ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2023, том 59, № 3, с.409-421

ТЕОРИЯ УПРАВЛЕНИЯ

УДК 517.977.5

ОБ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧ УПРАВЛЕНИЯ

ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОЙ МОДЕЛИ

РЕАКЦИИ-ДИФФУЗИИ-КОНВЕКЦИИ

Исследованы задачи мультипликативного управления для модели реакции-диффузии-кон-

векции с нелинейно зависящими от решения, а также зависящими от пространственных

переменных коэффициентами. В случае степенной зависимости коэффициентов модели

от решения для экстремальных задач выведены системы оптимальности. С их помощью

получены оценки локальной устойчивости решений конкретных задач управления относи-

тельно малых возмущений как функционалов качества, так и одной из заданных функций

краевой задачи.

DOI: 10.31857/S0374064123030123, EDN: QVRFAN

1. Введение. Постановка и разрешимость краевой задачи. В последние годы воз-

растает интерес к исследованию краевых задач и задач управления для моделей тепломассо-

переноса (см. [1-15]). При этом приложения экстремальных задач не ограничиваются поиском

эффективных механизмов управления физическими полями в сплошных средах. В рамках оп-

тимизационного подхода к задачам управления сводятся задачи восстановления неизвестных

функций в уравнениях и граничных условиях рассматриваемых моделей по дополнительной

информации о решении краевой задачи. В свою очередь, задачи восстановления неизвест-

ных коэффициентов модели сводятся к задачам мультипликативного управления (см. [10, 11,

16-18]).

В данной статье исследуется двухпараметрическая задача мультипликативного управления

для нелинейного уравнения реакции-диффузии-конвекции, рассматриваемого в ограниченной

области Ω ⊂ R³ :

- div (λ(x)∇ϕ) + u · ∇ϕ + k(ϕ,x)ϕ = f.

(1)

Предполагается, что граница Γ области Ω состоит из двух частей - Γ_D и Γ_N , и уравнение

(1) рассматривается при смешанных краевых условиях

ϕ = ψ на Γ_D, λ(x)(∂ϕ/∂n + α(ϕ,x)ϕ) = χ на Γ_N.

(2)

Здесь функция ϕ имеет смысл концентрации загрязняющего вещества, u - заданный вектор

скорости, f - объёмная плотность внешних источников вещества, λ(x) - коэффициент диффу-

зии, k(ϕ, x) - коэффициент реакции, α(ϕ, x) - коэффициент массообмена, функция χ имеет

смысл плотности граничных источников. Ниже на задачу (1), (2) при заданных функциях λ,

k, f, α, χ и ψ будем ссылаться как на задачу 1.

В работе [15] доказана глобальная разрешимость задачи 1 и нелокальная единственность

её решения в случае, когда нелинейности k(ϕ, · )ϕ и α(ϕ, · )ϕ являются монотонными, а также

установлен принцип максимума и минимума для концентрации ϕ.

Для задачи 1 исследованы задачи мультипликативного управления. В частности, установ-

лено свойство релейности (или справедливость принципа минимакса) для решения одной из

рассматриваемых задач управления. Данное свойство означает, что оптимальное управление

в зависимости от x ∈ Ω может принимать только два значения, как правило, это верхняя

и нижняя границы множества управлений. Тем самым в зависимости от x ∈ Ω происходит

скачок управления из одного состояния в другое (принцип минимакса) или его переключение

между двумя состояниями (релейность) (см. [6-8] и [15]).

В настоящей работе для двухпараметрической задачи мультипликативного управления, в

случае когда коэффициенты k(ϕ, · ) и α(ϕ, · ) имеют определённый вид, выводятся системы

409

410

БРИЗИЦКИЙ, МАКСИМОВ

оптимальности. На основе анализа данных систем получены оценки локальной устойчивости

оптимальных решений относительно малых возмущений как функционалов качества, так и

заданной функции f.

При анализе рассматриваемых задач будем использовать функциональные пространства

Соболева H^s(D), s ∈ R. Здесь D обозначает либо область Ω, либо некоторую подобласть

Q ⊂ Ω, либо часть Γ_D границы Γ. Через ∥·∥_s,Q, |·|s,Q и (·,·)s,Q будем обозначать норму,

полунорму и скалярное произведение в H^s(Q). Нормы и скалярные произведения в L²(Q),

L²(Ω) или в L²(Γ_N) будем обозначать соответственно через ∥ · ∥_Q и (·,·)_Q, ∥·∥Ω и (·,·)Ω

или ∥ · ∥ΓN и

(·,·)ΓN. Пусть Lp+(D) = {k ∈ L^p(D) : k ≥ 0 в D}, p ≥ 3/2, Hs+(D) =

= {h ∈ H^s(D) : h ≥ 0 в D}, s ≥ 0, Z = {v ∈ L⁴(Ω)³ : div v = 0 в Ω, v · n|ΓN = 0},

Hsλ0 (Ω) = {h ∈ H^s(Ω) : h ≥ λ₀ > 0 в Ω}, s > 3/2, T = {ϕ ∈ H¹(Ω) : ϕ|ΓD = 0}.

Предположим, что выполняются следующие условия:

(i) Ω - ограниченная область в R³ с границей Γ ∈ C0,1, состоящей из замыканий двух

непересекающихся открытых участков Γ_D и Γ_N (Γ = Γ_D

^⋃Γ_N, ΓD ⋂Γ_N = ∅), при этом

поверхностная мера meas Γ_D > 0 и граница ∂Γ_D участка Γ_D состоит из конечного числа

липшицевых кривых или является n-угольником;

(ii) λ ∈ Hsλ0 (Ω), s > 3/2, u ∈ Z, f ∈ L²(Ω), ψ ∈ H1/2(Γ_D), χ ∈ L²(Γ_N );

(iii) для любой функции v ∈ H¹(Ω) справедливо вложение k(v, · ) ∈ Lp+(Ω) для некоторого

p ≥ 3/2, не зависящего от v, и на любом шаре B_r = {v ∈ H¹(Ω) : ∥v∥1,Ω ≤ r} радиуса r

выполняется неравенство

∥k(v₁, · ) - k(v₂, · )∥_Lp_(Ω) ≤ L₁∥v₁ - v₂∥_L4_(Ω) для любых v₁, v₂ ∈ B_r,

здесь константа L₁ зависит от r, но не зависит от v₁, v₂ ∈ B_r;

(iv) для любой функции w ∈ H¹(Ω) справедливо вложение α(w, · ) ∈ Lq+(Γ_N ) для некото-

рого q ≥ 2, не зависящего от w, и на любом шаре S_a = {w ∈ H¹(Ω) : ∥w∥1,Ω ≤ a} радиуса a

справедливо неравенство

∥α(w₁, · ) - α(w₂, · )∥_Lq(ΓN ) ≤ L2∥w1 - w2∥L2(Γ_N ) для любых w1, w2 ∈ Sa,

здесь константа L₂ зависит от a, но не зависит от w₁, w₂ ∈ S_a.

Будем предполагать, что нелинейности k(ϕ, · )ϕ и α(ϕ, · )ϕ являются монотонными в сле-

дующим смысле:

(v) (k(ϕ₁, · )ϕ₁ - k(ϕ₂, · )ϕ₂, ϕ₁ - ϕ₂) ≥ 0 для всех ϕ₁, ϕ₂ ∈ H¹(Ω);

(vi) (α(ϕ₁, · )ϕ₁ - α(ϕ₂, · )ϕ₂, ϕ₁ - ϕ₂)ΓN ≥ 0 для всех ϕ₁, ϕ₂ ∈ H¹(Ω).

Пусть также функции k(ϕ, · ) и α(ϕ, · ) ограничены в том смысле, что существуют поло-

жительные константы A₁, B₁, зависящие от k, и A₂, B₂, зависящие от α, такие, что

(vii) ∥k(ϕ, · )∥Lp(Ω) ≤ A1∥ϕ∥r1,Ω + B1 для всех ϕ ∈ H1(Ω) при p ≥ 3/2, r ≥ 0;

(viii)

∥α(ϕ, · )∥_Lq(ΓN ) ≤ A2∥ϕ∥¹,Ω+B2длявсехϕ∈H1(Ω)приq≥2,l≥0.

Отметим, что условия (iii), (v) и (vii) описывают оператор, действующий из H¹(Ω) в L^p(Ω),

p ≥ 3/2, позволяющий учитывать достаточно произвольную зависимость коэффициента ре-

акции как от концентрации ϕ, так и от пространственной переменной x. Например, k = ϕ²

(или k = ϕ²|ϕ|) в подобласти Q ⊂ Ω и k = k₀(x) ∈ L3/2+(Ω \ Q) в Ω \ Q.

