, v, x, ε) - невозрастающей функцией аргумента u. Ниже будет

показано, что в рассматриваемой задаче это свойство имеет место.

Если существуют упорядоченные верхнее и нижнее решения задачи (1), (2), то эта зада-

ча имеет решение u = u(x, ε), v = v(x, ε) (возможно, не единственное), удовлетворяющее

неравенствам

U (x, ε) ≤ u(x, ε) ≤ U(x, ε), V (x, ε) ≤ v(x, ε) ≤ V (x, ε), x ∈ [0, 1].

(53)

4.3. Оценки производных функции F. Введём обозначения

Ũ (∓)(x,ε,x∗) := u(∓)0(x) + Q(∓)0u(τ, x_∗) +

√ε(u(∓)1(x) + Π(∓)0u(ξ_∓) + Q(∓)2u(τ, x_∗)),

V (∓)(x,ε,x_∗) := v(∓)0(x) + Q(∓)0v(τ,x_∗) +

√ε(v(∓)1(x) + Π(∓)0v(ξ_∓) + Q(∓)2v(τ, x_∗)),

∂F

F(∓)u(x,ε,x_∗) :=

(Ũ(∓)(x,ε,x_∗)

V (∓)(x,ε,x_∗),x,ε),

∂u

аналогично определяется

Для производных

u (x, ε, x∗) и

v (x, ε, x∗) при достаточно малых ε нетрудно полу-

чить оценки (см. [3])

F(-)u(x,ε,x_∗) ≥ c₀

√ε > 0, x ∈ [0,x_∗],

F(+)u(x,ε,x_∗) ≥ c₀

√ε > 0, x ∈ [x_∗,1],

(54)

F(-)v(x,ε,x_∗) ≤ -c√ε < 0, x ∈ [0,x∗],

F(+)v(x,ε,x_∗) ≤ -c√ε < 0, x ∈ [x∗,1].

(55)

Так как при n ≥ 1 имеют место равенства

U(∓)n(x,ε,x_∗) =Ũ(∓)(x,ε,x_∗) + O(ε3/4), V(∓)n(x,ε,x_∗)

V (∓)(x,ε,x_∗) + O(ε3/4),

оценки (55) обеспечивают квазимонотонность функции F. Отметим, что при доказательстве

этих оценок используется условие А9.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№3

2023

АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЁННОЙ СИСТЕМЫ

345

4.4. Верхнее и нижнее решения задачи (1), (2). Введём точки x(ε) и x(ε):

x(ε) = X2n+1 - ε(n+1)/2δ, x(ε) = X2n+1 + ε(n+1)/2δ,

где δ - положительное число, которое будет выбрано ниже. Верхнее и нижнее решения за-

дачи (1), (2) построим раздельно слева и справа от точек x и x соответственно в виде (50),

(51). В точках x и x будем сшивать функции U(∓), V(∓) и U(∓), V(∓) так, чтобы они

удовлетворяли равенствам

n (x, ε, x) +

n (x, ε, x)

U(∓)(x,ε) =

+ ε(n+1)/2μ, V (∓)(x,ε) = ψ₂(x) + ε(n+1)/2μ,

(56)

n (x, ε, x) +

n (x, ε, x)

U(∓)(x,ε) =

- ε(n+1)/2μ, V (∓)(x,ε) = ψ₂(x) - ε(n+1)/2μ.

(57)

Отсюда последует непрерывность функций U, V и U, V . Здесь μ - положительное чис-

ло, которое выбирается далее вместе с δ так, чтобы обеспечить выполнение условий 4) и 5)

определения.

