ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2023, том 59, № 3, с.358-367

УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

УДК 517.95

НЕЛОКАЛЬНАЯ ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ПО ВРЕМЕНИ

ДЛЯ УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ БАЛКИ

С ИНТЕГРАЛЬНЫМ УСЛОВИЕМ

Исследована прямая задача для поперечных колебаний однородной балки конечной дли-

ны с нелокальными по времени условиями, получены необходимое и достаточное условия

существования её решения. Для прямой задачи изучена обратная задача по определению

коэффициентов, зависящих от времен, при младшей производной и правой части уравне-

ния. Доказаны существование и единственность решения обратной задачи. Для решения

используется метод разделения переменных, с помощью которого задачи сводятся к инте-

гральному уравнению и к системе интегральных уравнений.

DOI: 10.31857/S0374064123030068, EDN: QUWSCE

Введение. Большинство задач о колебаниях балок находят широкое применение в стро-

ительной механике, в теории устойчивости ходовых валов, а их решения приводят к диффе-

ренциальным уравнениям высших порядков [1, с. 143-147]. В статье [2] приведён подробный

анализ зарубежных публикаций и результатов в области динамического поведения неоднород-

ных балок. В работах [3-6] исследуется разрешимость начально-краевых задач для уравнения

колебания балки с различными краевыми условиями. Аналитическому решению дифферен-

циального уравнения поперечных колебаний кусочно-однородной балки в частотной области

для любого вида краевых условий посвящена статья [7].

Задачи определения коэффициентов или правой части дифференциального уравнения по

некоторым известным данным от его решения получили название обратных задач математи-

ческой физики. Обратные задачи по определению ядер в интегро-дифференциальных урав-

нениях из теории вязкоупругости исследованы в [8-10]. В работах [11-13] применён метод ре-

шения обратных задач, основанный на представлении решения двумерных обратных задач в

виде тригонометрического полинома по одной из пространственных переменных. В статье [14]

рассматривается обратная задача по определению зависящего от времени коэффициента в

уравнении поперечных колебаний балки, который с физической точки зрения представляет

собой её жёсткость. С численными методами решений обратных задач можно ознакомиться в

работах [15-20]. В работе [21] рассмотрена обратная задача, связанная с восстановлением вто-

рого момента площади поперечного сечения для балки с использованием схемы сдвигающейся

равномерно распределённой нагрузки. Эффективность вариационного метода для решения

обратной задачи нахождения коэффициентов в уравнении Эйлера-Бернулли продемонстри-

рована в статье [22].

В данной работе изучены прямая задача с нелокальными по времени условиями и обратная

задача с интегральными условиями переопределения для уравнения поперечных колебаний

однородной балки.

1. Постановка задачи. Рассмотрим следующее уравнение поперечных колебаний балки

длины l, опирающейся на концы:

w_tt + a²w_xxxx + q(t)w = f(x,t), (x,t) ∈ Σ,

(1)

где a² = EJ/(ρS), f(x, t) - внешняя сила, ρ - плотность балки, S - площадь её поперечного

сечения, E - модуль упругости материала, J - момент инерции поперечного сечения балки

относительно горизонтальной оси, Σ = {(x, t) : 0 < x < l,

0 < t ≤ T} - прямоугольная

область, T - временной интервал. По всей длине балка поддерживается упругим основанием

с коэффициентом жёсткости q(t).

358

НЕЛОКАЛЬНАЯ ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ПО ВРЕМЕНИ

359

Прямая задача. Найти в области Σ решение уравнения (1), удовлетворяющее следующим

начальным и краевым условиям:

w(x, 0) + δ₁w(x, T ) = ϕ(x), w_t(x, 0) + δ₂w_t(x, T ) = ψ(x), x ∈ [0, l],

(2)

ϕ(0) = ψ(0) = 0, ϕ(l) = ψ(l) = 0,

w(0, t) = w_xx(0, t) = w(l, t) = w_xx(l, t) = 0,

0≤t≤T.

(3)

Определение. Решением задачи (1)-(3) назовём функцию w(x, t) из класса C4,2x,t(Σ), удо-

влетворяющую условиям (2), (3) и обращающую уравнение (1) в тождество, при положитель-

ных числах δ₁, δ₂ и достаточно гладких функциях q(t), f(x, t), ϕ(x), ψ(x).

