ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2023, том 59, № 5, с.582-587

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

УДК 517.927.25

СПЕКТРАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ОДНОГО СИНГУЛЯРНОГО

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА НА ОТРЕЗКЕ

С УСЛОВИЯМИ СОПРЯЖЕНИЯ

Исследована первая краевая задача для дифференциального оператора второго поряд-

ка с сингулярным коэффициентом на отрезке с условиями сопряжения в его внутренней

точке. Получены асимптотические формулы для собственных функций и собственных зна-

чений как прямого, так и сопряжённого операторов. Установлены полнота и безусловная

базисность систем собственных функций этих операторов в пространстве суммируемых с

квадратом функций на отрезке. Применён метод Ильина и условия Ильина для установ-

ления справедливости неравенства Бесселя.

DOI: 10.31857/S0374064123050023, EDN: CWLBJG

К 95-летию выдающегося математика

Владимира Александровича Ильина

1. Постановка задачи. Изучим спектральные свойства следующей модельной задачи:

-y^′′(x) + q(x)y(x) = λy(x), x ∈ (0,1/2)

^⋃ (1/2, 1),

(1)

y(0) = y(1) = 0, y[1/2] = 0, y^′[1/2] = y^′(0)

(2)

на множестве функций y(x), абсолютно непрерывных вместе с первой производной на каж-

дом компакте из интервалов (0, 1/2) и (1/2, 1) и принадлежащих классу L²(G) - функций,

интегрируемых с квадратом на множестве G = (0, 1). Здесь y[1/2] = y(1/2 + 0) - y(1/2 - 0) -

скачок функции y(x) в точке x = 1/2, q(x) - комплекснозначная функция из весового класса

{

∫

}

L11-ε(G) = f(x) : x1-ε|f(x)|dx < ∞

для некоторого числа ε ∈ (0, 1].

Через L обозначим оператор, действующий в пространстве L²(G), порождённый диффе-

ренциальной операцией ly = -y^′′ + q(x)y, x ∈ G, краевыми условиями и условиями сопряже-

ния (2). Исследуем спектральные свойства оператора L.

В работе [1] доказана весьма общая теорема о безусловной базисности в пространстве L²(G)

системы корневых функций нагруженного сингулярного дифференциального оператора вто-

рого порядка. Оператор определён на множестве функций, которые сами или их производ-

ные могут иметь разрывы первого рода на отрезке G = [0, 1], возможно, в счётном числе

точек. Такие операторы возникают, например, как сопряжённые к операторам с интеграль-

ными условиями [2, с. 13]. В случае оператора Шрёдингера, как в данной работе, потенциал

q(x) принадлежал классу функций L1,ϱ(G), т.е. ϱ(x)q(x) ∈ L¹(G), где через ϱ(x) обозначено

расстояние от точки x до границы интервала G; очевидно, справедливо вложение L11-ε(G) ⊂

⊂ L1,ϱ(G) для любого значения ε ∈ (0,1]. Корневые функции понимаются в обобщённом

по Ильину смысле [3, с. 347]. Теорема о безусловной базисности, доказанная в работе [1], но-

сит условный характер: результат доказан при выполнении “условий Ильина”, которые будут

сформулированы ниже.

582

СПЕКТРАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА

583

В статье [4] рассмотрена задача (1), (2) с потенциалом q(x) = x-3/2. Показано, что вы-

полняются условия Ильина и для этой задачи справедлива теорема о безусловной базисности

системы корневых функций. Цель настоящей работы - распространить этот результат на за-

дачу (1), (2) с произвольным потенциалом из класса L11-ε(G), ε ∈ (0, 1].

