ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2023, том 59, № 6, с.707-711
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
УДК 517.925.51+517.926
ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ КОЭФФИЦИЕНТОВ КВАДРАТИЧНОЙ
ФУНКЦИИ ЛЯПУНОВА С ЗАДАННЫМИ СВОЙСТВАМИ
В СЛУЧАЕ КРАТНЫХ КОРНЕЙ
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
© 2023 г. О. Г. Антоновская
Для непрерывных и дискретных линейных автономных систем обсуждается возможность
выбора коэффициентов квадратичной функции Ляпунова, обеспечивающих выполнение
условия знакоотрицательности её первой производной (первой разности) с заданным запа-
сом в случае кратных корней характеристического уравнения.
DOI: 10.31857/S0374064123060018, EDN: FFHCNR
Введение. В задачах исследования устойчивости прямым методом Ляпунова как непре-
рывных, так и дискретных систем, широкое применение находят функции Ляпунова квадра-
тичного вида, построенные для соответствующих линейных систем [1, с. 120-132; 2, с. 33-45].
При решении прикладных динамических задач, когда интерес представляют не только каче-
ственные, но и количественные характеристики системы, возникает необходимость использо-
вания ограничений на величину первой производной (первой разности) функции Ляпунова в
силу соответствующей линейной системы [3, 4].
В работе [4] для случая различных корней характеристического уравнения решается за-
дача такого выбора коэффициентов квадратичной функции Ляпунова с помощью простых
соотношений, что выполнение неравенства
V (x) < 0 (ΔV (x) < 0) на заданной поверхности
уровня V (x) = V0 обеспечивается с заданным (не обязательно максимальным) запасом. Здесь
x ∈ Rn, n ∈ N. В настоящей работе обсуждается возможность решения аналогичной задачи в
случае кратных корней характеристического уравнения. Рассматривается случай, когда мат-
рица канонической системы представляет собой жорданову клетку (жорданов блок), т.е. все
корни характеристического уравнения действительны и равны между собой.
1. Выбор коэффициентов квадратичной функции Ляпунова, удовлетворяющей
заданному ограничению, для линейных систем дифференциальных уравнений. Ко-
эффициенты квадратичной функции Ляпунова, для которой выполнение неравенства
V (x) <
< 0 для производной квадратичной формы V (x) в силу линейной автономной системы обес-
печивается с заданным запасом δ (т.е.
V (x) < δV (x), x = 0), естественно выбирать с исполь-
зованием следующего утверждения, доказанного в работах [3, 5], а именно: пусть дана система
дифференциальных уравнений
x = Ax, x = (x1,...,xn)т ∈ Rn,
(1)
такая, что корни λ1, λ2, . . . , λn характеристического уравнения имеют отрицательные дейст-
вительные части. И пусть положительно определённая квадратичная форма задана соотно-
шением
V (x) = xтKx (Kт = K).
(2)
Элементы постоянных n×n-матриц A = (aij )nij=1 и K = (Kij )nij=1 вещественные. Рассмотрим
первую производную квадратичной формы (2) в силу системы (1)
V
(1)(x) = xт(AтK + KA)x.
(3)
Теорема 1. Пусть квадратичная форма (2) является функцией Ляпунова системы (1)
и на заданной поверхности уровня V (x) = V0 = const > 0 функции V (x) максимальное
707
708
АНТОНОВСКАЯ
значение её первой производной (3) в силу системы (1) равно δV0. Тогда для собствен-
ных значений λi, i = 1,n, матрицы коэффициентов системы (1) справедливо неравенство
2 max Reλi ≤ δ < 0, а δ является наибольшим корнем уравнения
i=1,n
det (AтK + KA - μK) = 0.
(4)
Для случая, когда все корни характеристического уравнения действительны и различны,
в работе [4] предложена методика выбора коэффициентов квадратичной формы (2), основан-
ная на переходе с помощью линейного преобразования неизвестных к каноническому виду
соответствующей дифференциальной системы, имеющему диагональный вид.
