ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2023, том 59, № 4, с. 494-500
УРАВНЕНИЯ В КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЯХ
УДК 517.962.2
О НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ
СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ
С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ ПРАВЫМИ ЧАСТЯМИ
© 2023 г. А. О. Игнатьев
Рассматриваются однородная и неоднородная системы линейных разностных уравнений
с коэффициентами, являющимися N -периодическими функциями дискретного времени.
Для однородных систем получены достаточные условия существования периодических и
почти периодических решений. Для неоднородных систем показано, что необходимым и
достаточным условием существования N -периодического решения является наличие огра-
ниченного решения. Установлены необходимые и достаточные условия ортогональности
фундаментальной матрицы однородной системы. Приводятся иллюстрирующие примеры.
DOI: 10.31857/S0374064123040064, EDN: ANEVSL
Введение. Обозначим: Z - множество целых чисел, N - множество натуральных чисел,
а также, следуя [1, 2], Nq ≡ {n ∈ N0 : n ≥ q}, N0 ≡ N
⋃{0}.
Рассмотрим систему линейных разностных уравнений
y(n + 1) = A(n)y(n) + g(n),
(1)
где n ∈ Z - дискретное время, y(n) = (y1(n), . . . , yk(n))т : Z → Rk - искомая функция (здесь
и в дальнейшем знакт обозначает операцию транспонирования), а
⎛
⎞
⎛
⎞
g1(n)
a11(n) a12(n) ... a1k(n)
⎜g2(n)⎟
⎜a21(n) a22(n) ... a2k(n)⎟
⎜
⎟
A(n) =
⎝
⎠ и g(n) =
⎝
⎠
ak1(n) ak2(n) ... akk(n)
gk(n)
– заданные k × k- и k × 1-матрицы соответственно, элементами которых являются действи-
тельные периодические функции с периодом N, определённые при n ∈ Z. Наряду с системой
(1), рассмотрим соответствующую ей линейную однородную систему
y(n + 1) = A(n)y(n).
(2)
Предполагаем, что матрица A(n) в системах (1) и (2) является невырожденной при всех
n ∈ Z.
Изучению линейных разностных уравнений посвящено большое количество исследований,
из которых отметим работы [3-11]. Практические приложения линейных разностных уравне-
ний с периодическими коэффициентами предложены в [12-14]. Однако не всегда такие уравне-
ния имеют периодические или почти периодические решения, описывающие регулярно повто-
ряющиеся процессы и составляющие важный класс решений разностных уравнений (так как
многие процессы, которые можно задать с помощью разностных уравнений, являются пери-
одическими). Изучению таких решений посвящено множество работ (см., например, [13-16]).
А. Пуанкаре в исследовании автономных дифференциальных систем придавал особое значе-
ние изучению периодических решений, поскольку они в существенном определяют поведение
остальных, не периодических, решений указанных систем. Периодические решения представ-
ляют собой простейший вид колебательных движений и являются, фактически, единственным
494
О НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ
495
типом решений, которые можно целиком наблюдать, так как вся эволюция периодического ре-
шения полностью определяется его поведением на конечном промежутке времени.
В случае k = 1, т.е. если (1) - скалярное уравнение, в статье [17] доказана следующая
Теорема А. Пусть A(n) и b(n) являются N -периодическими функциями дискретного
времени n ∈ Z, т.е. A(n + N) = A(n) и b(n + N) = b(n), n ∈ Z, и функция A(n) отлична
от нуля при всех n. Тогда справедливы следующие утверждения:
∏N
1) если
|A(i)| < 1, то уравнение (1) имеет единственное равномерно асимптотиче-
i=1
ски устойчивое периодическое решение с периодом N;
∏N-1
2) если |[
A(N - i)]-1|-1 > 1, то у уравнения (1) имеется неустойчивое периодиче-
i=0
ское решение с периодом N.
В статье [18], как и в [17], система (1) также рассмотрена при k = 1. Решается зада-
ча: может ли это скалярное уравнение иметь сильно нерегулярные периодические решения∗),
отличные от постоянных? Доказана
Теорема Б. Скалярное линейное уравнение (1), в котором функции A(n) и b(n) перио-
дичны с одним и тем же периодом, не имеет сильно нерегулярных периодических решений.
