ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2023, том 59, № 3, с.350-357
УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
УДК 517.95
НЕЛОКАЛЬНАЯ ЗАДАЧА С ИНТЕГРАЛЬНЫМ
УСЛОВИЕМ СКЛЕИВАНИЯ ДЛЯ НАГРУЖЕННОГО
ПАРАБОЛО-ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
С ДРОБНОЙ ПРОИЗВОДНОЙ КАПУТО
© 2023 г. О. Х. Абдуллаев
Для параболо-гиперболического уравнения с двумя линиями изменения типа, содержаще-
го нелинейное нагруженное слагаемое, исследуется нелокальная задача с интегральным
условием склеивания. Единственность решения задачи доказывается методом интегралов
энергии, а существование - с применением теории интегральных уравнений. Определяют-
ся классы и достаточные условия для заданных функций, обеспечивающих однозначную
разрешимость исследуемой задачи.
DOI: 10.31857/S0374064123030056, EDN: QUNKQU
Введение. Данная работа посвящена исследованию нелокальной задачи c интегральными
условиями склеивания для нагруженного параболо-гиперболического уравнения
⎧
⎨uxx -CDαoyu + f1(x,y;u(x;0))
при x > 0, y > 0,
0=
uxx - uyy + f2(x,y;u(x + y;0))
при x > 0, y < 0,
(1)
⎩uxx - uyy + f3(x, y; uy(0; x + y)) при x < 0, y > 0
с оператором Капуто [1, с. 108]
y
∫
1
f (y) =
(y - z)-αf′(z) dz
CD0
y
Γ(1 - α)
0
дробного порядка 0 < α < 1, где fi(·), i = 1, 2, 3, - заданные функционалы, действующие на
следы решения уравнения (1) и его производной по переменной y.
Локальная задача c разрывными условиями склеивания (но без интегрального слагаемого)
для уравнения
∂2u
1 - sign(xy) ∂2u
1 + sign(xy)
-
-
CD0tu = f(x, y), α ∈ (0, 1),
∂x2
2
∂x2
2
была изучена в статье [2]. Следует отметить, что это уравнение линейное (причём без нагру-
женной части). При исследовании поставленной задачи с линейными условиями для него были
получены линейное дифференциальное уравнение (относительно u(x, 0) = τ1(x)) и линейное
интегральное уравнение типа Вольтерры второго рода (относительно uy(0, y) = τ′2(y)) со сла-
бой особенностью, однозначная разрешимость которой сразу следует из теории интегральных
уравнений.
Локальные и нелокальные задачи с непрерывными и разрывными условиями склеивания
для нагруженных уравнений параболо-гиперболических типа с одной линией изменения типа,
содержащие различные интегро-дифференциальные операторы целого и дробного порядков,
были изучены в работах [3-6] и др. Хотелось бы отметить, что уравнения и задачи, рассмот-
ренные в этих работах, не содержат нелинейные части.
Задачи для уравнений смешанного типа с двумя и тремя линиями изменения типа целого
и дробного порядка рассмотрены в статьях [7-10] и др.
350
НЕЛОКАЛЬНАЯ ЗАДАЧА С ИНТЕГРАЛЬНЫМ УСЛОВИЕМ СКЛЕИВАНИЯ
351
В работах [11] и [12] доказана однозначная разрешимость различных локальных и нело-
кальных краевых задач с интегральными условиями склеивания для параболо-гиперболиче-
ского уравнения с нелинейной нагруженной частью и дифференциальным оператором Капуто,
имеющего только одну линию изменения типа.
1. Постановка задачи и основные функциональные соотношения. Рассмотрим
уравнение (1) в конечной области Ω ⊂ R2, ограниченной отрезками A1A2, A2B2 прямых
x = l, y = h при x > 0, y > 0 и A1C1, C1B1 на характеристиках x - y = l, x+y = 0 урав-
нения (1) при x > 0, y < 0, а также отрезками B1C2, C2B2 на характеристиках x + y = 0,
y - x = h уравнения (1) при x < 0, y > 0, здесь l,h = const > 0. Параболическую часть
смешанной области Ω обозначим через Ω1, а гиперболические части - через Ω2 при x > 0
и Ω3 при x < 0.
