ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2023, том 59, № 6, с.726-734

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

УДК 517.925.5

ИССЛЕДОВАНИЕ ПОКАЗАТЕЛЕЙ

КОЛЕБЛЕМОСТИ, ВРАЩАЕМОСТИ И БЛУЖДАЕМОСТИ

ПО ПЕРВОМУ ПРИБЛИЖЕНИЮ

Изучены показатели колеблемости, вращаемости и блуждаемости, аналогичные показате-

лям Ляпунова и адаптированные к нелинейным системам дифференциальных уравнений.

Перечислены самые разные - как гарантированные, так и различные реализуемые - соот-

ношения между линейными, сферическими, радиальными и шаровыми разновидностями

этих показателей, а также рассмотрены их взаимосвязи с аналогичными показателями сис-

темы первого приближения.

DOI: 10.31857/S0374064123060031, EDN: FFMEHE

Введение. Картина качественных свойств решений дифференциальных уравнений, важ-

нейшим из которых является устойчивость [1], заметно обогащается знанием их колебательных

свойств. Для количественного изучения последних были введены сначала характеристические

частоты [2], а затем и показатели колеблемости, вращаемости и блуждаемости [3, 4]. Эти

характеристики исследовались многими авторами (см., например, [5-14]).

Однако все перечисленные выше показатели (называемые ниже линейными) оказались

применимы лишь к решениям, определённым гарантированно на всей положительной полуоси

времени, тогда как для решений нелинейных систем такой гарантии дать нельзя. В настоящей

работе развиваются начатые в статье [15] попытки распространить определения этих показа-

телей на системы, решения которых не обязательно продолжаемы на всю полуось, а именно

рассматриваются сферические [16], радиальные [17] и шаровые [18] функционалы и показатели.

Ниже для указанных показателей нелинейной системы рассматриваются самые разнооб-

разные (как фиксированные, так и вариативные) их взаимосвязи не только друг с другом, но

и с аналогичными показателями соответствующей системы линейного приближения [19, 20].

Перспектива представленной работы видится в возможности дальнейшего детального иссле-

дования колебательных свойств исходной системы по её первому приближению [21].

1. Базовые понятия. Для заданного натурального n > 1 и заданной открытой окрест-

ности G точки 0 в евклидовом (векторном) фазовом пространстве Rⁿ рассмотрим диффе-

ренциальную, вообще говоря, нелинейную систему вида

x = f(t,x), x ∈ G, f(t,0) = 0, t ∈ R₊ ≡ [0,+∞), f,f^′x ∈ C(R₊ × G),

(1)

обеспечивающую наличие нулевого решения, а также существование и единственность реше-

ний задач Коши. С системой (1) свяжем линейную систему её первого приближения

x = A(t)x ≡ f_′(t,x), A(t) = f^′x(t,0), t ∈ R₊, x ∈ Rⁿ,

(2)

причём на нелинейную добавку

f (t, x) - f_′(t, x) = o(x), x → 0,

стандартное требование её равномерной малости по t ∈ R₊ мы здесь не накладываем.

Через x_f ( · , x₀) будем обозначать непродолжаемое решение системы (1) с начальным усло-

вием x_f (0, x₀) = x₀, а через G_∗ и G_δ - множества всех значений x₀ ∈ G, удовлетворяющих

условию x₀ = 0 или соответственно 0 < |x₀| < δ.

726

ИССЛЕДОВАНИЕ КОЛЕБЛЕМОСТИ, ВРАЩАЕМОСТИ И БЛУЖДАЕМОСТИ

727

Определение 1. Три основных функционала K(t,u), которые определены на множестве

пар, образуемых моментами времени t > 0 и непрерывно-дифференцируемыми функциями

u : [0,t] → Rⁿ, отвечают показателям

κ = ν,θ,ρ, где K = N,Θ,P соответственно,

(3)

и описывают следующие конкретные свойства решений:

а) колеблемость в случае κ = ν, т.е. когда K(t, u) = N(t, u) - нормированное (умноженное

на π) число нулей на промежутке (0, t] функции P₁u, где P₁ - ортогональный проектор на

фиксированную прямую в Rⁿ, причём в критической ситуации, когда хотя бы один из нулей

τ ∈ [0,t] кратен (т.е. является нулём ещё и производной (P₁u)^·), считаем выражение N(t,u)

неопределённым;

б) вращаемость (ориентированная) в случае κ = θ, т.е. когда K(t, u)=Θ(t, u) ≡ |ϕ(t, P₂u)|

есть модуль ориентированного угла ϕ(t, P₂u) (непрерывного по t, с начальным условием

ϕ(0, P₂u) = 0) между вектором P₂u(t) и начальным вектором P₂u(0), где P₂ - ортогональный

проектор на фиксированную плоскость в Rⁿ, причём в критической ситуации, когда P₂u(τ) =

= 0 хотя бы при одном τ ∈ [0,t], считаем выражение Θ(t,u) неопределённым;

в) блуждаемость в случае κ = ρ, т.е. когда

∫^t



 d

u(τ)



K(t, u) = P(t, u) ≡



τ, u(τ) = 0, τ ∈ [0,t].

