ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2023, том 59, № 5, с.642-651
УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
УДК 517.956.32
К ЗАДАЧЕ ДАРБУ
ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ
© 2023 г. А. Н. Миронов, Л. Б. Миронова
Для гиперболической системы с некратными характеристиками в n-мерном пространстве
независимых переменных доказаны существование и единственность решения задачи Дар-
бу. Определена матрица Римана-Адамара и построено решение задачи Дарбу в терминах
указанной матрицы. В качестве примера применения полученных результатов подробно
построено решение задачи Дарбу для системы в случае четырёх независимых переменных.
DOI: 10.31857/S0374064123050084, EDN: CXXBYD
Введение. В теории гиперболических уравнений и систем существенную роль играют за-
дачи Дарбу. В частности, задача Дарбу для гиперболического уравнения второго порядка с
двумя независимыми переменными рассматривалась в работах [1, гл. 3, § 1; 2, с. 7-15, 90-122;
3; 4], для уравнений Бианки - в статьях [5, 6], при этом решения задач строились в терминах
функции Римана-Адамара.
Гиперболические системы вида
∑
∂ui
=
aij(x1,... ,xn)uj + fi(x1,... ,xn), i = 1,n,
(1)
∂x
i
j=1
исследовались многими авторами (см., например, статьи [7-10] и библиографии к ним). От-
метим, что в [9, 10] решения задач Дарбу для системы (1) с двумя и тремя независимыми
переменными построены в терминах матриц Римана-Адамара.
В настоящей работе для системы (1) с n независимыми переменными предложен метод
решения задачи Дарбу, являющийся развитием метода Римана, который естественно назвать
методом Римана-Адамара.
1. Основной результат. Линейное преобразование искомых функций приводит систему
(1) к случаю, когда aii ≡ 0, i = 1, n. Далее считаем эти условия выполненными.
Пусть D - область, ограниченная плоскостями Xi : xi = 0, Xi0 : xi = xi0 > 0, i =
= 1, n - 1; T : xn = x1. Считаем, что коэффициенты системы (1) удовлетворяют условиям
гладкости aij ∈ C(D), fi ∈ C(D), i, j = 1, n.
Определим класс функций C(k1,k2,...,kn) следующим образом: функция f ∈ C(k1,k2,...,kn),
если существуют непрерывные производные ∂r1+r2+...+rn f/(∂xr11 ∂x22 . . . ∂xnn ), ri = 0, ki.
Решение u1 ∈ C(1,0,...,0)(D), u2 ∈ C(0,1,0,...,0)(D), . . . , un ∈ C(0,...,0,1)(D) назовём регуляр-
ным в области D.
Задача Дарбу. В области D найти регулярное решение системы (1), удовлетворяющее
граничным условиям
ui|Xi = ϕi, un|T = ψ, i = 1,n - 1,
(2)
где ϕi ∈ C(Xi), ψ ∈ C(T ) - заданные функции, причём ϕi зависят от всех независимых
переменных, кроме xi, а функция ψ = ψ(x1, x2, . . . , xn-1).
642
К ЗАДАЧЕ ДАРБУ ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ
643
Сведём систему (1) с учётом условий (2) к системе интегральных уравнений Вольтерры
∫xi
)
∑
ui(x1,... ,xn) = ϕi +
aijuj + fi dxi, i = 1,n - 1,
j=1
0
∫xn
)
∑
un(x1,... ,xn) = ψ +
anjuj + fn dxn,
(3)
j=1
x1
решение которой существует и единственно в классе непрерывных функций. Задача Дарбу (1),
(2) и система (3) эквивалентны. Действительно, система (3) - следствие (1) и (2). Обратно,
дифференцируя уравнения системы (3) по переменным x1, . . . , xn, получаем систему (1) с
условиями (2).
