ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2023, том 59, № 5, с.642-651

УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

УДК 517.956.32

К ЗАДАЧЕ ДАРБУ

ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Для гиперболической системы с некратными характеристиками в n-мерном пространстве

независимых переменных доказаны существование и единственность решения задачи Дар-

бу. Определена матрица Римана-Адамара и построено решение задачи Дарбу в терминах

указанной матрицы. В качестве примера применения полученных результатов подробно

построено решение задачи Дарбу для системы в случае четырёх независимых переменных.

DOI: 10.31857/S0374064123050084, EDN: CXXBYD

Введение. В теории гиперболических уравнений и систем существенную роль играют за-

дачи Дарбу. В частности, задача Дарбу для гиперболического уравнения второго порядка с

двумя независимыми переменными рассматривалась в работах [1, гл. 3, § 1; 2, с. 7-15, 90-122;

3; 4], для уравнений Бианки - в статьях [5, 6], при этом решения задач строились в терминах

функции Римана-Адамара.

Гиперболические системы вида

∑

∂u_i

a_ij(x₁,... ,x_n)u_j + f_i(x₁,... ,x_n), i = 1,n,

(1)

∂x

j=1

исследовались многими авторами (см., например, статьи [7-10] и библиографии к ним). От-

метим, что в [9, 10] решения задач Дарбу для системы (1) с двумя и тремя независимыми

переменными построены в терминах матриц Римана-Адамара.

В настоящей работе для системы (1) с n независимыми переменными предложен метод

решения задачи Дарбу, являющийся развитием метода Римана, который естественно назвать

методом Римана-Адамара.

1. Основной результат. Линейное преобразование искомых функций приводит систему

(1) к случаю, когда a_ii ≡ 0, i = 1, n. Далее считаем эти условия выполненными.

Пусть D - область, ограниченная плоскостями X_i : x_i = 0, Xi0 : x_i = xi0 > 0, i =

= 1, n - 1; T : x_n = x₁. Считаем, что коэффициенты системы (1) удовлетворяют условиям

гладкости a_ij ∈ C(D), f_i ∈ C(D), i, j = 1, n.

Определим класс функций C(k1,k2,...,kn) следующим образом: функция f ∈ C(k1,k2,...,kn),

если существуют непрерывные производные ∂r1+r2+...+rn f/(∂xr11 ∂x22 . . . ∂xnn ), ri = 0, ki.

Решение u₁ ∈ C(1,0,...,0)(D), u₂ ∈ C(0,1,0,...,0)(D), . . . , u_n ∈ C(0,...,0,1)(D) назовём регуляр-

ным в области D.

Задача Дарбу. В области D найти регулярное решение системы (1), удовлетворяющее

граничным условиям

u_i|Xi = ϕ_i, u_n|_T = ψ, i = 1,n - 1,

(2)

где ϕ_i ∈ C(X_i), ψ ∈ C(T ) - заданные функции, причём ϕ_i зависят от всех независимых

переменных, кроме x_i, а функция ψ = ψ(x₁, x₂, . . . , xn-1).

642

К ЗАДАЧЕ ДАРБУ ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ

643

Сведём систему (1) с учётом условий (2) к системе интегральных уравнений Вольтерры

∫xi

)

∑

u_i(x₁,... ,x_n) = ϕ_i +

a_iju_j + f_i dx_i, i = 1,n - 1,

j=1

∫xn

)

∑

u_n(x₁,... ,x_n) = ψ +

a_nju_j + f_n dx_n,

(3)

j=1

x₁

решение которой существует и единственно в классе непрерывных функций. Задача Дарбу (1),

(2) и система (3) эквивалентны. Действительно, система (3) - следствие (1) и (2). Обратно,

дифференцируя уравнения системы (3) по переменным x₁, . . . , x_n, получаем систему (1) с

условиями (2).

Таким образом, справедлива

Теорема. Если выполняются условия a_ij ∈ C(D), f_i ∈ C(D), i, j = 1, n, то решение

задачи Дарбу (1), (2) существует и единственно.

