ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2023, том 59, № 4, с.456-466
УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
УДК 517.956+517.968.2
ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ПО ОПРЕДЕЛЕНИЮ
НЕИЗВЕСТНОГО КОЭФФИЦИЕНТА УРАВНЕНИЯ
КОЛЕБАНИЯ БАЛКИ В БЕСКОНЕЧНОЙ ОБЛАСТИ
© 2023 г. У. Д. Дурдиев
Для уравнения поперечных колебаний однородной балки рассматривается прямая началь-
ная задача в бесконечной области, для неё изучается обратная задача по определению за-
висящего от времени коэффициента жёсткости балки. Приводится решение прямой задачи
с помощью фундаментальных решений и доказываются существование и единственность
этого решения. Получены оценки устойчивости для решения обратной задачи. С помощью
принципа сжатых отображений Банаха доказаны теоремы существования и единственно-
сти решения обратной задачи.
DOI: 10.31857/S0374064123040039, EDN: AMTHCF
Введение. Балка - это конструктивный элемент (предназначенный для восприятия пре-
имущественно осевой нагрузки), который сопротивляется нагрузкам, приложенным сбоку к
её оси. Нагрузки, приложенные к балке, вызывают силы реакции в точках её опоры. Сум-
марный эффект всех сил, действующих на балку, заключается в создании поперечных сил
и изгибающих моментов внутри неё, которые, в свою очередь, вызывают внутренние напря-
жения, деформации и прогибы балки. Балки характеризуются способом опирания, профилем
(формой поперечного сечения), условиями равновесия, длиной и материалом.
Многие задачи о колебаниях стержней, балок и пластин имеют важные приложения в
проектировании конструкций, теории устойчивости вращающихся валов, теории колебаний
кораблей и трубопроводов и описываются дифференциальными уравнениями порядков выше
второго [1-3].
В последние годы возрос интерес к исследованию прямых и обратных задач для уравнения
колебаний балки [4-21]. В статье [7] представлен метод восстановления параметров закрепле-
ния вязкоупругого стержня с переменной жёсткостью, жёстко закреплённого на одном конце
и имеющего вязкоупругие связи на другом при известных смещениях, заданных (измерен-
ных) в двух точках. В работе [11] для уравнения поперечных колебаний однородной балки,
свободно опирающейся на концы, рассмотрена прямая начально-краевая задача и для неё
изучена обратная задача по определению зависящего от времени коэффициента жёсткости.
Численные решения краевых задач для уравнения поперечных колебаний балки приведены в
работах [22-24].
Обратные задачи - одни из самых важных, на наш взгляд, математических задач в техни-
ческих науках и математике, потому что дают возможность ввести необходимые параметры
задачи напрямую. Они имеют широкое применение в идентификации систем, оптике, акустике,
теории связи, обработке сигналов, геофизике, дистанционном зондировании, машинном обу-
чении и во многих других областях. Обратные задачи математической физики изучены для
многих классов дифференциальных уравнений. Так, например, такие задачи для простейшего
уравнения гиперболического типа изучались в монографии [25]. Методика доказательств ло-
кальных теорем существования и единственности решения, теорем единственности и условной
устойчивости для обратных динамических задач, а также численные подходы к нахождению
их решения рассмотрены в работах [26-37] (см. также библиографию в них).
В данной статье рассмотрены прямая задача для уравнения колебания бесконечной балки,
т.е. задача Коши и обратная задача по определению коэффициента, зависящего от времени
при младшем члене этого уравнения.
456
ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА
457
1. Постановка задачи. Рассмотрим бесконечную балку под действием внешней силы
G(x, t). Вынужденные изгибные поперечные колебания балки описываются уравнением чет-
вёртого порядка
ρSutt + EJuxxxx + Q(t)u = G(x, t),
где ρ - плотность балки, S - площадь поперечного сечения балки, E - модуль упругости
материала балки, J - момент инерции поперечного сечения относительно горизонтальной оси;
балка по всей длине поддерживается упругим основанием с коэффициентом жёсткости Q(t).
Разделив на ρS, запишем это уравнение в следующем в виде:
utt + a2uxxxx + q(t)u(x,t) = f(x,t),
(1)
где a2 = EJ/(ρS), q(t) = Q(t)/(ρS) и f(x, t) = G(x, t)/(ρS). Уравнение (1) рассмотрим в
полуплоскости D = {(x, t) : -∞ < x < +∞, t > 0} вместе с начальными условиями
u(x, 0) = ϕ(x), ut(x, 0) = ψ(x), x ∈ R.