^d

^ dτ |u(τ)|

Известны и другие функционалы, отвечающие за неориентированную и частотную вра-

щаемость [4], за поворачиваемость данного ранга [22], а также за плоскую вращаемость [23].

Замечание 1. В работах [15, 17-21] функционалы из определения 1 в критической ситуа-

ции считались принимающими вполне определённое, хотя и бесконечное значение +∞. Такой

подход приводил к тому, что верхние радиальные или шаровые показатели колеблемости или

вращаемости могли равняться +∞, что лишило бы их содержательного смысла - именно этим

и обусловлено нынешнее изменение их значений в критических ситуациях.

Определение 2. Для каждого функционала (3) по системе (1), моменту t ∈ R₊, невы-

рожденному оператору L ∈ Aut Rⁿ, а при необходимости и начальному значению x₀ ∈ G_∗,

определим функционалы:

а) линейный и сферический

K_l(f,x₀,t,L) ≡ K(t,Lx_f(·,x₀)), K_s(f,x₀,t,L) ≡ K(t,Lxfs(·,x₀)),

где f_s(t, x) ≡ P^⊥xf(t, x), а P^⊥x - ортогональный проектор на гиперплоскость, ортогональную

вектору x ∈ Rⁿ (причём сферической называем и систему, получаемую из (1) заменой её

правой части f на f_s);

б) нижние радиальный и шаровой

Ǩ_r(f,x₀,t,L) ≡ lim

K(t, Lx_f ( · , μx₀)),

Ǩ_b(f,t,L) ≡ lim K(t,Lx_f(·,x₀)),

(4)

μ→+0

x₀→0

а верхние радиальный

K_r(f,x₀,t,L) и шаровой

K_b(f,t,L) функционалы зададим теми же

формулами (4), но с заменой в них нижних пределов при μ → +0 и x₀ → 0 верхними

соответственно.

Функционалы из определений 1 и 2 применимы только к решениям, которые определены

на всём рассматриваемом промежутке, а для линейных показателей в следующем определе-

нии - сразу на всей полуоси, что может оказаться принципиально неосуществимым (причём

возможно даже при всех x₀ ∈ G_∗). Именно эту проблему и призваны устранить сферические

показатели при достаточно близких к нулю начальных значениях x₀ ∈ G_δ, а также радиаль-

ные и шаровые показатели при любых x₀ ∈ G_∗.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№6

2023

728

СЕРГЕЕВ

Определение 3. Для каждого функционала (3) по системе (1), а при необходимости и

начальному значению x₀ ∈ G_∗, зададим соответствующие показатели колеблемости, враща-

емости или блуждаемости:

1) нижние слабые линейный и сферический - формулами

κ^◦l(f,x₀) ≡ lim

inf

t-1K_l(f,x₀,t,L),

κ^◦s(f,x₀) ≡ lim

inf

t-1K_s(f,x₀,t,L);

(5)

t→+∞

L∈Aut Rⁿ

t→+∞

L∈Aut Rⁿ

2) нижние слабые радиальный и шаровой - формулами

κ^◦r(f,x₀) ≡ lim

inf

t-1 Ǩ_r(f,x₀,t,L),

κ^◦b(f) ≡ lim

inf

t-1 Ǩ_b(f,t,L);

(6)

t→+∞

L∈Aut Rⁿ

t→+∞

L∈Aut Rⁿ

3) верхние слабые линейный κ^◦l(f, x₀), сферический κ^◦s(f, x₀), радиальный κ◦r(f,x0) и ша-

ровой

κ^◦b(f) - теми же формулами (5) и (6), но с заменой в них всех нижних пределов при

t → +∞ и нижних функционаловǨr,

Ǩ_b верхними соответственно;

4) нижние или верхние сильные линейный κ^•l(f, x₀), сферический κ•s(f,x0), радиальный

κ^•r(f,x₀) и шаровой

κ^•b(f) (где тильде соответствует “галочка” (ˇ) или “крышечка”

(ˆ)) -

теми же формулами (5) и (6) для нижних показателей или аналогичными для верхних, но с

переставленными в них местами нижними или верхними пределами при t → +∞ и точными

нижними гранями по L ∈ Aut Rⁿ;

5) точные, образуемые при совпадении какого-либо нижнего показателя с аналогичным

верхним, - в этом случае разрешим опускать в их обозначении и “галочку”, и “крышечку”;

6) абсолютные, образуемые при совпадении какого-либо слабого показателя с аналогичным

сильным, - в этом случае разрешим опускать в их обозначении верхние индексы (все кружки).

Замечание 2. Значения функционалов колеблемости или вращаемости из определения 2

оказываются неопределёнными в критических ситуациях из определения 1. Такие ситуации

могут наступать даже и отдельно для какого-либо радиального функционала, не будучи кри-

тическими для шарового (см. замечание 5 ниже). Однако некритические значения операторов

L ∈ AutRⁿ типичны по мере [24, 25], а, значит, критические заведомо устранимы взятием

точной нижней грани по этим операторам в формулах из определения 3.