В свою очередь, условия (iv), (vi) и (viii) задают оператор, действующий из H¹(Ω) в

L^q(Γ_N ), q ≥ 2, который позволяет учитывать зависимость коэффициента α от ϕ и x. На-

пример, α = |ϕ| на Γ₀ ⊂ Γ_N и α = α₀(x) ∈ L²⁺(Γ_N \ Γ₀) в Γ_N \ Γ₀.

Напомним также, что в силу теоремы вложения Соболева пространство H¹(Ω) вкладыва-

ется в пространство L^s(Ω) непрерывно при s ≤ 6 и компактно при s < 6, и при некоторой

константе C_s, зависящей от s и Ω, справедлива оценка

∥ϕ∥_Ls_(Ω) ≤ C_s∥ϕ∥1,Ω для всех ϕ ∈ H¹(Ω).

(3)

Пространство H1/2(Γ_N ) вкладывается в пространство L^q(Γ_N ) непрерывно при q ≤ 4 и

компактно при q < 4. В силу непрерывности оператора следа γ : H¹(Ω) → H1/2(Γ_N ) (и его

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№3

2023

ОБ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧ УПРАВЛЕНИЯ

411

сужения γ|ΓN на Γ_N ⊂ Γ) с константой

C_q, зависящей от q и Γ_N, справедлива оценка

∥ϕ∥_Lq(ΓN )

C_q∥ϕ∥1,Ω для всех ϕ ∈ H¹(Ω).

Наконец, поскольку при r > 1 пространство H^r(Γ_N ) непрерывно и компактно вкладыва-

ется в L^p(Γ_N ), где p ≤ ∞, из непрерывности оператора частичного следа γ|ΓN : Hr+1/2(Ω) →

→ H^r(Γ_N) вытекает оценка

∥λ∥_Lp(ΓN )

C∥λ∥s,Ω при любой λ ∈ H^s(Ω), s = r + 1/2 > 3/2.

Справедлива следующая техническая лемма (см. [14]).

Лемма 1.1. При выполнении условий (i), (ii), u ∈ Z, λ ∈ Hsλ0 (Ω), s > 3/2, k₁ ∈ Lp+(Ω),

p ≥ 3/2, α₁ ∈ Lq+(Γ_N), q ≥ 2, существуют положительные константы C₀, δ₀, γ₁, γ_p,

зависящие или от Ω, или от Ω и p, или от Ω, Γ_N и q, при которых справедливы соот-

ношения

|(λ∇ϕ, ∇η)| ≤ C₀∥λ∥s,Ω∥ϕ∥1,Ω∥η∥1,Ω,

|(u · ∇ϕ, η)| ≤ γ₁∥u∥_L4_(Ω)3 ∥ϕ∥1,Ω∥η∥1,Ω,

(4)

|(k₁ϕ, η)| ≤ γ_p∥k₁∥_Lp_(Ω)∥ϕ∥1,Ω∥η∥1,Ω,

|(λα₁ϕ, η)| ≤ γ_q∥λ∥s,Ω∥α₁∥_Lq(ΓN )∥ϕ∥1,Ω∥η∥1,Ω для всех ϕ, η ∈ H¹(Ω),

(5)

|(χ, h)| ≤ γ₂∥χ∥ΓN ∥h∥1,Ω для всех χ ∈ L²(Γ_N ), h ∈ H¹(Ω),

(6)

(u · ∇ϕ, ϕ) = 0, (λ∇ϕ, ∇ϕ) ≥ λ_∗∥ϕ∥21,Ω для любой ϕ ∈ T , λ_∗ ≡ δλ₀.

(7)

Умножим уравнение (1) на h ∈ T и проинтегрируем по области Ω, применяя формулу

Грина. Учитывая (2), получаем

(λ∇ϕ, ∇h) + (k(ϕ, · )ϕ, h) + (u · ∇ϕ, h) + (λα(ϕ, · )ϕ, h)ΓN =

= (f, h) + (χ, h)ΓN для любой h ∈ T , ϕ|ΓD = ψ.

(8)

Определение. Функцию ϕ ∈ H¹(Ω), удовлетворяющую равенству (8), назовём слабым

решением задачи 1.

Для доказательства разрешимости задачи 1 в [15] использовалась следующая

Лемма 1.2. Пусть выполняются условия (i). Тогда для любой функции ψ ∈ H1/2(Γ_D)

существует функция ϕ₀ ∈ H¹(Ω) такая, что ϕ₀ = ψ на Γ_D и при некоторой константе

C_Γ, зависящей от Ω и Γ_D, справедлива оценка

∥ϕ₀∥1,Ω ≤ C_Γ∥ψ∥1/2,ΓD .

Справедлива следующая

Теорема 1.1 [15]. При выполнении условий (i)-(viii) существует единственное слабое

решение ϕ ∈ H¹(Ω) задачи 1, для которого справедлива оценка

∥ϕ∥1,Ω ≤ M_ϕ ≡ C_∗M_l + C_Γ∥ψ∥1/2,ΓD ,

(9)

где C_Γ - константа из леммы 1.2 и

M_l ≡ ∥f∥_Ω + γ₂∥χ∥ΓN + (C₀C_Γ∥λ∥s,Ω + γ₁C_Γ∥u∥_L4_(Ω)3 )∥ψ∥1/2,ΓD +

+ C_Γ(γ_p(A₁CrΓ∥ψ∥r1/2,Γ

+ B₁) + γ_q∥λ∥s,Ω(A₂ClΓ∥ψ∥l1/2,Γ

+ B₂))∥ψ∥1/2,ΓD.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№3

2023

412

БРИЗИЦКИЙ, МАКСИМОВ

2. Мультипликативная задача управления. Пусть функция k(ϕ,x) удовлетворяет

следующему условию:

(ix) k(ϕ, x) = β(x)k₀(ϕ), где β(x) ∈ H¹⁺(Ω), k₀(ϕ) ∈ L²⁺(Ω) для всех ϕ ∈ H¹(Ω) удовле-

творяет свойству (vii) при p > 2, и в любом шаре B_r = {ϕ ∈ H¹(Ω) : ∥ϕ∥1,Ω ≤ r} радиуса r

справедливо неравенство

∥k₀(ϕ₁) - k₀(ϕ₂)∥_Ω ≤ L₃∥ϕ₁ - ϕ₂∥_L4_(Ω) для всех ϕ₁, ϕ₂ ∈ B_r.

(10)

Здесь константа L₃ зависит от радиуса r и не зависит от конкретных ϕ₁, ϕ₂ ∈ B_r.

Несложно показать, что условия (ix) описывают частный случай функции k(ϕ, x), удовле-

творяющей (iv). Действительно (см. также [12]),

∥β(k₀(ϕ₁) - k₀(ϕ₂))∥_L3/2_(Ω) ≤ ∥β∥_L6_(Ω)∥k0(ϕ1) - k0(ϕ2)∥Ω ≤ C6∥β∥1,Ω∥ϕ1 - ϕ2∥L4(Ω).

Для постановки задачи управления разобьем множество исходных данных задачи 1 на две

группы: группу фиксированных данных, куда отнесём функции u, k₀(ϕ), α(ϕ), f, χ и ψ,

и группу управлений, куда отнесём функции λ и β, предполагая, что они могут изменяться

в некоторых множествах K₁ и K₂, удовлетворяющих условию

(j) K₁ ⊂ Hsλ0 (Ω) и K₂ ⊂ H¹⁺(Ω) - непустые выпуклые замкнутые множества.

Положим u = (λ, β), K = K₁ × K₂. Введём пространство Y = T^∗ × H1/2(Γ_D) и оператор

F = (F₁,F₂) : H¹(Ω) × K → Y по формулам

〈F₁(ϕ, u), h〉 = (λ∇ϕ, ∇h) + (β(x)k₀(ϕ)ϕ, h) + (u · ∇ϕ, h) + (λα(ϕ, x)ϕ, h)ΓN - (f, h) - (χ, h)ΓN ,

F₂(ϕ) = ϕ|ΓD - ψ

и запишем (8) в виде F (ϕ, u) = 0. Рассматривая это равенство как условное ограничение

на состояние ϕ ∈ H¹(Ω) и управление u ∈ K, сформулируем следующую задачу условной

минимизации:

μ₀

μ₁

μ₂

J (ϕ, u) ≡

I(ϕ) +

∥λ∥2s,Ω +

∥β∥21,Ω → inf, F (ϕ, u) = 0, (ϕ, u) ∈ H¹(Ω) × K.

(11)

Здесь I : H¹(Ω) → R - функционал, полунепрерывный снизу относительно слабой сходимости.

