ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2023, том 59, № 6, с.735-745

УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

УДК 517.95+517.968

ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ

И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ПРОСТРАНСТВАХ

РАЗЛИЧНОЙ ГЛАДКОСТИ ПО ПЕРЕМЕННЫМ

Рассмотрены модельное эллиптическое псевдодифференциальное уравнение и простейшие

краевые задачи в квадранте в пространстве Соболева-Слободецкого различного порядка

гладкости по переменным. В случае специального представления символа описано общее

решение уравнения и рассмотрена простейшая краевая задача с условиями Дирихле и

Неймана на сторонах угла. Указанная краевая задача сведена к системе интегральных

уравнений, которая при дополнительных предположениях о структуре символа может быть

сведена и к системе разностных уравнений первого порядка.

DOI: 10.31857/S0374064123060043, EDN: FFPYOH

Введение. Теория краевых задач для эллиптических псевдодифференциальных уравне-

ний берет начало с середины 60-х гг. прошлого столетия, а именно с работ М.И. Вишика и

Г.И. Эскина, результаты которых обобщены в монографии [1]. Полученные результаты при-

влекли внимание и получили дальнейшее развитие в работах ряда исследователей (см., на-

пример, [2, 3]). Второй автор данной статьи также проявил интерес к этой теме, предложив

свой подход к построению теории краевых задач для эллиптических псевдодифференциальных

уравнений в областях, имеющих на границе конические точки и ребра различных размерно-

стей (см. [4, 5] и продолжение в работах [6-10]).

Все исследования проводились в обычных пространствах Соболева-Слободецкого, одна-

ко возможны пространства различного порядка гладкости по переменным [11-13]. Здесь мы

рассматриваем простейший случай пространств Соболева-Слободецкого различного порядка

гладкости по переменным и описываем сведение краевой задачи к системе интегральных урав-

нений.

1. Эллиптические уравнения. В этом пункте приведём некоторые определения и ре-

зультаты, на которые будем опираться далее.

1.1. Пространства Соболева-Слободецкого различной гладкости. Следуя [14] (см.

также [11]), введём удобные обозначения. Многомерное евклидово пространство R^M предста-

вим в виде ортогональной суммы подпространств, в которых только некоторые из координат

x₁, x₂, ..., x_M отличны от нуля. Более точно, если K ⊂ {1,... ,M} - непустое множество,

то полагаем

R^K = {x ∈ R^M : x = (x₁,... ,x_M ), x_j = 0 для любого j ∈ K} ⊂ R^M .

Пусть K₁, K₂, . . . , K_n ⊂ {1, 2, . . . , M} - некоторые подмножества, так что

⋃

K_j = {1,2,... ,M}, K_i

^⋂K_j = ∅, i = j.

j=1

Тогда имеем представление

R^M = RK1

⊕R^K2^⊕ ...⊕R^Kn,

обозначая через xKj элемент пространства RKj .

735

736

ВАСИЛЬЕВ А.В., ВАСИЛЬЕВ В.Б.

Для функций, определённых в пространстве R^M , используем стандартное преобразование

Фурье

∫

ũ(ξ) =

u(x)e^ix·ξ dx, ξ = (ξ₁, . . . , ξ_M ).

R^M

Теперь определим пространство Соболева-Слободецкого H^S(R^M ), для упрощения обозна-

чив S = (s₁, . . . , s_n) как гильбертово пространство со скалярным произведением

∫

(f, g) =

f (x)g(x) dx

R^M

и нормой

(∫

)1/2

∥f∥_S =

(1 + |ξK1 |)2s1 (1 + |ξK2 |)2s2 · · · (1 + |ξKn |)2sn

f (ξ)|² dξ

R^M

Такие H^S -пространства обладают стандартным набором свойств пространств Соболева-

Слободецкого [11]. В частности, пространство H^s(R^M ) получается при следующей подборке

подмножеств K_j и параметров s_j :

K₁ = K₂ = ... = Kn-1 = ∅, K_n = {1,2,... ,M}, S = (0,0,... ,0,s).

1.2. Модельное уравнение и разрешимость. В соответствии с локальным принципом

сконцентрируем внимание на исследовании модельного псевдодифференциального уравнения

с оператором, символ которого не зависит от пространственной переменной. Подробные дока-

зательства приводимых здесь результатов содержатся в работе [15].

Псевдодифференциальный оператор A определяется формулой

∫

(Au)(x) =

ei(x-y)·ξA˜(ξ)u(y)dy dξ,

(2π)^M

R^M R^M

в которой заданная измеримая функция

A(ξ) называется символом оператора A.