Будем строить функции U(∓), V(∓), U(∓), V(∓) как модификацию функций

n и

определённых в (45), (46):

U(∓)(x,ε) = U(∓)n(x,ε,x) + ε(n+1)/2(α(∓)(x) + e-ξ∓ + Q(∓)u(τ) + Λ_∓e^±γσ),

U(∓)(x,ε) = U(∓)n(x,ε,x) - ε(n+1)/2(α(∓)(x) + e-ξ∓ + Q(∓)u(τ) + Λ_∓e^±γσ),

V (∓)(x,ε) = V (∓)n(x,ε,x) + ε(n+1)/2(β(∓)(x) + e-ξ∓ + Q(∓)v(τ)) + εn/2+1kΛ_∓(1 - e^±γσ),

V (∓)(x,ε) = V (∓)n(x,ε,x) - ε(n+1)/2(β(∓)(x) + e-ξ∓ + Q(∓)v(τ)) - εn/2+1kΛ_∓(1 - e^±γσ),

где

x-x

τ =

γ=

√c₀,

√ε,σ=

ε3/4

√ε,σ=

ε3/4

постоянная c₀ определена в (54). Считаем, что все функции, зависящие от “растянутых” пе-

ременных, умножены на срезающие функции.

Определим функции α(∓)(x) и β(∓)(x) как решения СЛАУ

α(∓) -

ϕ(∓)v(x)β(∓) = A,

f(∓)u(x)α(∓)

f(∓)v(x)β(∓) = A,

где A > 0 - число, которое будет выбрано ниже достаточно большим. Так как определители

этих систем, равные gv∓)(x), отличны от нуля в силу условия А6, существуют единственные

решения

v (x) +

ϕv∓)(x)

u (x)

α(∓)(x) =

A, β(∓)(x) =

gv∓)(x)

В следующем пункте будет показано как выбрать числа A, δ, μ, k, Λ_∓, Λ_∓ и функции

Q(∓)u, Q(∓)v, Q(∓)u, Q(∓)v, чтобы для всех достаточно малых ε две пары функций (50) и

(51) были верхним и нижним решениями задачи (1), (2).

4.5. Проверка выполнения условий определения. Пусть n ≥ 1. Заметим, что функ-

ции F (u, v, x, ε) (в силу неравенств (55)) и f(u, v, x, ε) (в силу условия А10) удовлетворяют

условию квазимонотонности для достаточно малых ε в области G₀ (см. (52)).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№3

2023

346

СИМАКОВ

Проверим выполнение неравенств L_ε(U, V ) ≤ 0 и M_ε(V , U ) ≤ 0 условия 2) на интервале

(0, x), где U = U(-), V

= V(-). Выражения для L_ε(U,V ) и M_ε(V ,U) после длинных, но

простых преобразований принимают вид

(-)

d²U

L_ε(U,V ) = ε²

- F(U(-),V (-),x,ε) = O(εn/2+1) -F˜(-)u(x,ε,x)ε(n+1)/2A -

dx²

F(-)u(x,ε,x)ε(n+1)/2(Q(-)u -

ϕ(-)v(x, τ , x)Q(-)v + O(Ae^κτ )) -

−ε(n+1)/2Λ_-e^γσ

F(-)u(x,ε,x) - c₀

√ε) + εn/2+5/4O(A) + εn+1O(A²),

(58)

(-)

d²V

M_ε(V ,U) = ε

- f(U(-),V (-),x,ε) = O(ε(n+1)/2) - ε(n+1)/2A +

dx²

)

⁽d²Q(-)

+ε(n+1)/2

-fˆ(-)u(x,τ,x)Q(-)u -fˆ(-)v(x,τ,x)Q(-)v + O(Ae^κτ)

dτ²

−ε(n+1)/2Λ_-e^γσ

f(-)u(x,τ,x) + kc₀) + εn/2+1O(A) + εn+1O(A²).

(59)

Определим функции Q(-)u, Q(-)v как решение задачи

Q(-)u - ϕ(-)v(x,τ,x)Q(-)v = C(-)Ae^κτ ,

d²Q(-)v

f(-)u(x,τ,x)Q(-)u +fˆ(-)v(x,τ,x)Q(-)v - C(-)Ae^κτ ,

dτ²

Q(-)v(0) = μ - β(-)(x), Q(-)v(-∞) = 0,

(60)

где число C(-) выбирается достаточно большим, чтобы слагаемые O(Ae^κτ ) в правых частях