Обозначим через Z_ad = {(ϕ, u) ∈ H¹(Ω) × K : F (ϕ, u) = 0, J(ϕ, u) < ∞} множество

допустимых пар для задачи (11) и предположим, что выполняется условие

(jj) μ₀ > 0, μ₁ ≥ 0, μ₂ ≥ 0 (либо μ_i > 0, i = 0, 1, 2), K - ограниченное множество и

функционал I ограничен снизу.

Будем использовать следующие функционалы качества:

∫

I₁(ϕ) = ∥ϕ - ϕ^d∥2Q =

|ϕ - ϕ^d|²dx, I₂(ϕ) = ∥ϕ - ϕ^d∥21,Q.

(12)

Здесь ϕ^d ∈ L²(Q) (либо ϕ^d ∈ H¹(Q)) - заданная в подобласти Q ⊂ Ω функция.

Теорема 2.1. Пусть выполнены условия (i)-(viii), (xi) и (j), (jj), функционал I : H¹(Ω) →

→ R слабо полунепрерывен снизу и множество Z_ad не пусто. Тогда существует по крайней

мере одно решение (ϕ,u) ∈ H¹(Ω) × K задачи (11).

Замечание. Функционалы в (12) удовлетворяют условиям теоремы 2.1. Также в дальней-

шем будем использовать оценки, вытекающие из её условий:

∥λ∥s,Ω ≤ C_λ,

∥β∥1,Ω ≤ C_β для любых λ ∈ K₁ и β ∈ K₂,

где C_λ и C_β - положительные константы.

Будем считать далее, что k(ϕ, · ) = β(·)k₀(ϕ) ≡ β(·)ϕ² и α(α) = |α|. При таких коэффи-

циентах реакции и массообмена для экстремальной задачи (11) ниже будет выведена система

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№3

2023

ОБ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧ УПРАВЛЕНИЯ

413

оптимальности и на основе её анализа будут получены оценки локальной устойчивости опти-

мальных решений задачи (11) относительно малых возмущений как функционалов качества,

так и заданной функции f.

Несложно показать, что производная Фреше от оператора F = (F₁, F₂) : H¹(Ω) × K →

→Y по ϕ в каждой точке

ϕ, û) =

ϕ,λ

β) есть линейный оператор F^′ϕ

ϕ, û) : H¹(Ω) → Y,

ставящий в соответствие каждому элементу h ∈ H¹(Ω) элемент F^′ϕ(ϕ, û)(h) = (ŷ1, ŷ2) ∈ Y.

Здесь элементы ŷ₁ ∈ T^∗ и ŷ₂ ∈ H1/2(Γ_D) определяются по

ϕ и τ соотношениями

〈ŷ₁,τ〉 = (λ∇τ,∇h)+3

βϕ²τ,h)+2(^λ

ϕ|τ, h)ΓN +(u·∇τ, h) для любого τ ∈ H¹(Ω), y₂ = h|_Γ

Введём сопряжённое к Y пространство Y^∗ = T × H1/2(Γ_D)^∗. Через F^′ϕ(ϕ, û)∗ : Y∗ →

H¹(Ω)^∗ обозначим сопряжённый к F^′ϕ

ϕ, û) оператор. Следуя общей теории гладко-выпуклых

экстремальных задач [19], введём элемент y^∗ = (θ, ζ) ∈ Y^∗, на который будем ссылаться как

на сопряжённое состояние, и лагранжиан L : H¹(Ω) × K × Y^∗ → R по формуле

L(ϕ, u, y^∗) = J(ϕ, u)+〈y^∗, F (ϕ, u)〉_Y ∗_×Y ≡J(ϕ, u) + 〈F₁(ϕ, u), θ〉_T ∗_×T + 〈ζ, F₂(ϕ, u)〉_Γ

где 〈ζ, · 〉ΓD = 〈ζ, · 〉_H1/2(ΓD )∗×H1/2(Γ_D )^.

Из теоремы Лакса-Мильграма вытекает, что что для любых f ∈ L²(Ω) и ψ ∈ H1/2(Γ_D)

существует единственное решение τ ∈ H¹(Ω) линейной задачи

(λ∇τ,∇h) + 3

ϕ²τ,h) + 2(^λ

ϕ|τ, h)ΓN + (u · ∇τ, h) = (f, h) для всех h ∈ T , τ|ΓD = ψ.

Тогда оператор F^′ϕ(ϕ, û) : H1(Ω) × K → Y - изоморфизм, а из [19] вытекает

Теорема 2.2. Пусть выполняются условия (i), (ii), (j), (jj), k(ϕ, · ) = β(·)ϕ², где β(·) ∈

∈ H¹⁺(Ω), и α(ϕ) = |ϕ|, функционал I : H¹(Ω) → R непрерывно дифференцируем по ϕ в

точке

ϕ илокальныйминимумвзадаче(11)достигаетсявточке

ϕ, û) ∈ H¹(Ω)×K. Тогда

существует единственный множитель Лагранжа y^∗ = (θ,ζ) ∈ Y^∗ такой, что выполняется

уравнение Эйлера-Лагранжа F^′ϕ(ϕ, û)∗y∗ = -J′ϕ

ϕ, û) в H¹(Ω)^∗, эквивалентное тождеству

(λ∇τ,∇θ) + 3

ϕ²τ,θ) + 2(^λ

ϕ|τ, θ)ΓN + (u · ∇τ, θ) + 〈ζ, τ〉ΓD =

= -(μ₀/2)〈I^′ϕ

ϕ), τ〉 для всех τ ∈ H¹(Ω),

и справедлив принцип минимума L

ϕ, û, y^∗) ≤ L(ϕ,u,y∗) для любой u ∈ K, эквивалентный

неравенствам

μ₁(λ,λ -λ)s,Ω + ((λ -λ)∇ϕ,∇θ) + ((λ -λ)

ϕ, θ)ΓN ≥ 0,

(13)

μ₂

β,β

β)1,Ω + ((β

ϕ³,θ) ≥ 0

(14)

при любых λ ∈ K₁ и β ∈ K₂.

3. Основное свойство системы оптимальности. Обозначим через (ϕ₁, u₁) ∈ H¹(Ω) ×

× K решение задачи (11), отвечающее заданной функции f = f₁ ∈ L²(Ω), а через (ϕ₂,u₂) ∈

∈ H¹(Ω) × K - решение задачи

μ₀

μ₁

μ₂

J (ϕ, u) =

I(ϕ) +

∥λ∥2s,Ω +

∥β∥21,Ω → inf, F (ϕ, u

f) = 0, (ϕ,u) ∈ H¹(Ω) × K,

(15)

которая получается из (11) заменой функционала I : H¹(Ω) → R другим функционалом

I : H1(Ω) → R и заменой функции f функцией f2 =

f ∈ L²(Ω). Считая множество K

ограниченным, а функционалы I(ϕ) и

I(ϕ) непрерывно дифференцируемыми на H¹(Ω),

выведем одно важное для дальнейшего анализа неравенство для разности решений задач (11)

и (15). Напомним, что в силу теоремы 1.1 справедливы следующие оценки для ϕ_i :

∥ϕ_i∥1,Ω ≤ M_ϕ = C_∗ sup

M_ϕ, i = 1,2, C_∗ ≡ λ-1∗,

(16)

(λ,β)∈K

где

M_ϕ определена в (9). Очевидно, что M_ϕ < ∞ в случае, когда множество K ограничено.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№3

2023

414

БРИЗИЦКИЙ, МАКСИМОВ

Обозначим через (θ_i, ζ_i) ∈ T × H1/2(Γ_D)^∗ множители Лагранжа, отвечающие решениям

(ϕ_i, u_i), i = 1, 2. В силу теоремы 2.2 они удовлетворяют соотношениям

(λ₁∇τ, ∇θ₁) + 3(β₁ϕ²¹τ, θ₁) + (u · ∇τ, θ₁) + 2(λ₁|ϕ₁|τ, θ₁)_Γ

μ₀

+ 〈ζ₁, τ〉ΓD = -

〈I^′ϕ(ϕ₁), τ〉 для любых τ ∈ H¹(Ω),

(17)

(λ₂∇τ, ∇θ₂) + 3(β₂ϕ²²τ, θ₂) + (u · ∇τ, θ₂) + 2(λ₂|ϕ₂|τ, θ₂)_Γ

μ₀

+ 〈ζ₂, τ〉ΓD = -

I^′ϕ(ϕ₂),τ〉 для любых τ ∈ H¹(Ω).

(18)

Положим

ϕ=ϕ₁ -ϕ₂, β=β₁ -β₂, λ=λ₁ -λ₂, θ=θ₁ -θ₂, ζ =ζ₁ -ζ₂, f =f₁ -f₂.

