ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2023, том 59, № 5, с.596-607

УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

УДК 517.984

О ЯВЛЕНИИ ПИНСКИ

ДЛЯ B-ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ

Получены необходимые условия суммируемости спектральных разложений по собствен-

ным функциям эллиптического оператора с оператором Бесселя по одной из переменных в

произвольной N -мерной области, примыкающей к гиперповерхности сингулярности. Дока-

зано, что если спектральное разложение произвольной функции в некоторой точке данной

гиперповерхности суммируется средними Рисса, то её среднее значение по полушару с цен-

тром в указанной точке обладает обобщённой гладкостью.

DOI: 10.31857/S0374064123050047, EDN: CXHCCZ

К 95-летию Владимира Александровича Ильина

Введение. В работе [1] В.А. Ильин обратил внимание на поведение спектральных разло-

жений кусочно-гладких функций, имеющих разрывы вдоль гладких поверхностей. Он дока-

зал, что разложения по собственным функциям оператора Лапласа в произвольной двумерной

области кусочно-гладких функций, имеющих разрывы первого рода вдоль гладких кривых,

сходятся к разлагаемой функции в каждой точке. Этот результат является обобщением клас-

сического результата Дирихле о том, что одномерный тригонометрический ряд Фурье кусочно-

гладкой функции сходится в каждой точке.

Когда размерность N рассматриваемой области больше двух, спектральные разложения

кусочно-гладких функций могут расходиться даже в тех точках, в окрестности которых раз-

лагаемая функции является гладкой, т.е. отсутствует локализация спектральных разложений.

В этом случае, как в последующем было показано многими авторами, множество расходимости

определяется геометрией поверхности разрыва разлагаемой функции (см. [2-8]).

Отметим, что впервые на это явление, с точки зрения так называемой квазиабсолютной схо-

димости, обратил внимание В.П. Маслов [9], доказавший, что даже при N = 2 спектральное

разложение функции со слабыми разрывами на гладкой кривой L расходится квазиабсолютно

в точках эволюты кривой L. Если, например, в случае N ≥ 3 функция имеет слабый разрыв

вдоль некоторой сферы, то спектральное разложение данной функции хуже всего ведёт себя

в центре этой сферы. В частности, если функция равна единице внутри шара и нулю вне, то

в центре шара её спектральное разложение расходится (см. [10, п. 1.3]).

Рассмотрев в статье [11] спектральное разложение характеристической функции шара,

М. Пински сравнил отсутствие локализации с явлением Гиббса, поэтому указанное свойство

получило название “явления Пински” (“Pinsky phenomenon”, см. [12, 13]).

В работе [14] был изучен вопрос, в некотором смысле обратный к явлению Пински. В част-

ности, из её результатов следует, что если функция имеет носитель в замкнутом шаре, то для

сходимости спектрального разложения функции в центре шара необходимо, чтобы интеграл

от неё по поверхности шара равнялся нулю.

В настоящей статье мы распространяем результаты работы [14], полученые для оператора

Лапласа, на случай В-эллиптических операторов. В определении данных операторов следуем

монографии И.А. Киприянова [15].

Рассмотрим евклидово полупространство R+N , точки которого обозначим (x^′, x_N ), где x^′ =

= (x₁, x₂, . . . , xN-1), причём xN > 0. Пусть ограниченная область Ω+ с кусочно-гладкой

границей Γ расположена в полупространстве R+N и прилегает к гиперплоскости x_N = 0.

Часть границы Γ, расположенную в R+N , обозначим Γ⁺, а часть границы Γ, лежащую на

гиперплоскости x_N = 0, обозначим через Γ⁰.

596

О ЯВЛЕНИИ ПИНСКИ ДЛЯ B-ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ

597

В области Ω⁺ рассмотрим дифференциальный оператор

(

∑

∂

∂²

Δ_B =

x^k

(1)

x^k

∂x_N

∂x

∂x²

i=1

где k - фиксированное положительное число. Данный бесселевский параметр k играет важ-

ную роль в формулировке полученных результатов.

Областью определения оператора Δ_B будем считать множество функций u∈C∞0(Ω⁺

^⋃Γ⁰),

удовлетворяющих условию

∂u

= 0, x ∈ Γ⁰.

∂x_N

Введём гильбертово пространство L2,k(Ω⁺) со скалярным произведением

∫

(u, v)_k = u(x)v(x)x^kN dx

Ω⁺

√

и ассоциированной с ним нормой ∥u∥_k =

(u, u)_k.

Оператор Δ_B в гильбертовом пространстве L2,k(Ω⁺) является симметрическим:

(Δ_Bu, v)_k = -(∇u, ∇v)_k = (u, Δ_Bv)_k,

и отрицательным:

(Δ_Bu, u)_k = -∥∇u∥2k.