равенств (58), (59) удовлетворяли неравенствам |O(Ae^κτ )| ≤ C(-)Ae^κτ . Эта задача аналогична

задаче (30)-(32), и её решение находится в явном виде

∫

)

⁽μ - β(-)(x)

Q(-)v(τ,x) = Φ(-)(τ,x)

+ Φ-2(-)(s,x) Φ(-)(t,x)q(-)(t,x)dtds

Φ(-)(0, x)

-∞

Q(-)u(τ , x) =

ϕ(-)v(x, τ , x)Q(-)v(τ , x) + C(-)Ae^κτ ,

где q(-)(t, x) =

u (x, t, x) - 1)C(-)Ae^κt.

Первое граничное условие (60) обеспечивает выполнение второго равенства в (56) для зна-

ка (-). Определим число Λ_- так, чтобы выполнялось первое равенство в (56):

n (x, ε, x) -

n (x, ε, x)

Λ_- =

- α(-)(x) - Q(-)u(0,x) + μ.

2ε(n+1)/2

Число Λ_- зависит от ε, но является ограниченным при ε → 0, так как разность в числителе

дроби есть величина порядка O(ε(n+1)/2). Заметим, что Λ_- > 0 при достаточно большом μ.

Выражение (58) теперь принимает вид

L_ε(U,V ) = O(εn/2+1)

F(-)u(x,ε,x)ε(n+1)/2A

F(-)u(x,ε,x)ε(n+1)/2(C(-)Ae^κτ + O(Ae^κτ )) -

−ε(n+1)/2Λ_-e^γσ

F(-)u(x,ε,x) - c₀

√ε) + εn/2+5/4O(A) + εn+1O(A²).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№3

2023

АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЁННОЙ СИСТЕМЫ

347

Первое слагаемое в правой части равенства не зависит от A, поэтому сумму первых двух сла-

гаемых в силу (54) можно сделать отрицательной выбором достаточно большого A. Третье

слагаемое является отрицательным при достаточно большом C(-). С учётом (54) четвёртое

слагаемое также будет отрицательным при Λ_- > 0. Так как n ≥ 1, то пятое и шестое слагае-

мые имеют более высокий порядок малости по ε, чем первые четыре, и, значит, при достаточно

малых ε не изменят знака всей суммы, т.е. будет выполнено неравенство

L_ε(U,V ) < 0, x ∈ (0,x).

Выражение (59) принимает вид

M_ε(V ,U) = O(ε(n+1)/2) - ε(n+1)/2A - ε(n+1)/2(C(-)Ae^κτ + O(Ae^κτ )) -

-ε(n+1)/2Λ_-e^γσ

f(-)u(x,τ,x) + kc₀) + εn/2+1O(A) + εn+1O(A²).

С той лишь разницей, что здесь отрицательность четвёртого слагаемого обеспечивается за

счёт выбора достаточно большого k, отсюда получаем выполнение неравенства

M_ε(V ,U) < 0, x ∈ (0,x).

На интервале (x, 1), где U = U⁽⁺⁾, V = V⁽⁺⁾, неравенства L_ε(U , V ) < 0 и M_ε(V , U) < 0

проверяются точно так же. Аналогичным образом доказывается, что на интервалах (0, x) и

(x, 1) выполнены неравенства для нижнего решения L_ε(U , V ) > 0 и M_ε(V , U) > 0.

Таким образом, функции U, V и U, V удовлетворяют условию 2) определения для

случая негладких верхнего и нижнего решений. Кроме того, эти функции являются непре-

рывными на отрезке [0, 1], так как U(∓), V(∓) и U(∓), V(∓) по построению удовлетворяют

равенствам (56), (57).

Условие 1) упорядоченности верхнего и нижнего решений проверяется стандартным спо-

собом (см. [5]).

Легко проверяется, что функции U, V и U, V удовлетворяют условию 3) определения.

