ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2023, том 59, № 4, с.512-519

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ

И ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

УДК 517.968.72+519.642.2

СПЕЦИАЛЬНЫЙ ВАРИАНТ

МЕТОДА КОЛЛОКАЦИИ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА

ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Исследовано линейное интегро-дифференциальное уравнение с особым дифференциаль-

ным оператором в главной части. Для отыскания его приближённого решения в прост-

ранстве обобщённых функций предложен и обоснован специальный вариант обобщённого

метода коллокации.

DOI: 10.31857/S0374064123040088, EDN: ANOUZQ

Введение. Настоящая работа посвящена приближённому решению линейного интегро-

дифференциального уравнения (ИДУ)

∫

∏

Ax ≡ x(p)(t) (t - t_j)mj + K(t, s)x(s) ds = y(t),

(1)

j=1

-1

в котором t ∈ I ≡ [-1, 1], числа t_j ∈ (-1, 1), m_j ∈ N, j = 1, q, и p ∈ Z⁺ являются фиксиро-

ванными; K и y - известные непрерывные функции, обладающие определёнными свойствами

“гладкости” точечного характера, а x - искомая функция. Очевидно, что задача об отыскании

решения ИДУ (1) в классе обычных гладких функций является некорректно поставленной.

Следовательно, важен вопрос о построении основных пространств, обеспечивающих коррект-

ность данной задачи. При обсуждении этого вопроса вполне естественно учитывать, что в слу-

чае p = 0 ИДУ (1) преобразуется в линейное интегральное уравнение третьего рода (УТР)

(т.е. в этом смысле эти уравнения являются “родственными”). Хорошо известно, что УТР ши-

роко применяются в различных приложениях, в частности, УТР встречаются в ряде задач

теорий переноса нейтронов, упругости, рассеяния частиц (см., например, [1; 2, с. 121-129] и

приведённую в них библиографию), в теории уравнений с частными производными смешанно-

го типа [3], а также в теории сингулярных интегральных уравнений с вырождающимся симво-

лом [4]. При этом, как правило, естественными классами решений УТР являются специальные

пространства обобщённых функций типа D или V. Под D (соответственно V ) понимается

пространство обобщённых функций, построенных при помощи функционала “дельта-функция

Дирака” (соответственно функционала “конечная часть интеграла по Адамару”). Подробный

обзор полученных результатов и обширную библиографию по УТР можно найти в моногра-

фии [5, с. 3-11, 168-173] и в диссертации [6, с. 3-6, 106-114]. На основе упомянутой выше связи

между ИДУ (1) и УТР соответствующие идеи и результаты для УТР можно успешно исполь-

зовать для корректной постановки задачи для уравнения (1), разработки и теоретического

обоснования приближённых методов его решения в пространствах обобщённых функций.

ИДУ (1) при q = 1, t₁ = 0 исследовано в работе [7, с. 25-43], в которой с использованием

известных результатов по УТР построена теория Нётера для такого уравнения в классах глад-

ких и обобщённых функций типа D. В статье [8] разработана полная теория разрешимости

общего ИДУ (1) в некотором пространстве типа D обобщённых функций (фредгольмовость

уравнения, условия разрешимости, алгоритм отыскания точного решения, достаточные усло-

вия непрерывной обратимости оператора A). Следует отметить, что исследуемые ИДУ точно

решаются лишь в очень редких частных случаях. Поэтому особенно актуальна разработка

эффективных методов их приближённого решения в пространствах обобщённых функций с

512

СПЕЦИАЛЬНЫЙ ВАРИАНТ МЕТОДА КОЛЛОКАЦИИ

513

соответствующим теоретическим обоснованием. Определённые результаты в этой области по-

лучены в работах [8, 9], где предложены и обоснованы прямые проекционные методы при-

ближённого решения ИДУ вида (1), основанные на применении стандартных и некоторых

специальных полиномов.

