ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2023, том 59, № 5, с.675-692
УРАВНЕНИЯ В КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЯХ
УДК 517.962.2
К ВОПРОСУ СУЩЕСТВОВАНИЯ РЕШЕНИЙ
ВЫРОЖДЕННЫХ СИСТЕМ С ДИСКРЕТНЫМ ВРЕМЕНЕМ
© 2023 г. А. А. Щеглова
Рассмотрена нестационарная линейная дискретная дескрипторная система с прямоуголь-
ными матричными коэффициентами, определённая на конечном горизонте. Получен ответ
на вопрос, какое наибольшее число искомых векторов можно найти из заданного конеч-
ного числа уравнений? Аналогично изучена разрешимость нестационарных линейных сис-
тем с непрерывным или дискретным временем, а также (в локальном смысле) нелинейных
дискретных систем. Показано, что в тех случаях, когда рассматриваемая линейная (или
нелинейная) система сохраняет внутреннюю структуру, возможно нахождение её решений
на бесконечном горизонте. Предлагаемый подход обладает достаточной общностью и ав-
томатически решает проблему согласования начальных данных.
DOI: 10.31857/S0374064123050114, EDN: CZRUCX
Введение. Исследование вырожденных систем с дискретным временем, также называе-
мых дискретными дескрипторными системами, является динамично развивающимся направ-
лением в современной математике, что обусловлено многочисленными приложениями в раз-
личных отраслях науки и техники: биологии, экономике, робототехнике, астрофизике, моде-
лировании летательных аппаратов, электрических сетях, механике и др. [1-7].
Большинство известных результатов получено для стационарных систем
Ax[k+1] + Bx[k] = f[k], k ∈ N,
(0.1)
где A и B - заданные n × n-матрицы, det A = 0, с регулярным матричным пучком cA +
+ B, т.е. det(cA + B) ≡ 0 (см., в частности, [8-11]). Известно [12, c. 313], что в этом случае
существуют обратимые n × n-матрицы P и S такие, что в результате замены переменных
x[k]
= S col(x[k]1,x[k]2), x[k]1
∈ Rn-d, x[k]2 ∈ Rd, и умножения всех уравнений (0.1) слева на
матрицу P получим систему
Nx[k]2 +x[k-1]2 =f[k]1, x[k]1 +Jx[k-1]1 =f[k]2,
(0.2)
где col (f[k]1, f[k]2) = P f[k]; N - верхнетреугольная матрица c κ ≤ d квадратными нулевыми
блоками на диагонали, так что Nκ = O; J - некоторая (n - d) × (n - d)-матрица. При этом
число κ называется индексом пучка cA + B.
Применительно к системам вида (0.1) различные аспекты теории (управляемость, наблю-
даемость, устойчивость, стабилизация, задачи фильтрации, построение регуляторов и др.) ис-
следовались в работах [8-10].
В литературе рассматриваются и более сложные постановки задач для дискретных де-
скрипторных систем, в частности, стационарные системы как с постоянным запаздыванием
[13], так и с нелинейным [14, 15]. Изучаются также системы с переключениями [16, 17] и c
прямоугольными матрицами коэффициентов [18]. При этом, для того чтобы сделать рассмат-
риваемую систему доступной для анализа, на структуру системы накладываются довольно
жёсткие ограничения. Например, в нестационарных случаях требуется, чтобы пучок матрич-
ных коэффициентов сохранял подобную (0.2) структуру или же вообще имел постоянную про-
стую структуру (последнее применительно к системе (0.2) соответствует случаю κ = 0).
Данная работа посвящена проблеме нахождения решений вырожденных дискретных сис-
тем в наиболее общих предположениях. В п. 1 рассматривается нестационарная система
A[k]kx[k] + A[k]k-1x[k-1] + ... + A[k]1x[1] + B[k]x[0] = f[k], k = 1,ρ,
(0.3)
675
676
ЩЕГЛОВА
в которой искомые векторы могут иметь различную размерность, A[k]i и B[k] - заданные
mk × ni- и mk × n0-матрицы соответственно; x[i] ∈ Rni (i = 0,ρ) - искомые, а f[k] ∈ Rmk -
заданные векторы. При этом матрицы коэффициентов A[k]i и B[k] могут не иметь полного
ранга:
rank A[k]i ≤ min{mk, ni}, rank B[k] ≤ min{mk, n0}.
Системам с непрерывным и дискретным временем посвящён п. 2, а именно системам вида
(0.1) и (0.3), в которых матричные коэффициенты и правые части зависят от времени. В п. 3
изучаются нелинейные дискретные дескрипторные системы.
1. Нестационарные системы с прямоугольными матрицами коэффициентов. Сна-
чала на примере системы (0.1) с регулярным матричным пучком поясним основные понятия,
связанные с внутренней структурой вырожденных систем с дискретным временем.
Структурная форма (0.2) позволяет получить представление для решения уравнений (0.1):
x[k] = S col (x[k]1,x[k]2), k ∈ N
⋃{0},
∑
x[0]2 =
(-1)j-1Nj-1f[j]1,
(1.1)
j=1
∑
x[k]2 =
(-1)j-1Nj-1f[k+j]1,
(1.2)
j=1
∑
x[k]1 =
(-1)k-j Jk-jf[j]2 + (-1)kJkx[0]1, k ∈ N.
(1.3)
j=1
Определим для системы (0.1) начальные условия
x[0] = a,
(1.4)
a - заданный вектор из пространства Rn. Соотношение (1.1) называется условием согласова-
ния начальных данных (1.4) с правой частью системы (0.1) (кратко условием согласования).
Любые начальные условия вида (1.4) называются согласованными, если они удовлетворяют со-
отношению (1.1). Из (1.1)-(1.3) следует, что для выделения единственного решения достаточно
задать начальные данные в виде
x[0]1 = a1,
где a1 ∈ Rn-d - заданный вектор. При этом число n - d будем называть размерностью
пространства решений системы (0.1).
Обратимся к уравнениям (0.3). В данном пункте предпринята попытка ответить на следу-
ющие вопросы.
1. При каких условиях из системы (0.3) можно найти векторы x[1], . . . , x[r] (r ≤ ρ) как
линейные функции переменных f[1], . . . , f[ρ] и x[0]?
2. Как определить максимально возможное число r?
3. Как при этом будут выглядеть условия согласования начальных данных (1.4)?
4. Какова размерность пространства решений системы (0.3)?
Обозначим
∑
∑
m∗ = mk, n∗ = ni.
k=1
i=0
Введём в рассмотрение m∗ × n0-матрицу
Bρ = col (B[1],... ,B[ρ]),
(1.5)
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№5
2023
К ВОПРОСУ СУЩЕСТВОВАНИЯ РЕШЕНИЙ ВЫРОЖДЕННЫХ СИСТЕМ
677
а также m∗ × nk-матрицы
Γ[1] = col (A[1]1,... ,A[ρ]1),
(1.6)
Γ[k] = col (O,... ,O,A[k]k,... ,A[ρ]k), k = 2,ρ.
(1.7)
Используя обозначения (1.5)-(1.7), уравнения (0.3) можно записать в виде алгебраической
системы
Dρ col (x[0],x[1],... ,x[ρ]) = fρ,
(1.8)
где m∗ × n∗-матрица
Dρ = (Bρ,Γ[1],... ,Γ[ρ]),
(1.9)
fρ = col (f[0],f[1],... ,f[ρ]).
