ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2023, том 59, № 5, с.658-674

УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

УДК 517.958

О СУЩЕСТВОВАНИИ РЕШЕНИЙ

НЕЛИНЕЙНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

ДЛЯ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

РАВНОВЕСИЯ ОБОЛОЧЕК ТИПА ТИМОШЕНКО

В ИЗОМЕТРИЧЕСКИХ КООРДИНАТАХ

Доказывается существование решений краевой задачи для системы пяти нелинейных диф-

ференциальных уравнений с частными производными второго порядка при заданных нели-

нейных граничных условиях, описывающей состояние равновесия упругих пологих неод-

нородных изотропных оболочек с незакреплёнными краями в рамках сдвиговой модели

Тимошенко, отнесённых к изометрическим координатам. Краевая задача сводится к нели-

нейному операторному уравнению относительно обобщённых перемещений в соболевском

пространстве, разрешимость которого устанавливается с использованием принципа сжа-

тых отображений.

DOI: 10.31857/S0374064123050102, EDN: CYVKAG

1. Постановка задачи. В плоской односвязной ограниченной области Ω рассматривается

система нелинейных дифференциальных уравнений вида

(DT^jλ)_αλ + DG^jλμT^λμ + DR^j = 0, j = 1, 2,

(DT^λμw3αμ )_αλ + (DTλ3)_αλ + DB_λμT^λμ + DR³ = 0,

(DM^jλ)_αλ - DTj3 + DG^jλμM^λμ + DL^j = 0, j = 1, 2,

(1)

при выполнении на границе Γ области Ω условий

D(Tj1 dα²/ds - Tj2 dα¹/ds) = P^j(s), j = 1, 2,

D(T¹³ dα²/ds - T²³ dα¹/ds + T1λw3αλ dα²/ds - T2λw3αλ dα¹/ds) = P³(s),

D(Mj1 dα²/ds - Mj2 dα¹/ds) = N^j (s), j = 1, 2.

(2)

В (1), (2) и ниже используются следующие обозначения:

T^ij ≡ T^ij(γ) = Dijknλ-1γλ-1kn, M^ij ≡ M^ij(γ) = D^ijknλγλ-1kn,

γ = (γ⁰,γ¹), γ^k = (γk11,γk12,γk13,γk22,γk23,γk33), k = 0,1;

∫

D^ijknm = D^ijknm(α¹,α²) =

B^ijkn(α¹,α²,α³)(α³)^m dα³, m = 0,2, i,j,k,n = 1,2,3;

-h₀/2

νE

Eκ

B¹¹¹¹ = B²²²² =

B¹¹²² =

B¹²¹² =

B¹³¹³ = B²³²³ =

;

1-ν²

2(1 + ν)

γ0jj = w_jαj - G^λjjw_λ - B_jjw₃ + w23αj /2, j = 1,2,

γ⁰¹² = w1α2 + w2α1 - 2Gλ12w_λ - 2B₁₂w₃ + w3α1 w3α2 , γ1jj = ψ_jαj - G^λjjψ_λ, j = 1,2,

γ¹¹² = ψ1α2 + ψ2α1 - 2Gλ12ψ_λ, γ0j3 = w3αj + ψ_j, j = 1,2, γ⁰³³ = γ1k3 ≡ 0, k = 1,2,3;

(3)

658

О СУЩЕСТВОВАНИИ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

659

остальные B^ijkn равны нулю, α^j = α^j (s), j = 1, 2, - уравнения кривой Γ, s - длина дуги Γ;

нижний индекс α^λ в (1)-(3) и далее означает дифференцирование по α^λ, λ = 1, 2.

Если выражения T^ij, M^ij из (3) подставить в систему (1), то относительно функций w₁,

w₂, w₃, ψ₁, ψ₂ получим систему пяти дифференциальных уравнений с частными производ-

ными второго порядка, линейных относительно w₁, w₂, ψ₁, ψ₂ и нелинейных относительно

w₃. Совместно с граничными условиями (2) система (1) описывает состояние равновесия упру-

гой пологой изотропной неоднородной оболочки с незакреплёнными краями в рамках сдвиго-

вой модели Тимошенко [1, с. 168-170, 269], отнесённой к криволинейной системе координат.

При этом T^ij - усилия, M^ij - моменты; γ^kij, i, j = 1, 2, 3, k = 0, 1, - компоненты дефор-

маций срединной поверхности S₀ оболочки гомеоморфной области Ω; w_j, j = 1, 2, и w₃ -

соответственно тангенциальные и нормальное перемещения точек S₀; ψ_i, i = 1, 2, - углы

поворота нормальных сечений S₀; B_ij, i, j = 1, 2, - составляющие тензора кривизны поверх-

ности S₀, G^λij - символы Кристоффеля, которые в изометрической системе координат даются

формулами [2, c. 18]

G1jj = (-1)j-1Λ_α1 /(2Λ), G2jj = (-1)^jΛ_α2 /(2Λ), Gj12 = Gj21 = Λ_α3-j /(2Λ), j = 1,2;

(4)

R^j, P^j, j = 1,2,3, L^k, N^k, k = 1,2, - компоненты внешних сил, действующих на оболочку;

ν - коэффициент Пуассона, E - модуль Юнга, κ² - коэффициент сдвига, D = D(α¹,α²) =

√

A₁₁A₂₂ - A²¹² - якобиан (A_ij - коэффициенты первой квадратичной формы поверхности

S₀; в изометрических координатах A₁₁ = A₂₂ = Λ(α¹,α²), A₁₂ = 0 и D = Λ), h₀ = const -

толщина оболочки; α¹, α² - декартовы координаты точек области Ω.

В (1)-(3) и в дальнейшем по повторяющимся латинским индексам ведётся суммирование

от 1 до 3, по повторяющимся греческим индексам - от 1 до 2.

Задача (1), (2). Требуется найти решение системы (1), удовлетворяющее граничным усло-

виям (2).

В настоящее время достаточно полно изучена разрешимость краевых задач для диффе-

ренциальных уравнений, описывающих состояние равновесия оболочек в рамках простейшей

модели Кирхгофа-Лява [2-5]. В то же время актуальной задачей является исследование подоб-

ных краевых задач в рамках более сложных моделей теории оболочек, не опирающихся на ги-

потезы Кирхгофа-Лява [2, c. 349]. Имеется ряд работ [6-13], в которых в рамках сдвиговой мо-

дели Тимошенко исследована разрешимость и доказаны теоремы существования обобщённых

решений в соболевских пространствах нелинейных задач для пологих оболочек, отнесённых

к евклидовой системе координат. В основе исследований в [6-13] лежат интегральные пред-

ставления для обобщённых перемещений, содержащие произвольные голоморфные функции,

которые находятся таким образом, чтобы обобщённые перемещения удовлетворяли заданным

граничным условиям.

В данной статье метод работ [6-13] развивается на случай пологих неоднородных изотроп-

ных оболочек типа Тимошенко, отнесённых к изометрической системе координат. Переход к

изометрическим координатам, с одной стороны, расширяет класс рассматриваемых оболочек,

а с другой - существенно усложняет систему дифференциальных уравнений.

Краевую задачу (1), (2) будем изучать в обобщённой постановке. Пусть выполнены следу-

ющие условия:

(a) имеют место включения

B^ijkn(α¹,α²,α³) ∈ (W(1)p(Ω)

^⋂C_β(Ω)) × L₁[-h₀/2,h₀/2], i,j,k,n = 1,2,3,

B_λμ(α¹,α²) ∈ W(2)p(Ω), λ,μ,k = 1,2;

(b) якобиан D = Λ(α¹, α²) > 0 в Ω и имеет место включение Λ(α¹, α²) ∈

p (Ω);

L_p(Ω), а компоненты P^j, j = 1,2,3, N^k, k = 1,2, - пространству C_β(Γ); внешние силы

самоуравновешены;

(d) Ω - произвольная односвязная область с границей Γ ∈ C1β.

Здесь и далее 2 < p < 4/(2 - β), 0 < β < 1.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№5

2023

660

ТИМЕРГАЛИЕВ

Определение. Назовём вектор обобщённых перемещений a = (w₁,w₂,w₃,ψ₁,ψ₂) обоб-

щённым решением задачи (1), (2), если a принадлежит пространству

p (Ω), почти всюду

удовлетворяет системе (1) и поточечно граничным условиям (2).

Обозначим

p (Ω) - пространства Соболева. В силу теорем вложения для соболевских

пространств

p (Ω) c p > 2 обобщённое решение a принадлежит пространству C^α(Ω).

Здесь и везде далее α = (p-2)/p. Заметим, что при 2 < p < 4/(2-β) справедливо неравенство

α < β/2.

Соотношения для компонент деформаций в (3) для удобства в дальнейших исследованиях

запишем в виде

γ^kij = e^ksij + e^kcij + χ^kij, i,j = 1,2,3, k = 0,1,

(5)

где приняты обозначения

e0sjj = w_jαj , e0sj3 = γ0j3, e1sjj = ψ_jαj , j = 1,2, e0s12 = w1α2 + w2α1 , e1s12 = ψ1α2 + ψ2α1 ,

e0cjj = -G^λjjw_λ - B_jjw₃, e1cjj = -G^λjjψ_λ, j = 1,2, e0c12 = -2Gλ12w_λ - 2B₁₂w₃,

e1c12 = -2Gλ12ψ_λ, χ0jj = w23αj /2, j = 1,2, χ⁰¹² = w3α1 w3α2 ,

χ1ij = χ0j3 = e0s33 = e1sj3 = ekcj3 ≡ 0, i,j = 1,2,3, k = 0,1.