(2)
Прямая задача. Найти функцию u(x, t), удовлетворяющую (1), (2) и условию
u(x, t) ∈ C4,2x,t(D)
⋂C1t(D⋃{t = 0})⋂ C(D).
(3)
При этом функции q(t), f(x, t), ϕ(x), ψ(x) считаются заданными и достаточно гладкими.
Обратная задача. Найти коэффициент q(t), если решение задачи Коши (1)-(3) удовле-
творяет условию
u(0, t) = g(t),
(4)
где g(t) - заданная достаточно гладкая функция, кроме того, |g(t)| ≥ g0 > 0.
Пусть функция u(x, t) - решение задачи Коши (1)-(3). Преобразуем обратную задачу (1)-
(4). Для этого обозначим четвёртую производную u(x, t) по переменной x через v(x, t), т.е.
v(x, t) := uxxxx(x, t). Продифференцировав (1) и (2) четырежды по x, имеем
vtt + a2vxxxx + q(t)v = fxxxx(x,t), x ∈ R, t > 0,
(5)
v|t=0 = ϕ(4)(x), vt|t=0 = ψ(4)(x), x ∈ R.
(6)
Для того чтобы найти дополнительное условие для функции v(x, t), положим x = 0 в (1)
и, используя равенства (3) и (4), получим
1
v|x=0 =
[f(0, t) - q(t)g(t) - g′′(t)], t > 0.
(7)
a2
Через DT := {(x, t) : x ∈ R,
0 < t < T} обозначим полосу толщины T, где T > 0 -
произвольное фиксированное число.
Замечание. Пусть функции ϕ(x), ψ(x) ∈ C(4)b(R), f(x, t) ∈ C(4)b(DT ), где C(4)b - класс
ограниченных функций с точностью до производных четвёртого порядка, и верны следующие
условия:
∂(i)u
∂(i)ut
(0, 0) = ϕ(i)(0),
(0, 0) = ψ(i)(0), i = 1, 4.
∂x
∂x
Тогда из (5)-(7) можно вывести задачу (1)-(4).
2. Исследование прямой задачи. Воспользуемся результатами работы [6], в которой
решение задачи
utt + a2uxxxx = 0, x ∈ R, t > 0,
u(x, 0) = ϕ(x), ut(x, 0) = ψ(x), x ∈ R,
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№4
2023
458
ДУРДИЕВ
построено с помощью фундаментальных решений в виде
∫∞
∫
∞
u(x, t) =
ϕ(ξ)G1(x, t, ξ) dξ +
ψ(ξ)G2(x, t, ξ) dξ,
(8)
−∞
-∞
где
]
∫
∞
2
1
[ (ξ - x)
π
1
1
G1(x,t,ξ) =
√
sin
+
,
G2(x,t,ξ) =
sin(aλ2t)cos(λ(ξ - x))dλ.
2
πat
4at
4
πa
λ2
-∞
В статье [6] показано, что функции Gi(x, t, ξ), i = 1, 2, удовлетворяют следующим усло-
виям:
(A1) G1(x, t, ξ) ∈ C∞(D);
(A2) G2(x, t, ξ) ∈ C∞(D);
(B1) lim
G1(x,t,ξ) = ∞;
t→+0
(B2) lim
G2(x,t,ξ) = 1;
t→+0
∫∞
(C1)
G1(x,t,ξ)dξ = 1;
-∞∫
∂G2(x,t,ξ)
(C2)
dξ = 1;
∂t
-∞∫
(C3)
G2(x,t,ξ)dξ = 2t.
-∞
Фактически функция G1(x, t, ξ) является частной производной от G2(x, t, ξ) по перемен-
ной t, т.е. ∂G2(x, t, ξ)/∂t = G1(x, t, ξ).
В уравнении (5), перенося слагаемое q(t)v(x,t) в правую часть, введём обозначение
F (x, t) ≡ fxxxx(x, t) - q(t)v(x, t).
При F (x, t) = 0 воспользуемся принципом Дюамеля и с учётом (8) для решения прямой
задачи (5), (6) получим интегральное уравнение
∫t
∫
∞
v(x, t) = v0(x, t) -
q(τ)v(ξ, τ)G2(x, t - τ, ξ) dξ dτ,
(9)
0 -∞
где
∫∞
∫
∞
v0(x,t) =
ϕ(4)(ξ)G1(x, t, ξ) dξ +
ψ(4)(ξ)G2(x,t,ξ)dξ +
−∞
-∞
∞
∫t
∫
+
fξξξξ(ξ,τ)G2(x,t - τ,ξ)dξ dτ.
