ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2023, том 59, № 4, с. 554-562

ТЕОРИЯ УПРАВЛЕНИЯ

УДК 517.977

ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПЕРЕКЛЮЧАЕМОЙ АФФИННОЙ

СИСТЕМЫ ДЛЯ НЕКОТОРОГО КЛАССА

ПЕРЕКЛЮЧАЮЩИХ СИГНАЛОВ

Исследована задача об устойчивости нулевого положения равновесия переключаемой аф-

финной системы, замкнутой линейной статической обратной связью по состоянию. Введено

понятие допустимого управления для заданного множества переключающих сигналов и по-

лучено конструктивное условие проверки указанного свойства для произвольной линейной

обратной связи. Сформулировано достаточное условие устойчивости нулевого положения

равновесия переключаемой аффинной системы, замкнутой допустимым управлением.

DOI: 10.31857/S0374064123040118, EDN: ANVLXF

Введение. Как известно [1; 2, с. 10], кусочно-линейные системы могут быть эффективно

использованы для аппроксимации нелинейных аффинных управляемых систем вида

x = g(x) + p(x)u, x ∈ Rⁿ,

(1)

с достаточно гладкими функциями g(x), p(x) и скалярным управлением u. Под кусочно-

линейной системой обычно понимают динамическую систему, имеющую различную линейную

динамику в разных областях непрерывного пространства состояний. Если говорить более точ-

но, то аппроксимирующие линейные системы имеют вид

x = A_ix + v_i + b_iu, x ∈ X_i, A_i ∈ R^n×n, i = 1,m,

(2)

и фактически являются аффинными, поэтому далее будем называть кусочно-линейные ап-

проксимации кусочно-аффинными. Здесь множества X_i образуют некоторое разбиение прост-

ранства состояний Rⁿ системы (1). Как правило, эти множества представляют собой замк-

нутые выпуклые многогранники, которые могут пересекаться только своими гранями. Под

выпуклым многогранником понимаем выпуклое множество, ограниченное некоторым числом

гиперплоскостей. При этом в общем случае многогранник может быть неограниченным. Далее

замкнутые выпуклые многогранники разбиения будем обозначать через M_i.

Алгоритмы управления, в частности стабилизирующие регуляторы, разрабатываемые для

кусочно-аффинных аппроксимаций (2), позволяют успешно применять их и для исходных

нелинейных систем (1) [2, с. 97; 3]. При этом для обоснования работоспособности указанных

регуляторов можно использовать как численное моделирование, так и аналитические методы,

например, аппарат дифференциальных включений.

В теории автоматического управления важнейшими задачами являются исследование ус-

тойчивости положения равновесия замкнутой системы (с реализованным алгоритмом управ-

ления) и стабилизация неустойчивого положения равновесия управляемого объекта, причём,

как правило, в таких задачах идет речь о нулевом положении равновесия. В рамках рассмат-

риваемого подхода к управлению нелинейными объектами вида (1), основанного на переходе к

кусочно-аффинным аппроксимациям этих систем, далее в настоящей работе основное внима-

ние будет уделено анализу устойчивости нулевого положения равновесия кусочно-аффинных

систем, замкнутых линейной статической обратной связью вида u = -θ^тx, т.е. систем

x = (A_i - b_iθ^т)x + v_i, x ∈ M_i, i = 1,m,

(3)

554

ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПЕРЕКЛЮЧАЕМОЙ АФФИННОЙ СИСТЕМЫ

555

где v₁ = 0, θ ∈ Rⁿ, а M_i - замкнутые выпуклые многогранники, образующие некоторое раз-

биение евклидова пространства Rⁿ. Под решением системы (3) обычно понимают абсолютно

непрерывную функцию, удовлетворяющую уравнению

x = (A_i - b_iθ^т)x + v_i

(4)

внутри каждого многогранника M_i и доопределяемую на границах между этими многогран-

никами тем или иным способом, например, в соответствии с методом простейшего выпуклого

доопределения [4, с. 40].

Исследованию устойчивости нулевого положения равновесия кусочно-аффинных систем

посвящено достаточно большое количество работ различных авторов (см., например, библио-

графию в работе [2]). При этом, как правило, условия устойчивости формулируются на основе

метода функций Ляпунова, в частности, кусочно-квадратичных функций Ляпунова.