В работе [5] рассмотрено скалярное линейное разностное уравнение вида (1), где A(n) и
g(n) - периодические функции с периодом N. Получено необходимое и достаточное условие
существования N -периодического решения периода. Статья [19] посвящена получению доста-
точных условий существования асимптотически периодических решений у линейного разност-
ного уравнения
arnx(n + r) + ... + a1nx(n + 1) + a0nx(n) = d(n), n ∈ N0,
где d(n) - дискретная N -периодическая функция, ain, i = 0, r, - константы такие, что
lim
ain = 0, i = 0,r, и arn = 0 при всех n ∈ N0. В статье [20] изучаются нелинейные скаляр-
n→∞
ные разностные уравнения вида x(n+1) = fn(x(n)), где функции fn(x), n ∈ N0, периодичны
с периодом N, т.е. fn(x) ≡ fn+N (x) для x ∈ R, n ∈ N0. Получено условие существования и
устойчивости периодического решения с периодом N.
Периодические функции являются частным случаем почти периодических функций. В ра-
ботах [21, 22] доказано, что существует система линейных разностных уравнений вида (2),
где n ∈ Z и элементы матрицы A(n) почти периодические функции, не имеющая почти
периодического решения, кроме тривиального.
В настоящей работе рассматривается вопрос о существовании периодических и почти пе-
риодических решений линейных систем разностных уравнений при других (отличных от [5,
17-22]) условиях.
1. О существовании N-периодических решений систем (1) и (2).
Теорема 1. У системы (1) тогда и только тогда существует N -периодическое решение,
когда у неё существует ограниченное решение.
Доказательство. Если у системы (1) существует N -периодическое решение, то оно будет
и ограниченным.
Покажем теперь, что если у этой системы существует ограниченное решение, то существует
также и N -периодическое решение. Зафиксируем какой-либо начальный момент n0 дискрет-
ного времени, и пусть вектор y0 ∈ Rk - положение в момент n0 решения y(n) = y(n, n0, y0),
n ∈ Z, системы (1). Рассмотрим однородную систему (2). Её решение ϕ(n,n0,y0) с теми же
начальными условиями имеет представление ϕ(n, n0, y0) = Φ(n, n0)y0, где Φ(n, n0) - фун-
даментальная матрица системы (2). При этом общее решение системы (1) можно записать в
виде [4, c. 79]
∑
y(n, n0, y0) = Φ(n, n0)y0 +
Φ(n, r + 1)g(r).
(3)
r=n0
Второе слагаемое в правой части представляет собой частное решение системы (1).
∗) Если в уравнении (1) функции A(n) и b(n) периодичны с периодом N, то периодическое решение этого
уравнения с периодом M называется сильно нерегулярным, когда числа N и M взаимно просты.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№4
2023
496
ИГНАТЬЕВ
Введём следующее обозначение:
∑
Fs ≡
Φ(n0 + sN, r + 1)g(r), s ∈ N.
n0+(s-1)N
Так как система (2) является N -периодической, то для любого n ∈ Z справедливо равенство
Φ(n + N, n) = Φ(n0 + N, n0). Поэтому для доказательства существования N -периодического
решения у системы (1) нужно показать, что система уравнений
Φ(n0 + N, n0)y0 + F1 = y0
(4)
имеет решение относительно вектора y0. При решении этой задачи следует рассмотреть два
случая:
F1 = 0т
(5)
и
F1 = 0т,
(6)
где 0 = (0, 0, . . . , 0) - 1 × k-матрица.
В первом случае задача сводится к существованию N -периодического решения однородной
системы (2), но она всегда имеет N -периодическое решение, в качестве которого можно взять
тривиальное (нулевое) решение.
Рассмотрим второй случай, т.е. когда справедливо неравенство (6). Обозначив Φ(n0 +
+ N,n0) - I =: B ∈ Rk×k (здесь и далее I - единичная k × k-матрица), систему (4) запишем
в виде
By0 = b,
(7)
где b = -F1 = (b1, b2, . . . , bk)т ∈ Rk.
Покажем, что система линейных уравнений (7) имеет решение относительно вектора y0.