Обратная задача. Пусть f(x, t) = g(t)f₀(x). Найти функции q(t) и g(t), t ∈ [0, T ], по

известным равенствам

∫l

y_i(x)w(x,t)dx = Y_i(t), i = 1,2,

(4)

где y_i(x), Y_i(t), - заданные достаточно гладкие функции, удовлетворяющие условиям согла-

сования

∫

y_i(x)ϕ(x)dx = Y_i(0) + δ₁Y_i(T),

y_i(x)ψ(x)dx = Y^′i(0) + δ₂Y^′i(T), Y (t) = 0.

(5)

2. Исследование прямой задачи. С помощью обозначения F(x,t) := f(x,t)-q(t)w(x,t)

уравнение (1) примет вид w_tt + a²w_xxxx = F (x, t).

Решение задачи (1)-(3) ищется как

∑

w(x, t) =

w_k(t)X_k(x),

(6)

k=1

√

∫l

где w_k(t) =

(2/l)

w(x, t) sin(μ_kx) dx, X_k(x) =

(2/l) sin(μ_kx), μ_k = πk/l, k ∈ N.

Подставив функцию (6) в уравнение (1) и условия (2), после разделения переменных по-

лучим задачу

w^′′k(t) + λ2kw_k(t) = F_k(t;q,w), λ_k = aμ2k, k ∈ N,

0<t≤T,

(7)

w_k(0) + δ₁w_k(T) = ϕ_k, w^′k(0) + δ₂w^′k(T) = ψ_k, k ∈ N,

(8)

где

Fk(t; q, w) = fk(t) - q(t)wk(t),

(9)

√

∫

f_k(t) =

f (x, t) sin(μ_kx) dx,

(10)

√

∫

√

∫

ϕk =

ϕ(x) sin(μ_kx) dx, ψ_k =

ψ(x) sin(μ_kx) dx, k ∈ N.

(11)

Решение задачи (7), (8) запишем в следующем виде [23]:

∫

w_k(t) =

E_k(t) + G_k(t,s)F_k(s;q,w)ds,

(12)

ρ_k(T)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№3

2023

5^∗

360

ДУРДИЕВ

где

ρ_k(T) = 1 + (δ₁ + δ₂)cos(λ_kT) + δ₁δ₂,

E_k(t) = ϕ_k(cos λ_kt + δ₂ cos(λ_k(T - t))) +

ψ_k (sin(λ_kt) - δ₁ sin(λ_k(T - t))),

λ_k

⎧

⎪

[δ₁ sin(λ_k(T -t)) cos(λ_ks) + δ₂ cos(λ_k(T -t)) sin(λ_ks) +

⎪

λ_kρ_k(T)

⎨

+ δ₁δ2 sin(λ_k(s - t))],

s ∈ [0,t],

Gk(t, s)=_⎪

[δ₁ sin(λ_k(T -t)) cos(λ_ks) + δ₂ cos(λ_k(T -t)) sin(λ_ks) +

⎪

λ_kρ_k(T)

⎪

⎩+δ1δ₂ sin(λ_k(s - t))] +

sin(λ_k(s - t)),

s ∈ [t,T].

λ_k

Подставив выражение (12) в (6), получим

{

∫

}

∑

w(x, t) =

E_k(t) + G_k(t,s)F_k(s;q,w)ds sin(μ_kx).

(13)

ρ_k(T )

k=1

Нетрудно видеть, что при δ₁ > 0, δ₂ > 0 и условии 1+δ₁δ₂ > δ₁ +δ₂ справедливо неравенство

≤

≡ β > 0.

(14)

ρ_k(T)

1 - (δ₁ + δ₂) + δ₁δ₂

Теорема 1 [24]. Пусть α, λ, μ > 0 и g(t) - непрерывно дифференцируемая неотрицатель-

ная функция на отрезке [a, b], причём a < b ≤ +∞. Кроме того, предположим, что ω(t)

интегрируема и неотрицательна на [a,b] и такая, что выполняется неравенство

∫

ω(t) ≤

(t - ζ)α-1ω(ζ) dζ + μ ω(ζ) dζ + g(t)

Γ(α)

для каждых t ∈ [a, b). Если 0 ≤ μ(b - a)Eα,2(λ(b - a)^α) < 1, то

∫t

ω(t) ≤ E_α(λ(t - a)^α)ω₀ + g(t) - E_α(λ(t - a)^α)g(a) + λ (t - ζ)α-1E_α,α(λ(t - ζ)^α)g(ζ) dζ,

где

ω₀ ≤

1 - μ(b - a)Eα,2(λ(b - a)^α)

( ∫ b

∫

)

× μ g(ζ)dζ - μ(b - a)Eα,2(λ(b - a)^α)g(a) + μλ (b - ζ)^αEα,α+1(λ(b - ζ)^α)g(ζ)dζ

В теореме 1 используется двухпараметрическая функция Миттаг-Лёффлера

∑

z^k

E_α,γ =

α, γ > 0, z ∈ R,

(15)

Γ(γ + αk)

k=0

в частности, при γ = 1 она становится однопараметрической функцией Миттаг-Лёффлера,

т.е. Eα,1(z) = E_α(z) [25, c. 40-49].

