ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2023, том 59, № 5, с.608-618
УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
УДК 517.956.4
ОБ ОДНОЗНАЧНОЙ РАЗРЕШИМОСТИ
НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ
СИСТЕМ В ОГРАНИЧЕННЫХ ПЛОСКИХ ОБЛАСТЯХ
С НЕГЛАДКИМИ БОКОВЫМИ ГРАНИЦАМИ
© 2023 г. Е. А. Бадерко, С. И. Сахаров
Рассмотрены первая и вторая начально-краевые задачи для неоднородных параболических
систем второго порядка с Дини-непрерывными коэффициентами при ненулевых началь-
ных условиях в ограниченных областях на плоскости с негладкими боковыми границами,
допускающими, в частности, “клювы”. Доказаны теоремы об однозначной классической
разрешимости этих задач в пространстве функций, непрерывных вместе со своими про-
странственными производными первого порядка в замыкании указанных областей.
DOI: 10.31857/S0374064123050059, EDN: CXQJPT
К 95-летию Владимира Александровича Ильина
Введение. Теория однозначной разрешимости начально-краевых задач для параболиче-
ских систем общего вида с гёльдеровскими коэффициентами в пространствах Hk+α,(k+α)/2(Ω),
k ≥ 2, 0 < α < 1, в областях с гладкими боковыми границами построена в работе [1] (см. так-
же [2, c. 706]). Особый интерес указанные задачи представляют в случае областей с негладкими
боковыми границами.
В настоящей работе рассматриваются первая и вторая начально-краевые задачи для па-
раболических по Петровскому (см. [3]) систем второго порядка с Дини-непрерывными коэф-
фициентами в ограниченных областях на плоскости с негладкими, вообще говоря, боковыми
границами из класса Дини-Гёльдера H1/2+ω. Здесь ω обозначает некоторый модуль непре-
рывности, удовлетворяющий условию Дини (см. ниже).
Для случая одного параболического уравнения в статьях [4, 5] установлена однозначная
разрешимость таких задач в пространстве H1,ω(Ω), где ω - некоторый модуль непрерывности,
при более сильных, по сравнению с предложенными в настоящей работе, требованиях на ха-
рактер непрерывности коэффициентов этого уравнения и боковые границы области. При этом
единственность решения первой начально-краевой задачи следует из принципа максимума, а
единственность решения второй начально-краевой задачи получена в [5] с помощью теоремы
о знаке косой производной. Отметим, что для систем принцип максимума, вообще говоря, не
имеет места (см. [6]).
В случае параболических систем начально-краевые задачи в ограниченных плоских об-
ластях с негладкими боковыми границами рассматривались в работах [7-9]. В [7] и [8] дока-
заны теоремы о существовании и единственности решения из пространства C1,0(Ω) первой
0
начально-краевой задачи для однородной параболической системы с гёльдеровскими коэффи-
циентами при нулевом начальном условии в ограниченной области с негладкими боковыми
границами из класса Жевре H(1+α)/2. Кроме того, при тех же условиях на коэффициенты
системы и боковые границы области в [8] доказана единственность решения из пространст-
ва C1,0(Ω) второй начально-краевой задачи. В статье [9] приводится теорема об однозначной
0
разрешимости в пространстве C0(Ω) первой начально-краевой задачи для параболической
системы с гёльдеровскими коэффициентами, зависящими лишь от пространственной перемен-
ной, в области с боковыми границами из класса H(1+α)/2.
Естественно возникает вопрос об исследовании начально-краевых задач для параболиче-
ских систем с Дини-непрерывными коэффициентами в ограниченных областях с негладкими
608
ОБ ОДНОЗНАЧНОЙ РАЗРЕШИМОСТИ НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
609
боковыми границами из класса H1/2+ω. При таких условиях в [10] доказана теорема о су-
ществовании классического решения из пространства C1,0(Ω) смешанной начально-краевой
0
задачи для однородной параболической системы с нулевыми начальными условиями. Вопрос
о единственности решения поставленной задачи в этой работе не рассматривался.
Основным результатом настоящего исследования являются теоремы об однозначной разре-
шимости в пространстве C1,0(Ω) первой и второй начально-краевых задач для неоднородных
параболических систем с Дини-непрерывными коэффициентами при ненулевых начальных
условиях в ограниченных плоских областях с границами из класса H1/2+ω. Аналогичные
результаты в случае полуограниченных областей получены авторами в [11-13] (см. также биб-
лиографию в них).
Работа состоит из четырёх пунктов: в п. 1 приводятся необходимые определения и форму-
лируются полученные результаты; п. 2 носит вспомогательный характер, в нём описываются
необходимые нам свойства потенциала Пуассона и объёмного потенциала; в пп. 3 и 4 доказы-
ваются основные теоремы об однозначной разрешимости поставленных задач.
