ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2023, том 59, № 5, с.693-704

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ

И ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

УДК 517.968.7+517.928

СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЁННЫЕ

ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ

С ЯДРАМИ, ЗАВИСЯЩИМИ ОТ РЕШЕНИЙ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Рассматриваются интегро-дифференциальные уравнения (ИДУ) с быстро осциллирующей

неоднородностью и с интегральным оператором типа Вольтерры, ядра которых могут со-

держать как классическую быстро убывающую экспоненту (простейший случай), так и

фундаментальные решения дифференциальных систем (общий случай). Трудность постро-

ения регуляризованной (по С.А. Ломову) асимптотики в общем случае обусловлена слож-

ной асимптотической структурой фундаментальной матрицы решений (матрицы Коши)

однородной дифференциальной системы. В данной работе сначала строится регуляризо-

ванная асимптотика матрицы Коши, которая затем применяется для построения регуля-

ризованной асимптотики решения ИДУ.

DOI: 10.31857/S0374064123050126, EDN: DAMJGP

Введение. Рассмотрим задачу для сингулярно возмущённой системы

∫t

= A(t)y + K(t, s)Z(t, s, ε)y(s, ε) ds + h(t)eiβ(t)/ε, y(0, ε) = y⁰

(1)

с быстро изменяющимся ядром K(t, s)Z(t, s, ε) и матрицей Z(t, s, ε), удовлетворяющей одно-

родной дифференциальной системе

dZ(t, s, ε)

= B(t)Z(t,s,ε), Z(s,s,ε) = I,

0 ≤ s ≤ t ≤ 1,

(2)

где A(t) и B(t) - n × n-матрицы, y = {y₁, . . . , y_n}, Z(t, s, ε) - матричная n × n-функция, I -

единичная n × n-матрица, β(t) - заданная скалярная функция (β^′(t) > 0 - частота быстро

осциллирующей неоднородности); ε - малый параметр. Предполагается, что спектры

σ(A(t)) = {λ₁(t), . . . , λ_n(t)}, σ(B(t)) = {μ₁(t), . . . , μ_n(t)}

матриц A(t) и B(t) стабильны на отрезке [0, 1] (см. [1, с. 39-40]). Точное решение Z(t, s, ε)

системы (2) часто называют матрицей Коши однородного уравнения ε Ż = B(t)z. Нас интере-

сует проблема построения регуляризованной асимптотики [1, 2] решения задачи (1). Простей-

∫t

ший случай таких задач, когда Z(t, s, ε) является экспонентой exp(ε-1

μ(θ) dθ), рассматри-

вался ранее в ряде работ [3-6]. Идея решения поставленной проблемы проста: нужно сначала

получить регуляризованную асимптотику матрицы Коши Z(t, s, ε), записать её в (1), а за-

тем применить к полученной системе технику из [3, 4]. Однако реализация этой идеи далеко

не тривиальна и требует привлечения тонкого математического аппарата, описание которого

приводится в следующем пункте.

1. Регуляризованная асимптотика матрицы Коши. Рассмотрим систему (2) и постро-

им её регуляризованное асимптотическое решение. Заметим, что решение этой задачи связано

с разработкой теории нормальной и однозначной разрешимости матричных систем уравнений,

аналогичных системам, рассмотренным С.А. Ломовым в статье [7], в которой исследовались

693

694

БОБОДЖАНОВ и др.

системы уравнений с частными производными с точечными начальными данными в так назы-

ваемом пространстве безрезонансных решений, причём элементы этого пространства не зави-

сели от переменной s. В нашем случае зависимость от s существенна, поэтому в настоящей

работе разрабатывается иная схема построения матрицы Коши. Вместо матричных систем

уравнений в частных производных нами рассматриваются векторные системы уравнений для

каждого столбца матрицы Коши, но в пространствах, зависящих от переменной s. Заметим,

что регуляризованная асимптотика матрицы Коши была построена в работе [8]. Приведём вы-

кладки из этой работы, относящиеся к матрице Коши, для полного понимания содержания

разрабатываемого ниже алгоритма.

Будем предполагать выполненными следующие условия:

1) матрица B(t) ∈ C^∞([0, 1], C^n×n);

2) спектр σ(B(t)) стабилен, т.е. μ_i(t) = μ_j(t), i = j, μ_i(t) = 0 для любого t ∈ [0, 1],

i, j = 1, n;

3) Re μ_i(t) ≤ 0 при всех t ∈ [0, 1], i = 1, n.

Рассмотрим сингулярно возмущённую задачу

= B(t)z(t,s,ε), z(s,s,ε) = e_r,

0 ≤ s ≤ t ≤ 1,

(3)

для r-го столбца матрицы Z(t, s, ε) (здесь e_r = {0, . . . , 0, 1 , 0, . . . 0}). Регуляризацию задачи

(r)

(3) проведём с помощью функций

∫

ψ_j(t,s)

σ_j =

μ_j(θ)dθ ≡

j = 1,n.