Перейдём к проверке условия 4). Рассмотрим разность

(-)

dU(-)

dU⁽⁺⁾

(x, ε) -

(x, ε) =

(x, ε, x) -

(x, ε, x) + εn/2-1/4γ(Λ_- + Λ₊) +

)

(-)

⁽ dα

dα⁽⁺⁾

⁽ dQ(-)u

dQ⁽⁺⁾u

+ε(n+1)/2

(x) -

(x)

+εn/2

(0, x) -

(0, x)

(61)

dτ

Из формальных равенств (37) следует, что

(X2n+1, ε, X2n+1) -

(X2n+1, ε, X2n+1) = O(εn/2),

а так как x - X2n+1 = O(ε(n+1)/2), то это равенство останется верным и при замене X2n+1

на x. При этом выражение (61) примет вид

dU(-)

dU⁽⁺⁾

(x, ε) -

(x, ε) = εn/2-1/4γ(Λ_- + Λ₊) + O(εn/2).

Выше было показано, что Λ_- > 0 при достаточно большом μ; такое же неравенство полу-

чается для Λ₊. Следовательно, при достаточно малых ε рассматриваемая разность будет

положительной, т.е. будет выполнено первое неравенство условия 4).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№3

2023

348

СИМАКОВ

Разность производных V -компонент верхнего решения приводится к виду

dV(-)

dV⁽⁺⁾

(x, ε) -

(x, ε) = O(εn/2) - εn/2δJ^′(x₀) + O(εn/2+1/4),

где слагаемое O(εn/2) не зависит от δ. Так как J^′(x₀) < 0 в силу (5), отсюда следует, что

при достаточно большом δ и достаточно малых ε разность в левой части равенства будет

положительной, т.е. будет выполнено второе неравенство из условия 4).

Условие 5) определения проверяется точно так же.

Таким образом, при n ≥ 1 две пары функций U(x, ε), V (x, ε) и U(x, ε), V (x, ε), опреде-

лённые формулами (50) и (51), являются для достаточно больших A, k, δ, μ и достаточно

малых ε упорядоченными верхним и нижним решениями задачи (1), (2).

4.6. Завершение доказательства теоремы. Из существования упорядоченных верхне-

го и нижнего решений задачи (1), (2) следует, что эта задача для достаточно малых ε имеет

решение u(x, ε), v(x, ε), удовлетворяющее неравенствам (53), а так как U, V и U, V отли-

чаются от U_n, V_n на величины порядка O(εn/2), то и решение u(x, ε), v(x, ε) отличается от

U_n, V_n на величины того же порядка, т.е.

u(x, ε) = U_n(x, ε) + O(εn/2), v(x, ε) = V_n(x, ε) + O(εn/2), x ∈ [0, 1].

Эти оценки нетрудно улучшить, если написать их для номера n+1 и воспользоваться тем,

что Un+1(x, ε) = U_n(x, ε) + O(ε(n+1)/2), Vn+1(x, ε) = V_n(x, ε) + O(ε(n+1)/2), x ∈ [0, 1]. Тогда

для n ≥ 0 получим равенства (48). Теорема доказана.

Следствие 1. Имеют место предельные равенства (6).

Следствие 2. Предельным положением при ε → 0 кривой l_ε = {(u, v, x) : u = u(x, ε),

v = v(x,ε),

0 ≤ x ≤ 1} (т.е. графика решения задачи (1), (2)) является кривая L.

Следствие 3. При каждом m = 0, n - 1 для решения u(x, ε), v(x, ε) справедливы равен-

ства вида (48), в которых n заменено на m.

Следствие 4. Для производных решения задачи (1), (2) справедливы асимптотические

представления

dU_n

dV_n

(x, ε) =

(x, ε) + O(εn/2),

(x, ε) =

(x, ε) + O(εn/2), x ∈ [0, 1].

5. Пример. Рассмотрим краевую задачу для системы уравнений

(

)

d²u

d²v

ε²

= (u - v)² - ε, ε

= v³ - u + (v² - 1) x -

0 < x < 1,

(62)

dx²

с граничными условиями (2). Легко проверяется выполнение условий А1-А10, где

(

)

ϕ(v, x) = v, g(v, x) = (v² - 1) v + x -

ψ₁(x) = -1, ψ₂(x) =

- x, ψ₃(x) = 1,

(

)

I(x) =

-x , x₀ =

Построим асимптотику решения нулевого порядка, т.е. функции U₀(x, ε), V₀(x, ε) (см.