Обозначим через A произвольное положительное самосопряжённое расширение в L2,k(Ω⁺)

оператора -Δ_B такое, что обратный оператор A-1 является компактным в L2,k(Ω⁺) (см. [15,

§ 5.4]). В этом случае собственные значения λ_n оператора A положительны и стремятся

к +∞, а собственные функции u_n(x) удовлетворяют уравнению Δ_Bu_n(x) + λ_nu_n(x) = 0 и

образуют полную ортонормированную систему в L2,k(Ω⁺).

Спектральное разложение произвольной функции f ∈ L2,k(Ω⁺) имеет вид

∑

E_λf(x) =

f_nu_n(x), f_n = (f,u_n)_k,

(2)

λn<λ

а их средние Рисса порядка s определяются равенством

(

)_s

∫

(

)_s

∑

λ_n

E^sλf(x) =

f_nu_n(x) =

dE_tf(x).

(3)

λn<λ

Нашей целью является изучение спектральных разложений (2) и их средних Рисса (3) в

случае, когда точка x находится внутри границы Γ⁰. Тогда вместо шара с центром в точке x

приходится рассматривать полушар

B⁺(x,r) = {y ∈ R^N : |y - x| ≤ r, y_N > 0},

расположенный в полупространстве x_N ≥ 0. Ниже будем предполагать, что точка x и ради-

ус r данного полушара выбраны так, что указанный полушар не выходит за пределы облас-

ти Ω⁺.

Среднее значение порядка α > 0 функции f ∈ L2,k(Ω⁺) по полушару радиуса r с центром

в точке x ∈ Γ⁰ определим равенством

∫

(

)α-1

|y|²

S^αrf(x) =

f (x + y)y^kN dy,

(4)

ω_N(k,α)rN+k

r²

|y|<r

y_N >0

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№5

2023

598

АЛИМОВ, ПИРМАТОВ

где

∫

ω_N(k,α) =

(1 - |y|²)α-1y^kN dy.

|y|<1

y_N >0

Заметим, что для любого α > 0 и любой ограниченной (и, в частности, кусочно-гладкой)

функции f средние (4) непрерывно зависят от радиуса r на интервале 0 < r < dis (x, Γ⁺).

Введём также среднее значение функции по полусфере радиуса r с центром в точке x ∈ Γ⁰

∫

S_rf(x) =

f (x + y)y^kN dσ(y),

(5)

ω_N(k)rN+k-1

|y|=r

y_N >0

где

∫

ω_N(k) =

y^kN dσ(y).

|y|=1

y_N >0

Так как

∫

(

∫

(

∫

)α-1

|y|²

ρ²

f (x + y)y^kN dy =

dρ

f (x + y) y^k dσ(y),

r²

|y|≤r

|y|=ρ

y_N >0

то, принимая во внимание определения (4) и (5), можем записать

∫

(

)α-1

ρ²

S^αrf(x) =

ρN+k-1S_ρf(x)dρ,

(6)

rN+k

r²

где β = ω_N (k)/ω_N (k, α).

Из определения (5) следует равенство

∫

S_rf(x)rN+k-1 dr =

f (x + y)y^kN dy,

ω_n

|y|≤R

y_N >0

справедливое для любого R из интервала 0 < R < dis (x, Γ⁺).

По теореме Фубини для любой функции f ∈ L1,k(Ω⁺) (т.е. интегрируемой по Ω⁺ с весом

x^kN ) среднее по полусфере определено для почти всех r > 0 таких, что указанная полусфера

радиуса r целиком лежит в области Ω⁺.

Всюду ниже S^αrf(x) при α = 0 означает среднее по полусфере (5):

S0rf(x) = S_rf(x).

Как обычно, две функции называются эквивалентными на некотором множестве, если

почти всюду на этом множестве они принимают одинаковые значения.

Основной результат настоящей статьи заключается в следующем.

Теорема. Пусть действительные числа s ≥ 0 и α ≥ 0 и целое число m ≥ 0 удовлетво-

ряют условию

s + m - α < (N + k - 3)/2.

(7)

Если спектральное разложение функции f ∈ L2,k(Ω⁺) суммируется в точке x ∈ Γ⁰ средни-

ми Рисса порядка s, то функция ϕ_α(r) = S^αrf(x) эквивалентна функции, m раз непрерывно

дифференцируемой на интервале 0 < r < dis(x,Γ⁺).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№5

2023

О ЯВЛЕНИИ ПИНСКИ ДЛЯ B-ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ

599

Таким образом, необходимым условием суммируемости ряда Фурье функции из L2,k(Ω⁺)

в некоторой граничной точке x ∈ Γ⁰ является определённая уравновешенность этой функции

не только в окрестности данной точки, но и в удалении от неё.