Таким образом, справедлива
Теорема. Если выполняются условия aij ∈ C(D), fi ∈ C(D), i, j = 1, n, то решение
задачи Дарбу (1), (2) существует и единственно.
Перейдём к построению решения задачи Дарбу в терминах матрицы Римана-Адамара.
Запишем систему (1) в векторно-матричной форме
∑
L(U) = F, L(U) ≡ AiUxi - BU, U = colon (u1, u2, . . . , un),
(4)
i=1
где
⎞
⎞
⎞
⎛1
0
0
⎛0
0
0
0
⎛0
0
0
⎜0
0
0⎟
⎜0
1
0
0⎟
⎜0
0
0⎟
A1 =
⎝
⎠, A2 =
⎝
⎠, . . . , An =
⎝
⎠,
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
⎛
⎞
0
a12
a13
a1n
⎜a21
0
a23
a2n⎟
B=
⎝
⎠, F = colon (f1, f2, . . . , fn).
an1
an2
ann-1
0
Введём матрицу Римана [11]
R = colon(R1,R2,...,Rn),
где Ri(x1, x2, . . . , xn, ξ1, ξ2, . . . , ξn) = (ri1, ri2, . . . , rin), i = 1, n, являются решениями систем
∫x1
ri1(x1,x2,... ,xn) = δi1 - (a21ri2 + a31ri3 + ... + an1rin)(α1,x2,... ,xn)dα1,
ξ1
∫x2
ri2(x1,x2,... ,xn) = δi2 - (a12ri1 + a32ri3 + ... + an2rin)(x1,α2,x3,... ,xn)dα2,
ξ2
∫x3
ri3(x1,x2,... ,xn) = δi3 - (a13ri1 + a23ri2 + ... + an3rin)(x1,x2,α3,x4,... ,xn)dα3, ...
ξ3
∫xn
...,
rin(x1,x2,... ,xn) = δin - (a14ri1 + a24ri2 + ... + an-1nrin-1)(x1,x2,... ,αn)dαn,
(5)
ξn
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№5
2023
644
МИРОНОВ, МИРОНОВА
а δij - символ Кронекера. Решения систем (5) при каждом i существуют и единственны в
классе непрерывных функций. По первым n аргументам (x1, x2, . . . , xn) матрица R удовле-
творяет сопряжённой к (4) системе
∑
L∗(V) = 0, L∗(V) ≡ - (AiV)xi - BU.
i=1
Из систем (5), в частности, следует, что выполняются тождества
{
1, j = i,
rij(x1,x2,... ,xn,ξ1,ξ2,... ,ξn)|xj=ξj ≡
(6)
0, j = i.
Справедливо равенство
∑
RL(U) = (RAiU)xi,
(7)
i=1
которое может быть проверено непосредственно.
Возьмём внутри области D произвольную точку P (ξ1, ξ2, . . . , ξn) и проведём через неё
плоскости, параллельные осям координат. Получим область DP , ограниченную плоскостями
Xi, i = 1,n - 1, xi = ξi, i = 1,n, а также плоскостью T : xn = x1. Плоскость xn = ξ1,
разбивает область DP на две части: D1 (отвечает условию xn > ξ1 и определяется неравен-
ствами 0 < x1 < ξ1,
0 < x2 < ξ2, ..., 0 < xn-1 < ξn-1, ξ1 < xn < ξn) и D2 (соответствует
условию xn < ξ1 и может быть задана двумя системами неравенств:
1) 0 < x1 < ξ1, 0<x2 <ξ2, ..., 0<xn-1 <ξn-1, x1 <xn <ξ1;
2) 0 < x1 < xn, 0<x2 <ξ2, 0 < x3 < ξ3, ..., 0 < xn < ξ1).