Предположим, что символ

A(ξ) удовлетворяет условию

∏

c₁

(1 + |ξKj |)^α

≤ |A(ξ)| ≤ c₂

(1 + |ξKj |)αj , α_j ∈ R, j = 1, n,

(1)

j=1

с положительными постоянными c₁ и c₂.

Обозначим α = (α₁, . . . , α_n).

Лемма 1. Пусть A - псевдодифференциальный оператор с символом

A(ξ), удовлетво-

ряющим условию (1). Тогда A : H^S (R^M ) → H^S-α(R^M ) является линейным непрерывным

оператором.

Простым следствием этой леммы является следующий факт. Если A - псевдодифферен-

циальный оператор с символом

A(ξ), удовлетворяющим условию (1), то уравнение

(Au)(x) = v(x), x ∈ R^M ,

(2)

с произвольной правой частью v ∈ H^S-α(R^M ) имеет единственное решение u ∈ H^S (R^M ) и

справедлива априорная оценка

∥u∥_S ≤ const ∥v∥_S-α.

Отметим, что если рассматривать уравнение (2) не во всем пространстве R^M , а в другой

канонической области (тоже конусе), то такое простое следствие не имеет места. Здесь нас, как

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№6

2023

ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

737

и прежде [6-10, 16-23], будет интересовать случай выпуклого конуса, не содержащего целой

прямой.

Пусть CKj ⊂ RKj - выпуклый конус, не содержащий целой прямой. Положим

C =CK1×CK2×···×CKn.

Очевидно, что C - выпуклый конус в пространстве R^M .

Теперь исследуем вопрос разрешимости в пространстве H^S (C) уравнения

(Au)(x) = 0, x ∈ C.

(3)

Приведём ниже определения и результаты, касающиеся разрешимости уравнения (3).

Определение 1. Пространство H^S(C) состоит из (обобщённых) функций из H^S(R^M ),

носители которых содержатся в C.

Обозначим через

H^S(C) фурье-образ пространства H^S(C).

Определение 2. Радиальной трубчатой областью над конусом C называется область в

многомерном комплексном пространстве C^M следующего вида:

T (C) ≡ {z ∈ C^M : z = x + iy, x ∈ R^M , y ∈ C}.

∗

Сопряжённым конусом

C называется такой конус, для всех точек x которого выполня-

ется условие

x·y>0

при всех y ∈ C,

x · y обозначает скалярное произведение x и y.

Определение 3. Волновой факторизацией эллиптического символа

A(ξ) относительно

конуса C называется его представление в виде

A(ξ) = A₌(ξ)A₌(ξ),

где множители A₌(ξ), A₌(ξ) должны удовлетворять следующим условиям:

∗

1) A₌(ξ), A₌(ξ) определены для всех ξ ∈ R^M , исключая, возможно, точки ξ ∈ ∂C;

2) A₌(ξ), A₌(ξ) допускают аналитическое продолжение в радиальные трубчатые области

∗

T(C), T (-C) соответственно и удовлетворяют оценкам

∏

|A±1=(ξ + iτ)| ≤ c₁

(1 + |ξKj | + |τKj |)±κj ,

j=1

∏

∗

|A±1=(ξ - iτ)| ≤ c₂

(1 + |ξKj | + |τKj |)±(αj -κj ) для любого τ ∈C, κj ∈ R.

j=1

Вектор κ = (κ₁, . . . , κ_n) называется индексом волновой факторизации.

Замечание 1. Следует отметить, что определение 3 должно быть модифицировано, если

какой-то конус CKj содержит целую прямую, точнее, имеет вид Rmj × Ckj -m_j , где Ck_j -m_j ,

0 ≤ m_j ≤ k_j, - выпуклый конус в (k_j - m_j)-мерном пространстве, не содержащем целой

прямой. Напомним, что по определению при m_j = 0 полагаем R⁰ × Ckj ≡ CKj , при m_j =

∑_n

= k_j соответственно Rkj × C₀ ≡ RKj. Обозначив

= Q, можно определить Q-волновую

j=1

факторизацию, где точки Q-мерного пространства R^Q = Rm1 × · · · × Rmn будут играть роль

параметров (см. [4]). Тогда определение 3 соответствует 0-волновой факторизации.

Теорема 1. Если символ

A(ξ) допускает волновую факторизацию относительно конуса

C с индексом κ таким, что |κ_j - s_j| < 1/2, j = 1,n, то уравнение (3) в пространстве

H^S(C) имеет только нулевое решение.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№6

2023

738

ВАСИЛЬЕВ А.В., ВАСИЛЬЕВ В.Б.