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№3

2023

НЕЛОКАЛЬНАЯ ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ПО ВРЕМЕНИ

361

Подставив в (12) функцию F_k(t; q, w) (9), имеем

∫

w_k(t) =

E_k(t) + f_k(s)G_k(t,s)ds - q(s)w_k(s)G_k(t,s)ds.

ρ_k(T )

Оценим эту функцию с учётом вида функции E_k(t) при t ∈ [0, T ]:

∫

β(1 + δ₁)

βδ

|w_k(t)| ≤ β(1 + δ₂)|ϕ_k| +

|ψ_k| +

|f_k(s)| ds +

λ_k

λ²

∫

(

)∫T

qβδ

qβ

|w_k(s)| ds +

δ+

|w_k(s)| ds,

λ_k

где δ = δ₁ + δ₂ + δ₁δ₂,

q= max |q(s)|. Применив теорему 1 при α = 1 к последнему неравен-

s∈[0,T ]

ству, ввиду (15) получим следующее утверждение.

Лемма 1. Пусть 0 < C2k(eC1kT - 1)/C1k < 1, тогда справедлива оценка

|w_k(t)| ≤ λ_k

Cg_k, k ∈ N,

(16)

где

(

)

qβδ

qβ

C1k =

C2k =

δ+

C =

k ∈ N,

λ_k

λ₁δ(2 - e^C1k^T ) + e^C1k^T - 1

(

)∫T

β(1 + δ₁)

g_k = β(1 + δ₂)|ϕ_k| +

|ψ_k| +

δ+

|f_k(s)| ds, k ∈ N.

(17)

λ_k

λ₁

Далее, учитывая (17), из оценки (16) имеем

|w_k(t)| ≤ C₁(λ_k|ϕ_k| + |ψ_k| + ∥f_k(t)∥),

где ∥f_k∥ = max

|f_k(t)|. Используя равенство (7) и неравенство (12), получаем оценку

0≤t≤T

|w^′′k(t)| ≤ C₂(λ3k|ϕ_k| + λ2k|ψ_k| + λ2k∥f_k(t)∥ + q|w_k|) ≤ C₂(q + λ2k)(λ_k|ϕ_k| + |ψ_k| + ∥f_k(t)∥).

Таким образом, доказана следующая

Лемма 2. При любом t ∈ [0, T ] и для достаточно больших k справедливы оценки

|w_k(t)| ≤ C₁(k²|ϕ_k| + |ψ_k| + ∥f_k(t)∥_C ),

|w^′′k(t)| ≤ C₂(k⁶|ϕ_k| + k⁴|ψ_k| + k⁴∥f_k(t)∥_C ),

здесь и далее C_i - положительные постоянные.

Формально из (6) составим ряды

∑

w_tt =

w^′′k(t)sin(μ_kx),

(18)

k=1

∑

w_xxxx =

μ4kw_k(t)sin(μ_kx).

(19)

k=1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

2023

№3

362

ДУРДИЕВ

Ряды (6), (18) и (19) при любых (x, t) ∈ Σ на основании леммы 1 мажорируются рядом

∑

C₃

(k⁶|ϕ_k| + k⁴|ψ_k| + k⁴∥f_k(t)∥).

k=1

Имеет место следующая вспомогательная

Лемма 3. Если выполнены условия

ϕ(x) ∈ C⁶[0, l], ϕ^VII (x) ∈ L₂[0, l],

ϕ(0) = ϕ(l) = ϕ^′′(0) = ϕ^′′(l) = ϕ^IV (0) = ϕ^IV (l) = ϕ^VI (0) = ϕ^VI (l) = 0,

ψ(x) ∈ C⁴[0, l], ψ^V (x) ∈ L₂[0, l], ψ(0) = ψ(l) = ψ^′′(0) = ψ^′′(l) = ψ^IV (0) = ψ^IV (l) = 0,

f (x, t) ∈ C(Σ)