(4)

Для расширения z(t, s, τ, ε) получим задачу

)



∂z

∑

∂z



μ_j(t)

- B(t)z

= 0,

z(t, s, σ, ε)

e_r,

t=s =

∂t

∂σ_j

j=1

σ=0

где σ = (σ₁, . . . , σ_n) - вектор регуляризирующих переменных. Поскольку задача (4) регулярна

по ε (при ε → +0), то её решение определим в виде ряда

∑

z(t, s, σ, ε) =

ε^kz_k(t,s,σ).

k=0

Для коэффициентов z_k(t, s, σ) этого ряда получаем следующие итерационные задачи:

∑

∂z₀

μ_j(t)

- B(t)z₀ = 0, z₀(s,s,0) = e_r,

(5₀)

∂σ

j=1

∂zk-1

Lz_k = -

zk-1(s,s,0) = 0, k ≥ 1.

(5_k)

∂t

Каждую из задач (5_k) можно записать в виде

∑

∂w

μ_j(t)

- B(t)w = H(t,s,σ), w(s,s,0) = w⁰,

(6)

∂σ

j=1

где H(t, s, σ) - известная n × 1-вектор-функция, w⁰ - известный постоянный вектор той же

размерности. Решение задачи (6) будем искать в пространстве U, элементы w которого пред-

ставляются в виде суммы

∑

w(t, s, σ) = w₀(t, s) +

w_j(t,s)eσj , w_j(t,s) ∈ C^∞(0 ≤ s ≤ t ≤ 1,Cⁿ), j = 0,n.

(7)

j=1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№5

2023

СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЁННЫЕ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ

695

∑_n

Пусть H(t, s, σ) = H₀(t, s) +

H_j(t,s)eσj ∈ U. Подставив (7) в (6) и приравняв отдельно

j=1

свободные члены и коэффициенты при одинаковых экспонентах, получим следующие системы

векторных уравнений:

- B(t)w₀ = H₀(t,s), (μ_j(t)I - B(t))w_j = H_j(t,s), j = 1,n.

(8)

Первая из систем (8) имеет единственное решение w₀(t, s) = -B-1(t)H₀(t, s). Решения сле-

дующих систем (8) будем определять в виде w_j = Q(t)v(t, s) (v = {v₁, . . . , v_n}), где Q(t) =

= (θ₁(t), . . . , θ_n(t)) - матрица из собственных векторов матрицы B(t) : B(t)θ_j(t) = μ_j (t)θ_j(t),

j = 1,n. Для v(t,s) получаем систему

[μ_j (t)I - diag (μ₁(t), . . . , μ_n(t))]v = Q-1(t)H_j(t, s), j = 1, n,

(9)

или (более подробно)

(μ_j (t) - μ₁(t))v₁ = (H_j (t, s), η₁(t)), . . . , (μ_j (t) - μj-1(t))vj-1 = (H_j(t, s), ηj-1(t)),

0 = (H_j(t,s),η_j(t)),

(μ_j (t) - μj+1(t))vj+1 = (H_j(t, s), ηj+1(t)), . . . , (μ_j(t) - μ_n(t))v_n = (H_j(t, s), η_n(t)),

где η_k(t) - k-й столбец матрицы G(t) = (Q-1(t))^∗, т.е. η_k(t)-(λ_k) - собственный вектор матри-

цы B^∗(t). Отсюда видно, что для разрешимости j-й системы (9) в пространстве C^∞([0, T ], Cⁿ)

необходимо и достаточно, чтобы для любых (t, s) ∈ {0 ≤ s ≤ t ≤ 1} выполнялось тождество

(H_j(t, s), η_j (t)) ≡ 0.

(10)

При этом указанная система имеет решение

∑

(H_j(t, s), η_k(t))

w_j(t,s) = ξ_j(t,s)θ_j(t) +

θ_k(t).

(11)

μ_j(t) - μ_k(t)

k=1

k=j

Теперь можно доказать следующее утверждение.

∑_n

Теорема 1. Пусть выполнены условия 1)-3) и правая часть H = H₀(t, s)+

H_j(t,s)eσj

j=1

системы (6) принадлежит пространству U. Тогда для разрешимости системы (6) в U

необходимо и достаточно, чтобы тождества (10) выполнялись при всех j = 1,n. При этом

решение системы (6) записывается в виде (7), где w₀(t,s) = -B-1(t)H₀(t,s), w_j(t,s) - век-

тор-функции (11), скалярные функции ξ_j(t, s) ∈ C^∞(0 ≤ s ≤ t ≤ 1) произвольные. Система

(6) при дополнительных условиях

∂w

w(s, s, 0) = w⁰,

,η_j(t)eσj

= 0 при всех (t,s) ∈ {0 ≤ s ≤ t ≤ 1}

(12)

∂t

однозначно разрешима в пространстве U (здесь через 〈·,·〉 обозначено скалярное произве-

дение в U (см. [9, с. 105]).

