ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2023, том 59, № 5, с.588-595

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

УДК 517.926.4

ОБ УПРАВЛЕНИИ СПЕКТРАМИ

ВЕРХНИХ СИЛЬНЫХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ КОЛЕБЛЕМОСТИ

ЗНАКОВ, НУЛЕЙ И КОРНЕЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ

УРАВНЕНИЙ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА

Построен пример линейного однородного дифференциального уравнения третьего порядка

с непрерывными на временной полуоси коэффициентами, спектры верхних сильных пока-

зателей колеблемости знаков, нулей и корней которого совпадают с заданным суслинским

множеством неотрицательной полуоси расширенной числовой прямой, содержащим нуль.

DOI: 10.31857/S0374064123050035, EDN: CWOGNI

Введение. Для заданного натурального числа n рассмотрим множество

Eⁿ линейных

однородных уравнений n-го порядка

y(n) + a₁(t)y(n-1) + ... + an-1(t) y + a_n(t)y = 0, t ∈ R₊ ≡ [0,+∞),

задаваемых наборами a ≡ (a₁, . . . , a_n): R₊ → Rⁿ непрерывных функций, с которыми в даль-

нейшем и будем отождествлять сами уравнения. Множество всех ненулевых решений уравне-

ния a

Eⁿ обозначим через S_∗(a). Далее звёздочкой снизу будем помечать любое линейное

пространство, в котором выколот нуль. Положим

⋃

S^n∗ =

S_∗(a).

Eⁿ

Для решений линейных однородных уравнений первого порядка все показатели колебле-

мости равны нулю, так как эти решения не имеют нулей в силу теоремы существования и

единственности, а для всех решений любого уравнения второго порядка все верхние (как и все

нижние) показатели равны между собой и их спектры (т.е. множества значений на ненулевых

решениях уравнения) состоят из одного значения [1].

В статье [2] доказано существование уравнения третьего порядка с периодическими коэф-

фициентами, спектры показателей колеблемости которого содержат конечные подмножества,

состоящие из сколь угодно большого наперёд заданного числа метрически и топологически су-

щественных значений. Кроме того, построено линейное однородное дифференциальное уравне-

ние третьего порядка с переменными ограниченными коэффициентами, спектры показателей

колеблемости которого содержат одно и то же счётное множество метрически и топологически

существенных значений. В [3] приводится линейное однородное дифференциальное уравнение

третьего порядка с неограниченными коэффициентами, спектры показателей колеблемости

которого содержат один и тот же отрезок числовой прямой.

В работах [4-8] доказано, что спектры верхних частот Сергеева знаков, нулей и корней

линейного дифференциального уравнения порядка выше двух являются суслинскими множе-

ствами неотрицательной полуоси расширенной числовой прямой. Также в предположении, что

спектры содержат точку нуль, в [4-7] получено обращение этого утверждения. В настоящей

работе эти свойства обобщены и на верхние сильные показатели колеблемости знаков, нулей

и корней решений дифференциальных уравнений третьего порядка.

588

ОБ УПРАВЛЕНИИ СПЕКТРАМИ ВЕРХНИХ СИЛЬНЫХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ

589

1. Формулировка основного результата. Сначала дадим основные определения.

Определение 1 [9, 10]. Скажем, что в точке t > 0 происходит строгая смена знака функ-

ции y ∈ S^n∗, если в любой окрестности этой точки функция y принимает как положительные,

так и отрицательные значения.

Определение 2 [9-12]. Для момента t > 0 и функции y ∈ S^n∗ введём следующие обозна-

чения:

ν^-(y,t) - число точек её строгой смены знака на промежутке (0,t];

ν⁰(y,t) - число её нулей на промежутке (0,t];

ν⁺(y,t) - число её корней (т.е. нулей с учётом их кратности) на промежутке (0,t].