Приведём несколько работ, в которых также исследованы спектральные свойства операто-

ров с сингулярными коэффициентами. Краевая задача для уравнения (1) с потенциалом q(x)

из класса L11-ε(G), где ε ∈ (1/2, 1], исследована в работе [5], а именно рассмотрены гладкие

на интервале G решения, получены асимптотические формулы для собственных функций и

собственных значений соответствующего оператора, решена обратная задача по нахождению

потенциала. Некоторые идеи из этой статьи будут использованы для получения оценок реше-

ния задачи (1), (2). Л.В. Крицковым [6] исследована краевая задача для уравнения (1) с потен-

циалом из класса L1,ϱ(G), рассмотрены гладкие на интервале G решения, при выполнении

условий Ильина доказана теорема о безусловной базисности в пространстве L²(G) системы

корневых функций оператора, изучена задача с более общими потенциалами, например с дель-

та-функцией. В цикле работ А.А. Шкаликова, А.М. Савчука и И.В. Садовничей исследованы

спектральные свойства оператора Шрёдингера с потенциалом, являющимся производной от

функции из класса L²(G) (см., например, [7, 8]). Оператор рассмотрен на множестве гладких

функций.

2. Основная теорема. Рассмотрим систему собственных функций {u_n(x)} и соответству-

ющих им собственных значений {λ_n} задачи (1), (2). Обозначим μ² = λ, Re μ ≥ 0, ν = |Im μ|,

μ2n = λ_n, Re μ_n ≥ 0, ν_n = |Im μ_n|; {v_n(x)} - система собственных функций сопряжённого опе-

ратора L^∗, биортогонально сопряжённая к системе {u_n(x)}.

Сформулируем основной результат.

Теорема. Пусть потенциал q(x) ∈ L11-ε(G) для некоторого числа ε ∈ (0, 1]. Тогда кор-

невые функции операторов L и L^∗ образуют безусловный базис в пространстве L²(G), а

нормированные системы {û_n(x)},

{v_n(x)} образуют базис Рисса в этом пространстве.

Доказательство теоремы основано на применении известной теоремы Бари о базисах [9]:

если почти нормированные биортогональные системы полны в пространстве L²(G) и для

каждой из них выполняется неравенство Бесселя, то каждая из этих систем образует базис

Рисса в пространстве L²(G) (т.е. безусловный почти нормированный базис).

Для доказательства теоремы достаточно проверить выполнение следующих условий (усло-

вий Ильина):

1) системы {u_n(x)} и {v_n(x)} полны и минимальны в пространстве L²(G);

2) найдутся постоянные c₁, c₂ > 0 такие, что справедливо

∑

|Im μ_n| ≤ c₁, n ∈ N,

1≤c₂

для любого λ > 0;

(3)

0≤|μn|-λ≤1

3) найдётся постоянная c₃ такая, что справедливо

∥u_n∥₂∥v_n∥₂ ≤ c₃, n ∈ N,

(4)

где ∥ · ∥₂ обозначает норму в пространстве L²(G).

Для проверки условий 2) и 3) достаточно использовать асимптотические формулы для

собственных функций и собственных значений задачи (1), (2) и сопряжённой задачи.

3. Доказательство теоремы.

3.1. Выведем асимптотические формулы для собственных функций операторов L и L^∗.

Запишем задачу, сопряжённую к задаче (1), (2):

-v^′′(x) + q(x)v(x) = λv(x), x ∈ G,

(5)

v(0) + v(1/2) = 0, v(1) = 0, v[1/2] = v^′[1/2] = 0,

(6)

рассматриваемую на множестве функций, абсолютно непрерывных вместе с первой производ-

ной на любом компакте из интервала G.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№5

2023

584

ЛОМОВ

Оператор L^∗ действует в пространстве L²(G), порождается дифференциальной операцией

l^∗v = -v^′′ + q(x)v, x ∈ G, и условиями (6).

Обозначим q(x) = x1-εq(x) для ε ∈ (0, 1], μ² = λ, Re μ ≥ 0.

Для решений задач (1), (2) и (5), (6) автором были установлены асимптотические формулы.

