ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2023, том 59, № 5, с.635-641
УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
УДК 517.9
О ФУНДАМЕНТАЛЬНОЙ МАТРИЦЕ РЕШЕНИЙ
ПЛОСКОЙ АНИЗОТРОПНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
© 2023 г. Чан Куанг Выонг, А. П. Солдатов
Приведено явное выражение (в полярных координатах) фундаментальной матрицы ре-
шений системы Ламе плоской анизотропной теории упругости. Показано, что оператор
свёртки этой матрицы в конечной области с ляпуновской границей ограничен в простран-
ствах Гёльдера Cμ → C2,μ. Аналогичный результат установлен и для бесконечной области
в соответствующих весовых пространствах Гёльдера (со степенным поведением на беско-
нечности).
DOI: 10.31857/S0374064123050072, EDN: CXSOSU
К 95-летию Владимира Александровича Ильина
Рассмотрим в области D на плоскости неоднородную систему Ламе
∂2u
∂2u
∂2u
a11
+ (a12 + a21)
+a22
=f
(1)
∂2x
∂x∂y
∂2y
для вектор-функций u = (u1, u2) с постоянными матричными коэффициентами
(
)
(
)
α1
α6
α6
α4
a11 =
,
a12 =
,
α6
α3
α3
α5
(
)
(
)
α6
α3
α3
α5
a21 =
,
a22 =
,
α4
α5
α5
α2
отвечающую общему анизотропному случаю упругой среды [1, 2]. Последнее означает, что
элементы αj этих матриц, называемые модулями упругости, удовлетворяют условию поло-
жительной определённости 3 × 3-матрицы
⎛
⎞
α1
α4
α6
α = ⎝α4
α2
α5⎠,
α6
α5
α3
которое обеспечивает сильную эллиптичность системы Ламе (1).
Рассмотрим матричный трёхчлен p(z) = a11 + a33z + a22z2 этой системы, где здесь и ниже
для краткости положено a33 = a12 + a21, представляющий собой симметричную матрицу
(
)
p1
p3
p=
,
p3
p2
p1(z) = α1 + 2α6z + α3z2, p2(z) = α3 + 2α5z + α2z2, p3(z) = α6 + (α3 + α4)z + α5z2.
(2)
В силу эллиптичности корни характеристического многочлена четвёртой степени χ = p1p2 -p23
не лежат на вещественной оси. Обозначив через ν1, ν2 эти корни в верхней полуплоскости
(возможно кратные), можем записать
χ(z) = (det a22)(z - ν1)(z - ν1)(z - ν2)(z - ν2),
где ν1 и ν2 - комплексно-сопряжённые числа к ν1 и ν2 соответственно.
635
636
ВЫОНГ, СОЛДАТОВ
Рассмотрим матричную квадратичную форму
σ(z) = a22x2 - a33xy + a11y2, z = x + iy,
(3)
положительно определённую при z = 0.
Введём матрицы
∫
∫
1
1
e1 =
σ-1(ξ)d1ξ, e2 =
[ξ1ξ2(a11 - a22) - ξ21a33]σ-1(ξ) d1ξ,
(4)
2π
2π
S
S
где S означает единичную окружность, ξ = ξ1 + iξ2 и d1ξ есть элемент длины дуги.
Теорема 1. Матрица-функция
h0(θ) = σ-1(eiθ)[cos θ sin θ(a11 - a22)e1 + sin2 θa33e1 + e2],
(5)
где e2 = a22e2a-122, допускает π-периодическую первообразную h(θ) и формула
1
ω(z) =
[(ln |z|)e1 + h(arg z)]
(6)
2π
определяет фундаментальную матрицу решений системы Ламе. Другими словами, для лю-
бой функции f с компактным носителем, удовлетворяющей условию Гёльдера, интеграл
∫
u(z) = ω(ζ - z)f(ζ) d2ζ
(7)
C
доставляет решение неоднородной системы Ламе с правой частью f.