(19)

При k(ϕ, · ) = β(·)ϕ² и α(ϕ) = |ϕ| слабая формулировка (8) задачи 1 принимает вид

(λ∇ϕ, ∇h) + (βϕ³, h) + (u · ∇ϕ, h) + (λ|ϕ|ϕ, h)_Γ

= (f, h) + (χ, h)ΓN для всех h ∈ T , ϕ|ΓD = ψ.

(20)

Вычтем тождество (20), записанное для (ϕ₂, u₂, f₂), из этого же тождества, записанного для

(ϕ₁, u₁, f₁). Учитывая, что

β₁ϕ³¹ - β₂ϕ³² = βϕ³¹ + β₂(ϕ³¹ - ϕ³²), λ₁∇ϕ₁ - λ₂∇ϕ₂ = λ₁∇ϕ + λ∇ϕ₂,

λ₁|ϕ₁|ϕ₁ - λ₂|ϕ₂|ϕ₂ = λ|ϕ₁|ϕ₁ + λ₂(|ϕ₁|ϕ₁ - |ϕ₂|ϕ₂),

получаем равенство

(λ₁∇ϕ, ∇h) + (β₂(ϕ³¹ - ϕ³²), h) + (u · ∇ϕ, h) + (λ₂(|ϕ₁|ϕ₁ - |ϕ₂|ϕ₂), h)_Γ

= (f, h) - (λ∇ϕ₂, ∇h) - (βϕ³¹, h) - (λ|ϕ₁|ϕ₁, h)_Γ

для любых h ∈ T .

(21)

Полагая ϕ = ϕ₁ - ϕ₂ в (21), учитывая (7), (16) и монотонность функций λ₂ϕ|ϕ| и β₂ϕ³ :

(λ₂(|ϕ₁|ϕ₁ - |ϕ₂|ϕ₂), ϕ₁ - ϕ₂)ΓN ≥ 0, (β₂(ϕ³¹ - ϕ³²), ϕ₁ - ϕ₂) ≥ 0,

выводим оценку

∥ϕ∥1,Ω ≤ C_∗(a∥λ∥s,Ω + b∥β∥1,Ω + ∥f∥_Ω),

(22)

где a = C₀M_ϕ + γ_q

C₄M2ϕ, b = C⁵⁶M3ϕ.

Положим λ = λ₂ в неравенстве (13), записанном при^λ = λ₁,

ϕ=ϕ₁, θ=θ₁, и λ=λ₁ в

неравенстве (13), записанном при^λ = λ₂,

ϕ = ϕ₂, θ = θ₂. Имеем

μ₁(λ₁,λ₂ - λ₁)s,Ω + ((λ₂ - λ₁)∇ϕ₁,∇θ₁) + ((λ₂ - λ₁)|ϕ₁|ϕ₁,θ₁)ΓN ≥ 0,

μ₁(λ₂,λ₁ - λ₂)s,Ω + ((λ₁ - λ₂)∇ϕ₂,∇θ₂) + ((λ₁ - λ₂)|ϕ₂|ϕ₂,θ₂)ΓN ≥ 0.

Сложив последние неравенства, получим

μ₁∥λ∥2s,Ω ≤ -(λ∇ϕ,∇θ₂)- (λ∇ϕ₁,∇θ)- (λ(ϕ₂(|ϕ₁|- |ϕ₂|)+ |ϕ₁|ϕ),θ₂)_Γ

+ (λϕ₁|ϕ₁|, θ)ΓN . (23)

Положим β = β₂ в неравенстве (14), записанном пр

β=β₁,

ϕ=ϕ₁, θ=θ₁, и β=β₁ в

неравенстве (14), записанном при

β =β₂,

ϕ=ϕ₂, θ=θ₂:

μ₂(β₁,β₂ - β₁)1,Ω - ((β₂ - β₁)ϕ³¹,θ₁) ≥ 0, μ₂(β₂,β₁ - β₂)1,Ω - ((β₁ - β₂)ϕ³²,θ₂) ≥ 0.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№3

2023

ОБ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧ УПРАВЛЕНИЯ

415

Складывая эти неравенства, приходим к соотношению

μ₁∥β∥21,Ω ≤ (βϕ(ϕ²¹ + ϕ₁ϕ₂ + ϕ²²),θ₁) + (βϕ³²,θ).

(24)

Вычтем теперь тождество (18) из (17). Учитывая, что

(λ₁∇τ, ∇θ₁) - (λ₂∇τ, ∇θ₂) = (λ₁∇τ, ∇θ) + (λ∇τ, ∇θ₂),

(λ₁|ϕ₁|τ, θ₁)ΓN - (λ₂|ϕ₂|τ, θ₂)ΓN = (λ|ϕ₁|τ, θ₁)ΓN + (λ₂(|ϕ₁| - |ϕ₂|)τ, θ₁)ΓN + (λ₂|ϕ₂|τ, θ)ΓN ,

(β₁ϕ²¹τ, θ₁) - (β₂ϕ²²τ, θ₂) = (βϕ²¹τ, θ₁) + (β₂ϕ(ϕ₁ + ϕ₂)τ, θ₁) + (β₂ϕ²²τ, θ),

будем иметь

(λ₁∇τ, ∇θ) + 3(β₂ϕ(ϕ₁ + ϕ₂)τ, θ₁) + 3(β₂ϕ²²τ, θ) +

+ 2(λ₂(|ϕ₁| - |ϕ₂|)τ, θ₁)ΓN + 2(λ₂|ϕ₂|τ, θ)ΓN + (u · ∇τ, θ) + 〈ζ, τ〉ΓD =

= -(λ∇τ,∇θ₂) - 2(λ|ϕ₁|τ,θ₁)ΓN - 3(βϕ²¹τ,θ₁) - (μ₀/2)〈I^′ϕ(ϕ₁)

I^′ϕ(ϕ₂),τ〉

(25)

для всех τ ∈ H¹(Ω).

Полагая в (25) τ = ϕ, с учётом того, что ϕ = ϕ₁ - ϕ₂ = 0 на Γ_D, получаем

(λ₁∇ϕ, ∇θ) + 3(β₂(ϕ₁ + ϕ₂)ϕ², θ₁) + 3(β₂ϕ²²ϕ, θ) +

+ 2(λ₂(|ϕ₁| - |ϕ₂|)ϕ, θ₁)ΓN + 2(λ₂|ϕ₂|ϕ, θ)ΓN + (u · ∇ϕ, θ) =

= -(λ∇ϕ,∇θ₂) - 2(λ|ϕ₁|ϕ,θ₁)ΓN - 3(βϕ²¹ϕ,θ₁) - (μ₀/2)〈I^′ϕ(ϕ₁)

I^′ϕ(ϕ₂),ϕ〉.

(26)

Положим далее h = θ в (21). Будем иметь

(λ₁∇ϕ, ∇θ) + (β₂(ϕ²¹ + ϕ₁ϕ₂ + ϕ²²)ϕ, θ) + (u · ∇ϕ, θ) + (λ₂(|ϕ₁|ϕ₁ - |ϕ₂|ϕ₂), θ)_Γ

= (f, θ) - (λ∇ϕ₂, ∇θ) - (βϕ³¹, θ) - (λ|ϕ₁|ϕ₁, θ)_Γ

Вычтем это равенство из (26). Учитывая, что

3(β₂(ϕ₁ + ϕ₂)ϕ², θ₁) + 3(β₂ϕ²²ϕ, θ) - (β₂(ϕ²¹ + ϕ₁ϕ₂ + ϕ²²)ϕ, θ) =

= 3(β₂(ϕ₁ + ϕ₂)ϕ², θ₁) - (β₂(ϕ²¹ + ϕ₁ϕ₂ - 2ϕ²²)ϕ, θ),

2(λ₂|ϕ₂|ϕ, θ)ΓN - (λ₂(|ϕ₁|ϕ₁ - |ϕ₂|ϕ₂), θ)ΓN =

= (λ₂(2|ϕ₂|(ϕ₁ - ϕ₂) - |ϕ₁|ϕ₁ + |ϕ₂|ϕ₂), θ)ΓN = (λ₂(ϕ₁(|ϕ₂| - |ϕ₁|) + |ϕ₂|ϕ), θ)ΓN ,

получим

3(β₂(ϕ₁ + ϕ₂)ϕ², θ₁) - (β₂(ϕ²¹ + ϕ₁ϕ₂ - 2ϕ²²)ϕ, θ) +

+ 2(λ₂(|ϕ₁| - |ϕ₂|)ϕ, θ₁)ΓN + (λ₂(ϕ₁(|ϕ₂| - |ϕ₁|)ϕ₁ + |ϕ₂|ϕ), θ)ΓN =

= -(λ∇ϕ,∇θ₂) - 2(λ|ϕ₁|ϕ,θ₁)ΓN - 3(βϕ²¹ϕ,θ₁) - (μ₀/2)〈I^′ϕ(ϕ₁)