В настоящей статье разработан обобщённый вариант метода коллокации, специально при-

способленный к приближённому решению ИДУ (1) в пространстве типа D обобщённых функ-

ций. Основное внимание уделено обоснованию построенного метода в смысле [10, гл. 1], а

именно доказана теорема существования и единственности решения соответствующего при-

ближённого уравнения, установлены оценки погрешности приближённого решения и доказана

безусловная сходимость последовательности приближённых решений к точному решению од-

нозначно разрешимого ИДУ (1). Также исследованы вопросы устойчивости и обусловленности

аппроксимирующих уравнений.

1. О пространствах основных и обобщённых функций. Пусть C ≡ C(I) - банахово

пространство всех непрерывных на отрезке I функций с обычной max-нормой и m ∈ N.

Обозначим через C{m; 0} ≡ C{m}0(I) множество всех функций f ∈ C, имеющих в точке t = 0

тейлоровскую производную f^{m}(0) порядка m (см., например, [11]). Назовём его классом

“точечно-гладких” функций (естественно считаем, что C{0; 0} ≡ C). Построим основное в

наших исследованиях пространство

Y ≡ C{m,p;0} ≡ {y ∈ C{m;0} : y^{i}(0) = 0, i = 0,p - 1},

где число p ∈ Z⁺ удовлетворяет неравенству p < m. Снабдим его нормой

∑

∥y∥_Y ≡ ∥T y∥_C +

|y^{i}(0)|,

(2)

i=p

где T : Y → C - “характеристический” оператор класса Y, определённый следующим образом:

[

]

∑

tⁱ

(T y)(t) ≡ y(t) -

y^{i}(0)

t^-m ≡ H(t) ∈ C, H(0) ≡ lim H(t).

t→0

i=p

Лемма 1 [8]. i) Включение y ∈ Y равносильно выражению

∑

y(t) = t^mH(t) +

α_itⁱ,

(3)

i=p

причём Ty = H ∈ C с точностью до устранимого разрыва в точке t = 0, а y^{i}(0) = α_ii!,

i = p,m - 1.

ii) Пространство Y по норме (2) полно и нормально вложено в пространство C.

Обозначим через C(p) ≡ C(p)(I) векторное пространство p раз непрерывно дифференци-

руемых на I функций, в котором введём специальную норму

∑

∥z∥(p) ≡ ∥Dz∥_C +

|z(i)(-1)|, z ∈ C(p),

(4)

i=0

где Dz ≡ z(p)(t) ∈ C.

Лемма 2 [8]. Пространство C(p) с нормой (4) полно и нормально вложено в простран-

ство C.

Следствие 1. Обычная норма ∥·∥_C(p) в C(p) и норма (4) эквивалентны, т.е. существует

постоянная d ≥ 1 такая, что ∥z∥(p) ≤ ∥z∥_C(p) ≤ d∥z∥(p) для любой функции z ∈ C(p), где

∑_p

∥z∥_C(p) ≡

∥z(i)∥_C .

i=0

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№4

2023

514

ГАББАСОВ

Пусть C(p)-1 ≡ C(p)-1(I) ≡ {z ∈ C(p) : z(i)(-1) = 0, i = 0, p - 1} - банахово пространство

гладких функций с нормой ∥z∥(p) ≡ ∥Dz∥_C .

Теперь над пространством Y основных функций построим семейство X ≡ D(p)-1{m; 0}

обобщённых функций x(t) вида

∑

x(t) ≡ z(t) +

γ_iδ^{i}(t),

(5)

i=0

где t ∈ I, z ∈ C(p)-1, γ_i ∈ R - произвольные постоянные, а δ и δ^{i} - соответственно дельта-

функция Дирака и её “тейлоровские” производные, действующие на пространстве Y основных

функций по следующему правилу:

∫1

(δ^{i}, y) ≡

δ^{i}(t)y(t)dt ≡ (-1)ⁱy^{i}(0), y ∈ Y, i = 0,m - p - 1.