Задача NL. Требуется найти решение u(x; y) уравнения (1) из класса функций
W = {u : u ∈ C(Ω)
⋂C1(Ω3 ⋃B1C2)⋂ C2(Ω2 ⋃ Ω3);uxx,CDα0yu ∈ C(Ω1)},
удовлетворяющее краевым условиям
u(l; t) = ϕ(y),
0 ≤ y ≤ h,
(2)
u(x; -x) = ψ(x),
0 ≤ x ≤ l/2,
(3)
d
u(-y/2; y/2) = a1(y)ux(-0; y) + a2(y)uy(-0; y) + a3(y)u(0; y) + a4(y),
0 < y < h,
(4)
dy
и интегральным условиям склеивания
x
∫
lim
y1-αuy(x;y) = λ1(x)uy(x;-0) + λ2(x)ux(x;-0) + λ3(x) r1(t)up1 (t;0)dt +
y→+0
0
+ λ4(x)up2(x;0) + λ5(x),
0<x<l,
(5)
∫
y
ux(+0;y) = μ1(y)ux(-0;y) + μ2(y)uy(-0;y) + μ3(y) r2(t)u(0;t)dt +
0
+ μ4(y)u(0;y) + μ5(y),
0 < y < h,
(6)
где ak(y), λk(x), μk(y), k = 1, 5, ϕ(y), ψ(x), r1(x), r2(y) - заданные достаточно гладкие
∑4
∑3
∑4
функции, причём
λ2k(x) = 0,
a2k(x) = 0 и
μ2k(x) = 0.
k=1
i=1
k=1
Учитывая решение задачи Коши для уравнения (1) с начальными данными
u(x, 0) = τ1(x),
0 ≤ x ≤ l; uy(x,-0) = ν-1 (x),
0<x<l,
u(0, y) = τ2(y),
0 ≤ y ≤ h; ux(-0,y) = ν-2 (y),
0 < y < h,
а также используя краевые условия (3) и (4), находим основные функциональные соотношения
)
∫
x
(
)
(x
1
ξ+x
ξ-x
ν-1(x) = τ′1(x) - ψ′
-
f2
,
;τ1(ξ) dξ,
0<x<l,
(7)
2
2
2
2
0
и
(2a1(y) + 1)ν-2(y) = (1 - 2a2(y))τ′2(y) - 2a3(y)τ2(y) -
∫
y
(
)
1
ξ+x
ξ-x
-
f3
,
;τ′2(ξ) dξ - 2a4(y),
0 < y < h,
(8)
2
2
2
0
соответственно из гиперболических областей Ω2 и Ω3.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№3
2023
352
АБДУЛЛАЕВ
2. Исследование задачи NL. Введём обозначения
lim
y1-αuy(x,y) = ν1+(x), ux(+0,y) = ν2+(y).
y→+0
Из интегральных условий склеивания (5), (6) имеем
∫x
(x) + λ5(x),
0 < x < l, (9)
ν1+(x) = λ1(x)ν-1(x)+λ2(x)τ′1(x)+λ3(x) r1(t)τp11(t)dt+λ4(x)
1
0
y
∫
ν2+(y) = μ1(y)ν-2(y) + μ2(y)τ′2(y) + μ3(y) r2(t)τ2(t)dt + μ4(y)τ2(y) + μ5(y),
0 < y < h. (10)
0
Далее из параболического уравнения (1) при y → +0 с учётом равенства limDα-10yf(y) =
y→0
= Γ(α)limy1-αf(y) (см. [13, с. 35]) и интегрального условия склеивания (9) получим
y→0
∫x
τ′′1(x) - Γ(α)λ1(x)ν-1(x) - Γ(α)λ2(x)τ′1(x) - Γ(α)λ3(x) r1(t)τp11(t)dt -
0
(11)
- Γ(α)λ4(x)τp21(x) + f1(x,0;τ1(x)) - Γ(α)λ5(x) = 0.