Перейдём к построению решения задачи Дарбу в терминах матрицы Римана-Адамара.

Запишем систему (1) в векторно-матричной форме

∑

L(U) = F, L(U) ≡ A_iUxi - BU, U = colon (u₁, u₂, . . . , u_n),

(4)

i=1

где

⎞

^⎛1

^⎛0

⎜0

0⎟

⎜0

0⎟

⎜0

0⎟

A₁ =

⎝

⎠, A2 =

⎝

⎠, . . . , An =

⎝

⎠,

⎛

⎞

a₁₂

a₁₃

a1n

⎜a21

a₂₃

a2n⎟

⎝

⎠, F = colon (f1, f2, . . . , fn).

an1

an2

ann-1

Введём матрицу Римана [11]

R = colon(R₁,R₂,...,R_n),

где R_i(x₁, x₂, . . . , x_n, ξ₁, ξ₂, . . . , ξ_n) = (ri1, ri2, . . . , r_in), i = 1, n, являются решениями систем

∫x1

ri1(x₁,x₂,... ,x_n) = δi1 - (a₂₁ri2 + a₃₁ri3 + ... + an1r_in)(α₁,x₂,... ,x_n)dα₁,

ξ₁

∫x2

ri2(x₁,x₂,... ,x_n) = δi2 - (a₁₂ri1 + a₃₂ri3 + ... + an2r_in)(x₁,α₂,x₃,... ,x_n)dα₂,

ξ₂

∫x3

ri3(x₁,x₂,... ,x_n) = δi3 - (a₁₃ri1 + a₂₃ri2 + ... + an3r_in)(x₁,x₂,α₃,x₄,... ,x_n)dα₃, ...

ξ₃

∫xn

...,

r_in(x₁,x₂,... ,x_n) = δ_in - (a₁₄ri1 + a₂₄ri2 + ... + an-1nrin-1)(x₁,x₂,... ,α_n)dα_n,

(5)

ξn

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№5

2023

644

МИРОНОВ, МИРОНОВА

а δij - символ Кронекера. Решения систем (5) при каждом i существуют и единственны в

классе непрерывных функций. По первым n аргументам (x₁, x₂, . . . , x_n) матрица R удовле-

творяет сопряжённой к (4) системе

∑

L^∗(V) = 0, L^∗(V) ≡ - (A_iV)xi - BU.

i=1

Из систем (5), в частности, следует, что выполняются тождества

{

1, j = i,

r_ij(x₁,x₂,... ,x_n,ξ₁,ξ₂,... ,ξ_n)|xj=ξ_j ≡

(6)

0, j = i.

Справедливо равенство

∑

RL(U) = (RA_iU)xi,

(7)

i=1

которое может быть проверено непосредственно.

Возьмём внутри области D произвольную точку P (ξ₁, ξ₂, . . . , ξ_n) и проведём через неё

плоскости, параллельные осям координат. Получим область D_P , ограниченную плоскостями

X_i, i = 1,n - 1, x_i = ξ_i, i = 1,n, а также плоскостью T : x_n = x₁. Плоскость x_n = ξ₁,

разбивает область D_P на две части: D¹ (отвечает условию x_n > ξ₁ и определяется неравен-

ствами 0 < x₁ < ξ₁,

0 < x₂ < ξ₂, ..., 0 < xn-1 < ξn-1, ξ₁ < x_n < ξ_n) и D² (соответствует

условию x_n < ξ₁ и может быть задана двумя системами неравенств:

1) 0 < x₁ < ξ₁, 0<x2 <ξ2, ..., 0<xn-1 <ξn-1, x1 <xn <ξ1;

2) 0 < x₁ < x_n, 0<x2 <ξ2, 0 < x3 < ξ3, ..., 0 < xn < ξ1).

Обозначим пересечение замыкания области D¹ с плоскостями X_i, i = 1, n - 1, через X1i,

с плоскостью x_n = ξ₁ - через E¹, с плоскостями x_i = ξ_i - через D1i, i = 1, n. Аналогично

обозначим пересечение замыкания области D² с плоскостями X_i, i = 1, n - 1, через X2i, с

плоскостью x_n = ξ₁ - через E², с плоскостью T - через S, с плоскостями x_i = ξ_i - через

D2i, i = 2,n - 1.