Основной результат работы анонсирован в статье [11].
1. Необходимые сведения и формулировка основного результата. Пусть m ∈ N.
Обозначим через C1(R) пространство вектор-функций h : R → Rm, непрерывных и огра-
ниченных вместе со своей первой производной h′, с нормой ∥h; R∥1 = sup |h(x)| + sup |h′(x)|.
x∈R
x∈R
Пусть T > 0 - фиксированое число. Через C[0, τ],
0 < τ ≤ T, обозначим пространство
непрерывных вектор-функций ψ : [0, τ] → Rm с нормой ∥ψ; [0, τ]∥0 = max |ψ(t)|. Положим
t∈[0,τ]
C[0, τ] = {ψ ∈ C[0, τ] : ψ(0) = 0}.
0
Здесь и далее для числового вектора a (числовой матрицы A) под |a| (соответственно |A|)
понимаем максимум из модулей его компонент (её элементов).
Следуя [14, c. 147], модулем непрерывности называем непрерывную, неубывающую, полу-
аддитивную функцию ω : [0, +∞) → R, для которой ω(0) = 0. Говорят, что модуль непре-
рывности ω удовлетворяет условию Дини, если для него выполняется соотношение
∫z
ω(z) = ω(ξ)ξ-1 dξ < +∞, z > 0.
(1)
0
Через D обозначим линейное пространство, состоящее из модулей непрерывности, которые
удовлетворяют условию Дини (1).
Пусть D = {(x, t) ∈ R2 : x ∈ R, t ∈ (0, T )} и Ω ⊂ D - некоторая область. Через C0(Ω)
обозначим пространство непрерывных и ограниченных вектор-функций u : Ω → Rm с нор-
мой ∥u; Ω∥0 = sup |u(x, t)|. Положим C1,0(Ω) = {u ∈ C0(Ω) : ∂xu ∈ C0(Ω)},
∥u; Ω∥1,0 =
(x,t)∈Ω
∑1
=
∥∂lxu; Ω∥0, C1,0(Ω) = {u ∈ C1,0(Ω) : ∂lxu(x, 0) = 0, l = 0, 1}.
l=0
0
Под значениями функций и их производных на границе произвольной области Ω понимаем
их предельные значения “изнутри” Ω.
Пусть ω - некоторый модуль непрерывности. Введём пространства
{
}
|Δtψ(t)|
H1/2+ω[0,T] = ψ ∈ C[0,T] : ∥ψ;[0,T]∥1/2+ω = ∥ψ;[0,T]∥0 +
sup
<∞ ,
t,t+Δt∈(0,T )
|Δt|1/2ω(|Δt|1/2)
Δt=0
H1/2+ω[0,T] = {ψ ∈ H1/2+ω[0,T] : ψ(0) = 0},
0
{
}
|Δx,tu(x, t)|
Hω(Ω) = u ∈ C0(Ω) : ∥u;Ω∥ω = ∥u;Ω∥0 +
sup
<∞ ,
(x,t),(x+Δx,t+Δt)∈Ω
ω(|Δx| + |Δt|1/2)
(Δx)2+|Δt|=0
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№5
2023
610
БАДЕРКО, САХАРОВ
где Δtψ(t) = ψ(t + Δt) - ψ(t), Δx,tu(x, t) = u(x + Δx, t + Δt) - u(x, t).
Пусть
t
∫
1
d
∂1/2ψ(t) ≡ (∂1/2tψ)(t) =
√π dt(t-τ)-1/2ψ(τ)dτ,t∈[0,T],
0
- оператор дробного дифференцирования порядка 1/2. Следуя [7], введём пространство
C1/2[0, T ] = {ψ ∈ C[0, T ] : ∂1/2ψ ∈ C[0, T ],
∥ψ; [0, T ]∥1/2 = ∥ψ; [0, T ]∥0 + ∥∂1/2ψ; [0, T ]∥0 < ∞}.
0
0
0
Замечание 1. Если ψ ∈ H1/2+ω[0, T ], ω ∈ D, то ψ ∈ C1/2[0, T ] (см. [15]). Обратное,
0
0
вообще говоря, неверно (см. [7]).
В полосе D выделим область Ω = {(x, t) ∈ D : g1(t) < x < g2(t)} с боковыми границами
Σs = {(x,t) ∈ Ω : x = gs(t)}, где функции gs, s = 1,2, удовлетворяют условиям
gs ∈ H1/2+ω1 [0,T], ω1 ∈ D,
(2)
и для некоторой постоянной d > 0
g2(t) - g1(t) ≥ d, t ∈ [0,T].