I^′ϕ(ϕ₂),ϕ〉 -

- (f, θ) + (λ∇ϕ₂, ∇θ) + (βϕ³¹, θ) + 2(λ|ϕ₁|ϕ₁, θ)_Γ

(27)

Равенство (27) запишем в следующем виде:

(μ₀/2)〈I^′ϕ(ϕ₁)

I^′ϕ(ϕ₂),ϕ〉 = -3(β₂(ϕ₁ + ϕ₂)ϕ²,θ₁) + (β₂(ϕ²¹ + ϕ₁ϕ₂ - 2ϕ²²)ϕ,θ) -

- 2(λ₂(|ϕ₁| - |ϕ₂|)ϕ, θ₁)ΓN - (λ₂((|ϕ₂| - |ϕ₁|)ϕ₁ + |ϕ₂|ϕ), θ)ΓN - (λ∇ϕ, ∇θ₂) -

- 2(λ|ϕ₁|ϕ, θ₁)ΓN - 3(βϕ²¹ϕ, θ₁) - (f, θ) + (λ∇ϕ₂, ∇θ) + (βϕ³¹, θ) + 2(λ|ϕ₁|ϕ₁, θ)_Γ

(28)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№3

2023

416

БРИЗИЦКИЙ, МАКСИМОВ

Складывая (28) c (23) и (24), получаем соотношения

(μ₀/2)〈I^′ϕ(ϕ₁)

I^′ϕ(ϕ₂),ϕ〉 + μ₁∥λ∥2s,Ω + μ₂∥β∥21,Ω ≤ A₁ + A₂,

A₁ = -3(β₂(ϕ₁ + ϕ₂)ϕ²,θ₁) + (β₂(ϕ²¹ + ϕ₁ϕ₂ - 2ϕ²²)ϕ,θ) -

- (βϕ(-2ϕ²¹ + ϕ₁ϕ₂ + ϕ²²), θ₁) + (β(ϕ³¹ + ϕ³²), θ) - (f, θ),

A₂ = -2(λ₂(|ϕ₁| - |ϕ₂|)ϕ,θ₁)ΓN - (λ₂((|ϕ₂| - |ϕ₁|)ϕ₁ + |ϕ₂|ϕ),θ)ΓN -

- 2(λ∇ϕ, ∇θ₂) - 2(λ|ϕ₁|ϕ, θ₁)ΓN + (λ∇ϕ₂, ∇θ) + 3(λ|ϕ₁|ϕ₁, θ)ΓN -

- (λ∇ϕ₁, ∇θ) - (λ(ϕ₂(|ϕ₁| - |ϕ₂|) + |ϕ₁|ϕ), θ₂)ΓN .

(29)

Сформулируем полученный результат в виде следующей теоремы.

Теорема 3.1. Пусть выполняются условия (i) и (j), K ⊂ H^s (Ω) × H¹(Ω) - ограничен-_λ

ное множество, пары (ϕ₁,u₁) ∈ H¹(Ω) × K и (ϕ₂,u₂) ∈ H¹(Ω) × K являются решениями

соответственно задач (11) при f = f₁ ∈ L²(Ω) и (15) при f = f₂ ∈ L²(Ω). Пусть далее

(θ_i, ζ_i) ∈ T × H1/2(Γ_D) - множители Лагранжа, отвечающие решениям (ϕ_i, u_i), i = 1, 2, и

функционалы I

I непрерывно дифференцируемы относительно ϕ. Тогда для разностей ϕ,

λ, β, θ и f, введённых в (19), справедлива оценка (22) и выполняется неравенство (29).

4. Оценки локальной устойчивости оптимальных решений. Основываясь на теоре-

ме 3.1, установим достаточные условия единственности и устойчивости решений конкретных

экстремальных задач. Начнём с анализа следующей экстремальной задачи, отвечающей функ-

ционалу качества I₁(ϕ) = ∥ϕ - ϕ^d∥2Q :

μ₀

μ₁

μ₂

J (ϕ, u) =

I₁(ϕ) +

∥λ∥2s,Ω +

∥β∥21,Ω → inf, F (ϕ, u, f) = 0, (ϕ, u) ∈ H¹(Ω) × K.

(30)

Обозначим через (ϕ₁, u₁) решение задачи (30), отвечающее заданным функциям ϕ^d = ϕd1 ∈

∈ L²(Q) и f = f₁ ∈ L²(Ω). Через (ϕ₂,u₂) обозначим решение задачи (30), отвечающее

возмущённым функциям

ϕd = ϕd2 ∈ L²(Q) и

f = f₂ ∈ L²(Ω). Полагая ϕ^d = ϕd1 - ϕd2, в

дополнение к (19) имеем в силу (12) равенства

〈I′1(ϕ_i), τ〉 = 2(ϕ_i - ϕ^di, τ)_Q,

〈I′1(ϕ₁)

I′1(ϕ₂),τ〉 = 2((ϕ,τ)_Q - (ϕ^d,τ)_Q), i = 1,2.

(31)

С учётом (31) равенства (17), (18) для множителей Лагранжа θ_i ∈ T , отвечающие решениям

(ϕ_i, u_i), принимают вид

(λ_i∇τ, ∇θ_i) + 3(β_iϕ2iτ, θ_i) + 2(λ_i|ϕ_i|τ, θ_i) + (u · ∇τ, θ_i) +

+ 〈ζ_i, τ〉ΓD = -μ₀(ϕ_i - ϕ^di, τ)_Q для любых τ ∈ H¹(Ω), i = 1, 2.

(32)

В (25) теперь подставим производную Фреше от конкретного функционала качества и запишем

это соотношение в виде уравнения относительно разности θ = θ₁ - θ₂ :

(λ₁∇τ, ∇θ) + 3(β₂ϕ²²τ, θ) + 2(λ₂|ϕ₂|τ, θ)_Γ

+ (u · ∇τ, θ) + 〈ζ, τ〉ΓD =

= -3(β₂ϕ(ϕ₁ + ϕ₂)τ,θ₁) - 3(βϕ²¹τ,θ₁) - 2(λ₂(|ϕ₁| - |ϕ₂|)τ,θ₁)_Γ

− (λ∇τ, ∇θ₂) - 2(λ|ϕ₁|τ, θ₁)ΓN - μ₀(ϕ - ϕ^d, τ)_Q для всех τ ∈ H¹(Ω).

(33)

Наконец, (29) примет следующий вид:

μ₀(∥ϕ∥2Q - (ϕ^d,ϕ)_Q) + μ₁∥λ∥2s,Ω + μ₂∥β∥21,Ω ≤ A₁ + A₂ - (f,θ).

(34)

Используя (16) и (22), оценим множители θ_i, i = 1, 2, разность θ = θ₁ - θ₂, а также

величины A₁ и A₂ в (34).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№3

2023

ОБ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧ УПРАВЛЕНИЯ

417

Начнём с оценки множителя Лагранжа θ_i, являющегося решением задачи (32). В силу

(16) и неравенств ∥ϕ_i∥_Q ≤ ∥ϕ_i∥1,Ω, ∥τ∥Q ≤ ∥τ∥1,Ω имеем

|(ϕ_i - ϕ^di, τ)_Q| ≤ M0ϕ∥τ∥1,Ω для всех τ ∈ H¹(Ω), M0ϕ ≡ M_ϕ + max(∥ϕd1∥_Q, ∥ϕd2∥_Q).

(35)

Полагая τ = θ_i ∈ T в (32) и используя (35) и лемму 2.1, выводим оценку

∥θ_i∥1,Ω ≤ μ₀C_∗M0ϕ, i = 1, 2.