Обозначения. Наряду с уже принятыми обозначениями из равенств (3) и с уже исполь-

зованным в п. 4) определения 3 выше единым обозначением “галочки” и “крышечки” в виде

тильды, в дальнейшем для краткости также будем предполагать, что каждый из следующих

параметров принимает любое (одно и то же на протяжении текущего отдельного соотношения)

из перечисленных для него значений

κ = ν,θ,ρ, K = N,Θ,P, k = l,s,r,

∗ = ◦,•, x₀ ∈ G_∗,

˜= ˇ^,ˆ^,

а запись κ(f, M) = a означает ниже, что множество κ(f, M) ≡ {κ(f, x₀) | x₀ ∈ M} состоит в

точности из одного числа a.

2. Формулировки теорем. В линейном случае все одноимённые линейные, сферические

и радиальные показатели оказываются просто неразличимыми, о чем и говорит

Теорема 1. При каждом n > 1 для любой линейной системы (2) верны равенства

κ^∗s(f_′,x₀) = κ^∗r(f_′,x₀) = κ^∗l(f_′,x₀).

Нижние показатели не превосходят аналогичных верхних, слабые - соответствующих силь-

ных, нижние шаровые - нижних радиальных, а применительно к показателям блуждаемости

ещё и верхние радиальные не превосходят верхних шаровых, как показывает

Теорема 2. При каждом n > 1 для любой системы (1) верны неравенства

κ^∗k(f,x₀) ≤ κ^∗k(f,x₀),

κ^∗b(f) ≤ κ^∗b(f),

κ^◦k(f,x₀) ≤ κ^•k(f,x₀),

κ^◦b(f) ≤ κ^•b(f),

(7)

κ^∗b(f) ≤ κ^∗r(f,x₀),

ρ∗r(f, x₀) ≤ ρ^∗b(f).

(8)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№6

2023

ИССЛЕДОВАНИЕ КОЛЕБЛЕМОСТИ, ВРАЩАЕМОСТИ И БЛУЖДАЕМОСТИ

729

Пары нижних и верхних радиальных или шаровых показателей блуждаемости системы

совпадают с парами их аналогов системы первого приближения, тогда как пары показателей

колеблемости или вращаемости системы лишь оценивают пары соответствующих аналогов

системы первого приближения снаружи, что и подтверждает

Теорема 3. При каждом n > 1 для любой системы (1) с системой первого приближения

(2) верны соотношения

ρ∗r(f, x₀) = ρ^∗r(f_′, x₀),

ρ∗b(f) = ρ^∗b(f_′),

(9)

κ^∗r(f,x₀) ≤ κ^∗r(f_′,x₀),

κ^∗b(f) ≤ κ^∗b(f_′), κ = ν,θ.

(10)

Результаты теорем 2 и 3, относящиеся исключительно к показателям блуждаемости, в дву-

мерном случае можно перенести также и на показатели вращаемости, о чём свидетельствует

Теорема 4. При n = 2 для любой системы (1) с системой первого приближения (2)

верны соотношения

θ∗

(f, x₀) ≤θ∗b(f),

(f, x₀) =θ∗r(f_′, x₀),

(f) =θ∗b(f_′).

(11)

Из теоремы 1 вытекает, что сферические и радиальные показатели заведомо не более упо-

рядочены между собой, чем их линейные варианты (см. работы [3, 4]), поскольку любое равен-

ство или неравенство, справедливое для линейных показателей линейной системы, реализуется

по меньшей мере на ней же для одноимённых сферических и радиальных показателей. Более

того, для нелинейных систем соотношения между линейными, сферическими и радиальными

(вместе с шаровыми) показателями оказываются просто непредсказуемыми, что и разъясняет

Теорема 5. При n = 2 и G = R² для любых 0 ≤ α, β < +∞ и 0 ≤ γ ≤ +∞ существует

система (1) с системой первого приближения (2), удовлетворяющая равенствам

κ_b(f) = κ_b(f_′) = κ_k(f_′,G_∗) = κ_r(f,G_∗) = α, κ_s(f,G_∗) = β, κ_l(f,G_∗) = γ.

(12)

Каждый из показателей колеблемости, а также сразу все линейные и сферические пока-

затели блуждаемости (в отличие от радиальных и шаровых в равенствах (9)) у двумерной

периодической системы могут не совпадать с соответствующими показателями системы пер-

вого приближения, что и демонстрирует

Теорема 6. При n = 2 и G = R² существуют три периодических и устойчивых по

Ляпунову системы, первая из которых, линейная вида (2) и служащая системой первого

приближения для двух других, удовлетворяет соотношениям

0 = θ_b(f_′) = θ_k(f_′,G_∗) < κ_k(f_′,G_∗) = κ_b(f_′) = 1, κ = ρ,ν,

(13)

а вторая и третья системы вида (1) - соответственно соотношениям

0 = θ_b(f) = θ_k(f,G_∗) = ρ_s(f,G_∗) = ρ_l(f,G_∗) = ν_k(f,G_∗) = ν_b(f) < ν_b(f) = 1,

(14)

0 = θ_b(f) = θ_k(f,G_∗) < 1 = ρ_s(f,G_∗) = ρ_l(f,G_∗) = ν_k(f,G_∗) = ν_b(f) < ν_b(f) = 2.