Предполагаем, что для каждого конуса CKj , j = 1, n, уравнение его поверхности записы-

вается как xkj = ϕ_j (x′Kj ), где ϕ_j : Rkj -¹ → R - гладкая функция на множестве Rkj -¹ \ {0},

ϕj (0) = 0, xK_j = (xKj , xk_j ).

Используя замену переменных

t^′K

=x^′K

tkj = xkj - ϕ_j(x^′

K_j

определим оператор Tϕj : RKj → RKj как оператор приведённой выше замены переменных,

при этом конус CKj преобразуется в верхнее полупространство RKj+ = {x ∈ RKj : xKj =

= (x′Kj , xkj ), xkj > 0}.

Замечание 2. Разумеется, эта замена переменных нужна только в многомерном случае

(m ≥ 2), в одномерном случае имеется только один конус - луч, граница которого представ-

ляет собой точку.

В рассуждениях ниже будем пользоваться обозначением F_m для преобразования Фурье в

m-мерном пространстве, следовательно, FKj обозначает преобразование Фурье в пространст-

ве RKj .

Согласно результатам статьи [8] имеют место соотношения FKj Tϕj = Vϕj FKj .

∏_n

Далее введём оператор T_ϕ : R^M → R^M по формуле T_ϕ =

Tϕj и получим оператор

j=1

∏_n

V_ϕ =

Vϕj , для которого справедливо тождество F_M T_ϕ = V_ϕF_M . Введём также векторы

j=1

N = (n₁,...,n_n), L = (l₁,...,l_n), ε = (ε₁,...,ε_n), n_j,l_j ∈ N, |δj | < 1/2, j = 1, n.

Теорема 2. Если символ

A(ξ) допускает волновую факторизацию относительно конуса

C с индексом κ таким, что κ-S = N+ε, то общее решение уравнения (3) в образах Фурье

имеет следующий вид:

)

∑

ũ(ξ) = A-1=(ξ)V-1ϕ

cL(ξ^K )ξl1-1k1ξl2-1k2 · · · ξln-¹

(4)

l₁=1 l₂=1

ln=1

где c_L(x^′K ) ∈ HSL (R^M-n) - произвольные функции,

S_L = (s₁ - κ₁ + l₁ - 1/2,... ,s_n - κ_n + l_n - 1/2), l_j = 1,n_j, j = 1,n.

Справедлива априорная оценка

∑

∥u∥_S ≤ const

∥c_L∥SL .

l₁=1 l₂=1

ln=1

2. Краевые задачи. В этом пункте рассмотрим некоторые простые постановки краевых

задач, связанных с теоремой 2, которая устанавливает множественность возможных решений

уравнения (3). Чтобы выделить единственное решение, нужны дополнительные условия. Нач-

нём со случая двумерного конуса. Присутствие в формуле (4) оператора V_ϕ сильно затрудня-

ет постановку и исследование краевых задач, однако двумерный случай - редкое исключение,

где можно обойтись без такого оператора. Это было продемонстрировано в монографии [4], а

сравнение двух вариантов представлено в [7].

2.1. Плоский угол и общее решение. Для случая плоского угла возможна только одна

ситуация с различной гладкостью по переменным, а именно по одной переменной имеется

гладкость порядка s₁, по другой - s₂. Наш конус C имеет вид прямого произведения двух

лучей, можно считать его первым квадрантом. Предполагается, что символ

A(ξ) допускает

волновую факторизацию относительно C с индексом κ = (κ₁, κ₂) таким, что κ_j - s_j = n_j +

+ ε_j, n_j ∈ N,

|ε_j | < 1/2, j = 1, 2. Покажем как в этом случае выглядит формула общего

решения (4).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№6

2023

ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

739

Положим

u_-(x) = -(Au)(x), x ∈ R².

В силу равенства (3) u_-(x) = 0, x ∈ C. Запишем уравнение (3) в виде

(Au)(x) + u_-(x) = 0, x ∈ R²,

применим к нему преобразование Фурье:

A(ξ)ũ(ξ) + ũ_-(ξ) = 0,

и после волновой факторизации символа

A(ξ) относительно C получим равенство

A₌(ξ)ũ(ξ) = -A=-1(ξ)ũ_-(ξ).

По лемме 1

A₌(ξ)ũ(ξ),A=-1(ξ)ũ_-(ξ) ∈HS-κ(R²),

но более точные включения следующие (см. детали в [4]):

A₌(ξ)ũ(ξ) ∈HS-κ(C), A=-1(ξ)ũ_-(ξ) ∈HS-κ(R² \ C).