Отметим, что фундаментальная матрица решений системы Ламе по существу была постро-
ена в работе [3], однако в ней допущена неточность.
Доказательство. Как и в работе [3], введём блочную матрицу
(
)
0
1
A=
,
(8)
−a-122a11
-a-1a33
22
собственные значения которой совпадают с корнями характеристического многочлена χ и, в
частности, не лежат на вещественной оси.
Удобно с каждым комплексным числом z = x + iy связать матрицу zA = x1 + yA, кото-
рая при z = 0 обратима (здесь 1 - единичная матрица). Прямая проверка показывает, что
обратная к ней матрица определяется равенством
(
)(
)(
)
σ-1(z)
0
xa22 - ya33
-y
1
0
z-1A =
(9)
0
σ-1(z)
ya11
x
0
a22
Рассмотрим интеграл
∫
1
(U)(z) = -
(ζ - z)-1Aϕ(ζ) d2ζ, z ∈ C,
(10)
2π
C
с векторной плотностью ϕ = (ϕ1, ϕ2). Как установлено в [4, лемма 3.5.2], функция (10) непре-
рывно дифференцируема и её производные вычисляются по формулам
∫
∫
∂U
1
∂U
1
= α1ϕ(z) +
(ζ - z)-2Aϕ(ζ) d2ζ,
= α2ϕ(z) +
A(ζ - z)-2Aϕ(ζ) d2ζ
∂x
2π
∂y
2π
D
D
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№5
2023
О ФУНДАМЕНТАЛЬНОЙ МАТРИЦЕ РЕШЕНИЙ
637
с матричными коэффициентами
∫
1
α1 =
ξkξ-1A d1ξ, k = 1,2,
2π
S
и двумерными сингулярными интегралами.
Таким образом, функция U удовлетворяет уравнению
∂U
∂U
-A
= -Eϕ
(11)
∂y
∂x
с матрицей
∫
1
E = -α2 + α1A =
(iξ)Aξ-1A d1ξ,
2π
S
которую можно записать в форме
∫
∫
1
1
-1
(iξ)AξA
d1ξ =
ξ-1A(dξ1 + Adξ2).
2π
2π
S
S
Аналогично [5] убеждаемся, что правую часть этого равенства можно рассматривать как зна-
чение χ(A) от матрицы A функции
∫
1
dξ + u dη
χ(u) =
,
Imu = 0.
2π
ξ + uη
S
Поскольку χ(u) = ±i в полуплоскости ±Imu > 0, то [χ(A)]2 = χ2(A) = -1. Таким образом,
матрица E обратима и
E2 = -1.
(12)
Согласно (9) имеем равенство
(
)(
)(
)
σ-1(z)
0
xa22 - ya33
-y
-y
x
z-1A(iz)A =
0
σ-1(z)
ya11
x
-xa11
-ya22 - xa33
Поэтому в блочном 2 × 2-виде матрица E определяется равенством
(
)
e′2
e1a22
E=
,
(13)
−e1a11
e2
где в дополнение к (4) положено
∫
1
e′2 =
σ-1(ξ)[ξ1ξ2(a11 - a22) + ξ22a33]d1ξ.
2π
S
Выберем теперь плотность ϕ = (ϕ1, ϕ2) интеграла (10) в форме
ϕ=
ϕ,
ϕ = (0,a-122 ψ).
(14)
Тогда в силу (11), (12), (14) имеем
∂U
∂U
-A
=
ϕ.
∂y
∂x
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№5
2023
638
ВЫОНГ, СОЛДАТОВ
С учётом (8) в покомпонентной записи вектора U = (u1,u2) это уравнение примет вид
∂u1
∂u2
∂u2
∂u1
∂u2
-
= 0, a22
+a11
+a33
=f.