Определим матрицу Римана-Адамара H(x₁, x₂, . . . , x_n, ξ₁, ξ₂, . . . , ξ_n) = (h_ij ), i, j = 1, n,

задачи Дарбу:

{

R(x₁, x₂, . . . , x_n, ξ₁, ξ₂, . . . , ξ_n), (x₁, x₂, . . . , x_n) ∈ D¹,

H(x₁, x₂, . . . , x_n, ξ₁, ξ₂, . . . , ξ_n) =

Q(x₁, x₂, . . . , x_n, ξ₁, ξ₂, . . . , ξ_n), (x₁, x₂, . . . , x_n) ∈ D².

Здесь Q = colon (Q₁, Q₂, . . . , Q_n), где вектор-функции Q_i = (qi1, qi2, . . . , q_in) являются реше-

ниями задачи Дарбу в области D² для сопряжённой системы

qi1x1 = -a₂₁qi2 - a₃₁qi3 - ... - an1q_in, qi2x2 = -a₁₂qi1 - a₃₂qi3 - ... - an2q_in,

...,

qinxn = -a1nqi1 - a2nqi2 - ... - an-1nqin-1

с условиями

(8)

Последнее условие в (8) можно записать в виде [h_in]|xn=ξ₁ = 0, где [hin]|xn=ξ1^{-скачокфунк-}

ции h_in на плоскости x_n = ξ₁.

Строка с номером i в тождестве (7) имеет вид

∑

(r_iju_j )xj =

r_ijf_j.

(9)

j=1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№5

2023

К ЗАДАЧЕ ДАРБУ ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ

645

Проинтегрируем равенство (9) по области D¹ :

∫∫

ri1u₁(ξ₁,α₂,... ,α_n)dα_n ... dα₂ -

ri1u₁(0,α₂,... ,α_n)dα_n ... dα₂

D11

X11

∫∫

ri2u₂(α₁,ξ₂,α₃,... ,α_n)dα_n ... dα₃ dα₁ -

D¹

∫∫

ri2u₂(α₁,0,α₃,... ,α_n)dα_n ... dα₃ dα₁ + ...

X¹

∫∫

...+

rin-1un-1(α₁,α₂,... ,αn-2,ξn-1,α_n)dα_n dαn-2 ... dα₂ dα₁ -

D¹

n-1

∫∫

rin-1un-1(α₁,α₂,... ,αn-2,0,α_n)dα_n dαn-2 ... dα₂ dα₁ +

X¹

n-1

∫∫

+ r_inu_n(α₁,α₂,... ,αn-1,ξ_n)dαn-1 ... dα2 dα₁ -

D1n

∫∫

- r_inu_n(α₁,α₂,... ,αn-1,ξ₁)dαn-1 ... dα2 dα₁ =

E¹

∫∫

∑

(r_ij f_j)(α₁, α₂, . . . , α_n) dα_n . . . dα₂ dα₁.

(10)

j=1

D¹

Здесь у r_ij указаны только первые n аргументов, остальные везде (ξ₁, ξ₂, . . . , ξ_n).

В (10) интегралы по многообразиям D1j, согласно (6), обращаются в тождественный нуль,

если i = j; кроме того, в интеграле по D1i r_ii ≡ 1, i = 1, n.

Теперь проинтегрируем (9) по области D² :

∫∫

qi1u₁(α₁,α₂,... ,αn-1,α₁)dα₁ dα₂ ... dαn-1 -

qi1u₁(0,α₂,... ,α_n)dα_n ... dα₃ dα₂ +

X²

∫∫

qi2u₂(α₁,ξ₂,α₃,... ,α_n)dα_n ... dα₃ dα₁ -

D²

∫∫

qi2u₂(α₁,0,α₃,... ,α_n)dα_n ... dα₃ dα₁ + ...