(15)

В трёхмерном и даже автономном случае возможно также несовпадение верхних шаровых

и даже некоторых точных радиальных показателей вращаемости и колеблемости с соответ-

ствующими показателями системы первого приближения, что и обосновывает

Теорема 7. При n = 3 и G = R³ существует автономная система (1) с устойчивой по

Ляпунову системой первого приближения (2), удовлетворяющая для некоторого двумерного

подпространства S ⊂ R³ соотношениям

0 = κ_k(f,G_∗) = κ_b(f) = κ_b(f_′) = ρ_b(f_′) = κ_k(f_′,G \ S) < κ_k(f_′,S_∗) = ρ_b(f_′) = 1, κ = ν,θ.

Замечание 3. В примере трёхмерной линейной системы (2) из теоремы 7 верхние (причём

даже точные) шаровые показатели колеблемости и вращаемости строго меньше некоторых её

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№6

2023

730

СЕРГЕЕВ

одноимённых радиальных показателей. Значит, предположение о том, что правые неравен-

ства (8) теоремы 2 переносятся (по аналогии с левыми) с блуждаемости на колеблемость и

вращаемость, оказывается, вообще говоря, неверным. Это связано с нынешним изменением

определений (см. замечания 1 и 5), на которые теперь уже не в полной мере распространяется

утверждение теоремы 3 из работы [15].

3. Доказательства сформулированных теорем. Для обоснования некоторых утвер-

ждений теорем настоящей работы использованы идеи из статей [2-4, 15, 22-25].

Доказательство теоремы 1. В случае линейной системы (2) решения xf′ (τ, x₀) при пе-

реходе от линейных показателей к сферическим умножаются на функции |x₀|/|xf′ (τ, x₀)| (см.

доказательство теоремы 1 [15]), а к радиальным - на малые константы μ > 0. При таких

преобразованиях значения функционалов и показателей (3) не меняются.

Доказательство теорем 2-4. Для любой системы (1) все неравенства (7) верны, посколь-

ку в их правых частях, по сравнению с левыми, по определению либо вместо нижних пределов

берутся такие же верхние, либо операция взятия точной нижней грани по L ∈ Aut Rⁿ пере-

несена на более поздний этап.

При вычислении шаровых функционалов блуждаемости, а также вращаемости в случае

n = 2 (т.е. когда для них также исключены критические ситуации), конкретные пределы

от выражения K(t, Lx_f ( · , x₀)) при x₀ → 0 берутся по всему фазовому пространству (пред-

ставляющему собой полную окрестность нуля), а при вычислении аналогичных радиальных

функционалов - лишь по его подмножеству (а именно по лучу). Отсюда вытекают все нера-

венства (8) и (11) для соответствующих показателей. Верность же первого неравенства (8)

для всех остальных показателей вытекает из того факта, что никакое значение

Ǩ_r(f,x₀,t,L)

в некритической для него ситуации не может оказаться меньшим, чем

Ǩ_b(f,t,L).

Пусть теперь система (2) служит первым приближением системы (1). Для произвольных

t > 0 и L ∈ AutRⁿ при любых α,β > 0 можно подобрать столь малое δ > 0, что сразу

при всех τ ∈ [0, t] и x₀ ∈ G_δ для решений x(τ) = Lxf′ (τ, x₀) и y(τ) = Lx_f (τ, x₀) линейной

системы

x = B(τ)x (с оператором Коши X(τ,s)) и соответствующей нелинейной системы

с добавкой h(τ, x) = o(x) (x → 0) верны (с учётом ограниченности величин τ,

∥B(τ)∥,

∥X(τ, s)∥,

|x(τ)|/|x(s)| при τ, s ∈ [0, t]) оценки

 ∫



|y(τ) - x(τ)| =^ X(τ, s)h(s, y(s)) ds

α|x(τ)|,

∠(y(τ), x(τ)) ≤ α,

(16)

≤

из которых можно получить (уменьшив при необходимости число α > 0) ещё и оценки

|y(τ) - x(τ)| = |B(τ)(y(τ) - x(τ)) + h(τ,y(τ))| ≤ β|x(τ)|.

(17)

Далее для любого ε > 0 выбором достаточно малых значений α, β обеспечиваются нера-

венства



 |P⊥y(τ) y(τ)|

|P⊥x(τ)

x(τ)|



|P(t, y(t)) - P(t, x(t))| ≤ t sup

tε,



≤

τ ∈[0,t]

|y(τ)|

|x(τ)|

а из них с учётом произвольности ε получаются равенства

P_r(f,x₀,t,L) =Pr(f_′,x₀,t,L),

P_b(f,t,L) =Pb(f_′,t,L),

из которых затем вытекают и равенства (9).