Будем доказывать от противного: предположим, что у этой системы решения нет. Это означает,
что ранг матрицы B меньше ранга расширенной матрицы B | b, где
⎛
⎞
⎛
⎞
B11
B12
... B1k
B11
B12
... B1k b1
⎜B21
B22
... B2k⎟
⎜B21
B22
... B2k b2⎟
B=
⎝
⎠, B|b =
⎝
⎠.
Bk1
Bk2
... Bkk
Bk1
Bk2
... Bkk bk
Так как строки матрицы B линейно зависимы, из теоремы Кронекера-Капелли вытекает, что
существуют действительные числа α1, α2, . . . , αk, не все равные нулю, при которых
α1(B11,... ,B1k) + α2(B21,... ,B2k) + ... + αk(Bk1,... ,Bkk) = (0,0,... ,0),
но α1b1 + α2b2 + . . . + αkbk = 0. Таким образом, установлено, что при таких α1, α2, . . . , αk
справедливы соотношения
α(Φ(n0 + N, n0) - I) = 0
(8)
и αb = 0, где α = (α1, α2, . . . , αk) - матрица-строка.
Умножив справа последовательно обе части равенства (8) на Φ(n0 + N, n0), получим
α(Φ2(n0 + N, n0) - Φ(n0 + N, n0)) = 0, α(Φ3(n0 + N, n0) - Φ2(n0 + N, n0)) = 0, . . . ,
откуда и из (8) следует, что
αΦs(n0 + N, n0) = α при любом натуральном s.
(9)
Обозначим
y1 = y(n0 + N,n0,y0), y2 = y(n0 + 2N,n0,y0), ... , ys = y(n0 + sN,n0,y0), ...
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№4
2023
О НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ
497
Пользуясь формулой (3), последовательно находим
y1 = Φ(n0 + N,n0)y0 + F1,
y2 = y(n0 + 2N,n0 + N,y1) = Φ(n0 + 2N,n0 + N)y1 + F2 =
= Φ(n0 + 2N,n0 + N)[Φ(n0 + N,n0)y0 + F1] + F2,
...,
ys = Φ(n0 + sN,n0 + (s - 1)N)ys-1 + Fs.
Так как элементы матриц A(n) и g(n) периодичны с периодом N, заключаем, что
Φ(n0 + N, n0) = Φ(n0 + 2N, n0 + N) = . . . = Φ(n0 + sN, n0 + (s - 1)N)
(10)
и
F1 = F2 = ... = Fs.
(11)
Вследствие равенств (10) и (11) выражение для ys принимает вид
ys = Φs(n0 + N,n0)y0 + (Φs-1(n0 + N,n0) + Φs-2(n0 + N,n0) + ... + Φ(n0 + N,n0) + I)F1.
Умножая обе части последнего равенства слева на α и используя условия (9), получаем
αys = αy0 + sαF1.
Учитывая, что αF1 = 0, имеем lim
∥αys∥ = ∞. Отметим, что никаких ограничений на
s→∞
начальный вектор y0 мы не накладывали, т.е. получено, что это предельное соотношение
выполняется при любом y0. Но это противоречит тому, что существует ограниченное решение
системы (1). Полученное противоречие доказывает утверждение о том, что система линейных
уравнений (7) имеет решение относительно y0, т.е. система разностных уравнений (1) имеет
периодическое решение периода N. Теорема доказана.
Замечание 1. Как следует из доказательства теоремы, при выполнении условия (5) у
системы (2), согласно теории Флоке, существует нетривиальное N -периодическое решение
тогда и только тогда, когда единица является мультипликатором системы (2), т.е. собственным
значением матрицы Φ(n0 + N, n0).
Доказанная теорема переносит теорему Массеры [23] на периодические системы разност-
ных уравнений. В статьях [24-26] теорема Массеры переносится на другие классы линейных
уравнений. Отметим, что системы линейных разностных уравнений вида (1) с периодическими
правыми частями могут не иметь ни периодических, ни ограниченных решений. В качестве
иллюстрации воспользуемся примером из статьи [9].
Пример 1. Скалярное разностное уравнение (1), т.е. k = 1, в котором коэффициент и
свободный член заданы равенствами
A(2n - 1) = -2, A(2n) = -1/2 и g(2n - 1) = -2, g(2n) = 1, n ∈ Z,
является периодичным с периодом N = 2 и имеет общее решение y(2n - 1) = C - 3 + 2n,
y(2n) = -2C + 4 - 4n, где C - произвольная постоянная. Нетрудно убедиться в том, что у
этого уравнения нет ни периодических, ни ограниченных решений.