Далее для вектора m ∈ R^n∗ и вектор-функции ψy = (y, y, . . . , y(n-1)) ввёдем обозначение

ν^γ(y,m,t) ≡ ν^γ(〈ψy,m〉,t), где γ ∈ {-,0,+}, 〈·,·〉 - скалярное произведение.

Определение 3 [8-10]. Верхние (нижние) частоты Сергеева знаков, нулей и корней функ-

ции y ∈ S^n∗ зададим при γ ∈ {-, 0, +} соответственно равенствами

(

)

ν^γ(y) ≡ lim

ν^γ(y,t)

ν^γ(y) ≡ lim

ν^γ(y,t)

t→+∞ t

t→+∞

Определение 4 [11, 12]. Верхние (нижние) сильный и слабый показатели колеблемо-

сти знаков, нулей и корней функции y ∈ S^n∗ зададим при γ ∈ {-,0,+} соответственно

равенствами

(

)

ν^γ•(y) ≡ inf

lim

ν^γ(y,m,t)

ν^γ•(y) ≡ inf lim

ν^γ(y,m,t) ,

m∈R^n∗

t→+∞ t

m∈R^n∗ t→+∞

(

)

ν^γ◦(y) ≡ lim

inf

ν^γ(y,m,t)

ν^γ◦(y) ≡ lim

inf

ν^γ(y,m,t)

t→+∞

m∈R^n∗ t

m∈R^n∗

t→+∞

К определению 2 добавим ещё обозначения

ν^γ(y,s,t) ≡ ν^γ(y,t) - ν^γ(y,s), ν^γ(y,m,s,t) ≡ ν^γ(y,m,t) - ν^γ(y,m,s).

Определение 5. Множество всех значений показателя κ: S_∗(a) → R ≡ R

^⊔ {-∞, +∞} на

нетривиальных решениях уравнения a

Eⁿ назовём спектром этого показателя уравнения

Eⁿ.

Определение 6 [13, с. 489]. Множество A ⊂ R называется суслинским множеством пря-

мой R, если оно является непрерывным образом множества иррациональных чисел, рассмат-

риваемого в естественной топологии. Множество A ⊂ R - суслинское множество расширенной

числовой прямой, если оно представимо в виде объединения суслинского множества прямой

R и некоторого (в том числе и пустого) подмножества множества {-∞,+∞}.

Теперь перейдём к формулировке основного результата.

Теорема. Для любого содержащего нуль суслинского множества A ⊂ R₊ ≡ R₊

^⊔ {+∞}

существует дифференциальное уравнение a

E³, удовлетворяющее при любом γ ∈ {-,0,+}

равенствам

ν^γ•(S_∗(a)) = ν^γ(S_∗(a)) = A.

2. Вспомогательные определения и факты. В этом пункте приведём сведения, необ-

ходимые для доказательства основного результата.

Лемма 1. Если набор функций {y₁, y₂, y₃} является фундаментальной системой решений

некоторого уравнения a

E³, то при любом α > 0 набор функций

z_i(t) = y_i(t)exp(exp(αt)), t ∈ R₊, i = 1,3,

(1)

также является фундаментальной системой решений некоторого уравнения b

E³.

Доказательство. Обозначим через Wy1,y₂,y₃ (t) и Wz₁,z₂,z₃ (t), t ∈ R+, определители Врон-

ского систем функций y₁, y₂, y₃ ∈ S_∗(a) и z₁, z₂, z₃ соответственно.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№5

2023

590

СТАШ

Имеем

Ż_i(t) = exp(exp(αt))(αe^αty_i(t) + y_i(t)), i = 1,3,

zi(t) = exp(exp(αt))(α²e^αt(e^αt + 1)yi(t) + 2αe^αt yi(t) + ÿi(t)), i = 1, 3.

