ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2023, том 59, № 3, с.380-388

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

УДК 517.968.48

О РАЗРЕШИМОСТИ ОДНОЙ СИСТЕМЫ НЕЛИНЕЙНЫХ

ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ОПЕРАТОРОМ

ГАММЕРШТЕЙНА-СТИЛТЬЕСА НА ПОЛУОСИ

Исследована система нелинейных интегральных уравнений типа Гаммерштейна-Стилтье-

са, предъядра которых представляют собой непрерывные функции распределений. До-

казана конструктивная теорема существования нетривиального неотрицательного и огра-

ниченного решения системы. Изучена интегральная асимптотика построенного решения.

Приведены примеры систем, для которых выполняются все условия доказанной теоремы.

DOI: 10.31857/S0374064123030093, EDN: QVJFJH

Введение. Рассмотрим систему нелинейных интегральных уравнений на положительной

полуоси x ∈ R⁺ := [0, +∞)

∫∞

f_i(x) = K_i(x,y)G_i(f₁(r(x,y)),... ,f_n(r(x,y)))dμ_i(y), i = 1,n,

(1)

относительно искомой измеримой вектор-функции f(x) = (f₁(x), . . . , f_n(x))^т (^т - знак транс-

понирования). В системе (1) меры {μ_i(y)}ni=1 - непрерывные на множестве R⁺ неотрицатель-

ные функции со свойствами

μ_i(0) = 0, μ_i(+∞) = 1, μ_i(y) ↑ по y на R⁺, i = 1,n.

(2)

Ядра {K_i(x, y)}ni=1 - измеримые функции на множестве R²⁺ := R⁺ × R⁺, удовлетворяющие

условиям: существуют непрерывные на R⁺ функции {λ_i(x)}ni=1 со свойствами

0 ≤ λ_i(x) ≤ 1, λ_i(x) ≡ 0, λ_i(x) ≡ 1, x ∈ R⁺, λ_i(x) ↑ 1, x → +∞, i = 1,n,

(3)

(1 - λ_i(x))x^m ∈ L₁(R⁺), i = 1, n, m = 0, 1,

(4)

такие, что

λ_i(x) ≤ K_i(x,y) ≤ 1, K_i(x,y) ≡ 1, (x,y) ∈ R²⁺, i = 1,n.

(5)

Функция r(x, y), фигурирующая в (1), непрерывна по совокупности своих аргументов на мно-

жестве R²⁺, принимает неотрицательные значения и удовлетворяет следующим условиям:

I) при каждом фиксированном x ∈ R⁺ функция r(x,y) ↑ по y на R⁺ и при каждом

фиксированном y ∈ R⁺ данная функция ↑ по x на R⁺;

II) r(x,0) ≥ x, x ∈ R⁺, и существует число δ > 0 такое, что r(x,δ) ≥ x + δ, x ∈ R⁺.

Нелинейности {Gi(u1, . . . , un)}ni=1 определены на множестве Rn+ := R+ × ·#·$· × R+"%,^прини-

мают вещественные значения и удовлетворяют определённым ограничениям (см. п. 1 ниже).

Системы вида (1) имеют приложения во многих разделах математического естествознания,

например, в теории марковских процессов, в теории переноса излучения в неоднородных сре-

дах и в кинетической теории газов (в рамках модифицированной модели Бхатнагара-Гросса-

Крука) (см., например, [1-5]).

Изучение вопроса существования нетривиальных решений системы (1) играет существен-

ную роль в исследованиях скалярных и векторных нелинейных псевдодифференциальных

уравнений в динамической теории p-адических открыто-замкнутых струн, а также в вопросах

380

О РАЗРЕШИМОСТИ ОДНОЙ СИСТЕМЫ

381

существования и единственности решения нелинейных многомерных интегральных уравнений

в математической теории географического распространения пандемии (см. [6-9]).

В случае когда r(x, y) = y или r(x, y) = x + y, μ_i(y) = y, i = 1, n, а ядра {K_i(x, y)}ni=1

зависят от разности своих аргументов, системы вида (1) при различных ограничениях на

{G_i(u₁, . . . , u_n)}ni=1 исследованы в работах [10-12].

Следует отметить, что соответствующий скалярный аналог системы (1) (n = 1) достаточно

подробно исследован в статьях [13-16] для случая r(x, y) = y или r(x, y) = x + y, μ(y) =

= y, а для K(x,y) минорантой в смысле М.А. Красносельского служит консервативное ядро

Винера-Хопфа.

