ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2023, том 59, № 3, с.374-379
УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
УДК 517.958
ОБРАТНЫЕ АТТРАКТОРЫ МОДЕЛИ БИНГАМА
© 2023 г. В. Г. Звягин, А. С. Устюжанинова
На основе теории траекторных обратных аттракторов исследуется качественное поведение
слабых решений для модели Бингама с периодическими условиями по пространственным
переменным. Для рассматриваемой модели вводится семейство траекторных пространств
и доказывается существование обратных аттракторов.
DOI: 10.31857/S0374064123030081, EDN: QVGQQY
Введение. Теория траекторных аттракторов была создана М.И. Вишиком и В.В. Чепыжо-
вым [1] и независимо от них Дж. Селлом [2]. В этой теории порождаемая уравнением динами-
ка описывается в терминах траекторий - функций времени, представляющих собой сценарии
развития системы. При этом не требуется, чтобы сценарии, разделяющие общее начальное
значение, совпадали. Позже В.Г. Звягиным и Д.А. Воротниковым [3] было предложено обоб-
щение этой теории, а именно удалось избавиться от требования инвариантности пространства
траекторий, что позволило получить новые результаты о существовании аттракторов для раз-
личных моделей неньютоновской гидродинамики [3-6].
В работе [7] идеи траекторных аттракторов из монографии [3] были перенесены на тео-
рию обратных аттракторов. Предложенный подход был применён для трёхмерной системы
Навье-Стокса. В дальнейшем эта теория была применена для доказательства существования
обратных аттракторов различных моделей гидродинамики [8, 9].
В данной статье доказывается существование обратных аттракторов модели Бингама.
1. Обратные аттракторы пространств траекторий. Приведём необходимые определе-
ния и факты из работы [7]. Пусть E и E0 - банаховы пространства, E ⊂ E0 и E рефлексивно.
Рассмотрим класс функций T = C(R+; E0)
⋂L∞,loc(R+;E). Отметим, что имеет место вклю-
чение T ⊂ Cw(R+, E) (см. [10, лемма 8.1]). Поэтому для любой u ∈ T имеем, что для всех
t ≥ 0 функция u(t) ∈ E.
Каждому τ ∈ R поставим в соответствие непустое множество H+τ ⊂ T . Множества H+τ
называются пространствами траекторий, а их элементы - траекториями. Семейство H+ =
= {H+τ }τ∈R будем называть семейством пространств траекторий.
Зададим класс семейств множеств D над E, причём будем считать, что для каждого
семейства D = {Dt} ∈ D имеем Dt = ∅ при любом t ∈ R. Для каждого D = {Dτ } ∈ D
рассмотрим семейство H+(D) = {H+τ(D)}, где {H+τ(D)} = {v ∈ H+τ : v(0) ∈ Dτ }.
Обозначим через T (h) оператор сдвига (T (h)g)(s) = g(s + h), где h ≥ 0, g ∈ T , а для
семейства P = {Pτ }, Pτ ⊂ T , и для h ∈ R обозначим (T (h)P )τ = T (h)Pτ-h, τ ∈ R.
Определение 1. Семейство P = {Pθ}, состоящее из непустых множеств T , называется
траекторным обратным аттрактором для H+, если:
(i) P является T -компактным, т.е. Pθ компактно в C(R+; E0) при каждом θ ∈ R, и
для каждого θ ∈ R существует непрерывная функция
ϕθ : R+ → R такая, что для каждой
траектории v ∈ Pθ при всех t ∈ R выполняется неравенство ∥v(t)∥L∞ (t,t+1;E) ≤
ϕθ(t);
(ii) T (h)P = P для всех h ≥ 0;
(iii) P является обратно притягивающим, т.е. для любого семейства D ∈ D и для любого
θ ∈ R при τ → -∞ выполняется соотношение
sup
inf
∥T (θ - τ)v - u∥C(R+;E0) → 0.
u∈Pθ
v∈Hτ(D)
Траекторный обратный аттрактор U = {Uθ}, Uθ ⊂ T , для H+ называется минимальным,
если он содержится в любом траекторном обратном аттракторе P = {Pθ}.