(3)
Рассмотрим в D равномерно параболический оператор
∑
Lu ≡ ∂tu - Al(x,t)∂lxu, u = (u1,u2,... ,um)т, m ∈ N,
l=0
где Al = ∥aijl∥mi,j=1, l = 0, 1, 2, - m×m-матрицы, элементами которых являются вещественные
функции, определённые в D и удовлетворяющие условиям:
(a) собственные числа μr, r = 1, m, матрицы A2 подчиняются неравенствам Re μr(x, t) ≥
≥ δ для некоторого δ > 0 и всех (x,t) ∈ D;
(b) aijl ∈ Hω0 (D), где ω0 - модуль непрерывности такой, что
y
∫z
∫
ω
0(z) = y-1 dy ω0(ξ)ξ-1 dξ < +∞, z > 0.
0
0
Известно (см. [16]), что при выполнении условий (a) и (b) у системы Lu = 0 существует
фундаментальная матрица решений Γ(x, t; ξ, τ), (x, t; ξ, τ) ∈ D × D, t > τ.
Рассмотрим задачу о нахождении вектор-функции u ∈ C1,0(Ω), являющейся классическим
решением системы
Lu(x, t) = f(x, t), (x, t) ∈ Ω,
(4)
удовлетворяющей начальному условию
u(x, 0) = h(x), g1(0) ≤ x ≤ g2(0),
(5)
и одной из двух пар граничных условий:
∂xu(gs(t),t) = θs(t), t ∈ [0,T], s = 1,2,
(6)
или
u(gs(t), t) = ψs(t), t ∈ [0, T ], s = 1, 2.
(7)
Основным результатом настоящей работы являются следующие две теоремы.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№5
2023
ОБ ОДНОЗНАЧНОЙ РАЗРЕШИМОСТИ НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
611
Теорема 1. Пусть выполнены условия (a), (b), (2) и (3). Тогда для любых функций f ∈
∈ C0(D), h ∈ C1(R) и θs ∈ C[0,T], s = 1,2, с условиями
|Δxf(x, t)|
sup
< ∞,
ω(|Δx|)
(x+Δx,t),(x,t)∈D
Δx=0
где ω ∈ D - некоторый модуль непрерывности, и
θs(0) = h′(gs(0)), s = 1,2,
(8)
существует единственное решение u ∈ C1,0(Ω) задачи (4)-(6). Это решение имеет вид
суммы векторных параболических потенциалов
t
∫t
∫
∫
∫
∑
u(x, t) = dτ
Γ(x, t; ξ, τ)f(ξ, τ) dξ +
Γ(x, t; ξ, 0)h(ξ) dξ +
Γ(x, t; gs(τ), τ)ϕs(τ) dτ ≡
0
-∞
-∞
s=1 0
∑
≡ V f(x,t) + Ph(x,t) + (Uϕ)s(x,t), (x,t) ∈ Ω,
(9)
s=1
где (ϕ1, ϕ2) ∈ C[0, T ]× C[0, T ] - единственное в C[0, T ]× C[0, T ] решение системы граничных
0
0
интегральных уравнений Вольтерры II рода
t
∫
∑
(-1)k(2A2)-1(gk(t), t) +
∂xΓ(gk(t),t;gs(τ),τ)ϕs(τ)dτ =
s=1 0
= θk(t) - ∂xV f(gk(t),t) - ∂xPh(gk(t),t), t ∈ [0,T], k = 1,2;
и справедлива оценка
∑
∥u; Ω∥1,0 ≤ C{∥f; D∥0 + ∥h; R∥1 +
∥θs; [0, T ]∥0}.
(10)
s=1
Здесь и далее через C обозначаем положительные постоянные, зависящие от чисел T, m,
d, коэффициентов оператора L и модуля непрерывности ω1, конкретный вид которых для
нас не важен.
Теорема 2. Пусть выполнены условия (a), (b), (2) и (3). Тогда для любой f, удовлетво-
ряющей условиям теоремы 1, и любых h ∈ C1(R) и ψs, s = 1, 2, с условиями
ψs - h(gs(0)) ∈ C1/2[0,T], s = 1,2,
(11)
0
существует единственное решение u ∈ C1,0(Ω) задачи (4), (5), (7). Это решение имеет
вид (9), где (ϕ1, ϕ2) ∈ C[0, T ] × C[0, T ] - единственное в C[0, T ] × C[0, T ] решение системы
0
0
граничных интегральных уравнений Вольтерры I рода
∫
Γ(gk(t), t; gs(τ), τ)ϕs(τ) dτ = ψk(t)-V f(gk(t), t)-P h(gk (t), t), t ∈ [0, T ], k = 1, 2; (12)
s=1 0
и справедлива оценка
{
}
∑
∥u; Ω∥1,0 ≤ C
∥f; D∥0 + ∥h; R∥1 +
∥ψs - h(gs(0)); [0, T ]∥1/2
(13)
s=1
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№5
2023
612
БАДЕРКО, САХАРОВ
Замечание 2. Если h ∈ C1(R), ψs ∈ H1/2+ω [0, T ], ω ∈ D, s = 1, 2, и ψs(0) = h(gs(0)),
то условия теоремы 2 для вектор-функций h и ψs выполнены, причём
∥ψs - h(gs(0)); [0, T ]∥1/2 ≤ C∥ψs; [0, T ]∥1/2+ω + |h(gs(0))|.