(10)
0 -∞
Пусть Cm(R) - класс m раз непрерывно дифференцируемых и ограниченных в R функ-
ций, а Cm,kx,t(DT ) - класс m раз по x и k раз по t непрерывно дифференцируемых и огра-
ниченных при каждом фиксированном t ∈ [0, T ] в области DT функций.
Справедлива следующая
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№4
2023
ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА
459
Лемма. Если q(t) ∈ C[0, T ], f(x, t) ∈ C6,0x,t(DT ), ϕ(x) ∈ C8(R), ψ(x) ∈ C6(R), кроме
того, функции ϕ(8)(x), ϕ(6)(x), ψ(6)(x), ∂6f(x,t)/∂x6, ϕ(4)(x), ψ(4)(x), fxxxx(t), x4ϕ(4)(x),
x4ψ(4)(x), x4fxxxx(t), x8ψ(4)(x) и x8fxxxx(t) абсолютно интегрируемы на R, то существу-
ет единственное классическое решение интегрального уравнения (9) такое, что v(x,t) ∈
∈ C4,2x,t(DT ).
Доказательство. Воспользуемся методом последовательных приближений и рассмотрим
последовательность функций, определённых формулами
∫t
∫
∞
vn(x,t) = -
q(τ)vn-1(ξ, τ)G2(x, t - τ, ξ) dξ dτ, n = 1, 2, . . . ,
(11)
0 -∞
где v0(x, t) определена в (10).
Положим ϕ0 = sup|ϕ(4)(x)|, ψ0 = sup|ψ(4)(x)|, q0 = max
|q(t)|, f1
= max
|f0(t)|, где
x∈R
x∈R
0<t≤T
0<t≤T
f0(t) = sup|fxxxx(x,t)|. Используя (11) и условия (C1), (C3), оценим vn(x,t) в области DT
x∈R
следующим образом:
∫
t
t2
|v0(x, t)| ≤ ϕ0 + 2T ψ0 + T2∥f0∥ =: λ0,
|v1(x, t)| ≤ λ0q0
2(t - τ) dτ = 2λ0q0
,
2!
0
t
∫
t4
|v2(x, t)| ≤ λ0q20
2(t - τ)τ2 dτ = 22λ0q2
,
0 4!
0
Таким образом, для всех n ∈ N
⋃ {0} получим оценки
2n
t
|vn(x, t)| ≤ λ0(2q0)n
,
(2n)!
из которых следует, что ряд
∑
v(x, t) =
vn(x,t)
n=0
сходится равномерно в области DT , так как его можно мажорировать в DT с помощью
сходящегося числового ряда
∑
(2q0T2)n
λ0
,
(2n)!
n=0
а значит, имеет место следующая оценка решения интегрального уравнения (9):
∑
√
(2q0T2)n
|v(x, t)| ≤ λ0
= λ0 ch(
2q0T ), (x, t) ∈ DT .
(12)
(2n)!
n=0
Теперь докажем, что решение интегрального уравнения (9) действительно является клас-
сическим решением задачи (1)-(3). Сначала проверим выполнение начальных условий.
Отметим, что при t → +0 и выполнении условий (A1)-(C3) интегралы в правой части
√
(10) расходятся. Введём обозначение η ≡ (ξ - x)/2
at и преобразуем эти интегралы. Если
функция ϕ(4)(x) абсолютно интегрируема на R, то несобственные интегралы в правой части
(10) сходятся равномерно при t ≥ 0 и x ∈ R. Тогда, переходя к пределу при t → +0, в силу
равенства
∫
∞
(
)
1
π
dη = 1
√πsinη2 +
4
-∞
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№4
2023
460
ДУРДИЕВ
получим
lim v(x, t) = ϕ(4)(x).
t→+0
Для доказательства выполнения второго начального условия найдём частную производную
по t от функции (9):
∫
∞
(
)
∫
∞
∂v0(x,t)
√a
√
π
=
ϕ(5)(x + 2η
at)η sin η2 +
dη + ψ(4)(ξ)G1(x, t, ξ) dt -
∂t
πt
4
−∞
-∞
∞
∫t
∫
-
fξξξξ(ξ,τ)G1(x,t - τ,ξ)dξ dτ.
0 -∞
Отсюда и из приведённых выше рассуждений получим
(
)
]
∂v0(x,t)
√a[
1
π
√
∞
=
-
cos η2 +
ϕ(5)(x + 2η
at)
+
∂t
πt
2
4
-∞
∞
∞
t
∞
∫
(
)
∫
∫
∫
a
√
π
+
at) cos η2 +
dη+ ψ(4)(ξ)G1(x, t, ξ) dt-
fξξξξ(ξ,τ)G1(x,t-τ,ξ)dξ dτ.