Лемма 1. Пусть коэффициент q(x) уравнения (1) принадлежит пространству L11-ε(G)

для некоторого числа ε ∈ (0, 1]. Тогда для решения задачи (1), (2) справедливы следующие

соотношения:

(

)

sin μx

x1-ε

y(x, μ) =

+e^νO

|y(x, μ)| ≤

eν+∥q∥1 , x ∈ [0,1/2],

(7)

μ1+ε

|μ|^ε

(

)

sin μx

sin μ(x - 1/2)

y(x, μ) =

+ y₀(x,μ) + e3νO

(8)

μ²

2+c_q

|y(x, μ)| ≤

e2(ν+∥q∥1), x ∈ (1/2,1], c_q = ∥q∥₁e∥q∥1 ,

|μ|

где ∥ · ∥₁ - норма в пространстве L¹(G),

∫

sin μ(x - t)

c_qe^ν

y₀(x,μ) =

q(t)y(t) dt,

|y₀(x, μ)| ≤

x ∈ [0,1].

|μ|1+ε

Для решения задачи (5), (6) имеет место равенство

(

)

sin μ(1 - x)

v(x, μ) =

+e^νO

x ∈ [0,1].

(9)

μ1+ε

Здесь μ ∈ C,

|μ| ≥ 1, оценки O(·) в правой части равенств равномерны по x.

Подставив в задачи (1), (2) и (5), (6) вместо λ собственные значения λ_n оператора L,

получим, что для собственных функций u_n(x) имеют место формулы (7), (8), где следует

заменить μ на μ_n, ν на ν_n.

Для получения асимптотической формулы для собственных функций v_n(x) оператора L^∗

заменим в формуле (9) μ на μ_n и умножим обе части на постоянную c_n, которая выбирается

так, чтобы выполнялось равенство (u_n, v_n) = 1, n ∈ N.

Если имеет место первое из условий (3): ν_n ≤ c₁, n ∈ N, то из полученных соотношений

для функций u_n(x), v_n(x) следует выполнение неравенства (4). При этом системы {μ_nu_n(x)}

и {μ-1nv_n(x)} будут почти нормированными.

3.2. Получим асимптотические формулы для спектральных чисел μ_n. Решением уравне-

ния y(1, μ) = 0 являются собственные значения оператора L. В процессе вывода формулы (8)

была найдена оценка



sin μx

sin μ(x - 1/2)

c_q



(x, μ) -

[e^νx + eν(x-1/2)]

^y

^<

|μ|1+ε

при x ∈ (1/2, 1]. Положив в этой оценке x = 1, имеем



sin μ

sin(μ/2)

c_q



(1, μ) -

[e^ν + eν/2].

(10)

^y

^<

|μ|1+ε

Оценим экспоненты в правой части (10) через те же синусы, что находятся в левой части

этого неравенства. Для этого применим к нашему случаю доказательство следующей леммы.

Лемма 2 [10, с. 27]. Пусть числа z ∈ C и |z-πn| ≥ π/4 для всех n ∈ N, тогда справедливо

неравенство exp |Imz| < 4|sin z|.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№5

2023

СПЕКТРАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА

585

Получим соотношение

e^ν + eν/2 ≤ 2e^ν = 2e3ν/4eν/4 < 60|sin(3μ/4)||cos(μ/4)| =

= 60| sin(3μ/4) cos(μ/4)| = 30| sin μ + sin(μ/2)|,

(11)

справедливое для всех значений μ, удовлетворяющих неравенству |μ - 6πn| > 3π/6, n ∈ N.

Для достаточно больших чисел |μ| из неравенств (10), (11) имеем



sin μ

sin(μ/2)

sinμ

sin(μ/2)

sinμ

sin(μ/2)



(1, μ) -

^y

^<

^.

|μ|^ε μ

 μ

Рассмотрим на комплексной μ-плоскости контуры C_n : |μ - 6πn| = 3π (для достаточно

больших чисел n), и функции

sin μ

sin(μ/2)

sin μ

sin(μ/2)

f (μ) =

g(μ) = y(1, μ) -

Эти функции аналитичны внутри областей, ограниченных контурами C_n, на самих контурах

C_n они непрерывны и удовлетворяют условию |f(μ)| > |g(μ)|. Тогда по теореме Руше функции

f (μ) и f(μ)+g(μ) = y(1, μ) имеют внутри областей, ограниченных контурами C_n, одинаковое

число нулей.