Следствие. Пусть N + k > 3. Если в некоторой точке x ∈ Γ⁰ средние Рисса (3) порядка

s < (N + k - 3)/2 сходятся, то среднее значение (5) по полусфере радиуса r с центром в

этой точке непрерывно зависит от r.

Например (см. ниже п. 5), если функция f имеет носитель в полушаре B⁺(x, R) = {y ∈

∈ R^N : |y - x| ≤ R, y_N > 0}, то необходимым условием сходимости её ряда Фурье в точке x

является выполнение условия

∫

f (y)y^kN dσ(y) = 0.

|y-x|=R

y_N >0

Заметим, что характеристическая функция полушара B⁺(x, R) данному условию не удо-

влетворяет, и поэтому её ряд Фурье расходится в точке x.

Доказательство теоремы существенно опирается на результаты И.А. Киприянова [15, гл. 5],

где подробно изучены собственные функции оператора (1).

Изложение построено следующим образом: в п. 1 устанавливается основная формула (9),

связывающая средние Рисса (3) со средними по полусфере (4) для функций с быстро убываю-

щими коэффициентами Фурье, в п. 2 полученная формула распространяется на произвольные

функции из L2,k(Ω⁺), а в п. 3 на её основе доказывается справедливость утверждения сфор-

мулированной теоремы; в п. 4 рассматриваются примеры, связанные с явлением Пински.

1. Связь между средними по полусфере и средними Рисса. Напомним, что рас-

сматриваем произвольное положительное самосопряжённое расширение в L2,k(Ω⁺) оператора

-Δ_B такое, что обратный оператор A-1 является компактным в L2,k(Ω⁺). Положим

⋂

D(A^∞) = D(A^m),

m=1

где D(A^m) - область определения оператора A^m.

Лемма 1. Пусть числа α ≥ 0 и s ≥ 0 удовлетворяют условию

N+k-3

s<α+

(8)

Тогда для любой функции f ∈ D(A^∞), произвольной точки x ∈ Γ⁰ и любого r из интервала

0 < r < dis{x,Γ⁺} выполняется равенство

∞

∫

√

C(N, k, α, s)

S^αrf(x) =

(

λ)s-α-(N+k)/2J(N+k)/2+α+s(r

λ)E^sλf(x) dλ,

(9)

r(N+k)/2+α-s-2

где J_ν (z) - функция Бесселя первого рода порядка ν, а C(N, k, α, s) - некоторая положи-

тельная постоянная.

Доказательство. 1. Из оценки спектральной функции оператора A (см. [15], § 5.4) сле-

дует, что ряд Фурье

∑

f (x) =

f_nu_n(x)

n=1

любой функции f ∈ D(A^∞) сходится абсолютно и равномерно на каждом компакте K ⊂

⊂Ω⁺

^⋃Γ⁰.

Зафиксировав x ∈ Γ⁰ и проинтегрировав ряд Фурье

∑

f (x + y) =

f_nu_n(x + y)

n=1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№5

2023

600

АЛИМОВ, ПИРМАТОВ

по полушару {|y| < r, y_N > 0}, предварительно умножив его, согласно формуле (4), на

соответствующий множитель, получим равенство

∑

S^αrf(x) =

f_nS^αru_n(x).

(10)

n=1

В силу соотношения (6) можем записать

∫

(

)α-1

ρ²

S^αru_n(x) =

ρN+k-1S_ρu_n(x)dρ.

(11)

rN+k

r²

Далее воспользуемся следующей формулой среднего значения (см. [15, формула (5.3.7)]):

)

⁽N+k

√

⁽ρ√λ)-(N+k-2)/2

S_ρu_n(x) = u(x)Γ

J(N+k-2)/2(ρ

λ)

подставив которую в интеграл (11), получим равенство

∫

(

)α-1

βΓ((N + k)/2)

ρ²

√

⁽ρ√λ)-(N+k-2)/2

S^αru_n(x) = u_n(x)

J(N+k-2)/2(ρ

λ)

ρN+k-1. (12)

rN+k

r²

Последний интеграл простыми преобразованиями сводится к интегралу Сонина (см. [16,

формула 12.11.(1)]), который позволяет записать формулу (12) в виде

√λ

J(N+k)/2+α-1(r

S^αru_n(x) = u_n(x)B(N,k,α)

n⁾,

(13)

√λ_n)(N+k)/2+α-1

где B(N, k, α) = 2(N+k)/2+α-1Γ((N + k)/2 + α).