^⋂C4x(Σ), f^Vxxxxx(x,t) ∈ L₂(Σ),

f (0, t) = f(l, t) = f^′′xx(0, t) = f^′′xx(l, t) = f^IVxxxx(0, t) = f^IVxxxx(l, t) = 0,

то имеют место равенства

ϕV

ψ_k =

ψ^Vk , f_k(t) =

f^Vk (t),

(20)

ϕk =

μ7k

μ5k

μ⁵

где

√

∫

√

∫

ϕV

^II(x)cos(μ_kx)dx, ψ^Vk =

ψ^V (x)cos(μ_kx)dx,

√

∫

f^Vk (t) =

f^Vxxxxx(x,t)cos(μ_kx)dx,

и справедливы оценки

∑

|ϕ^VIIk |² ≤ ∥ϕ^VII ∥_L

|ψ^Vk |² ≤ ∥ψ^V ∥_L

|f^Vk (t)|² ≤ ∥f^V (t)∥_L

(21)

2[0,l],

2[0,l]×C[0,T].

n=1

Применив в интеграле для ϕ_k метод интегрирования по частям семь раз, а в интегралах

для ψ_k и f_k(t) - пять раз (см. (10) и (11)), с учётом условий леммы 3 получим равенства (20).

Неравенства (21) представляют собой неравенства Бесселя для коэффициентов разложений

√

Фурье функций ϕ^VIIk и ψ^Vk по системе косинусов {

(2/l) cos(μ_kx)} на интервале (0, l). Если

функции ϕ(x), ψ(x) и f(x, t) удовлетворяют условиям леммы 2, то в силу представлений (20)

и (21) ряды (6), (18) и (19) сходятся равномерно в прямоугольнике Σ, следовательно, функция

(13) является решением задачи (1)-(3).

3. Исследования обратной задачи. Пусть f(x,t) = f₀(x)g(t), где f₀(x) - известная

функция. Тогда F_k(t; g, q, w) = f0kg(t) - q(t)w_k (t). Умножив обе части уравнения (1) на y_i(x),

i = 1,2, и проинтегрировав от 0 до l по переменной x, с учётом условий (4) получим урав-

нения

√

∫^l

∑

g(t)

f₀(x)y₁(x)dx - q(t)Y₁(t) = Y′′1(t) + a²

μ4kw_k(t)y1k,

(22)

k=1

∫l

√

∑

g(t)

f₀(x)y₂(x)dx - q(t)Y₂(t) = Y′′2(t) + a²

μ4kw_k(t)y2k,

(23)

k=1

√

∫l

где y_ik =

(2/l)

y_i(x)sin(μ_kx)dx, k = 1,2.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№3

2023

НЕЛОКАЛЬНАЯ ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ПО ВРЕМЕНИ

363

Введём обозначения

∫

f₀(x)y₁(x)dx = α₁,

f₀(x)y₂(x)dx = α₂

и предположим, что

Y(t) = α₂Y₁(t) - α₁Y₂(t) = 0,

0≤t≤T.

(24)

Тогда из (22) и (23) находим

{

√

}

∑

g(t) = [Y(t)]-1 Y₁(t)Y′′2(t) - Y₂(t)Y′′1(t) + a²

μ4kw_k(t)(Y₁(t)y2k - Y₂(t)y1k) ,

(25)

k=1

{

√

}

∑

q(t) = [Y(t)]-1 α₁Y′′2(t) - α₂Y′′1(t) + a²

μ4kw_k(t)(α₁y2k - α₂y1k)

(26)

k=1

После подстановки функции (12) в (25) и (26) получим следующие интегральные уравнения

относительно функций g(t) и q(t):

{

g(t) = [Y(t)]-1 Y₁(t)Y′′2(t) - Y₂(t)Y′′1(t) +

√

{

∫

}

∑

+a²

μ⁴

E_k(t) + G_k(t,s)F_k(s;g,q,w)ds (Y₁(t)y2k - Y₂(t)y1k)

(27)

^k ρ_k(T )

k=1

{

q(t) = [Y(t)]-1 α₁Y′′2(t) - α₂Y′′1(t) +

√

{

∫

}

∑

+a²

μ⁴

E_k(t) + G_k(t,s)F_k(s;g,q,w)ds (α₁y2k - α₂y1k)

(28)

^k ρ_k(T )

k=1

Рассмотрим функциональное пространство B72,T [23] - множество всех функций вида (6),

рассматриваемых в Σ с нормой ∥w(x, t)∥_B7

= J_T(u), где w_k(t) ∈ C[0,T] и

2,T

}1/2

∑

J_T (w) ≡

(μ7k∥w_k(t)∥C[0,T]

)²

< +∞.

k=1

В дальнейшем будем обозначать через E72,T топологическое произведение B72,T × C[0, T ] ×

× C[0,T], где норма элемента z = {w,g,q} определяется по формуле

∥z∥_E7

= ∥w(x, t)∥_B7

+ ∥g(t)∥C[0,T] + ∥q(t)∥C[0,T].