Доказательство. Первая часть этой теоремы доказана выше при построении решения

(7). Перейдём к доказательству второй части. Подставив (7) в условие w(s, s, 0) = w⁰, будем

иметь

]

∑[

∑

(H_j(s, s), η_k(s))

ξ_j(s,s)θ_j(s) +

θ_k(s)

= w⁰ + B-1(s)H₀(s,s).

μ_j(s) - μ_k(s)

j=1

k=1

k=j

Умножая обе части этого равенства скалярно на η_i(s) и учитывая биортонормированность

систем {θ_j (s)},

{η_i(s)}, получаем

∑

(H_j (s, s), η_i(s))

ξ_i(s,s) = (w⁰ + B-1(s)H₀(s,s),η_i(s)) -

(13)

μ_j(s) - μ_i(s)

j=1

j=i

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№5

2023

696

БОБОДЖАНОВ и др.

Подставив теперь (7) во второе условие (12) и обозначив

(H_j(t, s), η_k(t))(μ_j (t) - μ_k(t))-1 = h_jk(t, s),

будем иметь∗)

∑

(ξ_j (t, s)θ_j (t))^• +

((h_jk(t, s)θ_k(t))^•, η_j (t)) = 0

k=1

k=j

или

∑

dξ_j(t, s)

= -(˙θ(t), ηj (t))ξj (t, s) -

h_jk(t,s)(˙θ(t), ηj (t)), j = 1, n.

(14)

k=1

k=j

Учитывая начальные условия (13), найдём однозначно функции ξ_j(t, s), а значит, построим

единственное решение (7) системы (6) в пространстве U. Теорема доказана.

Перейдём теперь к нахождению решений итерационных задач (5_k). Поскольку система

(5₀) однородная, то её решение имеет вид

∑

z₀(t,s,σ) =

ξ(0)j(t,s)θ_j(t)eσj ,

j=1

где функции ξ(0)j(t, s) удовлетворяют задаче (см. (14), (13))

dξ(0)j(t, s)

= -(˙θ(t), ηj (t))ξ(0)j(t, s), ξ(0)j(s, s) = (er, ηj (s)).

∫t

Так как решение этой задачи определяется формулой ξ(0)j(t, s) = e^-

θ_j(x),η_j(x)) dx(e_r,η_j(s)),

то решение задачи (5₀) можно записать в виде

∑

∫t

z₀ = z0(r)(t,s,σ) =

e^-

θ_j(x),η_j(x)) dx(e_r,η_j(s))θ_j(t)eσj ,

j=1

где индекс (r) означает, что решение z0(r)(t, s, σ) соответствует значению r-го столбца мат-

рицы Z₀(t, s, σ).

Обозначим

∫t

γ_j(t,s) = -

(˙θ(x), η_j (x)) dx, j = 1, n, Z₀(t, s, σ) = (w₀₍₁₎(t, s, σ), . . . , w0(n)(t, s, σ)).

Тогда

)

∑

Z₀(t,s,σ) =

θ_j(t)(e₁,η_j(s))eγj(t,s)+σj ,... ,

θ_j(t)(e_n,η_j(s))eγj (t,s)+σj

j=1

∑

= (θ_j(t)(e₁, η_j (s))eγj (t,s), . . . , θ_j (t)(e_n, η_j (s))eγj (t,s))eσj .

j=1

Аналогичным образом могут быть получены решения неоднородных систем (5_k) при k ≥ 1,

а значит, будут построены матрицы

Z_k(t,s,σ) = (zk(1)(t,s,σ),... ,zk(n)(t,s,σ)), k ≥ 1.

∗) Здесь и далее жирная точка^• означает дифференцирование по t.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№5

2023

СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЁННЫЕ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ

697

∑_∞

В результате будем иметь формальный ряд

Z(t, s, σ, ε) =

ε^kZ_k(t,s,σ). Нетрудно пока-

k=0

зать (см., например, [9, с. 118-121]), что асимптотическим решением N -го порядка задачи (2)

является частичная сумма

∑

Z_ε,N(t,s) =

ε^kZ_k(t,s,ψ(t,s)/ε), ψ = (ψ₁,... ,ψ_n),

k=0

этого ряда, взятого на сужении σ = ψ(t, s)/ε, т.е. что имеет место оценка

∥Z(t, s, ε) - Z_ε,N (t, s)∥C[0,1] ≤ K_N εN+1,

(15)

где постоянная K_N > 0 не зависит от ε ∈ (0, ε₀] (ε₀ > 0 достаточно мало), Z(t, s, ε) - точное

решение задачи (2).

При Re μ_j (t) < 0 (при всех t ∈ [0, 1], j = 1, n) верна экспоненциальная оценка нормы

матрицы Коши Z(t, s, ε) (см., например, [10, с. 69]), из которой вытекает оценка (15). Однако

в случае Re μ_j(t) = 0 для доказательства неравенства (15) требуется иной подход, который

подробно описан в [9, с. 118-121].