В настоящей работе при некоторых естественных ограничениях на {G_i(u₁, . . . , u_n)}ni=1 (см.

п. 1) удаётся доказать конструктивную теорему существования неотрицательного и ограни-

ченного решения. Исследуется также интегральная асимптотика построенного решения на

бесконечности. Для иллюстрации полученных результатов приводятся конкретные примеры

функций {K_i(x, y)}ni=1, {μi(y)}ni=1 и {Gi(u1, . . . , un)}ni=1.

1. Обозначения и формулировка основного результата. Пусть R^n×n - алгебра веще-

ственных n × n матриц с единицей I. Обозначим через K ⊂ R^n×n конус матриц с неотрица-

тельными компонентами. Данный конус вводит частичный порядок ≥ в R^n×n. Будем писать,

что A ≻ 0, если A ≥ 0, и A > 0, если все компоненты матрицы A положительны. Класс

K_p ⊂ K примитивных матриц состоит из матриц A, для которых существует натуральное

число p такое, что A^p > 0.

Пусть r(A) - спектральный радиус матрицы A ∈ R^n×n (модуль наибольшего по моду-

лю собственного значения A). Согласно теореме Перрона (см. [17, с. 260]) если A ∈ K_p, то

r(A) является её наибольшим по модулю простым собственным значением, причём существует

вектор η = (η₁, . . . , η_n)^т с положительными координатами η_i, i = 1, n, такой, что

Aη = r(A)η.

Для нелинейностей {G_i(u₁, . . . , u_n)}ni=1 предположим выполнение следующих условий:

a) {G_i(u₁, . . . , u_n)}ni=1 - непрерывные на Rn+ функции, которые принимают вещественные

значения и монотонно возрастают по каждому аргументу u_j, j = 1, n, на множестве R⁺;

b) существует примитивная и симметричная матрица A со спектральным радиусом r(A) =

= 1 такая, что

∑

Gi(u1, . . . , un) ≥

a_iju_j, i = 1,n, (u₁,... ,u_n) ∈ [0,η₁] × ... × [0,η_n],

j=1

где {a_ij }ni,j=1 - элементы матрицы A ∈ K_p, а η = (η₁, . . . , η_n)^т, η_i > 0, i = 1, n, - неподвиж-

ный вектор A (существование такого вектора следует из теоремы Перрона).

Основным результатом настоящей работы является следующая

Теорема. Если нелинейности {G_i(u₁, . . . , u_n)}ni=1 удовлетворяют неравенствам

Gi(η1, . . . , ηn) ≤ ηi, i = 1, n,

(6)

и выполняются условия (2)-(5), I), II), a), b), то система нелинейных интегральных уравне-

ний (1) имеет неотрицательное нетривиальное и ограниченное на R⁺ решение. Более того,

η_i - f_i ∈ L₁(R⁺), i = 1,n.

Замечание 1. Сформулированная теорема обобщает и дополняет соответствующий ре-

зультат из работы [16].

Замечание 2. К сожалению, вопрос единственности построенного решения до сих пор

остаётся открытым.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№3

2023

382

ХАЧАТРЯН, ПЕТРОСЯН

2. Доказательство теоремы.

Шаг 1. Сначала рассмотрим вспомогательную линейную систему интегральных уравнений

на полуоси

∞

∫

∑

Fi(x) = (1 - λi(x))ηi +

a_ij

Fj (r(x, y)) dμi(y), x ∈ R⁺, i = 1, n,

(7)

j=1

относительно искомой непрерывной вектор-функции F (x) = (F₁(x), . . . , F_n(x))^т.

Рассмотрим следующие простые итерации для системы (7):

∞

∫

∑

(p)

F(p+1)(x) = (1 - λi(x))ηi +

a_ij

Fj(r(x,y))dμi(y),

j=1

F(0)i(x) = (1 - λ_i(x))η_i, p ∈ N⋃ {0}, x ∈ R⁺, i = 1,n.

(8)

Ввиду непрерывности функций {λ_i(x)}ni=1, r(x, y) и {μ_i(y)}ni=1 на соответствующих множе-

ствах, индукцией по p несложно доказать, что

F(p)i ∈ C(R⁺), p ∈ N⋃ {0}, i = 1,n.

(9)

С учётом условий (2), (3), I) и II) легко можно проверить также, что

F(p)i(x) ↑ по p, x ∈ R⁺, i = 1,n.