374
ОБРАТНЫЕ АТТРАКТОРЫ МОДЕЛИ БИНГАМА
375
Определение 2. Семейство A = {Aθ ⊂ E} называется минимальным обратным ат-
трактором для H+, если:
(i) Aθ компактно в E0 и ограничено в E при всех θ ∈ R;
(ii) для всех D ∈ D и θ ∈ R выполняется условие обратного притягивания, т.е. при
τ → -∞ выполняется соотношение
sup
inf
∥v(θ - τ) - a∥E0 → 0;
a∈Aθ
v∈Hτ(D)
(iii) A содержится в любом A′ = {A′θ}, A′θ ⊂ E, удовлетворяющем условиям (i) и (ii).
Определение 3. Семейство P = {Pθ}, Pθ ⊂ T , называется обратно поглощающим
для H+, если для любого семейства D ∈ D и любого θ ∈ R существует число τD(θ) ≤ θ
такое, что для всех τ ≤ τD(θ) имеет место включение T(θ - τ)H+τ(D) ⊂ Pθ, и функция
τD : R → R не убывает.
Приведём теоремы из [7], необходимые для доказательства основного результата.
Теорема 1. Пусть для H+ существует T - относительно компактное обратно погло-
щающее семейство P, и пусть P - замыкание P в топологии C(R+; E0). Тогда существует
минимальный траекторный обратный аттрактор U ⊂ P.
Теорема 2. Пусть U={Uθ} - минимальный траекторный обратный аттрактор для H+.
Тогда семейство A = {Aθ}, где Aθ = {u(0) : u ∈ Uθ} ⊂ E, является минимальным обрат-
ным аттрактором для H+.
2. Модель Бингама движения жидкости. Движение несжимаемой среды с единичной
плотностью описывается системой уравнений:
∑
∂v
∂v
+
vi
- Div σ + ∇p = f, div v = 0, (x, t) ∈ Ω × (τ; +∞).
(1)
∂t
∂xi
i=1
∏3
Здесь Ω =
(0, li) ⊂ R3, v(x, t) - вектор скорости, p(x, t) - давление в жидкости, f(x, t) -
i=1
плотность внешних сил. Через Div σ обозначатся вектор, координаты которого являются ди-
вергенциями столбцов девиатора тензора напряжений σ.
Система уравнений, описывающая движение среды Бингама, получается добавлением к
(1) реологического соотношения
σ = 2μE(v)+τ∗E(v)/|E(v)| для |E(v)| = 0,
|σ| ≤ τ∗ для |E(v)| = 0, (x, t) ∈ Ω×(τ; +∞), (2)
где μ > 0 - вязкость жидкости, τ∗ > 0 - константа, описывающая порог текучести жидкости,
а E(v) = 1/2(∇v + (∇v)т) - тензор скоростей деформаций.
Для системы (1), (2) рассмотрим периодическую по пространственным переменным задачу
с начальным условием
v|t=τ (x) = a(x), x ∈ Ω.
(3)
Глобальное существование слабых решений задачи (1)-(3) было доказано В.В. Шелухи-
ным [11]. Существование аттракторов модели Бингама в двумерном случае на основе теории
динамических систем было доказано Г.А. Серегиным [12]. В статье [4] было установлено суще-
ствование минимального траекторного и глобального аттракторов в двумерном и трёхмерном
случаях. В работе [13] было доказано, что аттракторы аппроксимации сходятся к аттракторам
модели Бингама в смысле полуотклонения в соответствующих метрических пространствах.
Вместе с задачей (1)-(3) рассмотрим вспомогательную задачу на полуоси R+ = [0; +∞):
∑
∂v
∂v
+
vi
- Div σ + ∇p = F, div v = 0, (x, t) ∈ Ω × (0; +∞);
(4)
∂t
∂xi
i=1
σ = 2μE(v)+τ∗E(v)/|E(v)| для |E(v)| = 0,
|σ| ≤ τ∗ для |E(v)| = 0, (x, t) ∈ Ω×(0; +∞), (5)
v|t=0(x) = a(x), x ∈ Ω.