√πϕ(6)(x+2η
4
−∞
-∞
0 -∞
Если ϕ(5)(±∞) = 0, то
∫
∞
(
)
∂v0(x,t)
a
√
π
=
at) cos η2 +
dη +
∂t
√πϕ(6)(x+2η
4
−∞
t
∞
∫∞
∫
∫
+ ψ(4)(ξ)G1(x,t,ξ)dt -
fξξξξ(ξ,τ)G1(x,t - τ,ξ)dξ dτ.
-∞
0 -∞
Если функции ϕ(6)(x) и ψ(4)(x) абсолютно интегрируемы на R, то, переходя к пределу при
t → +0, в силу равенства
∫
∞
(
)
1
π
dx = 0
√πcosx2 +
4
-∞
находим
∂v(x,t)
lim
= ψ(4)(x).
t→+0
∂t
Если докажем, что функция v0(x, t), определяемая формулой (10), будет из класса (3),
то в силу (11) легко видеть, что все функции vn(x, t) будут принадлежать тому же классу.
Тогда из общей теории интегральных уравнений следует, что v(x, t) ∈ C4,2x,t(D)
⋂C1t(D⋃ {t =
= 0})
⋂C(D), т.е. функция v(x,t) является классическим решением задачи Коши (5), (6).
С этой целью вычислим производную
√
∞
∫
(
)
∂2v0(x,t)
a3
√
π
=
ϕ(7)(x + 2η
at)η cos η2 +
dη +
∂t2
πt
4
−∞
∫
∞
(
)
√a
√
π
+
ψ(5)(x + 2η
at)η sin η2 +
dη +
πt
4
−∞
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№4
2023
ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА
461
√
∫
t
∫
∞
(
)
√
a
π
+ fxxxx(x,t) -
fξξξξξ(x + 2ζ
a(t - τ), τ)ζ sin ζ2 +
dζ dτ =
π(t - τ)
4
0 -∞
√
[
(
)
]
∫
∞
(
)
3
√
∞
√
a
1
π
a2
π
=
sin η2 +
ϕ(7)(x + 2η
at)
+
at) sin η2 +
dη +
πt
2
4
√πϕ(8)(x+2η
4
-∞
−∞
√
[
(
)
]
∫
∞
(
)
a
1
π
√
∞
a
√
π
+
-
cos η2 +
ψ(5)(x + 2η
at)
-
at) cos η2 +
dη +
πt
2
4
√πψ(6)(x+2η
4
-∞
−∞
√
∫
t
{[
(
)
]
√
∞
a
1
π
+ fxxxx(x,t) +
-
cos ζ2 +
fξξξξξ(x + 2ζ
a(t - τ), τ)
+
π(t - τ)
2
4
-∞
0
∫
∞
(
)
}
√
√
π
+
a(t - τ)
fξξξξξξ(x + 2ζ
a(t - τ), τ) cos ζ2 +
dζ dξ.
4
−∞
Если ϕ(7)(±∞) = 0, ψ(5)(±∞) = 0 и fxxxxx(±∞, t) = 0, то получим выражение
∫
∞
(
)
∫
∞
(
)
∂2v0(x,t)
a2
√
π
a
√
π
=
at) sin η2 +
dη -
at) cos η2 +
dη +
∂t2
√πϕ(8)(x+2η
4
√πψ(6)(x+2η
4
−∞
-∞
∫
t
∫
∞
(
)
a
√
π
+ fxxxx(x,t) +
fξξξξξξ(x + 2ζ
a(t - τ), τ) cos ζ2 +
dζ dξ.
(13)
√π
4
0 -∞
Далее аналогично вычисляется ∂4v0(x, t)/∂x4.
Таким образом, если функции ϕ(8)(x), ψ(6)(x) и ∂6f(x, t)/∂x6 абсолютно интегрируемы
на R, то несобственные интегралы в (13) сходятся равномерно при всех x ∈ R и t ≥ 0. И если
функции ϕ(4)(x), ψ(4)(x), fxxxx(t), x4ϕ(4)(x), x4ψ(4)(x), x4fxxxx(t), x8ψ(4)(x) и x8fxxxx(t)
абсолютно интегрируемы на R, то несобственные интегралы в ∂4v0(x, t)/∂x4 также сходятся
равномерно при всех x ∈ R и t ≥ 0. Лемма доказана.
