ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2023, том 59, № 4, с. 483-493

УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

УДК 517.956.22

ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ДИРИХЛЕ

ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА С СИНГУЛЯРНЫМ

Δ_B-ОПЕРАТОРОМ КИПРИЯНОВА

С. А. Рощупкин, Е. Л. Санина

Функции, удовлетворяющие уравнению Лапласа для Δ_B -оператора Киприянова, называ-

ются K-гармоническими. В работе приведены и доказаны следующие свойства K-гармо-

нических функций: интегральное представление типа Грина C²-функций, теорема о сфе-

рическом среднем, принцип максимума. В качестве следствия доказана единственность

решения внутренней и внешней задач Дирихле.

DOI: 10.31857/S0374064123040052, EDN: ANDKDD

1. Основные обозначения и определения. Через R_n будем обозначать евклидово

пространство точек x = (x₁, . . . , x_n), а через R+n - n-полупространство, определённое нера-

венствами x_i > 0, i = 1, n. Пусть мультииндекс -γ = (-γ₁, . . . , -γ_n) имеет фиксированные

отрицательные параметры: -1 < -γ_i < 0. Сингулярный дифференциальный оператор

(

)

∑

∂²

γ_i

∂

ΔB-γ =

B-γi , B-γi =

=xγi

x-γi

γ_i > 0,

∂x2i

x_i ∂x_i

∂x_i

i=1

называется оператором Киприянова [1]. Данный оператор целесообразно применять к функ-

циям, чётным по каждой координате своего аргумента, так как в этом случае существует



1 ∂u

∂²u(x)

lim



x_i→0 x_i ∂x_i

∂x2i

x_i=0

Пусть Ω⁺ ⊂ R+n. Учитывая особенность операторов Бесселя, будем полагать, что область

Ω⁺ прилегает к сингулярным координатным гиперплоскостям x_i = 0, i = 1,n, операто-

ра Δ_B. Тогда граница области Ω⁺ состоит из двух частей: Γ⁺ ∈ R+n и Γ⁰ ∈ Rⁿ. Область Ω =

=Ω⁺

^⋃Ω^- получена объединением Ω⁺ со своими зеркальными отражениями от координат-

ных гиперплоскостей x_i = 0. Граница Γ области Ω предполагается гладкой в окрестности

^⋂Γ⁰ (условие гладкости границы И.А. Киприянова [2, § 3.1]). Это условие также предпола-

гает, что рассматриваемые функции в области Ω⁺ должны иметь гладкое чётное продолжение

через границу Γ⁰ по отношению к каждой координате x_i. В связи с этим вводим следующее

Определение 1. Функцию f = f(x), определённую в m-полупространстве R+m ⊂ R_n

(m ≤ n), будем называть m-чётной (по Киприянову), если она допускает чётное продолжение

по каждой из координат x_i ∈ R+m, i = 1, m, своего аргумента с сохранением класса функций

своей принадлежности.

В частности, если u ∈ C^k(x_i∈[0, ∞)), то u - i-чётная функция, если все её производные по

x_i, i = 1,n, нечётного порядка ℓ ≤ k равны нулю при x_i = +0. Такое определение чётности

введено в монографии [2, с. 21]. Функции, удовлетворяющие определению 1, принято называть

чётными по Kиприянову.

Из определения 1 вытекает, что каждую из областей Ω⁺ и Ω^-, как правило, удобно счи-

тать частично замкнутыми, т.е. считать границу Γ⁰ границей симметрии, и поэтому полагаем

Ω⁺ = Ω⁺

^⋃Γ⁰ и Ω^- = Ω- ⋃Γ⁰. Точки, принадлежащие Ω⁺ = Ω+ ⋃Γ⁰ или Ω^- = Ω- ⋃Γ⁰,

483

4^∗

484

ЛЯХОВ и др.

будем называть s-внутренними. Аналогично подобласть Ω+∗ = Ω+∗

^⋃Γ0∗ области Ω⁺, имею-

щую общую границу Γ0∗ ⊂ Γ⁰, будем называть s-подобластью области Ω⁺. Это же касается

и соответствующей подобласти области Ω^-.

Заметим также, что гладкость границы Γ области Ω = Ω⁺

^⋃Ω^- в окрестности сингуляр-

ных гиперплоскостей x_i = 0 связана с возможностью корректно ввести локальные координаты

с центром в точках пересечения границы Γ с координатной гиперплоскостью x_i = 0, i = 1, n.

Определение 2. Функция u ∈ C²(Ω⁺)

^⋂C¹(Ω+) называется K-гармонической функцией

в области Ω⁺, если ΔB-γ u = 0 в каждой точке Ω⁺.