Обозначим пересечение замыкания области D1 с плоскостями Xi, i = 1, n - 1, через X1i,
с плоскостью xn = ξ1 - через E1, с плоскостями xi = ξi - через D1i, i = 1, n. Аналогично
обозначим пересечение замыкания области D2 с плоскостями Xi, i = 1, n - 1, через X2i, с
плоскостью xn = ξ1 - через E2, с плоскостью T - через S, с плоскостями xi = ξi - через
D2i, i = 2,n - 1.
Определим матрицу Римана-Адамара H(x1, x2, . . . , xn, ξ1, ξ2, . . . , ξn) = (hij ), i, j = 1, n,
задачи Дарбу:
{
R(x1, x2, . . . , xn, ξ1, ξ2, . . . , ξn), (x1, x2, . . . , xn) ∈ D1,
H(x1, x2, . . . , xn, ξ1, ξ2, . . . , ξn) =
Q(x1, x2, . . . , xn, ξ1, ξ2, . . . , ξn), (x1, x2, . . . , xn) ∈ D2.
Здесь Q = colon (Q1, Q2, . . . , Qn), где вектор-функции Qi = (qi1, qi2, . . . , qin) являются реше-
ниями задачи Дарбу в области D2 для сопряжённой системы
qi1x1 = -a21qi2 - a31qi3 - ... - an1qin, qi2x2 = -a12qi1 - a32qi3 - ... - an2qin,
...,
qinxn = -a1nqi1 - a2nqi2 - ... - an-1nqin-1
с условиями
(8)
qi1|xn=x1 = 0, qi2|x2=ξ2 = 0, ... , qin-1|xn-1=ξn-1 = 0, qin|xn=ξ1=rin|xn=ξ1.
Последнее условие в (8) можно записать в виде [hin]|xn=ξ1 = 0, где [hin]|xn=ξ1-скачокфунк-
ции hin на плоскости xn = ξ1.
Строка с номером i в тождестве (7) имеет вид
∑
∑
(rijuj )xj =
rijfj.
(9)
j=1
j=1
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№5
2023
К ЗАДАЧЕ ДАРБУ ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ
645
Проинтегрируем равенство (9) по области D1 :
∫∫
∫∫
ri1u1(ξ1,α2,... ,αn)dαn ... dα2 -
ri1u1(0,α2,... ,αn)dαn ... dα2
+
D11
X11
∫∫
+
ri2u2(α1,ξ2,α3,... ,αn)dαn ... dα3 dα1 -
D1
2
∫∫
-
ri2u2(α1,0,α3,... ,αn)dαn ... dα3 dα1 + ...
X1
2
∫∫
...+
rin-1un-1(α1,α2,... ,αn-2,ξn-1,αn)dαn dαn-2 ... dα2 dα1 -
D1
n-1
∫∫
-
rin-1un-1(α1,α2,... ,αn-2,0,αn)dαn dαn-2 ... dα2 dα1 +
X1
n-1
∫∫
+ rinun(α1,α2,... ,αn-1,ξn)dαn-1 ... dα2 dα1 -
D1n
∫∫
- rinun(α1,α2,... ,αn-1,ξ1)dαn-1 ... dα2 dα1 =
E1
∫∫
∑
=
(rij fj)(α1, α2, . . . , αn) dαn . . . dα2 dα1.
(10)
j=1
D1
Здесь у rij указаны только первые n аргументов, остальные везде (ξ1, ξ2, . . . , ξn).
В (10) интегралы по многообразиям D1j, согласно (6), обращаются в тождественный нуль,
если i = j; кроме того, в интеграле по D1i rii ≡ 1, i = 1, n.
Теперь проинтегрируем (9) по области D2 :
∫∫
∫∫
qi1u1(α1,α2,... ,αn-1,α1)dα1 dα2 ... dαn-1 -
qi1u1(0,α2,... ,αn)dαn ... dα3 dα2 +
S
X2
1
∫∫
+
qi2u2(α1,ξ2,α3,... ,αn)dαn ... dα3 dα1 -
D2
2
∫∫
-
qi2u2(α1,0,α3,... ,αn)dαn ... dα3 dα1 + ...