(6)
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№3
2023
6∗
376
ЗВЯГИН, УСТЮЖАНИНОВА
В системе (4) значение F заранее не уточняется. Если F (x, t) = f(x, t + τ), то задача
(4)-(6) получается из задачи (1)-(3) линейной заменой переменного t, переводящей τ в 0.
Пусть C∞per(Ω)3 - пространство периодических функций со значениями в R3 и периодами
∫
li, i = 1, 2, 3. Через V1, V2, V0 обозначим пополнение Φ = {φ ∈ C∞per(Ω)3 :Ω φ dx =
= 0, div φ = 0} по нормам W12(Ω)3, W22(Ω)3, L2(Ω)3 соответственно. Подробное определение
пространств, а также их свойства можно найти в [14, гл. 2]. Обозначим QT = Ω × [0, T ].
Введём пространство
W [0, T ] = {u : u ∈ L2(0, T ; V1)
⋂L∞(0,T;V0), u′ ∈ L2(0,T;V-2)}.
Определение 4. Пусть a ∈ V0, F ∈ L2(0, T ; V0). Слабым решением задачи (4)-(6) на
отрезке [0, T ] назовём пару функций (v, σ), где v ∈ W [0, T ], σ ∈ L2(QT )9, таких, что для
всех ϕ ∈ V2 и для почти всех t ∈ (0, T ) выполнены тождество
∫
∫
∫
∑
∂ϕ
i
〈v′, ϕ〉 -
vivj
dx +
σ : E(ϕ)dx = Fϕdx,
∂xj
i,j=1Ω
Ω
Ω
реологическое соотношение (5) и начальное условие v(0) = a.
Определение 5. Пусть F ∈ L2,loc(R+; V0). Слабым решением задачи (4)-(6) на полу-
оси R+ будем называть функцию v ∈ L2,loc(R+; V1)
⋂L∞,loc(R+;V0) с производной v′ ∈
∈ L2,loc(R+;V -2), если для любого T > 0 существует σ ∈ L2(QT )9 такое, что пара (v|[0,T],σ)
является слабым решением задачи (4)-(6) на отрезке [0, T ].
3. Существование траекторий. Определим α = μ/2K20, где K0 - константа из нера-
венства Пуанкаре: ∥u∥V 0 ≤ K0∥u∥V 1 , μ > 0 - вязкость жидкости из реологического соотно-
шения (2).
Теорема 3. Задача (4)-(6) имеет слабое решение на полуоси R+, удовлетворяющее при
всех t ≥ 0 неравенствам
∥v∥L∞(t,t+1;V 0) + ∥v∥L2(t,t+1;V 1) ≤
(
(
∫
)
)
≤C2
1+e-2αt
∥a∥2
+C1
e2αs∥F(s)∥2V0 ds
+ C1∥F∥2
,
V0
L2(t,t+1;V0)
0
(
(
∫
)
)2
∥v′∥L
1+e-2αt
∥a∥2
+C1
e2αs∥F(s)∥2V0 ds
+ ∥F ∥2
(7)
2(t,t+1;V-2) ≤C3
V0
L2(t,t+1;V0)
0
Для доказательства теоремы используется аппроксимационно-топологический подход к ис-
следованию задач гидродинамики. Аналогичное доказательство может быть найдено в [13, 15].
Перейдём к исследованию обратных аттракторов. Будем предполагать, что в (1) функция
f ∈ L2,loc(R;V 0) и для всех t ∈ R удовлетворяет условию
t
∫
e2αξ∥f(ξ)∥2V0 dξ < ∞.