(6)

2. Построение интегральных представлений для обобщённых перемещений. Вве-

дём в рассмотрение две комплексные функции:

ω_j = ω_j(z) = D{D1111j-1(w1α1 + w2α2 ) + D1111j(ψ1α1 + ψ2α2 ) +

+ i[D1212j-1 (w2α1 - w1α2 ) + D1212j(ψ2α1 - ψ1α2 )]}, j = 1, 2, z = α¹ + iα².

(7)

В системе (1) усилия T^jk, моменты M^jk и компоненты деформаций γ^njk заменим их вы-

ражениями из (3), (5). Прибавляя после этого к первому уравнению в (1) второе, умноженное

на мнимую единицу i, а к четвёртому уравнению - пятое, умноженное также на i, систему

(1) при помощи функций ω_j(z) из (7) представим в удобной для дальнейших исследований

форме

ω_jz + h^j(a) = f^jc(a) + f^jχ(a) - F^j(z), j = 1,2,

DD¹³¹³⁰(w3α1_α1 + w3α2_α2 ) + h³(a) = f3c(a) + f3χ(a) - F³(z), z ∈ Ω,

(8)

где приняты следующие обозначения:

ω_jz = (ω_jα1 + iω_jα2)/2, j = 1,2,

h^j(a) = (-1)μ-1[(DD1212j+λ-2)_α3-μ νλ2αμ + i(DD1212j+λ-2)_αμ νλ1α3-μ ] - (j - 1)DD¹³¹³⁰(γ⁰¹³ + iγ⁰²³)/2,

ν1j = w_j, ν2j = ψ_j, j = 1,2; h³(a) = (DD¹³¹³⁰)_αλ w3αλ + (DD¹³¹³⁰ψ_λ)_αλ ;

f^jc(a) = (fc3j-2 + ifc3j-1)/2, f^jχ(a) = (fχ3j-2 + ifχ3j-1)/2, j = 1,2,

f3c(a) = fc3(a), f3χ(a) = fχ3(a), f_cj(a) = -(DT^jλ(e_c))_αλ - DG^jλμT^λμ(e),

fc3+j(a) = -(DM^jλ(e_c))_αλ - DG^jλμM^λμ(e), f_χj(a) = -(DT^jλ(χ))_αλ - DG^jλμT^λμ(χ),

fχ3+j(a) = -(DM^jλ(χ))_αλ - DG^jλμM^λμ(χ), j = 1,2,

fc3(a) = -DB_λμT^λμ(e), fχ3(a) = -(DT^λμw3αλ )_αμ - DB_λμT^λμ(χ),

F¹ = D(R¹ + iR²)/2, F² = D(L¹ + iL²)/2, F³ = DR³;

e = e_s + e_c, e_s = (e0s,e1s), e_c = (e0c,e1c), e^ks = (eks11,eks12,eks13,eks22,eks23,eks33),

e^kc = (ekc11,ekc12,ekc13,ekc22,ekc23,ekc33), k = 0,1, χ = (χ⁰¹¹,χ⁰¹²,χ⁰²²);

(9)

e^ksij, e^kcij, χ^kij определены в (6).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№5

2023

О СУЩЕСТВОВАНИИ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

661

Отметим, что через e и χ обозначены соответственно линейные и нелинейные части ком-

понент деформации γ, поэтому справедливо представление γ = e + χ.

Аналогично граничные условия (2) запишем в виде

Re [(-i)^j t^′ω_k(t)] + 2(-1)^j DD1212k+δ-2νδ3-jαλ dα^λ/ds = ϕc3(k-1)+j (a)(t) +

+ ϕχ3(k-1)+j(a)(t) - F3k+j(s), k,j = 1,2,

DD¹³¹³⁰[(w3α2 + ψ₂)dα¹/ds - (w3α1 + ψ₁)dα²/ds] = ϕχ3(a)(t) - F⁶(s),

(10)

где

ϕcj (a)(t) = D[Tj2(ec) dα¹/ds - Tj1(ec) dα²/ds], ϕc3+j(a)(t) = D[Mj2(ec) dα¹/ds -

- Mj1(e_c)dα²/ds], ϕ_χj(a)(t) = D[Tj2(χ)dα¹/ds - Tj1(χ)dα²/ds],

ϕχ3+j (a)(t) = D[Mj2(χ) dα¹/ds - Mj1(χ) dα²/ds], j = 1, 2, ϕc3(a)(t) ≡ 0,

ϕχ3(a)(t) = D[(T¹¹(γ)w3α1 + T¹²(γ)w3α2 ) dα²/ds - (T²²(γ)w3α2 + T¹²(γ)w3α1 ) dα¹/ds],

F3+j = -P^j, j = 1,2, F⁶(s) = P³(s), F6+k = -N^k, k = 1,2,

(11)

усилия T^jk, моменты M^jk определены в (3).

В основе исследования системы уравнений (8) при граничных условиях (10) лежат инте-

гральные представления для обобщённых перемещений w_j, j = 1, 2, 3, ψ_k, k = 1, 2.

Для их вывода рассмотрим уравнения

ω_jz = ρ^j, j = 1,2, DD¹³¹³⁰(w3α1_α1 + w3α2_α2 ) = ρ³,

(12)

где ρ¹ = ρ₁ + iρ₂, ρ² = ρ₄ + iρ₅, ρ³ = ρ₃ - произвольно фиксированные функции, принадле-

жащие пространству L_p(Ω).

Первые два уравнения в (12) представляют собой неоднородные уравнения Коши-Римана.

Их общие решения даются формулами [14, c. 29]

ω_j(z) = Φ_j(z) + Tρ^j(z) ≡ ω_j(Φ_j;ρ^j)(z),

∫∫

ρ^j(ζ)

Tρ^j(z) = -

dξ dη, j = 1, 2, ζ = ξ + iη,

(13)

ζ-z

где Φ_j(z) - произвольные голоморфные функции, принадлежащие пространству C_α(Ω).

Известно [14, c. 39-41, 46], что T - вполне непрерывный оператор в пространствах L_p(Ω)

и C^kα(Ω), отображающий их в пространства C_α(Ω) и Ck+1α(Ω) соответственно. Кроме того,

существуют обобщённые производные

∫∫

∂Tf

f (ζ)

=f,

≡ Sf = -

dξ dη,

(14)

∂z

(ζ - z)²

где S - линейный ограниченный оператор в пространствах L_p(Ω), p > 1, и C^kα(Ω).

Представления (13) в свою очередь при помощи функций ω⁰¹ = w₂ + iw₁, ω⁰² = ψ₂ + iψ₁

запишем в виде неоднородных уравнений Коши-Римана

ω0j¯z = i(d2j-1[ω₁] + d2j[ω₂]) ≡ iT_jω, j = 1,2, ω = (ω₁,ω₂),

(15)

общие решения которых имеют вид

ω0j(z) = Ψ_j(z) + iTT_jω(z) ≡ ω0j(Ψ_j;ω)(z), j = 1,2.

(16)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№5

2023

662

ТИМЕРГАЛИЕВ

В (15), (16) приняты обозначения

d2j+λ-2[ω_λ] = d12j+λ-2ω_λ + (-1)j+λd22j+λ-2ω_λ, j,λ = 1,2,

)

⁽D¹¹¹¹

D12124-2k

⁽D¹²¹²¹

D¹¹¹¹¹

4-2k

dj3k-2 =

+ (-1)^j

dj2 = dj3 =

+ (-1)^j

k,j = 1,2,

4D δ₀

δ₁

4D δ₁

δ₀

δ₀ = D¹¹¹¹⁰D¹¹¹¹² - (D¹¹¹¹¹)², δ₁ = D¹²¹²⁰D¹²¹²² - (D¹²¹²¹)²;

(17)

Ψ_j(z) ∈ C1α(Ω) - произвольные голоморфные функции.

Третье уравнение в (12) запишем в виде

w3zz = ρ₃/4,

ρ₃ = ρ₃/(DD¹³¹³⁰), w3z = (w3α1 - iw3α2 )/2,

откуда получим

∫∫



z



w₃(z) = Re Ψ₃(z)

T ρ₃ ≡ w₃(Ψ₃;ρ₃)(z),

Tρ₃ =-

ρ₃(ζ)ln

−

ξ dη,

(18)

¹

^d

2π

где Ψ₃(z) ∈ C1α(Ω) - произвольная голоморфная функция.