Подставив (7) в (11), запишем интегро-дифференциальное уравнение относительно τ1(x):
∫x
(x) + f1(x, 0; τ1(x)) +
τ′′1(x) - Γ(α)(λ1(x) + λ2(x))τ′1(x) - Γ(α)λ3(x) r1(t)τp11(t)dt - Γ(α)λ4(x)
1
0
∫x
(
)
Γ(α)
ξ+x
ξ-x
(x)
+
λ1(x) f2
,
;τ1(ξ) dξ - Γ(α)λ5(x) + Γ(α)λ1(x)ψ′
= 0.
(12)
2
2
2
2
0
Уравнение (12) запишем в следующем виде:
τ′′1(x) - β(x)τ′1(x) + Φ(x;τ1(x)) = g(x),
(13)
где β(x) = Γ(α)(λ1(x) + λ2(x)),
∫x
(
)
Γ(α)
ξ+x
ξ-x
Φ(x; τ1(x)) = f1(x, 0; τ1(x)) +
λ1(x) f2
,
;τ1(ξ) dξ -
2
2
2
0
∫x
(x),
(14)
- Γ(α)λ3(x) r1(t)τp11(t)dt - Γ(α)λ4(x)
1
0
g(x) = Γ(α)λ5(x) + Γ(α)λ1(x)ψ′(x/2).
Пусть существуют значения p1 и p2, удовлетворяющие неравенству
(15)
|zpi1 (x) - z2i (x)| ≤ L(pi)|z1(x) - z2(x)|, L(pi) = const > 0, i = 1, 2,
для всех функций zi(x) ∈ C[0, l]
⋂C2(0,l), i = 1,2, кроме того, функции fi(·), j = 1,2,3,
удовлетворяют условию Липшица по третьему аргументу, т.е. имеют место оценки
|f1(x, 0; z1(x)) - f1(x, 0; z2(x))| ≤ L1|z1(x) - z2(x)|, L1 = const > 0,
(16)
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№3
2023
НЕЛОКАЛЬНАЯ ЗАДАЧА С ИНТЕГРАЛЬНЫМ УСЛОВИЕМ СКЛЕИВАНИЯ
353
(
)
)
ξ+x
ξ-x
(ξ+x
ξ-x
2
,
;z1(ξ)
-f2
,
;z2(ξ)
L2|z1(ξ) - z2(ξ)|, L2 = const > 0,
(17)
f
≤
2
2
2
2
(
)
)
ξ-y
ξ+y
(ξ-y
ξ+y
,
;z1(ξ)
-f3
,
;z2(ξ)
L3|z1(ξ) - z2(ξ)|, L3 = const > 0.
(18)
f
3
≤
2
2
2
2
Тогда справедлива
Теорема. Пусть числа p1, p2 ≥ 1, a3(y)μ1(y) = 0, функции fi(·) ∈ C(Ωi × R)⋂ C1(Ωi ×
×R), i = 1,2,3, удовлетворяют условию Липшица по третьему аргументу и имеют место
условия
λi(x),λ5(x),r1(x) ∈ C[0,l]
⋂C1(0,l), i = 1,4, ψ(x) ∈ C[0,l/2]⋂ C2(0,l/2),
(19)
ai(y),μi(y),μ5(y),ϕ(y),r2(y) ∈ C[0,h]
⋂C1(0,h), i = 1,4,
(20)
2a1(y) + 1 = 0, μi(y)(1 - 2a2(y)) + μ2(y)(2a1(y) + 1) = 0,
(21)
l2eβ0 (L1 + c3 + l(c1L2 + c2)) < 1,
(22)
где β0 = Γ(α)(∥λ1(x)∥C + ∥λ2(x)∥C ), c1 = Γ(α)∥λ1(x)∥C /2, c2 = Γ(α)L(p1)∥λ3(x)∥C ∥r1(x)∥C ,
c3 = Γ(α)L(p2)∥λ4(x)∥C. Тогда решение задачи NL существует и единственно.