Замечание 3 (см. [12, 17]). Если gs ∈ H1/2+ω1 [0, T ], s = 1, 2, причём модуль непрерывно-
сти ω1 не удовлетворяет условию (1), то решения задачи (4), (5), (7) из пространства C1,0(Ω)
может не существовать.
Замечание 4 (см. [18]). Если условия (11) не выполнены, то решения задачи (4), (5), (7)
из пространства C1,0(Ω) может не существовать.
2. Свойства потенциала Пуассона и объёмного потенциала. Приведём необходимые
для дальнейшего изложения известные (см. [12, 19]) свойства объёмного потенциала V f и
потенциала Пуассона P h (см. (9)).
Для любой функции f, удовлетворяющей условиям теоремы 1, и любой функции h ∈
∈ C1(R) сумма потенциалов
u(x, t) = V f(x, t) + P h(x, t), (x, t) ∈ D,
является единственным в C1,0(D) классическим решением задачи Коши
Lu = f в D, u(x,0) = h(x), x ∈ R,
и имеет место оценка
∥u; D∥1,0 ≤ C{∥f; D∥0 + ∥h; R∥1}.
(14)
Кроме того, для любой f ∈ C0(D) потенциал V f удовлетворяет неравенствам
|∂lxV f(x, t)| ≤ C∥f; D∥0t1-l/2, l = 0, 1,
|ΔtV f(x, t)| ≤ C∥f; D∥0|Δt|(1 + | ln |Δt||),
|Δt∂xV f(x, t)| ≤ C∥f; D∥0|Δt|1/2,
|Δx∂xV f(x, t)| ≤ C∥f; D∥0|Δx|(1 + | ln |Δx||), (x, t), (x + Δx, t), (x, t + Δt) ∈ D.
(15)
Отсюда, в частности, следует, что для вектор-функций fs(t) = V f(gs(t), t), t ∈ [0, T ], s = 1, 2,
справедливы включения fs ∈ C1/2[0, T ] и оценки ∥fs; [0, T ]∥1/2 ≤ C∥f; D∥0.
0
Наконец, отметим, что, как показано в [12], для произвольной h ∈ C1(R) вектор-функции
P h(gs(t), t), t ∈ [0, T ], s = 1, 2, могут быть представлены в виде
P h(gs(t), t) = h(gs(0)) +ĥs(t), t ∈ [0, T ],
гдеĥs ∈ C1/2[0, T ], и имеют место оценки ∥ĥs; [0, T ]∥1/2 ≤ C∥h; R∥1.
0
3. Доказательство теоремы 1. Сначала докажем существование решения задачи (4)-(6).
С помощью замены
u(x, t) = v(x, t) + V f(x, t) + P h(x, t), (x, t) ∈ Ω,
(16)
задача (4)-(6) сводится к отысканию решения следующей второй начально-краевой задачи:
Lv = 0 в Ω,
(17)
v(x, 0) = 0, g1(0) ≤ x ≤ g2(0),
(18)
∂xv(gs(t),t) =θs(t), t ∈ [0,T], s = 1,2,
(19)
где
θs(t) = θs(t) - ∂xV f(gs(t), t) - ∂xP h(gs(t), t), t ∈ [0, T ], s = 1, 2.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№5
2023
ОБ ОДНОЗНАЧНОЙ РАЗРЕШИМОСТИ НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
613
В силу условий (8), оценок (14), (15) и равенств (см. [12])
∂xPh(gs(0),0) = h′(gs(0)), s = 1,2,
справедливы включенияθs ∈ C[0, T ] и оценки
0
∥θs;[0,T]∥0 ≤ C{∥f;D∥0 + ∥h;R∥1 + ∥θs;[0,T]∥0}, s = 1,2.
