ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2023, том 59, № 6, с.746-751

УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

УДК 517.956.4

АППРОКСИМАЦИЯ РЕШЕНИЯ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ

ДЛЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЁННОЙ СИСТЕМЫ

УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ

Рассматривается начально-краевая задача для сингулярно возмущённой системы урав-

нений в частных производных. Ставится обратная задача, состоящая в определении

неизвестного начального условия по дополнительной информации о решении начально-

краевой задачи. Доказывается, что на основе использования разложения решения началь-

но-краевой задачи по малому параметру ε можно получить приближённые решения, ап-

проксимирующие решение обратной задачи с порядком O(ε) или O(ε²).

DOI: 10.31857/S0374064123060055, EDN: FFQKXU

Рассмотрим начально-краевую задачу для сингулярно возмущённой системы уравнений в

частных производных

ενu_x(x, t) + u_t(x, t) + a_t(x, t) = εu_xx(x, t), (x, t) ∈ Q_T ,

(1)

a_t(x,t) = γu(x,t) - a(x,t), (x,t) ∈ Q_T ,

(2)

u(0, t) = u(π, t) = 0,

0≤t≤T,

(3)

u(x, 0) = 0,

0≤t≤π,

(4)

a(x, 0) = ψ(x),

0≤x≤π,

(5)

где Q_T = {(x, t) : 0 ≤ x ≤ π,

0 ≤ t ≤ T}, ε, ν, γ - положительные постоянные, ε - малый

параметр, ε < 1.

Задачу (1)-(5) можно интерпретировать как математическую модель динамики сорбции [1,

с. 174; 2, с. 5], когда эффекты процессов переноса и диффузии малы по сравнению с поглоще-

нием. Чтобы подчеркнуть зависимость решения задачи (1)-(5) от параметра ε, далее будем

обозначать его u(x, t; ε), a(x, t; ε).

Сформулируем обратную задачу. Пусть постоянные ε, ν, γ заданы, а функция ψ(x)

неизвестна. Требуется определить ψ(x), если задана дополнительная информация о решении

задачи (1)-(5)

u(x, T ; ε) = g(x; ε),

0≤x≤π,

(6)

где g(x; ε) - заданная функция.

Дадим определение решения обратной задачи. Так как при неизвестной ψ(x) функции

u(x, t; ε), a(x, t; ε) также неизвестны, то решением обратной задачи будем считать тройку

функций {ψ(x), u(x, t; ε), a(x, t; ε)}.

Определение. Функции {ψ(x),u(x,t;ε),a(x,t;ε)} называются решением обратной зада-

чи, если ψ ∈ C[0, π], u ∈ C2,1(Q_T ), a, a_t ∈ C(Q_T ) и {ψ(x), u(x, t; ε), a(x, t; ε)} удовлетворяют

уравнениям (1), (2) и условиям (3)-(6).

При выполнении ряда условий можно получить разложение функции u(x, t; ε) по малому

параметру ε. Цель данной работы состоит в использовании этого разложения для построения

функций, аппроксимирующих неизвестную функцию ψ(x) при малых ε. Подобный подход

применялся для приближённого решения некоторых обратных задач в статьях [3, 4]. Другим

аспектам исследования обратных задач для сингулярно возмущённых уравнений в частных

производных посвящены работы [5-14].

746

АППРОКСИМАЦИЯ РЕШЕНИЯ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ

747

Рассмотрим функцию

ψ₀(x;ε) = g(x;ε)(γ + 1)(1 - exp(-(γ + 1)T))-1.

(7)

Докажем, что при выполнении определённых условий она аппроксимирует ψ(x) с порядком

O(ε) при ε → 0.

Теорема 1. Если функции {ψ(x), u(x, t; ε), a(x, t; ε)} являются решением обратной задачи

и ψ ∈ C³[0,π],

ψ(0) = ψ(π) = 0, ψ^′′(0) - νψ^′(0) = ψ^′′(π) - νψ^′(π) = 0,

(8)

то

max |ψ(x) - ψ₀(x; ε)| ≤ c₁ε,

(9)

[0,π]

где c₁ - постоянная, не зависящая от x и ε.

Далее через c_i обозначаются положительные постоянные, не зависящие от x, t и ε.

Доказательство. Пусть функции {ψ(x), u(x, t; ε), a(x, t; ε)} являются решением обратной

задачи. Проинтегрировав уравнение (2) с начальным условием (5), имеем

∫t

a(x, t; ε) = ψ(x)e^-t + γ e-(t-τ)u(x, τ; ε) dτ.