(5)

Из включений (5) сразу следует, что обратным преобразованием Фурье этих (обобщён-

ных) функций в силу их равенства может быть только функция, сосредоточенная на границе

квадранта. Учитывая структуру таких функций [24], можем записать

∑

F-1(A₌(ξ)ũ(ξ)) =

c_k(x₁)δk-1(x₂) +

d_k(x₂)δk-1(x₁)

k=1

или

)

∑

ũ(ξ) = A-1=(ξ)

˜d_k(ξ₂)ξk-1

ck(ξ1)ξ2-1 +

k=1

Осталось уточнить количество слагаемых в суммах и показатель s_k пространства Hsk (R), в

которое входят функции c_k, d_k.

Выделим одно слагаемое, например A-1=(ξ)c_k(ξ₁)ξk-12, и оценим его:

∫

∥A-1=(ξ)c_k(ξ₁)ξk-12∥2S =

|A-1=(ξ)|²|c_k(ξ₁)|²|ξ₂|2(k-1)(1 + |ξ₁|)2s1 (1 + |ξ₂|)2s2 dξ ≤

R²

+∞

∫

≤ const

|c_k(ξ₁)|²(1 + |ξ₁|)2(s1-κ1)

dξ₁

(1 + |ξ₂|)2(s2-κ2+k-1) dξ₂.

−∞

-∞

Интеграл

∫

(1 + |ξ₂|)2(s2-κ2+k-1) dξ₂

-∞

будет сходящимся при условии 2(s₂ - κ₂ + k - 1) < -1 или -n₂ - ε₂ + k < 1/2. Последнее

неравенство справедливо при k = 1, n₂. Таким образом, если c_k ∈H-n1-ε1 (R), то получаем

представление

)

∑

ũ(ξ) = A-1=(ξ)

ck(ξ1)ξ2-1 +

˜d_k(ξ₂)ξk-1

k=1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№6

2023

3^∗

740

ВАСИЛЬЕВ А.В., ВАСИЛЬЕВ В.Б.

и оценку для решения

)

∑

∥u∥_S ≤ const

[c_k]-n1-δ₁ +

[ d_k]-n2-δ₂

k=1

здесь и далее [ · ]_s обозначает обычную H^s-норму на прямой.

Таким образом, справедлива следующая

Теорема 3. Пусть C - первый квадрант на плоскости и симво

A(ξ) допускает волновую

факторизацию с индексом κ = (κ₁, κ₂) таким, что κ_j - s_j = n_j + ε_j , n_j ∈ N,

|ε_j | < 1/2,

j = 1,2. Тогда общее решение уравнения (3) в пространстве H^S(C), S - (s₁,s₂), имеет вид

)

∑

ũ(ξ) = A-1=(ξ)

˜d_k(ξ₂)ξk-1

ck(ξ1)ξ2-1 +

k=1

Справедлива априорная оценка

)

∑

∥u∥_S ≤ const

[c_k]-n1-δ₁ +

[ d_k]-n2-δ₂

k=1

2.2. Граничные условия Дирихле и Неймана и интегральные уравнения. Рас-

смотрим один частный случай, когда можно ограничиться классическими условиями Дирихле

и Неймана для определения произвольных функций, входящих в структуру общего решения.

Пусть n₁ = 1, n₂ = 2. Согласно теореме 3 общее решение уравнения имеет вид

ũ(ξ) = A-1=(ξ)(c₁(ξ₁) + c₂(ξ₁)ξ₂ + d₁(ξ₂))

и содержит три произвольные функции c₁, c₂, d₁, которые предстоит однозначно опреде-

лить для получения единственного решения. На сторонах угла зададим граничные условия

следующего вида:

(

)

∂u



u|x

= f(x₁),

-i

= g(x₁), u|x1=0 = h(x2).

(6)

2=0



∂x₂

x₂=0

В образах Фурье условия (6) имеют вид

∫

ũ(ξ₁, ξ₂) dξ₂

f (ξ₁),

ξ₂ũ(ξ₁,ξ₂)dξ₂ = g(ξ₁),

ũ(ξ₁, ξ₂) dξ₁ =^h(ξ₂).