Соотношения (16), (18) являются искомыми интегральными представлениями для обоб-

щённых перемещений. Для их частных производных первого и второго порядков при помощи

формул (13)-(18) и (8.20) из [14, c. 58] получаем

ν_jkαk = Im[ω0jz - (-1)^kω0jz], ν_jkαn = Re[ω0jz + (-1)^kω0jz], k = n, j,k,n = 1,2,

ω0jz = Ψ^′j(z) + iST_jω(z), ω0jz = iT_jω, w3αj = 2Re (ij-1w3z), j = 1,2,

w3z = Ψ′3(z)/2 + T ρ₃(z)/4, ν_knαj_αj = -Re{iⁿ[ω0kzz + (-1)^j(ω0kzz + ω0kzz)]},

ν_knα1_α2 = Re{in-1(ω0kzz - ω0kzz)}, w3αj_αj = 2[w3zz + (-1)j-1Rew3zz], k,n,j = 1,2,

w3α1α2 = -2Im w3zz, ωkzz = Tk1ω + Sk1(Φ⁰;ρ0), ωkzz = Tk2ω + Sk2(Φ⁰;ρ0),

∫

T_kω(τ)

ω0kzz = Ψ^′′k(z) + Sω⁰

(z) -

dτ , k = 1, 2, Φ′0 = (Φ′1, Φ′2), ρ₀ = (ρ¹, ρ²),

kζζ

2π

(τ - z)²

w3zz = Ψ′′3(z)/2 + Sρ₃/4, w3zz = ρ₃/4, T_jkω = i[d12j+μ-2,kω_μ + (-1)j+μd22j+μ-2,kω_μ],

S_jk(Φ′0;ρ₀) = i[d12j+μ-2ω_μ,k + (-1)j+μd22j+μ-2ωμ,3-k], ωj,1 ≡ ω_jz = Φ^′j(z) + Sρ^j(z),

ωj,2 ≡ ω_jz = ρ^j, djm,1 ≡ d^jmz, djm,2 ≡ d^jmz, j,k = 1,2, m = 1,4.

(19)

3. Решение задачи (1), (2). Интегральные представления (16), (18) для обобщённых

перемещений a = (w₁, w₂, w₃, ψ₁, ψ₂) содержат произвольные голоморфные функции Φ_j(z),

j = 1,2, Ψ_k(z), k = 1,2,3, и произвольные функции ρ^j(z), j = 1,2,3. Их найдём так, чтобы

обобщённые перемещения удовлетворяли системе (8) и граничным условиям (10), при этом

правые части уравнений (8) и граничных условий (10) временно считаем известными. С этой

целью соотношения (16), (18), (19) подставим в левые части системы (8) и граничных условий

(10). В результате система уравнений (8) запишется в виде

ρ^j(z) + hj1(ρ)(z) + hj2(Φ)(z) = f^jc(a)(z) + f^jχ(a)(z) - F^j(z), j = 1,2,3, z ∈ Ω,

(20)

где через hj1(ρ)(z) и hj2(Φ)(z) обозначены те части выражения оператора h^j (a) в (9), которые

содержат функции ρ = (ρ¹, ρ², ρ³) и Φ = (Φ₁, Φ₂, Ψ₁, Ψ₂, Ψ₃) соответственно.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№5

2023

О СУЩЕСТВОВАНИИ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

663

Граничные условия (10) с учётом представлений

S(T_j Φ₀)⁺(t) = -(t^′)²[d12j-1(t)Φ₁(t) + d12j (t)Φ₂(t)] + K0j (Φ₀)(t), Φ₀ = (Φ₁, Φ₂),

∫

d12j+μ-2(t)

ψ(τ, t) - ψ(t, t)

d22j+μ-2(t)

K0j(Φ₀)(t) = -

Φ_μ(τ)dτ - (-1)j+μ

2πi

τ-t

2πi

∫

∫∫

ψ(τ, t) - ψ(t, t)

d12j+μ-2(ζ) - d12j+μ-2(t)

Φ_μ(τ) dτ -

Φ_μ(ζ)dξ dη -

τ-t

(ζ - t)²

∫∫

j+μ

d22j+μ-2(ζ) - d22j+μ-2(t)

(-1)

Φ_μ(ζ)dξ dη, j = 1,2,

(ζ - t)²

ψ(τ, t) = (τ - t)/(τ - t), ψ(t, t) = (t^′)²,

(21)

получаемых при помощи соотношений (13)-(15), формул (4.7), (4.9) из [14, c. 28] и формул

Сохоцкого [15, c. 66], преобразуются к виду

(-1)^j d_kλ(t)Re [i^j t^′Φ_λ(t)] - 2DD1212λ+k-2(t)Re [ij-1t^′Ψ^′λ(t)] - 2DD1212λ+k-2(t)Re [i^j t^′K0λ(Φ₀)(t)] +

+ H3(k-1)+jρ(t) = ϕc3(k-1)+j(a)(t) + ϕχ3(k-1)+j(a)(t) - F3k+j(s), k,j = 1,2,

DD¹³¹³⁰(t)Re [it^′Ψ′3(t)] + K₀₃(Φ)(t) + H₃ρ(t) = ϕχ3(a)(t) - F⁶(s),

(22)

где приняты следующие обозначения:

H3(k-1)+jρ(t) = Re [(-i)^jt^′Tρ^k(t)] - 2DD1212k+λ-2(t)Re {i^jt^′(I + S)(T_λTρ₀)⁺(t)}, k,j = 1,2,

H₃ρ(t) = DD¹³¹³⁰(t)Re [it^′(T ρ₃(t)/2 + TT₂Tρ₀(t))],

K₀₃(Φ)(t) = DD¹³¹³⁰(t)Re {t^′[Ψ₂(t) + iTT₂Φ₀(t)]},

d_kj(t) = (-1)j-1[2(-1)^λDD1212λ+k-2(t)d22λ+j-2(t) + 3 - k - j], k,j = 1,2,

(23)

I - тождественный оператор, операторы T, S, T_λ и функции d^kj(t) определены в (13), (14),

(15) и (17) соответственно; Φ_λ(t) ≡ Φ+λ(t), t ∈ Γ; символ Φ+λ(t) здесь и далее означает предел

функции Φ_λ(z) при z → t ∈ Γ изнутри области Ω.

Таким образом, для определения функций ρ^j ∈ L_p(Ω), j = 1, 2, 3, Φ_k(z) ∈ C_α(Ω), k =

= 1, 2, Ψ_j(z) ∈ C1α(Ω), j = 1, 2, 3, получили систему уравнений (20), (22). Голоморфные

функции будем искать в виде интегралов типа Коши с действительными плотностями

Φ_k(z) = Θ(μ2k)(z) ≡ Φ_k(μ2k)(z), k = 1,2,

∫

f (τ) dτ

Ψ^′j(z)=i(j-1)(j-2)/2Θ(μ2j-1)(z)≡Ψ^′j(μ2j-1)(z), j=1,2,3, Θ(f)(z)=

(24)

2πi

τ^′(τ -z)

где μ_j(t) ∈ C_α(Γ), j = 1, 5, - произвольные действительные функции, τ^′ = dτ/dσ, dσ -

элемент длины дуги кривой Γ.

Для функций Ψ_j(z), j = 1, 2, 3, имеем представления

Ψ_j(z) = i(j-1)(j-2)/2Θ⁰(μ2j-1)(z) + c2j-1 + ic2j ≡ Ψ_j(μ2j-1)(z) + c2j-1 + ic2j, j = 1,2,3,

∫

(

)

f (τ)

Θ⁰(f)(z) = -

dτ,

(25)

2πi

τ^′

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№5

2023

664

ТИМЕРГАЛИЕВ

где c_j , j = 1, 6, - произвольные действительные постоянные, под ln(1 - z/τ) понимается

однозначная ветвь, обращающаяся в нуль при z = 0.

Используя формулы Сохоцкого [15, c. 66], находим Φ_k(t), k = 1, 2, Ψ^′j (t), j = 1, 2, 3, t ∈ Γ.

Подставляя их выражения, а также представления (25) в систему (20), (22), после несложных

преобразований приходим к следующей системе уравнений относительно функций ρ ∈ L_p(Ω)

и μ = (μ₁,μ₂,μ₃,μ₄,μ₅) ∈ C_α(Γ):

ρ^j(z) + hj1(ρ)(z) + hj2(μ)(z) = f^jc(a)(z) + f^jχ(a)(z) + g^jc(z) - F^j(z), z ∈ Ω, j = 1,2,3,

∫

]

∑[

μ_n(τ)

a_jn(t)μ_n(t) + b_jn(t)

dτ

+ K_jμ(t) + H_jρ(t) =

τ-t

n=1

= ϕ_cj(a)(t) + ϕ_χj(a)(t) + g3+jc(t) - F3+j(t), j = 1,5, t ∈ Γ,

(26)

в которой приняты обозначения

K3(n-1)+jμ(t) = (-1)^jd_nλ(t){Re [i^jt^′Θ(μ2λ)(t)] - iRe(ij-1)Θ(τ^′μ2λ)(t)} +

+ 2DD1212λ+n-2(t){Re [ij+1t^′Θ(μ2λ-1)(t)] - iRe (i^j )Θ(τ^′μ2λ-1)(t) - Re [i^j t^′K0λ(μ₀)(t)]}, n, j = 1, 2,

K₃μ(t) = K₀₃(μ)(t) - DD¹³¹³⁰(t)Re [t^′Θ(μ₅)(t)];

g2c(z) = DD¹³¹³⁰(c₄ + ic₃)/2, g3c(z) = -c₄(DD¹³¹³⁰)_α1 - c₃(DD¹³¹³⁰)_α2 ,

g6c(t) = DD¹³¹³⁰(t)(c₄ dα²/ds - c₃ dα¹/ds), g1c(z) = g3+jc(t) ≡ 0, j = 1,2,4,5;

a3(k-1)+j,2λ(t) = (-1)^jd_kλ(t)Re (i^j)/2, b3(k-1)+j,2λ(t) = (-1)^jd_kλ(t)Re (ij-1)/(2π),

a3(k-1)+j,2λ-1(t) = -DD1212λ+k-2(t)Re (ij-1), b3(k-1)+j,2λ-1(t) = DD1212λ+k-2(t)Re (i^j)/π,

k,j,λ = 1,2, a₃₅(t) = -DD¹³¹³⁰(t)/2,

(27)

остальные a_jk, b_jk равны нулю; здесь hj2(μ)(z) ≡ hj2(Φ(μ))(z), K0j (μ₀)(t) ≡ K0j (Φ₀(μ₀))(t),

j = 1, 2; K03(μ)(t) ≡ K03(Φ(μ))(t), Φ(μ) = (Φ1(μ2), Φ2(μ4), Ψ1(μ1), Ψ2(μ3), Ψ3(μ5)), μ0 =

= (μ₂, μ₄).