(1.10)
Пусть 1 ≤ r ≤ ρ. Обозначим n = n1 + n2 + . . . + nr,
Γr = (Γ[1],Γ[2],... ,Γ[r]),
(1.11)
Λr = (Γ[r+1],Γ[r+2],... ,Γ[ρ]).
(1.12)
Теорема 1. Предположим, что в матрице Dρ имеется обратимая подматрица Mρ
порядка m∗, которая включает в себя все столбцы матрицы Γr и λ = rankΛr столбцов
матрицы Λr. Тогда
col (x[0]2, x[1], . . . , x[r]) = (Ed+n, O)M-1ρfρ -B1x[0]1,
(1.13)
где Ed+n - единичная d + n-матрица; Q col (x[0]1, x[0]2) = x[0], x[0]2 ∈ Rd, x[0]1 ∈ Rn0-d, Q -
матрица перестановок строк;
B1 - некоторая матрица соответствующей размерности.
Доказательство. Рассмотрим (1.5). Обозначим через Q n0 × n0-матрицу перестановок
столбцов такую, что
BρQ = (B1,B2),
где блоки B1 и B2 имеют размеры m∗ × (n0 - d) и m∗ × d соответственно, причём столбцы
B2 входят, а столбцы B1 не входят в матрицу Mρ.
С помощью построенной таким образом матрицы Q разобъём вектор x[0] ∈ Rn0 на под-
векторы:
x[0] = Qcol (x[0]1,x[0]2),
(1.14)
где x[0]1 ∈ Rn0-d, x[0]2 ∈ Rd.
В (1.8) осуществим замену переменных (1.14), а также положим
col (x[r+1], . . . , x[ρ]) = QΛ col (x1, x2),
где x1 ∈ Rλ, x2 ∈ Rnr+1+...+nρ-λ, QΛ - матрица перестановок такая, что
ΛrQΛ = (Λ1,Λ2),
блок Λ1 состоит из λ столбцов, которые входят в матрицу Mρ, а столбцы Λ2 не входят
в эту матрицу. Умножив полученную в результате таких преобразований систему слева на
M-1ρ, получим
⎛
⎞
x[0]1
(B1
)⎜
⎟
En+d O Ψ1
⎜col (x[0]2, x[1], . . . , x[r])⎟
M-1ρfρ,
(1.15)
B2
⎝
⎠=
O Eλ Ψ2
x1
x2
где col (B1,B2) = M-1ρB1, Ψ1 и Ψ2 - некоторые матрицы соответствующих размерностей.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№5
2023
678
ЩЕГЛОВА
Поскольку
(
)
O Ψ1
λ = rankΛr = rankM-1ρΛrQΛ = rank
,
Eλ Ψ2
в (1.15) Ψ1 = O. С учётом последнего обстоятельства легко видеть, что представление (1.13)
непосредственно вытекает из (1.15). Теорема доказана.
Заметим, что наличие в Dρ подматрицы Mρ, фигурирующей в формулировке теоремы 1,
подразумевает, что:
1) m∗ ≤ n∗;
2) матрица Dρ имеет полный ранг по строкам: rank Dρ = m∗;
3) матрица Γr (см. (1.11)) имеет полный ранг по столбцам, равный n;
4) rank (B[k], A[k]1, A[k]2, . . . , A[k]k) = mk для любого k = 1, ρ.
Замечание 1. Из (1.13) вытекает соотношение
x[0]2 = (Ed,O)M-1ρ(fρ -B1x[0]1),
которое представляет собой условие согласования начальных данных (1.4) с правой частью
системы (0.3). Для выделения единственного решения достаточно задать начальные условия
в виде x[0]1 = a1, a1 ∈ Rn0-d, следовательно, размерность пространства решений равна n0 -d.
Пример 1. Теорема 1 может быть использована для пошагового нахождения искомых
векторов, начиная с x[1]. Для иллюстрации этой возможности рассмотрим систему
⎛
⎞
⎛
⎞
0
1
0
1
0
⎝0
0
1⎠x[1] + ⎝0
1⎠x[0] = f[1],
(1.16)
0
0
1
0
0
(
)
(
)
1
0
0
0
0
x[2] +
x[1] = f[2],
(1.17)
0
1
1
0
0
(
)
(
)
0
0
0
0
1
x[3] +
x[2] = f[3],
(1.18)
1
1
1
0
0
⎛
⎞
⎛
⎞
0
0
1
0
0
⎝0
0⎠x[4] + ⎝0
1
0⎠x[3] = f[4].
(1.19)
0
1
0
0
0
На первом шаге будем искать x[1]. Поскольку в (1.16) матрица A[1]1 при x[1] необратима,
уравнения (1.16) недостаточно для определения всех компонент этого вектора. Рассмотрим
уравнения (1.16), (1.17) и соответствующую матрицу
⎛
⎞
1
0
0
1
0
(
)
⎜
⎟
0
1
0
0
1
[1]
⎜
⎟
O
⎜
⎟
1
0
0
0
0
1
D[1]2 =B[1] A
=
⎜
⎟.
O A[2]1 A[2]2
⎜
⎟
⎝
⎠
0
0
0
1
0
1
0
0
0
1
Здесь и далее верхний индекс у матриц обозначает номер итерации.
Матрица Γ[1]2 состоит из трёх столбцов матрицы D[1]2, начиная с третьего. Она имеет
полный ранг по столбцам. Матрица Λ[1]2 располагается в D[1]2 справа от двойной черты и
её ранг равен 2. Обратимая подматрица пятого порядка здесь имеется, но не включает в
себя все столбцы матрицы Γ[1]2. Она состоит из столбцов, в которых расположены единицы,
выделенные рамками.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№5
2023
К ВОПРОСУ СУЩЕСТВОВАНИЯ РЕШЕНИЙ ВЫРОЖДЕННЫХ СИСТЕМ
679
Поэтому добавляем ещё одно уравнение (1.18). В этом случае
⎛
⎞
1
0
0
1
0
⎜
⎟
0
1
0
0
1
⎜
⎟
⎜
⎟
0
0
0
0
1
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
D[1]3 =
0
0
0
1
0
,
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
1
0
0
0
1
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
0
1
0
0
0
0
0
1
1
1
rank Λ[1]3 = 3 и существует матрица M[1]3 (она состоит из столбцов матрицы D[1]3, в которых
присутствуют выделенные рамками единицы). В результате умножения системы (1.16)-(1.18)
слева на (M[1]3)-1 получим
x[0]2 = (0,1,-1)f[1],
(1.20)
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
0
0
0
0
1
-1
0
0
x[1] = ⎝1
0
0
⎠f[1]+ ⎝0
0
⎠f[2]+ ⎝0
0⎠f[3]+ ⎝-1⎠x[0],
(1.21)
1
0
0
1
0
0
0
0
0
(
)
(
)
1
0
0
0
x[2] =
f[2] +
f[3],
(1.22)
0
0
1
0
x[3]3 = (0,1)f[3] - x[3]1 - x[3]2,
(1.23)
где col (x[0]1, x[0]2) = x[0], col (x[3]1, x[3]2, x[3]3) = x[3].
На втором шаге рассмотрим уравнения (1.23) и (1.19). Запишем соответствующую матрицу
⎛
⎞
1
1
1
⎜
⎟
⎜1
⎟
0
0
0
0
D[2]2 =
⎜
⎟
⎝0
⎠
1
0
0
0
0
0
0
0
1
Очевидно, что Γ[2]2 (расположена в D[2]2 слева от двойной черты) имеет полный ранг по столб-
цам и rank Λ[2]2 = 1. Подматрица M[2]2 в D[2]2 имеется, её столбцы отмечены выделенными
рамками единицами.