Доказательство. Заметим, что нелинейное дифференциальное уравнение (13) с услови-
ями τ1(0) = ψ(0) и τ1(l) = ϕ(0) (эти условия вытекают из краевых условий (2) и (3)) легко
сводится к нелинейному интегральному уравнению вида
∫l
τ1(x) - g1(x) = Φ(z;τ1(z))K1(x,z)dz ≡ I(τ1),
(23)
0
где
⎧
∫
l
∫
l
⎪
⎪
⎪δ(x) B(t) dt - B(t) dt при
0 ≤ z ≤ x,
⎨
z
x
K1(x,z) = B-(x)
⎪
∫
l
∫
l
⎪
⎪δ(x) B(t) dt - B(t) dt при x ≤ z ≤ l,
⎩
z
z
∫l
∫
l
∕∫l
g1(x) = g(z)K1(x,z)dx + (ϕ(0) - ψ(0))δ(x) + ψ(0), δ(x) = B(t)dt
B(t) dt,
0
x
0
∫x
∫x
B(x) = exp(
β(t) dt), B-(x) = exp(-
β(t) dt), причём, учитывая класс заданных функций
0
0
(19), имеем
|K1(x, z)| ≤ k01 = leβ0 ,
|g1(x)| ≤ g01 = Γ(α)k01l(∥λ5(x)∥C + ∥λ1(x)ϕ′(x/2)∥C ) + |ϕ(0)|.
(24)
В случае если p1 = p2 = 1 и fj(·), j = 1, 2, 3, - линейные функции относительно третьего
аргумента, однозначная разрешимость интегрального уравнения (23) следует из единственно-
сти решений линейных интегральных уравнений Фредгольма второго рода [14, с. 78, теорема 2]
(т.е. в этом случае отдельно доказывается единственность решения задачи).
Пусть функции fi(·), j = 1, 2, удовлетворяют условиям (16) и (17), тогда из (14), учитывая
класс заданных функций (см. (19)) и используя неравенство (15), получаем
 ∫
x
|Φ(z; τ1(z)) - Φ(z; τ2(z))| ≤ L1|τ1(z) - τ2(z)| + c1L2
|τ1(z) - τ2(z)|dz
+
0
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№3
2023
354
АБДУЛЛАЕВ
 ∫
x
+c2
|τ1(z) - τ2(z)|dz
c3|τ1(z) - τ2(z)| =
+
0
 ∫
x
= (L1 + c3)|τ1(z) - τ2(z)| + (c1L2 + c2)
|τ1(z) - τ2(z)|dz
(25)
,
0
где τ(x) = τ1(x). Разрешимость интегрального уравнения (23) доказываем методом последова-
тельных приближений, при этом функциональную последовательность относительно функции
τ(x) построим с помощью рекуррентного уравнения
∫l
τn(x) = Φ(z; τn-1(z))K1(x, z) dz + g1(x),
0
где τ0(x) = g1(x).
Учитывая неравенства |Φ(z; τ(z))| ≤ Φ0, Φ0 = const > 0, и (24), (25), можно убедиться в
справедливости соотношений
|τ1(x) - τ0(x)| ≤ k01lΦ0,
|τ2(x) - τ1(x)| ≤ k201l2(L1 + c3 + l(c1L2 + c2))Φ0,
...,
|τn(x) - τn-1(x)| ≤ kn01ln(L1 + c3 + l(c1L2 + c2))n-1Φ0.
(26)
В силу условия (22) из оценки (26) следует, что оператор в правой части интегрального
уравнения (23) является сжимающим. Следовательно, для оператора I(τ1) существует един-
ственная неподвижная точка, т.е. интегральное уравнение (23) имеет единственное решение
в классе C[0, l]
⋂C2(0,l). После определения функции τ1(x) из функционального соотноше-
ния (7) находим ν1(x). Таким образом, решение исследуемой задачи в области Ω2 можно
восстановить как решение задачи Коши.