X²

∫∫

...+

qin-1un-1(α₁,α₂,... ,αn-2,ξn-1,α_n)dα_n dαn-2 ... dα₂ dα₁ -

D²

n-1

∫∫

qi3u₃(α₁,α₂,... ,αn-2,0,α_n)dα_n dαn-2 ... dα₂ dα₁ +

X²

n-1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№5

2023

646

МИРОНОВ, МИРОНОВА

∫∫

+ q_inu_n(α₁,α₂,... ,αn-1,ξ₁)dαn-1 ... dα₂ dα₁ -

E²

∫∫

- q_inu_n(α₁,α₂,... ,αn-1,α₁)dαn-1 ... dα2 dα₁ =

∫∫

∑

(r_ij f_j)(α₁, α₂, . . . , α_n) dα_n . . . dα₂ dα₁.

(11)

j=1

D²

В (11) тоже у q_ij указаны только первые n аргументов, остальные n аргументов везде

(ξ₁, ξ₂, . . . , ξ_n), и, согласно (8), интегралы по многообразиям D1j, j = 2, n - 1, обращаются

в тождественный нуль.

Складывая равенства (10) и (11) при i = 1, n, будем иметь

∫

ξ₁

∫

ξ₂

∫

ξn

u_i(α₁,α₂,... ,αi-1,ξ_i,αi+1,... ,αn-1,α_n)dα_n dαn-1 ...

ξ₁

∫∫

...dαi+1 dαi-1 ... dα2 dα₁ =

hi1u₁ dα_n dαn-1 ... dα₂ +

hi2u₂ dα_n ... dα₃ dα₁ + ...

X¹¹+X²

X¹²+X²

∫∫

...+

hii-1ui-1 dα_n ... dα_i dαi-2 ... dα₁ +

X1i-1+X²

i-1

∫∫

hii+1ui+1 dα_n ... dαi+2 dα_i ... dα₁ +

X1i+1+X²

i+1

∫∫

hin-1un-1 dα_n dαn-2 ... dα₂ dα₁ +

h_inu_n dαn-1 dαn-2 ... dα₂ dα₁ +

X1n-1+X²

n-1

∫∫

∑

h_ijf_j dα_n dαn-1 ... dα₂ dα₁, i = 1,n - 1,

(12)

j=1

D¹+D²

ξ₁

ξ₂

∫

u_n(α₁,α₂,... ,αn-1,ξ_n)dαn-1 ... dα₂ dα₁ =

∫∫

hn1u₁ dα_n dαn-1 ... dα₂ +

hn2u₂ dα_n ... dα₃ dα₁ + ...

X¹¹+X²

X¹²+X²

∫∫

...+

hnn-1un-1 dα_n dαn-2 ... dα₂ dα₁ +

h_nnu_n dαn-1 dαn-2 ... dα₂ dα₁ +

X1n-1+X²

n-1

∫∫

∑

h_njf_j dα_n dαn-1 ... dα₂ dα₁.

(13)

j=1

D¹+D²

Правые части формул (12), (13) считаем известными функциями, поскольку они выражаются

через элементы матрицы Римана-Адамара и данные задачи Дарбу.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№5

2023

К ЗАДАЧЕ ДАРБУ ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ

647

Продифференцировав (12) и (13), получим

∂n-1F_i(ξ₁,ξ₂,... ,ξ_n)

u_i(ξ₁,ξ₂,... ,ξ_n) =

i = 1,n - 1,

∂ξ₁∂ξ₂ ... ∂ξi-1∂ξi+1 ... ∂ξn-1∂ξ_n

∂n-1F_n(ξ₁,ξ₂,... ,ξ_n)

u_n(ξ₁,ξ₂,... ,ξ_n) =

(14)

∂ξ₁∂ξ₂... ∂ξn-1

где F_k - соответствующие правые части формул (12), (13). Соотношения (14) представляют

собой решение задачи Дарбу (1), (2) в терминах матрицы Римана-Адамара H.

2. Пример. В качестве примера реализации описанного выше метода построения решения

задачи Дарбу рассмотрим гиперболическую систему четвёртого порядка

∑

∂u_i

a_ij(x₁,x₂,x₃,x₄)u_j + f_i(x₁,x₂,x₃,x₄), i = 1,4.