2,T

Известно, что пространства B72,T и E72,T являются банаховыми пространствами [26].

Теперь рассмотрим в пространстве E72,T оператор

Λ(w, g, q) = {Λ₁(w, g, q), Λ₂(w, g, q), Λ₃(w, g, q)},

где

∑

Λ₁(w,g,q) = w(x,t) ≡

w_k(t)sin(μ_kx), Λ₂(w,g,q) = g(t), Λ₃(w,g,q) = q(t),

k=1

а функции

w_k(t), k ∈ N,

g(t) и q(t) равны правым частям (12), (27) и (28) соответственно.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№3

2023

364

ДУРДИЕВ

Учитывая неравенство (14), имеем

}1/2

√

)1/2

√

)1/2

∑

(_∞∑

(μ7k∥ w_k(t)∥C[0,T]

)²

≤

β(1 + δ₂)

(μ7k|ϕ_k|)2

β(1 + δ₂)

(μ5k|ψ_k|)2

k=1

√

)1/2

√

)1/2

(_∞∑

κT ∥g(t)∥C[0,T]

(μ5k|f_k|)2

κT ∥q(t)∥C[0,T]

(μ7k∥w_k(t)∥C[0,T]

)²

(29)

k=1

где κ = 1 + 2βδ,

{

√

[

)1/2

(_∞∑

∥g(t)∥C[0,T] ≤∥[Y(t)]-1∥C[0,T]

∥Y₁(t)Y′′2(t)-Y₂(t)Y′′1(t)∥C[0,T] +a²

∥Y₁(t)∥C[0,T]

μ-6ky²

k=1

)1/2][

)1/2

(_∞∑

+ ∥Y₂(t)∥C[0,T]

μ-6ky²

β(1 + δ₂)

(μ7k|ϕ_k|)2

+ β(1 + δ₁)

(μ5k|ψ_k|)2

k=1

)1/2

)1/2]}

(_∞∑

+ κT ∥g(t)∥C[0,T]

(μ5k|f_k|)2

+ κT ∥q(t)∥C[0,T]

(μ7k∥w_k(t)∥C[0,T]

)²

(30)

k=1

{

√

[

)1/2

(_∞∑

∥q(t)∥C[0,T] ≤ ∥[Y(t)]-1∥C[0,T]

∥α₁Y′′2(t) - α₂Y′′1(t)∥C[0,T] + a²

α₁

μ-6ky²

k=1

)1/2][

)1/2

(_∞∑

+α₂

μ-6ky²

β(1 + δ₂)

(μ7k|ϕ_k|)2

+ β(1 + δ₁)

(μ5k|ψ_k|)2

k=1

)1/2

)1/2]}

(_∞∑

+ κT ∥g(t)∥C[0,T]

(μ5k|f_k|)2

+ κT ∥q(t)∥C[0,T]

(μ7k∥w_k(t)∥C[0,T]

)²

(31)

k=1

Из (29)-(31) соответственно получим оценки

}1/2

∑

2β

(μ7k∥ w_k(t)∥C[0,T]

)²

≤

(1 + δ₂)∥ϕ^VII (x)∥_L

(1 + δ₁)∥ψ^V (x)∥_L

2[0,l] +

k=1

√

2β

κT ∥g(t)∥C[0,T]∥fV0 (x)∥_L

κT ∥q(t)∥C[0,T]∥w(x, t)∥_B7

(x,t)

2[0,l] +

2,T

{

∥g(t)∥C[0,T] ≤ ∥[Y(t)]-1∥C[0,T]

∥Y₁(t)Y′′2(t) - Y₂(t)Y′′1(t)∥C[0,T] +

[

)1/2

)1/2][

(_∞∑

+a²

∥Y₁(t)∥C[0,T]

μ-6ky²

+ ∥Y₂(t)∥C[0,T]