(10)

Докажем теперь, что

F(p)i(x) ↓ по x на R⁺, p = N

^⋃ {0}, i = 1, n.

(11)

При p = 0 утверждение (11) сразу следует из условий (3). Предположим, что F(p)i(x) ↓ по x

на R⁺, i = 1, n, при некотором натуральном p. Тогда для любых (x₁, y) ∈ R²⁺, (x₂, y) ∈ R²⁺,

x₁ > x₂, в силу условия I) имеет место неравенство

F(p)i(r(x₁,y)) ≤ F(p)i(r(x₂,y)), i = 1,n.

С учётом (2) и (3) из (8) будем иметь соотношения

∞

∫

∑

(p)

F(p+1)(x1) = (1 - λi(x1))ηi +

a_ij

Fj(r(x1,y))dμi(y)≤

j=1

∞

∫

∑

≤ (1 - λ_i(x₂))η_i +

a_ij

F(p)j(r(x₂,y))dμ_i(y) = F(p+1)i(x₂), i = 1,n.

j=1

Таким образом, свойство (11) доказано.

Теперь, используя (11), убедимся, что

F(p)i ∈ L₁(R⁺), p = N

^⋃ {0}, i = 1, n.

Действительно, при p = 0 данное включение сразу следует из условия (4). Предположим, что

F(p)i ∈ L₁(R⁺), i = 1,n, при некотором p ∈ N. Тогда, учитывая (2), I), II), (10) и (11), из

(8) получаем неравенства

∞

∫

∑

(p)

0≤F(p+1)(x) ≤ (1 - λi(x))ηi +

a_ij

Fj(r(x,0))dμi(y)≤

j=1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№3

2023

О РАЗРЕШИМОСТИ ОДНОЙ СИСТЕМЫ

383

∑

≤ (1 - λ_i(x))η_i +

a_ijF(p)j(x) ∈ L₁(R⁺),

j=1

а значит, F(p+1)i ∈ L₁(R⁺), i = 1, n.

Шаг 2. Докажем, что существует постоянная C > 0 такая, что имеет место оценка

∞

∫

F(p)i(x)dx ≤ C, p ∈ N⋃{0}, i = 1,n.

Пусть a ≥ 0 - произвольное число. Умножим обе части (8) на η_i, i = 1, n. Далее проинтегри-

руем обе части полученного равенства по x на множестве [a, +∞), после чего просуммируем

это соотношение по всем i = 1, n. Тогда с учётом (2), (4), I) и II) из (8) будем иметь

∫

∞

∫

∞

∫

∞

∑

∑ n∑

η_i

F(p+1)i(x)dx =

η²

(1 - λ_i(x)) dx +

η_i

a_ij

F(p)j(r(x,y))dμ_i(y)dx =

i=1

j=1

∫

∞

∫

∞

∫

∞

∫

∞

∑

∑∑

∑

= η²

(1 - λ_i(x)) dx +

a_jiη_i

F(p)j(r(x,y))dxdμ_i(y) =

η²

(1 - λ_i(x)) dx +

i=1

j=1 i=1

i=1

∫

∞

∫

∞

∫

∞

∑∑

a_jiη_i

F(p)j(r(x,y))dxdμ_i(y) +

a_jiη_i

F(p)j(r(x,y))dxdμ_i(y) ≤

j=1 i=1

δ a

∫

∞

∫

∞

∑

∑∑

≤ η²

(1 - λ_i(x)) dx +

a_jiη_iμ_i(δ) F(p+1)j(r(x,0))dx +

i=1

j=1 i=1

∫

∞

∫

∞

∑∑

∑

a_jiη_i(1 - μ_i(δ)) F(p+1)i(r(x,δ))dx ≤

η²

(1 - λ_i(x)) dx +

j=1 i=1

i=1

∫

∞

∫

∞

∑∑

a_jiη_iμ_i(δ) F(p+1)i(x)dx +

a_jiη_i(1 - μ_i(δ))

F(p+1)j(x)dx =

j=1 i=1

a+δ

∫

∞

∫

∞

∑

∑∑

∑

= η²

(1 - λ_i(x)) dx +

a_ijη_iμ_i(δ)

F(p+1)(x) dx +

η_j

F(p+1)j(x)dx,

i=1

j=1 i=1

j=1

a+δ

откуда следует неравенство

∫

∞

∫

∑

η_j

F(p+1)j(x)dx ≤

η²

(1 - λ_i(x)) dx +

a_jiη_iμ_i(δ)

F(p+1)j(x)dx

j=1

i=1

j=1 i=1

или

∫

∞

∑

a_jiη_i(1 - μ_i(δ))

F(p+1)j(x)dx ≤

η²i

(1 - λ_i(x)) dx.