Более того, оценки (16) в случае n = 2 обеспечивают ещё и равенства

Θ_r(f,x₀,t,L) =Θr(f_′,x₀,t,L),

Θ_b(f,t,L) =Θb(f_′,t,L),

а с ними и равенства (11). В случае же n > 2 для каждых x₀ ∈ G_∗, t > 0 и L ∈ AutRⁿ

в некритической для функционала вращаемости ситуации проекция исходной фазовой кри-

вой P₂Lxf′ (τ, x₀) (τ ∈ [0, t]) на заданную плоскость отделена от нуля. Поэтому к векторам

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№6

2023

ИССЛЕДОВАНИЕ КОЛЕБЛЕМОСТИ, ВРАЩАЕМОСТИ И БЛУЖДАЕМОСТИ

731

P₂Lxf′ (τ,μx₀) оказываются сколь угодно близкими (по углу, по сравнению с μ) векторы

P₂Lx_f (τ,μx₀) сразу при каждом τ ∈ [0,t] и всех достаточно малых μ > 0, а значит, воз-

мущённые проекции тоже отделены от нуля и удовлетворяют равенствам

Θ(t, Lxf′ ( · , x₀)) = lim

Θ(t, Lxf′ ( · , μx₀)) = lim

Θ(t, Lx_f ( · , μx₀)) = Θ_r(f, x₀, t, L).

μ→+0

Отсюда вытекают и все неравенства (10) для показателей вращаемости.

Наконец, те же неравенства (10), но для показателей колеблемости, подтверждаются ана-

логичной близостью возмущённых проекций P₁Lx_f (τ, μx₀) на заданную прямую к проекциям

P₁Lxf′ (τ,μx₀). Действительно, в некритической ситуации исходная проекция P₁Lxf′(τ,x₀) на

одних участках отрезка [0, t] отделена от нуля, а на каждом из остальных имеет строго по

одному нулю при отделённой от нуля производной по τ. Благодаря оценкам (16) и (17), эти

свойства сохраняются (за исключением, возможно, наличия на крайнем правом участке ну-

ля, совпадающего с его концом t) и для возмущённых проекций при всех достаточно малых

μ > 0, поэтому верны равенства

N(t, Lxf′ ( · , x₀)) = lim

N(t, Lxf′ ( · , μx₀)) =Ńr(f, x₀, t, L) + γ, γ ∈ {0, 1},

μ→+0

подтверждающие сделанный выше вывод о показателях колеблемости. Теоремы 2-4 доказаны.

Замечание 4. Приведённые выше рассуждения, подтверждающие неравенства (10) для

нижних показателей вращаемости и колеблемости, казалось бы, обосновывают также и анало-

гичные (обратного знака) неравенства для верхних показателей. Однако по меньшей мере для

радиальных показателей (для шаровых - вопрос пока открыт) это предположение оказывает-

ся неверным: уже в теоремах 6 и 7 некоторые верхние радиальные показатели колеблемости и

вращаемости нелинейной системы меньше соответствующих показателей системы её первого

приближения. Причина этого явления аналогична той, что описана в замечании 5 ниже.

Доказательство теоремы 5. Рассмотрим систему (1), которая в фиксированном орто-

нормированном базисе в R² ≡ G записывается в виде

(

)

(

)

-1

x = Ex + ζ(t,x)Ix ≡ f(t,x), E ≡

I ≡

(18)

где для заданного возрастающего по m ∈ Z семейства функций η_m(t) ≡ (t + 2)^m (t ∈ R₊)

коэффициент ζ ∈ C¹(R₊ × G) удовлетворяет условиям

⎧

⎨α,

|x| ≤ η-2(t) → +0;

ζ(t, x) ≡

β,

|x| ∈ [η-1(t), η₁(t)] → [0, +∞); t → +∞,

^⎩ξ_γ (|x|), |x| ≥ η2(t) → +∞,

⎧

⎨0,

γ = 0;

ξ_γ(r) ≡

rγ/(r + γ) ∈ (0,γ),

γ ∈ (0,+∞); r > 0

^⎩r,

γ = +∞,

(с произвольным его доопределением в областях η-2(t) < |x| < η-1(t) и η₁(t) < |x| < η₂(t)).

Первое слагаемое в правой части системы (18) обеспечивает экспоненциальный рост нормы

решения, а второе отвечает за скорость его вращения, зависящую от того, где оно проходит.