μ-6ky²

β(1 + δ₂)∥ϕ^VII (x)∥_L

2[0,l] +

k=1

√

]}

+ β(1 + δ₁)∥ψV (x)∥_L

κT ∥q(t)∥C[0,T]∥w(x, t)∥_B7

2[0,l] +κT∥g(t)∥C[0,T]^∥

(x)∥L2[0,l] +

(x,t)

2,T

{

∥q(t)∥C[0,T] ≤ ∥[Y(t)]-1∥C[0,T]

∥α₁Y′′2(t) - α₂Y′′1(t)∥C[0,T] +

[

)1/2

)1/2][

(_∞∑

+a²

α₁

μ-6ky²

+α₂

μ-6ky²

β(1 + δ₂)∥ϕ^VII (x)∥_L

2[0,l] +

k=1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№3

2023

НЕЛОКАЛЬНАЯ ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ПО ВРЕМЕНИ

365

]}

√

+ β(1 + δ₁)∥ψV (x)∥_L

κT ∥q(t)∥C[0,T]∥w(x, t)∥_B7

2[0,l] +κT∥g(t)∥C[0,T]^∥

(x)∥L2[0,l] +

(x,t)

2,T

или

}1/2

∑

(μ7k∥ w_k(t)∥C[0,T]

)²

≤L₁(T)+M₁(T)∥g(t)∥C[0,T]+N₁(T)∥q(t)∥C[0,T]∥w(x,t)∥_B7

(x,t)

(32)

2,T

k=1

∥g(t)∥C[0,T] ≤ L₂(T ) + M₂(T )∥g(t)∥C[0,T] + N₂(T )∥q(t)∥C[0,T]∥w(x, t)∥_B7

(33)

(x,t)

2,T

∥q(t)∥C[0,T] ≤ L₃(T ) + M₃(T )∥g(t)∥C[0,T] + N₃(T )∥q(t)∥C[0,T]∥w(x, t)∥_B7

(34)

2,T

(x,t)

где

2β

L₁(T) =

(1 + δ₂)∥ϕ^VII (x)∥_L

(1 + δ₁)∥ψ^V (x)∥_L

2[0,l] +

2[0,l],

√

2β

M₁(T) =

κT ∥fV0 (x)∥_L

N₁(T) =

κT,

2[0,l],

{

[

)1/2

(_∞∑

L₂(T) = ∥[Y(t)]-1∥C[0,T]

∥Y₁(t)Y′′2(t) - Y₂(t)Y′′1(t)∥C[0,T]

+a²

∥Y₁(t)∥C[0,T]

μ-6ky²

k=1

)1/2][

]}

(_∞∑

+ ∥Y₂(t)∥C[0,T]

μ-6ky²

β(1 + δ₂)∥ϕ^VII (x)∥_L

2[0,l] +β(1+δ1)∥ψV

(x)∥L2[0,l]

k=1

[

)1/2

)1/2]

(_∞∑

M₂(T) = a²∥[Y(t)]-1

∥Y₁(t)∥C[0,T]

μ-6ky²

+ ∥Y₂(t)∥C[0,T]

μ-6ky²

∥C[0,T ]

k=1

× κT ∥fV0 (x)∥_L

2[0,l],

√

[

)1/2

)1/2]

(_∞∑

N₂(T) = a²

∥[Y(t)]-1

∥Y₁(t)∥C[0,T]

μ-6ky²

+ ∥Y₂(t)∥C[0,T]

μ-6ky²

κT,

∥C[0,T ]

k=1

{

L₃(T) = ∥[Y(t)]-1∥C[0,T]

∥α₁Y′′2(t) - α₂Y′′1(t)∥C[0,T] +

[

)1/2

)1/2][

]}

(_∞∑

+a²

α₁

μ-6ky²

+α₂

μ-6ky²

β(1+δ₂)∥ϕ^VII (x)∥_L

2[0,l]+β(1+δ1)∥ψV

(x)∥L2[0,l]

k=1

[

)1/2

)1/2]

(_∞∑

M₃(T) = a²∥[Y(t)]-1

μ-6ky²

+α₂

μ-6ky²

κT ∥fV0 (x)∥_L

∥C[0,T ] α1

2[0,l],

k=1

√

[

)1/2

)1/2]

(_∞∑

N₃(T) = a²

∥[Y(t)]-1

μ-6ky²

+α₂

μ-6ky²

κT.