Из этого представления и уравнений (1), (2) следует, что u(x, t; ε) является решением урав-

нения

∫t

ενu_x + u_t + γu - ψ(x)e^-t - γ e-(t-τ)u(x, τ; ε) dτ = εu_xx, (x, t) ∈ Q_T .

(10)

Применив метод разделения переменных, получим представление

∑

u(x, t; ε) = eνx/2

T_n(t;ε)sin(nx),

(11)

n=1

справедливое для функции u(x, t; ε), удовлетворяющей уравнению (10) и условиям (3), (4).

Здесь функции T_n(t; ε) являются решениями задачи Коши

∫t

T^′n + γT_n

ψ_ne^-t - γ e-(t-τ)T_n(τ;ε)dτ = -ε(n² + ν²/4)T_n,

0≤t≤T,

(12)

T_n(0;ε) = 0,

(13)

∫

ψ_n =

e-νx/2ψ(x)sin(nx)dx.

С учётом условий (8) имеем

∫

ψ_n = -

α(x) cos(nx) dx,

(14)

πn³

где

α(x) =

(e-vx/2[ψ^′′(x) - νψ^′(x) + ν²ψ(x)/4]).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№6

2023

748

ДЕНИСОВ

Рассмотрим функции

Tn0(t), являющиеся решениями задачи Коши

T′′n0 + (γ - 1

T′n0 -

Tn0 = 0,

0≤t≤T,

(15)

Tn0(0) = 0,

T′n0(0)

ψ_n,

(16)

и функци

Tn1(t;ε) - решения задачи Коши

T′′n1 + a_nε

T′n1 -

Tn1 = -(n² + (ν²)/4

T′n0,

0≤t≤T,

(17)

Tn1(0) = 0,

T′n1(0) = 0,

(18)

где a_nε = ε(n² + (ν²)/4) + γ - 1. Из уравнений (12), (15), (17) и начальных условий (13), (16),

(18) следует, что

T_n(t;ε) = e^-t

Tn0(t) +

Tn1(t;ε)).

(19)

Решение задачи (15), (16) определяется как

Tn0(t)

ψ_n(γ + 1)-1(e^t - e^-γt),

(20)

а задачи (17), (18) - формулой

∫

n² + ν²/4

Tn1(t;ε) = -

[exp(λ₁(n; ε)(t - τ)) - exp(λ₂(n; ε)(t - τ))

T′n0(τ)dτ,

(21)

λ₁(n;ε) - λ₂(n;ε)

где

√

-a_nε +

a2nε + 4γ

-a_nε -

a2nε + 4γ

λ₁(n;ε) =

λ₂(n;ε) =

Из (20) и (21) следует, что

max

Tn1(t;ε)| ≤ c₂(n² + ν²/4)

ψ_n|

(22)

[0,T ]

для любого n. Подстановка представления (19) в формулу (11) с учётом оценки (22) и фор-

мулы (14) даёт

u(x, t; ε) = ψ(x)(γ + 1)-1(1 - exp(-(γ + 1)t)) + εu₀(x, t; ε), (x, t) ∈ Q_T ,

(23)

где max |u₀(x, t; ε)| ≤ c₃. Положив в формуле (23) t = T и использовав условие (6), получим

Q_T

g(x; ε) = ψ(x)(γ + 1)-1(1 - exp(-(γ + 1)T )) + εu₀(x, T ; ε).

Из этой формулы и определения (7) функции ψ₀(x) следует оценка (9). Теорема доказана.

Из теоремы 1 следует, что при малых ε функция ψ₀(x) аппроксимирует ψ(x) с порядком

O(ε). Покажем, что при дополнительных предположениях можно построить приближённое

решение ψ₁(x; ε), которое аппроксимирует ψ(x) с порядком O(ε²).

Введём функции

p₀(t) = (γ + 1)-1(1 - exp(-(γ + 1)t)),

∫

exp(-t)

p₁(t) =

[exp(t - τ) - exp(-γ(t - τ))](exp(τ) + γ exp(-γτ)) dτ.

(γ + 1)²

Пусть для параметра ε выполнены условия

√

p₀(T)(p₁(T))-1 - εν²/4 ≥ c₄ > 0,

|sin(π

p₀(T)(εp₁(T))-1 - ν²/4)| ≥ c₅ > 0.

(24)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№6

2023

АППРОКСИМАЦИЯ РЕШЕНИЯ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ

749

Рассмотрим функцию ψ₁(x; ε), являющуюся решением краевой задачи

εp₁(T )ψ′′1(x; ε) - ενp₁(T )ψ′1(x; ε) + p₀(T )ψ₁(x; ε) = g(x; ε),

0≤x≤π,

(25)

ψ₁(0;ε) = 0, ψ₁(π;ε) = 0.