Тогда



z₁(t) z₂(t) z₃(t)

exp(exp(αt))y₁(t) exp(exp(αt))y₂(t) exp(exp(αt))y₃(t)



 Ż1(t)

Ż₂(t)

Ż₃(t)



Ż₁(t)

Ż₂(t)

Ż₃(t)

₌

Wz1,z₂,z₃(t) ≡



z1(t)

z₂(t)

z₃(t)



z₁(t)

z₂(t)

z₃(t)



exp(exp(αt))y₁(t) exp(exp(αt))y₂(t) exp(exp(αt))y₃(t)



₌

exp(exp(αt)) y₁(t) exp(exp(αt)) y₂(t) exp(exp(αt)) y₃(t)



z₁(t)

z₂(t)

z₃(t)



exp(exp(αt))y₁(t) exp(exp(αt))y₂(t) exp(exp(αt))y₃(t)



exp(exp(αt)) y1(t) exp(exp(αt)) y2(t) exp(exp(αt)) y3(t)=



exp(exp(αt))ÿ1(t) exp(exp(αt))ÿ2(t) exp(exp(αt))ÿ3(t)

= exp(3 exp(αt))Wy1,y₂,y₃ (t) = 0, t ∈ R+.

Отсюда следует, что набор функций (1) является [14, с. 86] фундаментальной системой

решений следующего уравнения b

E³ :



 z1(t) z2(t) z3(t) y 



Ż₁(t)

Ż₂(t)

Ż₃(t)

y 



 = 0.



z₁(t)

z₂(t)

z₃(t)

ÿ

Wz1,z₂,z₃ (t)



z₁(t)

z₂(t)

z₃(t)

Лемма доказана.

Определение 7 [6]. Назовём функцию y ∈ C³([α,β]) правильно колеблющейся порядка

p ∈ N на отрезке [α,β], если существует последовательность α = τ₁ < τ₂ < ... < τ4p+2 = β

вещественных чисел такая, что:

1) на отрезках [τ2i-1, τ2i], i = 1, 2p + 1, функция y имеет постоянную производную r_i,

при этом справедливы неравенства r₁ > 0 и r_iri+1 < 0;

2) на интервалах (τ2i, τ2i+1), i = 1, 2p, её вторая производная

ÿ отлична от нуля.

Класс функций, введённых в определении 7, обозначим через R_p[α, β]. Из определения 7

вытекает, что для функции y ∈ R_p[α, β] справедливы неравенства ÿ < 0 при t ∈ (τ4i-2, τ4i-1)

и ÿ > 0 при t ∈ (τ4i,τ4i+1), i = 1,p.

Нетрудно убедиться в том, что для функции y ∈ R_p[α, β] при каждом c ∈ R верно нера-

венство

ν^γ(y(t) - c;α,β) ≤ 2p + 1, γ ∈ {-,0,+}.

Определение 8 [6]. Назовём функцию y ∈ C³(R₊) правильно колеблющейся на положи-

тельной полуоси R₊, если существует такая строго возрастающая последовательность {δ_i}

неотрицательных чисел с первым членом δ₁ = 0, что для каждого i ∈ N сужение y|[δi,δi+1]

является правильно колеблющейся на отрезке [δ_i, δi+1] функцией некоторого порядка p_i ∈ N,

т.е. y|[δi,δi+1] ∈ Rpi[δi^,δi+1].

Класс функций, введённых в определении 8, обозначим через R(R₊).

В работах [6, 15] установлено следующее утверждение.

Лемма 2. Для любых натурального числа p ∈ N и действительных чисел α < β и b < d

существует функция f(·) ≡ f(· ; α, β; b, d; p) : [α, β] → [b, d], правильно колеблющаяся порядка

p на отрезке [α,β], обладающая свойствами:

1) для любых τ ∈ (α, β], символа γ ∈ {0, -, +} и чисел c₁ ∈ [b, d], c₂ ∈ (b, d), c₃ ∈ {b, d}

и c₄ ∈ [b,d] справедливы соотношения

ν^γ(f(·) - c₁;α,τ) ≤ (2p + 1)(τ - α)/(β - α) + 1, ν^γ(f(·) - c₂;α,β) = 2p + 1,

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№5

2023

ОБ УПРАВЛЕНИИ СПЕКТРАМИ ВЕРХНИХ СИЛЬНЫХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ

591

ν^-(f(·) - c₃;α,β) = 0, ν⁰(f(·) - c₃;α,β) = p + 1, ν⁺(f(·) - c₃;α,β) = 2p + 1,

ν^γ(f(·) - c₄;α,β) = 0;

2) уравнение f(t) = b имеет ровно p + 1 решение μ₁ < ... < μp+1, уравнение f(t) = d

имеет ровно p + 1 решение ν₁ < ... < νp+1, причём α = μ₁ < ν₁ < μ₂ < ν₂ < ... < νp+1 = β;

3) для некоторой константы M > 0 выполнены неравенства

f (t)| ≤ M(2p + 1)(d - b)(β - α)-1,

f (t)| ≤ M(2p + 1)²(d - b)²(β - α)-2, t ∈ [α, β].

Следующая лемма уточняет результат статьи [6, следствие 4] и использует рассуждения

[6, лемма 14].

Лемма 3. Для произвольного суслинского множества A ⊂ R₊, содержащего нуль, суще-

ствует ограниченная функция y_A(·) ∈ R(R₊), обладающая свойством: для любых функций

ai : R+ → R, i = 0,2, удовлетворяющих для некоторых положительных постоянных C

и α условию |a₀(t)| + |a₁(t)| + |a₂(t)| ≤ Ce^-αt, t ∈ R₊, при каждом c ∈ R справедливы

соотношения

{ν^-(y_A(·) - c): c ∈ R} = A,

(2)

ν-(y_A(·) + a₀(·) + a₁(·) y_A(·) + a₂(·)ÿ_A(·) - c) ≥ ν^-(y_A(·) - c) = ν⁺(y_A(·) - c).

(3)

Доказательство. Через K обозначим канторово множество [16, с. 138]:

⋂

⋃

Δ^ji,

j=0 i=1

где отрезки Δ^ji, i = 1, 2^j , определяются индукцией по j ∈ N₀ ≡ N

^⊔ {0}: Δ⁰¹ = [0, 1], а при

j ∈ N для каждого i = 1,2^j отрезки Δj2i-1 и Δj2i по определению - левая и правая трети

отрезка Δj-1i соответственно. Для любых j ∈ N₀, i = 1, 2^j обозначим Δ^ji = [α^ji , β^ji ], т.е.

[αj+12i-1, βj+12i-1] = [α^ji , α^ji + 3-(j+1)],

[αj+12i, βj+12i] = [β^ji - 3-(j+1), β^ji ].

Множество точек второго рода [16, с. 141] канторова множества K обозначим через K₂ :

⋂

⋃

K₂ =

(α^ji , β^ji ).

j=0 i=1

Далее для каждого j ∈ N₀ определим 2^j отрезков

Δ^j

= [α^ji

β^ji], где

α^ji

= α^ji +6-(j+2) и

β^ji = β^ji - 6-(j+2), i = 1,2^j.

Δ^j

Занумеруем отрезки

, j ∈ N0, i = 1,2j, натуральными числами и обозначим их в

указанной нумерации Δ₁, Δ₂, . . . , полагая Δ(2^j + i - 1) =Δji. Пусть Δ(k) = [b_k, d_k], k ∈ N,

тогда b_k = α^ji , d_k

β^ji, где j = [log₂ k] и i = k + 1 - 2^j (здесь и далее [·] - целая часть

числа).

Выберем строго возрастающую последовательность (t_k) с первым членом t₁ = 0, удовле-

творяющую при k → +∞ условию (tk+1 - t_k)/tk+1 → 1.

Согласно [16, с. 146-147] существует гомеоморфизм ϕ : K₂ → I между пространством K₂

и пространством I иррациональных чисел. Для суслинского множества A

⋂R существует [13,

с. 489] непрерывное отображение ψ : I → R такое, что ψ(I) = A

⋂R. Положим g = ψ ◦ ϕ.