(6)

−1

Очевидно, что векторное пространство X банахово относительно нормы

∑

∥x∥_X ≡ ∥z∥(p) +

|γ_i|.

(7)

i=0

2. О полиномиальном приближении “точечно-гладких” функций. Введём следу-

ющий класс алгебраических полиномов:

Πm+lp ≡ span {tⁱ}m+lp, l ∈ N

^⋃ {0}.

Пусть Γ_n ≡ Γ4n+m-p : Y → Πm+4n-1p - оператор, ставящий в соответствие любой функции

y ∈ Y полином Γ_ny, однозначно определяемый условиями

(T Γ_ny - T y)(ν_j) = 0, (T Γ_ny)(k)(ν_j ) = 0, k = 1, 3, j = 1, n,

(Γ_ny - y)^{i}(0) = 0, i = p, m - 1,

(8)

где {ν_j }n1 - система узлов Чебышёва первого рода.

Лемма 3. Оператор Γ_n действует согласно правилу

∑

tⁱ

Γ_ny ≡ Γ4n+m-p(y;t) ≡ t^m(Φ_nTy)(t) +

y^{i}(0)

y∈Y,

(9)

i=p

где Φ_n ≡ Φ4n-1 : C → Π4n-10 - интерполяционный оператор, который всякой функции f ∈ C

ставит в соответствие полином Φ_nf, однозначно определённый из 4n условий

(Φ_nf)(ν_j ) = f(ν_j), (Φ_nf)(k)(ν_j) = 0, k = 1, 3, j = 1, n.

(10)

Доказательство. Искомый полином Γ_ny ∈ Πm+4n-1p представим в виде

∑

Γ_ny ≡

α_itⁱ =

α_itⁱ + t^mP4n-1(t), P4n-1 ≡

αm+itⁱ.

(11)

i=p

i=0

При этом на основании леммы 1 имеем

P4n-1(t) = (TΓ_ny)(t), α_i = (Γ_ny)^{i}(0)/i!, i = p,m - 1.

(12)

Тогда из (11) с учётом равенств (12), (8) и (10) вытекает соотношение (9). Лемма доказана.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№4

2023

СПЕЦИАЛЬНЫЙ ВАРИАНТ МЕТОДА КОЛЛОКАЦИИ

515

Одно из аппроксимативных свойств полиномиального оператора Γ_n в пространстве Y

устанавливает

Лемма 4. Для любой функции y ∈ Y справедлива оценка

(

)

ln n

∥y - Γ_ny∥_Y ≤ d₁ω T y;

(13)

где ω(f; Δ) - модуль непрерывности функции f ∈ C с шагом Δ, 0 < Δ ≤ 2 (здесь и далее d_i,

i = 1,2, - некоторые константы, значения которых не зависят от натурального числа n).

Справедливость леммы 4 легко следует из леммы 1, соотношений (9), (2) и оценки [12]:

(

)

ln n

∥f - Φ_nf∥_C ≤ d₁ω f;

f ∈C.

(14)

Далее введём в рассмотрение множество

Q4n+m-1p ≡ {y ∈ Π4n+m-1p : (Ty_n)(k)(ν_j) = 0, k = 1,3, j = 1,n}.

Лемма 5. Оператор Γ_n : Y → Q4n+m-1p является проекционным.

Доказательство. Пусть y_n ∈ Q4n+m-1p- произвольный полином, H_ji(t), i = 0, 3, j =

= 1, n, - фундаментальные полиномы Эрмита степени 4n - 1 по узлам {ν_j }n1 (см., например,

[13, с. 63]). Тогда очевидно равенство

∑∑

∑

(T y_n)(t) =

(T y_n)(i)(ν_j )H_ji(t) =

(T y_n)(ν_j )Hj0(t) ≡ (Φ_nT y_n)(t).