Лемма 1. Пусть выполнены условия (a), (b), (c), (d). Тогда:

1) hj1(ρ), j = 1, 2, 3, - линейные вполне непрерывные операторы в пространстве L_p(Ω);

2) hj2(μ), j = 1, 2, 3, - линейные вполне непрерывные операторы из Cν (Γ) для любого

ν ∈ (0,1) в L_p(Ω);

3) K_jμ, j = 1, 5, - линейные вполне непрерывные операторы из C_ν (Γ) для любого ν ∈

∈ (0, 1) в C_γ(Γ) при всех γ < β/2;

4) H_jρ, j = 1, 5, - линейные вполне непрерывные операторы из L_p(Ω) в C_α′ (Γ) при всех

α^′ < α и ограниченные операторы из L_p(Ω) в C_α(Γ);

5) имеют место включения

fjc (a)(z), f^χ(a)(z), F^j (z), g^c (z) ∈ Lp(Ω), j = 1, 2, 3, ϕcj (a)(t),

ϕχj (a)(t) ∈ Cα(Γ), F3+j (t), g^c(t), ajk(t), bjk(t) ∈ Cβ(Γ), j, k = 1, 5.

Доказательство. Известно [14, c. 26-27], что интеграл типа Коши θ(f) в (24) представля-

ет собой ограниченный оператор из C_α(Γ) в C_α(Ω), а его производная θ^′(f) - ограниченный

оператор из C_α(Γ) в L_q(Ω),

1 < q < 2/(1 - α). Кроме того, нетрудно показать, что θ(f) -

вполне непрерывный оператор из C_α(Γ) в L_p(Ω) при всех p > 1 и в C_α′ (Ω) для любого

α^′ < α. Учитывая это, а также свойства операторов T, S, определённых в (13), (14), ис-

пользуя представления для производных первого порядка обобщённых перемещений в (19)

и выражения для операторов h^j (a) в (9), получаем, что первые утверждения 1), 2) леммы

справедливы.

Так как ψ(τ, t) ∈ C_β(Γ) × C_β(Γ) [15, с. 28-32], dkλ(t) ∈ Cβ(Γ), dkj(z),D13130(z),D(z) ∈

∈ C_β(Ω), то, принимая во внимание следствие 4.3 из [16, с. 124], легко убеждаемся в том,

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№5

2023

О СУЩЕСТВОВАНИИ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

665

что первые два слагаемых в правой части представления для оператора K0j (μ₀) в (21) суть

вполне непрерывные операторы из C_ν (Γ), ν ∈ (0, 1) в C_γ(Γ) для любого γ < β. Также

нетрудно показать, что третье и четвертое слагаемые этого представления в (21) суть вполне

непрерывные операторы из C_ν (Γ), ν ∈ (0, 1) в C_γ(Γ), γ < β. Тогда получаем, что K_oj (μ₀),

j = 1,2, - линейные вполне непрерывные операторы из C_ν(Γ), ν ∈ (0,1) в C_γ(Γ), γ < β.

Аналогично из представления оператора K₀₃(μ) в (23) следует, что K₀₃(μ) - линейный вполне

непрерывный оператор из C_ν (Γ) в C_β(Γ) для всех ν ∈ (0, 1).

Далее два первых слагаемых в правой части формулы для оператора K3(n-1)+j μ в (27)

преобразуем к виду

∫

(

)

}

(-i)^j

^{ (-1)^j - 1^∫

μ2λ(τ) τ^′ - t^′

(-1)^j

μ2λ(τ)

t^′

d_nλ(t)

dτ +

dτ

2πi

τ^′

τ-t

τ^′

τ-t

Следовательно, с учётом включений τ^′, d_nλ ∈ C_β(Γ) и равенства

Im[τ^′/(τ - t)] = k_∗(τ,t)/|τ - t|1-β/2,

где k_∗(τ, t) ∈ Cβ/2(Γ) × Cβ/2(Γ) [15, c. 31-32, 55-56], а также следствий 4.4,4.5 из [16, с. 125]

получаем, что эти слагаемые в выражении для оператора K3(n-1)+j μ в (27) определяют линей-

ный вполне непрерывный оператор из C_ν (Γ) в C_γ(Γ) для любых ν ∈ (0, 1) и γ < β/2. Анало-

гично показываем, что третье и четвертое слагаемые в выражении для оператора K3(n-1)+j μ

в (27) обладают таким же свойством. Тогда из представлений операторов K_jμ, j = 1, 5, в (27)

вытекает справедливость утверждения 3) леммы. Справедливость утверждения 4) следует из

представлений операторов H_jρ, j = 1, 5, в (23) с учётом свойств операторов T, S, интеграла

типа Коши и соотношений

)

∫

⁽ ∂

T_λTρ₀(τ)

S(T_λT ρ₀)⁺(t) = T

T_λTρ₀

(t) -

(t^′)²T_λT ρ₀(t) -

dτ , λ = 1, 2,

∂ζ

2πi

τ-t

которые получаются с использованием формул (8.20) из [14, c. 58] и формул Сохоцкого. Спра-

ведливость утверждения 5) леммы непосредственно вытекает из формул (9), (11), (27). Лемма

доказана.

Исследуем разрешимость системы уравнений (26) в пространстве L_p(Ω) × C_α′ (Γ), α^′ < α.

Заметим, что любое решение (ρ, μ) ∈ L_p(Ω)×C_α′ (Γ) системы (26) в силу леммы 1 принадлежит

пространству L_p(Ω) × C_α(Γ). Используя выражения для a_jk(t), b_jk(t) из (27), вычисляем

определитель

det [A(t) - πiB(t)] = D³D¹³¹³⁰δ₁/(32δ₀)(a²¹ - a₀a₂), a_n = D1111n + D1122n, n = 0, 1, 2,

где δ₀, δ₁ определены в (17), а A = (a_jk), B = (b_jk) - квадратные матрицы пятого порядка.

Итак, det [A(t) - πiB(t)] = 0 на границе Γ и для индекса системы (26) получаем

[

]

det (A - πiB)

χ=

arg

2π

det (A + πiB)_Γ

(здесь символ [arg ϕ]_Γ означает приращение аргумента функции ϕ при обходе кривой Γ один

раз в положительном направлении). Следовательно, к системе (26) применима альтернатива

Фредгольма. Пусть (ρ, μ) ∈ L_p(Ω) × C_α′ (Γ) - решение системы (26) при нулевой правой части.

Этому решению по формулам (24), (25) с постоянными c_j = 0, j = 1, 6, соответствуют голо-

морфные функции Φ_k(z), Ψ_j(z), которые в свою очередь по формулам (16), (18) определяют

функции w_j , j = 1, 2, 3, ψ_k, k = 1, 2. Эти функции, как нетрудно видеть, удовлетворяют

однородной системе линейных уравнений (8) (

+ f^χ - F^j ≡ 0, j = 1,2,3) и однородным

линейным граничным условиям (10) (ϕ_cj + ϕ_χj - F3+j ≡ 0, j = 1, 5). Умножим действи-

тельную и мнимую части первого уравнения однородной системы (8) соответственно на w₁

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№5

2023

7^∗

666

ТИМЕРГАЛИЕВ

и w₂, второго уравнения - соответственно на ψ₁ и ψ₂, а третье уравнение - на w₃. После

этого проинтегрируем по области Ω и сложим получившиеся равенства. С учётом однородных

граничных условий (10) получаем, что w_j, j = 1, 2, 3, ψ_k, k = 1, 2, удовлетворяют системе

νj1α1 = 0, νj2α2 = 0, νj1α2 + νj2α1 = 0, w3αj + ψ_j = 0, j = 1,2, решение которой имеет вид

w₁ = -c₀α² + c₁, w₂ = c₀α¹ + c₂, w₃ = -c₄α¹ - c₅α² + c₆, ψ₁ = c₄, ψ₂ = c₅,

(28)

где c_j - произвольные действительные постоянные.

Так как Ψ_j (0) = 0, j = 1, 2, 3, w₃(0) = 0, то из (28) будем иметь w₁ = -c₀α² + c₁, w₂ =

= c₀α¹ + c₂, w₃ = ψ₁ = ψ₂ ≡ 0. Тогда ω_j(z) = 2ic₀DD1212j-1, j = 1,2, и из уравнений (12)

следуют равенства

ρ^j(z) = 2ic₀(DD1212j-1)_z, j = 1,2, ρ³(z) ≡ 0, z ∈ Ω.