Необходимо отметить, что устойчивость положения равновесия кусочно-аффинной систе-

мы (3) существенно зависит от разбиения пространства Rⁿ на многогранники M_i. Так, в

работе [2, с. 56] сформулировано достаточное условие экспоненциальной устойчивости поло-

жения равновесия кусочно-аффинной системы, основанное на разрешимости решений линей-

ных матричных неравенств и обеспечивающее существование кусочно-квадратичной функции

Ляпунова для данной системы. При этом решения линейных матричных неравенств должны

удовлетворять некоторым дополнительным условиям (что, вообще говоря, сильно усложняет

проверку их существования), а сами неравенства включать матрицы, описывающие грани-

цы областей разбиения. В результате за счёт вариации областей разбиения можно влиять на

свойства решений указанных матричных неравенств. Например, в работе [5] удалось добиться

более простых условий на решения линейных матричных неравенств за счёт существенного

упрощения областей разбиения. Таким образом, задача анализа устойчивости положения рав-

новесия кусочно-аффинной системы остаётся актуальной с точки зрения конструктивности

получаемых условий устойчивости.

Заметим, что для каждого фиксированного управления u = -θ^тx замкнутую кусочно-

аффинную систему (3) можно рассматривать (в случае, если на границах многогранников

отсутствуют скользящие режимы) как переключаемую систему [6, с. 5], для которой переклю-

чающий сигнал σ(x) является кусочно-постоянной функцией состояния. При этом значение

переключающего сигнала постоянно внутри каждого многогранника разбиения и различно для

внутренних точек разных многогранников, т.е. σ(x) = i, если x ∈ M_i (через M_i обозначаем

множество внутренних точек многогранника M_i). Тогда разбиение пространства состояний на

m многогранников можно определить заданием соответствующего переключающего сигнала.

Пусть теперь заданы семейство открытых аффинных режимов (управление u считаем

неопределённым)

x = A_ix + v_i + b_iu, i = 1,m,

и некоторое множество S переключающих сигналов, определяющих различные разбиения

пространства состояний Rⁿ. Тогда получим управляемую переключаемую аффинную систему

x = A_σx + v_σ + b_σu, σ ∈ S, v₁ = 0,

(5)

для которой, так же как и для системы (3), можно поставить задачу анализа устойчивости

нулевого положения равновесия при её замыкании заданной обратной связью u = u(x) (u(0) =

= 0). Именно эта задача и является предметом исследования настоящей работы. Ниже будут

даны более точные определения и формулировки, а пока отметим, что такая задача может

возникать в случае управления системами с неопределённостями, например, когда значения

функций g(x), p(x) и касательные гиперплоскости для функции g(x) нелинейной системы

(1) известны лишь для некоторого конечного множества точек {x₁, . . . , x_m} в пространстве

состояний. В этом случае кусочно-аффинная аппроксимация может быть построена лишь по

указанному набору узлов, при этом выбор разбиения пространства состояний на области ак-

тивности построенных аффинных режимов становится неоднозначным, в связи с чем в таком

случае естественно рассматривать кусочно-аффинную аппроксимацию как переключаемую

аффинную систему (5) на некотором множестве S переключающих сигналов.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№4

2023

556

ФУРСОВ, КРЫЛОВ

1. Основные определения и постановка задачи. Прежде чем перейти к точной по-

становке задачи, введём некоторые необходимые понятия. Рассмотрим разбиение евклидова

пространства Rⁿ на m замкнутых выпуклых многогранников M_i, i = 1, m. При этом счи-

таем, что 0 ∈ M₁. Так как пара выпуклых многогранников, не имеющих общих внутренних

точек, может иметь не более одной общей грани, то в описанном разбиении каждый много-

гранник имеет не более m - 1 граней.

Пусть P_ij = {x ∈ Rⁿ : 〈n_ij, x〉 = d_ij } - плоскость, содержащая общую грань многогран-

ников M_i и M_j . Здесь n_ij - вектор нормали к плоскости P_ij , направленный в сторону

многогранника M_j , d_ij ∈ R, а 〈 · , · 〉 - стандартное скалярное произведение в Rⁿ.

Далее рассмотрим всевозможные наборы чисел (α₁ . . . α_p), удовлетворяющие условиям:

1) α₁, . . . , α_p ∈ {1, . . . , m};

2) 2 ≤ p ≤ m;

3) α_i = α_j при i = j.