(15)
∂y
∂x
∂y
∂x
∂x
В силу (13), (14) вектор ϕ = (e1f, e2a-122f). Следовательно, вектор U имеет своими ком-
понентами
∫
1
uk(z) = -
{[(ζ - z)-1A]k1e1 + [(ζ - z)-1A]k2a-122e2}f(ζ) d2ζ, k = 1, 2,
2π
C
где, напомним, e2 = a22e2a-122. Расписывая элементы матрицы (9), в соответствии с (4) отсюда
приходим к выражениям
∫
1
uk(z) = -
ωk(ζ - z)f(ζ)d2ζ, k = 1,2,
(16)
2π
C
с ядрами ω1(z) = σ-1(z)[xa22e1 - y(a33e1 + e2)], ω2(z) = σ-1(z)(xe2 + ya11e1).
Первое равенство (15) показывает, что форма u1 dx + u2 dy замкнута на всей плоскости и,
следовательно, существует функция u ∈ C2, для которой
∂u
∂u
=u1,
=u2.
(17)
∂x
∂y
Второе равенство (15) означает, в частности, что u является решением (1).
Очевидно,
∫
∫
du = u1 dx + u2 dy = 0
Γ
Γ
для любого простого контура Γ, ориентированного против часовой стрелки. Подставляя сюда
выражения (16) и меняя порядок интегрирования, получаем
∫
∫
f (ζ) d2ζ
[ω1(ζ - z) dx + ω2(ζ - z) dy] = 0.
C
Γ
Поскольку функция f произвольна, отсюда следует, что
∫
[ω1(ζ - z) dx + ω2(ζ - z) dy] = 0, ζ ∈ Γ.
Γ
Следовательно, форма ω1(z) dx + ω2(z) dy точна в области C \ {0} и существует её первооб-
разная ω0, для которой справедливы равенства
∂ω0
∂ω0
=ω1,
=ω2.
∂x
∂y
Так как функция u определена с точностью до постоянного слагаемого, в соответствии с (17)
можем считать, что
∫
1
u(z) =
ω0(ζ - z)f(ζ)d2ζ.
(18)
2π
C
Очевидно, интеграл от формы dω0 = ω1 dx + ω2 dy по единичной окружности S равен
нулю, что можно записать в виде
∫
[-ξ2ω1(ξ) + ξ1ω2(ξ)] d1ξ = 0.
(19)
S
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№5
2023
О ФУНДАМЕНТАЛЬНОЙ МАТРИЦЕ РЕШЕНИЙ
639
Из (3), (4) и выражения ядер ωj, j = 1, 2, видно, что на единичной окружности ξ21 + ξ22 = 1
они связаны соотношениями
ξ1ω1(ξ) + ξ2ω2(ξ) = e1,
-ξ2ω1(ξ) + ξ1ω2(ξ) = h0(θ)
(20)
с π-периодической функцией h0(θ) из (5). В частности, равенство (19) означает, что
∫π
∫
2π
2
h0(θ)dθ = h0(θ)dθ = 0,
0
0
поэтому первообразная h функции h0 также является π-периодической.
В полярных координатах x = r cos θ, y = r sin θ имеем равенства
∂ω0
∂ω0
= ω1 cosθ + ω2 sinθ,
= r(-ω1 sin θ + ω2 cos θ).
∂r
∂θ
С учётом (20) и свойства однородности ωj(reiθ) = r-1ωj(eiθ) функций ωj получим
∂ω0
e1
∂ω0
=
,
= h0(θ),
∂r
r
∂θ
поэтому можно положить ω0(reiθ) = e1 ln r + h(θ). Совместно с (18) отсюда приходим к выра-
жению (7) для фундаментальной матрицы решений системы Ламе.
Заметим, что в обозначениях (4), (13) равенство (19) можем записать в виде
e′2e1 + e1e2 = 0.
Последнее равенство можно вывести и непосредственно, пользуясь свойством (12) матрицы
E. В самом деле, согласно (13) имеем
0 = (E2)12 = e′2e1a22 + e1a22e2 = (e′2e1 + e1e2)a22.