Важную роль в наших рассуждениях играет многомерный T-псевдосдвиг

∏

T^yf(x) = Tyix_if(x), x,y ∈ Rⁿ,

i=1

одномерные составляющие которого определены в [3] формулами

∫

Γ((γ_i + 3)/2)

→y_i,xⁱ)

sinγi+1 α_i dα_i,

(1)

Tyix_if(x) =

Γ(1/2)Γ((γ_i + 2)/2)

→ y_i)^γ+i+1

где для сокращения записи положили

√

→ y_i = x2i + y2i - 2x_iyi cosα_i.

Конструкция (1) возникла в работе [3] в виде интегрального оператора, связывающего

решения u = J_μ сингулярного уравнения Бесселя B_-γu(s) + t²u(s) = 0 разных аргументов

(s = x_i и s = y_i), в виде теоремы сложения Jμi -функций Бесселя

Jμ₁ (ξt)Jμ(ηt) = T^ηξJμ_i (xit), μi =γi +1

Отметим, что оператор (1) связан с оператором обобщённого сдвига Пуассона [4]

∫

Γ((γ_i + 3)/2)

→ y_i,xⁱ)sinγi+1 αi dα_i

Tyix_if(x) =

Γ(1/2)Γ((γ_i + 2)/2)

формулой

(x-(γi+1)if(x_i, xⁱ)),

Tyix_i = (xiyi)γi+1

x_i

которая, по сути, и применяется в статье [3].

Основным свойством T-псевдосдвига, используемым в этой работе, является равенство∗)

B-γiTyix_if(x) = TxiiB-γi f(x),

из которого в многомерном случае вытекает теорема о коммутируемости T-псевдосдвига и

оператора Киприянова ΔB-γ :

ΔB-γT^yf(x) = T^yΔB-γ f(x), x,y ∈ R+n.

Введём весовую билинейную форму

∫

∏

(u, v)_-γ =

u(x)v(x)x^-γ dx, x^-γ = x-γii

i=1

Rⁿ

∗) Для обобщённых сдвигов, определяемых формулой Пуассона [4], это свойство доказано в книге [2, фор-

мула (1.8.5)] и в общем случае в работе [5].

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№4

2023

ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ДИРИХЛЕ

485

на функциональном пространстве Lγ2 = {f(x) : x^-γf(x) ∈ R+n} (обычно называемым про-

странством Лебега-Киприянова).

Операторы T-псевдосдвига и оператор Киприянова ΔB-γ симметричны (см. [3]) в следу-

ющем смысле:

(ΔB-γ u, v)_-γ = (u, ΔB-γ v)_-γ , (T^yu(x), v(x))_-γ = (u, T^yv(x))_-γ .

Более востребованным в этих исследованиях оказался оператор

∗

T^y = xγ+1T^y,

(2)

∏_n

где xγ+1 =

xγi+1i, γ_i+1 > 1, одномерные составляющие которого определены равенством

i=1

∫π

∗

Γ((γ_i + 3)/2)

→y_i)

Txiif(x) =

sinγi+1 α_i dα_i.

(3)

Γ(1/2)Γ((γ_i + 2)/2)

→ y_i)^γi⁺¹

Б.М. Левитан ввёл понятие “оператора обобщённого сдвига”, который должен удовлетво-

рять четырём условиям (см. [6, с. 17-18]). Оператор (1) не удовлетворяет условиям 2^◦ и 4^◦ из

этой книги∗), поэтому называется (как и в [3]) T-псевдосдвигом. Но он симметричен: T^x = T^xy,

что важно при исследовании свёрток В.А. Какичева на основе T-псевдосдвига (см. [7, 8]).

∗

Оператор

T xⁱⁱ, напротив, не симметричен, но удовлетворяет условию 2^◦, где роль “еди-

ничного” элемента играет точка x_i = 0, т.е. именно для этой точки выполнено равенство

∗

T^yf(0) = f(y).

Доказательство достаточно просто следует из формулы (1), поскольку

√

→ y_i)|xi=0 = yⁱ = yi > 0.

∗

Условие 4^◦ Б.М. Левитана в определении оператора

T в нашей работе заменено более простым

в доказательстве условием ограниченности интегрируемой функции: если f(x_i, xⁱ) ∈ C (x_i ∈

∗

∈ [0, ∞)) и max

f (x) = M, то max

T yf(x) = M. Это утверждение доказано далее в

x_i∈[0,∞)

лемме 3.