(26)

Теорема 2. Пусть функции {ψ(x), u(x, t; ε), a(x, t; ε)} являются решением обратной за-

дачи, причём ψ(x) такова, что ψ ∈ C⁶[0, π], выполнены условия (8) и

ψ⁽⁴⁾(0) - 2νψ⁽³⁾(0) + ν²ψ^′′(0) = 0, ψ⁽⁴⁾(π) - 2νψ⁽³⁾(π) + ν²ψ^′′(π) = 0.

(27)

Тогда для ε, удовлетворяющих условиям (24), имеет место оценка

max |ψ(x) - ψ₁(x; ε)| ≤ c₆ε².

(28)

[0,π]

Доказательство. Для функции T_n(t; ε), являющейся решением задачи (12), (13), спра-

ведливо представление

T_n(t;ε) = e^-t

Tn0(t) +

Tn1(t) + ε²

Tn2(t;ε)),

(29)

где

Tn1(t)

Tn1(t;0), а

Tn2(t;ε) - решение задачи Коши

T′′n2 + a_nε

T′n2 -

Tn2 = -(n² + (ν²)/4

T′n1,

0≤t≤T,

(30)

Tn2(0) = 0,

T′n2(0) = 0.

(31)

Из формулы (21) следует, что

Tn1(t)

Tn1(t;0) = -(n² + ν²/4)(γ + 1)-2

ψ_nh(t),

(32)

где

∫t

h(t) =

[exp(t - τ) - exp(-γ(t - τ))](exp(τ) + γ exp(-γτ)) dτ.

Для решения задачи (30), (31) справедлива формула

(n² + ν²/4)²

ψ_n

Tn2(t;ε) =

(γ + 1)²(λ₁(n; ε) - λ₂(n; ε))

∫t

[exp(λ₁(n; ε)(t - τ)) - exp(λ₂(n; ε)(t - τ))]h^′(τ) dτ.

(33)

Используя условия (8) и (27), имеем

∫

ψ_n = -

α^′′′(x)sin(nx)dx.

(34)

πn⁶

Следовательно, учитывая формулу (33), получаем, что функция

∑

u₁(x,t;ε) = exp(νx/2 - t)

Tn2(t;ε)sin(nx)

(35)

n=1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№6

2023

750

ДЕНИСОВ

определена и непрерывна в прямоугольной области Q_T и имеет там непрерывную частную

производную по x для всех ε ∈ (0, 1). Из формул (34) и (35) следуют оценки



∂u1



max|u1(x, t; ε)| ≤ c7, max

x,t;ε)

c₈.

(36)

≤

Q_T

 ∂x ⁽

Учитывая определение коэффициентов

ψ_n, имеем

∑

- (n² + ν²/4

ψ_n sin(nx) = exp(-νx/2)(ψ^′′(x) - νψ^′(x)).

(37)

n=1

Подставляя представление (29) в формулу (11) и принимая во внимание формулы (20),

(32), (35) и (37), получаем

u(x, t; ε) = p₀(t)ψ(x) - ενp₁(t)ψ^′(x) + εp₁(t)ψ^′′(x) + ε²u₁(x, t; ε), (x, t) ∈ Q_T .

Положив в этой формуле t = T и использовав условие (6), можем записать равенство

εp₁(T )ψ^′′(x) - ενp₁(T )ψ^′(x) + p₀(T )ψ(x) = g(x; ε) - ε²u₁(x, T ; ε),

0≤x≤π.

(38)

Рассмотрим функцию z(x; ε) = ψ₁(x; ε) - ψ(x). Из уравнений (25), (38) и условий (8), (26)

следует, что z(x; ε) является решением краевой задачи

εp₁(T )z^′′(x; ε) - ενp₁(T )z^′(x; ε) + p₀(T )z(x; ε) = ε²u₁(x, T ; ε),

0≤x≤π,

z(0; ε) = 0, z(π; ε) = 0,

которое определяется формулой

∫

z(x; ε) = ε(p₁(T ))-1 G(x, s; ε) exp(ν(x - s)/2)u₁(s, T ; ε) ds,

(39)

где

{

(b_ε sin(b_επ))-1 sin(b_ε(x - π)) sin(b_εs), s ≤ x,

√

G(x, s; ε) =

b_ε =

p₀(T)(εp₁(T))-1 - ν²/4.

(b_ε sin(b_επ))-1 sin b_ε(s - π) sin(b_εx),

x ≤ s,

Интегрируя по частям интеграл в формуле (39) и используя оценку (36), получаем

max |z(x; ε)| ≤ c₆ε².

[0,π]

Таким образом, оценка (28) справедлива. Теорема доказана.

