ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2023, том 59, № 5, с.652-657

УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

УДК 517.954

О ВЛИЯНИИ НЕРЕГУЛЯРНОСТИ ГРАНИЦЫ ОБЛАСТИ

НА РЕШЕНИЕ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ

ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА

Рассмотрена неоднородная краевая задача со смешанными краевыми условиями для урав-

нения Лапласа в области, представляющей такое возмущение Π_γ прямоугольника Π, при

котором одна из его сторон заменена некоторой кривой γ минимальной гладкости. Полу-

чена оценка разности решений возмущённой и невозмущённой задач в норме пространства

Соболева H¹ на общей области их определения.

DOI: 10.31857/S0374064123050096, EDN: CYGMPB

Введение. В гидродинамике идеальной жидкости со свободной поверхностью возникает

необходимость решения задачи Дирихле-Неймана для уравнения Лапласа, которая состоит в

нахождении гармонической функции u(x, y) в плоской области, ограниченной горизонталь-

ным отрезком {y = h,

0 ≤ x ≤ 2π}, двумя вертикальными отрезками {x = 0,

-h ≤ y ≤ h}

и {x = 2π,

-h ≤ y ≤ h} и кривой γ, соединяющей точки x = 0, y = -h и x = 2π, y =

= -h, и моделирующей неровности дна. При этом u(x,y) является 2π-периодической функ-

цией по переменной x, удовлетворяет условию Дирихле с заданной граничной функцией на

{(x, h) : x ∈ (0, 2π)} и однородному условию Неймана на γ. Такие задачи часто возникают при

моделировании волн цунами и “волн-убийц” [1, 2]. Как правило, их решение не имеет теорети-

ческих и вычислительных трудностей, но важным остаётся вопрос о влиянии нерегулярности

дна на динамику поверхностных волн. В реальных ситуациях морское дно представляет собой

весьма нерегулярную поверхность, что в нашей модели отражено отсутствием предположений

о гладкости кривой γ. Естественным образом возникает задача анализа зависимости решения

(функции u(x, y)) от γ.

Рассматриваются обобщённые решения из пространства Соболева H¹ задач в прямоуголь-

нике и в возмущённой области. Эти решения существуют и единственны, для них приводится

вариационное свойство, позволяющее оценить разность этих решений по норме пространства

H¹ на общей области их определения корнем квадратным из максимальной высоты “неровно-

стей дна”. Стоит отметить, что подход, основанный на вариационных свойствах собственных

функций и собственных значений (minimax principle), играет фундаментальную роль в вопро-

сах спектральной устойчивости при возмущении области краевых задач для эллиптических

дифференциальных и функционально-дифференциальных уравнений (см., например, [3-7]).

Зафиксировав h > 0, рассмотрим следующую периодическую по x краевую задачу для

уравнения Лапласа в прямоугольнике Π_-h = (0, 2π) × (-h, h):

Δu(x, y) = 0, (x, y) ∈ Π_-h,

(1)

u|y=h = ϕ(x), x ∈ (0, 2π),

(2)

u|x=0 = u|x=2π, u_x|x=0 = u_x|x=2π, y ∈ (-h, h),

(3)

u_y|y=-h = 0, x ∈ (0,2π).

(4)

Её формальное решение u = u_-h, найденное методом разделения переменных, имеет вид

∑

ch (k(y + h))

u_-h(x,y) = ϕ₀ +

(ϕk,1 cos(kx) + ϕk,2 sin(kx)),

(5)

ch (2kh)

k=1

652

О ВЛИЯНИИ НЕРЕГУЛЯРНОСТИ ГРАНИЦЫ

653

где числа ϕ₀, ϕk,1, ϕk,2 - коэффициенты Фурье функции ϕ(x) по тригонометрической сис-

теме

∫

2π

∫

2π

∫

2π

ϕ₀ =

ϕ(x) dx, ϕk,1 =

ϕ(x) cos kx dx, ϕk,2 =

ϕ(x) sin(kx) dx, k ∈ N.

2π

Все функции и используемые функциональные пространства вещественные. Необходимым

и достаточным условием сходимости ряда (5) в пространстве Соболева H¹(Π_-h) является

сходимость числового ряда:

∑

k(ϕ2k,1 + ϕ2k,2) < ∞.

(6)

k=1

Последнее условие эквивалентно принадлежности граничной функции ϕ(x) следовому прост-

ранству H1/2(S¹) на окружности S¹. Этот факт элементарно проверяется и хорошо известен.

Будем предполагать, что условие (6) выполнено, тогда функция u_-h(x, y), заданная форму-

лой (5), принадлежит пространству H¹(Π_-h), удовлетворяет в смысле следов условию (2) и

первому из условий (3), а также оценке

∥u_-h∥_H1(Π-h) ≤ c∥ϕ∥H1/2 (S1)

с положительной постоянной c, зависящей лишь от h.