(15)

j=1 i=0

j=1

Теперь из соотношений (9), (15) и леммы 1 следует, что Γ_ny_n = y_n. Лемма доказана.

3. Обобщённый метод коллокации на основе специального интерполяционно-

го полинома. Пусть задано ИДУ (1). Для сокращения громоздких выкладок и упрощения

формулировок, не ограничивая при этом общности идей, методов и результатов, всюду в даль-

нейшем будем считать, что q = 1, t₁ = 0, т.е. рассмотрим ИДУ вида

(Ax)(t) ≡ (V x)(t) + (Kx)(t) = y(t), t ∈ I,

∫1

V ≡ UD, Df ≡ f(p)(t), Ug ≡ t^mg(t), Kx ≡ K(t,s)x(s)ds,

(16)

-1

где p ∈ N

^⋃ {0}, m ∈ N, p < m; y ∈ Y ≡ C{m,p;0}; ядро K обладает следующими

свойствами:

K(·,s) ∈ C,K(t,·) ∈ Y, ψ_i(t) ≡ K^{i}s(t,0) ∈ Y, i = 0,m - p - 1,

(17)

а x ∈ X - искомый элемент.

Приближённое решение ИДУ (16) построим в виде

∑

x_n ≡ x_n(t;{c_j}) ≡ g_n(t) +

ci+4nδ^{i}(t),

(18)

i=0

∑

g_n ≡ (Jz_n)(t),z_n(t) ≡

c_itⁱ,

n = 2,3,...,

(19)

i=0

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№4

2023

6^∗

516

ГАББАСОВ

где

∫

Jz ≡ (Jp-1z)(t) ≡ ((p - 1)!)-1 (t - s)p-1z(s)ds,

-1

при этом J : C → C(p), (Jz)(i) = Jp-i-1z, i = 0, p - 1, DJz = z. Неизвестные параметры

c_j

= c(n)j, j = 0, 4n + m - p - 1, найдём согласно нашему методу из квадратной системы

линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) (4n + m - p)-го порядка:

(T ρ_n)(ν_j ) = 0, (T Ux_n)(k)(ν_j ) = 0, k = 1, 3, j = 1, n, ρ^{i}n(0) = 0, i = p, m - 1,

(20)

где ρ_n(t) ≡ ρ^An(t) ≡ (Ax_n - y)(t) - невязка приближённого решения, а {ν_j}n1 - использованная

выше система узлов коллокации.

Следуя работе [14], примем соглашения, полезные при оформлении результатов по обосно-

ванию приближённых методов. Во-первых, стандартное утверждение “при всех n ∈ N, n ≥ n₀,

СЛАУ (20) имеет единственное решение {c^∗j}, и последовательность приближённых решений

x^∗n ≡ x_n(t;{c^∗j}) сходится к точному решению x^∗ = A-1y уравнения (16) по норме прост-

ранства X ” заменим простой фразой “метод (18)-(20) обоснованно применим к уравнению

(16)”. Во-вторых, для погрешности приближённого решения введём специальное обозначение

Δx^∗n ≡ ∥x^∗n - x^∗∥_X; оценка этой величины определяет скорость сходимости приближённых

решений x^∗n к точному решению x^∗ уравнения (16).

Для вычислительного алгоритма (16)-(20) справедлива

Теорема 1. Если однородное ИДУ Ax = 0 имеет в пространстве X лишь нулевое ре-

шение (например, в условиях теоремы 2 из [8]), то прямой метод (18)-(20) обоснованно

применим к уравнению (16), причём

{

}

∑

Δx^∗n = O ω_t(h;Δ_n) +

ω(f_i; Δ_n) + ω(T y; Δ_n)

(21)

i=0

где ω_t(h; Δ) - частный модуль непрерывности функции h(t, s) по переменной t; h ≡ T_tK,

f_i ≡ Tψ_i, i = 0,m - p - 1, Δ_n ≡ n-1 lnn.