Рассмотрим вопрос об оценке для приближённого решения обратной задачи в случае, когда

дополнительная информация задана с погрешностью. Пусть функция g(x; ε) в условии (6)

неизвестна, а вместо неё задана непрерывная на отрезке [0, π] функция g_δ(x) такая, что

max |g(x; ε) - g_δ(x)| ≤ δ.

[0,π]

Определим функцию

ψ0δ(x) = g_δ(x)(γ + 1)(1 - exp(-(γ + 1)T))-1.

Простым следствием теоремы 1 является следующее утверждение.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№6

2023

АППРОКСИМАЦИЯ РЕШЕНИЯ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ

751

Следствие 1. Если выполнены условия теоремы 1, то

max |ψ(x) - ψ0δ(x)| ≤ c₁ε + δ(γ + 1)(1 - exp(-(γ + 1)T ))-1.

[0,π]

Пусть для параметра ε выполнены условия (24). Рассмотрим функцию ψ1δ, являющуюся

решением краевой задачи

εp₁(T )ψ′′1δ(x; ε) - ενp₁(T )ψ′1δ(x; ε) + p₀(T )ψ1δ(x; ε) = g_δ(x),

0≤x≤π,

ψ1δ(0;ε) = 0, ψ1δ(π;ε) = 0.

Из доказательства теоремы 2 легко получить

Следствие 2. Если выполнены условия теоремы 2, то

max|ψ(x) - ψ1δ(x)| ≤ c6ε2 + c9

[0,π]

√ε.

Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства науки и высшего образования

Российской Федерации в рамках реализации программы Московского центра фундаменталь-

ной и прикладной математики по соглашению № 075-15-2022-284.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М., 1999.

2. Денисов А.М., Лукшин А.В. Математические модели однокомпонентной динамики сорбции. М.,

1989.

3. Денисов А.М. Приближенное решение обратных задач для уравнения теплопроводности с сингуляр-

ным возмущением // Журн. вычислит. математики и мат. физики. 2021. Т. 61. № 12. С. 2040-2049.

4. Денисов А.М. Приближенное решение обратной задачи для интегродифференциального уравнения

теплопроводности с сингулярным возмущением // Журн. вычислит. математики и мат. физики.

2023. Т. 63. № 5. С. 795-802.

5. Латтес Р., Лионс Ж.-Л. Метод квазиобращения и его приложения. М., 1970.

6. Иванов В.К. Задача квазиобращения для уравнения теплопроводности в равномерной метрике

// Дифференц. уравнения. 1972. Т. 8. № 4. С. 652-658.

7. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Численные методы решения обратных задач математической

физики. М., 2004.

8. Короткий А.И., Цепелев И.А., Исмаил-заде А.Е. Численное моделирование обратных ретроспек-

тивных задач тепловой конвекции с приложениями к задачам геодинамики // Изв. Уральского

ун-та. 2008. № 58. С. 78-87.

9. Табаринцева Е.В., Менихес Л.Д., Дрозин А.Д. О решении граничной обратной задачи методом

квазиобращения // Вестн. Южно-Уральского гос. ун-та. Сер. Математика. Механика. Физика. 2012.

Вып. 6. С. 8-13.

10. Денисов А.М. Асимптотика решений обратных задач для гиперболических уравнений с малым

параметром при старшей производной // Журн. вычислит. математики и мат. физики. 2013. Т. 53.

№ 5. С. 744-752.

11. Belov Yu.Ya., Kopylova V.G. Determination of source function in composite type system of equations

// Журн. Сибирского федерал. ун-та. Сер. Математика и физика. 2014. Т. 7. Вып. 3. С. 275-288.

12. Денисов А.М., Соловьева С.И. Численное решение обратных задач для гиперболического уравнения

с малым параметром при старшей производной // Дифференц. уравнения. 2018. Т. 54. № 7. С. 919-

928.

13. Lukyanenko D.V., Shishlenin M.A., Volkov V.T. Asymptotic analysis of solving an inverse boundary

value problem for a nonlinear singularly perturbed time-periodic reaction-diffusion-advection equation

// J. Inverse and Ill-Posed Problems. 2019. V. 27. № 5. P. 745-758.

14. Lukyanenko D.V., Borzunov A.A., Shishlenin M.A. Solving coefficient inverse problems for a nonlinear

singularly perturbed equations of the reaction-diffusion-advection type with data on the position of

reaction front // Comm. in Nonlin. Sci. Numer. Simulation. 2021. V. 99. P. 105824.

Московский государственный университет

Поступила в редакцию 17.04.2023 г.

имени М.В. Ломоносова

После доработки 17.04.2023 г.

Принята к публикации 19.05.2023 г.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59

№6

2023