∥C[0,T ] α1

k=1

Из неравенств (32)-(34) следует оценка

∥ w(x,t)∥_B7

+ ∥g(t)∥C[0,T] + ∥q(t)∥C[0,T] ≤

2,T

≤ L(T) + M(T)∥g(t)∥C[0,T] + N(T)∥q(t)∥C[0,T]∥w(x,t)∥_B7

(35)

(x,t)

2,T

где L(T ) = L₁(T )+ L₂(T )+ L₃(T ), M(T ) = M₁(T )+ M₂(T )+ M₃(T ), N(T ) = N₁(T )+ N₂(T )+

+ N₃(T).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№3

2023

366

ДУРДИЕВ

Теорема 2. Пусть выполнены условия теоремы 1, леммы 2, (24) и следующее условие:

(L(T ) + 2)(M(T ) + N(T )(L(T ) + 2)) < 2.

(36)

Тогда задача (1)-(4) имеет единственное решение в шаре B_R = {z : ∥z∥_E7

≤ R}.

2,T

Доказательство. Введём обозначение z = (w(x, t), g(t), q(t))^∗ и запишем систему уравне-

ний (13), (27), (28) в операторном виде

z = Az,

(37)

где A = (A₁, A₂, A₃)^∗, A₁(z), A₂(z) и A₃(z) определяются правыми частями (13), (27) и (28),

соответственно.

Аналогично из (35) получаем, что для любых z, z₁, z₂ ∈ B_R справедливы оценки

∥Az∥_E7

≤ L(T) + M(T)∥g(t)∥C[0,T] + N(T)∥q(t)∥C[0,T]∥w(x,t)∥_B7

(38)

2,T

∥Az₁ - Az₂∥_E7

≤ M(T)∥g₁(t) - g₂(t)∥C[0,T] +

2,T

+ N(T)R(∥q₁(t) - q₂(t)∥C[0,T] + ∥w₁(x,t) - w₂(x,t)∥_B7

(39)

2,T

Тогда в силу (36) из (38) и (39) следует, что оператор A действует в шаре B_R и удовлетворяет

принципу сжимающего отображения. Следовательно, по теореме Банаха оператор A имеет

единственную неподвижную точку {w, g, q} в шаре B_R, являющуюся решением операторного

уравнения (37).

Таким образом, функция w(x, t) как элемент пространства B72,T непрерывна и имеет

непрерывные производные w_tt(x, t) и w_xxxx(x, t) в прямоугольнике Σ.

Из (9) легко видеть, что выполняется неравенство

)1/2

(_∞∑

(μ_k∥w^′′k(t)∥C[0,T]

)²

≤

k=1

)1/2

]

(_∞∑

)1/2[(_∞∑

≤

μ-6

(μ7k∥w_k(t)∥C[0,T]

)²

+ ∥f^′

(x)g(t) + q(t)w_x(x, t)∥L2[0,l]

k=1

откуда следует, что w_tt(x, t) непрерывна в Σ.

Замечание. Неравенство (36) выполняется при достаточно малых значениях T.

Теорема 3. Пусть выполняются все условия теоремы 2 и условия (5), (24). Тогда задача

(1)-(4) имеет единственное классическое решение в шаре B_R пространства E72,T .

Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства науки и высшего образования

Российской Федерации (соглашение № 075-02-2022-890).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. M., 1966.

2. Гусев Б.В., Саурин В.В. О колебаниях неоднородных балок // Инж. вестн. Дона. 2017. http://

ivdon.ru/ru/magazine/archive/n3y2017/4312.

3. Baysal O., Hasanov A. Solvability of the clamped Euler-Bernoulli beam equation // Appl. Math. Lett.

2019. V. 93. P. 85-90.

4. Сабитов К.Б. Колебания балки с заделанными концами // Вестн. Самарского гос. техн. ун-та. Сер.

Физ.-мат. науки. 2015. T. 19. № 2. C. 311-324.

5. Сабитов К.Б., Акимов А.А. Начально-граничная задача для нелинейного уравнения колебаний

балки // Дифференц. уравнения. 2020. Т. 56. № 5. С. 632-645.

6. Касимов Ш.Г., Мадрахимов У.С. Начально-граничная задача для уравнения колебаний балки в

многомерном случае // Дифференц. уравнения. 2019. Т. 55. № 10. С. 1379-1391.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№3

2023

НЕЛОКАЛЬНАЯ ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ПО ВРЕМЕНИ

367

7. Karchevsky A.L. Analytical solutions to the differential equation of transverse vibrations of a piecewise

homogeneous beam in the frequency domain for the boundary conditions of various types // J. of Appl.

and Industr. Math. 2020. T. 14. № 4. C. 648-665.