1. Обобщённые решения возмущённой и невозмущённой задач. Для того чтобы

сформулировать понятие обобщённого решения краевой задачи (1)-(4), введём в H¹(Π_-h)

замкнутое подпространство

H¹(Π_-h) = {v ∈ H¹(Π_-h) : v|y=h = 0, v|x=0 = v|x=2π}

со скалярным произведением

∫∫

∇v₁∇v₂ dxdy,

(v₁, v₂)̃H1(Π_-h)⁼

Π_-h

эквивалентным стандартному скалярному произведению в H¹(Π_-h).

Формально умножив уравнение (1) на произвольную функцию v из пространстваH1(Π_-h),

проинтегрировав по области Π_-h и воспользовавшись формулой Остроградского, получим

∫∫

∇u∇v dx dy = 0,

(7)

Π_-h

поскольку

∫

2π

∫

2π

∫

∂u

v dS = u_y(x, h)v(x, h) dx - u_y(x, -h)v(x, -h) dx + u_x(2π, y)v(2π, y) dy -

∂n

∂Π_-h

-h

∫h

- u_x(0,y)v(0,y)dy = 0.

-h

Действительно, первый интеграл в средней части обращается в нуль за счёт условия v|y=h = 0,

второй - в силу (4), а для третьего и четвёртого интегралов, используя второе из условий (3),

будем иметь

∫

u_x(2π,y)v(2π,y)dy - u_x(0,y)v(0,y)dy = u_x(2π,y)(v(2π,y) - v(0,y))dy = 0,

-h

так как v|x=0 = v|x=2π.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№5

2023

654

РОССОВСКИЙ, ШАМИН

Назовём функцию u ∈ H¹(Π_-h) обобщённым решением задачи (1)-(4), если она удовле-

творяет условию (2) и первому из условий (3) в смысле следов функций из H¹(Π_-h), и для

всякой функции v ∈H1(Π_-h) выполняется интегральное тождество (7). Легко проверить, что

функция u_-h, заданная рядом (5), является обобщённым решением задачи (1)-(4).

Для последующих рассуждений удобно сделать все краевые условия однородными. Опре-

делим срезающую функцию η(y) ∈ C^∞(-∞, h]:

{

1, h/2 < y < h,

η(y) =

0, y < 0,

и положим Φ(x, y) = η(y)u_-h(x, y). Имеем Φ ∈ H¹(Π_-h), Φ|y=h = ϕ и Φ|x=0 = Φ|x=2π,

причём Φ = 0 при y < 0. Понятно, что функция u является обобщённым решением задачи

(1)-(4) тогда и только тогда, когда функция w = u - Φ принадлежит пространству

H¹(Π_-h)

и удовлетворяет интегральному тождеству

∫∫

∇Φ∇v dxdy, v ∈H1(Π_-h),

(8)

(w, v)̃H1 (Π_-h)=-

Π₀

где Π₀ = (0, 2π) × (0, h). Поскольку правая часть равенства (8) является по v непрерывным

линейным функционалом на пространстве

H¹(Π_-h), существование и единственность обоб-

щённого решения w = w_-h краевой задачи с однородными краевыми условиями очевидным

образом следуют из теоремы Рисса. При этом на функции w_-h ∈H1(Π_-h) функционал

 ∫∫



∇Φ∇v dxdy



∥v∥̃H1(Π_-h)

Π₀

достигает своего максимума на пространстве

H¹(Π_-h). Действительно,

∫∫

∥w_-h∥2̃

∇Φ∇w_-h dxdy

H¹(Π_-h)

Π₀

в силу (8). Поэтому справедливы равенства

∫∫



 ∫∫



∇Φ∇w_-h dxdy

∥w_-h∥_̃

= sup



∇Φ∇v dxdy



⁼

H¹(Π_-h)



^.

∥w_-h∥̃H1(Π_-h)

v∈H1(Π_-h) ∥v∥ H1(Π_-h)

Π₀

В то же время, конечно, w_-h = (1 - η)u_-h, где u_-h - функция, определяемая по формуле (5).

Наряду с исходным прямоугольником Π_-h, будем рассматривать также “возмущённый

прямоугольник” Π_γ, удовлетворяющий следующим требованиям: граница Π_γ состоит из гори-

зонтального отрезка {y = h, 0 ≤ x ≤ 2π}, двух вертикальных отрезков {x = 0, -h ≤ y ≤ h}

и {x = 2π,

-h ≤ y ≤ h} и некоторой кривой γ, соединяющей точки x = 0, y = -h и

x = 2π, y = -h. При этом Π_γ является областью (т.е. связным множеством) и, кроме того,

γ целиком содержится в прямоугольнике [0, 2π] × [-h, -κh] для некоторого числа κ ∈ (0, 1),

так что Π_-κh ⊂ Π_γ ⊂ Π_-h, где Π_-κh = (0, 2π) × (-κh, h).