Доказательство. Очевидно, что ИДУ (16) можно представить в виде линейного опера-

торного уравнения

Ax ≡ V x + Kx = y, x ∈ X ≡ D(p)-1{m; 0}, y ∈ Y ≡ C{m, p; 0},

(22)

в котором оператор A : X → Y непрерывно обратим.

Систему (18)-(20) требуется записать также в операторной форме. С этой целью постро-

им соответствующие конечномерные подпространства основных пространств. Именно, через

X_n ⊂ X обозначим (4n + m - p)-мерное подпространство элементов вида (18) таких, что

(T Ux_n)(k)(ν_j ) = 0, k = 1, 3, j = 1, n, а за Y_n ⊂ Y примем класс Q4n+m-1p.

Покажем теперь, что система (18)-(20) эквивалентна линейному уравнению

A_nx_n ≡ V x_n + Γ_nKx_n = Γ_ny, x_n ∈ X_n, Γ_ny ∈ Y_n.

(23)

Пусть x^∗n ≡ x_n(t; {c^∗j}) - решение уравнения (23), т.е. V x^∗n + Γ_nτ^∗n = 0, τ^∗n ≡ Kx^∗n - y.

В силу равенств (18), (19) и (9) последнее означает, что

∑

tⁱ

(U(z^∗n + Φ_nT τ^∗n))(t) +

(τ^∗n)^{i}(0)

≡ 0.

(24)

i=p

На основании (3) очевидно, что тождество (24) равносильно системе

(z^∗n + Φ_nT τ^∗n)(t) ≡ 0, (τ^∗n)^{i}(0) = 0, i = p, m - 1.

(25)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№4

2023

СПЕЦИАЛЬНЫЙ ВАРИАНТ МЕТОДА КОЛЛОКАЦИИ

517

Подробно изучим первое тождество в (25). С учётом условий (10) и соотношений Φ_nz^∗n = z^∗n,

z^∗n = TUz^∗n = TUx^∗n = TV x^∗n рассматриваемое тождество принимает вид

(T ρ^∗n)(ν_j ) = 0, (T Ux^∗n)(k)(ν_j ) = 0, k = 1, 3, j = 1, n, ρ^∗n ≡ Ax^∗n - y.

Далее, поскольку V x^∗n = Uz^∗n, имеем

(ρ^∗n)^{i}(0) = (V x^∗n + Kx^∗n - y)^{i}(0) ≡ (Uz^∗n + τ^∗n)^{i}(0) = (τ^∗n)^{i}(0), i = p, m - 1.

Следовательно, система (25) принимает вид

(T ρ^∗n)(ν_j ) = 0, (T Ux^∗n)(k)(ν_j ) = 0, k = 1, 3, j = 1, n,

(ρ^∗n)^{i}(0) = 0, i = p, m - 1.

Итак, СЛАУ (20) имеет единственное решение {c^∗j}4n+m-p-10, т.е. решение уравнения (23)

является решением системы (18)-(20).

Для получения обратного утверждения достаточно провести изложенные выше рассужде-

ния в обратном порядке.

Таким образом, для доказательства теоремы 1 достаточно установить существование, един-

ственность и сходимость решений уравнения (23).

Покажем теперь “близость” операторов A и A_n на подпространстве X_n в условиях (17).

Используя уравнения (16) и (23), представления (3) и (9), норму (2), для произвольного эле-

мента x_n ∈ X_n находим, что

∥Ax_n - A_nx_n∥_Y = ∥Kx_n - Γ_nKx_n∥_Y = ∥T Kx_n - Φ_nT Kx_n∥_C .

(26)

На основании (16), (5) и (6) имеем

∑

(Kx)(t) = (Kz)(t) +

(-1)ⁱγ_iψ_i(t).

i=0

Следовательно,

∑

(Kx_n)(t) = (Kg_n)(t) +

(-1)ⁱci+4nψ_i(t),

i=0

и тогда справедливо равенство

∫1

∑

(T Kx_n)(t) = h(t, s)g_n(s) ds +

(-1)ⁱci+4nf_i(t).