-∞
В качестве банаховых пространств для класса T возьмём E = V0 и E0 = V-1. Пусть
τ ∈ R. В качестве пространства траекторий H+τ задачи (1)-(3) рассматривается множество
слабых решений v задачи (4)-(6) с F = T (τ)f (где T (τ) - оператор сдвига) и некоторым
начальным условием (своим для каждого v), удовлетворяющих при всех t ∈ R+ оценке
∥v∥L∞(t,t+1;V 0) + ∥v∥L2(t,t+1;V 1) ≤
(
(
∫
)
)
≤C2
1+e-2αt
∥v(0)∥2
+C1
e2αs∥f(s + τ)∥2V0 ds
+ C1∥f∥2
(8)
V0
L2(t+τ,t+τ+1;V0)
−∞
Эти пространства траекторий образуют семейство пространств траекторий H+ = {H+τ}.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№3
2023
ОБРАТНЫЕ АТТРАКТОРЫ МОДЕЛИ БИНГАМА
377
Теорема 4. Для каждого a ∈ V0 существует траектория v ∈ H+τ, τ ∈ R, удовлетво-
ряющая начальному условию v(0) = a.
Для доказательства достаточно в условиях теоремы 3 положить F = T (τ)f.
Замечание. Для пространств траекторий H+τ имеет место включение H+τ ⊂ T .
Доказательство. Из неравенства (8) в силу произвольности выбора t ∈ R+ получаем, что
v ∈ L2,loc(R+;V1)
⋂L∞,loc(R+;V0). Кроме того, по теореме 3 функция v′ ∈ L2(t,t + 1;V-2).
В силу произвольности выбора t ∈ R+ получаем, что v′ ∈ L2,loc(R+; V-2). Так как V0
компактно вложено в пространство V-1, то по теореме Обена-Симона [16] функция v ∈
∈ C(R+;V -1) и H+τ ⊂ T . Замечание доказано.
Опишем класс притягивающих семейств множеств. Пусть R - множество функций r : R →
→ R+ таких, что функция τ -→ e2ατr2(τ) возрастает и lim e2ατr2(τ) = 0. Класс D состоит
τ→-∞
из семейств D = {Dτ } (Dτ ⊂ V0), для которых существуют функции rD ∈ R такие, что
∥w∥V 0 ≤ rD(τ) для всех τ ∈ R и w ∈ Dτ .
Теорема 5. Семейство пространств траекторий H+ имеет минимальный траектор-
ный обратный аттрактор U и минимальный обратный аттрактор A = U(0).
Доказательство. Построим семейство P = {Pθ}, Pθ ⊂ T , θ ∈ R, которое T -относитель-
но компактно и обратно поглощающее. Утверждение теоремы будет следовать из теорем 1, 2.
Пусть множество Pθ состоит из функций v ∈ T , удовлетворяющих неравенствам (t ∈ R+)
∥v∥L∞(t,t+1;V 0) + ∥v∥L2(t,t+1;V 1) ≤
(
(
∫
)
)
≤C2
1+e-2αt
1+C1
e2αs∥f(s + θ)∥2V0 ds
+ C1∥f∥2
,
(9)
L2(t+θ,t+θ+1;V0)
−∞
(
(
∫
)
)2
∥v′∥L
1+e-2αt
1+C1
e2αs∥f(s + θ)∥2V0 ds
+ ∥f∥2
(10)
2(t,t+1;V-2) ≤C3
L2(t+θ,t+θ+1;V0)
−∞
Зафиксируем θ ∈ R. Из неравенств (9) и (10) следует, что для любого t ≥ 0 множество Pθ
ограничено в L∞(t, t + 1; V0) и в L2(t, t + 1; V1), а множество P′θ = {v′ : v ∈ Pθ} ограничено
в L2(t,t + 1;V-2). По теореме Обена-Симона [16] для тройки пространств V0 ⊂ V-1 ⊂ V-2
множество Pθ относительно компактно в C([t, t + 1], V-1). В силу произвольности выбора
t ∈ R+ множество Pθ относительно компактно в C(R+;V -1).
Требуемое для T -относительной компактности неравенство выполняется с функцией
(
(
∫
)
)
ϕθ(t))2 = C2
1+e-2αt
1+C1
e2αs∥f(s + θ)∥2V0 ds
+ C1∥f∥2
L2(t+θ,t+θ+1;V0)
−∞
Таким образом, семейство P является T -относительно компактным.