Рассмотрим однородную систему линейных разностных уравнений (2), элементами матри-
цы A(n) которой являются периодические функции aij(n), i, j = 1, k, с периодом N. Пусть
n0 = 0 и Φ(n,0) = Y (n) - фундаментальная матрица, т.е. матрица, столбцами которой яв-
ляются линейно независимые решения системы (2). Более того, эту матрицу будем считать
нормированной, т.е. такой, что выполняются равенства
Y (n + 1) = A(n)Y (n), Y (0) = I.
(12)
Теорема 2. Если в системе разностных уравнений (2) элементы матрицы A(n) перио-
дичны с периодом N и A(N - 1)A(N - 2)··· A(0) = I, то все решения этой системы будут
периодическими функциями дискретного времени n периода N.
5
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№4
2023
498
ИГНАТЬЕВ
Доказательство. Пусть Y (n) - нормированная фундаментальная матрица, т.е. матрица,
для которой выполняются соотношения (12). Согласно [3, леммы 3.29 и 3.33] Y (n + N) =
= Y (n)C, где C = Y (N) = A(N - 1)A(N - 2)···A(0). Вследствие условия теоремы верно
равенство A(N - 1)A(N - 2) · · · A(0) = I. Поэтому Y (n + N) = Y (n), что и требовалось
доказать.
Пример 2. Рассмотрим систему разностных уравнений (2) при k = 2, где
(
)
(
)
(
)
1
-1
2
2
-1
-1
1
A(3n) =
,
A(3n + 1) =
,
A(3n + 2) =
3
1
1
1
1
0
1
Так как элементы матрицы A(n) периодичны с периодом N = 3 и
(
)
1
0
A(3n + 2)A(3n + 1)A(3n) =
,
0
1
то, согласно теореме 2, все решения этой системы разностных уравнений будут периодически-
ми с периодом N = 3.
2. О почти периодических решениях системы (2). Приведём определение почти
периодической функции дискретной переменной.
Определение [27, c. 45]. Функция f(n), определённая на множестве целых чисел, назы-
вается почти периодической, если для каждого ε > 0 можно указать такое натуральное число
l = l(ε), что среди любых последовательных l целых чисел найдётся хотя бы одно число p,
для которого справедливо неравенство |f(n + p) - f(n)| < ε для n ∈ Z. При этом целое число
p называется ε-почти периодом функции f(n).
Отметим, что все периодические функции являются также и почти периодическими. Это
следует из определений периодической и почти периодической функций. Если функция f(t)
является непрерывной периодической функцией вещественной переменной t, то f(n), где
n - дискретная переменная (n ∈ Z), является функцией почти периодической. Например,
функция sin n почти периодическая. Почти периодические функции обладают следующим
свойством [28, c. 27].
Свойство. Сумма и произведение почти периодических функций суть также почти пе-
риодические функции.
Пусть A(n) - периодическая матрица периода N, а Y (n) - нормальная фундаментальная
матрица системы (2), удовлетворяющая условиям (12). Столбцами этой матрицы являются
линейно независимые решения системы (2). Так как элементами матрицы A(n) являются
периодические функции периода N, то, согласно [3, лемма 3.29], существует невырожденная
k × k-матрица B такая, что
Y (n + N) = Y (n)BN , где BN = A(N - 1)A(N - 2) · · · A(0).
Матрица BN называется матрицей монодромии. В [3, c. 155] доказана следующая
Теорема 3. Для каждой фундаментальной матрицы Y (n) системы (2) существует
невырожденная периодическая матрица P(n) периода N такая, что Y (n) = P(n)Bn. Если
z(n) - решение системы z(n + 1) = Bz(n), то y(n) = P (n)z(n).
Отметим, что элементы матриц P (n) и B в общем случае являются комплекснозначными.
Воспользовавшись теоремой 3 и сформулированным свойством, получаем, что верна
Теорема 4. Если все собственные числа λi, i = 1, k, матрицы B различны и |λi| = 1,
i = 1,k, то все решения системы (2) будут почти периодическими.