В случае, когда среди корней характеристического уравнения есть кратные действительные
корни, проблема состоит в том, что матрицу системы не всегда можно привести к диагональ-
ному виду [6, с. 168-172; 7, с. 117-122]. Следует отметить, что всегда существует линейное
невырожденное преобразование координат
x = Bξ, ξ = (ξ1,...,ξn)т ∈ Rn, B = (bij)ni,j=1,
приводящее систему к каноническому виду [8, с. 121]. Но даже в случае системы второго
порядка канонический вид линеаризованной системы может быть как
ξ1 = λξ1,
ξ2 = λξ2,
(5)
так и
ξ1 = λξ1 + ξ2,
ξ2 = λξ2
(6)
(λ - кратный корень характеристического уравнения). В первом случае, какую бы положи-
тельно определённую квадратичную форму
V (ξ1, ξ2) = K11ξ21 + 2K12ξ1ξ2 + K22ξ22
(7)
V
мы ни взяли, первая производная в силу (5) будет равна
(5)(x)(ξ1, ξ2)
= 2λV (ξ1, ξ2), т.е.
V
max
(5)(x)/V (x) = 2λ. Во втором случае уравнение (4) запишется в виде
x=0
(2λ - μ)K11
(2λ - μ)K12 + K11
0.
(8)
(2λ - μ)K12 + K11
(2λ - μ)K22 + 2K12=
Следует отметить, что в этом случае значение μmax = 2λ недостижимо, так как приводит к
соотношению K11 = 0, невозможному для положительно определённой формы (7). Согласно
(8) максимальный корень этого уравнения будет равен
K11
μmax = 2λ +
√
(9)
K11K22 - K2
12
И поскольку значение K12 = 0 даёт минимум (9) при фиксированных значениях остальных
коэффициентов (7), квадратичную функцию Ляпунова можно искать в виде
V (ξ1, ξ2) = K11ξ21 + K22ξ22.
(10)
В этом случае (9) примет вид
√
K11
μmax = 2λ +
,
K22
а значение k = K11/K22, если μmax = δ
(2λ < δ < 0), будет равно k = (2λ - δ)2. (Тот факт,
что maxV /V ≥ 2λ, следует из теоремы 1.)
Таким образом, имеет место следующая
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№6
2023
ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ КОЭФФИЦИЕНТОВ
709
Теорема 2. Для любого δ ∈ (2λ, 0) положительно определённая квадратичная форма
√
(10), коэффициенты которой удовлетворяют условию 2λ +
k = δ, где k = K11/K22, явля-
ется функцией Ляпунова системы (6), причём maxV(6)/V = δ. При δ ≤ 2λ квадратичной
функции Ляпунова с указанным свойством не существует.
В случае, когда матрица канонической системы содержит жорданову клетку порядка n>2,
квадратичную функцию Ляпунова, подобно (10), будем подбирать в виде
∑
V (ξ1, ξ2, . . . , ξn) =
Kiiξ2i.
(11)
i=1
Тогда соответствующий ей блок в уравнении (4) можно записать как
Dn(μ,K11,K22,... ,Knn) = 0,
(12)
где при n ≥ 4
Dn(μ,K11,K22,... ,Knn) = (2λ - μ)K11Dn-1(μ,K22,K33,... ,Knn) -
- K211Dn-2(μ,K33,... ,Knn),
причём
D2(μ,K11,K22) = (2λ - μ)2K11K22 - K211,
D3(δ,K11,K22,K33) = (2λ - μ)K11D2(δ,K22,K33) - (2λ - μ)K211K33.
Таким образом, имеет место следующая
Теорема 3. Для любого δ ∈ (2λ, 0) положительно определённая квадратичная форма
(11), коэффициенты которой удовлетворяют условию μmax = δ, где μmax - наибольший
корень уравнения (12), существует и является функцией Ляпунова системы
˙
ξ
=Jnξ,
(13)
где Jn - жорданова клетка порядка n, причём maxV /V(13) = δ. При δ ≤ 2λ квадратичной
функции Ляпунова с указанным свойством не существует.
Примем в случае n = 3, что
√
K11
K22
μmax = 2λ +
+
K22
K33
Если считать, что все отношения Ki-1,i-1/Kii = k, i = 2, n, равны между собой, то для
любого μ ∈ (2λ, 0) [5], разделив обе части (12) на K11K22 · · · Knn, получим
dn(μ,k) = (2λ - μ)dn-1(μ,k) - kdn-2(μ,k) = 0,
(14)
где dn = Dn/(K11K22 · · · Knn). При этом
d2(μ,k) = (2λ - μ)2 - k, d3(μ,k) = (2λ - μ)((2λ - μ)2 - 2k).