⋂_p

Каждому такому набору сопоставим множество Γα1...αp

i=1

Mαi . Пусть Γα1...αp

⋃

= Γα1...αp \ k=α₁,...,αp ^Mk.Тогда множество

⋃

Γ=

Γα1...αp

(α₁...αp)

α₁<...<αp

содержит все граничные точки заданного разбиения евклидова пространства на выпуклые

многогранники. Заметим, что:

1) в общем случае некоторые множества Γα1...αp могут быть пустыми;

2) Γα1...αp = Γβ1...βp,еслинабор(β1^...βp^{)можетбытьполученнекоторойперестановкой}

чисел из набора (α₁ . . . α_p);

3) любые два различных множества Γα1...αp и Γβ1...βr^{непересекаются.}

Далее для удобства будем полагать Γ_i = M_i и Γ_i = M_i, а также n_ij = 0, d_ij = 1, если

Γ_ij = ∅. Легко видеть, что с учётом введённых понятий аналогично [2, с. 24] любое разбиение

евклидова пространства на m выпуклых многогранников может быть описано набором нор-

малей n_ij и соответствующих чисел d_ij . Обозначим через N = [n_ijk] трёхмерную матрицу

размера m × m × n, для которой коэффициент n_ijk является k-й компонентой вектора n_ij, и

через D = [d_ij ]mi,j=1 - матрицу из R^m×m. При этом, очевидно, n_ji = -n_ij, d_ji = -d_ij (в слу-

чае, если n_ij = 0, считаем, что d_ij = d_ji = 1). Для удобства полагаем n_ii = 0, d_ii = 1. Через

F обозначим некоторое множество пар (N, D), задающих различные разбиения пространства

Rⁿ на m выпуклых многогранников.

Теперь рассмотрим переключаемую скалярную по входу аффинную систему

x = A_σx + v_σ + b_σu, σ ∈ S(F),

(6)

где σ(x; N, D) : Rⁿ → I = {1, . . . , m} - кусочно-постоянная функция (переключающий сигнал),

задаваемая парой (N, D) ∈ F и принимающая постоянное значение i на каждом открытом

выпуклом многограннике M_i; x ∈ Rⁿ - вектор состояния; u ∈ R - управляющий вход; A_σ =

= A ◦ σ - композиция отображения A : I → {A₁,...,A_m} и переключающего сигнала σ;

b_σ = b ◦ σ и v_σ = v ◦ σ - аналогичные композиции для отображений b : I → {b₁,... ,b_m},

v : I → {v₁,...,v_m}, причём считаем, что v₁ = 0. Через Γ(N;D) будем обозначать множество

граничных точек разбиения, задаваемого парой (N, D) ∈ F.

Значение функции σ(x; N, D) в каждой точке x ∈ Γ(N; D) определяет активный режим

(подсистему) функционирования (A_i, b_i, v_i) переключаемой системы (6), описываемый аффин-

ной системой

x = A_ix + v_i + b_iu.

Для того чтобы доопределить значения переключающего сигнала на множестве Γ(N; D), необ-

ходимо задать для системы (6) конкретный алгоритм управления u.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№4

2023

ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПЕРЕКЛЮЧАЕМОЙ АФФИННОЙ СИСТЕМЫ

557

Итак, замкнём систему (6) линейной обратной связью u = -θ^тx:

x = A_σx + v_σ - b_σθ^тx, σ ∈ S(F).

(7)

Пусть A_i = A_i - b_iθ^т. Рассматриваемую обратную связь будем считать допустимой, если

выполнено следующее условие.

Условие А. Для любой пары (N, D) ∈ F и любого набора (α₁, . . . , α_p) (Γα1,...,αp = ∅)

верно, что для любого x ∈ Γα1,...,αp существует единственный номер αi ∈ {α1, . . . , αp} такой,

что для любого номера α_k ∈ {α₁, . . . , α_p}, для которого nαiα_k = 0, выполняется неравенство

〈nαiα_k , Aα_i x + vα_i 〉 < 0.

Фактически при выполнении этого условия в каждой точке границы многогранников суще-

ствует единственный способ выбрать режим α_i таким образом, чтобы векторное поле выбран-

ного режима в данной точке было направлено строго внутрь соответствующего многогранника.

В этом случае можно естественным образом доопределить значения переключающего сигнала

на границе, положив, учитывая условие А, σ(x) = α_i.

Теперь остаётся заметить, что при выполнении данного условия и указанного выше до-

определения переключающих сигналов решение замкнутой переключаемой системы (7) для

любого начального условия x(0) и любого переключающего сигнала σ ∈ S(F ) существует в

смысле А.Ф. Филиппова [4, с. 40, 59] и единственно.

Замечание. При выполнении условия А любой переключающий сигнал σ ∈ S(F ), рас-

сматриваемый вдоль траекторий замкнутой системы (7), является непрерывной справа функ-

цией времени σ(x(t)).