Далее, воспользовавшись решением первой краевой задачи для параболического уравнения
в области Ω1, находим второе функциональное соотношение между функциями τ2(y) и ν+2 (y)
на отрезке B1B2, которое имеет вид [2, формула (2.12); 15, формула (11)]
y
∫
ν+2(y) = - K(y - t)τ′2(t)dt + Φ1(y),
(27)
0
где
[
(
)]
∑
1
1
2nl
α
K(y - t) =
+2
e1,1-β
-
,
β=
,
1,β
(y - t)β Γ(1 - β)
(y - t)β
2
n=1
∫
y
(
)
∑
2ml + 1
Φ1(y) = 2
(y - η)-β-1e1,-β
-
ϕ(η) dη -
1,β
(y - η)β
m=0
0
∫l
(
)
∫
y
∫
l
∑
2ml - ξ
-
y-αe1,1-α
-
τ1(ξ)dξ - lim
Gx(x, y, ξ, η)f1(ξ, η, τ1(ξ)) dξ dη,
1,β
yβ
x→+0
m=0
0
0
0
(
)
∑
1
x + (2n + 1)l
V (x, y; η) = lim
sign (x + (2n + 1)l)e1,0
-
,
Gξ(x, y; ξ, η) =
1,β
ξ→l
y-η
(y - η)β
n=-∞
y
∫
1
G(x, ξ, y) =
η-αG(x,y,ξ,η)dη,
Γ(1 - α)
0
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№3
2023
НЕЛОКАЛЬНАЯ ЗАДАЧА С ИНТЕГРАЛЬНЫМ УСЛОВИЕМ СКЛЕИВАНИЯ
355
∑
zn
e1,γ1,β(z) =
n!Γ(γ - βn)
n=0
- функция типа Райта [13, с. 23], а
[
(
)
(
)]
α/2-1
∑
(y - η)
|x - ξ + 2nl|
|x + ξ + 2nl|
G(x, y, ξ, η) =
e1,α/2
-
-e1,α/2
-
1,α/2
1,α/2
2
n=-∞
(y - η)α/2
(y - η)α/2
– функции Грина первой краевой задачи [13, с. 123; 16]. Заметим, что ядро K(y -t), представ-
ленное в виде ряда функций типа Райта, имеет слабую особенность (см. [13, формулы (2.2.5),
(2.2.24)]), т.е. |K(y-t)| ≤ const×(y-t)-β. Также можно убедится, что |Φ1(y)| ≤ const (см. [13,
с. 108]).
Пусть 2a1(y) + 1 = 0. Тогда, учитывая (8), (10) и (27), получаем
y
y
y
∫
∫
∫
A1(y)τ′2(y) - A2(y) τ′2(t)dt + μ3(y) τ′2(z)dz r2(t)dt +
0
0
z
∫
y
∫
y
(
)
t-y
t+y
+ K(y - t)τ′
2
(t) dt
A3(y) f3
,
;τ′2(t) dt = F(y),
2
2
0
0
(
∫
y
)
2a4(y)μ1(y)
F (y) = Φ1(y) + ψ(0) μ3(y) r2(t) dt - A2(y)
- μ5(y) +
,
1 + 2a1(y)
0
где
A3(y)μ1(y)/(2 + 4a1(y)). Далее, учитывая условие (21), последнее уравнение запишем в
виде
∫
y
∫
y
(
)
t-y
t+y
τ′2(y) + K2(t,y)τ′2(t)dt = F∗(y) - A∗(y) f3
,
;τ′2(t) dt,
(28)
2
2
0
0
где
∫y
μ3(y)t r2(z)dz + K(y - t) - A2(y)
A3(y)
F (y)
K2(t,y) =
,
A∗(y) = -
,
F∗(y) =
,
A1(y)
A1(y)
A1(y)
причём, учитывая класс заданных функций (см. (20)) и неравенства |K(y - t)| ≤ const ×
× (y - t)-β , |Φ1(y)| ≤ const, имеем
)
(t-y
t+y
|A∗(y)| ≤ A0,
|K2(t, y)| ≤ k02(y - t)-β,
|F∗(y)| ≤ F0,
,
;τ′2(t)
f03,
f
3
≤
2
2
где A0, k02, F0, f03 = const > 0.