Тогда g(K₂) = A

⋂R.

Функцию y_A(·) определим сначала на отрезках [t4k-3, t4k-2] и [t4k-1, t4k] для всех k ∈

∈ N. На каждом отрезке Δ(k), k ∈ N, выберем число ξ_k ∈ Δ(k) второго рода и зададим

последовательность (p_k)k∈N натуральных чисел равенством

p_k = [(2π)-1(t4k-2 - t4k-3)g(ξ_k)] + 1.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№5

2023

592

СТАШ

Последовательность (n_k)k∈N натуральных чисел зададим равенством n_k = [(t4k - t4k-1)k] + 1,

если +∞ ∈ A, иначе n_k = 1. Положим

{

f (t; t

4k-3, t4k-2; bk, dk; pk) при t ∈ [t4k-3, t4k-2],

y_A(t) =

f (t; t4k-1, t4k; 2, 3; n_k )

при t ∈ [t4k-1, t4k],

где k ∈ N. На полуось R₊ функцию y_A(·) продолжим согласно [6, следствие 2] так, чтобы

y_A(·) ∈ R(R₊) и



y_A

(·) ∈ R₂[t4k-2, t4k-1], y_A

(·) ∈ R₂[t4k, t4k+1], k ∈ N.

[t4k-2,t4k-1]

[t4k,t4k+1]

Построенная функция y_A(·) является ограниченной на полуоси, как это вытекает из указан-

ного следствия и определения функции f(· ; α, β; b, d; p).

В доказательстве леммы 14 и следствия 4 [6] установлено, что при каждом γ ∈ {-, 0, +}

справедливо равенство

⎧

⎨g(c), если c ∈ K2,

ν^γ(y_A(·) - c) =

+∞, если c ∈ (2,3) и +∞ ∈ A,

^⎩0

иначе.

Таким образом, установлены все равенства в (2) и (3). Установим теперь оставшееся нера-

венство.

Пусть c ∈ K₂. Тогда в его троичном представлении c = 0, c₁c₂ . . . (где цифры c_i ∈ {0, 2},

i ∈ N) существует бесконечно много таких m ∈ N, что cm = 0 и cm+1 = 2. Обозначим

множество таких m через N (c). Пусть

c(m) = 0,c₁c₂ ... cm-1 и c(m) = 0,c₁c₂ ... cm-1(2), m ∈ N(c).

Поскольку троичная запись числа c(m) содержит после запятой не более чем m - 1 цифр 0

и 2, то c(m) - левый конец некоторого отрезка (m - 1)-го ранга Δm-1j(m), j(m) ∈ {1, . . . , 2m-1},

а так как c(m) - c(m) = 3-(m-1), то [c(m), c(m)] = Δm-1j(m).

Докажем неравенство

c(m) + 2 · 6-(m+1) < c < c(m) - 2 · 6-(m+1), m ∈ N(c).

(4)

Действительно, вычитая из всех частей этого неравенства число c(m) и затем умножая их

на 3m+1, получаем очевидное неравенство

2-m < 2 + 0, cm+2 . . . < 9 - 2^-m.

Положим N⁰(c) = {2m-1 + j(m) - 1 : m ∈ N (c)}. Другими словами, множество N⁰(c) состоит

Δm-1

из номеров отрезков

, m ∈ N(c). Как отмечено выше, множество N⁰(c) бесконечно.

j(m)

Из построения функции y_A(·) и леммы 2 вытекает справедливость неравенств

|y_A(t)| ≤ M(|g(ξ_k)| + 1),

|ÿ_A(t)| ≤ M(g²(ξ_k) + 1), t ∈ [t4k-3,t4k-2],

для некоторой постоянной M > 0.