Умножив уравнения (1.23) и (1.19) слева на (M[2]2)-1, получим
⎛
⎞
⎛
⎞
0
0
1
0
0
x[3] = ⎝0
0⎠f[3] + ⎝ 0
1
0⎠f[4],
(1.24)
0
1
-1
-1
0
x[4]2 = (0,0,1)f[4],
где col (x[4]1, x[4]2) = x[4].
Таким образом, из уравнений (1.16)-(1.19) можно найти векторы x[1], x[2] и x[3] (см.
(1.21), (1.22) и (1.24)), а также условие согласования (1.20). Размерность пространства решений
рассматриваемой системы равна единице.
8
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№5
2023
680
ЩЕГЛОВА
Проверим выполнение предположений теоремы 1. Для этого построим матрицу
⎛
⎞
1
0
0
1
0
⎜
⎟
⎜0
1
0
0
1
⎟
⎜
⎟
⎜0
0
0
0
1
⎟
⎜
⎟
⎜
0
0
0
1
0
⎟
⎜
⎟
1
0
0
0
1
⎜
⎟
Dρ =
⎜
⎟
0
1
0
0
0
⎜
⎟
⎜
⎟
0
0
1
1
1
⎜
⎟
⎜
⎟
1
0
0
0
0
⎜
⎟
⎜
0
1
0
0
0
⎟
⎝
⎠
0
0
0
0
1
Найдём обратимую подматрицу Mρ порядка m∗ = 10. Нетрудно убедиться в том, что
матрица Γ3 = (Γ[1], Γ[2], Γ[3]) имеет полный ранг по столбцам, в то время как Γ4 таким свой-
ством не обладает. Поэтому матрица Λr = Λ3 расположена в Dρ правее двойной вертикальной
черты и её ранг равен единице. Матрица Mρ в Dρ имеется, её столбцы выделены штриховой
линией. Значение d определяется как число столбцов матрицы Bρ (см. (1.5), (1.9)), которые
входят в Mρ, в данном случае d = 1.
Таким образом, все условия теоремы 1 выполнены при r = 3. Согласно этой теореме мы
можем найти векторы x[0]2, x[1], x[2], x[3], умножив систему (1.8) слева на матрицу M-1ρ.
Это будут векторы (1.20)-(1.22), (1.24).
Сделаем несколько замечаний об отличиях нестационарных систем (0.3) от систем вида
(0.1). Выше было показано, что для нахождения вектора x[k] из системы (0.1) необходимо
задействовать уравнения с первого по (k + κ)-е, где κ ≤ n - индекс пучка cA + B (см. (1.2),
(1.3)). Несложно построить пример системы (0.3), в котором для вычисления этого вектора
будет необходимо использование любого наперёд заданного конечного числа уравнений. При
этом в общем случае r может быть сколь угодно больше nk или mk.
Допустим, что решение системы (0.3), определённой на бесконечном горизонте, находится
по шагам. Для вычисления вектора x[1] мы должны определить число r уравнений систе-
мы (0.3), для которых в матрице Dr1] найдётся обратимая подматрица Mr1], включающая в
себя все столбцы матрицы Γr1] и λ = rank Λr1] столбцов матрицы Λr1] = (Γr2], . . . , Γrr]). Есте-
ственно было бы искать Mr1], постепенно увеличивая число уравнений. Но, поскольку для
нестационарной системы (0.3) структура матричного пучка каждого последующего уравне-
ния непредсказуема, невозможно указать условие остановки процесса поиска матрицы Mr1]
(например, дальше искать эту матрицу не имеет смысла, её уже не будет). Поэтому задачу на-
хождения решения таких систем естественно ставить на конечном горизонте: сколько искомых
векторов, начиная с x[1], можно найти из заданного конечного числа уравнений?
2. Линейные системы с непрерывным и дискретным временем. Рассмотрим сис-
тему
A[k]k(t)x[k](t) + A[k]k-1(t)x[k-1](t) + ... + A[k]1(t)x[1](t) + B[k](t)x[0](t) = f[k](t),
(2.1)
в которой k = 1, ρ, t ∈ T = [t0, t1], а размеры соответствующих матричных коэффициентов и
векторов такие же, как в (0.3). Предположим, что элементы матриц A[k]i(t), B[k](t) и векторов
f[k](t) непрерывны на отрезке T : A[k]i(t),B[k](t),f[k](t) ∈ C(T), i = 1,ρ, и
rank A[k]i(t) ≤ min{mk, ni}, rank B[k](t) ≤ min{mk, n0} для любого t ∈ T.
Построим для системы (2.1) матрицы Bρ(t), Γ[1](t), Γ[k](t), k = 2, ρ, Dρ(t), Γr(t), Λr(t)
и вектор fρ(t), аналогичные матрицам (1.5)-(1.7), (1.9), (1.11), (1.12) и вектору (1.10).
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№5
2023
К ВОПРОСУ СУЩЕСТВОВАНИЯ РЕШЕНИЙ ВЫРОЖДЕННЫХ СИСТЕМ
681
Под решением системы (2.1) будем понимать функции x[j](t) ∈ C(T ), j =∈ N⋃{0}, обра-
щающие уравнения (2.1) в тождества на отрезке T.
Теорема 2. Пусть при некотором 1 ≤ r ≤ ρ
rank Λr(t) = λ = const для любого t ∈ T,
и в матрице Dρ(t) имеется обратимая для всех t ∈ T подматрица Mρ(t) размерности
m∗ × m∗, которая включает в себя все столбцы матрицы Γr(t) и λ столбцов матри-
цы Λr(t).
Тогда
col (x[0]2(t), x[1](t), . . . , x[r](t)) = (Ed+n, O)M-1ρ(t)fρ(t) -B1(t)x[0]1(t),
где Q col (x[0]1(t), x[0]2(t)) = x[0](t), x[0]2(t) ∈ Rd, x[0]1(t) ∈ Rn0-d, Q - матрица перестановок
строк;
B1(t) ∈ C(T) - некоторая (d + n) × (n0 - d)-матрица, n = n1 + ... + nr.
Доказательство проводится аналогично доказательству теоремы 1.
Заметим, что предположения теоремы 2 допускают переменный ранг матриц A[k]i(t) и
B[k](t).
Рассмотрим частный случай системы (2.1)
A(t)x[k](t) + B(t)x[k-1](t) = f[k](t), k ∈ N, t ∈ T,
(2.2)
где A(t), B(t) - заданные n × n-матрицы, f[k](t) - заданные, а x[k](t) - искомые n-мерные
векторы. Предполагается, что A(t), B(t), f[k](t) ∈ C(T ) и det A(t) ≡ 0.
Найдём условия, при которых можно получить явный вид общего решения системы (2.2).
Введём в рассмотрение n(r + 1) × n-матрицы
Br(t) = col (B(t),O,... ,O),
(2.3)
Gr(t) = col (A(t),B(t),O,... ,O),
(2.4)
n(r + 1) × nr-матрицу
⎛
⎞
O O ... O O
⎜A(t) O . . . O
O
⎟
⎜
⎟
Λr(t) =
⎜B(t) A(t) . . . O
O
⎟
(2.5)
⎝
⎠
O O ... B(t) A(t)
и n(r + 1) × n(r + 2)-матрицу
Dr(t) =
Br(t) | Gr(t)∥Λr(t)).
Обозначим через d оператор “сдвига”
d[f[k]] = f[k+1], k ∈ N,
так, что
dj[f[k]] = f[k+j], k ∈ N, j =∈ N⋃{0}.