(20)
Разрешимость вспомогательной задачи (17)-(19) в пространстве C1,0(Ω) доказываем, ис-
0
пользуя метод из работы [20], где рассматривался случай полуограниченной области Ω, а имен-
но, решение задачи (17)-(19) ищем в виде суммы потенциалов простого слоя
∫
t
∑
v(x, t) =
Γ(x, t; gs(τ), τ)ϕs(τ) dτ, (x, t) ∈ Ω,
(21)
s=1 0
где вектор-плотности ϕs ∈ C[0, T ], s = 1, 2, подлежат определению. Для отыскания неизвест-
0
ных плотностей ϕs, s = 1, 2, подставляем (21) в граничные условия (19), откуда получаем
систему граничных интегральных уравнений Вольтерры II рода
t
∫
∑
(-1)k(2A2)-1(gk(t), t) +
∂xΓ(gk(t),t;gs(τ),τ)ϕs(τ)dτ =θk(t), t ∈ [0,T], k = 1,2.
(22)
s=1 0
Методом из [20] доказывается, что эта система имеет единственное в C[0, T ] × C[0, T ] ре-
шение (ϕ1, ϕ2) ∈ C[0, T ] × C[0, T ], и в силу (20) справедливы оценки
0
0
{
}
∑
∥ϕs; [0, T ]∥0 ≤ C
∥f; D∥0 + ∥h; R∥1 +
∥θs; [0, T ]∥0
,
s = 1,2.
(23)
s=1
Подставив найденное решение (ϕ1, ϕ2) системы (22) в (21), получим решение задачи (17)-(19).
Как следует из результатов статьи [16], это решение принадлежит пространству C1,0(Ω) и в
0
силу (23) удовлетворяет оценке
{
}
∑
∥v; Ω∥1,0 ≤ C
∥f; D∥0 + ∥h; R∥1 +
∥θs; [0, T ]∥0
s=1
Возвращаясь к вектор-функции u по формуле (16), отсюда, в силу свойств объёмного
потенциала и потенциала Пуассона (см. п. 2), получаем решение задачи (4)-(6) из пространства
C1,0(Ω), для которого справедливы представление (9) и оценка (10).
Теперь докажем единственность решения задачи (4)-(6). Пусть u ∈ C1,0(Ω) - решение этой
0
задачи при
f (x, t) = 0, (x, t) ∈ D, h(x) = 0, x ∈ R, θs(t) = 0, t ∈ [0, T ], s = 1, 2.
Для произвольного τ ∈ (0, T ] обозначим
Dτ = {(x,t) ∈ D : t ∈ (0,τ)}, Ωτ = {(x,t) ∈ Ω : t ∈ (0,τ)}.
Достаточно показать, что u ≡ 0 в Ωt0 , где t0 ∈ (0, T ] - некоторое достаточно малое число,
которое будет выбрано ниже.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№5
2023
614
БАДЕРКО, САХАРОВ
Пользуясь условием (2), фиксируем достаточно малое число τ0 ∈ (0, T ] такое, что спра-
ведливы неравенства
|gs(t) - gs(0)| ≤ τ01/2ω1(τ1/20) ≤ d/9, t ∈ [0, τ0], s = 1, 2,
где d > 0 - постоянная из условия (3), из которых следует оценка
|g2(t2) - g1(t1)| ≥ 8d/9, ti ∈ [0, τ0], i = 1, 2.
Затем фиксируем произвольное τ ∈ (0, τ0] и определяем продолжение uτ вектор-функции u
на всю полосу Dτ по формулам
uτ (x,t) = u(x,t), (x,t) ∈ Ωτ , uτ (x,t) = 0, (x,t) ∈ Dτ \ Ωτ .
Рассмотрим функции ζi ∈ C∞(R), удовлетворяющие условиям
dlζi
0 ≤ ζi(x) ≤ 1,
x)
Cd-l, x ∈ R, i = 1,2,3, l = 1,2,3,
(24)
≤
dxl (
и, кроме того,
ζi(x) = 1, x ∈ [gi(0) - d/9,gi(0) + d/9], ζi(x) = 0, x ∈ R \ (gi(0) - d/3,gi(0) + d/3),
ζi(x) > 0, x ∈ (gi(0) - d/3,gi(0) + d/3),
если i = 1, 2, и
ζ3(x) = 1, x ∈ [g1(0) + d/3,g2(0) - d/3], ζ3(x) = 0, x ∈ R \ (g1(0) + d/9,g2(0) - d/9),
ζ3(x) > 0, x ∈ (g1(0) + d/9,g2(0) - d/9).
Построим “разложение единицы”:
(3∑
)-1
ζi(x) = ζi(x)
ζj(x)
,
x ∈ (g1(0) - d/3,g2(0) + d/3), i = 1,2,3,
j=1
ζ1(x) = 1, x ≤ g1(0) - d/3,
ζ1(x) = 0, x ≥ g2(0) + d/3,
ζ2(x) = 1, x ≥ g2(0) + d/3,
ζ2(x) = 0, x ≤ g1(0) - d/3,
ζ3(x) = 0, x ∈ R \ (g1(0) - d/3,g2(0) + d/3).