(36)

По аналогичной схеме выводится оценка для разности θ = θ₁ - θ₂, удовлетворяющей

соотношению (33). При этом для её вывода достаточно оценить правую часть (33). Используя

(3), (4), (16), (22), (36) и неравенство Гёльдера, имеем последовательно

|(ϕ, τ)_Q| ≤ ∥ϕ∥1,Ω∥τ∥1,Ω ≤ C_∗(a∥λ∥s,Ω + b∥β∥1,Ω + ∥f∥_Ω)∥τ∥1,Ω,

|(ϕ^d, τ)_Q| ≤ ∥ϕ^d∥_Q∥τ∥1,Ω,

3|(β₂ϕ(ϕ₁ + ϕ₂)τ, θ₁)| ≤ 3∥β₂∥_L6_(Ω)∥ϕ₁ + ϕ₂∥_L6_(Ω)∥ϕ∥_L6_(Ω)∥θ₁∥_L6_(Ω)∥τ∥_L6_(Ω) ≤

≤ 6C⁵⁶∥β₂∥1,Ω∥ϕ_i∥1,Ω∥θ₁∥1,Ω∥ϕ∥1,Ω∥τ∥1,Ω ≤ 6μ₀C_β C⁵⁶C2∗M_ϕM0ϕ(a∥λ∥s,Ω + b∥β∥1,Ω + ∥f∥_Ω)∥τ∥1,Ω,

3|(βϕ²¹τ, θ₁)| ≤ 3∥β∥_L6_(Ω)∥ϕ₁∥2L6(Ω)^∥θ1^∥L⁶(Ω)^∥τ∥L⁶(Ω)^≤

≤ 3C⁵⁶∥β∥1,Ω∥ϕ₁∥21,Ω∥θ₁∥1,Ω∥τ∥1,Ω ≤ 3μ₀C_∗C⁵⁶M0ϕM2ϕ∥β∥1,Ω∥τ∥1,Ω,

2|(λ₂(|ϕ₁| - |ϕ₂|)τ, θ₁)ΓN | ≤ 2γ_qC_λ∥ϕ∥_L4(ΓN )∥τ∥1,Ω∥θ1∥1,Ω ≤

≤ 2μ₀γ_qC2∗

C₄C_λM0ϕ(a∥λ∥s,Ω + b∥β∥1,Ω + ∥f∥_Ω)∥τ∥1,Ω,

|(λ∇τ, ∇θ₂)| ≤ C₀∥λ∥s,Ω∥θ₂∥1,Ω∥τ∥1,Ω ≤ μ₀C_∗C₀M0ϕ∥λ∥s,Ω∥τ∥1,Ω,

2|(λ|ϕ₁|τ, θ₁)ΓN | ≤ 2μ₀γ_qC_∗C4M0ϕMϕ∥λ∥s,Ω∥τ∥1,Ω.

Рассуждая аналогично выводу оценки (36) для решения задачи (32), заключаем, что для

(единственного) решения θ задачи (33) справедлива оценка

∥θ∥1,Ω ≤ μ₀(α₁∥λ∥s,Ω + α₂∥β∥1,Ω + α₃∥f∥_Ω + ∥ϕ^d∥_Q).

(37)

Здесь константы α₁, α₂ и α₃ определяются формулами

α₁ = C_∗a + 6C⁵⁶C_βC2∗M_ϕM0ϕa + 2γ_qC2∗

C₄C_λM0ϕa + C₀C_∗M0ϕ + 2γ_qC_∗C4M0ϕMϕ,

α₂ = C_∗b + 6C⁵⁶C_βC2∗M_ϕM0ϕb + 3C⁵⁶C_∗M0ϕM2ϕ + 2γ_qC2∗C4CλM0ϕb,

α₃ = C_∗ + 6C⁵⁶C_βC2∗μ₀M_ϕM0ϕ + 2γ_qC2∗C4CλM0ϕ.

Используя неравенства (16), (22), (36) и (37), оценим теперь слагаемые, входящие в выра-

жение для величин A₁ и A₂ в (29). Учитывая (3)-(5) и неравенство Юнга 2ab ≤ εa² + (1/ε)b²

для a ≥ 0, b ≥ 0, ε > 0, оценим каждое из пяти слагаемых, входящих в A₁ :

|3(β₂(ϕ₁ + ϕ₂)ϕ², θ₁)| ≤ 3∥β₂∥_L6_(Ω)(∥ϕ₁∥_L6_(Ω) + ∥ϕ₂∥_L6_(Ω))∥θ₁∥_L6_(Ω)∥ϕ∥2L6_(Ω) ≤

≤ 18μ₀C⁵⁶C3∗C_βM_ϕM0ϕ(a²∥λ∥2s,Ω + b²∥β∥21,Ω + ∥f∥^2Ω),

(38)

|(β₂(ϕ²¹ + ϕ₁ϕ₂ - 2ϕ²²)ϕ, θ)| ≤ 4∥β₂∥_L6_(Ω) max

∥ϕ_i∥2L6(Ω)^∥ϕ∥L⁶(Ω)^∥θ∥L⁶(Ω)^≤

i=1,2

≤ 4μ₀C⁵⁶C_βM2ϕ(a∥λ∥s,Ω + b∥β∥1,Ω + ∥f∥_Ω)(α₁∥λ∥s,Ω + α₂∥β∥1,Ω + α₃∥f∥_Ω + ∥ϕ^d∥_Q) ≤

≤ 4μ₀C_∗C⁵⁶C_β M2ϕ[(aα₁+1.5a²+α²¹)∥λ∥2s,Ω+(bα₂+1.5b²+α²²)∥β∥21,Ω+(α²³+α₃+1.5)∥f∥^2Ω+1.5∥ϕ^d∥2Q],

|(β(ϕ³¹ + ϕ³²), θ)| ≤ 2μ₀C⁵⁶M3ϕ∥β∥1,Ω(α₁∥λ∥s,Ω + α₂∥β∥1,Ω + α₃∥f∥_Ω + ∥ϕ^d∥_Q) ≤

≤ μ₀C⁵⁶M3ϕ(α²¹∥λ∥2s,Ω + 2(α₂ + 1.5)∥β∥21,Ω + α²³∥f∥^2Ω + ∥ϕ^d∥2Q),

(39)

|(βϕ(ϕ₁ϕ₂ + ϕ²² - 2ϕ²¹), θ₁)| ≤ μ₀C2∗C⁵⁶M2ϕM0ϕ∥β∥1,Ω(a∥λ∥s,Ω + b∥β∥1,Ω + ∥f∥_Ω) ≤

≤ μ₀C2∗C⁵⁶M2ϕM0ϕ(0.5a²∥λ∥2s,Ω + (b + 1)∥β∥21,Ω + 0.5∥f∥^2Ω),

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№3

2023

418

БРИЗИЦКИЙ, МАКСИМОВ

|(f, θ)| ≤ μ₀∥f∥_Ω(α₁∥λ∥s,Ω + α₂∥β∥1,Ω + α₃∥f∥_Ω + ∥ϕ^d∥_Q) ≤

≤ μ₀(0.5α²¹∥λ∥2s,Ω + 0.5α²²∥β∥21,Ω + (1.5 + α₃)∥f∥^2Ω + 0.5∥ϕ^d∥2Q).

Выражение в A₂ содержит восемь слагаемых. Сначала детально оценим первые четыре:

2|(λ₂(|ϕ₁| - |ϕ₂|)ϕ, θ₁)ΓN | ≤ 2μ₀γ_qC_∗C_λC4M0ϕ∥ϕ∥21,Ω ≤

≤ 2μ₀γ_qC_∗C_λC4M0ϕC2∗(3a2∥λ∥2s,Ω + 3b2∥β∥21,Ω + 3∥f∥2Ω),

|(λ₂((|ϕ₂| - |ϕ₁|)ϕ₁ + |ϕ₂|ϕ), θ)ΓN | ≤ 2γ_qC_λM_ϕC4∥ϕ∥1,Ω∥θ∥1,Ω ≤

≤ 2μ₀γ_qC_λM_ϕ

C₄C_∗(a∥λ∥s,Ω + b∥β∥1,Ω + ∥f∥_Ω)(α₁∥λ∥s,Ω + α₂∥β∥1,Ω + α₃∥f∥_Ω + ∥ϕ^d∥_Q) ≤

≤ 2μ₀γ_qC_λM_ϕ

C₄C_∗((aα₁ + α²¹ + 1.5a²)∥λ∥2s,Ω + (bα₂ + α²² + 1.5b²)∥β∥21,Ω +

+ (α₃ + α²³ + 1.5)∥f∥^2Ω + 1.5∥ϕ^d∥2Q),

|2(λ∇ϕ, ∇θ₂)| ≤ 2C₀∥λ∥s,Ω∥ϕ∥1,Ω∥θ₂∥1,Ω ≤ 2μ₀C₀C2∗M0ϕ(a∥λ∥s,Ω + b∥β∥1,Ω + ∥f∥_Ω)∥λ∥s,Ω ≤

≤ 2μ₀C₀C2∗M0ϕ((a + 1)∥λ∥2s,Ω + 0.5b²∥β∥21,Ω + 0.5∥f∥^2Ω),

2|(λ|ϕ₁|ϕ, θ₁)ΓN | ≤ 2μ₀γ_qC2∗

C₄M0ϕM_ϕ((a + 1)∥λ∥2s,Ω + 0.5b²∥β∥21,Ω + 0.5∥f∥^2Ω).