(12)

j=1 i=1

i=1

Так как (1 - μ_i(δ)) > 0 для всех i = 1, n, то из (12) в силу теоремы Перрона имеем

∫

∞

∑

0≤ η_j

F(p+1)j(x)dx ≤

η²

(1 - λ_i(x)) dx.

(13)

min

(1 - μ_i(δ))

j=1

1≤i≤n

i=1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№3

2023

384

ХАЧАТРЯН, ПЕТРОСЯН

С учётом (11) и (9) из (13) получим оценку

∞

∫

∑

0≤

η_jF(p+1)j(a + δ) ≤

η²

(1 - λ_i(x)) dx.

(14)

δ min

(1 - μ_i(δ))

j=1

i=1

1≤i≤n

Используя теорему Фубини (см. [18, с. 317]), в силу (4) из (14) получаем

∞

∫

∑ ∫∞

∑

0≤ η_j

F(p+1)j(a + δ)da ≤

η²

x(1 - λ_i(x)) dx := γ,

(15)

δ min

(1 - μ_i(δ))

j=1

1≤i≤n

i=1

откуда следует, что

∫

∞

∫

∞

∑

(p+1)

(x) dx ≤

x(1 - λ_i(x)) dx := C₁,

(16)

δ min

(η_i) min

(1 - μ_i(δ))

1≤i≤n

i=1

где j = 1, n, p ∈ N

^⋃ {0}. Проинтегрируем теперь обе части (8) по x в пределах от 0 до δ,

затем умножим на η_i и просуммируем полученное равенство по всем i = 1, n. В результате,

если учесть I), (10) и (15), получим

∞

∫

∞

∫

∑ ∫δ

∑

η_i

F(p+1)i(x)dx ≤

η²

(1 - λ_i(x)) dx +

η_i

a_ij

F(p+1)j(r(x,y))dμ_i(y)dx =

i=1

j=1

∫

∞

∫

∞

∫

∑

∑∑

= η²

(1 - λ_i(x)) dx +

a_jiη_i

F(p+1)j(r(x,y))dxdμ_i(y) ≤

i=1

j=1 i=1

∫

∞

∫

∑

∑∑

≤ η²

(1 - λ_i(x)) dx +

a_jiη_i

F(p+1)j(r(x,0))dxdμ_i(y) +

i=1

j=1 i=1

∞

∫

∑∑

∑

a_jiη_i

F(p+1)j(r(x,δ))dxdμ_i(y) ≤

η²

(1 - λ_i(x)) dx +

j=1 i=1

i=1

∫

∞

∫

∑∑

a_jiη_i

F(p+1)j(x)dxdμ_i(y) +

a_jiη_i

F(p+1)j(x + δ)dxdμ_i(y) ≤

j=1 i=1

∫

∞

∫

∞

∫

∞

∑

∑∑

∑

≤ η²

(1 - λ_i(x)) dx +

a_jiη_iμ_i(δ) F(p+1)j(x)dx +

a_ijη_i

F(p+1)j(x)dxdμ_i(y) ≤

i=1

j=1 i=1

δ δ

∞

∫

∑

∑ ∫δ

(p+1)

≤ η²

(1 - λ_i(x)) dx + max

(μ_i(δ))

η_j

(x) dx + γ,

1≤i≤n

i=1

j=1

отсюда, ввиду того, что max(μi(δ)) < 1, следует оценка

1≤i≤n

∞

∫

∑

(p+1)

(x) dx ≤

(1 - λ_i(x)) dx + γ := C₂.

(17)

min

(η_i)(1 - max

μ_i(δ))

1≤i≤n

i=1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№3

2023

О РАЗРЕШИМОСТИ ОДНОЙ СИСТЕМЫ

385

Учитывая (16) и (17), а также определение нулевого приближения в итерациях (8), получаем

∫

∞

{

(

∫

∞

)

}

F(p)j(x)dx ≤ max max

η_i

(1 - λ_i(x)) dx

,C₁ +C₂

:= C, j = 1, n, p∈N

^⋃ {0}.