Отметим, что в более ранних работах Б.М. Левитана условием 4^◦ было именно условие

“ограниченности в лебеговых классах функций” (см., например, работу [9]).

∗

На основе изложенного выше будем называть оператор (2) обобщённым

T-сдвигом. По-ви-

∗

димому,

T-сдвиг принадлежит классу обобщённых сдвигов Б.М. Левитана (т.е. выполняются

все условия 1^◦- 4^◦ [6]), но в рамках этих исследований необходимо лишь условие ограничен-

∗

ности

T-сдвига непрерывной функции.

2. K-формулы Грина. Многие свойства K-гармонических функций вытекают из соот-

ветствующих аналогов формул Грина, отвечающих оператору ΔB-γ (K-формулы Грина).

Пусть u и v - n-чётные функции, принадлежащие классу функций C²(Ω⁺)

^⋂C¹(Ω+), и

∏_n

x^-γ =

-i < -γ_i < 0.

i=1

x-γii,

Утверждение. Для ΔB-γ оператора Киприянова справедлива первая K-формула Грина

∫

∑

∂u ∂v

∂u

vΔB-γux^-γ dx = -

x^-γ dx +

x^-γ dΓ⁺,

(4)

∂x

i ∂xi

∂ν

i=1

Ω⁺

Γ⁺

где ν - направление внешней нормали к границе Γ⁺ области Ω⁺.

∗) Условие 2^◦. Функция f ∈ C и существует “единичный” элемент s0 такой, что Ts0 f(t) = f(t).

Условие 4^◦. Функция f ∈ C, тогда F (s, t) = T^sf(t) непрерывна по совокупности точек (s, t).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№4

2023

486

ЛЯХОВ и др.

Доказательство. Имеем

∫

∫ (_n∑

∏

∑

∏

∂

∂u

vΔB-γux^-γ dx = v

xγi

x-γi ∂u

x-γi

x-γkkdx=

x-γkk^dx.

∂x_i

∂x

∂x_i

i=1

k=1

i=1

k=1

Ω⁺

k=i

Применив формулу интегрирования по частям, получим

∫

∫ (_n∑

∏

∂u

vΔB-γux^-γ dx = v

x-γi

cos(ν, x_i)

x-γkkdΓ+ -

∂x_i

i=1

k=1

Ω⁺

Γ⁺

k=i

∫

∑

∏

∑

∂u

∂v

∂u

∂v

x^γ dx =

x^γ dx.

x-γkkdΓ+ -

∂x

k ∂xk

∂ν

∂x_k ∂x_k

k=1

Ω⁺

Γ⁺

Ω⁺

Утверждение доказано.

Приведём несколько простых следствий из равенства (4).

Если в (4) u = v, то

∫

∑

⁽ ∂u )2

∂u

uΔB-γ ux^-γ dx = -

x^-γ dx +

x^-γ dx.

(5)

∂x

∂ν

i=1

Ω⁺

Γ⁺

Если в (4) v = 1, тогда

∫

∂u

ΔB-γux^-γ dx =

x^-γ dΓ⁺.

(6)

∂ν

Ω⁺

Γ⁺

Если в (6) функция u K-гармоническая, то из определения 2 следует равенство

∫

∂u

x^-γ dΓ⁺ = 0.

(7)

∂ν

Γ⁺

Условие K-гармоничности. Если равенство (7) справедливо в любой s-подобласти об-

ласти Ω⁺, то u - K-гармоническая функция в Ω⁺.

Действительно, если функция u K-гармоническая в Ω⁺, то равенство (7) выполнено в

любой s-подобласти области Ω⁺, что с очевидностью вытекает из (6).

Наоборот, пусть равенство (7) выполняется в любой s-подобласти области Ω⁺. Тогда из (6)

следует, что Δ_B-γu = 0 в любой s-внутренней точке области Ω⁺, т.е. выполнено требование

определения K-гармоничности функции u в области Ω⁺.

Формулы (5)-(7) называют следствиями из первой K-формулы Грина (4) (чаще просто

K -формулами Грина). Вторая K-формула Грина получается из (4) после интегрирования по

частям в объёмном интеграле и применения обычной формулы Грина:

∫

(

)

∂u

∂v

(vΔB-γ u - uΔ_Bv)x^-γ dx =

-u

x^γ dΓ⁺.

∂ν

Ω⁺

Γ⁺

3. Интегральное представление Грина n-чётных функций. В работе [1] получено

следующее представление оператора Киприянова в сферических координатах x = rθ, |θ = 1|:

Δ_B-γ = Bn-|γ|-1 -

ΔB-γ(θ),

(8)

r²

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№4

2023

ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ДИРИХЛЕ

487

где

∂

n - |γ| - 1 ∂

Bn-|γ|-1 =

∂r²

∂r

а ΔB-γ(θ) - оператор Киприянова-Бельтрами на сфере.