8. Дурдиев Д.К., Тотиева Ж.Д. Задача об определении одномерного ядра уравнения электровязко-

упругости // Сиб. мат. журн. 2017. Т. 58. № 3. С. 553-572.

9. Дурдиев Д.К., Рахмонов А.А. Задача об определении двумерного ядра в системе интегродиффе-

ренциальных уравнений вязкоупругой пористой среды // Сиб. журн. индустр. математики. 2020.

Т. 23. № 2. С. 63-80.

10. Durdiev U.D. An inverse problem for the system of viscoelasticity equations in homogeneous anisotropic

media // J. of Appl. and Industr. Math. 2019. V. 13. № 4. P.

11. Romanov V.G. A problem of recovering a special two dimension potential in a hyperbolic equation // Eur.

J. Math. Comput. Appl. 2016. V. 4. № 1. P. 32-46.

12. Durdiev U.D. A problem of identification of a special 2D memory kernel in an integro-differential

hyperbolic equation // Eur. J. Math. Comput. Appl. 2019. V. 7. № 2. P. 4-19.

13. Durdiev U.D., Totieva Zh.D. A problem of determining a special spatial part of 3D memory kernel in an

integro-differential hyperbolic equation // Math. Methods Appl. Sci. 2019. V. 42. № 18. P. 1-12.

14. Дурдиев У.Д. Обратная задача по определению неизвестного коэффициента в уравнении колебания

балки // Дифференц. уравнения. 2022. Т. 58. № 1. С. 37-44.

15. Карчевский А.Л., Фатьянов А.Г. Численное решение обратной задачи для системы упругости с

последействием для вертикально неоднородной среды // Сиб. журн. вычислит. математики. 2001.

Т. 4. № 3. С. 259-268.

16. Карчевский А.Л. Определение возможности горного удара в угольном пласте // Сиб. журн. ин-

дустр. математики. 2017. Т. 20. № 4. С. 35-43.

17. Дурдиев У.Д. Численное определение зависимости диэлектрической проницаемости слоистой среды

от временной частоты // Сиб. электрон. мат. изв. 2020. Т. 17. C. 179-189.

18. Maciag A., Pawinska A. Solution of the direct and inverse problems for beam // Comp. Appl. Math.

2016. V. 35. P. 187-201.

19. Maciag A., Pawinska A. Solving direct and inverse problems of plate vibration by using the trefftz

functions // J. of Theor. and Appl. Mech. 2013. V. 51. № 3. P. 543-552.

20. Guojin Tan, Jinghui Shan, Chunli Wu, Wensheng Wang. Direct and inverse problems on free vibration of

cracked multiple I-section beam with different boundary conditions // Adv. in Mech. Engin. 2017. V. 9.

№ 11. P. 1-17.

21. Moaveni S., Hyde R. Reconstruction of the area-moment-of-inertia of a beam using a shifting load and

the end-slope data // Inverse Problems in Science and Engineering. 2016. V. 24. № 6. P. 990-1010.

22. Marinov T.T., Vatsala A.S. Inverse problem for coefficient identification in the Euler-Bernoulli

equation // Comput. and Math. with Appl. 2008. V. 56. P. 400-410.

23. Megraliev Ya.T., Azizbayov E.I. A time-nonlocal inverse problem for a hyperbolic equation with an

integral overdetermination condition // Electron. J. of Qualitative Theory of Differen. Equat. 2021.

№ 28. P. 1-12.

24. Xiao-Li Ding, Bashir Ahmad. A generalized Volterra-Fredholm integral inequality and its applications

to fractional differential equations // Adv. in Difference Equat. 2018. V. 2018. Art. 91.

25. Kilbas A.A., Srivastava H.M., Trujillo J.J. Theory and Application of Fractional Differential Equations.

Amsterdam, 2006.

26. Tekin I., Mehraliyev Y.T., Ismailov M.I. Existence and uniqueness of an inverse problem for nonlinear

Klein-Gordon equation // Math. Methods Appl. Sci. 2019. V. 42. № 10. P. 3739-3753.

Бухарский государственный университет,

Поступила в редакцию 15.10.2022 г.

Узбекистан,

После доработки 07.02.2023 г.

Бухарское отделение Института математики

Принята к публикации 14.02.2023 г.

имени В.И. Романовского, Узбекистан

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№3

2023