Заметим, что

lim

ξk = c, поскольку

|Δ(k)|

→ 0 при k → ∞. Следовательно,

N⁰(c)∋k→∞

lim

g(ξ_k) = g(c), поскольку g непрерывна. Значит, множество

{|g(ξ_k )| : k ∈ N⁰(c)},

N⁰(c)∋k→∞

а с ним и сужения функций

y_A(·) и

ÿA(·) на объединение отрезков [t4k-3, t4k-2], k ∈ N⁰(c),

ограничены некоторой константой

M> 1.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№5

2023

ОБ УПРАВЛЕНИИ СПЕКТРАМИ ВЕРХНИХ СИЛЬНЫХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ

593

Выберем k₀ ∈ N такое, что 36CMk³e-α(4k-3) < 1 при всех k ≥ k₀. Тогда для любого

k ∈ N⁰(c)

^⋂ [k₀, +∞) на отрезке [t4k-3, t4k-2] функция y_A(·) + a₀(·) + a₁(·) y_A(·) + a₂(·)ÿ_A(·) - c

имеет не менее 2p_k + 1 точек строгой смены знака. Действительно, в силу (4) справедлива

цепочка

min{d_k - c, c - b_k} > 6-(m+1) > 1/(36k³),

где m = [log₂ k] + 1, поэтому по построению функции y_A(·) на отрезке [t4k-3, t4k-2] найдутся

точки

t4k-3 = μk1 < νk1 < ... < μ^kp

<ν^kp

=t4k-2,

k+1

в которых функция y_A(·) + a₀(·) + a₁(·) y_A(·) + a₂(·)ÿ_A(·) - c принимает поочерёдно отрица-

тельные и положительные значения.

Таким образом, в силу определения числа p_k справедливо неравенство

ν^-(y_A(·) + a₀(·) + a₁(·) y_A(·) + a₂(·)ÿ_A(·) - c;t4k-3,t4k-2) ≥ π-1g(ξ_k)(t4k-2 - t4k-3),

откуда по лемме 13 [6] получаем, что

ν^-(y_A(·) + a₀(·) + a₁(·) y_A(·) + a₂(·)ÿ_A(·) - c) ≥

lim

g(ξ_k) = g(c).

N⁰(c)∋k→∞

С другой стороны, в лемме 14 [6] установлено, что ν^-[y_A(·) - c] = g(c).

Пусть теперь c ∈ (2, 3) и +∞ ∈ A. Тогда по построению для некоторой постоянной

M >0

на каждом из отрезков [t4k-1, t4k], k ∈ N, выполнены оценки | y_A(t)| ≤

Mk, |ÿA(t)| ≤

Mk,

а значит, сужение функции a₀(·) + a₁(·) y_A(·) + a₂(·)ÿ_A(·) на объединение указанных отрезков

является бесконечно малым при t → +∞. Следовательно, для всех достаточно больших k на

отрезке [t4k-1, t4k] найдутся точки

t4k-1 = μk1 < νk1 < ... < μ^kn

<ν^kn

=t4k,

k+1

в которых функция y_A(·)+a₀(·)+a₁(·) y_A(·)+a₂(·)ÿ_A(·)-c принимает поочерёдно отрицатель-

ные и положительные значения. Таким образом, в силу определения числа n_k справедливо

неравенство

ν^-(y_A(·) + a₀(·) + a₁(·) y_A(·) + a₂(·)ÿ_A(·) - c;t4k-1,t4k) ≥ 2k(t4k - t4k-1),

откуда по лемме 13 [6] получаем, что

ν^-(y_A(·) + a₀(·) + a₁(·) y_A(·) + a₂(·)ÿ_A(·) - c) = +∞.

Лемма доказана.

3. Доказательство основного результата. Пусть y_A(·) - функция, построенная в лем-

ме 3 по заданному суслинскому множеству A. Согласно лемме 12 [6] существует функция

u(·) ∈ C³(R₊) такая, что lim

u(t) = +∞ и набор функций {1, y_A(·), u(·)} является фунда-

t→+∞

ментальной системой решений некоторого уравнения a

E³.