Используя (8), нетрудно доказать, что функция v = |x|2-n+|γ| при n - |γ| > 2 и |x| = 0

является K-гармонической. Действительно, переходя в выражении ΔB-γ |x|2-n+|γ| к сфери-

ческим координатам, с учётом (8) получим

ΔB-γ|x|2-n+|γ| = Bn-|γ|-1r2-n+|γ| = ((2-n+|γ|)(1-n+|γ|) + (2-n+|γ|)(n-|γ|-1))r-n+|γ| = 0.

Функция |x|2-n+|γ| при n - |γ| > 0 называется сингулярным (элементарным) решением

оператора Киприянова ΔB-γ . Если же n - |γ| ≤ 2, то сингулярным решением будет функ-

ция |x|2-n+|γ| ln |x|, что проверяется аналогично. Полученные далее результаты справедливы

для обоих сингулярных решений. Однако мы приведём доказательство наиболее простого в

описании случая, а именно n - γ > 2.

4. Основные леммы о T-сдвиге. Напомним, что многомерный T-сдвиг определён вы-

ражением (2), поэтому достаточно рассмотреть одномерный случай T-сдвига.

4.1. Перестановочность T-сдвига.

Лемма 1. Если f и g - функции, суммируемые с весом x^-γ, то

∗

(Tyf(x),g(y))-γ = (f(y),Tyg(x))-γ.

Доказательство. Учитывая, что -γ = 1 - 2μ, имеем равенства

∫

∞

∫

√

∗

x² + y² - 2xy cos α)

(f(y),Tyg(x))-γ = x-2μ

(xy)2μf(y)

√

sin2μ α dα y1-2μ dy =

(

x² + y² - 2xy cos α)2μ

∗

= x-2μ(T^yf(x),g(y))_-γ = (Tyf(x),g(y))-γ.

Здесь использовалось свойство перестановочности T-псевдосдвига (см. [3]). Лемма доказана.

4.2. Коммутируемость с оператором B-γi. Для удобства введём обозначение x =

= (x_i, xⁱ).

Лемма 2. Пусть f - дважды непрерывно дифференцируемая i-чётная функция, 0 < γ_i <

< 1 и x^-γf(x) ∈ L₂(0,∞). Тогда

∗

(B-γi )yi

Txiif(x) =

TxiiB-γ_if(x).

Доказательство. Для T-псевдосдвига равенство

(B-γi )yi Tyix_i f(x) = Txii (B-γ )xi f(x)

вытекает из теоремы сложения J-функций Бесселя [3]. Отсюда получаем

∗

(B-γi )yi

Tyix+iB-γi f(x).

Лемма доказана.

∗

∏_n

∗

Отметим, что леммы 1 и 2 в многомерном случае

T^x =

Txi примут следующий вид.

i=1

Лемма 1^′. Если f и g - функции, суммируемые с весом x^-γ, то

∗

(Tyf(x),g(y))-γ = (f(y),Tyg(x))-γ, x,y ∈ Rn.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№4

2023

488

ЛЯХОВ и др.

Лемма 2^′. Пусть f - дважды непрерывно дифференцируемая i-чётная функция, 0 <

< γ_i < 1 и x^-γf(x) ∈ L₂(0,∞). Тогда

∗

(ΔB-γ )_y

T^yf(x) =TyΔB-γ f(x), x,y ∈ Rn.

4.3. Ограниченность T-сдвига непрерывной функции.

∗

Лемма 3. Пусть f ∈ C(Ω⁺). Если max |f(x)| = M, то max |

T^yf(x)| = M.

x∈Ω⁺

Доказательство. Продолжим функции u и v нулём в область Ω⁺¹ = R+n \ Ω⁺.

Достаточно доказать это утверждение для одномерного T-сдвига. Наибольшее значение

выражение (3) принимает при x_i = y_i и α_i → 0. Но при x_i = y_i

∫



∗

Γ((γ_i + 3)/2)

yγi+1iM



| sin α_i|γ+1 dα_i =

Txiif(x)| ≤



Γ(1/2)Γ((γ_i + 2)/2)

→y_i)γ+1

x_i=y_i

∫

Γ((γ_i + 3)/2)

| sin α_i|γi+1 dα_i =

Γ(1/2)Γ((γ_i + 2)/2)

|2(1 - cos α_i)|(γi+1)/2

∫

Γ((γ_i + 3)/2)

·2

cosγi+1 α_i dα_i = M,

Γ(1/2)Γ((γ_i + 2)/2)

поскольку, согласно определению B-функции Эйлера,

∫

)

⁽γ_i +2

Γ(1/2)Γ((γ_i + 2)/2)

cosγi+1 α_i dα_i = B

Γ((γ_i + 3)/2)

Лемма доказана.