(18)

1≤i≤n

Таким образом, в силу (9)-(11), (18) и теоремы Б. Леви (см. [18, с. 303]) заключаем, что по-

следовательность монотонных непрерывных вектор-функций F(p)(x) :=(F(p)1(x), . . . ,

n (x))^т,

p∈N

^⋃ {0}, почти всюду на R⁺ имеет предел при p → ∞:

lim

F(p)(x) =: F(x) = (F₁(x),... ,F_n(x))^т,

p→∞

причём предельная вектор-функция удовлетворяет системе (7). Из (10) и (18) следует, что

∫∞

η_i(1 - λ_i(x)) ≤ F_i(x),

Fi(x) dx ≤ C, i = 1, n, x ∈ R⁺,

(19)

где число C определяется по формуле (18).

Шаг 3. Рассмотрим теперь вторую вспомогательную систему линейных интегральных урав-

нений

∞

∫

∑

ϕi(x) = ηi(1 - λi(x)) + λi(x)

a_ij

ϕj (r(x, y)) dμi(y), x ∈ R⁺, i = 1, n,

(20)

j=1

относительно неизвестной вектор-функций ϕ(x) = (ϕ₁(x), . . . , ϕ_n(x))^т.

Введя следующие последовательные приближения для системы (20):

∞

∫

∑

(p)

ϕ(p+1)

(x) = η_i(1 - λ_i(x)) + λ_i(x)

a_ij

(r(x, y)) dμ_i(y),

j=1

ϕ(0)i(x) = η_i(1 - λ_i(x)), p ∈ N⋃ {0}, i = 1, n, x ∈ R⁺,

индукцией несложно убедиться в достоверности приведённых ниже утверждений:

ϕ(p)i ∈ C(R⁺), p ∈ N⋃ {0}, i = 1, n,

(21)

ϕ(p)i(x) ↑ по p, p ∈ N⋃ {0}, i = 1, n, x ∈ R⁺,

(22)

ϕ(p)i(x) ≤ F_i(x), p ∈ N⋃ {0}, i = 1, n, x ∈ R⁺,

(23)

ϕ(p)i(x) ≤ η_i, p ∈ N⋃ {0}, i = 1, n, x ∈ R⁺,

(24)

где F (x) = (F₁(x), . . . , F_n(x))^т - суммируемое решение вспомогательной системы (7), удовле-

творяющее неравенствам (19).

Следовательно, в соответствии с (21)-(24) последовательность непрерывных вектор-функ-

ций ϕ(p)(x) = (ϕ(p)1(x), . . . , ϕnp)(x))^т, p ∈ N⋃ {0}, имеет поточечный предел lim

ϕ(p)i(x) =

p→∞

= ϕ_i(x), i = 1,n. Согласно теореме Б. Леви предельная вектор-функция ϕ(x) = (ϕ₁(x),

...,ϕ_n(x))^т удовлетворяет системе (20). Из (22)-(24) получаем также двусторонние оценки

η_i(1 - λ_i(x)) ≤ ϕ_i(x) ≤ min{η_i,F_i(x)}, i = 1,n, x ∈ R⁺.

(25)

Из (19) и (25), в частности, следует, что ϕ_i ∈ L₁(R⁺), i = 1, n.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№3

2023

386

ХАЧАТРЯН, ПЕТРОСЯН

Заметим теперь, что системе интегральных уравнений (20) удовлетворяет также непо-

движный вектор матрицы A. Очевидно, что вектор-функция φ(x) = (φ₁(x), . . . , φ_n(x))^т, где

φ_i(x) = η_i - ϕ_i(x), i = 1,n, удовлетворяет соответствующей однородной системе линейных

интегральных уравнений

∞

∫

∑

φ_i(x) = λ_i(x)

a_ij

φ_j(r(x,y))dμ_i(y), i = 1,n, x ∈ R⁺.

j=1

Из (19) и (25) получаем

0 ≤ φ_i(x) ≤ η_i, φ_i(x) ≡ 0, x ∈ R⁺, η_i - φ_i ∈ L₁(R⁺), i = 1,n.

(26)

Шаг 4. Рассмотрим специальные итерации для исходной системы нелинейных интеграль-

ных уравнений

∫∞

f(p+1)i(x) = K_i(x,y)G_i(f(p)1(r(x,y)),... ,f(p)n(r(x,y)))dμ_i(y),

f(0)i(x) = η_i, p ∈ N⋃ {0}, i = 1,n.