Выберем произвольно и зафиксируем α > 0. По лемме 1 набор функций exp(exp(αt)),

exp(exp(αt))y_A(t), exp(exp(αt))u(t), t ∈ R₊, является фундаментальной системой решений

некоторого уравнения a

E³.

Положим c = (c₁, c₂, c₃) ∈ R³. Каждому ненулевому решению

y_c(t) = c₁ + c₂y_A(t) + c₃u(t), t ∈ R₊,

уравнения a

E³ поставим в соответствие решение

z_c(t) = exp(exp(αt))y_c(t) ∈ S_∗(a).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№5

2023

594

СТАШ

Очевидно, что для любого ненулевого набора нули и точки строгой смены знака двух функ-

ций y_c и z_c совпадают между собой. Более того, если в некоторой точке функция y_c имеет

кратный нуль, то это же верно и для функции z_c и наоборот. Следовательно, справедливы

равенства

ν^γ(y_c) = ν^γ(z_c), γ ∈ {-,0,+}.

(5)

Покажем, что верхний сильный показатель колеблемости знаков ν^-•(z_c) всякого ненулевого

решения z_c ∈ S_∗(a) совпадает с верхней частотой Сергеева знаков ν^-(y_c) соответствующего

решения y_c ∈ S_∗(a). Из очевидного неравенства ν^-•(z_c) ≤ ν^-(z_c) и (5) вытекает неравенство

ν-•(z_c) ≤ ν^-(y_c). Установим обратное неравенство.

Пусть c₃ = 0. Тогда для любого решения y_c найдётся момент времени t(c), начиная с

которого функция y_c будет отлична от нуля. Поэтому выполняется цепочка равенств

0 = ν-• (z_c) = ν^-(z_c) = ν^-(y_c) = 0.

(6)

При c₃ = 0 для скалярного произведения 〈ψz_c(t), m〉 имеем представление

〈ψz_c(t), m〉

= m₁(c₁ + c₂y_A(t)) + m₂(αe^αt(c₁ + c₂y_A(t)) + c₂ y_A(t)) +

exp(exp(αt))

+ m₃((α²e2αt + α²e^αt)(c₁ + c₂y_A(t)) + 2αe^αtc₂ y_A(t) + c₂ÿ_A(t)).

1. Если m₃ = 0, то указанное скалярное произведение принимает вид

〈ψz_c(t), m〉

= c₁ + c₂y_A(t) + a₀(t) + a₁(t)y_A(t) + a₂(t)ÿ_A(t),

m₃(αe2αt + α²e^αt)exp(exp(αt))

где a_i(t), i = 0, 2, экспоненциально стремятся к нулю при t → +∞.

2. Если m₂ = 0, m₃ = 0, то скалярное произведение представимо в виде

〈ψz_c(t), m〉

= c₁ + c₂y_A(t) + a₀(t) + a₁(t)y_A(t),

m₂αe^αt exp(exp(αt))

где a_i(t), i = 0, 1, экспоненциально стремятся к нулю при t → +∞.

3. Если m₂ = m₃ = 0, то скалярное произведение примет вид

〈ψz_c(t), m〉

= c₁ + c₂y_A(t).

m₁ exp(exp(αt))

Во всех случаях 1-3 выше если c₂ = 0, то, начиная с некоторого момента t(c), функция y_c

будет отлична от нуля, поэтому справедливы равенства (6). Если c₂ = 0, то в силу леммы 3

имеем

ν^-•(z_c) ≥ ν^-(y_c). Таким образом, равенство ν-•(zc) = ν-(yc) установлено для всех

c ∈ R3∗. Из этого равенства, леммы 3 и определений 3 и 4 для любого c ∈ R3∗ получаем

соотношения

ν-(y_c) = ν^-•(z_c) ≤ ν^γ•(z_c) ≤ ν^γ(z_c) = ν^γ(y_c) = ν^-(y_c), γ ∈ {-, 0, +}.