В таком случае из равенств (10) и (13) для средних взвешенных функции f ∈ D(A^∞) по

полушару радиуса r получаем следующее представление:

∑

J(N+k)/2+α-1(r√λn)

S^αrf(x) = B(N,k,α)

f_nu_n(x).

(14)

(N+k)/2+α-1

(r√λn)

n=1

Отметим, что данное представление справедливо для всех α ≥ 0.

2. Рассмотрим теперь интеграл в правой части равенства (9):

∫∞

√

I(r) =

(

λ)s-α-(N+k)/2Jα+s+(N+k)/2(r

λ)E^sλf(x) dλ.

(15)

Согласно известным оценкам для функций Бесселя (см. [16, гл. 7])

J_ν(z) = O(z^ν), J_ν(z) = O(z-1/2),

справедливым при ν ≥ -1/2 и z > 0, интеграл

∞

∫

|Jα+s+(N+k)/2(t)|t1+s-α-(N+k)/2 dt

сходится для всех α ≥ 0 и s ≥ 0, удовлетворяющих условию 1 + s - α - (N + k)/2 < -1/2,

которое, очевидно, совпадает с условием (8). Отсюда непосредственно следует, что интеграл

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№5

2023

О ЯВЛЕНИИ ПИНСКИ ДЛЯ B-ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ

601

(15) для любой функции f ∈ D(A^∞) сходится абсолютно и равномерно на любом компакте

K ⊂Ω⁺

^⋃Γ⁰.

Введём обозначение

{

a^s, если a > 0,

as+ =

если a ≤ 0,

и преобразуем интеграл (15) с учётом определения (3) следующим образом:

∫∞

[∑

(

)_s

]

√

λ_n

I(r) =

(

λ)s-α-(N+k)/2J(N+k)/2+α+s(r

λ)

f_nu_n(x) dλ =

λn<λ

∫∞

[∑

]

√

(

λ)-s-α-(N+k)/2J(N+k)/2+α+s(r

λ)

(λ - λ_n)^sf_nu_n(x) dλ =

λn<λ

∫∞

]

√

[_∞∑

(

λ)-s-α-(N+k)/2J(N+k)/2+α+s(r

λ)

(λ - λ_n)s+f_nu_n(x) dλ.

n=1

Поменяв порядок интегрирования и суммирования, получим равенство

∞

∫

∑

√

I(r) =

f_nu_n(x) (λ - λ_n)s+(

λ)-s-α-(N+k)/2J(N+k)/2+α+s(r

λ) dλ.

n=1

Заметим, что интегрирование под знаком суммы фактически ведётся по полупрямой λ > λ_n,

поэтому

∞

∫

∑

√

I(r) =

f_nu_n(x)

(λ - λ_n)^s(

λ)-s-α-(N+k)/2J(N+k)/2+α+s(r

λ) dλ.

(16)

n=1

λn

Заменив z = λ/λ_n, получим

∞

∫

√

(λ - λ_n)^s(

λ)-s-α-(N+k)/2J(N+k)/2+α+s(r

λ) dλ =

λn

∞

∫

√

=λs+1n(

λ_n)-s-α-(N+k)/2 (z - 1)^s(√z)-s-α-(N+k)/2J(N+k)/2+α+s(r√λnz)dz.

Далее воспользуемся формулой (см. [17, формула (6.592.10)])

∞

∫

(r√λn)

(z - 1)^s(

√z)-s-α-(N+k)/2J(N+k)/2+α+s(r^√λ_nz)dz = 2s+1Γ(s + 1)J(N+k)√ α-1

s+1

λ_n)

В результате из равенства (16) получим

∑

J(N+k)/2+α-1(r√λn)

I(r) = 2s+1Γ(s + 1)r(N+k)/2+α-s-2

f_nu_n(x)

√λ_n)(N+k)/2+α-1^.

n=1

Сравнение этого соотношения и (14) даёт равенство

B(N, k, α)

S^αrf(x) =

rs+2-α-(N+k)/2I(r).

2s⁺¹Γ(s + 1)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№5

2023

3^∗

602

АЛИМОВ, ПИРМАТОВ

С учётом определения (15) интеграла I(r) отсюда следует требуемое соотношение (9) с

постоянной C = 2-s-1B(N, k, α)/Γ(s + 1). Лемма доказана.