(27)

i=0

−1

В силу (27), (14), леммы 2 и определения (7) последовательно выводим промежуточную

оценку

 ∫



∑



∥T Kx_n - Φ_nT Kx_n∥_C ≡ max

h - Φ^tnh)(t,s)g_n(s)ds +

(-1)ⁱci+4n(f_i - Φ_nf_i)(t)

 (

≤

t∈I

−1

∑

≤ 2d₁∥g_n∥_C ω_t(h; Δ_n) + d₁

|ci+4n|ω(f_i; Δ_n) ≤ 2d₁∥g_n∥(p)ω_t(h; Δ_n) + d₁∥x_n∥_X

ω(f_i; Δ_n) ≤

[

]

∑

≤ d₂ ω_t(h;Δ_n) + ω(f_i;Δ_n) ∥x_n∥_X, d₂ ≡ 2d₁.

(28)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№4

2023

518

ГАББАСОВ

Из (26) и (28) следует искомая оценка “близости” операторов A и A_n :

[

]

∑

ε_n ≡ ∥A - A_n∥Xn→Y ≤ d2 ωt(h;Δn) + ω(fi;Δn) .

(29)

На основании оценок (29) и (13) из теоремы 7 работы [10, с. 19] вытекает утверждение

теоремы 1 с оценкой погрешности (21).

Следствие 2. Если h (по t), f_i, i = 0, m - p - 1, и T y принадлежат классу C⁽¹⁾, то

в условиях теоремы 1 верна оценка Δx^∗n = O(Δ_n).

4. Об устойчивости и обусловленности предложенного метода. На практике при-

ближённое уравнение (23), в силу неточности задания его элементов, решается, вообще говоря,

только приближённо. Например, уравнение (23) заменяется уравнением вида

B_nx_n = u_n, x_n ∈ X_n, u_n ∈ Y_n,

в котором B_n : X_n → Y_n - линейный оператор, причём A_n и B_n, а также y_n ≡ Γ_ny и u_n,

“близки” в определённом смысле. Следовательно, возникает необходимость исследования на

устойчивость прямых методов решения уравнения (22).

Далее снова рассмотрим операторное уравнение (22). Величина μ ≡ μ(A) ≡ ∥A∥∥A-1∥

называется числом обусловленности оператора A и уравнения (22) (см., например, [10, с. 24]);

уравнение (22) называется хорошо обусловленным, если μ невелико, и плохо обусловленным -

в противном случае.

Теорема 2. В условиях теоремы 1 справедливы следующие утверждения:

i) прямой метод (18)-(20) для ИДУ (16) устойчив относительно малых возмущений

исходных данных СЛАУ (20);

ii) при достаточно больших n существуют числа μ_n ≡ μ(A_n) для приближённого урав-

нения (23), причём

μ_n ≤ cμ,

1 ≤ c ≤ 1 + ε, ε > 0, n ≥ n₁(ε), limμ_n = μ,

т.е. если ИДУ (16) хорошо обусловлено, то СЛАУ (20) также хорошо обусловлена.

Доказательство следует из теорем 11-13 работы [10, с. 22-25] с учётом того, что в усло-

виях теоремы 1 при достаточно больших n аппроксимирующие операторы A_n непрерывно

обратимы и обратные операторы ограничены по норме в совокупности:

∥A-1n∥ = O(1), A-1n : Y_n → X_n, n ≥ n₂.

5. Замечания.

1. При приближении решений операторных уравнений Ax = y возникает естественный

вопрос о скорости сходимости невязки ρ^∗n(t) ≡ (Ax^∗n - y)(t) исследуемого метода. Один из

результатов в этом направлении легко получить из теоремы 1, а именно, из неё вытекает

простое следствие: если исходные данные (h, f_i, T y) уравнения (16) принадлежат классу C¹,

то в условиях теоремы 1 справедлива оценка ∥ρ^∗n∥_Y = O(Δ_n).