2. Регуляризованная асимптотика интегро-дифференциальной системы (1). Рас-

смотрим теперь задачу (1). Сначала заметим, что в правой части системы (5₁) отсутствует

свободный член типа H₀(t, s), поэтому в решении задачи (5₁) также будет отсутствовать член,

не содержащий экспоненты eσi , а значит, матрица Z₁(t, s, σ) будет иметь вид Z₁(t, s, σ) =

∑_n

F1j(t,s)eσj , где F1j(t,s) - n×n-матрицы. По той же причине все матрицы Z_k(t,s,σ),

j=1

k ≥ 2, будут иметь такую же структуру. Таким образом,

∑

Z_k(t,s,σ) =

Fkj (t, s)eσj , k ≥ 1,

j=1

поэтому ряд для расширения матрицы Коши примет вид

∑

Z(t, s, σ, ε) =

ε^kZ_k(t, s, σ) =

ε^k

Fkj (t, s)eσj ,

k=0

j=1

а задача (1) - вид

∫

∑

= A(t)y + ε^k

K(t, s)F_kj (t, s)eψj (t,s)/εy(s, ε) ds + h(t)eiβ(t)/ε, y(0, ε) = y⁰.

k=0

j=1 0

Обозначая K(t, s)F_kj (t, s) ≡ W_kj(t, s), запишем последнюю задачу в форме

∫

∑

= A(t)y + ε^k

eψj(t,s)/εW_kj(t,s)y(s,ε)ds + h(t)eiβ(t)/ε, y(0,ε) = y⁰.

(16)

k=0

j=1

Получена задача интегро-дифференциальной системы с n спектральными значениями

μ_r(t), r = 1,n, ядра интегрального оператора. Эта система более общая, чем система, рас-

смотренная в [3], так как в ней ядро является асимптотическим рядом по ε (тогда как в

∑_∞

[3] в ядре вместо бесконечной суммы

ε^kW_kj(t,s)(t,s) стоит одна матричная функция

k=0

k_j(t,s)). Задачу (16) следует рассматривать при условиях 1)-3), так как при них была полу-

чена асимптотика матрицы Коши Z(t, s, ε). Кроме того, следует наложить дополнительные

ограничения на исходные данные задачи (16):

4) матрица A(t) ∈ C^∞([0, 1], C^n×n), вектор-функция h(t) ∈ C∞([0,1],Cn), скалярная

функция β(t) ∈ C^∞[0, 1];

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№5

2023

9^∗

698

БОБОДЖАНОВ и др.

5) спектр σ(A(t)) матрицы A(t) стабилен, т.е. λ_i(t) = 0, λ_i(t) = λ_j(t), i = j, i, j = 1, n,

для любого t ∈ [0, 1];

6) Re λ_j (t) ≤ 0, j = 1, n, β^′(t) > 0 при всех t ∈ [0, 1];

7) λ_j(t), μ_i(t) = β^′(t), λ_j(t) = μ_i(t), t ∈ [0, 1], i, j = 1, n.

Для единообразия обозначений положим μ_j(t) ≡ λn+j(t), j = 1, n, iβ^′(t) = λ2n+1(t) и

введём регуляризирующие переменные

∫

ψ_j(t)

τ_j =

λ_j(x)dx ≡

j = 1,2n + 1.

Заметим, что ψ_j (t) ≡ ψ_j(t, s)|s=0, j = n + 1, 2n. Для расширения

y = y(t,τ,ε) решения

системы (16) получим следующую задачу:

∫

∑

∂y

∂y₀

∫t

λ_j(t)

= A(t)y+

ε^k

eε-1

λn+j(θ) dθW_kj(t,s)y(s,ψ(s)/ε,ε)ds+h(t)eτ2n+1 σn+1,

∂t

∂τ

j=1

k=0

j=10

y(0, 0, ε) = y⁰, σn+1 ≡ eiβ(0)/ε.

(17)

Однако здесь не проведена регуляризация интегральных операторов

∫

∑

∫t

J_ky(t,τ,ε) =

eε-1

λn+j(θ) dθW_kj(t,s)y(s,ψ(s)/ε,ε)ds, k ≥ 0.

j=1 0

Для их регуляризации введём пространство M_ε, асимптотически инвариантное относительно

оператора J_k y(s, τ, ε) (см. [1; гл. 2, § 6]).

Определение 1. Будем говорить, что вектор-функция w(t,τ) = {w₁,... ,w_n} принадле-

жит пространству Y, если она представима в виде суммы

∑

w(t, τ) = w₀(t, σn+1) +

w_j(t,σn+1)eτj , w_j(t,σn+1) ∈ C^∞([0,1],Cⁿ), j = 0,2n + 1.

(18)

j=1

Так как ограниченная по ε постоянная σn+1 = eiβ(0)/ε не влияет на разработку записан-

ного ниже алгоритма, то далее в элементах (18) пространства Y мы её опускаем.