−∞

-∞

Подставив их в формулу общего решения, получим следующую систему линейных интеграль-

ных уравнений относительно трёх неизвестных функций c₁, c₂ и d₁ :

+∞

a₁(ξ₁)c₁(ξ₁) + b₁(ξ₁)c₂(ξ₁) +

A-1=(ξ₁,ξ₂)d₁(ξ₂)dξ₂

f (ξ₁),

−∞

+∞

b₁(ξ₁)c₁(ξ₁) + p₁(ξ₁)c₂(ξ₁) +

ξ₂A-1=(ξ₁,ξ₂)d₁(ξ₂)dξ₂ = g₁(ξ₁),

-∞

∫

A-1=(ξ₁,ξ₂)c₁(ξ₁)dξ₁ +

ξ₂A-1=(ξ₁,ξ₂)c₂(ξ₁)dξ₁ + p₂(ξ₂)d₁(ξ₂) =^h(ξ₂),

(7)

−∞

-∞

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№6

2023

ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

741

где введены обозначения

+^∞

∫

a₁(ξ₁) =

A-1=(ξ₁,ξ₂)dξ₂, b₁(ξ₁) =

ξ₂A-1=(ξ₁,ξ₂)dξ₂,

−∞

-∞

+∞

∫

p₁(ξ₁) =

ξ²²A-1=(ξ₁,ξ₂)dξ₂, p₂(ξ₂) =

A-1=(ξ₁,ξ₂)dξ₁.

−∞

-∞

Таким образом, справедлива

Теорема 4. Пусть s₁ > 1/2, s₂ > 3/2 и символ

A(ξ) допускает волновую факторизацию

относительно C с индексом κ таким, что κ₁ - s₁ = 1 + ε₁,

|δ₁| < 1/2, κ₂ - s₂ = 2 + ε₂,

|δ₂| < 1/2. Тогда краевая задача (3), (6) однозначно разрешима в пространстве H^S (C), если

система интегральных уравнений (7) имеет единственное решение c₁, c₂ и d₁.

2.3. Интегральные и разностные уравнения. Система интегральных уравнений (7),

полученная в предыдущем пункте, непроста, и трудно предложить какой-либо приемлемый

метод для её решения. Однако если ввести некоторые дополнительные предположения отно-

сительно символа

A(ξ), то эту систему можно редуцировать к системе разностных уравнений

первого порядка. Опишем эту возможность.

Предположим, что множитель A₌(ξ₁, ξ₂) является положительно однородной функцией

разного порядка по переменным ξ₁, ξ₂, именно, по первой переменной порядка κ₁, а по

второй - κ₂, при всех t > 0, A₌(tξ₁, tξ₂) = tκ1+κ2 A₌(ξ₁, ξ₂).

В этом случае нетрудно убедиться в справедливости следующего свойства однородности.

Лемма 2. Функции a₁, b₁, p₁, p₂ обладают следующим свойством однородности для

всех t > 0:

a₁(tξ₁) = t1-κ1-κ2 a₁(ξ₁), b₁(tξ₁) = t2-κ1-κ2 b₁(ξ₁),

p₁(tξ₁) = t3-κ1-κ2 p₁(ξ₁), p₂(tξ₂) = t1-κ1-κ2 p₂(ξ₂).

Систему (7) можно записать в следующем виде:

+^∞

c₁(ξ₁) + r(ξ₁)c₂(ξ₁) +

K(ξ₁, ξ₂) d₁(ξ₂) dξ₂

F (ξ₁),

−∞

+∞

c₁(ξ₁) + q(ξ₁)c₂(ξ₁) +

L(ξ₁, ξ₂) d₁(ξ₂) dξ₂ =^G(ξ₁),

-∞

∫

M (ξ₁, ξ₂)c₁(ξ₁) dξ₁ + ξ₂

M (ξ₁, ξ₂)c₂(ξ₁) dξ₁ + d₁(ξ₂) =^H(ξ₂),

(8)

−∞

-∞

где введены обозначения

b₁(ξ₁)a-11(ξ₁) = r(ξ₁), p₁(ξ₁)b-11(ξ₁) = q(ξ₁), a-11(ξ₁)A-1=(ξ₁,ξ₂) ≡ K(ξ₁,ξ₂),

ξ₂b-11(ξ₁)A-1=(ξ₁,ξ₂) = L(ξ₁,ξ₂), p-12(ξ₂)A-1=(ξ₁,ξ₂) = M(ξ₁,ξ₂),

f (ξ₁)a-11(ξ₁)

F (ξ₁),

g(ξ₁)b-11(ξ₁) =^G(ξ₁),

^h(ξ₂)p-12(ξ₂) =^H(ξ₂).

Лемма 3. Функции r, q положительно однородны первой степени, ядра K, L, M по-

ложительно однородны степени -1.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№6

2023

742

ВАСИЛЬЕВ А.В., ВАСИЛЬЕВ В.Б.