Будем говорить, что нулевое решение замкнутой переключаемой системы (7) глобально

равномерно устойчиво, если для любого фиксированного σ ∈ S(F ) нулевое решение соответ-

ствующей кусочно-аффинной системы глобально асимптотически устойчиво.

Постановка задачи. Для заданной допустимой обратной связи u = -θ^тx исследовать

нулевое решение замкнутой системы (7) на глобальную равномерную устойчивость.

2. О допустимых управлениях. Прежде чем перейти к проблеме исследования устойчи-

вости положения равновесия переключаемой аффинной системы, рассмотрим вопрос о постро-

ении конструктивного алгоритма проверки условия А для заданной обратной связи u = -θ^тx.

Оказывается, что основные шаги такого алгоритма можно свести к проверке совместности

ряда систем линейных неравенств [7, с. 53].

Действительно, вначале заметим, что из условия 1 следует, что любое непустое множество

Γα1,...,αp данного разбиения проходимо траекториями этой системы только в одну сторону.

Более точно, верна следующая

Лемма. Пусть для разбиения (N, D) ∈ F системы (7), замкнутой допустимым управ-

лением u = -θ^тx, выполнено равенство σ(x_∗; N, D) = α_i для некоторого x_∗ ∈ Γα1,...,αp . Тогда

σ(x; N, D) = α_i для любого x ∈ Γα1,...,αp .

Доказательство. Предположим, что утверждение леммы неверно, т.е. найдётся такое x ∈

∈ Γα1,...,αp, что σ(x;N,D) = αj. Тогда по условию А

max

〈nαiα_k , Aα_i x∗ + vα_i 〉 < 0,

max

〈nαj α_k , Aα_j x∗ + vα_j 〉 ≥ 0

αj

α_k∈L^αi

α_k∈L

1...αp

^α1...αp

max

〈nαj α_k , Aα_j x + vα_j 〉 < 0,

max

〈nαiα_k , Aα_i x + vα_i 〉 ≥ 0,

α_k∈L

αj

α_k∈Lα

^α1...αp

1...αp

где Lαrα₁...αp={αl^∈{α1^...αp}:l=r,nαr αl=0}.

Рассмотрим на Γα1,...,αp функцию

ϕ(x) = max

〈nαiα_k , Aα_i x + vα_i 〉 - max

〈nαj α_k , Aα_j x + vα_j 〉.

α_k∈L^αi

α_k∈L

αj

1...αp

^α1...αp

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№4

2023

558

ФУРСОВ, КРЫЛОВ

Так как по условию σ(x_∗; N, D) = α_i и по предположению σ(x; N, D) = α_j, то ϕ(x_∗) < 0

и ϕ(x) > 0. Далее, пусть γ = γ(q), q ∈ [0, 1], - однопараметрическая непрерывная кривая

на Γα1...αp , соединяющая точки x∗ и

x. В силу непрерывности скалярного произведения

функция λ(q) = ϕ(γ(q)) непрерывна на отрезке [0, 1] и при этом λ(0) > 0, а λ(1) < 0.

Следовательно, найдётся такое q ∈ (0,1), что λ(q) = 0 (если λ(q) имеет более одного нуля

на интервале (0, 1), то пусть q будет минимальным из них). Но тогда для x = γ(q) ∈ Γα1,...,αp

имеем ϕ(x) = 0. Отсюда следует, что

max

〈nαj α_k , Aα_j x + vα_j 〉 = 0,

max

〈nαiα_k , Aα_i x + vα_i 〉 = 0.

αj

α_k∈L

α_k∈Lα

^α1...αp

1...αp

Тогда в силу условия А должен найтись номер α_r ∈ {α₁, . . . , α_p} такой, для которого будет

выполнено неравенство

max

〈nαr α_k , Aαr x + vαr 〉 < 0,

α_k∈Lα

1...αp

сохраняющее в силу непрерывности скалярного произведения свой знак в некоторой окрест-

ности точки q на отрезке [0, 1]. В этом случае найдётся такое ε > 0, что будут выполнены

одновременно два равенства

σ(x(γ(x - ε)); N, D) = α_i, σ(x(γ(x - ε)); N, D) = α_r,

что противоречит выполнению условия А на множестве Γα1,...,αp . Из полученного противоре-

чия следует, что σ(x; N, D) = α_i для любого x ∈ Γα1,...,αp . Лемма доказана.