X2
2
∫∫
...+
qin-1un-1(α1,α2,... ,αn-2,ξn-1,αn)dαn dαn-2 ... dα2 dα1 -
D2
n-1
∫∫
-
qi3u3(α1,α2,... ,αn-2,0,αn)dαn dαn-2 ... dα2 dα1 +
X2
n-1
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№5
2023
646
МИРОНОВ, МИРОНОВА
∫∫
+ qinun(α1,α2,... ,αn-1,ξ1)dαn-1 ... dα2 dα1 -
E2
∫∫
- qinun(α1,α2,... ,αn-1,α1)dαn-1 ... dα2 dα1 =
S
∫∫
∑
=
(rij fj)(α1, α2, . . . , αn) dαn . . . dα2 dα1.
(11)
j=1
D2
В (11) тоже у qij указаны только первые n аргументов, остальные n аргументов везде
(ξ1, ξ2, . . . , ξn), и, согласно (8), интегралы по многообразиям D1j, j = 2, n - 1, обращаются
в тождественный нуль.
Складывая равенства (10) и (11) при i = 1, n, будем иметь
∫
ξ1
∫
ξ2
∫
∫
∫
∫
ξn
ui(α1,α2,... ,αi-1,ξi,αi+1,... ,αn-1,αn)dαn dαn-1 ...
0
0
0
0
0
ξ1
∫∫
∫∫
...dαi+1 dαi-1 ... dα2 dα1 =
hi1u1 dαn dαn-1 ... dα2 +
hi2u2 dαn ... dα3 dα1 + ...
X11+X2
1
X12+X2
2
∫∫
...+
hii-1ui-1 dαn ... dαi dαi-2 ... dα1 +
X1i-1+X2
i-1
∫∫
+
hii+1ui+1 dαn ... dαi+2 dαi ... dα1 +
X1i+1+X2
i+1
∫∫
∫∫
+
hin-1un-1 dαn dαn-2 ... dα2 dα1 +
hinun dαn-1 dαn-2 ... dα2 dα1 +
X1n-1+X2
S
n-1
∫∫
∑
+
hijfj dαn dαn-1 ... dα2 dα1, i = 1,n - 1,
(12)
j=1
D1+D2
ξ1
ξ2
∫
∫
∫
un(α1,α2,... ,αn-1,ξn)dαn-1 ... dα2 dα1 =
0
0
0
∫∫
∫∫
=
hn1u1 dαn dαn-1 ... dα2 +
hn2u2 dαn ... dα3 dα1 + ...
X11+X2
X12+X2
1
2
∫∫
∫∫
...+
hnn-1un-1 dαn dαn-2 ... dα2 dα1 +
hnnun dαn-1 dαn-2 ... dα2 dα1 +
X1n-1+X2
S
n-1
∫∫
∑
+
hnjfj dαn dαn-1 ... dα2 dα1.
(13)
j=1
D1+D2
Правые части формул (12), (13) считаем известными функциями, поскольку они выражаются
через элементы матрицы Римана-Адамара и данные задачи Дарбу.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№5
2023
К ЗАДАЧЕ ДАРБУ ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ
647
Продифференцировав (12) и (13), получим
∂n-1Fi(ξ1,ξ2,... ,ξn)
ui(ξ1,ξ2,... ,ξn) =
,
i = 1,n - 1,
∂ξ1∂ξ2 ... ∂ξi-1∂ξi+1 ... ∂ξn-1∂ξn
∂n-1Fn(ξ1,ξ2,... ,ξn)
un(ξ1,ξ2,... ,ξn) =
,
(14)
∂ξ1∂ξ2... ∂ξn-1
где Fk - соответствующие правые части формул (12), (13). Соотношения (14) представляют
собой решение задачи Дарбу (1), (2) в терминах матрицы Римана-Адамара H.