Гильбертовы пространства

H¹(Π_γ),

H¹(Π_-κh) вводятся аналогично

H¹(Π_-h), например,

H¹(Π_γ) = {v ∈ H¹(Π_γ) : v|y=h = 0, v|x=0 = v|x=2π}.

Для того чтобы интеграл

∫∫

∇v₁∇v₂ dxdy

(v₁, v₂)̃H1(Πγ

)

Πγ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№5

2023

О ВЛИЯНИИ НЕРЕГУЛЯРНОСТИ ГРАНИЦЫ

655

задавал в

H¹(Π_γ) эквивалентное скалярное произведение, потребуем выполнения для функ-

ций из H¹(Π_γ ), имеющих нулевой след при y = h, неравенства Фридрихса, что связано (в

отличие от пространства

H¹(Π_γ)) с существованием непрерывного оператора продолжения

из H¹(Π_γ) в H¹(R²). Построение такого оператора возможно, если граница ∂Π удовлетво-

ряет условиям минимальной гладкости. Точная формулировка приведена в книге [8, с. 224],

но обычно просто пишут ∂Π_γ ∈ Lip 1.

Имеют место естественные непрерывные вложения

H¹(Π_-h) ⊂

H¹(Π_γ) ⊂

H¹(Π_-κh) (с

нормами, не превосходящими единицы).

При неизменной граничной функции ϕ нас будет интересовать решение задачи, аналогич-

ной (1)-(4) в области Π_γ :

Δu(x, y) = 0, (x, y) ∈ Π_γ ,

(9)

u|y=h = ϕ(x), x ∈ (0, 2π),

(10)

u|x=0 = u|x=2π, u_x|x=0 = u_x|x=2π, y ∈ (-h, h),

(11)

(∂u/∂n)|_γ = 0.

(12)

Под обобщённым решением краевой задачи (9)-(12) мы понимаем функцию u ∈ H¹(Π_γ),

удовлетворяющую в смысле следа условию (10) и первому из условий (11), и обращающую

∫∫

в нуль интегралΠγ ∇u∇v dx dy при любой функции v ∈H1(Π_γ ). Тогда легко видеть, что

обобщённое решение u = u_γ задачи (9)-(12) существует и единственно и может быть пред-

ставлено в виде u_γ = w_γ + Φ, где функция Φ та же, что и раньше, а функция w_γ ∈H1(Π_γ )

однозначно определяется из интегрального тождества

∫∫

(w, v)_̃

∇Φ∇v dxdy, v ∈H1(Π_γ).

(13)

H¹(Πγ)

Π₀

При этом функционал

 ∫∫



∇Φ∇v dxdy



∥v∥_̃

H¹(Πγ)

Π₀

принимает на функции w_γ наибольшее значение, равное ∥w_γ ∥̃H1(Πγ ).Отметим,чтоинтегралы

в (8) и (13) берутся по одному и тому же прямоугольнику Π₀, независимо от того, в какой

области определяется решение.

2. Сравнение решений. Основная цель работы - сравнить u_γ и u_-h на общей области

определения Π_γ . Положим l = (1 - κ)h (можно сказать, что l - это максимальная высота

“неровностей дна”).

Теорема. Справедлива оценка

(

)1/2

(14)

∥u_γ - u_-h∥_H1(Πγ ) ≤ c∥ϕ∥H1/2 (S1)_h-l

где постоянная c > 0 зависит только от h.

Доказательство. Учтём, что разность u_γ -u_-h совпадает с w_γ -w_-h, поэтому достаточно

оценить функцию w_γ -w_-h по норме пространства

H¹(Π_γ). Для краткости будем обозначать

(·,·)_γ

= (·,·)_̃

∥·∥_γ

= ∥·∥_̃

(и аналогично с заменой γ на -h или на -κh).

H¹(Πγ)

Опираясь на определение функций w_-h и w_γ , т.е. на интегральные тождества (8) и (13),

будем иметь

∥w_γ - w_-h∥2γ = ∥w_γ ∥2γ + ∥w_-h∥2γ - 2(w_γ , w_-h)_γ ≤ ∥w_γ ∥2γ + ∥w_-h∥2-h - 2(w_γ , w_-h)_γ =

∫∫

= ∥w_γ ∥2γ -

∇Φ∇w_-h dxdy + 2

∇Φ∇w_-h dxdy =

Π₀

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№5

2023

656

РОССОВСКИЙ, ШАМИН

∫∫

= ∥w_γ ∥2γ +

∇Φ∇w_-h dxdy = ∥w_γ∥2γ - ∥w_-h∥2-h.