С учётом доказанной леммы далее будем использовать запись σ(Γα1,...,αp;N,D) = αi, по-

нимая под этим, что σ(x; N, D) = α_i для любого x ∈ Γα1,...,αp .

Опишем теперь введённые выше множества граничных точек произвольного разбиения

(N, D) на языке линейных неравенств. Очевидно, что для любого i ∈ I = {1, . . . , m}

⎧

⎨〈ni1, x〉 ≤ di1,

x∈M_i ⇔

(8)

^⎩〈n_im, x〉 ≤ d_im.

Тогда для любого набора (α₁ . . . α_p)

⎧

⎨x∈Mα1,

x ∈ Γα1...αp ⇔

(9)

^⎩x ∈ Mαp.

Для любого подмножества J ⊂ I и любого индекса i ∈ J

{

⋃

〈n_ij, x〉 < d_ij при всех j ∈ J,

x∈M_i \

M_j ⇔

(10)

〈n_ik, x〉 ≤ d_ik при всех k ∈ I \ J.

j∈J

Далее, учитывая, что

(

)\(

) p_⋂

(

)

⋃

) (_p⋂

⋃

M_k

= Mαi

M_k

Mαi\

M_k ,

Γα1...αp = Γα1...αp^\

k=α₁,...,αp

i=1

k=α₁,...,αp

i=1

k=α₁,...,αp

имеем

⎧

⋃

⎨

x ∈ Mα1 \k=α1,...,αp ^Mk^,

x ∈ Γα1...αp ⇔

(11)

⋃

^⎩x ∈ Mαp \

M_k.

k=α₁,...,αp

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№4

2023

ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПЕРЕКЛЮЧАЕМОЙ АФФИННОЙ СИСТЕМЫ

559

Используя системы линейных неравенств (8)-(11), сформулируем критерий о допустимых

управлениях, который фактически позволяет построить численную процедуру проверки вы-

полнения условия А для фиксированной линейной обратной связи u = -θ^тx и заданного

разбиения (N, D).

Теорема 1. Линейная обратная связь u = -θ^тx является допустимым управлением для

системы (6) тогда и только тогда, когда для каждого разбиения (N, D) ∈ F и каждого

набора (α₁ . . . α_p) такого, что α₁ < . . . < α_p, выполнено одно из следующих условий:

система линейных неравенств

〈nαsh, x〉 < dαsh^{привсехα}s^∈{α1^,...,αp^}иh∈I\{α1^,...,αp^},

(12)

〈nαsg, x〉 ≤ dαsg при всех αs ∈ {α1, . . . , αp} и g ∈ {α1, . . . , αp}

не имеет решений;

существует единственный номер α_i ∈ {α₁,... ,α_p} такой, что для каждого α_k ∈ Lαiα₁,...,αp

соответствующая система линейных неравенств

〈nαsh, x〉 < dαsh^{привсехα}s^∈{α1^,...,αp^}иh∈I\{α1^,...,αp^},

〈nαsg, x〉 ≤ dαsg при всех αs ∈ {α1, . . . , αp} и g ∈ {α1, . . . , αp},

〈Aтα

nαiα_k ,x〉 + 〈nα_iα_k ,vα_i 〉 ≥ 0

(13)

не имеет решений.

Доказательство. Необходимость. Вначале заметим, что в силу свойств скалярного про-

изведения выполнено равенство

〈nαiα_k , Aα_i x + vα_i 〉 = 〈Aαi nα_iα_k , x〉 + 〈nα_iα_k , vα_i 〉.

Далее, пусть управление u = -θ^тx является допустимым. Зафиксируем произвольное

разбиение (N, D) ∈ F и рассмотрим для него некоторое непустое множество Γα1...αp . Тог-

да в силу условия А и леммы найдётся единственный номер α_i ∈ {α₁, . . . , α_p} такой, что

σ(Γα1,...,αp ; N, D) = αi, т.е.

max

{〈Aтα

nαiα_k ,x〉 + 〈nα_iα_k ,vα_i 〉} < 0

(14)

α_k∈Lα

1,...,αp

для каждого x ∈ Γα1...αp . Но тогда для данного αi все системы (13) должны быть несовмест-

ны, так как в противном случае будет нарушено условие (14). С другой стороны, если найдётся

ещё один номер α_j ∈ {α₁, . . . , α_p}, отличный от α_i и такой, что системы

〈nαsh, x〉 < dαshпривсехαs^∈{α1^,...,αp}иh∈I\{α1^,...,αp^},

〈nαsg, x〉 ≤ dαsg при всех αs ∈ {α1, . . . , αp} и g ∈ {α1, . . . , αp},

〈Aтα

nαjα_k ,x〉 + 〈nα_jα_k ,vα_j 〉 ≥ 0

не имеют решений при всех α_k ∈ Lαj1,...,αp , то тогда для всех x ∈ Γα1...αp

max

{〈Aтα

nαjα_k ,x〉 + 〈nα_jα_k ,vα_j 〉} < 0.