2. Пример. В качестве примера реализации описанного выше метода построения решения
задачи Дарбу рассмотрим гиперболическую систему четвёртого порядка
∑
∂ui
=
aij(x1,x2,x3,x4)uj + fi(x1,x2,x3,x4), i = 1,4.
(15)
∂x
i
j=1
Как и выше, считаем, что выполняются условия aii ≡ 0, i = 1, 4.
Задача Дарбу для системы четвёртого порядка. В области D найти регулярное
решение системы (15), удовлетворяющее граничным условиям
ui|Xi = ϕi, i = 1,3, u4|T = ψ,
(16)
ϕi ∈ C(Xi), ψ ∈ C(T ),
где функции ϕi зависят от всех независимых переменных, кроме xi, а ψ = ψ(x1, x2, x3).
Считаем, что все условия гладкости, указанные для задачи (1), (2), выполняются. Из сфор-
мулированной выше теоремы вытекает, что решение задачи Дарбу для системы четвёртого
порядка существует и единственно.
Запишем (15) в векторно-матричной форме:
∑
L(U) = F, L(U) ≡ AiUxi - BU, U = colon (u1, u2, u3, u4),
(17)
i=1
⎞
⎞
⎞
⎞
⎛1
0
0
0
⎛0
0
0
0
⎛0
0
0
0
⎛0
0
0
0
⎜0
0
0
0⎟
⎜0
1
0
0⎟
⎜0
0
0
0⎟
⎜0
0
0
0⎟
A1 =
⎝
⎠, A2 =
⎝
⎠, A3 =
⎝
⎠, A4 =
⎝
⎠,
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
⎛
⎞
0
a12
a13
a14
⎜a21
0
a23
a24⎟
B=
⎝
⎠, F = colon (f1, f2, f3, f4).
a31
a32
0
a34
a41
a42
a43
0
Матрица Римана в данном случае имеет вид
R = colon(R1,R2,R3,R4),
где Ri(x1, x2, x3, x4, ξ1, ξ2, ξ3, ξ4) = (ri1, ri2, ri3, ri4), i = 1, 4, являются решениями систем
∫x1
ri1(x1,x2,x3,x4) = δi1 - (a21ri2 + a31ri3 + a41ri4)(α1,x2,x3,x4)dα1,
ξ1
∫x2
ri2(x1,x2,x3,x4) = δi2 - (a12ri1 + a32ri3 + a42ri4)(x1,α2,x3,x4)dα2,
ξ2
6
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№5
2023
648
МИРОНОВ, МИРОНОВА
∫x3
ri3(x1,x2,x3,x4) = δi3 - (a13ri1 + a23ri2 + a43ri4)(x1,x2,α3,x4)dα3,
ξ3
∫x4
ri4(x1,x2,x3,x4) = δi4 - (a14ri1 + a24ri2 + a34ri3)(x1,x2,x3,α4)dα4,
(18)
ξ4
δij - символ Кронекера. Решения систем (18) при каждом i существуют и единственны в
классе непрерывных функций. По первым четырём аргументам (x1, x2, x3, x4) матрица R
удовлетворяет сопряжённой к (17) системе
∑
L∗(V) = 0, L∗(V) ≡ - (AiV)xi - BU.
i=1
Из систем (18) следует выполнение тождеств
{
1, j = i,
rij(x1,x2,x3,x4,ξ1,ξ2,ξ3,ξ4)|xj=ξj ≡
(19)
0, j = i.
Условие (7) принимает вид
RL(U) = (RA1U)x1 + (RA2U)x2 + (RA3U)x3 + (RA4U)x4.