(29)

Используя формулы (13), (16), (18) и представление для ω0jz в (19), находим функции

Φ_k(z), k = 1,2, Ψ^′j(z), j = 1,2,3, подставив которые в (24), получим

μ₁(t)/t^′ - c₀(t^′)² = F-1(t), μ2j(t)/t^′ - 2ic₀DD1212j-1(t) = F-2j(t), j = 1,2,

μ2j-1(t)/t^′ = F-2j-1(t), j = 2,3,

где F^-j(t) - граничные значения функции F^-j(z), голоморфной во внешности Ω и исчезающей

на бесконечности. Следовательно, для функции F^-j(z) во внешности области Ω приходим к

задаче Римана-Гильберта с краевым условием Re [it^′F^-j(t)] = f^-j(t), j = 1, 5, где

f-1(t) = c₀Re(it^′), f-2j(t) = 2c₀DD1212j-1(t)Re t^′, j = 1,2, f-2j-1(t) = 0, j = 2,3.

Используя решение этой задачи [17, c. 253], для функций μ_j(t) получаем представления

μ_j(t) = c₀μ0j(t) + β0jμ1j(t), j = 1,2,4, μ_j(t) = β0jμ1j(t), j = 3,5,

(30)

где μ^kj(t) - известные действительные функции, принадлежащие пространству C_α(Γ); c₀,

β0j - произвольные действительные постоянные.

Решения (29), (30) показывают, что однородная система уравнений (26) имеет шесть ли-

нейно независимых решений. Тогда союзная с ней система уравнений также будет иметь

шесть линейно независимых решений. Для вывода союзной системы действительные и мни-

мые части левых частей уравнений в (20) умножим соответственно на действительные функ-

ции v₁, v₂, v₃, v₄, v₅ ∈ L_q(Ω),

1/p + 1/q = 1, и проинтегрируем по области Ω, а левые части

уравнений в (22) умножим на действительные функции ν₁, ν₂, ν₃, ν₄, ν₅ ∈ C_α(Γ) и проинте-

грируем по кривой Γ. После этого их сложим и приравняем к нулю. Заменяя голоморфные

функции Φ_j(z), Ψ_k(z), Ψ^′k(z) их выражениями из (24), (25) с постоянными, равными нулю,

переставляя порядок интегрирования в полученных повторных интегралах, после несложных,

но достаточно громоздких преобразований приходим к искомой союзной системе уравнений

v^j(z) - T3+jv(z) + 2Θ(τ^′ν^j)(z) = 0, j = 1,2, Re T₃v(z) = 0, z ∈ Ω,

Re{i[T3+jv(t) - 2Θ^-(τ^′ν^j)(t)]} = 0, j = 1,2, Re [Tg(v)(t) + Θ^-(τ^′DD¹³¹³⁰ν₃)(t)] = 0,

Re {T[(DD1212λ+j-2)_ζv^λ](t) - 2Θ^-(τ^′DD1212λ+j-2ν^λ)(t) + (j - 1)[iT⁰g(v)(t)-

-T^0Γ(DD¹³¹³⁰τ^′ν₃)(t)]} = 0, j = 1,2, t ∈ Γ;

v^j = v3j-2 + iv3j-1, ν^j = ν3j-2 + iν3j-1, j = 1,2, v³ = v₃, ν³ = ν₃.

(31)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№5

2023

О СУЩЕСТВОВАНИИ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

667

В уравнениях (31) приняты обозначения

T₃v(z) = -2Tg(v)(z) + 2DD¹³¹³⁰(z)v₃(z) - 2Θ(τ^′DD¹³¹³⁰ν₃)(z), T3+jv(z) =

= 2T dj+2λ-2[S_λv](z) + T d2+j [T₃v](z), S_j v(z) = S[(DD1212j+λ-2)_ζ v^λ](z) - (DD1212j+λ-2)_zv^λ(z) -

- 2Θ^′(τ^′DD1212j+λ-2ν^λ)(z), j = 1, 2, g(v)(z) = (DD¹³¹³⁰)_z(z)v₃(z) - DD¹³¹³⁰(z)v²(z)/4,

∫∫

(

)

∫

(

)

T⁰f(z) = -

f (ζ) ln

dξ dη, T^0Γf(z) = -

f (τ) ln

dσ,

πi

2πi

∫

f (τ) dτ

Θ^′(f)(z) =

v = (v₁,v₂,v₃,v₄,v₅),

(32)

2πi

τ^′(τ - z)²

Θ^-(f)(t) - граничные значения функции Θ(f)(z) при z → t ∈ Γ извне области Ω; операторы

Tf, Sf, d_j[f], Θ(f) определены в (13), (14), (17), (24) соответственно.

Система (31), как отмечено выше, имеет шесть линейно независимых решений. Получим их

явные выражения. Далее в (31) под v ∈ L_q(Ω), 1/p+1/q = 1, ν ∈ C_α(Γ) будем подразумевать

некоторое её решение.

Заметим, что операторы T, T⁰, T^0Γ, введённые в (13), (32), определяют функции T f(z),

T⁰f(z), T^0Γf(z), которые голоморфны во внешности области Ω и обращаются в нуль на бес-

конечности. Этими же свойствами обладает и функция θ(f)(z). Поэтому последние пять ра-

венств на кривой Γ в (31) представляют собой краевые условия задачи Римана-Гильберта с

нулевым индексом для функций, голоморфных вне Ω и исчезающих на бесконечности. Такая

задача, как известно, имеет только нулевое решение. Следовательно, эти пять равенств на

кривой Γ преобразуются к виду

T3+jv(z) - 2Θ(τ^′ν^j)(z) = 0, j = 1,2, Tg(v)(z) + Θ(τ^′DD¹³¹³⁰ν₃)(z) = 0,

T [(DD1212λ+j-2)_ζ v^λ](z) - 2Θ(τ^′DD1212λ+j-2ν^λ)(z) + (j - 1)[iT⁰g(v)(z) - T^0Γ(DD¹³¹³⁰τ^′ν₃)(z)] = 0,

j = 1,2, z ∈ Ω₁ ≡ C \ Ω,

(33)

C - комплексная плоскость.

Из первых трёх равенств в (31) следует, что функции v_j , j = 1, 5, принадлежат простран-

ству

q₁

(Ω)

^⋂C_α(Ω), 1 < q1 < 2/(1 - α). В них перейдём к пределу при z → t ∈ Γ изнутри

области Ω, а в первых трёх равенствах в (33) - извне области Ω, затем последние прибавим

к первым трём соответственно. Принимая во внимание непрерывность функций вида T f(z)

при f ∈ L_p(Ω) на C и используя формулы Сохоцкого, получаем

v^j(t) = -2ν^j(t), j = 1,2, v₃(t) = ν₃(t), t ∈ Γ.

(34)

Продифференцировав первые два равенства в (31) по z, с учётом (14) получим равенства

v^jz = 2dj+2λ-2[S_λv](z) + d2+j[T₃v](z), j = 1,2, z ∈ Ω,

откуда, рассматривая их как систему относительно X₁ = 2S₁v, X₂ = 2S₂v + T₃v и решая её,

будем иметь

X_j = D[(D1111j+λ-2 - D1212j+λ-2)v^λz + (D1111j+λ-2 + D1212j+λ-2)v^λz], j = 1,2, z ∈ Ω.

(35)

Пусть дополнительно выполнены условия

D1212j, j = 0,1,2, D¹³¹³⁰ ∈ W(2)p(Ω).

(36)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№5

2023

668

ТИМЕРГАЛИЕВ

Используя соотношения для функций T₃v(z), S_jv(z), j = 1, 2, в (32), находим X_jz, j =

= 1, 2, которые, как нетрудно видеть, принадлежат пространству Lq1 (Ω), 1 < q1 < 2/(1 - α).

Теперь эти выражения X_jz, j = 1, 2, подставим в левые части соотношений, полученных

дифференцированием по z равенств (35). Третье равенство в (31) дифференцируем по z и

z. При помощи несложных преобразований полученных соотношений убеждаемся в том, что

вектор-функция v = (v₁, v₂, 2v₃, v₄, v₅) является решением системы линейных уравнений (8)

при нулевой правой части.

Далее от решения (v, ν) союзной системы уравнений (31) потребуем, чтобы ν(t) ∈ C1α(Γ).

Тогда, как нетрудно видеть, v(z) ∈ C1α(Ω). Теперь в равенствах (35) переходим к пределу

при z → t ∈ Γ изнутри области Ω, при этом левую часть X+j(t) заменим выражением,

полученным с использованием представлений (S_jv)(z), T₃v(z) в (32). Затем из них вычтем

соответственно равенства, которые получаются дифференцированием по z последних двух

соотношений в (33) с последующим переходом в них к пределу при z → t ∈ Γ извне Ω.