Лемма 1. Пусть при некотором 0 ≤ r ≤ n
rankΛr(t) = λ = const для любого t ∈ T,
(2.6)
и в матрице
Dr(t) имеется обратимая при всех t ∈ T подматрица
Mr(t) порядка n(r+1),
включающая в себя λ столбцов матрицыΛr(t) и все n столбцов матрицы Gr(t).
Тогда существует линейный оператор
R = R0(t) + R1(t)d + ... + Rr(t)dr
(2.7)
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№5
2023
8∗
682
ЩЕГЛОВА
такой, что
(
)
)
(
)
(
)(
[k]
O O
x
(t)
J1(t) Ed
x[k-1]1(t)
1
R[A(t)x[k](t) + B(t)x[k-1](t)] =
+
,
(2.8)
En-d Ox[k]
J2(t) O
(t)
x[k-1]2(t)
2
где
Q col (x[k]1(t), x[k]2(t)) = x[k](t), k ∈ N,
Q - матрица перестановок, J1(t),J2(t) ∈ C(T) -
некоторые матрицы соответствующих размеров.
При этом n × n-матрицы Rj(t) ∈ C(T ) находятся по формуле
(R0(t), R1(t), . . . , Rr(t)) = (En, O, . . . , O
Mr(t)-1.
(2.9)
Доказательство. ПустьQ иQr - матрицы перестановок соответствующих размерностей
такие, что
B(t)Q = (B1(t), B2(t)),
Λr(t)Qr = (Λr,1(t),Λr,2(t)),
(2.10)
где блоки
Br,2(t) = col (B2(t),Onr) и
Λr,1(t) входят, а блоки
Br,1(t) = col (B1(t),Onr) и
Λr,2(t)
не входят в матрицу
Mr(t). При этом B2(t) и B1(t) состоят d и n-d столбцов соответствен-
но, через Onr обозначена нулевая матрица соответствующей размерности, состоящая из nr
строк.
Так же, как при доказательстве теоремы 1, можно показать, что в сделанных предположе-
M-1
ниях умножение слева на матрицу
(t) и замена переменных
r
x[k](t) =Qcol (x[k]1(t),x[k]2(t)), x[k-1](t) =
Q col (x[k-1]1(t), x[k-1]2(t)),
(2.11)
col (x[k+1](t), . . . , x[k+r](t)) =
Qr col (x[k]1(t),x[k]2(t))
(x[k-1]2(t), x[k]2(t) ∈ Rd, x[k]1(t) ∈ Rλ) преобразует систему
Dr(t)col (x[k-1](t),x[k](t),... ,x[k+r](t)) = f[k]r(t),
(2.12)
r (t) = col (f[k](t), . . . , f[k+r](t)), к виду
⎛
⎞
x[k-1]1(t)
⎜
⎟
⎛
⎞
⎜x[k-1]2(t)⎟
J1(t) Ed
O O O O
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜J2(t) O En-d O O O
⎟
x[k]1(t)
⎝
⎠⎜
⎟
= M¯-1r(t)f[k]r(t),
(2.13)
J3(t) O
O Ed O O
⎜
⎟
⎜
x[k]2(t)
⎟
J4(t) O
O O Eλ Ψ(t)
⎜
⎟
⎝ x[k]1(t)
⎠
x[k]2(t)
где Ji(t) ∈ C(t), i = 1, 4, Ψ(t) ∈ C(t) - некоторые матрицы соответствующих размерностей.
С учётом подстановки (2.11) действие оператора (2.7) на систему (2.2) равносильно умно-
жению уравнения (2.12) слева на матрицу (R0(t), R1(t), . . . , Rr(t)). Будем вычислять коэф-
фициенты оператора R по формуле (2.9). Тогда с учётом замены (2.11) из (2.13) вытекает
тождество (2.8). Лемма доказана.
Введём в рассмотрение матрицы
Br+1,2(t) = col
Br,2(t),On) = col (B2(t),On(r+1)),
Br+1,1(t) = col
Br,1(t),On) = col (B1(t),On(r+1)), Gr+1(t) = col (Gr(t),On)
(см. (2.3), (2.4), (2.10)), а также n(r + 2) × n(r + 1)-матрицу
Λr+1(t), которая строится по
правилу (2.5). Обозначим
Ωr+1(t) =
Br+1,2(t),Gr+1(t),Λr+1(t)).
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№5
2023
К ВОПРОСУ СУЩЕСТВОВАНИЯ РЕШЕНИЙ ВЫРОЖДЕННЫХ СИСТЕМ
683
Заметим, что матрица Ωr+1(t) получена из
Dr+1(t) =
Br+1(t),Gr+1(t),Λr+1(t)) вычёрки-
ванием столбцов, входящих в подматрицу
Br+1,1(t).
Лемма 2. Пусть выполнены все предположения леммы 1 и
rankΛr+1(t) = λ + n для любого t ∈ T.
(2.14)
Тогда rank Ωr+1(t) = n(r + 2) при всех t ∈ T.
Доказательство. В предположениях леммы 1 в
Dr(t) имеется обратимая при всех t ∈ T
подматрица
Mr(t) порядка n(r + 1), которая включает в себя столбцы
Br,2(t).
Умножим Ωr+1(t) справа на diag {En+d,Qr, En} (матрица
Qr определена в (2.10)), а затем
слева на diag
M-1r(t),En}. С учётом условия (2.6) получим
⎛
⎞
En+d
O O O
⎝
⎠,
O Eλ Ψ(t) O
(2.15)
O Φ1(t) Φ2(t) A(t)
где Φ1(t), Φ2(t), Ψ(t) ∈ C(T ) - некоторые матрицы соответствующих размеров.
Последующее умножение (2.15) слева на
⎛
⎞
En+d
O O
⎝
O
Eλ
O
⎠
O
-Φ1(t) En
даёт матрицу
⎛
⎞
En+d O O
O
⎝ O Eλ Ψ(t) O
⎠,
O O
Φ2(t) A(t)
ранг которой по построению совпадает с рангом матрицы Ωr+1(t). В силу условия (2.14)
rank (Φ2(t), A(t)) = n при всех t ∈ T.
Таким образом, rank Ωr+1(t) = 2n + d + λ = n(r + 2) при любых значениях t ∈ T. Лемма
доказана.
Отметим, что в предположениях леммы 2 нельзя утверждать, что в матрице
Dr+1(t) най-
дётся обратимая для всех t ∈ T подматрица порядка n(r+2), включающая в себя все столбцы
матрицы
Br+1,2(t),Gr+1(t)) и n + λ столбцов матрицы
Λr+1(t).
Теорема 3. Пусть выполнены все предположения леммы 2. Тогда оператор R имеет
левый обратный оператор
L = L0(t) + L1(t)d,
(2.16)
где L0(t), L1(t) ∈ C(T ) - n × n-матрицы.
Доказательство. Коэффициенты операторов (2.7) и (2.16) должны удовлетворять тож-
деству
(L0(t), L1(t))Rr(t) = (En, O, . . . , O),
(2.17)
где
(
)
R0(t) R1(t) ... Rr(t)
O
Rr(t) =
O R0(t) ... Rr-1(t) Rr(t)
Теорема справедлива, если алгебраическая система (2.17) имеет решение L0(t), L1(t) ∈ C(T ).
Покажем это.
Построим матрицу
Dr+1(t)=Dr+1(t)diag {Q,... ,Q}
(Q - матрица перестановок из (2.10)).