Соответствующая система первого приближения совпадает с системой (18) при ζ(t, x) =

= α, поскольку именно это равенство выполнено для каждого t ∈ R₊ при всех достаточно

малых |x|. В области, где для системы (18) выполнено то же равенство, целиком лежат пря-

моугольники вида Π_tε ≡ [0, t] × {|x| ≤ ε} при каждом t > 0 и зависящем от него достаточно

малом ε > 0. Поэтому для любого фиксированного t > 0 и некоторого δ > 0 сразу при всех

x₀ ∈ G_δ графики решений x_f (τ,x₀) окажутся при τ ∈ [0,t] лежащими в прямоугольнике Π_tε,

а значит, будет выполнена вся первая цепочка равенств (12).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№6

2023

732

СЕРГЕЕВ

Далее, правая часть соответствующей сферической системы имеет вид f_s ≡ ζ(t, x)Ix, по-

этому график любого решения xfs (t, x₀) (где x₀ ∈ G_∗ и |xfs (t, x₀)| = |x₀| при t ∈ R₊) при

всех достаточно больших t лежит в области, где ζ(t, x) = β, а значит, для всех показателей

такого решения имеем κ_s(f, x₀) = β.

Наконец, для любого x₀ ∈ G_∗ график решения x_f (t, x₀) с некоторого момента окажется в

области, где ζ(t, x) = ξ_γ (|x|) ∈ [0, γ], а в силу свойства ξ_γ(r) → γ при r → +∞ он для каждого

ε > 0 при всех достаточно больших t будет лежать в области, где γ -ε < ζ(t,x) ≤ γ. Отсюда

получаем оценки γ - ε ≤ κ_l(f, x₀) ≤ γ, из которых, с учётом произвольности ε, вытекает и

последнее равенство (12). Теорема 5 доказана.

Доказательство теоремы 6. Рассмотрим линейную периодическую систему (2), записы-

ваемую в фиксированном базисе в R² ≡ G с помощью матрицы I (18) в виде

x = ζ(t)Ix ≡ f_′(t,x), ζ(t) ≡

cos t.

Она задаёт вращение фазовой плоскости вокруг точки x = 0 с мгновенной скоростью ζ(t) в

каждый момент t ∈ R₊, в результате чего ориентированный угол поворота любого начального

вектора x₀ ∈ G_∗ за время t равен

ϕ(t, xf′ ( · , x₀)) =

sin t ∈ [-π/2, π/2], xf′ (t_m, x₀) = (-1)m-1xf′ (t₁, x₀), t_m ≡ πm-

m∈N.

Последнее свойство, инвариантное относительно линейных преобразований L ∈ Aut R² реше-

ния xf′ , обеспечивает выполнение всех равенств (13).

Рассмотрим первую нелинейную периодическую систему вида (1) с правой частью

f (t, x) = ψ_-(|x|) · f_′(t, x) = f_s(t, x), ψ_±(r) ≡ 1 ±

∈ (0, 2),

(19)

r+1

для которой имеем

[

]

ϕ(t, x_f ( · , x₀)) = ψ_-(|x₀|)

sin t ∈

- ψ_-(|x₀|)

,ψ_-(|x₀|)

⊂ (-π/2, π/2),

|x₀| = 0.

С одной стороны, в силу последнего строгого включения для любого x₀ ∈ G_∗ можно указать

такой поворот L ∈ Aut R², что сразу все векторы Lx_f (t, μx₀) (t ∈ R₊, μ ∈ (0, 1]) лежат

на фазовой плоскости R² строго в одной полуплоскости относительно заданной прямой p ⊂

⊂ R² (вдоль которой действует проектор P₁ при подсчёте числа нулей в п. a) определения 1).

Более того, если оператор L задавать как композицию указанного поворота и неограничен-

ного удлинения вектора e ⊥ p, то можно делать сколь угодно малыми ещё и все значения

t-1P(t,Lx_f(t,x₀)) (t ∈ R₊). Отсюда вытекают все равенства нулю из цепочки (14). С другой

стороны, для любых L ∈ Aut R² и δ > 0 при каждом x₀ ∈ G_δ значения функции Lx_f (t, x₀)

на каждом временном промежутке M_m ≡ (2π(m - 1), 2πm] (m ∈ N) пересекаются с упомя-

нутой прямой p не более двух раз, а при некоторых x₀ - даже ровно по два раза, откуда

νb(f) = 1.

Для второй нелинейной системы вида (1) с правой частью f(t, x) = ψ₊(|x|)f_′(t, x) (см.

последнее равенство (19)) аналогично, но наоборот, получаем включения

(

)

{ϕ(t, x_f ( · , x₀)) | t ∈ R₊} ⊃

-ψ₊(|x₀|)

,ψ₊(|x₀|)

⊃ [-π/2, π/2],

|x₀| = 0.

Поэтому для любых L ∈ Aut R² и δ > 0 при каждом x₀ ∈ G_δ значения функции Lx_f (t, x₀)

на каждом из рассмотренных выше промежутков M_m пересекаются с упомянутой прямой p

уже не менее двух и не более четырёх раз, причём при одних x₀ - ровно по два раза, а при

некоторых других x₀ - ровно по четыре раза. Отсюда вытекают все соотношения для пока-

зателей колеблемости из цепочки (15). Для установления остальных её равенств заметим, что

для любого x₀ ∈ G_∗ можно задавать оператор L ∈ Aut R² как композицию поворота, при

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№6

2023

ИССЛЕДОВАНИЕ КОЛЕБЛЕМОСТИ, ВРАЩАЕМОСТИ И БЛУЖДАЕМОСТИ

733

котором множество всех векторов Lx_f (t, x₀) содержит только один вектор e ⊥ p, и неограни-

ченного сжатия этого вектора e. В результате сразу все значения величины t-1P(t, Lx_f (t, x₀))

(t ∈ R₊) можно делать сколь угодно близкими к единице.