Пример 3. Рассмотрим систему разностных уравнений (2) при k = 3, где
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
7/27
14/3
2/3
-1
1
-1
1
0
-1
A(3n) =⎝-2/27
3
1/6
⎠,A(3n+1)= ⎝1
0
1
⎠,A(3n+2)= ⎝-1
2
1
⎠.
−7/27
-4
-1/6
-1
2
0
1
0
-2
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№4
2023
О НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ
499
Правые части этой системы периодичны с периодом N = 3. Находим матрицу монодромии
⎛
⎞
1/3
1
0
B3 = A(2)A(1)A(0) = ⎝-1/3
1/3
1
⎠.
20/27
-1/3
1/3
Корнями её характеристического уравнения
⎛
⎞
1/3 - μ
1
0
det⎝ -1/3
1/3 - μ
1
⎠=-μ3+μ2-μ+1=0
20/27
-1/3
1/3 - μ
являются числа μ1 = 1, μ2 = i, μ3 = -i, где i =
√-1 - мнимая единица. Все эти корни
различны и |μ1| = |μ2| = |μ3| = 1. Следовательно, собственные значения λ1, λ2, λ3 матрицы
B также различны и |λ1| = |λ2| = |λ3| = 1. Согласно теореме 4 все решения рассматриваемой
системы будут почти периодическими. Так как одно из собственных значений матрицы B3
равно единице, на основании теории Флоке можно утверждать, что среди всех решений у этой
системы имеются нетривиальные периодические решения с периодом N = 3.
3. Об ортогональности фундаментальной матрицы системы (2). Будем считать,
что n0 = 0 и Φ(n, n0) = Φ(n, 0) = Y (n). Более того, матрицу Y (n) считаем нормированной,
т.е. для неё выполняются соотношения (12).
Теорема 5. Нормированная фундаментальная матрица Y (n)ортогональна тогда и толь-
ко тогда, когда матрица A(n) ортогональна.
Доказательство. Вначале предположим, что Y (n) ортогональна, т.е.
Y (n)Y т = I.
(13)
Покажем, что
A(n)Aт(n) = I.
(14)
Заметим, что системы (2) и
Y т(n + 1) = Y т(n)Aт(n)
(15)
эквивалентны [29, c. 130]. Из соотношения Y (n+1)Yт(n+1) = I и уравнений (2), (15) получаем
A(n)Y (n)Yт(n)Aт(n) = I, откуда следует A(n)Aт(n) = I в силу (13).
Теперь предположим, что выполняется равенство (14). Докажем, что матрица Y (n) орто-
гональна. Из равенства (14) следует, что Aт(n)A(n) = I, откуда имеем Yт(n + 1)Y (n + 1) =
= Yт(n)AT(n)A(n)Y (n) = Yт(n)Y (n) = C, где C - некоторая постоянная матрица. Так как
Y (0) = Y т(0) = I, то C = I. Отсюда получаем Y т(n)Y (n) = I, что доказывает ортогональ-
ность фундаментальной матрицы Y (n). Теорема доказана.
Замечание 2. Отметим, что ситуация с разностной системой в теореме 5 отличается от си-
туации в случае системы обыкновенных дифференциальных уравнений. В статье [30] показано,
что нормированная фундаментальная матрица X(t) системы дифференциальных уравнений
x = A(t)x будет ортогональной при всех t тогда и только тогда, когда матрица коэффициен-
тов A(t) является кососимметрической при всех t, т.е. A(t) ≡ -Aт(t).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Chen S., Liu X. Stability analysis of discrete-time coupled systems with delays // J. of the Franklin
Institute. 2020. № 357. P. 9942-9959.
2. Игнатьев А.О. Метод функций Ляпунова в системах разностных уравнений: устойчивость относи-
тельно части переменных // Дифференц. уравнения. 2022. Т. 58. № 3. С. 407-415.
3. Elaydi S. An Introduction to Difference Equations. New York, 2005.
4. Lakshmikantham V., Trigiante D. Theory of Difference Equations: Numerical Methods and Applications.
New York, 2002.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№4
2023
5∗
500
ИГНАТЬЕВ
5. Agarwal R., Popenda J. Periodic solutions of first order linear difference equations // Math. Comput.
Modelling. 1995. V. 22. № 1. P. 11-19.