Теперь оценим норму разности между решением исходного интегрального уравнения (9) и
решением этого же уравнения с возмущёнными функциями q,
fxxxx,
ϕ(4) и
ψ(4), определя-
ющими v(x, t):
∫t
∫
∞
v(x, t) = v0(x, t) -
q(τ)v(ξ, τ)G2(x, t - τ, ξ) dξ dτ,
(14)
0 -∞
где
∞
∫∞
∫
v0(x,t) =
ϕ(4)(ξ)G1(x, t, ξ) dξ +
ψ(4)(ξ)G2(x,t,ξ)dξ +
−∞
-∞
∞
∫t
∫
+
fξξξξ(ξ,τ)G2(x,t - τ,ξ)dξ dτ.
(15)
0 -∞
Тогда для v - v с помощью (9) и (14) получим линейное интегральное уравнение
∫t
∫
∞
v(x, t) - v(x, t) = v0(x, t) - v0(x, t) -
(q(τ) - q(τ))v(ξ, τ)G2(x, t - τ, ξ) dξ dτ -
0 -∞
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№4
2023
462
ДУРДИЕВ
∫t
∫
∞
-
(v(ξ, τ) - v(ξ, τ))q(τ)G2(x, t - τ, ξ) dξ dτ,
0 -∞
откуда выводится следующее неравенство:
√
|v(x, t) - v(x, t)| ≤ |v0(x, t) - v0(x, t)| + λ0 ch (
2q0T )∥q - q∥ +
∫t
∫
∞
+q0
|(v(ξ, τ) - v(ξ, τ))||G2(x, t - τ, ξ)| dξ dτ,
(16)
0 -∞
где
q0 = max |q0(t)|. Из равенств (10) и (15) следует оценка
t∈[0,T ]
2
T
|v0(x, t) - v0(x, t)| ≤ ∥ϕ(4) -
ϕ(4)∥ + 2T ∥ψ(4)
ψ(4)∥ +
∥fxxxx
fxxxx∥
2
или
|v(x, t) - v(x, t)|0 ≤ σ(∥ϕ(4) -
ϕ(4)∥ + ∥ψ(4)
ψ(4)∥ + ∥fxxxx
fxxxx∥ + ∥q - q∥),
где σ = max{1, q0, 2T, T2/2, λ0 ch (√2q0T )}.
Применив метод последовательных приближений к неравенству (16)
∫t
∫
∞
|v(x, t) - v(x, t)|n ≤ q0
|v(ξ, τ) - v(ξ, τ)||G2(x, t - τ, ξ)| dξ dτ, n ∈ N,
0 -∞
получим оценку
√
|v(x, t) - v(x, t)| ≤ σλ0 ch (
2q0T )(∥ϕ(4) -
ϕ(4)∥ + ∥ψ(4)
ψ(4)∥+∥fxxxx
fxxxx∥+∥q - q∥), (17)
которая будет использована в следующем пункте. Неравенство (17) является оценкой устой-
чивости решения задачи Коши (5), (6), единственность которого также следует из (17).
3. Исследование обратной задачи (5)-(7). Положив в (9) x = 0 и использовав допол-
нительное условие (7), после несложных преобразований получим следующее интегральное
уравнение для определения q(t):
∫
t
∫
∞
2
a
q(t) = q0(t) +
q(τ)v(ξ, τ)G2(x, t - τ, ξ) dξ dτ,
(18)
g(t)
0 -∞
где
[
∫
∞
1
q0(t) =
f (0, t) - g′′(t) - a2
ϕ(4)(ξ)G1(x, t - τ, ξ) dξ -
g(t)
-∞
∫∞
∫
t
∫
∞
]
-a2
ψ(4)(ξ)G2(x, t - τ, ξ) dξ - a2
fξξξξ(ξ,τ)G2(x,t - τ,ξ)dξ dτ
−∞
0 -∞
Решение интегрального уравнения (9) зависит от функции q, т.е. v = v(x, t; q).
Введём оператор A, определяя его правой частью (18):
∫
t
∫
∞
2
a
A[q](t) = q0(t) +
q(τ)v(ξ, τ; q)G2(x, t - τ, ξ) dξ dτ.
(19)
g(t)
0 -∞
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№4
2023
ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА
463
Тогда уравнение (18) запишется в виде
q(t) = A[q](t).
(20)
Пусть ∥q00∥ = max
|q0(t)|. Зафиксируем число ρ > 0 и рассмотрим шар
0<t≤T
BT (q0,ρ) := {q(t) : q(t) ∈ C[0,T],
∥q - q0∥ ≤ ρ}.
Теорема 1. Если выполнены условия леммы, g(t) ∈ C2[0, T ], ∥g(t)∥ ≥ g0 > 0, ϕ(0) = g(0)
и ψ(0) = g′(0), то существует такое число T∗ ∈ (0,T], что обратная задача (1)-(4) имеет
единственное решение q(t) ∈ [0,T∗] .