Далее третьи равенства в (31) и (33) продифференцируем по z, в получившихся равенствах

перейдём к пределу при z → t ∈ Γ соответственно изнутри и извне области Ω и затем вычтем

их друг из друга. При помощи полученных таким образом равенств на кривой Γ, используя

соотношения (34) и формулы

(Sf)⁺(t) - (Sf)^-(t) = -f(t) · (t^′)², θ′+(τ^′f)(t) - θ^′-(τ^′f)(t) = f_t + f_t · (t^′)², t ∈ Γ,

в которых операторы Sf, Θ^′(f) определены в (14), (32), после несложных преобразований

приходим к тому, что функции v₁, v₂,

2v₃, v₄, v₅ удовлетворяют также и однородным

линейным граничным условиям в (10). Таким образом, вектор v = (v₁, v₂, 2v₃, v₄, v₅) являет-

ся решением однородной системы линейных уравнений в (8), удовлетворяющим однородным

линейным граничным условиям в (10). Следовательно, в соответствии с (28) для компонент

вектора v получим следующие представления:

v₁ = -c₀α² + c₁, v₂ = c₀α¹ + c₂, v₃ = (-c₄α¹ - c₅α² + c₆)/2, v₄ = c₄, v₅ = c₅,

где c_j - произвольные действительные постоянные.

Функции ν_j(t) и v_k связаны друг с другом формулами (34). Следовательно, решение

(v, ν)^T , v = (v₁, v₂, v₃, v₄, v₅), ν = (ν₁, ν₂, ν₃, ν₄, ν₅) союзной системы (31) можно представить

как (v, ν)^T = c₀γ₁ + c₁γ₂ + c₂γ₃ + c₄γ₄ + c₅γ₅ + c₆γ₆, где γ_k = (γk1, γk2, . . . , γk10), k = 1, 6, -

линейно независимые решения системы (31). Тогда для разрешимости системы (26) необходимо

и достаточно, чтобы выполнялись условия

∫∫

{Re [(f1c + f1χ + g1c - F¹)(z)(γk1 - iγk2)(z) + (f2c + f2χ + g2c - F²)(z)(γk4 - iγk5)(z)] +

∫

∑

+(f3c+f3χ+g3c-F³)(z)γk3(z)} dα¹ dα²+

(ϕ_cj +ϕ_χj +g3+jc -F3+j )(t)γk,5+j (t) ds = 0, k = 1, 6,

j=1Γ

которые после несложных преобразований принимают вид

∫∫

∫

∫∫

DR^j dα¹ dα² + P^jds +

DG^jλμT^λμ(γ)dα¹ dα² = 0, j = 1,2,

∫∫

∫

∫∫

D(R¹α² - R²α¹) dα¹ dα² + (P¹α² - P²α¹)ds +

D(α²G1λμ - α¹G2λμ)T^λμ(γ) dα¹ dα² = 0,

∫∫

∫

∫∫

D(α^j R³ - L^j ) dα¹ dα² + (α^j P³ - N^j)ds +

Dα^jB_λμT^λμ(γ)dα¹ dα² -

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№5

2023

О СУЩЕСТВОВАНИИ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

669

∫∫

− DT^λj(γ)w3αλ dα¹ dα² - DG^jλμM^λμ(γ)dα¹ dα² = 0, j = 1,2,

∫∫

∫

∫∫

DR³ dα¹ dα² + P³ds +

DB_λμT^λμ(γ)dα¹ dα² = 0,

(37)

где R^j, P^j, j = 1, 2, 3, L^k, N^k, k = 1, 2, - компоненты внешних сил, γ - произвольно

фиксированный вектор деформации, w₃ - произвольно фиксированная функция.

При выполнении условий (37) общее решение системы (26) можно представить в виде

(ρ, μ) = (ρ_c, μ_c)(a) + (ρ_χ, μ_χ)(a) + (ρ_∗, μ_∗) + (ρ_F , μ_F ), (ρ_c, μ_c)(a) = Rf_c(a),

(ρ_χ, μ_χ)(a) = Rf_χ(a), (ρ_∗, μ_∗) = Rg_c + (ρ, μ), (ρ_F , μ_F ) = -RF,

(38)

где f_c(a) = (f1c, f2c, f3c, ϕc1, . . . , ϕc5), f_χ(a) = (f1χ, f2χ, f3χ, ϕχ1, . . . , ϕχ5), g_c = (g1c, . . . , g8c), F =

= (F¹, . . . , F⁸); R = (R₁, . . . , R₈); R_j , j = 1, 2, 3, и R_k, k = 4, 8, - линейные ограниченные

операторы из L_p(Ω) × C_α(Γ) в L_p(Ω) и в C_α(Γ) соответственно; функции ρ = (ρ1, ρ2, ρ3),

μ=(μ₁,...,μ₅) определены формулами(29),(30),а

fjc, f^χ, ϕck, ϕχk, g^c, Fⁿ - формулами

в (9), (11), (27).

Если выражение для вектор-функции μ(t) из (38) подставить в соотношения (24), (25), то

для голоморфной вектор-функции Φ(z) = (Φ₀, Ψ), Φ₀ = (Φ₁, Φ₂), Ψ = (Ψ₁, Ψ₂, Ψ₃) получим

представление

Φ(z) = Φ_c(a)(z) + Φ_χ(a)(z) + Φ_∗(z) + Φ_F (z), z ∈ Ω,

(39)

где

Φ_c(a)(z) = Φ(μ_c(a))(z), Φ_χ(a)(z) = Φ(μ_χ(a))(z), Φ_F (z) = Φ(μ_F )(z),

Φ_∗(z) = Φ(Rg_c)(z) +Φ(z),

Φ(z) = (c₀β₀(z), c₀β₁(z), c₀γ₀(z) + c₁ + ic₂, 0, 0),

β_j(z) = 2iΘ(t^′DD1212j)(z), j = 0,1, γ₀(z) = Θ(t^′t)(z),

функция Θ(f)(z) определена в (24), c_j - произвольные действительные постоянные.

Теперь выражения ρ(z) из (38) и голоморфных функций из (39) подставим в (16), (18).

Тогда задача (1), (2) сведётся к системе нелинейных уравнений относительно вектор-функции

a = (w₁,w₂,w₃,ψ₁,ψ₂), которую представим в виде

ω0j(z) = ω0jc(a) + ω0jχ(a) + ω0j∗(z) + ω0jF (z), j = 1,2,

w₃(z) = w3c(a) + w3χ(a) + w3∗(z) + w3F (z), z ∈ Ω,

(40)

где ω0jc(a) = ω0j(Ψ_jc(a); ω_jc(a)), ω_c(a) = (ω1c, ω2c), ω_jc(a) = ω_j(Φ_jc(a); ρ^c(a)), j = 1, 2, w3c(a) =

= w₃(Ψ3c(a);ρ3c(a)); остальные слагаемые в системе (40) определяются аналогично; операторы

ω_j(Φ_j;ρ^j), ω0j(Ψ_j;ω_j) и w₃(Ψ₃;ρ³) определены в (13), (16), (18) соответственно.

Отметим, что функции ω0j∗(z), w3∗(z) и ω0jF (z), w3F (z) зависят соответственно от про-

извольных постоянных и внешних сил, действующих на оболочку. При этом, как нетрудно

заметить, для функций ω01∗(z) = w2∗ + iw1∗, ω02∗(z) = ψ2∗ + iψ1∗, w3∗(z) имеют место пред-

ставления (28).

Исследуем разрешимость системы (40) в пространстве

p (Ω).

Лемма 2. Пусть выполнены условия (a), (b), (c), (d). Тогда

1) ω0jc(a), j = 1, 2, w3c(a) - линейные вполне непрерывные операторы в

p (Ω);

2) ω0jχ(a), j = 1, 2, w3χ(a) - нелинейные ограниченные операторы в

p (Ω), причём для

любых a^j = (wj1, wj2, wj3, ψj1, ψj2) ∈

p (Ω), j = 1, 2, справедливы оценки

∥ω0jχ(a¹) - ω0jχ(a²)∥

∥w3χ(a¹) - w3χ(a²)∥

≤ c(∥a¹∥

+ ∥a²∥

p (Ω)

+ ∥w¹³∥²

+ ∥w²³∥²

)∥a¹ - a²∥

(41)

p (Ω)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№5

2023

670

ТИМЕРГАЛИЕВ

где c - известная положительная постоянная, зависящая от физико-геометрических харак-

теристик оболочки;

3) ω0j∗(z), ω0jF (z) ∈

p (Ω), j = 1, 2.

Доказательство. Из представлений для

fjc (a), f^χ(a) в (9), ϕcj(a), ϕχj (a) в (11) сле-

дует, что

fjc (a) и ϕcj (a) - линейные вполне непрерывные, а f^χ(a) и ϕχj (a) - нелинейные

ограниченные операторы из

(a), ϕχ3(a)

p (Ω) в Lp(Ω) и в Cα(Γ) соответственно; для

справедливы оценки вида (41), а для f^χ(a), ϕ_χj(a), j = 1, 2, - оценки вида

∥f^jχ(a¹) - f^jχ(a²)∥_L

∥ϕ_χj (a¹) - ϕ_χj (a²)∥_C

p(Ω),

α(Γ) ≤c(∥w3∥_W (2)

p (Ω)

+ ∥w²³∥

)∥a¹ - a²∥

j = 1,2.