(40)

Рассуждая аналогично, оценим оставшиеся четыре слагаемых в A₂ :

|(λ∇ϕ₂, ∇θ)| ≤ μ₀C₀M_ϕ∥λ∥s,Ω(α₁∥λ∥s,Ω + α₂∥β∥1,Ω + α₃∥f∥_Ω + ∥ϕ^d∥_Q) ≤

≤ μ₀C₀M_ϕ[(α₁ + 1.5)∥λ∥2s,Ω + 0.5α²²∥β∥21,Ω + 0.5α²³∥f∥^2Ω + 0.5∥ϕ^d∥2Q],

3|(λ|ϕ₁|ϕ₁, θ)ΓN | ≤ 3μ₀γ_q

C₄M2ϕ[(α₁ + 1.5)∥λ∥2s,Ω + 0.5α²²∥β∥21,Ω + 0.5α²³∥f∥^2Ω + 0.5∥ϕ^d∥2Q],

|(λ∇ϕ₁, ∇θ)| ≤ μ₀C₀M_ϕ∥λ∥s,Ω(α₁∥λ∥s,Ω + α₂∥β∥1,Ω + α₃∥f∥_Ω + ∥ϕ^d∥_Q) ≤

≤ μ₀C₀M_ϕ((α₁ + 1.5)∥λ∥2s,Ω + 0.5α²²∥β∥1,Ω + 0.5α²³∥f∥_Ω + 0.5∥ϕ^d∥_Q),

|(λ(ϕ₂(|ϕ₁| - |ϕ₂|) + |ϕ₁|ϕ), θ₂)ΓN | ≤ 2μ₀γ_qC4C2∗MϕM0ϕ∥λ∥s,Ω(a∥λ∥s,Ω + b∥β∥1,Ω + ∥f∥Ω) ≤

≤ 2μ₀γ_q

C₄C2∗M_ϕM0ϕ((a + 1)∥λ∥2s,Ω + 0.5b²∥β∥21,Ω + 0.5∥f∥^2Ω).

(41)

Используя (38)-(41), выводим для величин A₁ и A₂, определённых в (29), неравенство

|A₁| + |A₂| ≤ μ₀(ω²¹∥λ∥2s,Ω + ω²²∥β∥21,Ω + ω²³∥f∥^2Ω + ω²⁴∥ϕ^d∥2Q).

(42)

Здесь положительные константы ω_i, i = 1, 4, зависящие от величин M_ϕ и M0ϕ, определяются

следующими формулами:

ω²¹ = 18C⁵⁶C3∗C_βM_ϕM0ϕa² + 4C_∗C⁵⁶C_βM2ϕ(aα₁ + 1.5a² + α²¹) + C⁵⁶M3ϕα²¹ + 0.5C2∗C⁵⁶M2ϕM0ϕa² +

+ 6γ_qC_∗C_λC4M0ϕC2∗a2 + 2γqCλMϕ

C₄C_∗(aα₁ + α²¹ + 1.5a²) + 2C₀C2∗M0ϕ(a + 1) +

+ 4γ_qC2∗

C₄M0ϕM_ϕ(a + 1) + 2C₀M_ϕ(α₁ + 1.5) + 3γ_qC4M2ϕ(α1 + 1.5) + 0.5α21,

ω²² = 18C⁵⁶C3∗C_βM_ϕM0ϕb² + 4C_∗C⁵⁶C_βM2ϕ(bα₂ + 1.5b² + α²²) + 2C⁵⁶M3ϕ(α₂ + 1.5) +

+C2∗C⁵⁶M2ϕM0ϕ(b + 1) + 6γ_qC_∗C_λC4M0ϕC2∗b2 + 2γqCλMϕ

C₄C_∗(bα₂ + α²² + 1.5b²) +

+C₀C2∗M0ϕb² + 3γ_qC2∗

C₄M0ϕM_ϕb² + C₀M_ϕα²² + 1.5γ_qC4M2ϕα22 + 0.5α22,

ω²³ = 18C⁵⁶C3∗C_βM_ϕM0ϕ + 4C_∗C⁵⁶C_βM2ϕ(α²³ + α₃ + 1.5) + C⁵⁶M3ϕα²³ + 0.5C2∗C⁵⁶M2ϕM0ϕ +

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№3

2023

ОБ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧ УПРАВЛЕНИЯ

419

+ 6γ_qC_∗C_λC4M0ϕC2∗b2 + 2γqCλMϕ

C₄C_∗(α₃ + α²³ + 1.5) + C₀C2∗M0ϕ + 2γ_qC2∗C4M0ϕMϕ +

+C₀M_ϕα²³ + 1.5γ_q

C₄M2ϕα²³ + (1.5 + α₃),

ω²⁴ = 6C_∗C⁵⁶C_βM2ϕ + C⁵⁶M3ϕ + 3γ_qC_λM_ϕ

C₄C_∗ + C₀M_ϕ + 1.5γ_qC4M2ϕ + 0.5.

(43)

Пусть исходные данные задачи (30) таковы, что выполняются условия

μ₀ω²¹ < μ₁(1 - ε₁), μ₀ω²² < μ₂(1 - ε₂),

(44)

где ε₁, ε₂ ∈ (0, 1) - произвольные числа. При выполнении (44) оценка (42) принимает вид

|A₁| + |A₂| ≤ μ₁(1 - ε₁)∥λ∥2s,Ω + μ₂(1 - ε₂)∥β∥21,Ω + μ₀(ω²³∥f∥^2Ω + ω²⁴∥ϕ^d∥2Q).

(45)

Используя (45), из неравенства (34) получаем

μ₀∥ϕ∥2Q ≤ μ₀(ϕ,ϕ^d)_Q - ε₁μ₁∥λ∥2s,Ω - ε₂μ₂∥β∥21,Ω + μ₀(ω²³∥f∥^2Ω + ω²⁴∥ϕ^d∥2Q).

(46)

Отбрасывая неположительные слагаемые -ε₁μ₁∥λ∥2s,Ω и -ε₂μ₂∥β∥21,Ω в правой части, из (46)

находим

∥ϕ∥2Q ≤ ∥ϕ∥_Q∥ϕ^d∥_Q + ω²³∥f∥^2Ω + ω²⁴∥ϕ^d∥2Q.

(47)

Неравенство (47) представляет собой квадратичное неравенство относительно ∥ϕ∥_Q. Решив

его, приходим к следующей оценке для ∥ϕ∥_Q :

∥ϕ∥_Q ≤ (ω₄ + 1)∥ϕ^d∥_Q + ω₃∥f∥_Ω.

Поскольку ϕ = ϕ₁ - ϕ₂, ϕ^d = ϕd1 - ϕd2, f = f₁ - f₂, то она эквивалентна оценке

∥ϕ₁ - ϕ₂∥_Q ≤ (ω₄ + 1)∥ϕd1 - ϕd2∥_Q + ω₃∥f₁ - f₂∥_Ω.

(48)

В случае когда Q = Ω, неравенство (48) имеет в L²(Ω) смысл оценки устойчивости компо-

ненты

ϕ решения (ϕ, û) задачи (30) относительно малых возмущений функций ϕd ∈ L2(Ω)

и f ∈ L²(Ω). При f₁ = f₂ (48) переходит в оценку

∥ϕ₁ - ϕ₂∥_Q ≤ (ω₄ + 1)∥ϕd1 - ϕd2∥_Q,

справедливую при выполнении условия (44). Если, кроме того, ϕd1 = ϕd2, то из этой оценки

следует, что ϕ₁ = ϕ₂ в Q. Это даёт вместе с (46) при μ₁ > 0 и μ₂ > 0, что λ = 0 и β = 0,

а из (22) при λ = 0, β = 0 и f = 0 тогда следует, что ϕ = 0, т.е. ϕ₁ = ϕ₂ в Ω. Последнее

означает единственность решения задачи (15) при выполнении условия (44).

В общем случае, когда f₁ = f₂, используя соотношение

∥ϕ∥_Q∥ϕ^d∥_Q ≤ ∥ϕ∥2Q + (1/4)∥ϕ^d∥2Q,

вытекающее из неравенства Юнга, из (46) получаем

ε₁μ₁∥λ∥2s,Ω + ε₂μ₂∥β∥21,Ω ≤ -μ₀∥ϕ∥2Q + μ₀(ϕ,ϕ^d)_Q + μ₀(ω²³∥f∥^2Ω + ω²⁴∥ϕ^d∥2Q) ≤

≤ (μ₀/4)∥ϕ^d∥2Q + μ₀(ω²³∥f∥^2Ω + ω²⁴∥ϕ^d∥2Q).