Доказательство. Докажем сначала, что для достаточно малого T > 0 оператор A пе-
реводит шар BT (q0, ρ) в себя, т.е. из условия q(t) ∈ BT (q0, ρ) следует, что A[q](t) ∈ BT (q0, ρ).
Действительно, для любой функции q(t) ∈ C[0, T ] функция A[q](t), определяемая форму-
лой (19), принадлежит классу C[0, T ]. Более того, оценивая норму разностей, находим, что
2
√
a2λ0q0T
∥A[q] - q0∥ ≤
ch (
2q0T ).
g0
Здесь мы воспользовались оценкой (12). Заметим, что функция, стоящая в правой части этого
неравенства, монотонно возрастает с увеличением T, а из того что функция q(t) принадлежит
шару BT (q0, ρ) следует неравенство
q0 ≤ ρ + q00.
(21)
Следовательно, мы только усилим неравенство, если заменим q0 в этом соотношении выра-
жением ρ + q00. Выполнив эту замену, получим оценку
2
√
a2λ0(ρ + q00)T
∥A[q] - q0∥ ≤
ch (
2(ρ + q00)T ).
g0
Пусть T1 - положительный корень уравнения
2
√
a2λ0(ρ + q00)T
R1(T) =
ch (
2(ρ + q00)T ) = ρ.
g0
Тогда для T ∈ [0, T1] имеем A[q](t) ∈ BT (q0, ρ).
Теперь рассмотрим две функции q(t) и q(t), принадлежащие шару BT (q0, ρ), и оценим
расстояние между их образами A[q](t) и A[q](t) в пространстве C[0, T ]. Функция
v(x, t),
соответствующая
q(t), удовлетворяет интегральному уравнению (14) с функциями ϕ(4) =
=
ϕ(4) и fxxxx
fxxxx. Составим разность A[q](t) - A[q](t) с помощью уравнений (9), (14) и
оценим её норму
2
a2T
∥A[q](t) - A[q(t)]∥ ≤
[∥v∥∥q - q∥ + ∥q∥∥v - v∥].
2g0
Используя оценки (12) и (17) с ϕ(4) =
ϕ(4) и fxxxx
fxxxx, запишем последнее неравенство
в виде
2
√
a2T
∥A[q](t) - A[q(t)]∥ ≤
λ0 ch (
2q0T )(1 + σq0)∥q - q∥.
(22)
2g0
Функции q(t) и
q(t) принадлежат шару BT (q0, ρ), поэтому для каждой из них выпол-
няется неравенство (21). Отметим, что функции в правой части (22) при множителе ∥q - q∥
монотонно возрастают с увеличением ∥q∥,
∥q∥ и T.
Следовательно, замена ∥q∥ и ∥q∥ в неравенстве (22) (в том числе в σ) на ρ + q00 только
усилит его. Таким образом, имеем
2
√
a2T
∥A[q](t) - A[q(t)]∥ ≤
λ0 ch (
2(ρ + q00)T )(1 + σ(ρ + q00))∥q - q∥.
2g0
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№4
2023
464
ДУРДИЕВ
Пусть T2 - положительный корень уравнения
2
√
a2T
R2(T) =
λ0 ch (
2(ρ + q00)T )(1 + σ(ρ + q00)) = 1.
2g0
Тогда для T ∈ [0, T2] расстояние между функциями A[q](t) и A[q](t) в пространстве C[0, T ]
не превышает расстояния между функциями q(t) и q(t), умноженного на R2(T ) < 1. Следо-
вательно, если выбрать T∗ = min(T1, T2), то оператор A будет сжимающим в шаре BT (q0, ρ).
Следовательно, согласно теореме Банаха, оператор A имеет единственную неподвижную точ-
ку в шаре BT (q0, ρ), т.е. существует единственное решение уравнения (20). Теорема доказана.
Пусть T - произвольное положительное фиксированное число. Рассмотрим множество
Ω(δ0) (δ0 > 0 - некоторое фиксированное число) заданных функций f, ϕ, ψ, g, для ко-
торых выполнены все условия теоремы 1 и
max{∥f∥C6,0
, ∥ϕ∥C8(R), ∥ψ∥C6(R), ∥g∥C2[0,T]} ≤ δ0.
(DT )
x,t
Через Q(δ1) обозначим класс функций q(t) ∈ C[0, T ], удовлетворяющих неравенству ∥q∥ ≤ δ1
с некоторым фиксированным положительным числом δ1.