Функция f(μ) имеет простые нули 2π(2n-1), n ∈ N, 2π/3+2πn, n ∈ N

^⋃{0}, и -2π/3+

+ 2πn, n ∈ N

^⋃{0}, где учтено условие Re μ ≥ 0. Получаем асимптотические формулы для

спектрального параметра:

2π

μ1n = 2π(2n - 1) + O(1), μ2n =

+ 2πn + O(1), μ3n = -

+ 2πn + O(1), n ≥ N > 1.

Из этих формул, в частности, следует, что найдётся постоянная c₁ > 0 такая, что |Im μ_n| =

= |ν_n| ≤ c₁ для всех значений n ∈ N.

Использовав равенство (8), оценку леммы 1 для функции y₀(x, μ) и равенство y(1, μ) = 0,

получим соотношение

(

)

sin μ_n

sin(μ_n/2)

⁽ 1⁾

μ_n

μ^εn

n^ε

которое позволит уточнить асимптотические формулы для чисел μ_in для всех достаточно

больших значений n:

)

⁽ 1

2π

⁽ 1⁾

2π

⁽ 1⁾

μ1n = 2π(2n - 1) + O

μ2n =

+ 2πn + O

μ3n = -

+ 2πn + O

n^ε

Из полученных соотношений следует справедливость неравенств (3).

3.3. Докажем полноту систем {u_n(x)}, {vn(x)} в пространстве L2(G). Для обеих систем

схема доказательства одинаковая (см. [11]). Изложим её для оператора L^∗.

Рассмотрим функцию f(x) ∈ L²(G) такую, что (f, v_n) = 0 для всех чисел n. Требуется

доказать, что f(x) = 0 в пространстве L²(G).

Пусть числа μ ∈ C, μ = μ_n. Ищем решение задачи

-y^′′(x) + q(x)y(x) = μ²y(x) + f(x), y(0) + y(1/2) = 0, y(1) = 0.

(12)

Методом вариации произвольных постоянных получаем решение в следующем виде:

∫

∑

y₁(x)y₂(ξ) - y₁(ξ)y₂(x)

y(x) =

c_jy_j(x) +

f (ξ)

dξ, x ∈ G,

y′1(ξ)y₂(ξ) - y₁(ξ)y′2(ξ)

j=1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№5

2023

2^∗

586

ЛОМОВ

где {yj(x)} - фундаментальная система решений уравнения. Для функций yj(x) выводим

асимптотические формулы

(

)

sin μx

y₁(x,μ) =

+e^νxO

y₂(x,μ) = cos μx + ch (νx)o(1), x ∈ G.

μ1+ε

Подставляя эти формулы в систему уравнений, после преобразований приходим к неравен-

ству |μy(x)| ≤ c при Im μ < 0 на лучах, не содержащих собственных значений. Применяем

теорему Фрагмена-Линделёфа и получаем из уравнения (12), что функция f(x) = 0 на G.

Это доказывает полноту в пространстве L²(G) системы собственных функций оператора L^∗.

Минимальность этой системы в пространстве L²(G) следует из существования биортого-

нально сопряжённой системы функций.

3.4. Осталось доказать справедливость неравенства Бесселя для каждой из рассматри-

ваемых систем функций. Рассмотрим схему доказательства с помощью метода В.А. Ильина,

подробно изложенного в монографии [2, с. 72-85] для более общего оператора, но при условии

q(x) ∈ L¹(G), в наших обозначениях.

Требуется доказать, что для любой функции f(x) ∈ L²(G) найдутся положительные по-

стоянные c₁, c₂ такие, что будут справедливы неравенства

∑

|(f, v_n)|² ≤ c₁∥f∥²²,

|(f, u_n)|² ≤ c₂∥f∥²²,

(13)

n=1

где v_n = v_n(x)∥v_n∥-12 - нормированные функции.

Интегральное представление для собственных функций имеет вид

∫

u_n(x) = u_n(0)cos μ_nx +

u^′n(0)sin μ_nx -

q(τ)u_n(τ) sin μ_n(x - τ) dτ.

(14)

μ_n

Умножим скалярно это равенство на функцию g(x) = f(x) и докажем справедливость второго

неравенства (13) для каждого слагаемого из представления (14). Для первых двух слагаемых

это сделано в [2, с. 74-81]. Докажем справедливость неравенства для третьего слагаемого в

формуле (14):

∫

∫



∑



²



g(x) q(τ)u_n(τ) sin μ_n(x - τ) dτ dx

≤ c∥f∥²².