Следовательно, спектры верхних сильных показателей колеблемости и верхних частот Сер-

геева знаков, нулей и корней уравнения a совпадают со спектром верхней частоты Сергеева

знаков уравнения a. Последний, в силу леммы 3, есть в точности множество A. Теорема

доказана.

Заключение. Полученный результат усиливает и обобщает теорему 9 работы [6] на боль-

шее число разновидностей характеристик колеблемости.

Автор выражает благодарность И.Н. Сергееву за обсуждение результатов и доценту

В.В. Быкову за ценные советы и замечания.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№5

2023

ОБ УПРАВЛЕНИИ СПЕКТРАМИ ВЕРХНИХ СИЛЬНЫХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ

595

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Сергеев И.Н. Характеристики колеблемости и блуждаемости решений линейной дифференциальной

системы // Изв. РАН. Сер. мат. 2012. Т. 76. № 1. C. 149-172.

2. Сташ А.Х. О существенных значениях характеристик колеблемости решений линейных диффе-

ренциальных уравнений третьего порядка // Вестн. Адыгейского гос. ун-та. Сер. Естеств.-мат. и

техн. науки. 2013. Вып. 2 (119). С. 9-22.

3. Сташ А.Х. О существовании линейного дифференциального уравнения третьего порядка с конти-

нуальными спектрами полной и векторной частот // Вестн. Адыгейского гос. ун-та. Сер. Естеств.-

мат. и техн. науки. 2013. Вып. 3 (12). С. 9-17.

4. Барабанов Е.А., Войделевич А.С. Cпектры верхних частот Сергеева нулей и знаков линейных диф-

ференциальных уравнений // Докл. НАН Беларуси. 2016. Т. 60. № 1. С. 24-31.

5. Барабанов Е.А., Войделевич А.С. К теории частот Сергеева нулей, знаков и корней решений линей-

ных дифференциальных уравнений. I // Дифференц. уравнения. 2016. Т. 52. № 10. С. 1302-1320.

6. Барабанов Е.А., Войделевич А.С. К теории частот Сергеева нулей, знаков и корней решений линей-

ных дифференциальных уравнений. II // Дифференц. уравнения. 2016. Т. 52. № 12. С. 1595-1609.

7. Войделевич А.С. О спектрах верхних частот Сергеева линейных дифференциальных уравнений

// Журн. Белорус. гос. ун-та. Математика. Информатика. 2019. № 1. С. 28-32.

8. Быков В.В. О бэровской классификации частот Сергеева нулей и корней решений линейных диф-

ференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. 2016. Т. 52. № 4. С. 419-425.

9. Сергеев И.Н. Определение и свойства характеристических частот линейного уравнения // Тр. сем.

им. И.Г. Петровского. 2006. Вып. 25. С. 249-294.

10. Сергеев И.Н. Свойства характеристических частот линейных уравнений произвольного порядка

// Тр. сем. им. И.Г. Петровского. 2013. Вып. 29. С. 414-442.

11. Сергеев И.Н. Определение полных частот решений линейного уравнения // Дифференц. уравнения.

2008. Т. 44. № 11. С. 1577.

12. Сергеев И.Н. Ляпуновские характеристики колеблемости, вращаемости и блуждаемости решений

дифференциальных систем // Тр. сем. им. И.Г. Петровского. 2016. Вып. 31. С. 177-219.

13. Куратовский К. Топология. Т. 1. М., 1966.

14. Филиппов А.Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений. М., 2004.

15. Войделевич А.С. Существование бесконечных всюду разрывных спектров верхних характеристи-

ческих частот нулей и знаков линейных дифференциальных уравнений // Весцi НАН Беларусi.

Сер. фiз.-мат. навук. 2015. № 3. С. 17-23.

16. Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию. М., 1977.

Адыгейский государственный университет,

Поступила в редакцию 24.12.2022 г.

г. Майкоп

После доработки 05.04.2023 г.

Принята к публикации 18.04.2023 г.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№5

2023