Следуя методу из [2, c. 342], положим
uτ,i(x,t) = uτ (x,t
ζi(x,t), (x,t) ∈ Dτ , i = 1,2,3.
Заметим, что Ωτ ⊂ (g1(0) - d/9, g2(0) + d/9) × (0, τ), справедливы равенство
∑
u(x, t) =
ui,τ (x,t), (x,t) ∈ Ωτ ,
(25)
i=1
и включения
uτ,i ∈ C1,0(Ω(i)τ), i = 1, 2, uτ,3 ∈ C1,0(Dτ ), τ ∈ (0, τ0],
0
0
где Ωτ1) = {(x, t) ∈ Dτ : x > g1(t)}, Ωτ2) = {(x, t) ∈ Dτ : x < g2(t)}.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№5
2023
ОБ ОДНОЗНАЧНОЙ РАЗРЕШИМОСТИ НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
615
Сначала рассмотрим функцию uτ,3, являющуюся решением задачи Коши
Lu = fτ,3 в Dτ , u(x,0) = 0, x ∈ R,
где
[
]
ζ3
d2ζ
3
ζ3
fτ,3(x,t) = -A2(x,t) 2∂xu(x,t)
(x) + u(x, t)
(x)
- A1(x,t)u(x,t)
(x), (x, t) ∈ Ωτ ,
dx
dx2
dx
fτ,3(x,t) = 0, (x,t) ∈ Dτ \ Ωτ .
Отметим также, что
fτ,3(x,t) = 0, x ∈ R \ [g1(0) + d/9,g2(0) - d/9], t ∈ [0,τ].
(26)
Обозначим
Πτ = [g1(0) + d/9,g2(0) - d/9] × [0,τ].
Так как Πτ ⊂ Ωτ , то max
|∂2xu(x, t)| < ∞. Из равенства (26) в силу (24) следует, что
(x,t)∈Πτ
fτ,3 ∈ C0(Dτ ),
∥fτ,3; Dτ ∥0 ≤ C∥u; Ωτ ∥1,0.
(27)
Заметим, что fτ,3 удовлетворяет условию Дини, а именно
|Δxfτ,3(x, t)| ≤ C{[ max
|∂2xu(x, t)|+∥u; Ω∥1,0]|Δx|+∥u; Ω∥1,0ω0(|Δx|)}, (x, t), (x+Δx, t) ∈ Dτ .
(x,t)∈Πτ
Поэтому в силу единственности решения задачи Коши (см. [19]) функция uτ,3 может быть
представлена в виде объёмного потенциала
∫t
∫
uτ,3(x,t) =
dτ
Γ(x, t; ξ, τ)fτ,3(ξ, τ) dξ, (x, t) ∈ Dτ .
0
-∞
Отсюда, используя (15) и (27), получаем оценку
∥uτ,3; Dτ ∥1,0 ≤ C∥u; Ωτ ∥1,0τ1/2, (x, t) ∈ Dτ ,
в силу которой для достаточно малого числа τ3 ∈ (0, τ0] справедливо неравенство
1
∥uτ,3; Dτ ∥1,0 ≤
∥u; Ωτ ∥1,0, если τ ∈ (0, τ3].
(28)
6
Далее для произвольно фиксированного τ ∈ (0, τ3] рассмотрим вектор-функцию uτ,1.
Она является решением второй начально-краевой задачи в полуограниченной области Ωτ1)
из пространства C
1,0(Ω(1)τ):
0
Lu = fτ,1 в Ω(1)τ, u(x,0) = 0, x ≥ g1(0),
(29)
∂xu(g1(t),t) = 0, t ∈ [0,τ].
(30)
В силу единственности решения задачи (29), (30) (см. [13]), результатов [20] о построении реше-
ния второй начально-краевой задачи в полуограниченной области в виде потенциала простого
4
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№5
2023
616
БАДЕРКО, САХАРОВ
слоя и сведений об объёмном потенциале из п. 2 делаем вывод, что uτ,1 может быть представ-
лена в виде суммы потенциалов
∫t
∫
∫
t
uτ,1(x,t) =
dτ
Γ(x, t; ξ, τ)fτ,1(ξ, τ) dξ + Γ(x, t; g1(τ), τ)ϕτ,1(τ) dτ ≡
0
-∞
0
≡ V fτ,1(x,t) + Uϕτ,1(x,t), (x,t) ∈ Ω(1)τ.
(31)
Здесь вектор-плотность ϕτ,1 ∈ C[0, τ] является единственным в C[0, τ] решением граничного
0
интегрального уравнения Вольтерры II рода (см. [20])
∫t
- (2A2(g1(t), t))-1ϕτ,1(t) +
∂xΓ(g1(t),t;g1(τ),τ)ϕτ,1(τ)dτ = θτ,1(t),
0
где
θτ,1(t) = -∂xV fτ,1(g1(t),t), t ∈ [0,τ].