2. Распространение основной формулы на функции из L2,k. Далее покажем, как

можно освободиться от условия f ∈ D(A^∞), значительно сужающего класс рассматривае-

мых функций. Прежде всего заметим, что для произвольной функции f ∈ L1,k(Ω⁺) основное

равенство (9) может не выполняться ни в одной точке ввиду неограниченности спектраль-

ных разложений (см. [18, гл. II, § 5]). Более того, даже если функция f имеет гладкость

порядка l < -s + (N - 1)/2, средние Рисса (3) могут в некоторых точках оказаться неограни-

ченными (см. [19]). Тем не менее если предположить, что спектральное разложение функции

f ∈ L2,k(Ω⁺) суммируется в некоторой точке x ∈ Γ⁰ средними Рисса порядка s, то равенство

(9) оказывается верным.

Лемма 2. Пусть выполняется условие (8). Если средние Рисса E^sλf(x) функции f ∈

∈ L₂(Ω⁺) в некоторой точке x ∈ Γ⁰ ограничены по λ > 0, то для почти всех r из интервала

0 < r < dis{x,Γ⁺} выполняется равенство (9).

Доказательство. Пусть f - произвольная функция из пространства L2,k(Ω⁺). Для лю-

бого h > 0 введём в рассмотрение функцию

∑

F (y, h) =

f_ne-λnhu_n(y), y ∈ Γ⁰

^⋃Ω⁺,

(17)

n=1

представляющую собой средние Абеля спектрального разложения f. Средние Рисса спек-

трального разложения этой функции имеют вид

(

)_s

∑

λ_n

E^sλF(y,h) =

f_ne-λnhu_n(y).

(18)

λn<λ

Очевидно, что функция F (y, h) при каждом h > 0 принадлежит D(A^∞). Следовательно,

согласно лемме 1 выполняется равенство

∞

∫

C(N, k, α, s)

√

S^αrF(x,h) =

(

λ)s-α-(N+k)/2J(N+k)/2+α+s(r

λ)E^sλF (x, h) dλ.

(19)

r(N+k)/2+α-s-2

Докажем, что при h → 0 это равенство переходит в равенство (9).

1) Для доказательства того, что правая часть (19) при h → 0 стремится к правой части

(9), воспользуемся следующим утверждением.

Утверждение 1. Для любого s ≥ 0 существует функция ψ_s(t, h, λ), при всех λ > 0

равномерно по h из интервала 0 < h < 1 удовлетворяющая оценке

∫λ

t^s|ψ_s(t,h,λ)|dt ≤ Cλ^s,

(20)

такая, что выполняется равенство

∫

E^sλF(x,h) = E^sλf(x)e^-λh +

t^sψ_s(t,h,λ)E^sλf(x)dt.

(21)

λ^s

Справедливость данного утверждения следует из результатов работы [20].

Предположим, что выполнено условие |E^sλf(x)| ≤ M(x), λ > 0. В этом случае из соотно-

шения (21) и оценки (20) следует, что средние Рисса порядка s функции (17) равномерно по

h из интервала 0 < h < 1 ограничены по λ > 0:

∫

|E^sλF (x, h)| ≤ M(x) + M(x)

t^s|ψ_s(t,h,λ)|dt ≤ (1 + C)M(x).

λ^s

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№5

2023

О ЯВЛЕНИИ ПИНСКИ ДЛЯ B-ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ

603

Тогда из условия (7) и асимптотики функции Бесселя следует, что интеграл в правой части

(19) сходится абсолютно и равномерно по h > 0.

Далее непосредственно из равенства (18) следует, что

lim

E^sλu(x,h) = E^sλf(x).

h→0

Стало быть, выполнены все условия теоремы Лебега о предельном переходе под знаком

интеграла (см. [21, Добавление I, п. 3]), согласно которой интеграл в правой части равенства

(19) равномерно по r на каждом отрезке положительной полупрямой сходится при h → 0 к

интегралу в правой части (9).

2) Докажем теперь, что левая часть равенства (19) стремится к левой части равенства

(9) при h → 0. В этом случае, по крайней мере при малых α, мы не можем, в отличие

от рассмотренного выше случая, утверждать, что сходимость будет при всех значениях r.

Объясняется это тем, что при α ≤ 1/2 средние (4) и (5) для функций из L2,k(Ω⁺) определены

лишь для почти всех значений радиуса r, т.е. для бесконечного числа значений радиуса они

могут не существовать.

Обозначим величину в правой части (9) символом φ_α(r). Согласно проведённым выше

рассуждениям, для любой функции f ∈ L2,k(Ω⁺) при выполнении условий леммы 2 функ-

ция φ_α(r) является непрерывной на полупрямой r > 0. Кроме того, было установлено, что

равенство

lim

S^αrF(x,h) = φ_α(r)

(22)

h→0

выполняется равномерно по r ∈ I, где I - произвольный отрезок, лежащий внутри интервала

0 < r < dis(x,Γ⁺).