Для изотропной среды, когда α5 = α6 = 0 и α1 - α3 = α3 + α4, первообразная h(θ)
функции h0 вычисляется явно, поскольку в этом случае
(
)
1
α1 cos2 θ + α3 sin2 θ (α1 - α3)cos θ sin θ
α1 + α3
σ-1(eiθ) =
,
e1 =
α1α3
(α1 - α3) cos θ sin θ α3 cos2 θ + α1 sin2 θ
2α1α3
В предположении различных корней ν1, ν2 характеристического многочлена χ фунда-
ментальная матрица решений ω была построена в монографии В.Д. Купрадзе [1] путём све-
дения системы Ламе к одному уравнению четвёртого порядка и применения к последнему
метода Е.Е. Леви [6]. В обозначениях (2) эта матрица даётся формулой
[
(
)
]
∑
p2(νk)
-p3(νk)
ω(x, y) = 2a Im
dk
ln(x + νky) ,
(21)
-p3(νk) p1(νk)
k=1,2
где a = α2α3 - α25 и dk есть алгебраическое дополнение элемента ν3k матрицы
⎛
⎞
1
ν1
ν21
ν31
⎜
⎟
1
ν1
ν21
ν31
⎜
⎟
D=
⎝1
ν2
ν22
ν32⎠.
1
ν2
ν22
ν3
2
Как показано в [1], имеют место равенства
Re(d1νi1 + d2νi2) = 0, i = 0,1,2,
так что формула (21) даёт однозначную функцию.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№5
2023
640
ВЫОНГ, СОЛДАТОВ
Очевидно, интеграл (7) можно рассматривать и для произвольных непрерывных функций
f (ζ) на плоскости с поведением O(|ζ|δ-3), 0 < δ < 1, на бесконечности. Из выражения (6)
видно, что для фиксированной точки z0 разность
ω(ζ - z) - ω(ζ - z0) = O(|ζ|-1)
на бесконечности. Поэтому замена ω(ζ - z) на ω(ζ - z) - ω(ζ - z0) под знаком интеграла (7)
позволяет рассматривать его для функций f(ζ) с более общим поведением
f (ζ) = O(|ζ|δ-2),
0 < δ < 1,
(22)
на бесконечности.
Рассмотрим этот интеграл
∫
(T f)(z) =
[ω(ζ - z) - ω(ζ - z0)]f(ζ) d2ζ, z ∈ D,
D
в области D на плоскости, ограниченной гладким контуром Γ. Эта область может быть как
конечной (т.е. лежать внутри некоторого круга), так и бесконечной (т.е. содержать внешность
круга). В первом случае функция f берётся из класса Гёльдера Cμ(D), во втором случае она
подчиняется указанному весовому поведению (22) на бесконечности и принадлежит классу Cμ
в каждой ограниченной подобласти.
Учитывая весовую функцию ρλ(z) = (1 + |z|)λ произвольного порядка λ ∈ R, через
Cμλ(D,∞) обозначим пространство всех функций u ∈ C(D), для которых конечна норма
|(ρμ-λϕ)(z1) - (ρμ-λϕ)(z2)|
∥ϕ∥ = sup|(ρ-λϕ)(z)| + sup
(23)
z∈D
z1=z2
|z1 - z2|μ
zj∈D
Это пространство банахово и является частным случаем более общих весовых пространств, по-
дробно изученных в [4]. Опишем кратко его основные свойства. Из определения (23) видно, что
при λ = 0 пространство Cμ0(D, ∞) состоит из всех ограниченных функций, для которых ρμϕ
удовлетворяет условию Гёльдера с показателем μ в каждой компоненте составной области D.
Легко видеть, что оно является банаховой алгеброй по умножению и Cμλ = ρλCμ0, в частно-
сти, операция умножения, как билинейное отображение, ограничена Cμλ
×Cμλ
→Cμ
. При
1
2
λ1+λ2
этом семейство банаховых пространств (Cμλ) монотонно убывает по параметру μ (в смысле
вложения банаховых пространств) и возрастает по λ (в случае бесконечной области).