Теорема 2. Пусть функции f, ϕ, ψ, g
f
ϕ
ψ, g ∈ Ω(δ0) и q, q ∈ Q(δ1). Тогда для решения
обратной задачи справедлива следующая оценка устойчивости:
∥q - q∥ ≤ c(∥f
f∥C6,0
+ ∥ϕ -
ϕ∥C8(R) + ∥ψ
ψ∥C6(R) + ∥g - g∥C2[0,T]),
(23)
x,t
(DT )
где постоянная c зависит только от T, δ0 и δ1 .
Доказательство. Используя (18), запишем уравнение для q(t) и составим разность q(t)-
- q(t). Оценивая это выражение с учётом неравенств (12) и (17), получаем
|q - q|(t) ≤ c0(∥f
f∥C6,0
+ ∥ϕ -
ϕ∥C8(R) + ∥ψ
ψ∥C6(R) + ∥g - g∥C2[0,T]) +
x,t
(DT )
∫t
+c1
|q - q|(τ) dτ, t ∈ [0, T ],
(24)
0
где c0 и c1 зависят от тех же констант, что и c. Из (24), используя неравенство Гронуолла,
получаем неравенство
|q - q|(t) ≤ c0 exp(c1T )(∥f
f∥C6,0
+ ∥ϕ -
(DT )
ϕ∥C8(R) + ∥ψ
ψ∥C6(R) +∥g - g∥C2[0,T]), t ∈ [0,T],
x,t
откуда следует оценка (23), если положить c = c0 exp(c1T ). Теорема доказана.
Из теоремы 2 следует теорема единственности для любого T > 0.
Теорема 3. Пусть функции q, f, ϕ, ψ, g и q,
f,
ϕ,
ψ,
g имеют тот же смысл,
что и в теореме 1, причём если q = q, f
f, ϕ =
ϕ, ψ
ψ, g = g для (x,t) ∈ DT , то
q(t) = q(t), t > 0.
Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства науки и высшего образования
Российской Федерации (Соглашение № 075-02-2023-939).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Strutt J., Baron Rayleigh. The Theory of Sound. London, 1877.
2. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. M., 1966.
3. Крылов А.Н. Вибрация судов. M., 2012.
4. Ascanelli A., Cicognani M., Colombini F. The global Cauchy problem for a vibrating beam equation
// J. Differ. Equat. 2009. V. 47. P. 1440-1451.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№4
2023
ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА
465
5. Сабитов К.Б. К теории начально-граничных задач для уравнения стержней и балок // Дифференц.
уравнения. 2017. Т. 53. № 1. С. 89-100.
6. Сабитов К.Б. Начальная задача для уравнения колебаний балки // Дифференц. уравнения. 2017.
Т. 53. № 5. С. 665-671.
7. Ватульян А.О., Васильев Л.В. Об определении параметров закрепления неоднородной балки при
наличии затухания // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2016.
T. 16. № 4. С. 449-456.
8. Ахтямов А.М., Ильгямов М.А. Модель изгиба балки с надрезом: прямая и обратная задачи
// Прикл. механика и техн. физика. 2013. Т. 54. № 1. С. 152-162.
9. Ватулян А.М., Бурьян А.Ю., Осипов А.В. Об идентификации переменной жёсткости при анализе
поперечных колебаний балки // Вестн. Донского гос. техн. ун-та. 2010. Т. 10. № 6. С. 825-833.
10. Loktionov A.P. Inverse Cauchy problem for beams in building structures // Building and Reconstruction.
2022. V. 2. P. 13-25.
11. Дурдиев У.Д. Обратная задача по определению неизвестного коэффициента в уравнении колебания
балки // Дифференц. уравнения. 2022. Т. 58. № 1. С. 37-44.
12. Сабитов К.Б. Начально-граничные задачи для уравнения колебаний балки с учётом её вращатель-
ного движения при изгибе // Дифференц. уравнения. 2021. Т. 57. № 3. P. 364-374.
13. Сабитов К.Б., Фадеева О.В. Начально-граничная задача для уравнения вынужденных колебаний
консольной балки // Вестн. Самарского гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2021. Т. 25. № 1.
С. 51-66.
14. Marinov T.T., Vatsala A.S. Inverse problem for coefficient identification in the Euler-Bernoulli equation
// Comput. and Math. with Appl. 2008. V. 56. P. 400-410.
15. Artur Maciag, Anna Pawinska. Solution of the direct and inverse problems for beam // Comp. Appl.
Math. 2016. V. 35. P. 187-201.
16. Maciag A., Pawinska A. Solving direct and inverse problems of plate vibration by using the trefftz
functions // J. of Theoretical and Appl. Mechanics. 2013. V. 51. № 3. P. 543-552.