Из теоремы 3 следует
Следствие 1. Для любого δ ∈ (2λ, 0) положительно определённая квадратичная фор-
ма (11), коэффициенты которой удовлетворяют условию μmax = δ, где μmax - наибольший
корень уравнения (14), и k = Ki-1,i-1/Kii, i = 2, n, существует и является функцией Ля-
пунова системы (13), причём maxV(13)/V = δ. При δ ≤ 2λ квадратичной функции Ляпунова
с указанным свойством не существует.
√
Таким образом, при n = 3 получим, что μmax = 2λ +
2k, при n = 4 μmax = 2λ +
√
√
√
√
√
+(
5 + 1)
k/2, при n = 5 μmax = 2λ +
3k, при n = 7 μmax = 2λ + (
2 + 2)
k и
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№6
2023
710
АНТОНОВСКАЯ
т.д. А в предположении, что задано δ ∈ (2λ, 0), из равенства μmax = δ можно получить
соответствующее ему значение k, а именно: при n = 3 k = (2λ - δ)2/2, при n = 4 k =
√
√
= (3 -
5)(2λ - δ)2/2, при n = 5 k = (2λ - δ)2/3, при n = 7 k = (2λ - δ)2/(6 + 4
2)
и т.д.
Замечание 1. Если некоторому корню характеристического уравнения соответствует жор-
данов блок, содержащий несколько различных жордановых клеток, то для каждой клетки
выбор соответствующих коэффициентов в квадратичной функции Ляпунова может осуществ-
ляться по указанному выше принципу. Тогда полученная в результате квадратичная функция
Ляпунова будет обладать заданными свойствами.
Переходя обратно от канонических переменных к исходным и задавая конкретное числовое
значение величины K11 > 0, получаем квадратичную функцию Ляпунова, которая будет
удовлетворять условию maxV(1)/V = δ для выбранного δ ∈ (2λ, 0) [5].
2. Выбор коэффициентов квадратичной функции Ляпунова, удовлетворяющей
заданному ограничению, для линейных точечных отображений. Коэффициенты квад-
ратичной функции Ляпунова, для которой выполнение неравенства ΔV (x) < 0 для пер-
вой разности квадратичной формы V (x) в силу функций последования линейного точечного
отображения обеспечивается с заданным запасом δ (т.е. ΔV (x) < δV (x), x = 0), естественно
выбирать с использованием теоремы, подобной теореме 1, доказанной в работе [3]. Для случая
когда все корни характеристического уравнения действительны и различны, в [4] предложена
методика выбора коэффициентов (2), основанная на переходе к каноническому виду точечно-
го отображения. В случае когда среди корней характеристического уравнения есть кратные
действительные корни будем рассуждать аналогично случаю дифференциальной системы, а
именно: пусть дано линейное точечное отображение вида
x = Ax, x = (x1,...,xn)т ∈ Rn,
(15)
такое, что корни z1, z2, . . . , zn характеристического уравнения, соответствующего неподвиж-
ной точке x1 = x2 = . . . = xn = 0, лежат внутри круга единичного радиуса, действительны и
равны между собой, т.е. z1 = z2 = . . . = zn = z. Рассмотрим первую разность квадратичной
формы (2) в силу (15)
Δ(15)V (x) = xт(AтKA - K)x.
Утверждения, аналогичные теоремам 2, 3 и следствию 1, в канонических переменных будут
иметь следующий вид.
Теорема 4. Для любого δ ∈ (z2 - 1, 0) положительно определённая квадратичная форма
(10), коэффициенты которой удовлетворяют условию k = (1 - z2 - δ)2/(1 + δ), где k =
= K11/K22, является функцией Ляпунова для отображения
ξ1 = zξ1 + ξ2,
ξ2 = zξ2,
(16)
причём max Δ(16)V/V = δ. При δ ≤ z2 - 1 квадратичной функции Ляпунова с указанным
свойством не существует.