αj

α_k∈L

^α1,...,αp

Отсюда следует, что номер α_i, для которого выполняется неравенство (14), не является един-

ственным, что противоречит выполнению условия А для множества Γα1...αp . Необходимость

условия теоремы доказана.

Достаточность. Действительно, пусть при некотором фиксированном управлении u =

= -θ^тx и произвольном разбиении (N,D) для любого непустого Γα1...αp ∈ Γ(N,D) такого,

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№4

2023

560

ФУРСОВ, КРЫЛОВ

что α₁ < . . . < α_p, существует единственный номер α_i ∈ {α₁, . . . , α_p} такой, что все соответ-

ствующие системы (13) являются несовместными. Тогда для любого x ∈ Γα1...αp справедливо

неравенство (14), из чего и следует выполнение условия А для рассматриваемого разбиения

(N, D). В силу произвольности рассматриваемого разбиения получаем, что управление u =

= -θ^тx является допустимым. Теорема доказана.

Заметим, что проверка на совместность систем (12), (13) может быть осуществлена на осно-

ве известного рангового критерия совместности систем линейных неравенств (см., например,

[7, с. 53]).

Теорема 1 фактически предоставляет возможность построения численной процедуры про-

верки выполнения условия А для любого фиксированного разбиения (N, D) ∈ F. И если мно-

жество F содержит конечное число таких пар, то проверку условия А для всего множества

можно выполнить, последовательно перебирая все различные разбиения. Однако возникает

вопрос, можно ли подобную численную процедуру построить в случае, когда множество F

содержит бесконечное число разбиений? Оказывается, это можно сделать, когда оно допуска-

ет линейную параметризацию.

Действительно, пусть множество разбиений F можно представить в виде параметрическо-

го семейства вида

F = {(N,D(κ))},

(15)

где N = [n_ijk] — фиксированная матрица размерности m×m×n, а D(κ) - матрица, элементы

которой линейно зависят от параметров κ₁, . . . , κ_r, а именно

d_ij = d0ij + d1ijκ₁ + ... + d^rijκ_r, d^kij ∈ R, k = 1,r,

где вектор κ = (κ₁, . . . , κ_r) удовлетворяет линейным ограничениям

Φκ ≤ ϕ, Φ ∈ R^l×r, ϕ ∈ R^l,

для некоторого натурального l. При этом если n_ij = 0, то d0ij = 1 и d1ij = . . . = d^rij =

= 0. Теперь можно сформулировать критерий о допустимых управлениях для множества

F = {(N,D(κ))}, который является прямым следствием теоремы 1.

Следствие. Линейная обратная связь u = -θ^тx является допустимым управлением для

системы (6) с множеством разбиений (15) тогда и только тогда, когда для каждого набора

(α₁ . . . α_p) такого, что α₁ < . . . < α_p, выполнено одно из следующих условий:

система линейных неравенств

〈nαsh, x〉 < dαsh + d^αsh^κ1+...+dαsh^κr^{привсехα}s^∈{α1^,...,αp^}иh∈I\{α1^,...,αp^},

〈nαsg, x〉 ≤ dαsg + d^αsg^κ1+...+dαsg^κr^{привсехα}s^∈{α1^,...,αp^}иg∈{α1^,...,αp^},

Φκ ≤ ϕ

не имеет решений;

существует единственный номер α_i ∈ {α₁,... ,α_p} такой, что для каждого α_k ∈ Lαiα₁,...,αp

соответствующая система линейных неравенств

〈nαsh, x〉 < dαsh + d^αsh^κ1+...+dαsh^κr^{привсехα}s^∈{α1^,...,αp^}иh∈I\{α1^,...,αp^},

〈nαsg, x〉 ≤ dαsg + d^αsg^κ1+...+dαsg^κr^{привсехα}s^∈{α1^,...,αp^}иg∈{α1^,...,αp^},

Φκ ≤ ϕ,

〈Aтα

nαiα_k ,x〉 + 〈nα_iα_k ,vα_i 〉 ≥ 0

не имеет решений.