(32)
Оценим потенциалы из представления (31). Используя (15) и равенство (32), получаем
∥V fτ,1; Dτ ∥1,0 ≤ C∥u; Ωτ ∥1,0τ1/2,
∥θτ,1; [0, τ]∥0 ≤ C∥u; Ωτ ∥1,0τ1/2
(33)
и, следовательно,
∥Uϕτ,1; Ω(1)τ∥1,0 ≤ C∥u; Ωτ ∥1,0τ1/2.
(34)
Фиксируя достаточно малое τ1 ∈ (0, τ3], из представления (31) и оценок (33), (34) заклю-
чаем, что
1
∥uτ,1; Ω(1)τ∥1,0 ≤
∥u; Ωτ ∥1,0, если τ ∈ (0, τ1].
(35)
6
Аналогично доказывается, что при достаточно малом τ2 ∈ (0, τ1] имеет место неравенство
1
∥uτ,2; Ω(2)τ∥1,0 ≤
∥u; Ωτ ∥1,0, если τ ∈ (0, τ2].
(36)
6
Положив t0 = τ2, из равенства (25) и оценок (28), (35), (36) получим окончательное нера-
венство
1
∥u; Ωτ ∥1,0 ≤
∥u; Ωτ ∥1,0, τ ∈ (0, t0],
2
из которого следует, что u ≡ 0 в Ωt0 . Теорема 1 доказана.
4. Доказательство теоремы 2. Сначала докажем существование решения задачи (4),
(5), (7). С помощью замены (16) задача (4), (5), (7) сводится к первой начально-краевой за-
даче для однородной системы с нулевым начальным условием. Разрешимость последней и
представление её решения в виде
∫
t
∑
v(x, t) =
Γ(x, t; gs(τ), τ)ϕs(τ) dτ, (x, t) ∈ Ω,
s=1 0
проводится методами из работ [7] и [21]. Здесь (ϕ1, ϕ2) ∈ C[0, T ] × C[0, T ] является единствен-
0
0
ным в пространстве C[0, T ] × C[0, T ] решением системы граничных интегральных уравнений
Вольтерры I рода (12). Затем, возвращаясь к вектор-функции u по формуле (16), учитывая
свойства объёмного потенциала и потенциала Пуассона из п. 2, получаем решение задачи (4),
(5), (7) из пространства C1,0(Ω), для которого справедливы представление (9) и оценка (13).
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№5
2023
ОБ ОДНОЗНАЧНОЙ РАЗРЕШИМОСТИ НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
617
Докажем единственность решения задачи (4), (5), (7). Пусть u ∈ C1,0(Ω) - решение этой
0
задачи при
f (x, t) = 0, (x, t) ∈ D, h(x) = 0, x ∈ R, ψs(t) = 0, t ∈ [0, T ], s = 1, 2.
Тогда u является решением второй начально-краевой задачи
Lv = 0 в Ω, v(x,0) = 0, x ≥ g(0),
∂xv(gs(t),t) =θs(t), t ∈ [0,T], s = 1,2,
где
θs(t) = ∂xu(gs(t), t),
θs ∈ C[0, T ]. Из теоремы 1 следует, что вектор-функция u может
0
быть представлена в виде суммы потенциалов простого слоя (21), где (ϕ1, ϕ2) ∈ C[0, T ] ×
0
C[0, T ] - единственное в C[0, T ]×C[0, T ] решение системы граничных интегральных уравнений
0
Вольтерры II рода
t
∫
∑
(-1)k(2A2)-1(gk(t), t) +
∂xΓ(gk(t),t;gs(τ),τ)ϕs(τ)dτ =θk(t), t ∈ [0,T], k = 1,2.
s=1 0
Подставив вектор-функцию (21) в нулевые граничные условия (7), получим, что (ϕ1, ϕ2)
также является решением системы граничных интегральных уравнений Вольтерры I рода (12)
с нулевыми правыми частями. В силу единственности в C[0, T ]×C[0, T ] решения системы (12)
имеем, что
ϕs(t) = 0, t ∈ [0, T ], s = 1, 2.
Подставляя найденное решение (ϕ1, ϕ2) в представление (21), приходим к выводу, что u ≡ 0
в Ω. Теорема 2 доказана.