Доказательство. Для функций r, q утверждение очевидно, и, следовательно, они име-

ют вид

{

r₁t, t > 0,

q₁t, t > 0,

r(t) =

q(t) =

r₂t, t < 0,

q₂t, t < 0,

где r₁, r₂, q₁, q₂ ∈ C.

Рассмотрим, например, ядро M(ξ₁, ξ₂). Проверяем

M (tξ₁, tξ₂) = p-12(tξ₂)A-1=(tξ₁, tξ₂) = tκ1+κ2-¹p₂(ξ₂)t-κ1-κ2 A-1=(ξ₁, ξ₂),

что и утверждалось. Лемма доказана.

Далее запишем систему (8) в виде

+∞

∫

c₁(ξ₁) + r(ξ₁)c₂(ξ₁) +

K(ξ₁, ξ₂) d₁(ξ₂) dξ₂ +

K(ξ₁, ξ₂) d₁(ξ₂) dξ₂

F (ξ₁),

-∞

+∞

∫

c₁(ξ₁) + q(ξ₁)c₂(ξ₁) +

L(ξ₁, ξ₂) d₁(ξ₂) dξ₂ +

L(ξ₁, ξ₂) d₁(ξ₂) dξ₂ =^G(ξ₁),

-∞

∫

∫0

∫

M (ξ₁, ξ₂)c₁(ξ₁) dξ₁ +

M (ξ₁, ξ₂)c₁(ξ₁) dξ₁ + ξ₂

M (ξ₁, ξ₂)c₂(ξ₁) dξ₁ +

-∞

∫0

+ξ₂

M (ξ₁, ξ₂)c₂(ξ₁) dξ₁ + d₁(ξ₂) =^H(ξ₂).

-∞

Заменив в интегралах по отрицательной полуоси переменную интегрирования на перемен-

ную с противоположным знаком, получим новую систему с интегралами по положительной

полуоси:

+∞

∫

c₁(ξ₁) + r(ξ₁)c₂(ξ₁) +

K(ξ₁, ξ₂) d₁(ξ₂) dξ₂ +

K(ξ₁, -ξ₂) d₁(-ξ₂) dξ₂

F (ξ₁),

+∞

∫

c₁(ξ₁) + q(ξ₁)c₂(ξ₁) +

L(ξ₁, ξ₂) d₁(ξ₂) dξ₂ +

L(ξ₁, -ξ₂) d₁(-ξ₂) dξ₂ =^G(ξ₁),

∫

M (ξ₁, ξ₂)c₁(ξ₁) dξ₁ +

M (-ξ₁, ξ₂)c₁(-ξ₁) dξ₁ + ξ₂

M (ξ₁, ξ₂)c₂(ξ₁) dξ₁ +

+∞

+ξ₂

M (-ξ₁, ξ₂)c₂(-ξ₁) dξ₁ + d₁(ξ₂) =^H(ξ₂).

(9)

Теперь преобразуем эту систему, увеличив число неизвестных и сделав все входящие функ-

ции и ядра определёнными только для положительных значений аргументов. Введём следую-

щие обозначения для ξ₁, ξ₂ > 0:

c₁₁(ξ₁) = c₁(ξ₁), c₁₂(ξ₁) = c₁(-ξ₁), c₂₁(ξ₁) = c₂(ξ₁), c₂₂(ξ₁) = c₂(-ξ₁),

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№6

2023

ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

743

d₁₁(ξ₂) = d₁(ξ₂), d₁₂(ξ₂) = d₁(-ξ₂), F₁(ξ₁)

F (ξ₁), F₂(ξ₁)

F (-ξ₁),

G₁(ξ₁) =^G(ξ₁), G₂(ξ₁) =^G(-ξ₁), H₁(ξ₂) =^H(ξ₂), H₂(ξ₂) =^H(-ξ₂).

По ядрам K, L, M определим новые ядра для положительных значений аргументов:

K₁₁(ξ₁,ξ₂) = K(ξ₁,ξ₂), K₁₂(ξ₁,ξ₂) = K(ξ₁,-ξ₂),

K₂₁(ξ₁,ξ₂) = K(-ξ₁,ξ₂), K₂₂(ξ₁,ξ₂) = K(-ξ₁,-ξ₂),

аналогично определяются L_ij (ξ₁, ξ₂), M_ij (ξ₁, ξ₂), i, j = 1, 2.