Все показатели вращаемости всех трёх рассмотренных систем равны нулю в силу огра-

ниченности числом 2π ориентированного угла, задаваемого их решениями, и это свойство

инвариантно относительно невырожденных преобразований плоскости. Теорема 6 доказана.

Доказательство теоремы 7. Рассмотрим линейную автономную систему (2) с правой

частью f_′(x, y), записываемую в фиксированном ортонормированном базисе в R³ ≡ G с по-

мощью матрицы I (18) в виде

x = Ix,

y = ψ(|x|), (x,y) ∈ R² × R¹,

(20)

где ψ(r) ≡ 0 (r ≥ 0). Она задаёт вращение каждой плоскости, параллельной S ≡ {y = 0},

вокруг неподвижной оси q ≡ {x = 0} с единичной угловой скоростью. Поэтому для всех

её показателей при начальных значениях x₀ ∈ S_∗ имеем κ_k(f_′, x₀) = 1. Кроме того, все её

верхние шаровые показатели блуждаемости равны единице, а нижние - нулю, так как в любой

окрестности нуля есть как циклические решения в плоскости S, так и неподвижные точки на

прямой q. При этом для каждого x₀ ∈ G \ S имеем κ_k(f_′, x₀) = 0, поскольку фазовая кривая

xf′(·,x0^):

а) под действием проектора P₁ на прямую q (что можно считать без ограничения общно-

сти) попадает ровно в одну ненулевую точку этой прямой, а значит, ν_k(f_′, x₀) = 0; более того,

отсюда и для шарового показателя колеблемости получаем равенство ν_b(f_′) = 0, поскольку

для него в этой ситуации все остальные значения x₀ ∈ S_∗ являются критическими;

б) под действием проектора P₂ на некоторую плоскость Q ⊃ q (также без ограничения

общности) оказывается строго в одной её полуплоскости относительно прямой Q

^⋂S, а значит,

угол поворота ϕ(t, P₂xf′ ( · , x₀)) ограничен по модулю числом π, поэтому θ_k(f_′, x₀) = 0 и даже

θ_b(f_′) = 0, поскольку для шарового показателя вращаемости значения x₀ ∈ S_∗ здесь также

являются критическими;

в) под действием оператора L со сколь угодно сильным удлинением вдоль прямой q будет

давать сколь угодно малые значения t-1P(t, Lxf′ (t, μx₀)) сразу при всех t ∈ R₊ и μ ∈ (0, 1],

откуда имеем ρ_k(f_′, x₀) = 0.

Теперь рассмотрим нелинейную автономную систему вида (1) с правой частью f(x, y) того

же вида (20), но уже с функцией ψ(r) ≡ r². Она, в отличие от предыдущей линейной систе-

мы, задаёт винтовое движение, а именно вращение вокруг неподвижной оси q с единичной

угловой скоростью, совмещённое с одновременным движением вдоль этой оси с постоянной

скоростью, сходящейся к нулю при приближении к оси q. У этой системы уже абсолютно все

показатели колеблемости и вращаемости равны нулю, поскольку любая её фазовая кривая с

начальным значением x₀ ∈ G_∗ не более одного раза пересекает плоскость S, относительно

которой она тогда либо все время находится в одном полупространстве, либо в какой-то один

момент переходит в другое, а значит, N(t, P₁x_f ( · , x₀)) ≤ 1 и Θ(t, P₂x_f ( · , x₀)) ≤ 2π. Теорема 7

доказана.

Замечание 5. Ситуация, описанная в пп. а) и б) доказательства теоремы 7, исключитель-

на в том смысле, что именно на ней реализуется минимум верхних (даже точных) шаровых

функционалов колеблемости и вращаемости, равный нулю. Однако при каждом x₀ ∈ S_∗ эта

же ситуация для аналогичных радиальных функционалов оказывается, напротив, полностью

критической, а все некритические ситуации порождают для соответствующих радиальных

показателей точное значение единица, превышающее нулевое значение для шаровых показа-

телей. В результате возникает парадоксальное явление, когда верхний шаровой показатель

меньше радиального.

Автор благодарен В.В. Быкову за ценные замечания и внимание к данной работе.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. М.; Л., 1950.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№6

2023

734

СЕРГЕЕВ

2. Сергеев И.Н. Определение и свойства характеристических частот линейного уравнения // Тр. сем.

им. И.Г. Петровского. 2006. Вып. 25. С. 249-294.

3. Сергеев И.Н. Полный набор соотношений между показателями колеблемости, вращаемости и блуж-

даемости решений дифференциальных систем // Изв. Ин-та математики и информатики Удмурт-

ского гос. ун-та. 2015. Т. 46. Вып. 2. С. 171-183.