Требуется доказать, что для почти всех r из интервала 0 < r < dis (x, Γ⁺) справедливо

равенство

S^αrf(x) = φ_α(r).

(23)

Для доказательства заметим, что из равенства Парсеваля и определения (17) следует схо-

димость F (x, h) → f(x) при h → 0 в метрике L2,k(Ω⁺):

∑

∥F ( · , h) - f(·)∥2k =

|f_n|²(1 - e-λnh)² → 0, h → 0.

n=1

Следовательно, для любой функции g ∈ L2,k(Ω⁺)

∫

lim

F (y, h)g(y)y^kN dy = f(y)g(y)y^kN dy.

(24)

h→0

Ω⁺

Докажем сначала справедливость соотношения (23) при α = 0. Зафиксируем произволь-

ные ε и R такие, что

0 < ε < R < dis(x,Γ^∗).

(25)

Из определения (5) следует равенство

∫

S_rF(x,h)rN+k-1 dr =

F (x + y, h)y^kN dy.

ω_n

ε≤|y|≤R

y_N >0

Принимая во внимание соотношение (22), устремим в этом равенстве h к нулю. В резуль-

тате получим

∫

φ₀(r)rN+k-1 dr =

f (x + y)y^kN dy = S_rf(x)rN+k-1 dr.

ω_n

ε≤|y|≤R

y_N >0

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№5

2023

604

АЛИМОВ, ПИРМАТОВ

Тогда для всех ε и R, удовлетворяющих условию (25), выполняется равенство

∫

[φ₀(r) - S_rf(x)]rN+k-1 dr = 0.

Отсюда очевидным образом вытекает справедливость при α = 0 соотношения (23) для почти

всех r из интервала 0 < r < dis (x, Γ⁺).

Пусть теперь α > 0. Рассмотрим интеграл

∫

G(r, h) =

(r² - |y|²)^αF (x + y, h)y^kN dy.

(26)

|y|≤r

y_N >0

Из соотношения (24) и определения (4) следует, что

∫

lim G(r, h) =

(r² - |y|²)^αf(x + y)y^kN dy.

(27)

h→0

|y|≤r

y_N >0

С другой стороны, дифференцирование интеграла (26) по r и простые преобразования

приводят к равенству

∫

(

)α-1

|y|²

G′(r, h) = 2αr2α-1

F (x + y, h)y^kN dy,

r²

|y|≤r

y_N >0

откуда с учётом определения (4) получаем

G′(r, h) = 2αω_N (k, α)rN+k+2α-1S^αrF (x, h).

Следовательно, для любых ε и R, удовлетворяющих условию (25), можно записать

∫R

G(R, h) - G(ε, h) = 2αω_N (k, α) rN+k+2α-1S^αrF (x, h) dr.

Устремляя в этом равенстве вначале h → 0, а затем ε → 0, в силу (22) и (27) будем иметь

∫

∫R

(R² - |y|²)^αf(x + y)y^kN dy = 2αω_N (k, α)

rN+k+2α-1φ_α(r)dr.

|y|≤R

y_N >0

Преобразовав интеграл в левой части с учётом определения (4), окончательно получим

∫

rN+k+2α-1S^αrf(x)dr = rN+k+2α-1φ_α(r)dr.

Ввиду произвольности R отсюда следует требуемое соотношение (23). Лемма 2 доказана.

Замечание. При α > 1/2 обе части равенства (24) являются непрерывными функциями

радиуса r и это равенство выполняется в каждой точке интервала 0 < r < dis {x, Γ⁰}.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№5

2023

О ЯВЛЕНИИ ПИНСКИ ДЛЯ B-ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ

605

3. Доказательство теоремы. Основным в дальнейших рассуждениях является равенство

(9), которое запишем в следующем виде:

∞

∫

√

S^αrf(x) = r² Φ(r

λ)E^sλf(x) dλ,

(28)

где

Φ(z) = C(N, k, α, s)zs-α-(N+k)/2J(N+k)/2+α+s(z).

(29)

Напомним, что равенство (28) справедливо для почти всех значений r из интервала 0 <

< r < dis{x,Γ⁰}, хотя правая часть определена для всех r > 0.

∫

∞

√

S^αrf(x) = r² Φ(r

λ)E^sλf (x) dλ + r2 Φ(r

λ)E^sλf(x) dλ.

(30)

Первый интеграл в правой части (31), очевидно, является гладкой функцией r на полупря-

мой r > 0. Таким образом, для доказательства теоремы достаточно при выполнении условия

(8) убедиться в непрерывности при r > 0 производной порядка m функции

∫∞

√

ψ_α(r) = Φ(r

λ)E^sλf(x) dλ.