Система (9) примет вид 6 × 6-системы линейных интегральных уравнений на положитель-

ной полуоси

+∞

∫

c₁₁(ξ₁) + r₁ξ₁c₂₁(ξ₁) +

K₁₁(ξ₁,ξ₂)d₁₁(ξ₂)dξ₂ +

K₁₂(ξ₁,ξ₂)d₁₂(ξ₂)dξ₂ = F₁(ξ₁),

+∞

∫

c₁₁(ξ₁) + q₁ξ₁c₂₁(ξ₁) +

L₁₁(ξ₁,ξ₂)d₁₁(ξ₂)dξ₂ +

L₁₂(ξ₁,ξ₂)d₁₂(ξ₂)dξ₂ = G₁(ξ₁),

∫

M₁₁(ξ₁,ξ₂)c₁₁(ξ₁)dξ₁ +

M₂₁(ξ₁,ξ₂)c₁₂(ξ₁)dξ₁ + ξ₂

M₁₁(ξ₁,ξ₂)c₂₁(ξ₁)dξ₁ +

+∞

+ξ₂

M₂₁(ξ₁,ξ₂)c₂₂(ξ₁)dξ₁ + d₁₁(ξ₂) = H₁(ξ₂),

+∞

∫

c₁₂(ξ₁) + r₂ξ₁c₂₂(ξ₁) +

K₂₁(ξ₁,ξ₂)d₁₁(ξ₂)dξ₂ +

K₂₂(ξ₁,ξ₂)d₁₂(ξ₂)dξ₂ = F₂(ξ₁),

+∞

∫

c₁₂(ξ₁) + q₂ξ₁c₂₂(ξ₁) +

L₂₁(ξ₁,ξ₂)d₁₁(ξ₂)dξ₂ +

L₂₂(ξ₁,ξ₂)d₁₂(ξ₂)dξ₂ = G₂(ξ₁),

∫

M₁₂(ξ₁,ξ₂)c₁₁(ξ₁)dξ₁ +

M₂₂(ξ₁,ξ₂)c₁₂(ξ₁)dξ₁ + ξ₂

M₁₂(ξ₁,ξ₂)c₂₁(ξ₁)dξ₁ +

+∞

+ξ₂

M₂₂(ξ₁,ξ₂)c₂₂(ξ₁)dξ₁ + d₁₂(ξ₂) = H₂(ξ₂).

К этой системе можно применить преобразование Меллина [25]

+∞

f (λ) =

f (t)tλ-1dt, λ = s + iσ,

в результате чего получим с учётом свойства преобразования Меллина

tf(t)(λ)

f (λ + 1)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№6

2023

744

ВАСИЛЬЕВ А.В., ВАСИЛЬЕВ В.Б.

следующую систему разностных уравнений первого порядка:

ĉ₁₁(λ) + r₁ĉ₂₁(λ + 1) +K11(λ

d₁₁(λ) +K12(λ

d₁₂(λ)

F₁(λ),

ĉ₁₂(λ) + r₂ĉ₂₂(λ + 1) +K21(λ

d₁₁(λ) +K22(λ

d₁₂(λ)

F₂(λ),

ĉ₁₁(λ) + q₁ĉ₂₁(λ + 1) +L11(λ

d₁₁(λ) +L12(λ

d₁₂(λ) =Ĝ1(λ),

ĉ₁₂(λ) + q₂ĉ₂₂(λ + 1) +L21(λ

d₁₁(λ) +L22(λ

d₁₂(λ) =Ĝ1(λ),

M₁₁(λ)ĉ₁₁(λ) +

M₂₁(λ)ĉ₁₂(λ) +

M₁₁(λ + 1)ĉ₂₁(λ + 1) +M21(λ + 1)ĉ₂₂(λ + 1)

d₁₁(λ) =Ĥ1(λ),

M₁₂(λ)ĉ₁₁(λ)+M22(λ)ĉ₁₂(λ)+M12(λ+1)ĉ₂₁(λ+1)+M22(λ+1)ĉ₂₂(λ+1)

d₁₂(λ) =Ĥ2(λ), (10)

где под

K_ij(λ),

L_ij(λ) понимается преобразование Меллина функций K_ij(t,1), L_ij(t,1), а

под

M_ij(λ) - преобразование Меллина функций M_ij(1,t), i,j = 1,2.

Таким образом, справедлива

Теорема 5. Если функция обладает свойством обобщённой положительной однородно-

сти, т.е.

A₌(tξ₁,tξ₂) = tκ1+κ2A₌(ξ₁,ξ₂)

при всех t > 0, то система интегральных уравнений (7) может быть сведена к 6 × 6-си-

стеме разностных уравнений первого порядка (10).