Замечание 5. Аналогично устанавливается теорема единственности решения смешанной
задачи (см. [11]), когда на одной из боковых границ области задаётся граничное условие I рода,
а на другой - II рода. Существование решения смешанной задачи для однородной системы с
нулевым начальным условием доказано в статье [10], с использованием сведений п. 2 настоящей
работы получаем разрешимость этой задачи и в случае неоднородной системы с ненулевым
начальным условием.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Солонников В.А. О краевых задачах для линейных параболических систем дифференциальных
уравнений общего вида // Тр. Мат. ин-та В.А. Стеклова АН СССР. 1965. Т. 83. С. 3-163.
2. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения па-
раболического типа. М., 1967.
3. Петровский И.Г. О проблеме Коши для систем линейных уравнений с частными производными в
области неаналитических функций // Бюлл. Моск. гос. ун-та. Секц. А. 1938. Т. 1. № 7. С. 1-72.
4. Камынин Л.И. О решении методом потенциалов основных краевых задач для одномерного пара-
болического уравнения второго порядка // Сиб. мат. журн. 1974. Т. 15. № 4. С. 806-834.
5. Камынин Л.И., Химченко Б.Н. Об аналогах теоремы Жиро для параболического уравнения 2-го
порядка // Сиб. мат. журн. 1973. Т. 14. № 1. С. 86-110.
6. Мазья В.Г., Кресин Г.И. О принципе максимума для сильно эллиптических и параболических сис-
тем второго порядка с постоянными коэффициентами // Мат. сб. 1984. Т. 125 (167). № 4 (12).
С. 458-480.
7. Бадерко Е.А., Черепова М.Ф. Потенциал простого слоя и первая краевая задача для параболической
системы на плоскости // Дифференц. уравнения. 2016. Т. 52. № 2. С. 198-208.
8. Бадерко Е.А., Черепова М.Ф. О единственности решений первой и второй начально-краевых задач
для параболических систем в ограниченных областях на плоскости // Дифференц. уравнения. 2021.
Т. 57. № 8. С. 1039-1048.
9. Коненков А.Н. Классические решения первой начально-краевой задачи для параболических систем
на плоскости // Докл. РАН. Математика, информатика, процессы управления. 2022. Т. 503. С. 67-
69.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№5
2023
4∗
618
БАДЕРКО, САХАРОВ
10. Baderko E.A., Cherepova M.F. Mixed problems for plane parabolic systems and boundary integral
equations // J. of Math. Sci. 2022. V. 260. № 4. P. 418-433.
11. Бадерко Е.А., Сахаров С.И. Единственность решений начально-краевых задач для параболических
систем с Дини-непрерывными коэффициентами в плоских областях // Докл. РАН. Математика,
информатика, процессы управления. 2022. Т. 503. С. 26-29.
12. Бадерко E.A., Сахаров С.И. Потенциал Пуассона в первой начально-краевой задаче для параболи-
ческой системы в полуограниченной области на плоскости // Дифференц. уравнения. 2022. Т. 58.
№ 10. С. 1333-1343.
13. Бадерко Е.А., Сахаров С.И. О единственности решений начально-краевых задач для параболиче-
ских систем с Дини-непрерывными коэффициентами в полуограниченной области на плоскости
// Журн. вычислит. математики и мат. физики. 2023. Т. 63. № 4. С. 584-595.
14. Дзядык В.К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. М., 1977.
15. Камынин Л.И. Гладкость тепловых потенциалов в пространстве Дини-Гёльдера // Сиб. мат. журн.
1970. Т. 11. № 5. С. 1017-1045.
16. Зейнеддин М. Гладкость потенциала простого слоя для параболической системы второго порядка
в классах Дини // Деп. ВИНИТИ РАН. 16.04.92. № 1294-В92.
17. Камынин Л.И., Химченко Б.Н. Принцип максимума и локальные оценки Липшица вблизи боковой
границы для решений параболического уравнения 2-го порядка // Сиб. мат. журн. 1975. Т. 16. № 6.
С. 1172-1187.
18. Сахаров С.И. Контактная задача для параболических систем второго порядка в полосе с негладкой
кривой раздела сред // Дифференц. уравнения. 2021. Т. 57. № 4. С. 496-506.
19. Бадерко E.A., Черепова М.Ф. О единственности решения задачи Коши для параболических систем
// Дифференц. уравнения. 2019. Т. 55. № 6. С. 822-830.
20. Зейнеддин М. О потенциале простого слоя для параболической системы в классах Дини: дис
канд. физ.-мат. наук. М., 1992.
21. Baderko E.A., Cherepova M.F. Dirichlet problem for parabolic systems with Dini continuous coefficients
// Appl. Anal. 2021. V. 100. № 13. P. 2900-2910.
Московский государственный университет
Поступила в редакцию 16.03.2023 г.
имени М.В. Ломоносова,
После доработки 16.03.2023 г.
Московский центр фундаментальной
Принята к публикации 18.04.2023 г.
и прикладной математики
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№5
2023