(49)

Из (49) вытекают оценки

√

∥λ∥s,Ω ≤

μ₀/ε₁μ₁(ω₃∥f∥_Ω + (ω₄ + 0.5)∥ϕ^d∥_Q),

√

∥β∥1,Ω ≤

μ₀/ε₂μ₂(ω₃∥f∥_Ω + (ω₄ + 0.5)∥ϕ^d∥_Q),

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№3

2023

420

БРИЗИЦКИЙ, МАКСИМОВ

которые с учётом (19) запишем в виде

√

∥λ₁ - λ₂∥s,Ω ≤

μ₀/ε₁μ₁(ω₃∥f₁ - f₂∥_Ω + (ω₄ + 0.5)∥ϕd1 - ϕd2∥_Q),

(50)

√

∥β₁ - β₂∥1,Ω ≤

μ₀/ε₂μ₂(ω₃∥f₁ - f₂∥_Ω + (ω₄ + 0.5)∥ϕd1 - ϕd2∥_Q).

(51)

Из (50), (51) и (22) следует оценка для разности ϕ₁ - ϕ₂ :

√

∥ϕ₁ - ϕ₂∥1,Ω ≤ C_∗(aω₃

μ₀/ε₁μ₁ + bω₃

μ₀/ε₂μ₂ + 1)∥f₁ - f₂∥_Ω +

√

+ C_∗(ω₄ + 0.5)(aω₃

μ₀/ε₁μ₁ + bω₃

μ₀/ε₂μ₂)∥ϕd1 - ϕd2∥_Q,

(52)

где a = C₀M_ϕ + γ_q

C₄M2ϕ, b = C⁵⁶M3ϕ.

Сформулируем полученные результаты в виде теоремы.

Теорема 4.1. Пусть выполняются условия (i) и (j), K - ограниченное множество, пара

(ϕ_i, u_i) ∈ H¹(Ω)×K является решением задачи (30), отвечающим заданным функциям ϕ^di ∈

∈ L²(Q) и f_i ∈ L²(Ω), i = 1,2, где Q ⊂ Ω - произвольное открытое ограниченное множе-

ство. Предположим, что μ₀ > 0 и выполняется условие (44). Тогда справедливы оценки (48),

(50) и (52), где ω_i, i = 1, 4, определены в (43).

Следствие. Пусть выполняются условия (i), (j), K - ограниченное множество, ϕd1 = ϕd2

в Q и f₁ = f₂ в Ω. Тогда если μ₀ > 0 и справедливо условие (44), решение (ϕ,u) ∈ H¹(Ω)×K

задачи (30) единственно.

Отметим, что устойчивость решения экстремальной задачи (30) доказана при положитель-

ных параметрах μ₁ и μ₂, удовлетворяющих условию (44). При фиксированных значениях μ₀,

μ₁ и μ₂ оно означает условие малости на исходные данные задачи (30). Таким образом, сла-

гаемые (μ₁/2)∥λ∥2s,Ω и (μ₂/2)∥β∥21,Ω в выражении (30) для минимизируемого функционала J

вносят необходимый регуляризирующий эффект.

Заключение. Доказанная локальная устойчивость (единственность) оптимальных реше-

ний задачи (30) дополняет результаты статьи [15], в которой установлена релейность опти-

мального управления β. Управление λ ввиду большей гладкости не может обладать этим

свойством. Не являясь локальным, свойство релейности устанавливается без использования

регуляризации, но, как правило, не является и строгим (см. [19]). При этом в экстремальных

задачах маскировки принцип минимакса более востребован, чем устойчивость оптимального

управления (см. [20]).

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда (проект 22-21-

00271).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ito K., Kunish K. Estimation of the convection coefficient in elliptic equations // Inverse Probl. 1997.

V. 14. P. 995-1013.

2. Nguyen P.A., Raymond J.-P. Control problems for convection-diffusion equations with control localized

on manifolds // ESAIM: Control, Optimisation and Calculus of Variations. 2001. V. 6. P. 467-488.

3. Короткий А.И., Ковтунов Д.А. Оптимальное граничное управление системой, описывающей теп-

ловую конвекцию // Тр. Ин-та математики и механ. УРО РАН. 2006. Т. 16. С. 76-101.

4. Алексеев Г.В., Соболева О.В., Терешко Д.А. Задачи идентификации для стационарной модели мас-

сопереноса // Прикл. механ. и техн. физика. 2008. № 4. С. 24-35.

5. Алексеев Г.В., Терешко Д.А. Двухпараметрические экстремальные задачи граничного управления

для стационарных уравнений тепловой конвекции // Журн. вычислит. математики и мат. физики.

2011. Т. 51. № 9. С. 1645-1664.

6. Ковтанюк А.Е., Чеботарев А.Ю. Стационарная задача свободной конвекции с радиационным теп-

лообменом // Дифференц. уравнения. 2014. Т. 50. № 12. С. 1590-1597.

7. Kovtanyuk A.E., Chebotarev A.Yu., Botkin N.D., Hoffmann K.-H. Optimal boundary control of a steady-

state heat transfer model accounting for radiative effects // J. Math. Anal. Appl. 2016. V. 439. P. 678-689.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№3

2023

ОБ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧ УПРАВЛЕНИЯ

421

8. Chebotarev A.Yu., Grenkin G.V., Kovtanyuk A.E., Botkin N.D., Hoffmann K.-H. Inverse problem with

finite overdetermination for steady-state equations of radiative heat exchange // J. Math. Anal. and

Appl. 2018. V. 460. № 2. P. 737-744.

9. Бризицкий Р.В., Сарицкая Ж.Ю. Об устойчивости решений задач управления для уравнения

конвекции-диффузии-реакции с сильной нелинейностью // Дифференц. уравнения. 2017. Т. 53.

№ 4. С. 493-504.

10. Brizitskii R.V., Saritskaya Zh.Yu. Optimization analysis of the inverse coefficient problem for the

nonlinear convection-diffusion-reaction equation // J. Inverse Ill-Posed Probl. 2018. V. 26. № 6. P. 821-

833.

11. Бризицкий Р.В., Сарицкая Ж.Ю. Обратные коэффициентные задачи для нелинейного уравнения

конвекции-диффузии-реакции // Изв. РАН. Сер. мат. 2018. Т. 82. Вып. 1. С. 17-33.

12. Барановский Е.С., Домнич А.А. О модели протекания неравномерно нагретой вязкой жидкости

через ограниченную область // Дифференц. уравнения. 2020. Т. 56. № 3. С. 317-327.

13. Baranovskii E.S. Optimal boundary control of the Boussinesq approximation for polymeric fluids // J.

of Optimization Theory and Appl. 2021. V. 189. P. 623-645.

14. Мамонтов А.Е., Прокудин Д.А. Разрешимость нестационарных уравнений трёхмерного движения

теплопроводных вязких сжимаемых двухкомпонентных жидкостей // Изв. РАН. Сер. мат. 2021.

Т. 85. № 4. С. 147-204.

15. Бризицкий Р.В., Быстрова В.С., Сарицкая Ж.Ю. Анализ краевых и экстремальных задач для

нелинейного уравнения реакции-диффузии-конвекции // Дифференц. уравнения. 2021. Т. 57. № 5.

С. 635-648.

16. Алексеев Г.В., Романов В.Г. Об одном классе нерассеивающих акустических оболочек для модели

анизотропной акустики // Сиб. журн. индустр. математики. 2011. Т. 14. № 2. С. 15-20.

17. Алексеев Г.В., Левин В.А., Терешко Д.А. Оптимизационный метод в задачах дизайна сферических

слоистых тепловых оболочек // Докл. АН СССР. 2017. Т. 476. № 5. С. 512-517.

18. Алексеев Г.В., Бризицкий Р.В. Оценки устойчивости решений задач управления для уравнений

Максвелла при смешанных граничных условиях // Дифференц. уравнения. 2013. Т. 49. № 8. С. 993-

1004.

19. Чеботарев А.Ю. Задачи оптимального управления для уравнений сложного теплообмена с френе-

левскими условиями сопряжения // Журн. вычислит. математики и мат. физики. 2022. Т. 62. № 3.

С. 381-390.

20. Alekseev G.V., Tereshko D.A. Particle swarm optimization-based algorithms for solving inverse problems

of designing thermal cloaking and shielding devices // Int. J. Heat and Mass Transfer. 2019. V. 135.

P. 1269-1277.

Институт прикладной математики

Поступила в редакцию 13.07.2022 г.

ДВО РАН, г. Владивосток,

После доработки 18.01.2023 г.

Дальневосточный федеральный университет,

Принята к публикации 20.01.2023 г.

г. Владивосток

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№3

2023