Подставив функцию (18) в каждый интегральный оператор, входящий в J_k y(s, τ, ε), будем

иметь

∫t

(

)

∫

∑

∫

J_kjw(t,τ) = eε-1

λn+j(x) dxW_kj(t,s) w₀(s) +

w_i(s)eε-1

λ_i(x) dx ds =

i=1

∫t

∫

∑

∫t

∫_s

= eε-1

λn+j(x) dxW_kj(t,s)w₀(s)ds +

eε-1

λn+j(x) dxW_kj(t,s)w_i(s)eε-1

λ_i(x) dx ds =

i=1

∫t

∫

∫t

λn+j(x) dx

= eε-1

λn+j(x) dxW_kj(t,s)w₀(s)ds + eε-1

Wk,n+j(t,s)wn+j(s)ds +

∫

∑

∫t

∫_s

eε-1

λn+j(x) dxW_kj(t,s)w_i(s)eε-1

λ_i(x) dx ds.

i=1

i=n+j

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№5

2023

СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЁННЫЕ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ

699

С помощью интегрирования по частям получим

∫

W_kj(t,s)w₀(s)

∫t

eε-1

λn+j(x) dxW_kj(t,s)w₀(s)ds = -ε

deε-1

λn+j(x) dx =

λn+j(s)

]

∫

^[W_kj(t,0)w₀(0)

∫t

W_kj(t,t)w₀(t)

∫t

∂

⁽W_kj(t,s)w₀(s)⁾

λn+j(x) dx

=ε

eε-1

λn+j(x) dx-

+ε eε-1

ds =

λn+j(0)

λn+j(t)

∂s

λn+j(s)

]

^[W_kj(t,0)w₀(0)

∫t

W_kj(t,t)w₀(t)

=ε

eε-1

λn+j(x) dx -

λn+j(0)

λn+j(t)

[(

))

(

))

]

∂

⁽W_kj(t,s)w₀(s)



∫t

∂

⁽W_kj(t,s)w₀(s)



+ε²

eε-1

λn+j(x) dx -



λn+j(s) ∂s

λn+j(s)

λn+j(s) ∂s

λn+j(s)

s=0

s=t

∫t

(

∫t

∂

⁽ ∂ W_kj(t,s)w₀(s)⁾⁾

λn+j(x) dx

+ε²

eε-1

ds =

∂s λn+j(s)

[

]

∑

∫t

(Imn+j (W_kj(t, s)w₀(s)))|s=0eε-1

λn+j(x) dx - (I^m

(W_kj(t, s)w₀(s)))|s=t

n+j

m=1

где введены операторы

∂

I0n+j =

I1n+j =

(I0n+j ), Imn+j =

(Im-1n+j), m ≥ 1.

(19)

λn+j(s)

λn+j(s) ∂s

Поступая аналогичным образом, при i = n + j будем иметь

∫

∫_s

∫t

eε-1

λn+j(x) dxeε-1

λ_i(x) dxW_kj(t,s)w_i(s)ds =

∫

∫t

λn+j(x) dx

=eε-1

eε-1

(λ_i(x)-λn+j (x)) dxW_kj(t, s)w_i(s) ds =

∫

∫t

W_kj(t,s)

∫t

λn+j(x) dx

= εeε-1

w_i(s)deε-1

(λ_i(x)-λn+j (x)) dx =

λ_i(x) - λn+j(x)

[



s=t

∫t

W_kj(t,s)w_i(s)

∫t



λn+j(x) dx

(λ_i(x)-λn+j (x)) dx

= εeε-1

eε-1



λ_i(s) - λn+j(s)

s=0

∫t

(

)

]

∫

∂

W_kj(t,s)w_i(s)

eε-1

(λ_i(x)-λn+j (x)) dx ds

∂s λ_i(s) - λn+j(s)

[

]

W_kj(t,t)w_i(t)

∫t

W_kj(t,0)w_i(0)

∫t

λn+j(x) dx

=ε

eε-1

λ_i(x) dx -

eε-1

λ_i(t) - λn+j(t)

λ_i(0) - λn+j(0)

∫

(

)

∫t

∂

W_kj(t,s)w_i(s)

∫t

λn+j(x) dx

- εeε-1

eε-1

(λ_i(x)-λn+j (x)) dx ds =

∂s λ_i(s) - λn+j(s)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№5

2023

700

БОБОДЖАНОВ и др.

∑

∫t

= εm+1(-1)^m[(Imn+j,i(W_kj(t,s)w_i(s))s=teε-1

λ_i(x) dx)s=t -

m=0

∫t

- (Imn+j,i(W_kj (t, s)w_i(s))|s=0eε-1

λn+j(x) dx)],

где введены операторы

∂

I0n+j,i =

I1n+j,i =

(I0n+j,i),

λ_i(s) - λn+j(s)

λ_i(s) - λn+j(s) ∂s

∂

Iνn+j,i =

(Iν-1n+j,i), ν ≥ 1.