5. Представление Грина n-чётных функций. Учитывая симметричность T-сдвига в

R+n (лемма 1^′) и его коммутируемость с ΔBγ -оператором Киприянова (лемма 2^′), имеем

∫

∗

T^yv(x)ΔB_-γ u(y)y^-γ dy = v(y)

T^y(ΔB_-γ u)(x)y^-γ dy = v(y)(ΔB_-γ )y

T^yu(x)y^γ dy.

Ω⁺

В следующей теореме доказывается K-формула Грина представления n-чётных функций,

которая в нашем случае будет вытекать из правой части записанного выше равенства.

Теорема 1. Пусть n-чётная функция u ∈ C²(Ω⁺)

^⋂C¹(Ω+), v = |x|2-n+|γ|, n - |γ| > 2,

и T - сдвиг, определённый в (2). Имеет место следующая формула Грина:

(∫

(

∗

)

∂

T^yu(x)

∗

∂v(y)

u(x) =

v(y)

T^yu(x)

y^-γ dΓ⁺ -

(n+|γ|-2)|S⁺¹(n)|_-γ

∂ν_y

∂ν

Γ⁺

∫

)

∗

- v(y)ΔB-γ

T^yu(x)y^-γ dy

(9)

Ω⁺

Доказательство. Поскольку функция y^-γv = y^-γ |y|2-n+|γ| при n > 2 имеет особенность

в начале координат (считается точкой Ω⁺

^⋃Γ⁰), то для применения K-формулы Грина (4)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№4

2023

ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ДИРИХЛЕ

489

необходимо вырезать из области Ω⁺ n-полушар |y| < ε. Полученную в результате область

обозначим Ω+ε. Тогда

∫

∗

{

}

∫

∗

∂

T^yu(x)

dΓ⁺

^∑ ∂v ∂ ^∗T^yu(x)

v(y)(ΔB-γ )_y

T^yu(x)y^-γ dy =

v(y)

y^-γ

y^-γ dy.

∂ν_y

dS⁺

∂y

⋃

i=1

Ω^ε

Γ⁺

S^ε(n)

Ω^ε

Интегрирование по частям в последнем слагаемом правой части этого равенства даёт

∫

∗

{

}

∗

∂

T^yu(x)

dΓ⁺

v(y)ΔB-γ

T^yu(x)y^-γ dy =

v(y)

∂ν

dS⁺

⋃

Ω^ε

Γ⁺

S^ε(n)

∫

)

{

}

⁽∂v(y)

∗

dΓ⁺

T^yu(x)y^γ

=I₁ +I₂.

(10)

∂ν

dS⁺

⋃

Γ⁺

S^ε(n)

Здесь учитывалось, что ΔB-γ v = 0 в области Ω+ε.

Теперь в правой части (10) выделим интегрирование по поверхности n-полусферы S+ε(n):

∫

∗

∫

∂

T^yu(x)

∂v(y)

∗

v(y)

y^-γ dS⁺ -

T^yu(x)y^-γ dS⁺ = I1(ε) + I2(ε).

(11)

∂ν

S^ε(n)

Учитывая, что вектор нормали к сфере направлен вдоль радиуса, получаем

∫

)

∫

∗



T^rθu(x)

∂

T^rθu(x)



I₁(ε) =

ε2-n-|γ|

(εθ)^-γεn-1 dS₁ = ε

θ^-γ dS₁.



∂r

r=ε

S⁺¹(n)

∗

Отсюда, поскольку

T x-сдвиг - ограниченный оператор в пространстве непрерывно диффе-

ренцируемых функций (см. лемму 3), следует

∫

∗



∂

T^rθu(x)



lim

I₁(ε) = ε

θ^-γ dS₁ = 0.

(12)



ε→0

∂r

r=ε

S⁺¹(n)

Рассмотрим интеграл I₂(ε). Имеем равенства

∫



∫

∂r2-n+|γ|

∗

I₂(ε) =



= (2-n+|γ|)ε1-n-|γ|



T^yu(x)y^-γ dSε

T^εθu(x)ε^|γ|θ^-γεn-1 dS1(n) =

∂r

r=ε

S^ε(n)

S⁺¹(n)

∫

∗

= (2 - n + |γ|)

T^εθu(x)θ^-γ dS1 = (2 - n + |γ|)

T^εθu(x)θ^-γ dS1,

S⁺¹(n)

откуда находим

∫

lim

I₂(ε) = (2 - n + |γ|)u(x)

θ^-γ dS₁ = (2 - n - |γ|)|S⁺¹(n)|_-γu(x).