В силу свойства (2.8) оператора R
⎛
⎞
J1(t) Ed
O O O O O ... O
⎜
J2(t) O En-d O
O O O ... O
⎟
⎜
⎟
Rr(t)Dr+1(t) =
(2.18)
⎠,
⎝ O O J1(t) Ed O O O ... O
O O J2(t) O En-d O O ... O
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№5
2023
684
ЩЕГЛОВА
где col (J1(t), J2(t)) = R0(t)B1(t) (см. (2.10)).
Запишем
Dr+1(t) в виде
Dr+1(t) =
Br+1,1(t),Δr+1(t),Wr+1(t)),
где Δr+1(t) - n(r + 2)×2n-подматрица, Wr+1(t) - некоторая матрица соответствующей раз-
мерности.
Из (2.18) следует, что rank Δr+1(t) = 2n для любого t ∈ T. Противное противоречило бы
обратимости при всех t ∈ T матрицы
⎛
⎞
Ed O O O
⎜
O En-d O O
⎟
⎜
⎟
E (t) =
(2.19)
⎠.
⎝ O J1(t) Ed O
O J2(t) O En-d
С другой стороны, согласно лемме 2
rank Ωr+1(t) = rank (Δr+1(t), Wr+1(t)) = n(r + 2) при всех t ∈ T.
В этом случае [19, c. 37] существует обратимая на отрезке T матрица V (t) соответствую-
щей размерности такая, что
Wr+1(t)V (t) = (Wr+1,1(t),Wr+1,2(t)),
где блок Wr+1,1(t) состоит из nr столбцов. При этом n(r + 2) × n(r + 2)-матрица
Mr+1(t) = (Δr+1(t),Wr+1,1(t))
будет обратима при всех t ∈ T.
Умножив обе части тождества (2.18) справа на матрицу diag {En-d, E2n, V (t)}, получим
⎛
⎞
J1(t) Ed
O O O O O ... O
⎜
J2(t) O En-d O
O O O ... O
⎟
⎜
⎟
Rr(t)
Br+1,1(t),
Mr+1,Wr+1,2(t)) =
⎠.
⎝ O O J1(t) Ed O O O ... O
O O J2(t) O En-d O O ... O
Последующее умножение справа на матрицу diag {On-d, En(r+1), Od} приводит к тождеству
Rr(t
Mr+1(t) = (E(t),Onr),
через On-d обозначен нулевой блок, состоящий из n - d столбцов. Отсюда
Rr(t) = (E(t),Onr
M-1r+1(t).
(2.20)
Подставив (2.20) в (2.17), а затем умножив обе части полученного уравнения справа на
Mr+1(t), получим
(L1(t), L2(t))(E(t), Onr ) = (En, On(r+1)
Mr+1(t).
(2.21)
Нетрудно убедиться в том, что по построению правая часть уравнения (2.21) представляет
собой матрицу (B2(t), A(t)Q, On(r+1)-d). Учитывая вид (2.19) матрицы E(t), легко видеть,
что необходимое и достаточное условие поточечной разрешимости уравнения (2.21)
(
)
E (t)
O
rank
= 2n, t ∈ T,
(B2(t), A(t)Q, On-d) O
выполняется.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№5
2023
К ВОПРОСУ СУЩЕСТВОВАНИЯ РЕШЕНИЙ ВЫРОЖДЕННЫХ СИСТЕМ
685
Из (2.21) можно найти коэффициенты оператора (2.16) по формуле
(L0(t), L1(t)) = (B2(t), A(t)Q, On-d)E-1(t),
откуда следует, что L0(t), L1(t) ∈ C(T ). Теорема доказана.
Отметим, что из (2.17), в частности, вытекают соотношения
L0(t)R0(t) = En, L0(t)R1(t) + L1(t)R0(t) = O,
откуда имеем
L0(t) = R0(t)-1, L1(t) = -R0(t)-1R1(t)R0(t)-1.
Замечание 2. Частным случаем системы (2.2) является стационарная система (0.1). Не
останавливаясь на анализе таких уравнений, заметим, что все предположения теоремы 3 для
(0.1) выполняются, если пучок матриц cA + B регулярен. При этом r = κ + 1, где κ - индекс
пучка.
Существование операторов R и L гарантирует, что любое решение системы (2.2) будет
решением системы
x[k-1]2(t) + J1(t)x[k-1]1(t) = ϕ[k]1(t),
(2.22)
x[k]1(t) + J2(t)x[k-1]1(t) = ϕ[k]2(t), k ∈ N,
(2.23)
где
∑
col (J1(t), J2(t)) = R0(t)B1(t), col (ϕ[k]1(t), ϕ[k]2(t)) =
Rj(t)f[k+j](t),
j=0
x[k]1(t),ϕ[k]2(t) ∈ Rn-d; x[k]2(t),ϕ[k]1(t) ∈ Rd. Строго говоря, решения систем (2.2) и (2.22), (2.23)
связаны (см. (2.11)) матрицей перестановок строк
Q из (2.10).
При k = 1 из (2.22) получаем условие согласования начальных данных
x[0]2(t) + J1(t)x[0]1(t) = ϕ[1]1(t).
Для выделения единственного решения достаточно задать x[0]1(t) = a(t), где a(t) ∈ C(T ) -
некоторая n - d-мерная вектор-функция.
Нетрудно получить вид общего решения системы (2.2):
x[k](t) =Q col (x[k]1(t),x[k]2(t)), k ∈ N,
где
∑
x[k]1(t) =
(-1)k-j Jk-j2(t)ϕ[j]2(t) + (-1)kJk2(t)x[0]1(t),
j=1
(∑k
)
x[k]2(t) = ϕ[k+1]1(t) - J1(t)
(-1)k-j Jk-j2(t)ϕ[j]2(t)
+ (-1)k-1J1(t)Jk2 (t)x[0]1(t).
j=1
Пример 2. Рассмотрим систему вида (2.2)
⎛
⎞
⎛
⎞
1
t
0
t
0
0
⎝0
0
|t - 1|⎠x[k](t) + ⎝0 s(t)
0⎠x[k-1](t) = f[k](t), t ∈ [0,2], k ∈ N,
(2.24)
0
0
0
0
0
1
s(t) = 2 + sin t.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№5
2023
686
ЩЕГЛОВА
Проанализируем структуру матрицы
⎛
⎞
t
0
0
1
t
0
⎜
⎟
0
s(t)
0
0
0
|t - 1|
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
0
0
1
0
0
0
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
t
0
0
1
t
0
⎟
⎜
⎟
D2(t) =
⎜
0
s(t)
0
0
0
|t - 1|
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
0
0
1
0
0
0
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
t
0
0
1
t
0
⎟
⎜
⎟
⎝
0
s(t)
0
0
0
|t - 1|
⎠
0
0
1
0
0
0
Очевидно, чтоΛ1(t) имеет на отрезке [0, 2] переменный ранг, поскольку
⎛
⎞
1
t
0
rankΛ1(t) = rank ⎝0
0
|t - 1|⎠.
0
0
0
В свою очередь, rankΛ2(t) = 4 (матрица
Λ2(t) расположена в
D2(t) правее двойной верти-
кальной линии).
Кроме того, в
D2(t) имеется подматрица
M2(t), она состоит из столбцов, в которых на-
ходятся элементы, выделененные рамками. Нетрудно записать матрицу
Λ3(t) и убедиться в
том, что её ранг равен 7. Таким образом, выполнены все предположения теоремы 3 при r = 2.