Так как ядро интегрального уравнения (28) имеет слабую особенность и правая часть
этого уравнения является непрерывной функцией, то, основываясь на теории интегральных
уравнений Вольтерры второго рода, запишем решение в виде
y
y
∫
∫
(
)
t-y
t+y
τ′2(y) = F∗(y) + R(t,y)F∗(t)dt - A∗(y) f3
,
;τ′2(t) dt -
2
2
0
0
∫
y
∫
t
(
)
z-t
z+t
− R(t,y)A∗(t) dt f3
,
;τ′2(z) dt,
(29)
2
2
0
0
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№3
2023
356
АБДУЛЛАЕВ
где R(t, y) - резольвента ядра K2(t, y), причём |R(t, y)| ≤ r0(y - t)-β, r0 = const > 0.
Полученное уравнение (29) исследуем также методом последовательных приближений.
Рассмотрим рекуррентное уравнение
∫
y
(
)
t-y
t+y
τ∗n(y) = -A∗(y) f3
,
;τ∗n-1(t) dt -
2
2
0
∫
y
∫
t
(
)
z-t
z+t
− R(t,y)A∗(t) dt f3
,
;τ∗n-1(z) dz
F (y),
(30)
2
2
0
0
∫y
где
F (y) = F∗(y) +
R(t, y)F∗(t) dt, причём
F (y)|
F0.
0
Пусть функция f3( · , · ; τ′2(t)) удовлетворяет условию Липшица по третьему аргументу (см.
условие (18)), т.е.
|f3( · , · ; τ∗1(t)) - f3( · , · ; τ∗2(t))| ≤ L3|τ∗1(t) - τ∗2(t)|, L3 = const > 0,
где τ∗(t) = τ′2(t). Тогда, предполагая τ∗0(y)
F (y) и учитывая (30), составим функциональ-
ную последовательность относительно τ∗(y), сходимость которой следует из неравенств
∫
y
(
)
t-y
t+y
|τ∗1(y) - τ∗0(y)| ≤A∗
(y) f3
,
;τ∗0(t) dt
+
2
2
0
∫
y
∫
t
(
)
z-t
z+t
y2
+ R(t,y)A∗(t) dt f3
,
;τ∗0(z) dz
A0f03y + A0r0f03
≤ cy,
≤
2
2
2
0
0
∫
y
 ∫
y
∫
t
|τ∗2(y) - τ∗1(y)| ≤ cL3A∗(y) t dt
c
A∗(t)R(t,y)dt z dz
+
≤
0
0
0
y2
y3
y2
≤ cA0L3
+ cA0r0
≤ cA0(L3 + r0)
,
2!
3!
2!
n
y
...,
|τ∗n(y) - τ∗n-1(y)| ≤ cA0(L3 + r0)n-1
n!
при 0 < y < h ≤ 1. Отметим также, что если 1 < y < h < ∞, то можно получить аналогичные
неравенства, из которых следует сходимость функциональной последовательности {τ∗n(y)}.
Пусть предел последовательности {τ∗n(y)} есть функция
τ2(y), т.е. τ′2(y) =
τ2(y), тогда,
учитывая равенство τ2(0) = ψ(0), находим
y
∫
τ2(y) =
τ(t) dt + ψ(0).