Заметим, что следствие даёт возможность построить численную процедуру проверки вы-

полнения условия А для переключаемой аффинной системы, допускающей линейную пара-

метризацию на основе ранговых критериев совместности систем линейных неравенств.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№4

2023

ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПЕРЕКЛЮЧАЕМОЙ АФФИННОЙ СИСТЕМЫ

561

3. Достаточное условие устойчивости замкнутой переключаемой аффинной сис-

темы. Рассмотрим систему (7) при некотором допустимом управлении u = -θ^тx. Прежде чем

сформулировать достаточное условие устойчивости нулевого решения полученной замкнутой

системы, введём понятие графа дискретных состояний для произвольного переключающего

сигнала σ ∈ S(F ) этой системы.

Заметим, что рассматриваемая замкнутая система (7) при фиксированном переключающем

сигнале σ ∈ S(F ) фактически является гибридной системой, для описания которой можно

использовать так называемый граф дискретных состояний. В данном случае под дискретными

состояними можно понимать номера режимов замкнутой системы (7). Таким образом, каж-

дому переключающему сигналу σ ∈ S(F ) системы (7), замкнутой допустимым управлением

u = -θ^тx, сопоставим ориентированный граф состояний G(σ), вершинами которого являются

номера режимов этой системы, а наличие ребра i → j будет означать существование траек-

тории соответствующей системы, при движении вдоль которой режим i сменяется режимом

j. Напомним, что ориентированный граф G является слабо связным, если соответствующий

ему неориентированный граф связный.

Теорема 2. Пусть для системы (7), замкнутой допустимым управлением u = -θ^тx, все

матрицы A_i - b_iθ^т, i = 1, m, не имеют собственных значений на мнимой оси и для любого

переключающего сигнала σ ∈ S(F ) соответствующий ориентированный граф G(σ) слабо

связный и не содержит циклов. Пусть подсистема системы (7) с индексом 1 асимптоти-

чески устойчива, а для остальных режимов (i = 2, m) и для любого σ ∈ S(F ) выполнены

следующие условия:

1) матрица A_i -b_iθ^т устойчива или область функционирования режима i (многогранник

M_i) ограничена;

2) xi0 ∈ Γ(N,D), где xi0 ≡ (Ai - biθт)-1vi - стационарное решение аффинной системы,

являющейся i-м режимом переключаемой системы (7);

3) σ(xi0; N, D) = i.

Тогда нулевое решение системы (7) глобально равномерно устойчиво.

Доказательство. Пусть для замкнутой системы (7) выполнены условия теоремы. Зафик-

сировав некоторый переключающий сигнал σ^∗ ∈ S(F ) и начальное условие x(0) = x^∗ ∈ M_i,

i ∈ {2,...,m} (не ограничивая общности считаем, что начальное значение x^∗ не лежит на гра-

нице разбиения), рассмотрим соответствующее решение x^∗(t). Очевидно, что σ(x^∗(0); N, D) =

= i. Покажем, что найдётся такое t₁, для которого σ^∗(x^∗(t₁); N, D) = i.

Действительно, если матрица A_i - b_iθ^т устойчива, то тогда система (4) асимптотически

устойчива и lim

x^∗(t) = xi0. В силу условий 2), 3) теоремы xi0 ∈ M_i. Следовательно, найдётся

t→∞

такое t₁ > 0, для которого x^∗(t₁) ∈ M_i. А так как по определению переключающий сигнал

может принимать значение i только в точках, принадлежащих замкнутому многограннику

M_i, то σ^∗(x^∗(t₁);N,D) = i.

В случае если матрица A_i -b_iθ^т неустойчива, то по условию 1) область функционирования

режима i ограничена. Пусть z₁(t), . . . , z_n(t) - нормальный базис [8, c. 139] системы (4) при

v_i = 0. Тогда любое решение системы (4) можно представить в виде

x(t) = c₁z₁(t) + . . . + c_nz_n(t) + xi0, c_l ∈ R.