(20)

λ_i(s) - λn+j(s) ∂s

Таким образом, для произвольной вектор-функции (18) будем иметь

∫

{

∫

∑

J_kw(t,τ) =

eτn+j

Wk,n+j(t,s)wn+j(s) ds +

εm+1

eτn+j

Wk,n+j(t,s)wn+j(s)ds +

j=1

m=0

j=1

+ [(Imn+j(W_kj (t, s)w₀(s)))|s=0eτn+j - (Imn+j (W_kj(t, s)w₀(s)))|s=t] +

}

∑

(-1)^m[(Imn+j,i(W_kj(t, s)w_i(s)))|s=teτi - (Imn+j,i(W_kj(t, s)w_i(s)))|s=0eτn+j ]

i=1

i=n+j

где τ_j = ψ_j(t)/ε, j = 1, 2n + 1.

Обозначим через R_m,k : Y → Y операторы, действующие на каждую функцию (18) по

правилу

∫

∑

R0,kw(t,τ) =

eτn+j

Wk,n+j(t,s)wn+j(s)ds,

j=1

{

∫

∑

Rm+1,kw(t,τ) =

eτn+j

Wk,n+j(t,s)wn+j(s)ds +

j=1

+ [(Imn+j(W_kj (t, s)w₀(s)))|s=0eτn+j - (Imn+j (W_kj(t, s)w₀(s)))|s=t] +

}

∑

(-1)^m[(Imn+j,i(W_kj(t, s)w_i(s)))|s=teτi - (Imn+j,i(W_kj(t, s)w_i(s)))|s=0eτn+j ]

i=1

i=n+j

операторы Imn+j, Imn+j,i имеют вид (19) и (20). Тогда оператор J_kw(t, τ) можно записать крат-

ко в форме

∑

J_kw(t,τ) =

ε^mR_m,kw(t,τ).

m=0

Пусть теперь некоторая вектор-функция y(t, τ, ε), непрерывная по (t, τ) ∈ [0, 1] × Π, где

Π = {Reτ_j ≤ 0, j = 1,2n + 1}, представляется в виде ряда

∑

y(t, τ, ε) =

ε^ly_l(t,τ), y_l(t,τ) = w(l)0(t) +

w(l)j(t)eτj ∈ Y,

(21)

l=0

j=1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№5

2023

СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЁННЫЕ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ

701

сходящегося асимптотически при ε → +0 (равномерно по (t, τ) ∈ [0, 1] × Π). Подставив её в

интегральный оператор системы (17), получим равенства

∫

∑

εk+l

eψj(t,s)/εW_kj(t,s)y_l(s,ψ(s)/ε)ds =

k=0 l=0

j=1 0

∑∑

∑

εk+lJ_ky_l(t,τ) =

R0,ky_l

(t, τ) +

ε^r

R_m,ky_l(t, τ) =

ε^r

R_m,ky_l(t,τ),

k=0 l=0

l=0 k=0

r=1

k+l+m=r

r=0

k+l+m=r

где τ = ψ(t)/ε.

∑_∞

∑

Определение 2. Операто

Jy=

ε^r

R_m,ky_l(t,τ) будем называть формаль-

r∑

k+l+m=r

∑_∞

∫

ным расширением оператора

ε^k

eψj(t,s)/εW_kj(t,s)y(s,ε)ds.

k=0

j=1

Теперь можно записать задачу, полностью регуляризованную по отношению к (16):

∑

∂y

∂y₀

λ_j(t)

= A(t)y

Jy+ h(t)eτ2n+1σn+1,

y(0, 0, ε) = y⁰.

(22)

∂t

∂τ_j

j=1

Подставляя ряд (21) в (22) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях ε,

будем иметь следующие итерационные задачи:

∑

∂y₀

Fy₀ ≡

λ_j(t)

- A(t)y₀ - R0,0y₀ = h(t)eτ2n+1 σn+1, y₀(0, 0) = y⁰,

∂τ_j

j=1

∂y₀

Fy₁ =-

+ (R1,0 + R0,1)y₀, y₁(0, 0) = 0,

∂t

...,

∑

∂yr-1

Fy_r =-

R_m,ky_l(t,τ), y_r(0,0) = 0.

(23)

∂t

k+l+m=r

Каждую пару итерационных задач (23) при r и r + 1 можно записать в виде

∑

∂y

Fy≡

λ_j(t)

- A(t)y = f(t, τ, σn+1), y(0, 0) = y_∗,

∂τ_j

j=1

∂y

Fv=-

+ (R1,0 + R0,1)y + g(t, τ, σn+1),

(24)

∂t

где f(t, τ, σn+1), g(t, τ, σn+1) - известные вектор-функции класса Y. Здесь, так же как и в

п. 1, нетрудно доказать следующий результат.