0
Пусть 2a1(y)+1≡0. Тогда при выполнении одного из условий: 2a2(y)-1=0 или a3(y)=0,
из (8) можно найти τ2(y). Далее, определяя из соотношения (27) функцию ν+2(y), находим
ν-2(y) из интегрального условия склеивания (10) при условии μ1(y) = 0. Следовательно,
решение задачи NL можно будет восстановить и в областях Ω1 и Ω3 соответственно как
решение первой краевой задачи [13, с. 108; 16] и задачи Коши [2]. Так как искомые функции
являются решениями нелинейных интегральных и функциональных уравнений, для которых с
помощью принципа сжимающих отображений найдены условия однозначной разрешимости, из
полученного результата также следует единственность решения поставленной задачи. Теорема
доказана.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№3
2023
НЕЛОКАЛЬНАЯ ЗАДАЧА С ИНТЕГРАЛЬНЫМ УСЛОВИЕМ СКЛЕИВАНИЯ
357
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Kilbas A.A., Srivastava H.M., Trujillo J.J. Theory and applications of fractional differential equations
// North-Holland Mathematics Studies. V. 204. Amsterdam, 2006.
2. Kadirkulov B.J. Boundary problems for mixed parabolic-hyperbolic equations with two lines of changing
type and fractional derivative // Electronic J. of Differ. Equat. 2014. V. 57. P. 1-7.
3. Сабитов К.Б., Мелишева Е.П. Задача Дирихле для нагруженного уравнения смешанного типа в
прямоугольной области // Изв. вузов. Математика. 2013. № 7. С. 62-76.
4. Сабитов К.Б. Начально-граничная задача для параболо-гиперболического уравнения с нагружен-
ными слагаемыми // Изв. вузов. Математика. 2015. № 6. С. 31-42.
5. Abdullaev O.Kh., Sadarangani K. Non-local problems with integral gluing condition for loaded mixed
type equations involving the Caputo fractional derivative // Electron. J. of Differ. Equat. 2016. V. 164.
P. 1-10.
6. Исломов Б.И., Абдуллаев О.Х. Задача типа Геллерштедта для нагруженного уравнения параболико-
гиперболического типа с операторами Капуто и Эрдели-Кобера дробного порядка // Изв. вузов.
Математика. 2020. № 106. С. 33-46.
7. Ефимов А.В. О краевых задачах с операторами Сайго для уравнения смешанного типа с дробной
производной // Вестн. Самарского гос. техн. ун-та. 2004. Т. 26. С. 16-20.
8. Елеев В.А., Лесев В.Н. О двух краевых задачах для смешанных уравнений с перпендикулярными
линиями изменения типа // Владикавказ. мат. журн. 2001. Т. 3. № 4. С. 9-22.
9. Karimov E.T., Sotvoldiev A.I. Existence of solutions to non-local problems for parabolic-hyperbolic
equations with three lines of type changing // Electron. J. of Differ. Equat. 2013. V. 138. P. 1-5.
10. Исломов Б., Холбеков Ж. Аналог задачи Трикоми для нагруженного параболо-гиперболического
уравнения с тремя линиями изменения типа-I // Узбекский мат. журн. 2015. № 4. С. 47-57.
11. Yuldashev T.K., Abdullaev O.Kh. Unique solvability of a boundary value problem for a loaded fractional
parabolic-hyperbolic equation with nonlinear terms // Lobachevskii J. of Math. 2021. V. 42. № 5. P. 1113-
1123.
12. Abdullaev O.Kh. Solvability of BVPs for the parabolic-hyperbolic equation with non-linear loaded term
// J. Sib. Fed. Univ. Math. Phys. 2021. V. 14. № 2. P. 133-145.
13. Псху А.В. Уравнения в частных производственных дробного порядка. М., 2005.
14. Михлин С.Г. Лекции по линейным интегральным уравнениям. М., 1959.
15. Сопуев А., Дж. Т. Джураев Краевые задачи для вырождающегося параболо-гиперболического
уравнения // Дифференц. уравнения. 1989. Т. 25. № 6. С. 1009-1015.
16. Mamchuev M.O. Solutions of the main boundary value problems for the time-fractional telegraph equation
by the Green function method // Fract. Calc. Appl. Anal. 2017. V. 20. № 1. P. 190-211.
Институт математики имени В.И. Романовского,
Поступила в редакцию 10.08.2021 г.
г. Ташкент, Узбекистан
После доработки 11.12.2022 г.
Ташкентский международный университет Кимё,
Принята к публикации 14.02.2023 г.
Узбекистан
5
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№3
2023