2. В силу определения нормы в D(p)-1{m; 0} нетрудно заметить, что из сходимости последо-

вательности x^∗n приближённых решений к x^∗ = A-1y в метрике D(p)-1{m; 0} следует обычная

сходимость в пространстве обобщённых функций, т.е. слабая сходимость.

3. Если p = m = 0, то ИДУ (16) преобразуется в интегральное уравнение Фредгольма

второго рода в пространстве C, а предложенный вычислительный алгоритм (18)-(20) - в

соответствующий вариант метода коллокации для уравнения второго рода, причём T y ≡ y и

h ≡ K. Поэтому теорема 1 охватывает соответствующие результаты по обоснованию данного

варианта метода коллокации для приближённого решения уравнений второго рода в классе

C, при этом погрешность характеризуется оценкой ∥x^∗n - x^∗∥_C = O[ω_t(K;Δ_n) + ω(y;Δ_n)].

4. Результат теоремы 2 по устойчивости предложенного метода позволяет найти численное

решение исследуемых уравнений с любой наперёд заданной степенью точности.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№4

2023

СПЕЦИАЛЬНЫЙ ВАРИАНТ МЕТОДА КОЛЛОКАЦИИ

519

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Bart G.R., Warnock R.L. Linear integral equations of the third-kind // SIAM J. Math. Anal. 1973. V. 4.

№ 4. P. 609-622.

2. Кейз К.М., Цвайфель П.Ф. Линейная теория переноса. М., 1972.

3. Бжихатлов Х.Г. Об одной краевой задаче со смещением // Дифференц. уравнения. 1973. Т. 9. № 1.

С. 162-165.

4. Расламбеков С.Н. Сингулярное интегральное уравнение первого рода в исключительном случае в

классах обобщённых функций // Изв. вузов. Математика. 1983. № 10. С. 51-56.

5. Габбасов Н.С. Методы решения интегральных уравнений Фредгольма в пространствах обобщённых

функций. Казань, 2006.

6. Замалиев Р.Р. О прямых методах решения интегральных уравнений третьего рода с особенностями

в ядре: дис

канд. физ.-мат. наук. Казань, 2012.

7. Абдурахман. Интегральное уравнение третьего рода с особым дифференциальным оператором в

главной части: дис

канд. физ.-мат. наук. Ростов-на-Дону, 2003.

8. Габбасов Н.С. Об одном классе интегро-дифференциальных уравнений в особом случае // Диффе-

ренц. уравнения. 2021. Т. 57. № 7. С. 889-899.

9. Габбасов Н.С. Коллокационные методы для одного класса особых интегро-дифференциальных урав-

нений // Дифференц. уравнения. 2022. Т. 58. № 9. С. 1234-1241.

10. Габдулхаев Б.Г. Оптимальные аппроксимации решений линейных задач. Казань, 1980.

11. Прессдорф З. Сингулярное интегральное уравнение с символом, обращающимся в нуль в конечном

числе точек // Мат. исследования. 1972. Т. 7. № 1. C. 116-132.

12. Olarly F. Asupra ordinului de approximatie prin polyinoame de interpolare de tip Hermite-Fejer en

noduri cvadruple // An. Univ. Timisoara. Ser. Sti. Mat.-Fiz. 1965. № 3. P. 227-234.

13. Привалов А.А. Теория интерполирования функций. Саратов, 1990.

14. Габбасов Н.С. Прямые методы решения интегро-дифференциальных уравнений в особом случае

// Дифференц. уравнения. 2016. Т. 52. № 7. С. 904-916.

Набережночелнинский институт

Поступила в редакцию 28.12.2022 г.

Казанского (Приволжского) федерального университета

После доработки 28.12.2022 г.

Принята к публикации 24.02.2023 г.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№4

2023