(49)). Для функций регулярной части находим

u(∓)0(x) = v(∓)0(x) = ∓1. Все погранслойные

функции нулевого порядка оказываются равными нулю (это связано с тем, что в данном при-

мере u(∓)0(x) и v(∓)0(x) - постоянные).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№3

2023

АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЁННОЙ СИСТЕМЫ

349

Внутрислойную часть асимптотики следует строить при x_∗ = X₁ = x₀ + ε1/4x₁ = x₀ = 1/2.

Функции Q(∓)0v(τ) определяются как решения задач (21), (19). В отличие от общего случая,

в данном примере удаётся найти их в явном виде:

±2

Q(∓)0v(τ) =

√

1 + exp(∓

2τ)

Из (22) следует равенство Q(∓)0u(τ) = Q(∓)0v(τ).

Таким образом, асимптотика нулевого порядка в задаче (62), (2) имеет вид

⎧

⎪

⎨-1 +

√

0 ≤ x ≤ 1/2,

1 + exp(-

2τ)

x - 1/2

U₀(x,ε) = V₀(x,ε) =

τ =

⎪

√ε

⎩1 -

√

1/2 ≤ x ≤ 1,

1 + exp(

2τ)

По доказанной теореме существует решение этой задачи, которое отличается от U₀(x, ε),

V₀(x,ε) на величину O(√ε).

6. Заключительные замечания.

1. В данной задаче внутренний переходный слой описывается функциями, зависящими

от одной растянутой переменной τ, т.е. является одномасштабным, что нехарактерно для

систем обыкновенных дифференциальных уравнений вида (1) с различными степенями малого

параметра при вторых производных. В исследованных ранее задачах такого типа с кратным

корнем вырожденного уравнения внутренний слой оказывался двухмасштабным. Для случая

простых корней одномасштабный внутренний слой был описан, например, в работе [6].

2. Если функция h (см. условие А1) зависит не только от x, но также от u и v, причём

h(u, v, x) > 0 при (u, v, x) ∈ I_u ×I_v ×[0, 1], то качественные особенности асимптотики решения

с переходным слоем сохраняются, но выкладки становятся более громоздкими.

3. Представляет интерес случай, когда корень u = ϕ(v, x) первого уравнения (3) является

трёхкратным.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Нефёдов Н.Н. Развитие методов асимптотического анализа переходных слоев в уравнениях реак-

ции-диффузии-адвекции: теория и применение // Журн. вычислит. математики и мат. физики.

2021. Т. 61. № 12. С. 2074-2094.

2. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. М.,

1990.

3. Бутузов В.Ф., Симаков Р.Е. Асимптотика решения сингулярно возмущённой системы уравнений

с многозонным внутренним слоем // Дифференц. уравнения. 2021. Т. 57. № 4. С. 435-465.

4. Нефёдов Н.Н. Метод дифференциальных неравенств для некоторых классов нелинейных сингу-

лярно возмущённых задач с внутренними слоями // Дифференц. уравнения. 1995. Т. 31. № 7.

С. 1132-1139.

5. Бутузов В.Ф., Левашова Н.Т., Мельникова А.А. Контрастная структура типа ступеньки в син-

гулярно возмущённой системе уравнений с различными степенями малого параметра // Журн.

вычислит. математики и мат. физики. 2012. Т. 52. № 11. С. 1983-2003.

6. Левашова Н.Т., Петровская Е.С. Применение метода дифференциальных неравенств для обосно-

вания асимптотики решения системы двух обыкновенных дифференциальных уравнений в виде

контрастной структуры типа ступеньки // Учен. зап. физ. ф-та Моск. ун-та. 2014. № 3. С. 143101.

Московский государственный университет

Поступила в редакцию 19.11.2022 г.

имени М.В. Ломоносова

После доработки 26.01.2023 г.

Принята к публикации 14.02.2023 г.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№3

2023