(15)

∂x

j=1

Как и выше, считаем, что выполняются условия a_ii ≡ 0, i = 1, 4.

Задача Дарбу для системы четвёртого порядка. В области D найти регулярное

решение системы (15), удовлетворяющее граничным условиям

u_i|Xi = ϕ_i, i = 1,3, u₄|_T = ψ,

(16)

ϕi ∈ C(Xi), ψ ∈ C(T ),

где функции ϕ_i зависят от всех независимых переменных, кроме x_i, а ψ = ψ(x₁, x₂, x₃).

Считаем, что все условия гладкости, указанные для задачи (1), (2), выполняются. Из сфор-

мулированной выше теоремы вытекает, что решение задачи Дарбу для системы четвёртого

порядка существует и единственно.

Запишем (15) в векторно-матричной форме:

∑

L(U) = F, L(U) ≡ A_iUxi - BU, U = colon (u₁, u₂, u₃, u₄),

(17)

i=1

⎞

^⎛1

^⎛0

⎜0

0⎟

⎜0

0⎟

⎜0

0⎟

⎜0

0⎟

A₁ =

⎝

⎠, A2 =

⎝

⎠, A3 =

⎝

⎠, A4 =

⎝

⎠,

⎛

⎞

a₁₂

a₁₃

a₁₄

⎜a21

a₂₃

a₂₄⎟

⎝

⎠, F = colon (f1, f2, f3, f4).

a₃₁

a₃₂

a₃₄

a₄₁

a₄₂

a₄₃

Матрица Римана в данном случае имеет вид

R = colon(R₁,R₂,R₃,R₄),

где R_i(x₁, x₂, x₃, x₄, ξ₁, ξ₂, ξ₃, ξ₄) = (ri1, ri2, ri3, ri4), i = 1, 4, являются решениями систем

∫x1

ri1(x₁,x₂,x₃,x₄) = δi1 - (a₂₁ri2 + a₃₁ri3 + a₄₁ri4)(α₁,x₂,x₃,x₄)dα₁,

ξ₁

∫x2

ri2(x₁,x₂,x₃,x₄) = δi2 - (a₁₂ri1 + a₃₂ri3 + a₄₂ri4)(x₁,α₂,x₃,x₄)dα₂,

ξ₂

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№5

2023

648

МИРОНОВ, МИРОНОВА

∫x3

ri3(x₁,x₂,x₃,x₄) = δi3 - (a₁₃ri1 + a₂₃ri2 + a₄₃ri4)(x₁,x₂,α₃,x₄)dα₃,

ξ₃

∫x4

ri4(x₁,x₂,x₃,x₄) = δi4 - (a₁₄ri1 + a₂₄ri2 + a₃₄ri3)(x₁,x₂,x₃,α₄)dα₄,

(18)

ξ₄

δij - символ Кронекера. Решения систем (18) при каждом i существуют и единственны в

классе непрерывных функций. По первым четырём аргументам (x₁, x₂, x₃, x₄) матрица R

удовлетворяет сопряжённой к (17) системе

∑

L^∗(V) = 0, L^∗(V) ≡ - (A_iV)xi - BU.

i=1

Из систем (18) следует выполнение тождеств

{

1, j = i,

r_ij(x₁,x₂,x₃,x₄,ξ₁,ξ₂,ξ₃,ξ₄)|xj=ξ_j ≡

(19)

0, j = i.

Условие (7) принимает вид

RL(U) = (RA₁U)x1 + (RA₂U)x2 + (RA₃U)x3 + (RA₄U)x4.