(42)

p (Ω)

Тогда из (38) с учётом ограниченности операторов R_j получим, что ρ^c(a) и μ_kc(a) - линейные

вполне непрерывные, а ρ^χ(a) и μ_kχ(a) - нелинейные ограниченные операторы из

p (Ω) в

L_p(Ω) и в C_α(Γ) соответственно, и для ρ^χ(a), μ_kχ(a) справедливы оценки (41). Следователь-

но, с учётом свойств интеграла типа Коши из (39) будем иметь, что Φ_kc(a), Ψ^′jc(a) - линейные

вполне непрерывные, Φ_kχ(a), Ψ^′jχ(a) - нелинейные ограниченные операторы из

p (Ω) в

C_α(Ω), причём для нелинейных операторов Φ_kχ(a), Ψ^′jχ(a) справедливы оценки (41).

Исследуем свойства операторов

Φ^′kc(a) = Θ^′(μ2kc(a)), k = 1,2, Ψ^′′jc(a) = i(j-1)(j-2)/2Θ^′(μ2j-1c(a)), j = 1,2,3,

(43)

где оператор Θ^′(f) определён в (32).

Заметим, что функции ρ^c(a)(z), μ_kc(a)(t), определённые в (38), являются решениями сис-

темы (26) с правой частью

fjc (a)(z), j = 1, 2, 3, ϕck(a)(t), k = 1, 5. Поэтому μc = (μ1c, . . . , μ5c)

можно представить в виде

[

∫

]

μ_c(a)(τ)

μ_c(a)(t) = A-1(t) ϕ_c(a)(t) - B(t)

dτ - Kμ_c(a)(t) - Hρ_c(a)(t) ,

(44)

τ-t

где A-1(t)∈C_β(Γ) - матрица, обратная к матрице A(t), ϕ_c =(ϕc1, . . . , ϕc5), K =(K₁, . . . , K₅),

H = (H₁,...,H₅), ρ_c = (ρ1c,ρ2c,ρ3c).

Если выражение (44) для μ_c(a)(t) подставить в (43), после этого переставить порядок

интегрирования в повторных интегралах и использовать указанные выше свойства интеграла

типа Коши, операторов T, S, соотношений (4.7), (4.9) из [14, c. 28-29] и лемму 1, то после

несложных, но достаточно громоздких преобразований получим, что операторы Φ^′kc(a), k =

= 1, 2, Ψ^′′jc(a), j = 1, 2, 3, суть линейные вполне непрерывные операторы из

p (Ω) в Lp(Ω).

При помощи аналогичных рассуждений также будем иметь, что Φ^′kχ(a), k = 1, 2, Ψ^′′jχ(a) j =

= 1, 2, 3, - нелинейные ограниченные операторы из

p (Ω) в Lp(Ω) и для них справедливы

оценки (41). Теперь, если использовать соотношения (15), (16), (19) и оценки (42), утверждение

леммы становится очевидным. Лемма доказана.

Систему (40) запишем в виде

a - L(a) - G(a) = a_∗ + a_F,

(45)

где

L = (L₁,...,L₅), G = (G₁,...,G₅), a_∗ = (w1∗,w2∗,w3∗,ψ1∗,ψ2∗),

aF = (w1F ,

w2F ,w3F

ψ1F

ψ2F ), ω01∗ = w2∗ + iw1∗, ω02∗ = ψ2∗ + iψ1∗, L₃(a) = w3c(a),

G₃(a) = w3χ(a), L3(n-1)+j(a) = -Re [i^jω0nc(a)], G3(n-1)+j(a) = -Re[i^jω0nχ(a)], n,j = 1,2,

w_jF = -Re[i^jω01F ],

ψ_jF = -Re [i^jω02F ], j = 1,2,

w3F = w3F .

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№5

2023

О СУЩЕСТВОВАНИИ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

671

Отметим, что L(a) - линейный вполне непрерывный, G(a) - нелинейный ограниченный

операторы в

p (Ω), причём для G(a) имеет место оценка (41); aF ∈

p (Ω) - известная

функция, зависящая от внешних сил; компоненты вектора a_∗ даются формулами (28).

Уравнение a - L(a) = 0 имеет лишь нулевое решение в пространстве

p (Ω). Дейст-

вительно, если a ∈

p (Ω) - ненулевое его решение, то, как нетрудно заметить, a является

решением системы линейных уравнений равновесия, удовлетворяющим линейным однородным

граничным условиям. Тогда, рассуждая как и в случае системы (26), приходим к тому, что

вектор a удовлетворяет системе

w_jαj - G^λjjw_λ - B_jjw₃ = 0, j = 1,2,

w1α2 + w2α1 - 2Gλ12w_λ - 2B₁₂w₃ = 0, ψ_jαj - G^λjjψ_λ = 0, j = 1,2,

ψ1α2 + ψ2α1 - 2Gλ12ψ_λ = 0, w3αj + ψ_j = 0, j = 1,2.

(46)

Выведем условия, при выполнении которых система (46) имеет только нулевое решение.

Для этого введём в рассмотрение вспомогательную систему вида

(ω₁/Λ)_α1 - (ω₂/Λ)_α2 = c₁f₁(α¹, α²), (ω₁/Λ)_α2 + (ω₂/Λ)_α1 = c₁f₂(α¹, α²),

ω1α1 + ω2α2 = c₁f₃(α¹,α²)

(47)

относительно функций ω₁(α¹, α²), ω₂(α¹, α²) ∈ C1α(Ω), где f_j ∈

p (Ω), j = 1, 2, 3, - произ-

вольно фиксированные функции, c₁ - произвольная действительная постоянная.

Решаем систему (47). При помощи комплексной функции ω = ω₁/Λ + iω₂/Λ первые два

уравнения в (47) представим в виде неоднородного уравнения Коши-Римана ω_z = c₁(f₁ +

+ if₂)/2, общее решение которого даётся формулой ω = ϕ(z) + c₁T (f₁ + if₂)(z)/2, откуда для

ω_j получаем представления

ω₁ = Λ(α¹,α²)Re ϕ(z) + c₁g₁(α¹,α²), ω₂ = Λ(α¹,α²)Im ϕ(z) + c₁g₂(α¹,α²),

g₁ = ΛRe T(f₁ + if₂)/2, g₂ = ΛIm T(f₁ + if₂)/2, z = α¹ + iα²,

(48)

где ϕ(z) - произвольная голоморфная в области Ω функция, принадлежащая пространству

C1α(Ω), оператор T определён в (13). Из условия (b) и указанных выше свойств оператора T

следует, что функции g_j , j = 1, 2, принадлежат пространству

p (Ω).

Выражения решений ω₁, ω₂ из (48) подставим в третье уравнение системы (47). Тогда

относительно голоморфной функции ϕ(z) получим уравнение вида

Re[ϕ^′(z) + (ln Λ)_zϕ(z)] = c₁g₃(α¹,α²), g₃(α¹,α²) = (f₃ - g1α1 - g2α2 )/(2Λ),

(49)

где функция g₃ принадлежит пространству

p (Ω).

Предположим, что в области Ω выполняется условие

Λ₀(α¹,α²) = (ln Λ)_zz = 0,

(50)

т.е. функция ln Λ(α¹, α²) в области Ω не является гармонической.

Заметим, что условие (50) в силу уравнения Гаусса [18, c. 193] означает, что гауссова кри-

визна срединной поверхности оболочки не равна нулю.

Найдём решение уравнения (49). Заметим, что функция Re ϕ^′(z), как действительная

часть голоморфной функции ϕ^′(z), в области Ω является гармонической, т.е. [Re ϕ^′(z)]_zz =

= 0. Следовательно, в области Ω при любой постоянной c₁ должно выполняться условие

[c₁g₃ - Re ((ln Λ)_zϕ)]_zz = 0, которое можно записать в виде Re (Λ₀ϕ)_z - c₁g3zz = 0, c₁ = const,

z ∈ Ω, откуда с учётом условий (50) и g3zz = 0, z ∈ Ω, получим Re(Λ₀ϕ)_z = 0, c₁ = 0. Итак,

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№5

2023

672

ТИМЕРГАЛИЕВ

голоморфная функция ϕ(z) удовлетворяет системе уравнений Re (Λϕ)_z = 0, Re (Λ₀ϕ)_z = 0,

которая эквивалентна системе

2Λu_α1 + Λ_α1 u + Λ_α2 v = 0,

2Λ₀u_α1 + Λ0α1 u + Λ0α2 v = 0,

u_α1 = v_α2 , u_α2 = -v_α1, Λ₀/Λ = const,

(51)

где ϕ(z) = u(α¹, α²) + iv(α¹, α²), функция Λ₀(α¹, α²) определена в (50).

Исключив из первых двух уравнений в (51) производную u_α1 , получим

v = Λ₁u, Λ₁ ≡ Λ₁(α¹,α²) = -(Λ₀/Λ)_α1/(Λ₀/Λ)_α2 ∈ W(1)p(Ω).

(52)

Теперь, если выражение функции v из (52) подставить в первое уравнение (51), относи-

тельно функции u получим уравнение

u_α1 + Λ₂u = 0, Λ₂ ≡ Λ₂(α¹,α²) = [(ln Λ)_α1 + (ln Λ)_α2 Λ₁]/2 ∈ W(1)p(Ω),

общее решение которого даётся формулой

[ ∫α¹

]

u = c(α²)Λ₃, Λ₃ ≡ Λ₃(α¹,α²) = exp

Λ₂(β1, α2)dβ1

∈ W(1)p(Ω),

(53)

α¹

где c(α²) - произвольная действительная функция переменной α², принадлежащая прост-

ранству C1α, (α¹⁰, α²⁰) ∈ Ω - произвольно фиксированная точка.