(20)
Перейдём к построению решения задачи Дарбу для системы четвёртого порядка. Возьмём
внутри области D произвольную точку P (ξ1, ξ2, ξ3, ξ4). Проведём через неё плоскости, па-
раллельные осям координат. Получаем область DP , ограниченную плоскостями Xi, i = 1, 3,
xi = ξi, i = 1,4, а также плоскостью T. Плоскость x4 = ξ1 разбивает область DP на две
части: D1 (отвечает условию x4 > ξ1 и определяется неравенствами 0 < x1 < ξ1, 0 < x2 < ξ2,
0 < x3 < ξ3, ξ1 < x4 < ξ4) и D2 (соответствует условию x4 < ξ1 и может быть задана двумя
системами неравенств:
1) 0 < x1 < ξ1, 0<x2 <ξ2, 0<x3 <ξ3, x1 <x4 <ξ1;
2) 0 < x1 < x4, 0<x2 <ξ2, 0<x3 <ξ3, 0 < x4 < ξ1).
Обозначим пересечение замыкания области D1 с плоскостями Xi, i = 1, 3, через X1i, с
плоскостью x4 = ξ1 - через E1, с плоскостями xi = ξi - через D1i, i = 1, 4. Аналогично
обозначим пересечение замыкания области D2 с плоскостями Xi, i = 1, 3, через X2i, с
плоскостью x4 = ξ1 - через E2, с плоскостью T - через S, с плоскостями xi = ξi - через D2i,
i = 2,3.
Матрица Римана-Адамара задачи Дарбу имеет вид
H(x1, x2, x3, x4, ξ1, ξ2, ξ3, ξ4) = (hij ), i, j = 1, 4,
при этом
{
R(x1, x2, x3, x4, ξ1, ξ2, ξ3, ξ4), (x1, x2, x3, x4) ∈ D1,
H(x1, x2, x3, x4, ξ1, ξ2, ξ3, ξ4) =
(21)
Q(x1, x2, x3, x4, ξ1, ξ2, ξ3, ξ4), (x1, x2, x3, x4) ∈ D2.
Здесь Q = colon (Q1, Q2, Q3, Q4), где вектор-функции Qi = (qi1, qi2, qi3, qi4) являются реше-
ниями задачи Дарбу в D2 для сопряжённой системы
qi1x1 = -a21qi2 - a31qi3 - a41qi4, qi2x2 = -a12qi1 - a32qi3 - a42qi4,
qi3x3 = -a13qi1 - a23qi2 - a43qi4, qi4x4 = -a14qi1 - a24qi2 - a34qi3
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№5
2023
К ЗАДАЧЕ ДАРБУ ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ
649
с условиями
qi1|x4=x1 = 0, qi2|x2=ξ2 = 0, qi3|x3=ξ3 = 0, qi4|x4=ξ1 = ri4|x4=ξ1 .
(22)
Последнее условие в (22) можно записать в виде [hi4]|x4=ξ1 = 0, где [hi4]|x4=ξ1 - скачок функ-
ции hi4 на плоскости x4 = ξ1.
Строка с номером i в (20) имеет вид
(ri1u1)x1 + (ri2u2)x2 + (ri3u3)x3 + (ri4u4)x4 = ri1f1 + ri2f2 + ri3f3 + ri4f4.
(23)
Проинтегрируем тождество (23) по области D1 :
∫∫
∫∫
ri1u1(ξ1,α2,α3,α4)dα4 dα3 dα2 -
ri1u1(0,α2,α3,α4)dα4 dα3 dα2 +
D11
X11
∫∫
∫∫
+
ri2u2(α1,ξ2,α3,α4)dα4 dα3 dα1 -
ri2u2(α1,0,α3,α4)dα4 dα3 dα1 +
D1
X1
2
2
∫∫
∫∫
+
ri3u3(α1,α2,ξ3,α4)dα4 dα2 dα1 -
ri3u3(α1,α2,0,α4)dα4 dα2 dα1 +
D1
3
X1
3
∫∫
∫∫
+
ri4u4(α1,α2,α3,ξ4)dα3 dα2 dα1 -
ri4u4(α1,α2,α3,ξ1)dα3 dα2 dα1 =
1
D1
E
4
∫∫
= (ri1f1 + ri2f2 + ri3f3 + ri4f4)(α1, α2, α3, α4) dα4 dα3 dα2 dα1.