(20)

Перейдём к построению решения задачи Дарбу для системы четвёртого порядка. Возьмём

внутри области D произвольную точку P (ξ₁, ξ₂, ξ₃, ξ₄). Проведём через неё плоскости, па-

раллельные осям координат. Получаем область D_P , ограниченную плоскостями X_i, i = 1, 3,

x_i = ξ_i, i = 1,4, а также плоскостью T. Плоскость x₄ = ξ₁ разбивает область D_P на две

части: D¹ (отвечает условию x₄ > ξ₁ и определяется неравенствами 0 < x₁ < ξ₁, 0 < x₂ < ξ₂,

0 < x₃ < ξ₃, ξ₁ < x₄ < ξ₄) и D² (соответствует условию x₄ < ξ₁ и может быть задана двумя

системами неравенств:

1) 0 < x₁ < ξ₁, 0<x2 <ξ2, 0<x3 <ξ3, x1 <x4 <ξ1;

2) 0 < x₁ < x₄, 0<x2 <ξ2, 0<x3 <ξ3, 0 < x4 < ξ1).

Обозначим пересечение замыкания области D¹ с плоскостями X_i, i = 1, 3, через X1i, с

плоскостью x₄ = ξ₁ - через E¹, с плоскостями x_i = ξ_i - через D1i, i = 1, 4. Аналогично

обозначим пересечение замыкания области D² с плоскостями X_i, i = 1, 3, через X2i, с

плоскостью x₄ = ξ₁ - через E², с плоскостью T - через S, с плоскостями x_i = ξ_i - через D2i,

i = 2,3.

Матрица Римана-Адамара задачи Дарбу имеет вид

H(x₁, x₂, x₃, x₄, ξ₁, ξ₂, ξ₃, ξ₄) = (h_ij ), i, j = 1, 4,

при этом

{

R(x₁, x₂, x₃, x₄, ξ₁, ξ₂, ξ₃, ξ₄), (x₁, x₂, x₃, x₄) ∈ D¹,

H(x₁, x₂, x₃, x₄, ξ₁, ξ₂, ξ₃, ξ₄) =

(21)

Q(x₁, x₂, x₃, x₄, ξ₁, ξ₂, ξ₃, ξ₄), (x₁, x₂, x₃, x₄) ∈ D².

Здесь Q = colon (Q₁, Q₂, Q₃, Q₄), где вектор-функции Q_i = (qi1, qi2, qi3, qi4) являются реше-

ниями задачи Дарбу в D² для сопряжённой системы

qi1x1 = -a₂₁qi2 - a₃₁qi3 - a₄₁qi4, qi2x2 = -a₁₂qi1 - a₃₂qi3 - a₄₂qi4,

qi3x3 = -a₁₃qi1 - a₂₃qi2 - a₄₃qi4, qi4x4 = -a₁₄qi1 - a₂₄qi2 - a₃₄qi3

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№5

2023

К ЗАДАЧЕ ДАРБУ ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ

649

с условиями

(22)

Последнее условие в (22) можно записать в виде [hi4]|x4=ξ₁ = 0, где [hi4]|x₄=ξ₁ - скачок функ-

ции hi4 на плоскости x₄ = ξ₁.

Строка с номером i в (20) имеет вид

(ri1u₁)x1 + (ri2u₂)x2 + (ri3u₃)x3 + (ri4u₄)x4 = ri1f₁ + ri2f₂ + ri3f₃ + ri4f₄.

(23)

Проинтегрируем тождество (23) по области D¹ :

∫∫

ri1u₁(ξ₁,α₂,α₃,α₄)dα₄ dα₃ dα₂ -

ri1u₁(0,α₂,α₃,α₄)dα₄ dα₃ dα₂ +

D11

X11

∫∫

ri2u₂(α₁,ξ₂,α₃,α₄)dα₄ dα₃ dα₁ -

ri2u₂(α₁,0,α₃,α₄)dα₄ dα₃ dα₁ +

D¹

X¹

∫∫

ri3u₃(α₁,α₂,ξ₃,α₄)dα₄ dα₂ dα₁ -

ri3u₃(α₁,α₂,0,α₄)dα₄ dα₂ dα₁ +

D¹

X¹

∫∫

ri4u₄(α₁,α₂,α₃,ξ₄)dα₃ dα₂ dα₁ -

ri4u₄(α₁,α₂,α₃,ξ₁)dα₃ dα₂ dα₁ =

D¹

∫∫

= (ri1f₁ + ri2f₂ + ri3f₃ + ri4f₄)(α₁, α₂, α₃, α₄) dα₄ dα₃ dα₂ dα₁.