(13)

ε→0

S⁺

Подставляя пределы (12) и (13) в (11), а затем переходя к пределу в (10) при ε → 0,

получаем равенство (9). Теорема доказана.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№4

2023

490

ЛЯХОВ и др.

6. Сферическое среднее K-гармонической функции. Из равенства (см. лемму 2)

∗

ΔB-γ

T^yf(x) =Tyu(x)ΔB-γ f(x)

∗

вытекает, что функции f и

T^yf(x) одновременно K-гармонические.

Теорема 2. Пусть функция u(x) является K-гармонической в области Ω⁺ ⊂ R+n и

S+r(n) - единичная n-полусфера с центром в начале координат, целиком лежащая в облас-

ти Ω⁺. Тогда

∫

∗

u(x) =

T^yu(x)y^-γ dSr(y).

(14)

|Sr+(n)|γ

S^r(n)

Доказательство. Напомним, что по договоренности, принятой при определении облас-

ти Ω⁺, внутренней подобластью этой области является подобласть, возможно(!), прилегаю-

щая к границе Γ⁰. Вначале предположим, что хотя бы одна из координат центра шара не

нулевая, т.е. для некоторого i ∈ 1, n выполняется условие x_i ≥ 2δ > 0. Радиус сферы r

выбирается таким, чтобы вся сфера (разумеется, и шар) лежала в области K-гармоничности

функции u и начало координат при этом не оказалось на сфере радиуса r с центром в точке

x (т.е. выбираемый нами радиус r < δ или r > 2δ). Тогда |y| > 0 и, следовательно, функция

v = |y|2-n-|γ| бесконечно дифференцируема в любой точке сферы.

Для K-гармонической функции формула (9) примет вид

u(x) =

(n-|γ|-2)|S₁(n)|_-γ

∫

[

(

)

]

∂

∗

-∂r2-n+|γ|

r2-n+|γ| -

T^rθu(x)

(rθ)^-γrn-1 dS₁(θ).

∂r

S₁(n)

Так как шаг сдвига y = rθ не выводит функцию T^yu(x) за пределы области K-гармонично-

сти, то здесь исчезнет первое слагаемое (см. формулу (7)) и

∫

∗

u(x) =

T^rθu(x)(θ)^-γ dS1(θ).

|S1,x(n)|_γ

S1,x(n)

Отсюда с очевидностью следует (14).

Пусть теперь все координаты центра шара равны нулю. В этом случае в формуле пред-

ставления функции (9) отсутствует обобщённый сдвиг и нужно доказать формулу

∫

u(0) =

u(rθ)(θ)^γ dS₁(θ),

|S1,0(n)|_γ

S1,0(n)

которая на самом деле уже известна. Её доказательство для одной особой переменной приве-

дено в работе [9] (см. также [10, 11]) и без особых затруднений переносится на многомерный

обобщённый сдвиг Пуассона. Теорема доказана.

Принципиальной особенностью формулы (14) является то, что интегрирование происходит

по n-полусфере с центром в начале координат, а точка интегрирования принадлежит сфе-

ре с центром в точке x ∈ Ω⁺, вообще говоря, не совпадающей с началом координат. Эта

особенность исчезает, если нет весовой нагрузки на оси координат, т.е. если все γ_i = 0.

Имеет место теорема о среднем при интегрировании по n-полушару в R+n (ср. [12]).

Теорема 3. Пусть функция u является K-гармонической в области Ω⁺ ⊂ R+n и S+r(n) -

единичная n-полусфера с центром в начале координат, целиком лежащая в Ω⁺. Тогда

∫

n + |γ|

∗

u(x) =

T^rθu(x)x^γ dSr,

(15)

|Ш_R(n)|_γ

|x|<R

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№4

2023

ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ДИРИХЛЕ

491

где Ш_R(n) = {x : |x| < R}⁺ - n-полушар в R+n с центром в начале координат и радиуса R,

весовой объём которого равен

n+|γ|

|Ш_R(n)|_γ =

|S⁺¹(n)|_γ .

Учитывая, что

n+|γ|-1

|S+r(n)|_-γ =

|S⁺¹(n)|_γ ,

перепишем равенство (14) в виде

∫

∗

rn+|γ|-1|S⁺¹(n)|_-γu(x) =

T^rθu(x)x^γ dS1.