Заключение. Описан простейший вариант краевой задачи в пространстве Соболева-Сло-

бодецкого с различной гладкостью по переменным. К сожалению, формула общего решения в

многомерном случае слишком громоздка, чтобы записать и исследовать общую краевую зада-

чу, однако в ряде случаев можно получить содержательные результаты. Авторы предполагают

продолжать работу в этом направлении.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Эскин Г.И. Краевые задачи для эллиптических псевдодифференциальных уравнений. М., 1973.

2. Ремпель Ш., Шульце Б.-В. Теория индекса краевых задач. М., 1986.

3. Назаров С.А., Пламеневский Б.А. Краевые задачи в областях с кусочно гладкой границей. М., 1991.

4. Vasil’ev V.B. Wave Factorization of Elliptic Symbols: Theory and Applications. Introduction to the

Theory of Boundary Value Problems in Non-smooth Domains. Dordrecht; Boston; London, 2000.

5. Васильев В.Б. Мультипликаторы интегралов Фурье, псевдодифференциальные уравнения, волно-

вая факторизация, краевые задачи. М., 2010.

6. Vasilyev V.B. On certain elliptic problems for pseudo differential equations in a polyhedral cone // Adv.

Dyn. Syst. Appl. 2014. V. 9. № 2. P. 227-237.

7. Vasilyev V.B. Pseudo-differential equations and conical potentials: 2-dimensional case // Opusc. Math.

2019. V. 39. № 1. P. 109-124.

8. Vasilyev V.B. Pseudo-differential equations, wave factorization, and related problems // Math. Meth.

Appl. Sci. 2018. V. 41. P. 9252-9263.

9. Васильев В.Б. Псевдодифференциальные уравнения в конусах с точками сопряжения на границе

// Дифференц. уравнения. 2015. Т. 51. № 9. С. 1123-1135.

10. Vasilyev V.B. On some distributions associated to boundary value problems // Complex Var. Ell. Equat.

2019. V. 64. № 5. P. 888-898.

11. Волевич Л.Р., Гиндикин С.Г. Обобщенные функции и уравнения в свертках. М., 1994.

12. Трибель Х. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы.

М., 1980.

13. Трибель Х. Теория функциональных пространств. М., 1986.

14. Nagel A., Ricci F., Stein E.M., Wainger S. Algebras of singular integral operators with kernels controlled

by multiple norms // Memoirs of Amer. Math. Soc. 2018. V. 256. № 1230.

15. Vasilyev V., Polunin V., Shmal I. On some solvability theorems for pseudo-differential equations

// arXiv:2302.10054 [math.AP].

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№6

2023

ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

745

16. Vasilyev V.B. On the Dirichlet and Neumann problems in multi-dimensional cone // Math. Bohem. 2014.

V. 139, № 2. P. 333-340.

17. Vasilyev V.B. Pseudo-differential operators on manifolds with a singular boundary // Modern Problems

in Applied Analysis / Eds. P. Drygas, S. Rogosin. Cham, 2018. P. 169-179.

18. Vasilyev V.B. Asymptotical analysis of singularities for pseudo differential equations in canonical non-

smooth domains // Integral Methods in Science and Engineering. Computational and Analytic Aspects

/ Eds. C. Constanda, P.J. Harris. Boston, 2011. P. 379-390.

19. Vasilyev V.B. On the asymptotic expansion of certain plane singular integral operators // Bound. Value

Probl. 2017. V. 116. P. 1-13.

20. Васильев В.Б. Потенциалы для эллиптических краевых задач в конусах // Сиб. электрон. мат. изв.

2016. Т. 13. С. 1129-1149.

21. Васильев В.Б. Псевдодифференциальные уравнения на многообразиях со сложными особенностями

на границе // Сиб. журн. чистой и прикл. математики. 2016. № 3. С. 3-14.

22. Васильев В.Б. Модельные эллиптические краевые задачи для псевдодифференциальных уравнений

в канонических негладких областях // Тр. сем. им. И.Г. Петровского. 2016. Т. 31. С. 22-37.

23. Васильев В.Б. Псевдодифференциальные уравнения, сингулярные интегралы и распределения

// Прикл. математика и мат. физика. 2015. Т. 1. № 1. С. 3-16.

24. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции и действия над ними. М., 1959.

25. Титчмарш Е. Введение в теорию интегралов Фурье. М.; Л., 1948.

Белгородский государственный

Поступила в редакцию 13.03.2023 г.

национальный исследовательский университет

После доработки 23.03.2023 г.

Принята к публикации 18.04.2023 г.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№6

2023