(24)

D¹

Здесь у r_ij указаны только первые четыре аргумента, остальные четыре аргумента везде

(ξ₁, ξ₂, ξ₃, ξ₄). В (24), согласно (19), первые слагаемые в каждой строке обращаются в тожде-

ственный нуль, если i = j; если же i = j, то r_ij ≡ 1.

Теперь проинтегрируем (23) по области D² :

∫∫

qi1u₁(α₁,α₂,α₃,α₁)dα₁ dα₂ dα₃ -

qi1u₁(0,α₂,α₃,α₄)dα₄ dα₃ dα₂ +

X²

∫∫

qi2u₂(α₁,ξ₂,α₃,α₄)dα₄ dα₃ dα₁ -

qi2u₂(α₁,0,α₃,α₄)dα₄ dα₃ dα₁ +

D²

X²

∫∫

qi3u₃(α₁,α₂,ξ₃,α₄)dα₄ dα₂ dα₁ -

qi3u₃(α₁,α₂,0,α₄)dα₄ dα₂ dα₁ +

D²

X²

∫∫

+ qi4u₄(α₁,α₂,α₃,ξ₁)dα3 dα2 dα₁ -

qi4u₄(α₁,α₂,α₃,α₁)dα₃ dα₂ dα₁ =

E²

∫∫

= (qi1f₁ + qi2f₂ + qi3f₃ + qi4f₄)(α₁, α₂, α₃, α₄) dα₄ dα₃ dα₂ dα₁.

(25)

D²

Здесь снова у q_ij указаны только первые четыре аргумента, остальные четыре аргумента везде

(ξ₁, ξ₂, ξ₃, ξ₄). В (25), согласно (22), первые слагаемые в первых трёх строках обращаются в

тождественный нуль.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№5

2023

6^∗

650

МИРОНОВ, МИРОНОВА

Складывая (24) и (25) при i = 1, 4, получаем

ξ₂

ξ₃

ξ₄

∫

∫∫

u₁(ξ₁,α₂,α₃,α₄)dα₄ dα₃ dα₂ =

h₁₁u₁ dα₄ dα₃ dα₂ +

h₁₂u₂ dα₄ dα₃ dα₁

ξ₁

X¹¹+X²

X¹²+X²

∫∫

∑

h₁₃u₃ dα₄ dα₂ dα₁ +

h₁₄u₄ dα₃ dα₂ dα₁ +

h1if_i dα₄ dα₃ dα₂ dα₁,

(26)

i=1

X¹³+X²

D¹+D²

ξ₁

ξ₃

ξ₄

∫

∫∫

u₂(α₁,ξ₂,α₃,α₄)dα₄ dα₃ dα₁ =

h₂₁u₁ dα₄ dα₃ dα₂ +

h₂₂u₂ dα₄ dα₃ dα₁

ξ₁

X¹¹+X²

X¹²+X²

∫∫

∑

h₂₃u₃ dα₄ dα₂ dα₁ +

h₂₄u₄ dα₃ dα₂ dα₁ +

h1if_i dα₄ dα₃ dα₂ dα₁,

(27)

i=1

X¹³+X²

D¹+D²

ξ₁

ξ₂

ξ₄

∫

∫∫

u₃(α₁,α₂,ξ₃,α₄)dα₄ dα₂ dα₁ =

h₃₁u₁ dα₄ dα₃ dα₂ +

h₃₂u₂ dα₄ dα₃ dα₁

ξ₁

X¹¹+X²

X¹²+X²

∫∫

∑

h₃₃u₃ dα₄ dα₂ dα₁ +

h₃₄u₄ dα₃ dα₂ dα₁ +

h1if_i dα₄ dα₃ dα₂ dα₁,

(28)

i=1

X¹³+X²

D¹+D²

∫

ξ₁

∫

ξ₂

∫

ξ₃

∫∫

u₄(α₁,α₂,α₃,ξ₄)dα₃ dα₂ dα₁ =

h₄₁u₁ dα₄ dα₃ dα₂ +

h₄₂u₂ dα₄ dα₃ dα₁

X¹¹+X²

X¹²+X²

∫∫

∑

h₄₃u₃ dα₄ dα₂ dα₁ +

h₄₄u₄ dα₃ dα₂ dα₁ +

h1if_i dα₄ dα₃ dα₂ dα₁.