Теорема 2. Пусть выполнены условия 1)-7) и вектор-функция f(t, τ, σn+1) ∈ Y. Тогда

для разрешимости системы (24) в пространстве Y необходимо и достаточно, чтобы для

любого t ∈ [0, 1] выполнялись условия

〈f(t, τ, σn+1)||χ_j (t)eτj 〉 = 0, j = 1, n.

(25)

При выполнении условий (25) и дополнительных требованиях

∂y

+ R1,0y + g(t,τ,σn+1)||χ_j(t)eτj

≡0

при всех t ∈ [0,1], j = 1,n,

(26)

∂t

задача (24) однозначно разрешима в пространстве Y.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№5

2023

702

БОБОДЖАНОВ и др.

Здесь через 〈 · || · 〉 обозначено скалярное (при каждом t ∈ [0, 1]) произведение в Y (см. [9,

с. 105]), χ_i(t) - (λ_j) - собственный вектор матрицы A^∗(t), j = 1, n. Обращаем внимание на

то, что в (25) и (26) в умножении участвуют только вектор-функции χ₁(t)eτ1 , . . . , χ_n(t)eτn ,

так как функции типа q_j(t)eτj , j = n + 1, 2n + 1, не входят в ядро оператора

∑

∂y

Fy≡

λ_j(t)

- A(t)y.

∂τ_j

j=1

∑_N

И, наконец, обозначая через y_εN (t) =

ε^ry_r(t,ψ(t)/ε) сужение N-й частичной суммы

r=1

ряда (21) при τ = ψ(t)/ε = (ψ₁(t)/ε, . . . , ψ2n+1(t)/ε), докажем (так же как и в [9, с. 303-308])

оценку

∥y(t, ε) - y_εN (t)∥C[0,T] ≤ M_N εN+1, N ∈ N

^⋃ {0},

где постоянная M_N > 0 не зависит от ε ∈ (0, ε₀] (ε₀ > 0 достаточно мало).

3. Построение главного члена асимптотики. Развитый нами алгоритм позволяет по-

лучать асимптотику решения исходной задачи любого порядка (по ε). Однако вычисление

высших приближений связано с громоздкими выкладками. На практике обычно ограничива-

ются главным членом асимптотики, структура которого повторяет структуру точного решения

задачи (1). В этом случае иногда достаточно ограничиться системой

∫t

ψ_j(t,s)

∑

= A(t)y +

e ε (W0j(t,s) + εW1j(t,s))y(s,ε)ds + h(t)eiβ(t)/ε, y(0,ε) = y⁰

j=1

и рассмотреть только две первые итерационные задачи:

∑

∂y₀

Fy₀ ≡

λ_j(t)

- A(t)y₀ - R0,0y₀ = h(t)eτ2n+1 σn+1, y₀(0, 0) = y⁰,

(27)

∂τ_j

j=1

∂y₀

Fy₁ =-

+ (R1,0 + R0,1)y₀, y₁(0, 0) = 0,

∂t

где R0,0y₀, R1,0y₀, R0,1y₀ будут такими:

∫

∑

R0,0w(t,τ) =

eτn+j

W0,n+j(t,s)wn+j(s)ds,

j=1

{

∑

R1,0y₀(t,τ) =

[(I0n+j (W0j (t, s)w₀(s)))|s=0eτn+j - (I0n+j (W0j (t, s)w₀(s)))|s=t] +

j=1

}

∑

[(I0n+j,i(W0j (t, s)w_i(s)))|s=teτi - (I0n+j,i(W0j (t, s)w_i(s)))|s=0eτn+j ]

i=1

i=n+j

∫

∑

R0,1w(t,τ) =

eτn+j

W1,n+j(t,s)wn+j(s) ds.

j=1

Определив решение системы (27) в виде суммы

∑

y₀(t,τ) = y⁽⁰⁾⁰(t) +

y(0)j(t)eτj ,

(28)

j=1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№5

2023

СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЁННЫЕ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ

703

получим уравнения

∫t

[λn+i(t)I - A(t)]y(0)n+i(t) - W0,n+i(s)y(0)n+i(s) = 0, i = 1, n,

[λ2n+1(t)I - A(t)]y(0)2n+1(t) = h(t)σ,

-A(t)y⁽⁰⁾⁰(t) = 0,

[λ_j (t)I - A(t)]y(0)j(t) = 0, j = 1, n,

решив которые, найдём

y⁽⁰⁾⁰(t) = 0, y(0)n+i(t) = 0, i = 1,n,

y(0)j(t) = α_j(t)ϕ_j(t), j = 1,n,

y(0)2n+1(t) = [λ2n+1(t)I - A(t)]-1h(t)σn+1,

где α_i(t) ∈ C^∞([0, 1], C¹) - пока произвольные функции. Решение (28) системы (27) запишется

в виде

∑

y₀(t,τ) =

α_j(t)ϕ_j(t)eτj + [λ2n+1(t)I - A(t)]-1h(t)eτ2n+1 σn+1.

(29)

j=1

Подставив (29) в начальное условие y₀(0, 0) = y⁰, найдём

α_j(0) = (y⁰ - [λ2n+1(0)I - A(0)]-1h(0)σn+1,χ_j(t)), j = 1,n.