Оператор R = R0(t) + R1(t)d + R2(t)d2, где
⎛
⎞
⎛
⎞
|t - 1|
⎞
1
0
0
-
⎛0
0
0
0
0
⎜
s(t)
⎟
⎜
s(t)
⎟
⎜
⎟
⎜0
0
0
⎟
R0(t) =
⎝
⎠, R1(t) =
⎜0
0
0
⎟,
R2(t) =
⎝
⎠,
0
0
1
⎝
⎠
t|t - 1|
t
0
0
1
0
0
0
-
0
s(t)
s(t)
преобразует систему (2.24) к виду
⎛
⎞
⎛
⎞
0
0
0
0
1
0
⎝0
0
0⎠x[k](t)+ ⎝0
0
1
⎠x[k-1](t)=ϕ[k](t),k∈N,
(2.25)
1
0
0
t
0
0
где ϕ[k](t) = R0(t)f[k](t) + R1(t)f[k+1](t) + R2(t)f[k+2](t).
Общее решение системы (2.25) представимо в виде x[k](t) = col (x[k]1(t), x[k]2(t)), где
∑
x[k]1(t) =
(-1)k-j tk-jϕ[j]2(t) + (-1)ktkx[0]1(t),
(2.26)
j=1
x[k]2(t) = ϕ[k+1]1(t), k ∈ N,
(2.27)
col (ϕ[k]1(t), ϕ[k]2(t))
= ϕ[k](t); x[k]1(t),ϕ[k]2(t) ∈ R; x[k]2(t),ϕ[k]1(t) ∈ R2. По теореме 3 функции
(2.26), (2.27) обращают в тождества и уравнения (2.24).
При k = 1 из (2.27) получаем условие согласования начальных данных x[0]2(t) = ϕ[1]1(t),
поэтому для выделения единственного решения необходимо задать начальные условия в ви-
де x[0]1(t) = a(t), a(t) ∈ C(T ). Размерность пространства решений в данном случае равна
единице.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№5
2023
К ВОПРОСУ СУЩЕСТВОВАНИЯ РЕШЕНИЙ ВЫРОЖДЕННЫХ СИСТЕМ
687
3. Нелинейные системы с дискретным временем. Рассмотрим систему нелинейных
уравнений
g(x[k-1], x[k]) = 0, k ∈ N,
(3.1)
где x[k] ∈ Rn - искомые векторы, n-мерная вектор-функция g(α,β) (α,β ∈ Rn) опреде-
лена, непрерывна и имеет непрерывные частные производные ∂g/∂α и ∂g/∂β в некоторой
окрестности V(0) точки (0, 0): g(α, β) ∈ C1(V(0)). При этом
g(0, 0) = 0,
∂g(α,β)
det
≡0
для любых точек (α, β) ∈ V(0).
∂β
Обозначим
∂g
∂g
(α0, β0) = F (α0, β0),
(α0, β0) = H(α0, β0).
∂α
∂β
Пусть 1 ≤ r ≤ n. Определим nr × n-матрицы
B[0]r(x[0],x[1]) = col (F(x[0],x[1]),O,... ,O),
G[0]r(x[0],x[1],x[2]) = col (H(x[0],x[1]),F(x[1],x[2]),O,... ,O),
nr × n(r - 1)-матрицу
⎛
⎞
O
O
O
O
⎜
⎟
H(x[1], x[2])
O
O
O
⎜
⎟
⎟
Λ[0]r(x[1],... ,x[r]) =⎜⎜F (x[2], x[3]) H(x[2], x[3]) . . .
O
O
⎟
⎝
⎠
O
O
... F(x[r-1],x[r]) H(x[r-1],x[r])
и матрицу
D[0]r(xr) = (B[0]r(x[0],x[1]) | G[0]r(x[0],x[1],x[2])∥Λ[0]r(x[1],... ,x[r]))
размерности nr × n(r + 1), здесь и далее xr = (x[0], x[1], . . . , x[r]).
Предположим, что пучок cH(0, 0) + F (0, 0) регулярен. Тогда найдутся обратимые n × n-
матрицы P и S такие, что
(
)
(
)
O N
O Ed
P (cH(0, 0) + F (0, 0))S = c
+
(3.2)
En-d O
J O
(J и N такие же, как в (0.2)). С помощью матрицы S разобъём x[k] на подвекторы
S(x[k]1, x[k]2) = x[k], x[k]1 ∈ Rn-d, x[k]2 ∈ Rd, k =∈ N⋃{0}.
(3.3)
Теорема 4. Пусть g(α, β) ∈ C1(V(0)), матричный пучок cH(0, 0) + F (0, 0) регулярен и
при r = κ + 1 (κ - индекс пучка)
rank Λ[0]r(x[1], . . . , x[r]) = n(r - 1) - d
(3.4)
при всех x[j], j = 1,r, из некоторой окрестности нуля.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№5
2023
688
ЩЕГЛОВА
Если x[0]1 ∈ V0(0), V0(0) - достаточно малая окрестность точки 0 ∈ Rn-d, то существу-
ет нетривиальное решение системы (3.1), которое может быть найдено по рекуррентным
формулам
x[k] = φ(x[k-1]1), k ∈ N,
(3.5)
при этом
x[0]2 = φ0(x[0]1),
(3.6)
функции φ(x[k-1]1) и φ0(x[0]1) определены, непрерывны и имеют непрерывные частные произ-
водные по своим аргументам в некоторой окрестности нуля и обладают свойством: φ(0) = 0
и φ0(0) = 0.
Доказательство. Рассмотрим систему
F[0]r(xr) = col (g(x[0],x[1]),g(x[1],x[2]),... ,g(x[r-1],x[r])) = 0.
(3.7)
(
)
Тогда Dr0](xr) =
∂
/∂x[0]
∂
/∂x[1] . . .
∂
/∂x[r] и
r
r
r
D[0]
= diag {P,... ,P}D[0]r(0)diag {S,... ,S} =
r
⎛
⎞
O Ed O N O O ... O O O O
⎜
J O En-d O O O ... O O O O
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
O O O Ed O N ... O O O O
⎟
⎜
⎟
O O J O En-d O ... O O O O
=
⎜
⎟
(3.8)
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎠
⎝ O O O O O O ... O Ed O N
O O O O O O ... J O En-d O
Из представления (3.8) следует: 1) rank Λr0](0) = n(r - 1) - d; 2) в матрице
D[0]
r имеется
обратимая подматрица порядка nr, состоящая из столбцов, в которых расположены единич-
ные блоки. В силу последнего обстоятельства в матрице Dr0](0) также найдётся обратимая
подматрица Mr0](0) порядка nr такая, что
M[0]r(0) = (∂F[0]r/∂x[0]2(0),∂F[0]r/∂x[1](0),... ,∂F[0]r/∂x[r-1](0),∂F[0]/∂x[r]1(0)).
Здесь и далее x[k]1 и x[k]2 определяются по правилу (3.3).
На основании этого факта можно заключить, что в некоторой окрестности нуля существует
неявная функция [20, c. 68]
x[0]2 = φ0(x[0]1,x[r]2),
(3.9)
x[1] = φ(x[0]1,x[r]2),
(3.10)
col (x[2], . . . , x[r-1], x[r]1) = φ1(x[0]1, x[r]2),
(3.11)
удовлетворяющая уравнениям (3.7).