(15)

Π₀

Здесь мы воспользовались тем, что сужение w_-h на Π_γ можно подставлять в качестве проб-

ной функции v в интегральное тождество (13), обеспечивая равенство

∫∫

(w_γ, w_-h)_γ = -

∇Φ∇w_-h dxdy.

Π₀

Заметим, что из соотношения (15) вытекает, в частности, монотонность нормы решения по

области: ∥w_-h∥_-h ≤ ∥w_γ ∥_γ. По той же причине ∥w_γ ∥_γ ≤ ∥w_-κh∥_-κh, где w_-κh ∈H1(Π_-κh) -

решение соответствующей задачи в Π_-κh, так что

∥w_γ - w_-h∥2γ ≤ ∥w_γ ∥2γ - ∥w_-h∥2-h ≤ ∥w_-κh∥2-κh - ∥w_-h∥2-h.

(16)

По функции w_-κh ∈H1(Π_-κh) определим функцию g(x, y) в Π_-h формулой

{

w_-κh(x,y),

0 < y < h,

g(x, y) =

w_-κh(x,κy),

-h < y < 0.

Нетрудно убедиться в том, что g ∈H1(Π_-h), при этом имеют место соотношения

∫∫

∥g∥2-h = ∥w_-κh∥²⁰ +

((w_-κh)2x(x, κy) + κ²(w_-κh)2y(x, κy))dx dy =

Π_-h\Π₀

∫∫

= ∥w_-κh∥²⁰ +

(κ-1(w_-κh)2x + κ(w_-κh)2y)dx dy ≤

Π_-κh\Π₀

∫∫

≤ ∥w_-κh∥²⁰ + κ-1

|∇w_-κh|² dx dy ≤ κ-1∥w_-κh∥2-κh,

Π_-κh\Π₀

так что

∫∫



∫∫



∇Φ∇g dxdy

κ1/2

∇Φ∇w_-κh dxdy

κ1/2∥w_-κh∥_-κh.



≥



⁼

∥g∥_-h

∥w_-κh∥_-κh

Π₀

Отсюда следует, что

 ∫∫



∥w_-h∥_-h = sup

∇Φ∇v dxdy

κ1/2∥w_-κh∥_-κh.



≥

∥v∥_-h

v∈H1(Π_-h)

Π₀

Используя это неравенство в (16), будем иметь

∥w_γ - w_-h∥2γ ≤ (κ-1 - 1)∥w_-h∥2-h.

Если вспомнить что w_-h = (1 - η)u_-h и перейти к обозначению l, то полученную оценку

можно записать в виде

(

)1/2

∥w_γ - w_-h∥_γ ≤

∥(1 - η)u_-h∥_-h

h-l

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№5

2023

О ВЛИЯНИИ НЕРЕГУЛЯРНОСТИ ГРАНИЦЫ

657

или, окончательно,

(

)1/2

∥u_γ - u_-h∥_H1(Πγ ) ≤ c(h)∥ϕ∥H1/2 (S1)_h-l

Теорема доказана.

Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства науки и высшего образования

Российской Федерации в рамках государственного задания (проект FSSF-2023-0016).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Лаврентьев М.А. Конформные отображения с приложениями к некоторыми вопросам механики.

М., 1946.

2. Шамин Р.В. Динамика идеальной жидкости со свободной поверхностью в конформных переменных

// Соврем. математика. Фунд. направления. 2008. Т. 28. С. 3-144.

3. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. Т. 1. М.; Л., 1953.

4. Babuška I., Výborný R. Continuous dependence of the eigenvalues on the domain // Czechoslovak

Math. J. 1965. V. 15. P. 169-178.

5. Arrieta J.M., Hale J.K., Qing Han. Eigenvalue problems for nonsmoothly perturbed domains // J. Differ.

Equat. 1991. V. 91. P. 24-52.

6. Burenkov V.I., Davies E.B. Spectral stability of the Neumann laplacian // J. Differ. Equat. 2002. V. 186.

P. 485-508.

7. Россовский Л.Е. О спектральной устойчивости функционально-дифференциальных уравнений

// Мат. заметки. 2011. Т. 90. № 6. С. 885-901.

8. Стейн И.М. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций. М., 1973.

Российский университет дружбы народов,

Поступила в редакцию 02.03.2023 г.

г. Москва,

После доработки 02.03.2023 г.

МИРЭА - Российский технологический

Принята к публикации 18.04.2023 г.

университет, г. Москва

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№5

2023