(31)

Продифференцировав формально равенство (31) m раз, получим

∫∞

√

ψ(m)α(r) =

(

λ)^mΦ(m)(r

λ)E^sλf(x) dλ.

(32)

Из асимптотического поведения функций Бесселя (см. [16, п. 7.21]) следует, что производ-

ные функции (29) при z → +∞ имеют асимптотику

[

]

O(1)

Φ(m)(z) = Azs-α-(N+k+1)/2 cos(m)(z + β) +

Следовательно, |Φ(m)(z)| ≤ Czs-α-(N+k+1)/2, z ≥ 1. Подставив эту оценку в интеграл (32),

получим

∫∞

√

|ψ(m)α(r)| ≤ C

(

λ)m+s-α-(N+k+1)/2|E^sλf(x)| dλ.

Таким образом, для абсолютной и равномерной по r на любом отрезке положительной

полупрямой сходимости интеграла (32) достаточно выполнения неравенства

m + s - α - (N + k + 1)/2 < -2,

совпадающего с условием (7). Теорема доказана.

4. Примеры. Рассмотрим примеры применения теоремы, связанные с явлением Пински.

Пример 1. Фиксируем произвольную точку x ∈ Γ⁰ и положительное число R <dis (x, Γ⁺).

Для произвольной функции F ∈ C^∞(R^N ) определим следующую функцию:

{

F (y), если |y - x| ≤ R,

f (y) =

если |y - x| > R.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№5

2023

606

АЛИМОВ, ПИРМАТОВ

Этим же символом f обозначим её ограничение на область Ω⁺. Для такой функции f среднее

значение (5) по полусфере радиуса r имеет вид

⎧

∫

⎪

⎨

F (x + y)y^kN dσ(y), если 0<r≤R,

ω_N(k)rN+k-1

S_rf(x) =

|y|=r

⎪

y_N >0

⎩

если r > R.

Следовательно, S_rf(x) как функция радиуса может иметь разрыв только в точке r = R.

Непрерывность средних S_rf(x) означает, что должно выполняться условие

∫

F (x + y)y^kN dσ(y) = 0.

(33)

|y|=R

y_N >0

Из теоремы следует, что данное условие является необходимым для сходимости спектраль-

ного разложения (2) функции f в точке x ∈ Γ⁰. Более того, в случае больших значений

размерности N и показателя k должны обращаться в нуль и производные по R интеграла

(33) до определённого порядка.

Заметим, что если функция F принимает только положительные значения, например,

F (y) ≡ 1, то условие (33) не может быть выполнено. Следовательно, спектральное разложение

характеристической функции полушара в его центре должно расходиться (ср. с [11] и [12]).

Пример 2. Для любой области D ⊂ R^N символом Σ(D) обозначим класс функций с

носителем в D, каждая из которых является следом некоторой функции из C^∞(R^N ). Иначе

говоря, f ∈ Σ(D), если существует функция F ∈ C^∞(R^N ) такая, что

{

F (y), если y ∈ D,

f (y) =

(34)

если y ∈ R^N \ D.

Фиксируем произвольную точку x^∗ ∈ Γ⁰ и рассмотрим произвольную подобласть D об-

ласти Ω⁺, целиком расположенную в полушаре

B(x) = {y ∈ Ω⁺ : |y - x| < dis (x, Γ⁺)}.

Обозначим символом Γ^∗ ту часть границы ∂D области D, которая лежит в Ω⁺. Ниже

будем предполагать, что поверхность Γ^∗ является звёздной относительно точки x^∗, т.е. внут-

ренняя часть отрезка, соединяющего точку x^∗ с произвольной точкой множества Γ^∗, лежит

внутри D.

Будем говорить, что для поверхности Γ^∗ в точке x^∗ имеет место явление Пински, если

существует функция f ∈ Σ(D), спектральное разложение которой расходится в точке x^∗.

Точку y^∗ ∈ Γ^∗ назовём сферической относительно x^∗, если окружающая точку y^∗ неко-

торая открытая (в топологии Γ^∗) часть поверхности Γ^∗ лежит на сфере с центром в точке x^∗.

Утверждение 2. Если на Γ^∗ лежит хотя бы одна точка, сферическая относительно x^∗,

то для поверхности Γ^∗ в точке x^∗ имеет место явление Пински.

Действительно, предположим, что точка y^∗ ∈ Γ^∗ является сферической относительно x^∗.

Рассмотрим произвольный выпуклый конус, образованный лучами, исходящими из точки x^∗

и проходящими через точки Γ^∗, которые окружают y^∗ и лежат на сфере с центром в точке x^∗.