(24)
D1
Здесь у rij указаны только первые четыре аргумента, остальные четыре аргумента везде
(ξ1, ξ2, ξ3, ξ4). В (24), согласно (19), первые слагаемые в каждой строке обращаются в тожде-
ственный нуль, если i = j; если же i = j, то rij ≡ 1.
Теперь проинтегрируем (23) по области D2 :
∫∫
∫∫
qi1u1(α1,α2,α3,α1)dα1 dα2 dα3 -
qi1u1(0,α2,α3,α4)dα4 dα3 dα2 +
S
X2
1
∫∫
∫∫
+
qi2u2(α1,ξ2,α3,α4)dα4 dα3 dα1 -
qi2u2(α1,0,α3,α4)dα4 dα3 dα1 +
D2
2
X2
2
∫∫
∫∫
+
qi3u3(α1,α2,ξ3,α4)dα4 dα2 dα1 -
qi3u3(α1,α2,0,α4)dα4 dα2 dα1 +
D2
X2
3
3
∫∫
∫∫
+ qi4u4(α1,α2,α3,ξ1)dα3 dα2 dα1 -
qi4u4(α1,α2,α3,α1)dα3 dα2 dα1 =
E2
S
∫∫
= (qi1f1 + qi2f2 + qi3f3 + qi4f4)(α1, α2, α3, α4) dα4 dα3 dα2 dα1.
(25)
D2
Здесь снова у qij указаны только первые четыре аргумента, остальные четыре аргумента везде
(ξ1, ξ2, ξ3, ξ4). В (25), согласно (22), первые слагаемые в первых трёх строках обращаются в
тождественный нуль.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№5
2023
6∗
650
МИРОНОВ, МИРОНОВА
Складывая (24) и (25) при i = 1, 4, получаем
ξ2
ξ3
ξ4
∫
∫
∫
∫∫
∫∫
u1(ξ1,α2,α3,α4)dα4 dα3 dα2 =
h11u1 dα4 dα3 dα2 +
h12u2 dα4 dα3 dα1
+
0
0
ξ1
X11+X2
X12+X2
1
2
∫∫
∫∫
∫∫
∑
+
h13u3 dα4 dα2 dα1 +
h14u4 dα3 dα2 dα1 +
h1ifi dα4 dα3 dα2 dα1,
(26)
i=1
X13+X2
S
D1+D2
3
ξ1
ξ3
ξ4
∫
∫
∫
∫∫
∫∫
u2(α1,ξ2,α3,α4)dα4 dα3 dα1 =
h21u1 dα4 dα3 dα2 +
h22u2 dα4 dα3 dα1
+
0
0
ξ1
X11+X2
X12+X2
1
2
∫∫
∫∫
∫∫
∑
+
h23u3 dα4 dα2 dα1 +
h24u4 dα3 dα2 dα1 +
h1ifi dα4 dα3 dα2 dα1,
(27)
i=1
X13+X2
S
D1+D2
3
ξ1
ξ2
ξ4
∫
∫
∫
∫∫
∫∫
u3(α1,α2,ξ3,α4)dα4 dα2 dα1 =
h31u1 dα4 dα3 dα2 +
h32u2 dα4 dα3 dα1
+
0
0
ξ1
X11+X2
X12+X2
1
2
∫∫
∫∫
∫∫
∑
+
h33u3 dα4 dα2 dα1 +
h34u4 dα3 dα2 dα1 +
h1ifi dα4 dα3 dα2 dα1,
(28)
i=1
X13+X2
S
D1+D2
3
∫
ξ1
∫
ξ2
∫
ξ3
∫∫
∫∫
u4(α1,α2,α3,ξ4)dα3 dα2 dα1 =
h41u1 dα4 dα3 dα2 +
h42u2 dα4 dα3 dα1
+
0
0
0
X11+X2
X12+X2
1
2
∫∫
∫∫
∫∫
∑
+
h43u3 dα4 dα2 dα1 +
h44u4 dα3 dα2 dα1 +
h1ifi dα4 dα3 dα2 dα1.