(30)

Для вычисления скалярного произведения в условиях



∂y₀



+ (R1,0 + R0,1)y₀



= 0, i = 1, n,

(31)

χ

i(t)eτi

∂t

нужно выделить в выражении (R1,0 + R0,1)y₀ члены, зависящие только от eτi , i = 1, n :

∑

∑∑

(I0n+j,i(W0j (t, s)w_i(s)))|s=teτi =

(I0n+j,i(W0j (t, s)w_i(s)))|s=teτi .

j=1 i=1

i=1 j=1

Теперь условия (31) запишутся как

(

)

)

∑



-(α_i(t)ϕ_i(t))^• +

(W0j (t, s))

ϕi(t)αi(t), χi(t)

= 0, i = 1, n.



λ_i(s) - λn+j(s)

j=1

s=t

Присоединяя к этой системе уравнений начальные условия (30), найдём однозначно функции

∫t

α_i(t) = α_i(0)e

q_i(x) dx, i = 1,n,

где обозначено

(

)

)

∑



q_i(t) ≡

- ϕ_i(t) +

(W0j (t, s))

ϕi(t), χi(t)



λ_i(s) - λn+j(s)

j=1

s=t

При этом главный член асимптотики решения задачи (1) имеет вид

∑

∫t

y0ε(t) =

α_j(t)ϕ_j(t)eε-1

λ_j(θ) dθ + [λ2n+1(t)I - A(t)]-1h(t)eiβ(t)/ε.

(32)

j=1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№5

2023

704

БОБОДЖАНОВ и др.

Из (32) видно, что интегральный оператор на структуру главного члена асимптотики ре-

шения задачи (1) влияет через операторы W0j (t, t) (т.е. в конечном счёте через диагональное

ядро K(t, t)) и быстро осциллирующую функцию h(t)eiβ(t)/ε. Если K(t, t) ≡ 0, то система

(2) не оказывает никакого влияния на структуру главного члена асимптотики решения задачи

(1), т.е. в первом приближении интегро-дифференциальная система (1) ведет себя так же, как

и дифференциальная система ε y = A(t)y + h(t)eiβ(t)/ε, y(0, ε) = y⁰ (влияние интегрально-

го члена проявится при построении высших приближений). Из (32) также видно, что даже

в случае когда спектры матриц A(t) и B(t) лежат строго слева от мнимой оси (Re λ_i(t) <

< 0, j = 1, 2n, t ∈ [0, 1]), точное решение y(t, ε) задачи (1) не стремится (в непрерывной

метрике) ни к какому пределу при ε → +0. Выйдя при t = 0 из начальной точки y⁰, оно

неограниченно колеблется при ε → +0 около функции [λ2n+1(t)I - A(t)]-1h(t).

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда (проект 23-21-

00496).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ломов С.А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений. М., 1981.

2. Ломов С.А., Ломов И.С. Основы математической теории пограничного слоя. М., 2011.

3. Бободжанов А.А., Сафонов В.Ф. Интегральные уравнения Вольтерры с быстро изменяющимися

ядрами и их асимптотическое интегрирование // Мат. сб. 2001. Т. 192. № 8. С. 53-78.

4. Сафонов В.Ф., Калимбетов Б.Т. Метод регуляризации для систем с нестабильным спектральным

значением ядра интегрального оператора // Дифференц. уравнения. 1995. Т. 4. С. 696-706.

5. Бободжанов А.А., Сафонов В.Ф. Сингулярно возмущённые нелинейные интегро-дифференциаль-

ные системы с быстро изменяющимися ядрами // Мат. заметки. 2002. Т. 72. Вып. 5. С. 654-664.

6. Сафонов В.Ф., Туйчиев О.Д. Регуляризация сингулярно возмущённых интегральных уравнений с

быстро изменяющимся ядром и их асимптотика // Дифференц. уравнения. 1997. Т. 33. № 9. С. 1199-

1211.

7. Ломов С.А. Однозначная разрешимость некоторых матричных уравнений с частными производны-

ми // Мат. заметки. 1977. Т. 21. № 4. С. 525-530.

8. Бободжанов А.А., Сафонов В.Ф. Асимптотические решения интегро-дифференциальной системы

с быстро изменяющимися ядрами специального вида // Вестн. Моск. энергетического ин-та. 2011.

№ 6. С. 47-56.

9. Сафонов В.Ф., Бободжанов А.А. Курс высшей математики. Сингулярно возмущенные задачи и

метод регуляризации. М., 2012.

10. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных

уравнений. М., 1973.

Национальный исследовательский университет

Поступила в редакцию 22.01.2023 г.

“Московский энергетический институт”,

После доработки 31.03.2023 г.

Южно-Казахстанский университет

Принята к публикации 18.04.2023 г.

имени М. Ауезова, г. Шымкент, Казахстан

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№5

2023