Обозначим через F (y) функцию, всюду в этом конусе, кроме окрестности точки x^∗, равную

единице, и продолжим её на всё пространство R^N так, чтобы она принадлежала C^∞(R^N ), бы-

ла неотрицательной и носитель её лежал в чуть большем аналогичном конусе. Тогда функция

f (y), определённая равенством (34), очевидно, принадлежит классу Σ(D), а её спектральное

разложение, согласно примеру 1, в точке x^∗ расходится.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№5

2023

О ЯВЛЕНИИ ПИНСКИ ДЛЯ B-ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ

607

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ильин В.А. Теорема о разложимости кусочно-гладкой функции в ряд по собственным функци-

ям произвольной двумерной области // Докл. АН СССР. 1956. Т. 109. С. 442-445.

2. Colzani L., Crespi A., Travaglini G., Vignati M. Equiconvergence theorems for Fourier-Bessel expansions

with applications to the harmonic analysis of radial functions in Euclidean and noneuclidean spaces

// Trans. Amer. Math. Soc. 1993. V. 338. P. 43-55.

3. Brandolini L., Colzani L. Localization and convergence of eigenfunction expansions // J. of Fourier Anal.

and Appl. 1999. V. 5. № 5. P. 431-447.

4. Taylor M. Pointwise Fourier inversion on tori and other compact manifolds // J. of Fourier Anal. and

Appl. 1999. V. 5. № 5. P. 449-463.

5. Alimov S.A. On the eigenfunction expansion of a piecewise smooth function // J. of Fourier Anal. and

Appl. 2003. V. 9. № 1. P. 67-76.

6. Alimov S.A. Sets of uniform convergence of Fourier expansions of piecewise smooth functions // J. of

Fourier Anal. and Appl. 2004. V. 10. № 6. P. 635-644.

7. Ashurov R.R. On multiple Fourier series of piecewise smooth functions // Dokl. Mathematics. 2007.

V. 75. № 3. P. 333-335.

8. Алимов Ш.А. О спектральных разложениях кусочно-гладких функций, зависящих от геодезиче-

ского расстояния // Дифференц. уравнения. 2010. Т. 46. № 6. С. 820-832.

9. Маслов В.П. Свойства абсолютной сходимости многомерных рядов Фурье с точки зрения геометрии

слабых разрывов разлагаемых функций // Докл. АН СССР. 1970. Т. 191. № 2. С. 275-278.

10. Alimov Sh.A., Ashurov R.R., Pulatov A.K. Multiple Fourier series and Fourier integrals // Commutative

Harmonic Analysis. IV. Encyclopedia Math. Sci. V. 42. Berlin; Heidelberg, 1991. P. 1-95.

11. Pinsky M.A. Pointwise Fourier inversion in several variables // Notices Amer. Math. Soc. 1995. V. 42.

№ 3. P. 330-334.

12. Kahane J.-P. Le phénomène de Pinsky et la géométrie des surfaces // C.R. Acad. Sci. Paris, 1995. Sér. I.

V. 321. № 8. P. 1027-1029.

13. Taylor M. Eigenfunction expansions and the Pinsky phenomenon on compact manifolds // J. of Fourier

Anal. and Appl. 2001. V. 7. № 5. P. 507-522.

14. Алимов Ш.А. О гладкости средних значений функций с суммируемым спектральным разложением

// Дифференц. уравнения. 2012. T. 48. № 4. С. 498-508.

15. Киприянов И.А. Сингулярные эллиптические краевые задачи. М., 1997.

16. Ватсон Г.Н. Теория бесселевых функций. Ч. 1. М., 1949.

17. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М., 1963.

18. Алимов Ш.А., Ильин В.А., Никишин Е.М. Вопросы сходимости кратных тригонометрических ря-

дов и спектральных разложений. I // Успехи мат. наук. 1976. Т. 31. № 6. С. 27-82.

19. Алимов Ш.А., Ильин В.А. О спектральных разложениях, отвечающих произвольному неотрица-

тельному самосопряжённому расширению оператора Лапласа // Докл. АН СССР. 1970. T. 193. № 1.

C. 9-12.

20. Алимов Ш.А. О суммировании спектральных разложений методами Рисса и Абеля // Узб. мат.

журн. 2011. № 4. С. 20-35.

21. Садовничий В.А. Теория операторов. М., 1979.

Национальный университет Узбекистана

Поступила в редакцию 10.03.2023 г.

имени Мирзо Улугбека, г. Ташкент,

После доработки 10.03.2023 г.

Ташкентский государственный технический

Принята к публикации 18.04.2023 г.

университет имени И. Каримова, Узбекистан

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№5

2023