(27)

С учётом непрерывности функций r(x,y), {G_i(u₁,... ,u_n)}ni=1, {μ_i(y)}ni=1 и измеримости ядер

{K_i(x, y)}ni=1 методом математической индукции несложно проверить, что {f(p)i(x)}ni=1, p ∈

∈ N

^⋃ {0}, - измеримые функции на R⁺. Используя условия a), (6) и (2), нетрудно дока-

зать, что

f(p)i(x) ↓ по p, i = 1,n, x ∈ R⁺.

(28)

Докажем, что

f(p)i(x) ≥ φ_i(x), i = 1,n, p ∈ N⋃ {0}, x ∈ R⁺.

(29)

Неравенства (29) при p = 0 сразу следуют ввиду неотрицательности функций {ϕ_i(x)}ni=1 и

определения нулевого приближения в (27). Предположим, что оценки (29) справедливы при

некотором p ∈ N. Тогда, учитывая условия b) и (5), из (27) получаем неравенства

∫∞

∑

(p)

f(p+1)(x) ≥

a_ij

K_i(x,y)f_j

(r(x, y)) dμ_i(y) ≥

a_ij

K_i(x,y)φ_j(r(x,y))dμ_i(y) ≥

j=1

∞

∫

∑

≥ λ_i(x)

a_ij

φ_j(r(x,y))dμ_i(y) = φ_i(x), i = 1,n, x ∈ R⁺.

j=1

Итак, на основании (28) и (29) заключаем, что последовательность измеримых вектор-функций

f(p)(x) = (f(p)1(x),... ,

n (x))^т имеет поточечный предел

lim

f(p)(x) = f(x) = (f₁(x),... ,f_n(x))^т.

p→∞

Принимая во внимание непрерывность функций r,

{G_i}ni=1 и {μ_i}ni=1, а также измеримость

ядер {K_i(x, y)}ni=1, в силу теоремы Б. Леви предельная вектор-функция f(x) = (f₁(x),

...,f_n(x))^т удовлетворяет системе (1). Из (28), (29) и (26) вытекает, что

φ_i(x) ≤ f_i(x) ≤ η_i, x ∈ R⁺, i = 1,n,

η_i - f_i ∈ L₁(R⁺), i = 1,n.

Теорема доказана.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№3

2023

О РАЗРЕШИМОСТИ ОДНОЙ СИСТЕМЫ

387

3. Примеры. Приведём конкретные примеры функций {λ_i(x)}ni=1, {K_i(x, y)}ni=1, {μ_i(y)}ni=1

и нелинейностей {G_i(u₁, . . . , u_n)}ni=1, удовлетворяющих всем условиям теоремы.

Примеры {λ_i(x)}ni=1 :

λ_i(x) = 1 - ε_ie^-x, x ∈ R⁺, где ε_i ∈ (0,1], i = 1,n, - произвольные числовые параметры;

λ_i(x) = 1 - ε_i/(1 + x³), x ∈ R⁺, i = 1,n.

Примеры {K_i(x, y)}ni=1 :

K_i(x,y) = λ_i(x) + (1 - λ_i(x))W_i(x,y), где {W_i(x,y)}ni=1 - произвольные неотрицательные

и измеримые функции, удовлетворяющие неравенству W_i(x, y) ≤ 1, i = 1, n, (x, y) ∈ R²⁺;

K_i(x,y) = 0.5(1 + λ_i(x) + (1 - λ_i(x))W_i(x,y)), (x,y) ∈ R²⁺, i = 1,n.

Наглядными примерами функций {W_i(x, y)}ni=1 могут служить следующие функции:

W_i(x,y) = α_ie-βi(x2+y2), (x,y) ∈ R²⁺, где α_i, β_i - числовые параметры, β_i > 0, α_i ∈ (0,1],

i = 1,n;

W_i(x,y) = (γ_i/

√π)e-(x-y)2 +δ_ie-(x+y),

0<γ_i ≤

√π/2, 0 < δ_i ≤ 1/2, i = 1,n, (x,y) ∈ R²⁺.

Примеры {μ_i(y)}ni=1 :

μ_i(y) = 1 - e-αiy, α_i > 0, y ∈ R⁺, где α_i - числовые параметры, i = 1,n;

∑_n

μ_i(y) = 1 - n-1

e-αiε^jy, y ∈ R⁺, где {εj }nj=1,

{α_i}ni=1 - положительные числовые

j=1

параметры, i = 1, n.