S^r(n)

Проинтегрируем это равенство по r на отрезке [0, R] и получим формулу (15). Теорема до-

казана.

7. Экстремальное свойство K-гармонических функций. Для классических гар-

монических функций экстремальное свойство вытекает из теоремы о среднем гармоники в

ограниченной области. В исследуемом случае область Ω⁺ прилегает к границе, образованной

координатными гиперплоскостями в R+n, следовательно, части этих гиперплоскостей тоже

оказываются границами области Ω⁺, однако они всего лишь границы симметрии.

Теорема 4. K-гармоническая функция u(x) ≡ const в Ω⁺ принимает экстремальные

значения (sup и inf) на границе Γ⁺ области B-гармоничности:

min

u(x) < u(x) < max u(x).

x∈Γ⁺

Доказательство. Предположим противное, т.е., например, что sup u = u(x₀), x₀ - внут-

ренняя точка Ω⁺.

Применив формулу среднего значения (14) с центром в точке x₀ и такого радиуса, чтобы

сфера целиком лежала в Ω⁺, получим

∫

∗

u(x₀) =

T^yu(x0)y^γ dS1(y).

(16)

|S_r(n)|_γ

Так как u(x) = const, то на сфере должна присутствовать точка y^′, в которой функция u

(среди всех значений на этой сфере) принимает наибольшее значение u(y^′) = M^′. Обобщённый

∗

T-сдвиг действует ограниченно (лемма 3), а тогда из (16) следует, что

′

u(x₀) = M ≤

|S_r(n)|_γ = M^′,

|S_r(n)|_γ

т.е. u(x₀) = M ≤ M^′, что возможно, если u(x) = const внутри этой сферы. Напомним, что

для точек пересечения Γ⁰

^⋂Γ выполнено условие Киприянова, поэтому существует конечное

покрытие области Ω⁺ шарами, в которых функция u K-гармонична и, значит, постоянна:

u(x) = M, что противоречит условию теоремы. Теорема доказана.

Следствие 1. Если u ∈ C^1ev(Ω⁺) - K-гармоническая функция в частично замкнутой

области Ω⁺ = Ω⁺

^⋃Γ^O, то

|u(x)| ≤ max |u(x)|, x ∈ Ω⁺.

x∈Γ⁺

В частности, если u|_Γ+ = 0, то u ≡ 0 в Ω⁺.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№4

2023

492

ЛЯХОВ и др.

Будем говорить, что n-чётная функция u = u(x) непрерывна на бесконечности и прини-

мает там значение a, если она непрерывна вне некоторого n-полушара в Rⁿ и lim

u = a.

x∈Rⁿ

∥x∥→∞

Обозначим через Ω⁺¹ = Rⁿ \ Ω⁺ область, прилегающую к координатным гиперплоскостям

по границе Γ⁰.

Следствие 2. Если u ∈ C^1ev(Ω⁺¹) - B-гармоническая функция в частично замкнутой

области Ω⁺¹ = Ω⁺¹

^⋃Γ⁰ и u(∞) ≡ lim

u = 0, то

x∈Rⁿ

∥x∥→∞

|u(x)| ≤ max

|u(x)|, x ∈ Ω⁺¹.

x∈Γ⁺

В частности, если u|_Γ+ = 0 и u(∞) = 0, то u(x) ≡ 0, x ∈ Ω⁺¹.

Следствие 3. Если последовательность K-гармонических функций {u_k}∞k=1 равномерно

сходится на границе Γ⁺ области В-гармоничности Ω⁺, то она равномерно сходится на Ω⁺.

Это справедливо для области Ω⁺¹, если дополнительно известно, что u_k(∞) = 0.

Доказательства следствий 1 и 2 отличаются от доказательств классических утверждений

для гармонических функций лишь обозначениями (см., например, [13, § 24]).

8. Постановка и единственность решения внутренней и внешней задач Дирихле.

Внутренняя задача Дирихле. Пусть Ω⁺ - конечная область в R+n, прилегающая к

координатным гиперплоскостям по границе Γ⁰, и функция ϕ задана и непрерывна на части

границы Γ⁺ ∈ R+n. Найти функцию u ∈ C²(Ω⁺)

^⋂C(Ω+), удовлетворяющую в области Ω⁺

уравнению Пуассона ΔB-γ u = f и граничным условиям u|_Γ+ = ϕ.

Теорема 5. Внутренняя задача Дирихле для уравнения Пуассона с оператором Киприя-

нова имеет единственное решение.