Заметим, что матрица Mr0] остаётся обратимой и в некоторой окрестности
Vr(0) точки
xr = 0, при этом
⎛
⎞
J1(xr) Ed O
O
Ψ1(xr)
(M[0]r(xr))-1D[0]r(xr) diag {S, . . . , S} = ⎝ J2(xr) O En
O
Ψ2(xr)
⎠,
J3(xr) O O En(r-1)-d Ψ3(xr)
где Jj (xr), Ψj(xr) (j = 1, 2, 3) - некоторые матрицы соответствующих размеров. В соответ-
ствии с предположением (3.4) Ψ1(xr) ≡ O, Ψ2(xr) ≡ O в области
Vr(0).
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№5
2023
К ВОПРОСУ СУЩЕСТВОВАНИЯ РЕШЕНИЙ ВЫРОЖДЕННЫХ СИСТЕМ
689
По теореме о производной неявной функции [20, c. 73] в некоторой окрестности нуля
⎛
⎞
⎛
⎞
∂φ0/∂x[0]1
∂φ0/∂x[r]2
J1(xr)
O
⎜
⎟
⎝ ∂φ/∂x[0]1
∂φ/∂x[r]2
⎠=-⎝J2(xr)
O
⎠.
J3(xr) Ψ3(xr)
∂φ1/∂x[0]1
∂φ1/∂x[r]
2
Это означает, что функции (3.9) и (3.10) не зависят от переменной x[r]2 :
x[0]2 = φ0(x[0]1),
(3.12)
x[1] = φ(x[0]1).
(3.13)
Добавим к системе (3.7) ещё одно уравнение
g(x[r], x[r+1]) = 0.
(3.14)
Систему (3.7), (3.14) можно записать в виде F[0]r+1(xr+1) = 0.
Построим неявную функцию, удовлетворяющую системе (3.7), (3.14). Для этого подставим
выражения (3.12), (3.13) и (3.11) в уравнение (3.14). В результате получим
ĝ(x[0]1, x[r]2, x[r+1]) = 0.
(3.15)
D[0]
Записав матрицу
(см. (3.8)) и проанализировав её структуру, нетрудно увидеть, что
r+1
в D[0]r+1(0) существует обратимая n(r + 1) × n(r + 1)-подматрица
M[0]r+1(0) = (∂F[0]r+1/∂x[0]2(0),∂F[0]r+1/∂x[1](0),... ,∂F[0]r+1/∂x[r](0),∂F[0]r+1/∂x[r+1]1(0)).
Отсюда, с учётом свойства обратимых блочных матриц [12, c. 55-57], следует, что n×n-матри-
ца (∂ĝ/∂x[r]2, ∂ĝ/∂x[r+1]1) при (x[0]1, x[r]2, x[r+1]) = 0 будет обратима. В этом случае в некоторой
окрестности точки (x[0]1, x[r+1]2) = 0 будет определена неявная функция
col (x[r]2, x[r+1]1) = φ2(x[0]1, x[r+1]2),
(3.16)
удовлетворяющая уравнению (3.15).
Таким образом, неявная функция (3.12), (3.13), (3.11), (3.16) обращает систему (3.7), (3.14)
в тождество в некоторой окрестности нуля.
Построим другую неявную функцию, удовлетворяющую уравнениям (3.7), (3.14). Для этого
рассмотрим систему
F[1]r(xr) = col (g(x[1],x[2]),g(x[2],x[3]),... ,g(x[r],x[r+1])) = 0,
(3.17)
где xr = (x[1], . . . , x[r+1]).
Легко видеть, что в силу (3.4)
rank Λ[1]r(x[2], . . . , x[r+1]) = n(r - 1) - d
в некоторой окрестности точки (x[2], . . . , x[r+1]) = 0, где
Λ[1]r(x[2],... ,x[r+1]) = (∂F[1]r/∂x[3],... ,∂F[1]r/∂x[r+1]).
Аналогично тому, как это было сделано в отношении матрицы Dr0](0), опираясь на струк-
турную форму (3.2), можно показать, что в матрице
D[1]r(xr) = (∂F[1]r/∂x[1],∂F[1]r/∂x[2],... ,∂F[1]r/∂x[r+1])
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№5
2023
690
ЩЕГЛОВА
при xr = 0 имеется обратимая nr × nr-подматрица
M[1]r(0) = (∂F[1]r/∂x[1]2,∂F[1]r/∂x[2],... ,∂F[1]r/∂x[r],∂F[1]r/∂x[r+1]1).
Поэтому можно заключить, что в некоторой окрестности нуля определена неявная функция
вида
x[1]2 = φ0(x[1]1),
(3.18)
x[2] = φ(x[1]1),
(3.19)
col (x[3], . . . , x[r], x[r+1]1) = φ1(x[1]1, x[r+1]2),
(3.20)
удовлетворяющая системе (3.17).
Добавим к системе (3.17) уравнение
g(x[0], x[1]) = 0.
(3.21)
В результате подстановки (3.18) в (3.21) получим
g(x[0], x[1]1) = 0.
(3.22)
Из существования в D[0]r+1(0) обратимой подматрицы M[0]r+1(0) порядка n(r + 1) и свойств
обратимых блочных матриц следует, что при (x[0], x[1]1) = 0 матрица (∂g/∂x[0]2, ∂g/∂x[1]1) будет
обратима.
Поэтому найдётся неявная функция
x[0]2
φ0(x[0]1),
(3.23)
x[1]1
φ(x[0]1),
(3.24)
определённая в некоторой окрестности точки x[0]1 = 0 и обращающая (3.22) в тождество.
Таким образом, построена ещё одна неявная функция (3.23), (3.24), (3.18)-(3.20), удовлетво-
ряющая системе (3.17), (3.21) или, что то же, (3.7), (3.14).
Подставим выражения (3.16) и (3.24) в правые части равенств (3.11) и (3.18)-(3.20) со-
ответственно. Тем самым для системы (3.7), (3.14) получим две неявные функции, которые,
согласно теореме о неявной функции, должны совпадать на пересечении областей определе-
ния. Следовательно, можно утверждать, что существует окрестность нулевой точки V0(0), в
которой функции (3.12), (3.13) и (3.19) обращают при подстановке в тождество первые 2n
уравнений системы (3.7), а именно
g(x[0], x[1]) = 0, g(x[1], x[2]) = 0.
Продолжая процесс, можно найти все векторы (3.5).
По построению в области V0(0) функции φ(x[k-1]1) и φ0(x[0]1) из (3.5), (3.6) обладают всеми
перечисленными в формулировке теоремы свойствами.
Если вектор x[0]1 = 0 достаточно близок к нулю, то система (3.5), (3.6) будет иметь нетри-
виальное решение, которое располагается в достаточно малой окрестности нулевого решения.
Это нетривиальное решение будет обращать в тождество все уравнения системы (3.1). Теорема
доказана.
Рассмотрим систему уравнений более общего вида
gk(x[0],x[1],... ,x[k]) = 0, k = 1,ρ,
(3.25)
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№5
2023
К ВОПРОСУ СУЩЕСТВОВАНИЯ РЕШЕНИЙ ВЫРОЖДЕННЫХ СИСТЕМ
691
где x[i] ∈ Rni, i = 0,k, - искомые векторы, mk-мерная вектор-функция gk определена в
некоторой окрестности Vk(αk) точки αk = (α[0], α[1], . . . , α[k]), α[i] ∈ Rni , i = 0, k. При этом
gk(αk) = 0.
Будем предполагать, что в указанных областях Vk(αk) функции gk непрерывны и имеют
непрерывные частные производные по каждому из своих аргументов и
∂gk
det
≡ 0.