Примеры {G_i(u₁, . . . , u_n)}ni=1 :

∑_n

Gi(u1, . . . , un) =

a_ijQ_j(u_j), (u₁,... ,u_n) ∈ Rn+, i = 1,n, где {Qj (u)}nj=1 - непре-

j=1

рывные и монотонные на R⁺ функции со свойствами Q_j (u) ≥ u, u ∈ [0, η_j ], Q_j (η_j ) = η_j ,

j = 1,n;

(

)

∑

Gi(u1, . . . , un) =

Q_i

a_iju_j

a_iju_j, i = 1,n, (u₁,... ,u_n) ∈ Rn+.

j=1

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда (проект 19-11-

00223).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и её приложения. Т. 2. М., 1963.

2. Соболев В.В. Проблема Милна для неоднородной атмосферы // Докл. АН СССР. 1978. Т. 239. № 3.

С. 558-561.

3. Енгибарян Н.Б. Об одной задаче нелинейного переноса излучения // Астрофизика. 1966. Т. 2. № 1.

С. 31-36.

4. Арабаджян Л.Г. Об одном интегральном уравнении теории переноса в неоднородной среде // Диф-

ференц. уравнения. 1987. Т. 23. № 9. С. 1618-1622.

5. Хачатрян А.Х., Хачатрян Х.А. Качественные различия решений для одной модели уравнения

Больцмана в линейном и нелинейном случаях // Журн. теор. и мат. физики. 2012. Т. 172. № 3.

С. 497-504.

6. Владимиров В.С., Волович Я.И. О нелинейном уравнении динамики в теории p-адической струны

// Журн. теор. и мат. физики. 2004. Т. 138. № 3. С. 355-368.

7. Хачатрян Х.А. О разрешимости некоторых классов нелинейных интегральных уравнений в теории

p-адической струны // Изв. РАН. Сер. мат. 2018. Т. 82. № 2. С. 172-193.

8. Diekmann O. Thresholds and travelling waves for the geographical spread of infection // J. Math. Biol.

1978. V. 6. № 2. P. 109-130.

9. Сергеев А.Г., Хачатрян Х.А. О разрешимости одного класса нелинейных интегральных уравнений

в задаче распространения эпидемии // Тр. Московского мат. о-ва. 2019. Т. 80. № 1. С. 113-131.

10. Хачатрян Х.А. О решении одной системы нелинейных интегральных уравнений типа Гаммерштей-

на-Немыцкого на всей оси // Тр. Ин-та математики НАН Беларуси. 2013. Т. 21. № 2. С. 154-161.

11. Хачатрян Х.А. О некоторых системах нелинейных интегральных уравнений типа Гаммерштейна

на полуоси // Укр. мат. журн. 2010. Т. 62. № 4. С. 552-566.

12. Хачатрян Х.А. О разрешимости одной системы нелинейных интегральных уравнений типа Гаммер-

штейна на прямой // Изв. Саратовского ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика.

2019. Т. 19. № 2. С. 164-181.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№3

2023

388

ХАЧАТРЯН, ПЕТРОСЯН

13. Арабаджян Л.Г. Решения одного интегрального уравнения типа Гаммерштейна // Изв. НАН Ар-

мении. Математика. 1997. Т. 32. № 1. С. 21-28.

14. Banas J. Integrable solutions of Hammerstein and Urysohn integral equations // J. Austral. Math. Soc.

Ser. A. 1989. V. 46. № 1. P. 61-68.

15. Хачатрян Х.А. Достаточные условия разрешимости интегрального уравнения Урысона на полуоси

// Докл. РАН. 2009. Т. 425. № 4. С. 462-465.

16. Хачатрян Х.А. Об одном классе интегральных уравнений типа Урысона с сильной нелинейностью

// Изв. РАН. Сер. мат. 2012. Т. 76. № 1. С. 173-200.

17. Ланкастер П. Теория матриц. М., 1973.

18. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М., 1976.

Московский государственный университет

Поступила в редакцию 05.01.2023 г.

имени М.В. Ломоносова,

После доработки 05.01.2023 г.

Ереванский государственный университет,

Принята к публикации 14.02.2023 г.

Армения,

Национальный аграрный университет Армении,

г. Ереван

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№3

2023