Теорема 5. Для любого δ ∈ (z2 - 1, 0) положительно определённая квадратичная форма
(11), коэффициенты которой удовлетворяют условию μmax = δ, где μmax - наибольший
корень уравнения
((z2 - 1 - μ)K11)Dn-1(μ, K11, K22, . . . , Knn) - z2K211 Dn-2(μ, K22, . . . , Knn) = 0,
в котором
D2(μ,K11,K22,K33) = ((z2 - 1 - μ)K22 + K11)((z2 - 1 - μ)K33 + K22) - z2K222,
D3(μ,K11,K22,K33) = ((z2 -1-μ)K22 +K11)D2(μ,K22,K33,K44)-z2K222((z2 -1-μ)K44 +K33),
существует и является функцией Ляпунова для отображения
ξ=Jnξ,
(17)
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№6
2023
ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ КОЭФФИЦИЕНТОВ
711
где Jn - жорданова клетка порядка n, причём max Δ(17)V/V = δ. При δ ≤ z2 - 1 квадра-
тичной функции Ляпунова с указанным свойством не существует.
Следствие 2. Для любого δ ∈ (z2-1, 0) положительно определённая квадратичная форма
(11), коэффициенты которой удовлетворяют условию μmax = δ, где μmax - наибольший
корень уравнения
(z2 - 1 - μ
dn-1(μ,k) - z2
dn-2(μ,k) = 0,
(18)
в котором
dn(μ,k) = (z2 - 1 - μ + k
dn-1(μ,k) - z2
dn-2(μ,k),
d2(μ,k) = (z2 - 1 - μ + k)2 - z2k,
d3(μ,k) = (z2 - 1 - μ + k
d2(μ,k) - z2k(z2 - 1 - μ + k),
а k = Ki-1,i-1/Kii при всех i = 2,n, существует и является функцией Ляпунова для отобра-
жения (17), причём max Δ(17)V/V = δ. При δ ≤ z2 - 1 квадратичной функции Ляпунова с
указанным свойством не существует.
√
Так при n = 2 максимальный корень уравнения (18) есть μmax = z2-1+(k+
k2 + 4z2k)/2.
√
√
При n = 3 для любого δ ∈ (z2 - 1, 0) найдём значения k = (1 - z2 + δ)(
1 + δ ± |z|)/
1+δ.
√
А, скажем, при n = 5 для любого δ ∈ (z2 - 1, 0) найдём k = (1 - z2 + δ)/(1 +
3|z|) и т.д.
Замечание 2. Если некоторому корню характеристического уравнения соответствует жор-
данов блок, содержащий несколько различных жордановых клеток, то для каждой клетки
выбор соответствующих коэффициентов в квадратичной функции Ляпунова может осуществ-
ляться по указанному выше принципу. Тогда полученная в результате квадратичная функция
Ляпунова будет обладать заданными свойствами.
Переходя обратно от канонических переменных к исходным и задавая конкретное число-
вое значение величины K11 > 0, получаем квадратичную функцию Ляпунова для точечного
отображения (15) такую, что max Δ(15)V/V = δ для выбранного δ ∈ (z2 - 1, 0).
Заключение. Приведённые в статье результаты дополняют результаты, полученные для
случая различных корней характеристического уравнения [4], о построении квадратичных
функций Ляпунова, удовлетворяющих ограничениям на первую производную (первую раз-
ность) в силу системы.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Барбашин Е.А. Функции Ляпунова. М., 1970.
2. Косякин А.А., Шамриков Б.М. Колебания в цифровых автоматических системах. М., 1983.
3. Антоновская О.Г. О построении квадратичной функции Ляпунова с заданными свойствами
// Дифференц. уравнения. 2013. Т. 49. № 9. С. 1220-1224.
4. Антоновская О.Г. Об определении коэффициентов квадратичной функции Ляпунова с заданными
свойствами // Дифференц. уравнения. 2016. Т. 52. № 3. С. 275-281.
5. Антоновская О.Г. О сохранении квадратичной функции Ляпунова линейной дифференциальной
автономной системы при стационарных возмущениях её коэффициентов // Дифференц. уравнения.
2023. Т. 59. № 3. С. 295-302.
6. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М., 1984.
7. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. М., 1999.
8. Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. М.; Л., 1950.
Нижегородский государственный
Поступила в редакцию 21.11.2022 г.
архитектурно-строительный университет
После доработки 18.05.2023 г.
Принята к публикации 19.05.2023 г.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№6
2023