4. Сергеев И.Н. Ляпуновские характеристики колеблемости, вращаемости и блуждаемости решений

дифференциальных систем // Тр. сем. им. И.Г. Петровского. 2016. Вып. 31. С. 177-219.

5. Барабанов Е.А., Войделевич А.С. Спектры верхних частот Сергеева нулей и знаков линейных диф-

ференциальных уравнений // Докл. НАН Беларуси. 2016. Т. 60. № 1. С. 24-31.

6. Бурлаков Д.С., Цой С.В. Совпадение полной и векторной частот решений линейной автономной

системы // Тр. сем. им. И.Г. Петровского. 2014. Вып. 30. С. 75-93.

7. Быков В.В. О бэровской классификации частот Сергеева нулей и корней решений линейных диф-

ференциальных уравнений // Дифференц. уравнения 2016. Т. 52. № 4. С. 419-425.

8. Горицкий А.Ю., Фисенко Т.Н. Характеристические частоты нулей суммы двух гармонических ко-

лебаний // Дифференц. уравнения. 2012. Т. 48. № 4. С. 479-486.

9. Кокушкин В.И. Характеристики колеблемости и вращаемости решений линейных дифференциаль-

ных систем // Дифференц. уравнения. 2014. Т. 50. № 10. С. 1406-1407.

10. Лысак М.Д. Оценки скорости блуждания решений некоторых типов систем линейных дифферен-

циальных уравнений // Изв. Ин-та математики и информатики Удмуртского гос. ун-та. 2015. Т. 46.

Вып. 2. С. 106-111.

11. Миценко В.В. О границах блуждаемости и колеблемости решений двумерных треугольных диф-

ференциальных систем и линейных уравнений второго порядка // Дифференц. уравнения. 2014.

Т. 50. № 6. С. 851-852.

12. Смоленцев М.В. Существование периодического линейного дифференциального уравнения третье-

го порядка с континуальным спектром частот // Дифференц. уравнения. 2012. Т. 48. № 11. С. 1571-

1572.

13. Сташ А.Х., Аллахвердян А.А., Артисевич А.Е., Лобода Н.А. О нулевых спектрах характеристик

колеблемости Сергеева уравнения Эйлера // Динамические системы. 2020. Т. 10. Вып. 38. № 2.

С. 216-224.

14. Шишлянников Е.М. Существование двумерной ограниченной системы с континуальными и совпа-

дающими спектрами частот и показателей блуждаемости // Мат. сб. 2018. Т. 209. № 12. С. 149-164.

15. Сергеев И.Н. Определение показателей колеблемости, вращаемости и блуждаемости нелинейных

дифференциальных систем // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 2021. № 3. С. 41-

46.

16. Сергеев И.Н. Определение сферических показателей колеблемости, вращаемости и блуждаемости

дифференциальной системы // Дифференц. уравнения. 2020. Т. 56. № 6. С. 839-840.

17. Сергеев И.Н. Определение радиальных показателей колеблемости, вращаемости и блуждаемости

дифференциальной системы // Дифференц. уравнения. 2020. Т. 56. № 11. С. 1560-1562.

18. Сергеев И.Н. Определение шаровых показателей колеблемости, вращаемости и блуждаемости диф-

ференциальной системы // Дифференц. уравнения. 2021. Т. 57. № 6. С. 859-861.

19. Сергеев И.Н. Исследование по первому приближению радиальных показателей колеблемости, вра-

щаемости и блуждаемости // Дифференц. уравнения. 2021. Т. 57. № 11. С. 1574-1576.

20. Сергеев И.Н. О некоторых затруднениях при исследовании по первому приближению сферических

и шаровых показателей колеблемости, вращаемости и блуждаемости // Дифференц. уравнения.

2022. Т. 58. № 6. С. 856-858.

21. Сергеев И.Н. Определение полных блуждаемости и неблуждаемости дифференциальной системы

и их исследование по первому приближению // Дифференц. уравнения. 2022. Т. 58. № 11. С. 1577-

1578.

22. Сергеев И.Н. Характеристики поворачиваемости решений дифференциальных систем // Диффе-

ренц. уравнения. 2014. Т. 50. № 10. С. 1353-1361.

23. Сергеев И.Н. Показатели плоской вращаемости линейной дифференциальной системы // Тр. сем.

им. И.Г. Петровского. 2019. Вып. 32. С. 325-348.

24. Сергеев И.Н. Замечательное совпадение характеристик колеблемости и блуждаемости решений

дифференциальных систем // Мат. сб. 2013. Т. 204. № 1. С. 119-138.

25. Сергеев И.Н. Показатели колеблемости, вращаемости и блуждаемости решений дифференциальных

систем // Мат. заметки. 2016. Т. 99. № 5. С. 732-751.

Московский государственный университет

Поступила в редакцию 25.01.2023 г.

имени М.В. Ломоносова,

После доработки 25.01.2023 г.

Принята к публикации 18.04.2023 г.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№6

2023