6. Савченко А.Я., Игнатьев А.О. Некоторые задачи устойчивости неавтономных динамических сис-
тем. Киев, 1989.
7. Giang D.V. Linear difference equations and periodic sequences over finite fields // Acta Math. Vietnam.
2016. V. 41. № 1. P. 171-181.
8. Hasil P., Vesely M. Limit periodic homogeneous linear difference systems // Appl. Math. Comput. 2015.
V. 265. P. 958-972.
9. Janglajew K., Schmeidel E. Periodicity of solutions of nonhomogeneous linear difference equations // Adv.
Difference Equat. 2012. V. 195.
10. Agarwal R. Difference Equations and Inequalities. Theory, Methods, and Applications. V. 228. New York,
2000.
11. Agarwal R., Wong P. Advanced Topics in Difference Equations. Dordrecht, 1997.
12. Gasull A. Difference equations everywhere: some motivating examples // Difference Equations, Discrete
Dynamical Systems and Applications / Eds. S. Elaydi et al. 2019. V. 287. P. 129-167.
13. Elaydi S., Sacker R. Periodic difference equations, population biology and the Cushing-Henson
conjectures // Math. Biosci. 2006. V. 201. № 1-2. P. 195-207.
14. Elaydi S., Sacker R. Global stability of periodic orbits of non-autonomous difference equations and
population biology // J. Differ. Equat. 2005. V. 208. № 1. P. 258-273.
15. Ignatyev A.O., Ignatyev O.A. On the stability of discrete systems // Integral Methods in Science and
Engineering. Boston, 2006. P. 105-116.
16. Ignatyev A.O., Ignatyev O.A. On the stability in periodic and almost periodic difference systems // J.
Math. Anal. Appl. 2006. V. 313. № 2. P. 678-688.
17. Zhang S., Liu P., Gopalsamy K. Almost periodic solutions of nonautonomous linear difference equations
// Appl. Analysis: an Int. J. 2002. V. 81. № 2. P. 281-301.
18. Деменчук А.К. О сильно нерегулярных периодических решениях линейного дискретного уравнения
первого порядка // Весцi НАН Беларусi. Сер. фiз.-мат. навук. 2020. Т. 56. № 1. С. 30-35.
19. Popenda J., Schmeidel E. Asymptotically periodic solution of some linear difference equations // Facta
Univ. Ser. Math. Inform. 1999. V. 14. P. 31-40.
20. Clark M.E., Gross L.J. Periodic solutions to nonautonomous difference equations // Math. Biosci. 1990.
V. 102. № 1. P. 105-119.
21. Vesely M. Construction of almost periodic sequences with given properties // Electron. J. Differ. Equat.
2008. V. 126.
22. Vesely M. Almost periodic homogeneous linear difference systems without almost periodic solutions // J.
Difference Equat. Appl. 2012. V. 18. № 10. P. 1623-1647.
23. Massera J.L. The existence of periodic solutions of systems of differential equations // Duke Math. J.
1950. V. 17. № 4. P. 457-475.
24. Makay G. On some possible extensions of Massera’s theorem // Electronic J. of Qualit. Theory of Differ.
Equat. 2000. V. 16. P. 1-8.
25. Zubelevich O. A note on theorem of Massera // Regul. Chaotic Dyn. 2006. V. 11. № 4. P. 475-481.
26. Li Y., Lin Z., Li Z. A Massera type criterion for linear functional differential equations with advanced
and delay // J. Math. Anal. Appl. 1996. V. 200. P. 717-725.
27. Corduneanu C. Almost Periodic Functions. New York, 1989.
28. Левитан Б.М. Почти периодические функции. М., 1953.
29. Мишина А.П., Проскуряков И.В. Справочная математическая библиотека. Высшая алгебра. М.,
1965.
30. Vleck F.S.V. A note on the relation between periodic and orthogonal fundamental solutions of linear
systems // Amer. Math. Monthly. V. 71. № 4. P. 406-408.
Институт прикладной математики и механики,
Поступила в редакцию 26.12.2022 г.
г. Донецк
После доработки 10.03.2023 г.
Принята к публикации 22.03.2023 г.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№4
2023