(15)



|μ_n|²

n=1

Используя неравенство Коши-Буняковского |(u_n, f))| ≤ ∥u_n∥₂∥f∥₂ и условия (3), получаем

∑

|(u_n, f)|² ≤ c∥f∥²

1 ≤ cc₂∥f∥²²

|μn|≤1

и убеждаемся в том, что (15) достаточно установить для чисел μ_n, |μ_n| > 1. Применив оценку

(7) из леммы 1

1-ε

|u_n(x)| ≤

eνn+∥q∥1 , x ∈ [0,1/2],

|μ_n| > 1,

|μ_n|^ε

неравенство Коши-Буняковского и первое условие (3), получим

∫

∫



²

|μ_n|-2 g(x) q(τ)u_n(τ) sin μ_n(x - τ) dτ dx

≤ c|μ_n|-2∥q∥²¹∥g∥²² ≤ c|μ_n|-2∥f∥²².



ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№5

2023

СПЕКТРАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА

587

Используя второе условие (3) для последовательности {μ_n}, установим сходимость ряда с

общим членом |μ_n|-2 :

∑

|μ_n|-2 ≤

|μ_n|-2 <

1≤c₁

n²

|μn|>1

n=1 n≤|μn|≤n+1

n=1

n≤|μn|≤n+1

n=1

Этим завершено доказательство второго неравенства (13). Теорема доказана.

Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства науки и высшего образования

Российской Федерации в рамках реализации программы Московского центра фундаменталь-

ной и прикладной математики по соглашению № 075-15-2022-284.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Белянцев О.В. Неравенство Бесселя и свойство базисности корневых функций сингулярного диффе-

ренциального оператора второго порядка // Дифференц. уравнения. 2000. Т. 36. № 8. С. 1011-1020.

2. Ломов И.С. Спектральный метод В.А. Ильина. Несамосопряжённые операторы. I. Оператор второго

порядка. Базисность и равномерная сходимость спектральных разложений. М., 2019.

3. Ильин В.А. Спектральная теория дифференциальных операторов. М., 1991.

4. Белянцев О.В., Ломов И.С. О свойстве базисности корневых функций одного сингулярного диффе-

ренциального оператора второго порядка // Дифференц. уравнения. 2012. Т. 48. № 8. С. 1187-1189.

5. Жорницкая Л.А., Серов В.С. Об одной теореме единственности для оператора Штурма-Лиувилля

на отрезке с потенциалом, имеющим неинтегрируемую особенность // Дифференц. уравнения. 1993.

Т. 29. № 12. С. 2125-2134.

6. Крицков Л.В. Некоторые спектральные свойства сингулярных обыкновенных операторов второго

порядка: авореф. дис

канд. физ.-мат. наук. М., 1990.

7. Савчук А.М., Шкаликов А.А. Операторы Штурма-Лиувилля с сингулярными потенциалами

// Мат. заметки. 1999. Т. 66. № 6. С. 897-912.

8. Садовничая И.В. Равносходимость в пространствах Соболева и Гёльдера разложений по собствен-

ным функциям операторов Штурма-Лиувилля с потенциалами-распределениями // Докл. РАН.

2011. Т. 437. № 2. С. 162-163.

9. Бари Н.К. Биортогональные системы и базисы в гильбертовом пространстве // Уч. зап. Моск. гос.

ун-та. 1951. Вып. 148. С. 69-107.

10. Pöschel J., Trubowitz E. Inverse Spectral Theory. Boston; Orlando; San Diego; New York; Austin; London;

Sydney; Tokyo; Toronto, 1987.

11. Ломов И.С. Негладкие собственные функции в задачах математической физики // Дифференц.

уравнения. 2011. Т. 47. № 3. С. 358-365.

Московский государственный университет

Поступила в редакцию 01.03.2023 г.

имени М.В. Ломоносова

После доработки 01.03.2023 г.

Принята к публикации 18.04.2023 г.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№5

2023