Тогда для функции v с учётом (52) будем иметь представление

v = Λ₁Λ₃c(α²).

(54)

Теперь функции u(α¹, α²), v(α¹, α²) из (53), (54) подставим в третье и четвертое уравнения

системы (51). В результате относительно функции c(α²) почти всюду в области Ω получим

уравнения

Λ₃c^′(α²) + [Λ3α2 + (Λ₁Λ₃)_α1 ]c(α²) = 0, Λ₁Λ₃c^′(α²) - [Λ3α1 - (Λ₁Λ₃)_α2 ]c(α²) = 0,

из которых видно, что c(α²) ≡ 0, следовательно, из формул (53), (54) будем иметь ϕ(z) ≡ 0

в Ω. Тогда из соотношений (48) получим ω₁ = ω₂ ≡ 0 в Ω.

Перейдём к нахождению функций ψ₁, ψ₂. С этой целью четвертое и пятое равенства

системы (46) сложим и вычтем друг из друга. Принимая во внимание соотношения (4) для

символов Кристоффеля, будем иметь систему

(ψ₁/Λ)_α1 - (ψ₂/Λ)_α2 = 0, (ψ₁/Λ)_α2 + (ψ₂/Λ)_α1 = 0, ψ1α1 + ψ2α2 = 0,

которая получается из системы (47) при f_j ≡ 0, j = 1, 2, 3, ω₁ = ψ₁, ω₂ = ψ₂. Поэтому в силу

доказанного выше ψ₁(z) = ψ₂(z) ≡ 0 в Ω и из последних двух равенств в (46) следует, что

w₃ = c₁ = const в Ω. Подставляя это значение функции w₃ в первые три равенства системы

(46), при помощи аналогичных рассуждений снова приходим к системе вида (47), в которой

ω₁ = w₁, ω₂ = w₂, f₁ = (B₁₁ - B₂₂)/Λ, f₂ = 2B₁₂/Λ, f₃ = B₁₁ + B₂₂. В силу условия (а)

имеем f_j ∈

p (Ω), j = 1, 2, 3, при этом условие g3zz = 0 примет вид

[(B₁₁ + B₂₂)/Λ - Re (ln Λ)_zRe T f + Im (ln Λ)_zIm T f - Re Sf]_zz = 0,

f = (B₁₁ - B₂₂ + 2iB₁₂)/Λ,

(55)

где операторы T, S определены в (13), (14). Следовательно, w_j ≡ 0, j = 1, 2, 3, в Ω. Итак,

уравнение a - L(a) = 0 имеет только нулевое решение в

p (Ω). Таким образом, существует

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№5

2023

О СУЩЕСТВОВАНИИ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

673

обратный оператор (I - L)-1, ограниченный в

p (Ω), с помощью которого уравнение (45)

сведётся к эквивалентному уравнению

a - G_∗(a) = a_F,

(56)

где G_∗(a) = (I - L)-1G(a), a_F = (I - L)-1a_F .

Отметим, что вектор a_c = (I - L)-1a_∗ является решением однородной системы линей-

ных уравнений равновесия, удовлетворяющим однородным линейным граничным условиям.

Поэтому в силу доказанного выше a_c ≡ 0, что и учтено нами при переходе к уравнению (56).

Также отметим, что вектор a_F в (56) зависит только от внешних сил и a_F = 0, если

внешние силы отсутствуют.

Лемма 3. Пусть выполнены условия (a), (b), (c), (d). Тогда:

1) G_∗(a) - нелинейный ограниченный оператор в

p (Ω), причём для любых векторов

a^j = (wj1,wj2,wj3,ψj1,ψj2), j = 1,2, справедлива оценка

∥G_∗(a¹)-G_∗(a²)∥

≤c_∗(∥a¹∥

+∥a²∥

+∥w¹³∥²

+∥w²³∥²

)∥a¹-a²∥

p (Ω)

где c_∗ - известная положительная постоянная, зависящая от физико-геометрических ха-

рактеристик оболочки;

2) a_F ∈

p (Ω).

Справедливость этой леммы вытекает из леммы 2 с учётом указанных выше свойств опе-

раторов (I - L)-1 и G.

Исследуем разрешимость уравнения (56) в пространстве

p (Ω). Используя лемму 3, для

любых a^j ∈

p (Ω), j = 1, 2, принадлежащих шару ∥a∥_W (2)

< r, получаем

p (Ω)

∥G_∗(a¹) - G_∗(a²)∥

≤ q_∗∥a¹ - a²∥

q_∗ = 2c_∗r(1 + r).

p (Ω)

Предположим, что радиус r шара и внешние силы таковы, что выполняются неравенства

q_∗ < 1,

∥a_F ∥

< (1 - q_∗)r.

(57)

p (Ω)

Тогда к уравнению (56) можно применить принцип сжатых отображений [19, c. 146], согласно

которому уравнение (56) в шаре ∥a∥

< r имеет единственное решение вида a = R(a_F) ∈

p (Ω)

∈

p (Ω), где R - резольвента оператора G∗.

Заметим, что если внешняя нагрузка отсутствует, то задача (1), (2) имеет только нулевое

решение.

Вернёмся к условиям разрешимости (37), в которых под a = (w₁, w₂, w₃, ψ₁, ψ₂) ∈

p (Ω)

будем подразумевать решение задачи (1), (2). Используя равенства (1) и (2), убеждаемся в

том, что условия разрешимости (37) выполняются.

Таким образом, доказана следующая

Теорема. Пусть выполнены условия (a), (b), (c), (d), (36), (50), (55) и неравенства (57).

Тогда задача (1), (2) имеет единственное обобщённое решение a = (w₁, w₂, w₃, ψ₁, ψ₂) ∈

∈

p (Ω), 2 < p < 4/(2 - β).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Галимов К.З. Основы нелинейной теории тонких оболочек. Казань, 1975.

2. Ворович И.И. Математические проблемы нелинейной теории пологих оболочек. М., 1989.

3. Морозов Н.Ф. Избранные двумерные задачи теории упругости. Л., 1978.

4. Карчевский М.М. Исследование разрешимости нелинейной задачи о равновесии пологой незакреп-

лённой оболочки // Уч. зап. Казанского. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2013. Т. 155. № 3. С. 105-110.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№5

2023

674

ТИМЕРГАЛИЕВ

5. Тимергалиев С.Н. Теоремы существования в нелинейной теории тонких упругих оболочек. Казань,

2011.

6. Тимергалиев С.Н. О существовании решений геометрически нелинейных задач для пологих оболо-

чек типа Тимошенко со свободными краями // Изв. вузов. Математика. 2014. № 3. С. 40-56.

7. Тимергалиев С.Н. К вопросу о существовании решений нелинейной краевой задачи для системы

дифференциальных уравнений с частными производными теории пологих оболочек типа Тимошен-

ко со свободными краями // Дифференц. уравнения. 2015. Т. 51. № 3. С. 373-386.

8. Тимергалиев С.Н., Харасова Л.С. Исследование разрешимости одной краевой задачи для системы

нелинейных дифференциальных уравнений теории пологих оболочек типа Тимошенко // Диффе-

ренц. уравнения. 2016. Т. 52. № 5. С. 651-664.

9. Тимергалиев С.Н. Метод интегральных уравнений в нелинейных краевых задачах для пологих

оболочек типа Тимошенко со свободными краями // Изв. вузов. Математика. 2017. № 4. С. 59-75.

10. Тимергалиев С.Н. К проблеме разрешимости нелинейных задач равновесия пологих оболочек типа

Тимошенко // Прикл. математика и механика. 2018. Т. 82. № 1. С. 98-113.

11. Тимергалиев С.Н. Метод интегральных уравнений исследования разрешимости краевых задач для

системы нелинейных дифференциальных уравнений теории пологих неоднородных оболочек типа

Тимошенко // Дифференц. уравнения. 2019. Т. 55. № 2. С. 239-255.

12. Тимергалиев С.Н. К проблеме разрешимости нелинейных краевых задач для произвольных изо-

тропных пологих оболочек типа Тимошенко со свободными краями // Изв. вузов. Математика.

2021. № 4. С. 90-107.

13. Тимергалиев С.Н. О разрешимости нелинейных краевых задач для системы дифференциальных

уравнений равновесия пологих анизотропных оболочек типа Тимошенко с незакреплёнными краями

// Дифференц. уравнения. 2021. Т. 57. № 4. С. 507-525.

14. Векуа И.Н. Обобщённые аналитические функции. М., 1988.

15. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М., 1962.

16. Пресдорф З. Некоторые классы сингулярных уравнений. М., 1979.

17. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М., 1963.

18. Векуа И.Н. Основы тензорного анализа и теории ковариантов. М., 1978.

19. Красносельский М.А. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений. М.,

1956.

Казанский государственный

Поступила в редакцию 17.12.2022 г.

архитектурно-строительный университет

После доработки 13.02.2023 г.

Принята к публикации 16.03.2023 г.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№5

2023