(29)
i=1
X13+X2
S
D1+D2
3
Правые части равенств (26)-(29), которые обозначим через Fk, k = 1, 4, известны, поскольку
выражаются через элементы матрицы Римана-Адамара и данные задачи Дарбу.
Продифференцировав (26)-(29), получим
∂3F1(ξ1,ξ2,ξ3,ξ4)
∂3F2(ξ1,ξ2,ξ3,ξ4)
u1(ξ1,ξ2,ξ3,ξ4) =
,
u2(ξ1,ξ2,ξ3,ξ4) =
,
∂ξ2∂ξ3∂ξ4
∂ξ1∂ξ3∂ξ4
∂3F3(ξ1,ξ2,ξ3,ξ4)
∂3F4(ξ1,ξ2,ξ3,ξ4)
u3(ξ1,ξ2,ξ3,ξ4) =
,
u4(ξ1,ξ2,ξ3,ξ4) =
(30)
∂ξ1∂ξ2∂ξ4
∂ξ1∂ξ2∂ξ3
Это решение задачи Дарбу (15), (16) в терминах матрицы Римана-Адамара (21).
Работа выполнена за счёт средств Программы стратегического академического лидерства
Казанского (Приволжского) федерального университета.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№5
2023
К ЗАДАЧЕ ДАРБУ ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ
651
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных. М., 1981.
2. Моисеев Е.И. Уравнения смешанного типа со спектральным параметром. М., 1988.
3. Сабитов К.Б., Шарафутдинова Г.Г. Задачи Коши-Гурса для вырождающегося гиперболического
уравнения // Изв. вузов. Математика. 2003. № 5. С. 21-29.
4. Джохадзе О.М., Харибегашвили С.С. Некоторые свойства функций Римана и Римана-Адамара для
линейных гиперболических уравнений второго порядка и их приложения // Дифференц. уравнения.
2011. Т. 47. № 4. С. 477-492.
5. Миронов А.Н. Задача Дарбу для уравнения Бианки третьего порядка // Мат. заметки. 2017. Т. 102.
Вып. 1. С. 64-71.
6. Миронов А.Н. Задача Дарбу для уравнения Бианки четвёртого порядка // Дифференц. уравнения.
2021. Т. 57. № 3. С. 349-363.
7. Бицадзе А.В. О структурных свойствах решений гиперболических систем уравнений с частными
производными // Мат. моделирование. 1994. Т. 6. № 6. С. 22-31.
8. Чекмарев Т.В. Формулы решения задачи Гурса для одной линейной системы уравнений с частными
производными // Дифференц. уравнения. 1982. Т. 18. № 9. С. 1614-1622.
9. Mironova L.B. Boundary-value problems with data on characteristics for hyperbolic systems of equations
// Lobachevskii J. of Math. 2020. V. 41. № 3. P. 400-406.
10. Миронов А.Н., Миронова Л.Б. Метод Римана-Адамара для одной системы в трёхмерном простран-
стве // Дифференц. уравнения. 2021. Т. 57. № 8. С. 1063-1070.
11. Миронова Л.Б. О методе Римана в Rn для одной системы с кратными характеристиками // Изв.
вузов. Математика. 2006. № 1. С. 34-39.
Самарский государственный
Поступила в редакцию 02.02.2023 г.
технический университет,
После доработки 02.02.2023 г.
Елабужский институт (филиал)
Принята к публикации 16.03.2023 г.
Казанского (Приволжского)
федерального университета
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№5
2023