17. Guojin Tan, Jinghui Shan, Chunli Wu, Wensheng Wang. Direct and inverse problems on free vibration of
cracked multiple I-section beam with different boundary conditions // Adv. in Mech. Engin. 2017. V. 9.
№ 11. P. 1-17.
18. Moaveni S., Hyde R. Reconstruction of the area-moment-of-inertia of a beam using a shifting load and
the end-slope data // Inverse Problems in Science and Engineering. 2016. V. 24. № 6. P. 990-1010.
19. Jin-De Chang, Bao-Zhu Guo. Identification of variable spacial coefficients for a beam equation from
boundary measurements // Automatica. 2007. V. 43. P. 732-737.
20. Cheng-Hung Huang, Chih-Chun Shih. An inverse problem in estimating simultaneously the time-
dependent applied force and moment of an Euler-Bernoulli beam // CMES. 2007. V. 21. № 3. P. 239-254.
21. Hiroaki Katori. Inverse problems for an Euler-Bernoulli beam: identification of bending rigidity and
external loads // World J. of Mechanics. 2018. V. 8. P. 192-199.
22. Карчевский А.Л. Аналитические решения дифференциального уравнения поперечных колебаний
кусочно-однородной балки в частотной области для краевых условий любого вида // Сиб. журн.
индустр. математики. 2020. Т. 23. № 4. С. 48-68.
23. Доев В.С. Поперечные колебания балок. М., 2016.
24. Baysal O., Hasanov A. Solvability of the clamped Euler-Bernoulli beam equation // Appl. Math. Lett.
2019. V. 93. P. 85-90.
25. Романов В.Г. Обратные задачи математической физики. М., 1984.
26. Дурдиев Д.К., Тотиева Ж.Д. Задача об определении одномерного ядра уравнения электровязко-
упругости // Сиб. мат. журн. 2017. Т. 58. № 3. С. 553-572.
27. Дурдиев Д.К., Рахмонов А.А. Задача об определении двумерного ядра в системе интегродиффе-
ренциальных уравнений вязкоупругой пористой среды // Сиб. журн. индустр. математики. 2020.
Т. 23. № 2. С. 63-80.
28. Durdiev D., Rahmonov A. A multidimensional diffusion coefficient determination problem for the time-
frectinal equation // Turkish J. of Math. 2022. V. 46. № 6. P. 2250-2263.
29. Карчевский А.Л., Фатьянов А.Г. Численное решение обратной задачи для системы упругости с
последействием для вертикально неоднородной среды // Сиб. журн. вычисл. математики. 2001.
Т. 4. № 3. С. 259-268.
30. Карчевский А.Л. Определение возможности горного удара в угольном пласте // Сиб. журн. ин-
дустр. математики. 2017. Т. 20. № 4. С. 35-43.
31. Дурдиев У.Д. Численное определение зависимости диэлектрической проницаемости слоистой среды
от временной частоты // Сиб. электрон. мат. изв. 2020. Т. 17. C. 179-189.
3
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№4
2023
466
ДУРДИЕВ
32. Дурдиев У.Д. Задача об определении коэффициента реакции в дробном уравнении диффузии
// Дифференц. уравнения. 2021. Т. 57. № 9. С. 1220-1229.
33. Дурдиев У.Д. Обратная задача для системы уравнений вязкоупругости в однородных анизотропных
средах // Сиб. журн. индустр. математики. 2019. Т. 22. № 4. С. 26-32.
34. Durdiev U.D. A problem of identification of a special 2D memory kernel in an integro-differential
hyperbolic equation // Eurasian J. of Math. and Comput. Appl. 2019. V. 7. № 2. P. 4-19.
35. Durdiev U.D., Totieva Zh.D. A problem of determining a special spatial part of 3D memory kernel
in an integro-differential hyperbolic equation // Math. Methods in the Appl. Sci. 2019. V. 42. № 18.
P. 7440-7451.
36. Durdiev D.K., Zhumaev Zh.Zh. Memory kernel reconstruction problems in the integro-differential
equation of rigid heat conductor // Math. Methods in the Appl. Sci. 2022. V. 45. № 14. P. 8374-8388.
37. Durdiev D.K., Zhumaev Zh.Zh. One-dimensional inverse problems of finding the kernel of integrodif-
ferential heat equation in a bounded domain // Ukr. Math. J. 2022. V. 73. № 11. P. 1723-1740.
Бухарский государственный университет,
Поступила в редакцию 08.12.2022 г.
Узбекистан,
После доработки 27.02.2023 г.
Бухарское отделение Института математики
Принята к публикации 22.03.2023 г.
имени В.И. Романовского, Узбекистан
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№4
2023