∂x[k]
Запишем (3.25) в виде
Fρ(xρ) = 0,
(3.26)
где xρ =(x[0], x[1], . . . , x[ρ]), Fρ(xρ) = col (g1(x[0], x[1]), g2(x[0], x[1], x[2]), . . . , gρ(x[0], x[1], . . . , x[ρ])).
Введём обозначения
Dρ(xρ)=(∂Fρ/∂x[0],∂Fρ/∂x[1],... ,∂Fρ/∂x[ρ]), Γr(xρ)=(∂Fρ/∂x[1],∂Fρ/∂x[2],... ,∂Fρ/∂x[r]),
∑
∑
Λr(xρ) = (∂Fρ/∂x[r+1],∂Fρ/∂x[r+2],... ,∂Fρ/∂x[ρ]), m∗ =
mk, n∗ =
ni.
k=1
i=0
Предполагается, что m∗ ≤ n∗. Отметим, что матрица Dρ(xρ) имеет размеры m∗ × n∗.
Теорема 5. Пусть gk(x[0], x[1], . . . , x[k]) ∈ C1(Vk(αk)) (k = 1, ρ) и, кроме того, при неко-
тором 1 ≤ r ≤ ρ:
1) rank Λr(xρ) = λ = const для любого xρ ∈ V(αρ);
2) в матрице Dρ(αρ) имеется обратимая m∗ × m∗-подматрица, которая включает в
себя все столбцы матрицы Γr(αρ) и λ столбцов матрицы Λr(αρ).
Тогда существует окрестность Vα(αρ), в пределах которой определена неявная функция
(непрерывная и имеющая непрерывные частные производные по каждому из своих аргумен-
тов), удовлетворяющая в этой окрестности системе (3.26). Часть компонент этой неявной
функции имеет вид
col (x[0]2, x[1], . . . , x[r]) = ϕ(x[0]1),
∑r
где x[0] = Q col (x[0]1, x[0]2), x[0]1 ∈ Rn-d, x[0]2 ∈ Rd, d = m∗ - λ -
ni, Q - некоторая мат-
i=1
рица перестановок строк.
Доказательство теоремы проводится по той же схеме, что и доказательство существования
неявной функции (3.12), (3.13), (3.11) для системы (3.7).
Следует отметить, что теорема 5 позволяет находить локальное решение системы (3.25) по
шагам аналогично тому, как это было продемонстрировано в примере 1.
Заключение. В статье исследованы классы вырожденных систем уравнений с дискрет-
ным временем, которые либо вообще не рассматриваются в литературе, либо изучаются при
сильных ограничениях на внутреннюю структуру. В линейном случае это, в частности, объ-
ясняется тем, что на данный момент не существует хорошей структурной теории пучков трёх
и более матриц (в отличие от (0.1)).
Для систем вида (0.3) и (2.1) получены условия, при которых можно найти часть искомых
векторов из заданного конечного числа уравнений (теоремы 1 и 2). Показано, что нестацио-
нарные системы такого вида целесообразнее рассматривать на конечном горизонте. Предло-
женный подход может быть использован для пошагового нахождения решения (пример 1).
Для линейной системы с непрерывным и дискретным временем (2.2) доказано существова-
ние линейного оператора (2.7), действие которого преобразует (2.2) к виду (2.22), (2.23). Полу-
чены условия, при которых этот оператор обладает левым обратным оператором. Последнее
обстоятельство позволяет получить явное представление (2.26), (2.27) для общего решения
рассматриваемой системы.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№5
2023
692
ЩЕГЛОВА
Исследована локальная разрешимость нелинейных систем вида (3.1) и (3.25). Решение мож-
но получить в виде неявной функции (либо части компонент неявной функции), удовлетворяю-
щей уравнениям (3.1) или (3.25) в некоторой окрестности нуля (теоремы 4 и 5). Предложенный
подход не только позволяет доказать теоремы о существовании решений, но и автоматически
решает проблему согласования начальных данных.
Полученные результаты в дальнейшем могут быть использованы для исследования раз-
личных качественных свойств вырожденных систем с дискретным временем.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Luenberger A., Arbel D.G. Singular dynamic Leontief systems // Econometrica. 1977. V. 45. P. 991-995.
2. Hemami H., Wyman B.F. Modeling and control of constrained dynamic systems with application to
biped locomotion in the frontal plane // IEEE Trans. Automat. Control. 1979. V. 24. P. 526-535.
3. Stevens B.L., Lewis F.L. Aircraft Modelling, Dynamics and Control. New York, 1991.
4. Zhai D., Zhang Q.L., Li J.H. Fault detection for singular multiple time-delay systems with application
to electrical circuit // J. Franklin Inst. 2014. V. 351. P. 5411-5436.
5. Zhao F., Zhang Q., Zhang Y. H∞ filtering for a class of singular biological systems // IET Control
Theory Appl. 2015. № 9. P. 2047-2055.
6. Zerrougui M., Darouach M., Boutat-Baddas L., Ali H.S. H∞ filtering for singular bilinear systems with
application to a single-link flexible-joint robot // Int. J. Control Autom. Syst. 2014. № 12. P. 590-598.
7. Balaji S. A new Bernoulli wavelet operational matrix of derivative method for the solution of nonlinear
singular Lane-Emden type equations arising in astrophysics // J. Comput. Nonlin. Dynam. 2016. V. 11.
№ 5. P. 051013-11.
8. Dai L. Singular Control System. New York, 1989.
9. Kaczorek T. Linear Control Systems. New York, 1992.
10. Белов А.А., Курдюков А.П. Дескрипторные системы и задачи управления. М., 2015.
11. Cao M., Liao F. Design of an optimal prewiew controller for linear discrete-time descriptor system with
state delay // Int. J. of Systems Sci. Principles and Applications of Systems and Integration. 2015. V. 46.
№ 5. P. 932-943.
12. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М., 1988.
13. Debeljkovic D., Stojanovic S., Nestrovic T. The stability of linear continuous singular and discrete
descriptor time delay systems over the finite time interval: an overwiew - part II discrete case // Sci.
Tech. Rev. 2012. V. 62. № 2. P. 62-75.
14. Hadjmohammadi R., Mobayen S. An efficient observer design method for singular discrete-time systems
with delays and nonlinearity: LMI approach // Scientia Iranica. D. 2017. V. 26. № 3. P. 1690-1699.
15. Lin Y. Observer design for rectangular discrete-time singular systems with time-varying delay // Int. J.
Phys. Sci. 2012. V. 7. № 3. P. 423-431.
16. Men B., Zhang Q., Wang G., Zhou J. Stabilization of discrete-time switched linear singular systems via
a stochastic approach // Appl. Math. Inf. Sci. 2013. V. 7. № 2L. P. 631-637.
17. Kaczorek T. Positive descriptor time-varying discrete-time linear systems and their asymptotic stability
// TransNav. 2015. V. 9. № 1. P. 83-89.
18. Nikoukhah R., Willsky A.S., Levy B.C. Kalman filtering and Riccati equations for descriptor systems
// IEEE Trans. Aut. Control. 1991. V. 37. № 9. P. 1-36.
19. Чистяков В.Ф., Щеглова А.А. Избранные главы теории алгебро-дифференциальных систем. Но-
восибирск, 2003.
20. Шилов Г.Е. Математический анализ. Функции нескольких вещественных переменных. М., 1972.
Институт динамики систем и теории управления СО РАН
Поступила в редакцию 10.01.2023 г.
имени В.М. Матросова, г. Иркутск
После доработки 10.01.2023 г.
Принята к публикации 18.04.2023 г.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№5
2023