Банахово пространство Cn,μλ(D, ∞), n ∈ N, определяется индуктивно по n и состоит из
всех функций ϕ ∈ Cn(D), для которых
∂u
∂u
ϕ ∈ Cn-1,μλ(D,∞),
,
∈ Cn-1,μλ-1(D,∞).
∂x
∂y
Индукцией показывается, что операция умножения, как билинейное отображение, ограниче-
на Cn,μλ
×Cn,μλ
→ Cn,μλ
. В частности, пространство Cn,μ0 является банаховой алгеброй по
1
2
1+λ2
умножению.
Теорема 2. Пусть контур Γ ∈ C1,ν , 0 < μ < ν и 0 < δ < 1.
Тогда оператор T ограничен Cμ(D)→ C2,μ(D), если область D конечна, и Cμδ-2(D, ∞)→
→ Cμδ (D,∞), если область D бесконечна.
В обоих случаях функция u = T f удовлетворяет уравнению (1).
Доказательство. Согласно теореме 1 можем записать равенства
∂(T f)
∂(T f)
=T1f,
=T2f
(24)
∂x
∂y
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№5
2023
О ФУНДАМЕНТАЛЬНОЙ МАТРИЦЕ РЕШЕНИЙ
641
с операторами
∫
(Tj f)(z) = ωj(ζ - z)f(ζ) d2ζ, j = 1, 2, z ∈ D.
D
Предположим сначала, что область D конечна. Тогда к операторам Tj можно применить
теорему 3.5.2 из [4], согласно которой они ограничены Cμ(D) → C1,μ(D). Поэтому с учётом
(24) оператор T ограничен Cμ(D) → C2,μ(D).
Пусть далее область D бесконечна. В этом случае на основании теоремы 3.11.2 из [4]
операторы Tj ограничены Cμδ-2(D, ∞) → Cμδ-1(D, ∞). На основании (24) и теоремы 2.10.1
из [4] отсюда заключаем, что оператор T ограничен Cμδ-2(D, ∞) → Cμδ(D, ∞). Нужно толь-
ко учесть, что (T f)(z0) = 0, так что условием (24) функция T f определяется однозначно.
В рассматриваемом случае теорема 2.10.1 применима, поскольку здесь F = {∞} и условие
конуса в граничной точке τ = ∞ очевидным образом выполнено.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Купрадзе В.Д. Методы потенциала в теории упругости. М., 1963.
2. Солдатов А.П. К теории анизотропной плоской упругости // Соврем. математика. Фунд. направ-
ления. 2016. Т. 60. С. 114-166.
3. Митин С.П., Солдатов А.П. О решении задачи Дирихле для неоднородной системы Ламе с млад-
шими коэффициентами // Проблемы мат. анализа. 2021. Т. 110. С. 51-58.
4. Солдатов А.П. Сингулярные интегральные операторы и эллиптические краевые задачи // Соврем.
математика. Фунд. направления. 2017. Т. 63. С. 1-189.
5. Отелбаев М., Солдатов А.П. Интегральные представления вектор-функций, основанные на пара-
метриксе эллиптических систем первого порядка // Журн. вычислит. математики и мат. физики.
2021. Т. 61. № 1. С. 90-99.
6. Леви Е.Е. О линейных уравнениях с частными производными эллиптического типа // Успехи мат.
наук. 1940. Т. 8. С. 249-292.
Университет Далата, Вьетнам,
Поступила в редакцию 03.03.2023 г.
Федеральный исследовательский центр
После доработки 03.03.2023 г.
“Информатика и управление” РАН, г. Москва,
Принята к публикации 18.04.2023 г.
Московский центр фундаментальной
и прикладной математики,
Национальный исследовательский университет
“Московский энергетический институт”
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№5
2023