(29)

i=1

X¹³+X²

D¹+D²

Правые части равенств (26)-(29), которые обозначим через F_k, k = 1, 4, известны, поскольку

выражаются через элементы матрицы Римана-Адамара и данные задачи Дарбу.

Продифференцировав (26)-(29), получим

∂³F₁(ξ₁,ξ₂,ξ₃,ξ₄)

∂³F₂(ξ₁,ξ₂,ξ₃,ξ₄)

u₁(ξ₁,ξ₂,ξ₃,ξ₄) =

u₂(ξ₁,ξ₂,ξ₃,ξ₄) =

∂ξ₂∂ξ₃∂ξ₄

∂ξ₁∂ξ₃∂ξ₄

∂³F₃(ξ₁,ξ₂,ξ₃,ξ₄)

∂³F₄(ξ₁,ξ₂,ξ₃,ξ₄)

u₃(ξ₁,ξ₂,ξ₃,ξ₄) =

u₄(ξ₁,ξ₂,ξ₃,ξ₄) =

(30)

∂ξ₁∂ξ₂∂ξ₄

∂ξ₁∂ξ₂∂ξ₃

Это решение задачи Дарбу (15), (16) в терминах матрицы Римана-Адамара (21).

Работа выполнена за счёт средств Программы стратегического академического лидерства

Казанского (Приволжского) федерального университета.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№5

2023

К ЗАДАЧЕ ДАРБУ ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ

651

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных. М., 1981.

2. Моисеев Е.И. Уравнения смешанного типа со спектральным параметром. М., 1988.

3. Сабитов К.Б., Шарафутдинова Г.Г. Задачи Коши-Гурса для вырождающегося гиперболического

уравнения // Изв. вузов. Математика. 2003. № 5. С. 21-29.

4. Джохадзе О.М., Харибегашвили С.С. Некоторые свойства функций Римана и Римана-Адамара для

линейных гиперболических уравнений второго порядка и их приложения // Дифференц. уравнения.

2011. Т. 47. № 4. С. 477-492.

5. Миронов А.Н. Задача Дарбу для уравнения Бианки третьего порядка // Мат. заметки. 2017. Т. 102.

Вып. 1. С. 64-71.

6. Миронов А.Н. Задача Дарбу для уравнения Бианки четвёртого порядка // Дифференц. уравнения.

2021. Т. 57. № 3. С. 349-363.

7. Бицадзе А.В. О структурных свойствах решений гиперболических систем уравнений с частными

производными // Мат. моделирование. 1994. Т. 6. № 6. С. 22-31.

8. Чекмарев Т.В. Формулы решения задачи Гурса для одной линейной системы уравнений с частными

производными // Дифференц. уравнения. 1982. Т. 18. № 9. С. 1614-1622.

9. Mironova L.B. Boundary-value problems with data on characteristics for hyperbolic systems of equations

// Lobachevskii J. of Math. 2020. V. 41. № 3. P. 400-406.

10. Миронов А.Н., Миронова Л.Б. Метод Римана-Адамара для одной системы в трёхмерном простран-

стве // Дифференц. уравнения. 2021. Т. 57. № 8. С. 1063-1070.

11. Миронова Л.Б. О методе Римана в Rⁿ для одной системы с кратными характеристиками // Изв.

вузов. Математика. 2006. № 1. С. 34-39.

Самарский государственный

Поступила в редакцию 02.02.2023 г.

технический университет,

После доработки 02.02.2023 г.

Елабужский институт (филиал)

Принята к публикации 16.03.2023 г.

Казанского (Приволжского)

федерального университета

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№5

2023