Покажем, что P является обратно поглощающим. Пусть D = {Dτ } ∈ D. Возьмём число
θ ∈ R и покажем, что существует такое τD(θ) ≤ θ, что при τ ≤ τD(θ) выполняется включение
T (θ - τ)H+τ(D) ⊂ Pθ
(11)
и функция τD возрастает. По определению класса D для семейства D существует функция
rD : R → R+ такая, что для w ∈ Dτ имеет место оценка ∥w∥V 0 ≤ rD(τ), и функция χ(τ) =
= e2ατr2D(τ) возрастает и стремится к нулю при τ → -∞. В силу монотонности χ имеет
возрастающую обратную функцию χ-1. Рассмотрим неравенство χ(τ) ≤ e2αθ. В силу свойств
χ это неравенство выполняется либо на всей оси, либо на луче (-∞, χ-1(e2αθ )]. В первом
случае положим τD(θ) = θ, во втором - τD(θ) = min{χ-1(e2αθ), θ}, т.е. τD всегда возрастает,
удовлетворяет неравенству τD ≤ θ, а при τ ≤ τD(θ) выполняется условие e-2α(θ-τ)r2D(τ) ≤ 1.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№3
2023
378
ЗВЯГИН, УСТЮЖАНИНОВА
Докажем включение (11) для τ ≤ τD(θ). Возьмём функцию v ∈ H+τ такую, что v(0) ∈ Dτ ,
и покажем, что T (θ - τ)v ∈ Pθ. Достаточно показать, что u = T (θ - τ)v удовлетворяет (9)
и (10).
По определению H+τ функция v является решением задачи (4)-(6) с правой частью F =
= T(τ)f и удовлетворяет (8). Тогда u = T(θ-τ)v является решением (4)-(6) с правой частью
F = T(θ - τ)T(τ)f = T(θ)f и удовлетворяет неравенству
∥u∥L∞(t,t+1;V 0) + ∥u∥L2(t,t+1;V 1) = ∥T (θ - τ)v∥L∞(t,t+1;V0)+∥T(θ-τ)v∥L2(t,t+1;V1)=
= ∥v∥L∞(t+θ-τ,t+θ-τ+1;V 0) + ∥v∥L2(t+θ-τ,t+θ-τ+1;V 1) ≤
(
(
∫
))
≤C2 1+C1∥T(τ)f∥2L
+e-2α(t+θ-τ)
∥v(0)∥2
+C1
e2αs∥T(τ)f(s)∥2V0 ds
≤
2(t+θ-τ,t+θ-τ+1;V0)
V0
−∞
(
(
∫
))
≤C2 1 + C1∥f∥2L
+ e-2αt e-2(θ-τ)(rD(τ))2
+C1
e2α(s-θ+τ)∥f(s + τ)∥2V0 ds
≤
2(t+θ,t+θ+1;V0)
−∞
(
(
∫
))
≤C2
1 + C1∥f∥2L
+e-2αt
1+C1
e2αs∥f(s + θ)∥2V0 ds
2(t+θ,t+θ+1;V0)
−∞
Оценка (9) для u = T (θ -τ)v доказана. Докажем (10) для u′ = T (θ -τ)v′. Так как v - сла-
бое решение (4)-(6) с F = T (τ)f, то по теореме 3 при всех t ≥ 0 выполняется неравенство (7).