Поскольку матрица A_i - b_iθ^т не имеет собственных значений на мнимой оси, то показате-

ли Ляпунова вектор-функций из рассматриваемого базиса либо строго положительны, либо

строго отрицательны. Пусть функции z₁(t), . . . , z_p(t) имеют строго отрицательные пока-

затели Ляпунова, а zp+1(t), . . . , z_n(t) - строго положительные. Если для решения x^∗(t) с

начальным условием x(0) = x^∗ ∈ M_i выполняются равенства c_l = 0 при всех l > p, то это

решение стремится к точке xi0 ∈ M_i, а если c_l = 0 хотя бы для одного номера l > p, то

в силу свойства несжимаемости [8, с. 142] нормального базиса линейной однородной системы

соответствующее решение x^∗(t) неограниченное. Тогда в силу приведённых рассуждений и

ограниченности замкнутого многогранника M_i найдётся такое t₁ > 0, для которого x^∗(t₁) ∈

∈ M_i и, следовательно, σ^∗(x^∗(t₁);N,D) = i. Из этого следует, что в соответствующем графе

G(σ^∗) из любой вершины с номером i = {2, . . . , m} выходит хотя бы одно ребро. Поскольку

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№4

2023

562

ФУРСОВ, КРЫЛОВ

известно [9], что в ориентированном графе без циклов есть хотя бы один сток (вершина, из

которой не выходит ни одного ребра), то, следовательно, вершина с номером 1 - единственный

сток рассматриваемого графа G(σ^∗).

Из приведённых выше рассуждений следует, что вдоль любой траектории системы (7) при

произвольном σ^∗ ∈ S(F ) любой i-й режим (i = {2, . . . , m}) может быть активным непре-

рывно лишь конечное время и не может повторяться бесконечное число раз в силу отсутствия

циклов в соответствующем графе G(σ^∗). И поскольку количество различных режимов у сис-

темы (7) конечно, то для любых начальных условий за конечное время траектория попадет в

многогранник M₁ и не сможет уже его покинуть при t → ∞, так как вершина с номером 1

является стоком графа G(σ^∗).

Рассмотрим теперь произвольное решение x(t) системы (7). Пусть t^∗ > 0 - такой момент

времени, что x(t) ∈ M₁ при t ≥ t^∗. Тогда при t ≥ t^∗ эта траектория является решением

системы

x = (A₁ - b₁θ^т)x,

для которой по условию теоремы матрица A₁ - b₁θ^т устойчива. Тогда ∥x(t)∥ → 0 при t →

→ ∞. Таким образом, получаем, что норма любого решения системы (7) стремится к нулю

при t → ∞. Отсюда, учитывая, что 0 ∈ M₁ и, следовательно, многогранник M₁ содержит

некоторую окрестность нуля, можно сделать вывод [6, с. 27] о глобальной асимптотической

устойчивости системы (7). Теорема доказана.

В заключение отметим, что практическое применение сформулированного достаточного

условия глобальной равномерной устойчивости переключаемой аффинной системы (6) при за-

мыкании её обратной связью u = -θ^тx состоит из двух основных шагов. Первый шаг заклю-

чается в проверке допустимости выбранного управления и может быть реализован численно

в соответствии с теоремой 1. Второй шаг состоит в проверке выполнения условия теоремы 2,

что, в частности, предполагает построение графов дискретных состояний замкнутой системы

(7) для заданных переключающих сигналов. К сожалению, пока для этой задачи не найдено

конструктивного решения в общем случае. В связи с этим предметом дальнейших исследова-

ний авторов настоящей работы является разработка численно реализуемого метода построения

графа дискретных состояний для системы (6), замкнутой допустимым управлением.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда (проект 22-21-

00162).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Rewienski M., White J. Model order reduction for nonlinear dynamical systems based on trajectory

piecewise-linear approximations // Linear Algebra and its Appl. 2006. V. 415. P. 426-454.

2. Johansson M. Piecewise Linear Control System. Berlin; Heidelberg, 2003.

3. Rodrigues L., How J. Synthesis of piecewise-affine controllers for stabilization of nonlinear systems

// Proc. of the IEEE Conf. on Decision and Control. 2004. V. 3. P. 2071-2076.

4. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М., 1985.

5. Li C., Chen G., Liao X. Stability of piecewise affine systems with application to chaos stabilization

// Chaos. 2007. V. 17. P. 023123.

6. Liberzon D. Switching in Systems and Control. Boston, 2003.

7. Черников С.Н. Линейные неравенства. М., 1968.

8. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М., 1967.

9. Fraysseix H., Mendez P., Rosenstiehl P. Bipolar orientations revisited // Discrete Appl. Math. 1995.

V. 56. P. 426-454.

Электротехнический университет,

Поступила в редакцию 13.02.2023 г.

г. Ханчжоу, Китай,

После доработки 22.03.2023 г.

Московский государственный университет

Принята к публикации 22.03.2023 г.

имени М.В. Ломоносова,

Институт проблем передачи информации

имени А.А. Харкевича, г. Москва

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№4

2023