Доказательство. Предположим, что существуют два решения задачи: u₁ и u₂. Тогда

функция u = u₁ -u₂ является K-гармонической: ΔB-γ u = 0, и поэтому согласно следствию 1

равна нулю, т.е. u₁ = u₂. Теорема доказана.

Внешняя задача Дирихле. Пусть Ω⁺¹ = Rⁿ \Ω⁺ и функция ϕ задана и непрерывна на

части границы Γ⁺ ∈ R+n.

Теорема 6. Внешняя задача Дирихле для уравнения Пуассона с оператором Киприянова

имеет единственное решение.

Доказательство. Поскольку область Ω⁺ предполагается ограниченной, то существует

сфера достаточно большого радиуса R, включающая в себя эту область. Из условия убыва-

ния решения следует, что для любого ε > 0 существует такое число R, что на этой сфере

S_R выполняется условие u(x)|SR < ε. Область G⁺ = Ш_R \ Ω⁺, разумеется, конечная. Если

u₁ и u₂ - два решения внешней задачи Дирихле, то функция u = u₁ - u₂ K-гармоническая

в замкнутой области G⁺ с граничным условием |u| < 2ε на границе ∂G⁺. Согласно след-

ствию 2 |u(x)| < 2ε в Ω⁺, а поскольку число ε произвольное, то это возможно только если

u = 0, т.е. когда u₁ = u₂. Теорема доказана.

В заключение обратим внимание на одну особенность этих исследований, отмеченную ре-

цензентом: не найдено аналогичных исследований по отношению к B-гармоническим функ-

циям, определяемым равенством ΔBγ u = 0, γ_i > 0. На самом деле аналогичные результаты

для B-гармонических функций легко вытекают из схемы доказательств этой работы, если

заменить T-сдвиг обобщённым сдвигом Пуассона.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ляхов Л.Н., Санина Е.Л. Оператор Киприянова-Бельтрами с отрицательной размерностью опе-

ратора Бесселя и сингулярная задача Дирихле для B-гармонического уравнения // Дифференц.

уравнения. 2020. Т. 56. № 12. C. 1610-1620.

2. Киприянов И.А. Сингулярные эллиптические краевые задачи. М., 1997.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№4

2023

ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ДИРИХЛЕ

493

3. Ляхов Л.Н., Булатов Ю.Н., Рощупкин С.А., Санина Е.Л. Псевдосдвиг и фундаментальное решение

Δ_B -оператора Киприянова // Дифференц. уравнения. 2022. Т. 58. № 12. С. 1654-1665.

4. Левитан Б.М. Разложение по функциям Бесселя в ряды и интегралы Фурье // Успехи мат. наук.

1951. Т. 6. Вып. 2 (42). С. 102-143.

5. Ляхов Л.Н. Построение ядер Дирихле и Валле-Пуссона-Никольского для j-бесселевых интегралов

Фурье // Тр. Московского мат. о-ва. 2015. Т. 76. Вып. 1. С. 67-84.

6. Левитан Б.М. Теория операторов обобщённого сдвига. М., 1973.

7. Какичев В.А. О свёртках для интегральных преобразований // Изв. АН БССР. Сер. физ-мат. наук.

1967. № 2. С. 48-57.

8. Бритвина Л.Е. Полисвертки преобразования Ханкеля и дифференциальные операторы // Докл.

РАН. 2002. Т. 382. № 3. С. 298-300.

9. Левитан Б.М. Применение операторов обобщенного сдвига к линейным дифференциальным урав-

нениям второго порядка // Успехи мат. наук. 1949. Т. 4. № 1 (29). С. 3-112.

10. Киприянова Н.И. Формула среднего значения для собственных функций сингулярного дифферен-

циального уравнения второго порядка // Дифференц. уравнения. 1985. Т. 21. № 11. С. 1998-2001.

11. Киприянова Н.И., Ляхова С.Л. Формула среднего значения для регулярных решений сингулярного

дифференциального уравнений Гельмгольца и Шредингера // Докл. РАН. 1999. Т. 364. № 1. С. 14-

16.

12. Киприянова Н.И. Теорема о среднем для B-полигармонического уравнения // Изв. вузов. 1998.

№ 5 (432). С. 31-34.

13. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. М., 1981.

Воронежский государственный университет,

Поступила в редакцию 16.01.2023 г.

Елецкий государственный университет

После доработки 24.02.2023 г.

имени И.А. Бунина,

Принята к публикации 22.03.2023 г.

Липецкий государственный педагогический

университет имени П.П. Семёнова-Тян-Шанского

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№4

2023