Тогда справедлива оценка
∥u′∥L
2(t,t+1;V-2) =∥T(θ-τ)v′∥L2(t,t+1;V-2)=∥v′∥L2(t+θ-τ,t+1+θ-τ;V-2)≤
(
(
∫
)
)2
≤C3
1+e-2α(t+θ-τ)
∥v(0)∥2
+C1
e2αs∥T(τ)f(s)∥2V0 ds
+ ∥T (τ)f∥2
≤
V0
L2(t+θ-τ,t+θ-τ+1;V0)
0
(
(
∫
)
)2
≤C3
1+e-2αt e-2(θ-τ)(rD(τ))2
+C1
e2α(s-θ+τ)∥f(s+τ)∥2V0 ds
+ ∥f∥2
≤
L2(t+θ,t+θ+1;V0)
−∞
(
(
∫
)
)2
≤C3
1+e-2αt
1+C1
e2αs∥f(s + θ)∥2V0 ds
+ ∥f∥2
L2(t+θ,t+θ+1;V0)
−∞
Поэтому имеет место включение (11). Следовательно, P является T -относительно компакт-
ным и обратно поглощающим, а значит, по теореме 1 существует минимальный траекторный
обратный аттрактор, а по теореме 2 - минимальный обратный аттрактор для H+.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда (проект 22-11-
00103).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Chepyzhov V.V., Vishik M.I. Evolution equations and their trajectory attractors // J. Math. Pures Appl.
1997. V. 76. № 10. P. 913-964.
2. Sell G.R. Global attractors for the three-dimensional Navier-Stokes equations // J. of Dynamics and
Differ. Equat. 1996. V. 8. № 1. P. 1-33.
3. Zvyagin V., Vorotnikov D. Topological Approximation Methods for Evolutionary Problems of Nonlinear
Hydrodynamics. Berlin, 2008.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№3
2023
ОБРАТНЫЕ АТТРАКТОРЫ МОДЕЛИ БИНГАМА
379
4. Zvyagin V. Attractors theory for autonomous systems of hydrodynamics and its application to Bingham
model of fluid motion // Lobachevskii J. Math. 2017. V. 38. P. 767-777.
5. Устюжанинова А.С., Турбин М.В. Траекторные и глобальные аттракторы для модифицированной
модели Кельвина-Фойгта // Сиб. журн. индустр. математики. 2021. Т. 24. № 1. С. 126-138.
6. Звягин В.Г., Кондратьев С.К. Аттракторы уравнений неньютоновской гидродинамики // Успехи
мат. наук. 2014. Т. 69. № 5 (419). С. 81-156.
7. Vorotnikov D. Asymptotic behaviour of the non-autonomous 3D Navier-Stokes problem with coercive
force // J. Differ. Equat. 2011. V. 251. № 8. P. 2209-2225.
8. Turbin M., Ustiuzhaninova A. Pullback attractors for weak solution to modified Kelvin-Voigt model
// Evolution Equations аnd Control Theory. 2022. V. 11. № 6. P. 2055-2072.
9. Устюжанинова А.С. Pullback-аттракторы модифицированной модели Кельвина-Фойгта // Изв.
вузов. Математика. 2021. Т. 5. С. 98-104.
10. Лионс Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М., 1971.
11. Shelukhin V.V. Bingham viscoplastic as a limit of non-Newtonian fluids // J. of Math. Fluid Mech. 2022.
V. 4. P. 109-127.
12. Серегин Г.А. О динамической системе, порождённой двумерными уравнениями движения среды
Бингама // Зап. науч. сем. ЛОМИ. 1991. Т. 181. С. 128-142.
13. Звягин В.Г., Турбин М.В. О существовании аттракторов для аппроксимаций модели Бингама и их
сходимости к аттракторам исходной модели // Сиб. мат. журн. 2022. Т. 63. № 4. С. 842-859.
14. Temam R. Navier-Stokes Equations and Nonlinear Functional Analysis. Philadelphia, 1995.
15. Звягин В.Г., Звягин А.В., Турбин М.В. Оптимальное управление с обратной связью для модели
Бингама с периодическими условиями по пространственным переменным // Зап. науч. сем. ПОМИ.
2018. Т. 477. С. 54-86.
16. Simon J. Compact sets in the space Lp(0, T; B) // Ann. Mat. Pura Appl. 1986. V. 146. P. 65-96.
Воронежский государственный университет
Поступила в редакцию 28.12.2022 г.
После доработки 02.02.2023 г.
Принята к публикации 14.02.2023 г.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№3
2023
